高等代数【北大版】(54)
高等代数(北大第三版)习题答案完整
f ( x) = x 4 − 2 x 2 + 3 = ( x + 2) 4 − 8( x + 2)3 + 22( x + 2) 2 − 24( x + 2) + 11
3)
f ( x) = x 4 + 2ix 3 − (1 + i ) x 2 + 3 x + 7 + i
= ( x + i − i )4 + 2i ( x + i − i )3 − (1 + i )( x + i − i ) 2 − 3( x + i − i ) + 7 + i = ( x + i ) 4 − 2i( x + i)3 + (1 + i)( x + i ) 2 − 5( x + i ) + 7 + 5i
2
ε1 =
− 1 + 3i − 1 − 3i ,ε 2 = 2 2
证：设 ( f ( x ) h( x ), g ( x ) h( x )) = m( x ) 由
( f ( x ), g ( x)) h( x ) | f ( x) h( x) ∴ ( f ( x ), g ( x)) h( x ) | m( x )
设 d ( x ) = ( f ( x ), g ( x )) = u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
由 12 题 ( fg , f + g ) = 1 令 g = g1 g 2 … g n
∴ 每个i, ( fi , g ) = 1 ⇒ ( f1 f1 , g ) = 1, ⇒ ( f1 f 2 f3 , g ) = 1 , ⇒ ( f1 f 2
高等代数【北大版】课件
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+，(4) ∑='A =ji j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设:1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β，2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β，3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4
从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵 ， 当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2 是正定的；
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
2020/9/20§5. 4 正定二次型
2、正定性的判定
2 1
解： f ( x1, x2 ,
, xn )的矩阵
A
2
1
2
1
1
1
2 2
A的第k阶顺序主子式Pk
2020/9/20§5. 4 正定二次型
11
1
11 1
2 1 Pk 2 1
2 1 2
1 k1 2
2
高等代数北大第三版
即 rs Z . f ( x) rsg1( x) h1( x). 得证．
推论 设 f ( x), g( x) 是整系数多项式，且 g( x)是本原
旳，若 f ( x) g( x)h( x), h( x) Q[ x], 则 h( x) 必为整系数多项式．
f ( x) (bl xl bl1 xl1 b0 )(cm xm cm1 xm1 c0 ) bi ,c j Z , l, m n, l m n
an blcm , a0 b0c0 . p | a0 , p | b0 或 p | c0 ,
又 p2 | a0 , p 不能同步整除 b0 , c0 . 不妨设 p | b0 但 p | c0 .
对a,b Q ( a 0), 多项式 g( x) f (ax b) 在有理数域上不可约．
例5 证明：f ( x) x2 1 在 Q上不可约． 证： 作变换 x y 1, 则
f ( x) y2 2 y 2, 取 p 2, 由Eisenstein鉴别法知， y2 2 y 2 在Ｑ上不可约， 所以 f ( x) 在Ｑ上不可约．
bi Z , i 0,1, 2, , n. 若 bn ,bn1, ,b1,b0 没有 异于 1 旳公因子，即 bn ,bn1, ,b1,b0 是互素旳， 则称 g( x)为本原多项式．
有关性质
1．f ( x) Q[ x], r Q, 使 f ( x) rg( x), 其中 g( x)为本原多项式． （除了相差一种正负号外，这种表达法是唯一旳）．
在 R 上，不可约多项式只有一次多项式与某些 二次多项式；
但在 Q上有任意次数旳不可约多项式．如
xn 2, n Z . 怎样判断 Q上多项式旳不可约性呢?
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.2
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院再令Fra bibliotekz1 z2
y1 y2
y3
或
y1 y2
z1 z2
z3
z3 y3
y3 z3
即,
y1 1
y2 y3
0 0
0 1 0
1 z1
0 1
z2 z3
则 f ( x1, x2 , , xn ) 2z12 2z22 2z32 8z2z3
1 0
1 0
0 1
2 0 2 情形1)
2020/9/20§5.2
0 2 标2准形4
04 数学与计算科学学院
1 0 1
令
C2
0 0
1 0
0 1
,
1 0 0 2 0 2 1 0 1
A2
C2 A1C2
0 1
1 0
0 1
0 2
2 4
4 0
0 0
1 0
0 1
2 0 0
0 0
2 4
4 2
情形1)
1 0 0
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
二、合同的变换法
1. 定义：合同变换是指下列三种变换
（1）互换矩阵的 i, j 两行，再互 换矩阵的 i, j 两列; i （2）以数 k（k 0 ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘
z3
c32
y2
c33
y3
zn
cn2 y2
cn3 y3
c2n yn c3n yn cnn yn
使它变成平方和 d2z22 d3z32
dnzn2
于是，非退化线性替换
z1 y1
高等代数习题北大第四版答案一到四章
从 而 ( f ( x), g( x))h( x) 是 f (x)h(x) 与 g( x)h( x) 的 一 个 最 大 公 因 式 ， 又 因 为
( f (x), g( x)) h( x) 的首项系数为１，所以 ( f (x)h(x), g(x)h(x)) = ( f ( x), g( x))h( x) 。
u1(x) f (x) + v1(x)g (x) = 1
（1）
u2 (x) f (x) + v2 (x)h(x) = 1
将（1）（2）两式相乘，得
（2）
[u1(x)u2(x) f (x) + v1(x)u2(x)g (x) + u1(x)v2(x)h(x)] f ( x) ， +[v1(x)v2 (x)]g( x)h( x) = 1 所以 ( f ( x), g( x) h( x)) =1 。
即[u(x) − v(x)] f ( x) + v( x)[ f ( x) + g( x)] = 1 ，
所以 ( f (x), f ( x) + g( x)) =1。
同理 ( g( x), f ( x) + g( x)) =1 。
再由 12 题结论，即证 ( f ( x) g( x), f ( x) + g( x)) =1。
2） f (x) = x3 − x2 − x, g( x) = x −1 + 2i 。
q(x) = 2x4 − 6x3 +13x2 − 39x +109
解 1）
；
r (x) = −327
2） q(x) = x2 − 2ix − (5 + 2i ) 。 r (x) = −9 + 8i
高等代数 北大 课件
拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。
2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。
3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。
4. 线性方程组在实际应用中的例子。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。
2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。
3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。
4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。
2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。
3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。
4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。
四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。
2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。
3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。
4. 对称矩阵的特征值和特征向量。
五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。
2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。
3. 二次型的性质：正定、负定、不定。
4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。
六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。
2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。
3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。
4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。
七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。
2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。
3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。
4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。
八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。
2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。
3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。
高等代数习题(北大第四版)答案一到四章.docx
高等代数答案第一章多项式1 •用 g{x)除 /(.r),求商 </(.r)与余式 r(.r):1) /*(.r) = .r 3 - 3.r 2 - x-1,= 3.r 2 - 2.r +1: 2) f(x} = x 4 — 2.r+ 5,烈A ) = H -才+ 2 •解1)由带余除法，可得彳(才)=丄x--,/(.r) = - —.r--； 3 9 99 2 )同理可得久工)=X 2 + X- 1,心=-5.V+ 1 .2. m 、p 、q 适介什么条件时，冇1) x 1 + w.r-11 .t 3 + px+ q 、2) .r 2 + 7//.V+ 11 x 4 + + q o解I)由假设，所得余式为0,即(P+1 +〃小才+(0-刃) = 0,所以当+ 1 + - ° 时有才2 + my-11 x 3 + px*q° q- m- 02)类似可得(劝(2 — Q -刃?=0, j ：是当加=o 时，代入(2)可得〃=夕+ 1：而当 ［乡+ 1-p- ftl・=02-p-nr =0 时，代入(2〉可得0 = 1。
了 时,皆有 f + 〃/・丫+11 x 4 + pf + q o p + 〃厂=23. 求g(.x)除/(X )的商0⑴与余式：1) /*(.r) = Zr 5 - 5-r 3 - 8.i ,g(.r) = .r+ 3 ：2) f(x) = 一 , 一 不 g(.v)=才一 l + 2/ o0(・丫) = 2r 4 - +13” 一 39才 +109解1)；心)=-327°).(.丫) = '-2灯-(5+2/)。
/// = 0综上所诉,当 □攵.；p=q+\ -心)=-9 + 8/4. 把/(才)表示成才一兀的方幕和，即表成C Q +q(・Y-旺)+Q(才一・®)2 + ... + C…(X -X Q y+ …的形式：1) /(才)"，兀 T；2) /*(.r) = .r4 - 2.x2 + 3,x0 = -2；3) /(r) = x + 2/x一(l + /).r2一3x+ 7 + /,兀=-/«解1)由综合除法,可得/(x) = 1+ 5(x-1) + 10(r -1)2 +10(x-l)3^5(x -l)4+(r-l)5；2) 由综合除法，可得x4 -21^ + 3 = 11 - 24(.r+ 2) + 22(.r+ 2)2 -8(.r+ 2)3 + (.r+ 2)4:3) 由综介除法，可得.r4 + 2/：? - (1 + /).? -3x + (7 + z)= (7+5/)-5(x+/)4- (- 1一/比+/予-2«+/)+ (r+ // o5. 求/(貯与肌工)的最大公因式：1) /(才)=.r4 + .r5 -3, - 4才- 1£(才)=,+ , -.丫-1 ；2) /(.r) = .r4 -4.? + l,^(.r) =.? -3,r +1 ：3) f .r) - .r4 - lO.r2 + l,g(") - .r4 -心力 + 6A2 + 4/2r+ 1。
高等代数北大版二次型5
x2 ,...,
xn )
j1 n
a2 j x j
j1
n
anj x j
j1
10/10/2023§5.1 二次型旳矩阵表数学达与计算科学学院
n
n
x1 a1 j x j x2 a2 j x j
j1
j1
n
xn anj x j
j1
n
n
nn
( xi aij x j )
注 1）③或④为非退化旳
C=
cij
为可逆矩阵 .
nn
2）若X＝CY为非退化线性替代，则有非退化
线性替代 Y C 1X .
10/10/2023§5.1 二次型旳矩阵表数学达与计算科学学院
3、二次型经过非退化线性替代仍为二次型
实际上，
f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX
X CY
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替代.
10/10/2023§5.1 二次型旳矩阵表数学达与计算科学学院
例2 解析几何中旳坐标轴按逆时针方向旋转解角度
y
.
y
x
0
x
即变换
x
y
x cos y sin x sin y cos
它是非退化旳.
∵系数行列式
cos sin
sin cos
1.
aij xixj
i1 j1
i1 j1
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) X AX .
10/10/2023§5.1 二次型旳矩阵表数学达与计算科学学院
注意: 1）二次型旳矩阵总是对称矩阵,即 A A. 2）二次型与它旳矩阵相互唯一拟定，即
若 X AX X BX 且 A A, B B，则 A B. （这表白在选定文字 x1, x2 ,..., xn下，二次型
高等代数北大编第1章习题参考答案
高等代数北大编第1章习题参考答案第一章多项式一、习题及参考解答1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当??+==10q p m 或=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+L 的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数【北大版】课件
多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况， 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念，包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式，按照一定规则排列，具有一些重 要的性质，如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并了解线性方程组的基本性质。
2. 掌握高斯消元法求解线性方程组，并能够运用该方法解决实际问题。
3. 了解克莱姆法则，并能够运用该法则判断线性方程组的解的情况。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性方程组的求解方法。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，并了解矩阵的基本性质。
2. 掌握矩阵的运算，包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。
3. 了解逆矩阵的概念，并掌握逆矩阵的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握矩阵的运算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，并了解线性空间的基本性质。
2. 掌握线性变换的概念，并了解线性变换的基本性质。
3. 了解特征值和特征向量的概念，并掌握特征值和特征向量的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性空间和线性变换的相关知识。
四、二次型1. 定义二次型，并了解二次型的基本性质。
2. 掌握二次型的标准形以及惯性定理。
3. 了解二次型的正定性以及其判定方法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握二次型的相关知识。
五、向量空间与线性映射1. 定义向量空间，并了解向量空间的基本性质。
2. 掌握线性映射的概念，并了解线性映射的基本性质。
3. 了解核空间以及秩的概念，并掌握核空间和秩的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握向量空间和线性映射的相关知识。
六、特征值和特征向量1. 回顾特征值和特征向量的定义，理解它们在矩阵对角化中的作用。
2. 学习如何求解一个矩阵的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式等方法。
3. 掌握特征值和特征向量在简化矩阵表达式和解决实际问题中的应用。
4. 提供例题，展示如何将一般矩阵问题转化为特征值和特征向量的问题，并教会学生如何解这些问题。
七、二次型1. 复习二次型的基本概念，包括二次型的定义、标准形和惯性定理。
2. 学习如何将一般二次型转化为标准形，以及如何从标准形判断二次型的正定性。
高等代数北大版第章习题参考答案
1. 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:4) 在 P 3 中，A (X 1，X 2,X 3) (2X 1 X 2, X 2 X 3,X 1)；5) 在 P[ X ]中，A f (x) f (x 1)； 6) 在P[ X ]中，A f(x )f(X o ),其中X 0 P 是一固定的数;7) 把复数域上看作复数域上的线性空间，A8)在P nn 中，A X=BXC 其中B,C P n n 是两个固定的矩阵.解1)当0时,是;当 0时,不是。
2)当 0时，是；当 0时，不是。
3)不是.例如当(1,0,0), k 2 时，k A ( ) (2,0,0) , A (k )(4,0,0),A (k ) k A()。
4)是•因取(y 1,y 2,y 3),有A ()= A (X 1 y 1, X 2 y 2 ,X 3 y 3)=(2X 1 2y 1 X 2 y 2 ,X 2 y= (2X 1 X 2,X 2 X 3,X 1) (2y 1=A+ A ,A (k ) A (kx 1, kx 2, kx 3)故A 是P 3上的线性变换。
5)是.因任取 f(x) P[x], g(x) P[ X],并令u(x) f (x) g(x)则A ( f (x) g(x)) = A u(x) =u(x 1) = f (x 1) g(x 1)=A f (x) + A (g(x)),再令 v( x) kf (x)则 A (kf (x)) A (v( x)) v(x 1) kf (x 1) k A ( f (x)),故A 为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取 f (x)P[x], g(x) P[ x]则.g(x))=f(X 0) g(x 。
)A ( f (x)) A (g(x)),第七章线性变换1) 在线性空间V 中，A ,其中V 是一固定的向量;2)在线性空间V 中，A3) 在 P 3 中，A (X 1, X 2 X )其中V 是一固定的向量;(X 12 , X 2 X 3, x 3).X 3 y 3,X 1 yj y 2,y 2y 3，y 1)(2kx 1kx 2, kx 2gkxj (2kx 1kx 2, kx 2gkxjA ( f (x)A(kf (x)) kf (X0) k A(f (x))7)不是，例如取a=1,k=l，则A(ka)=-i , k( A a)=i, A^ ka) k A(a)。
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4)∑='A =ji j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3))2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
高等代数课件(北大三版)--第二章--多项式
2.2.4 系数所在范围对整除性旳影响
二、教学目旳
1．掌握一元多项式整除旳概念及其性质。
2．熟练利用带余除法。
三、要点、难点
多项式旳整除概念，带余除法定理
2.2.1 多项式旳整除概念
设F是一种数域. F [x]是F上一元多项式环.
2.2.2 多项式整除性旳某些基本性质
证 设f (x) = g (x) 那么它们有完全相同旳项, 因而对R旳任何c都有f (c) = g (c)这就是说, f (x) 和g (x)所拟定旳函数相等.反过来设f (x) 和g (x)所拟定旳函数相等.令 u (x) = f (x) – g (x)那么对R旳任何c都有u (c) = f (c) – g (c) = 0这就是说, R中旳每一种数都是多项式u (x)旳根. 但R有无穷多种数, 所以u (x)有无穷多种根.根据定理2.6.3只有零多项式才有这个性质.所以有 u (x) = f (x) – g (x) = 0 , f (x) = g (x) .
f (c)与它相应. 于是就得到R到R旳一种映射. 这个映射是由多项式f (x)所拟定旳,叫做R上一种多项式函数.
综合除法
由此得出
表中旳加号一般略去不写.
例1
用x + 3除
作综合除法:
所以商式是
而余式是
证
假如f (x)是零次多项式,那么f (x)是R中一种不等于零旳数, 所以没有根. 所以定理对于n = 0成立.于是我们能够对n作数学归纳法来证明这一定理.设c∈R是f (x)旳一种根.那么 f (x) = (x – c) g (x)这里g (x) ∈R [x]是一种n – 1次多项式.假如d∈R是f (x)另一种根, d≠c那么 0 = f (d) = (d – c) g (d)因为d – c≠0 , 所以g (d) = 0. 因为g (x)旳次数是 n – 1 ,由归纳法假设, g (x)在R内至多有n – 1个不同旳根.所以f (x)在R中至多有n个不同旳根.
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§1.11 对称多项式
h
9
则 f 1 有比 f 较“小”的首项．
对 f 1 重复上述作法，并依此下去. 即有一系列对称多项式
f ,f 1 f 1 ,f 2 f 1 2 ,
它们的首项一个比一个“小”，所以必终此在有限步．
首项为 ax1l1x2l2 xnln, 则必有
l1 l2 ln 0
作对称多项式
a 1
l1 l2 l2 l3 12
ln n
则 1 的首项为
a x 1 l 1 l 2 ( x 1 x 2 ) l 2 l 3 ( x 1 x 2x n ) l n ax1l1x2l2
xln n
再作对称多项式
§1.11 对称多项式
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3
a1 1 2 a 2 1 2 1 3
n n 1 n
(1)iai
k1 k2
ki
（所有可能的 i 个不同的 a
k
的积之和）
j
( 1 ) n a n 1 2
， n
特别地 a x 2 b x c 0(a 0 )，x1 , x 2 为其根，
作对称多项式 f2f12 3x1x2x3
令 331 1 12 1 13 1 0 3 3
于是 f3f23 0
所以， f1 2 3 1 331233
§1.11 对称多项式
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14
附：对于齐次对称多项式还可以采用待定系数法．
待定系数法的一般步骤：
(设 f 是m次齐次对称多项式)
第一步：根据对称多项式 f 首项对应的指数组写出 所有可能的指数组 (k1,k2, ,kn)，且这些指数组满足：
对称多项式的多项式仍为对称多项式． 即， 若 f 1 ,f 2 ,,f m P [ x 1 ,x 2 ,,x n ] 为对称多项式， g(y1,y2, ,ym )为任一多项式， 则
g ( f 1 , f 2 ,, f m ) h ( x 1 , x 2 ,, x n )
是n 元对称多项式．
特别地，初等对称多项式的多项式仍为对称多项式．
2
一、一 元多项式根与系数的关系
——韦达定理
设 f ( x ) x n a 1 x n 1 a 2 x n 2 a n P [ x ]①
若f ( x ) 在 P 上有 n 个根 1,2, ,，n则
f ( x ) ( x 1 ) ( x 2 )( x n )
②
把②展开，与①比较，即得根与系数的关系：
则有
b
c
x1x2a, x1x2a
§1.11 对称多项式
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4
二 、n 元对称多项式
定义 设 f ( x 1 ,, x n ) P [ x 1 ,x 2 ,，,x n ] ,
若对任意 i,j(1i,jn ，)有 f ( x 1 ,, x i ,, x j ,, x n ) f ( x 1 ,, x j ,, x i ,, x n ) 则称该多项式为对称多项式．
．
故存在 hZ， 使 fhfh 1h0
于是 f12h .
这就是一个初等对称多项式的多项式．
§1.11 对称多项式
h
10
说明
上述证明过程实际上是逐步消去首项.
逐步消去首项法的一般步骤：
第一步：找出对称多项式 f 的首项 a x 1l1x2l2 xn ln,
确定它对应的指数组 (l1,l2, ,ln), 则一定有
① k 1k 2 k n; ② k 1 k 2 k n m ; ③ 前面的指数组先于后面的指数组．
§1.11 对称多项式
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15
第二步：对每个指数组 (k1,k2, ,kn)，写出它对应 的初等对称多项式的方幂的乘积：
h
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例1. 把多项式 f 表成初等对称多项式的多项式,
fx1 3x2 3x3 3
解:
f 的首项是
x
3 1
, 它所对应的数组是 (3,0,0),
令
11 30
00 2
3 0
3 1
,
作对称多项式 f 1 :
f1f1 x 1 3x2 3x3 31 3
3 ( x 1 2 x 2 x 2 2 x 1 x 1 2 x 3 x 3 2 x 1 x 2 2 x 3 x 3 2 x 2 ) 6 x 1 x 2 x 3
第一章 多项式
§1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式
§7 多项式函数 §8 复、实系数多项式
的因式分解 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项式
h
1
一、一 元多项式根与系数的关系
二、n元对称多项式 三、一元多项式的判别式
h
§1.11 对称多项式
h
7
2．对称多项式基本定理
对任一对称多项式 f(x1, ,xn), 都有 n元多项式
(y1,y2, ,yn),使得
f ( x 1 ,, x n ) ( 1 ,2 ,,n )
1,2, ,n为初等对称多项式．
§1.11 对称多项式
h
8
证明：设对称多项式 f(x1, ,xn)按字典排列法的
f 1 的首项是 3x12 x2 , 它所对应的指数组是 (2,1,0),
§1.11 对称多项式
hLeabharlann 13令2 31 2 1
1 0 2
3 0312
3 ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 )
3 ( x 1 2 x 2 x 2 2 x 1 x 1 2 x 3 x 3 2 x 1 x 2 2 x 3 x 3 2 x 2 ) 9 x 1 x 2 x 3
如， f( x 1 ,x 2 ,x 3 ) x 1 3 x 2 3 x 3 3
§1.11 对称多项式
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5
下列n个多项式
1 x1x2 xn 2 x1x2 x1x3 xn1xn
n x1x2
xn
称为 n 个未定元 x1,x2, ,xn的初等对称多项式．
§1.11 对称多项式
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性质 1．对称多项式的和、积仍是对称多项式；
l1l2 ln.
第二步：由 f 的首项写出 1 :
a 1
l1 l2 l2 l3 12
ln n
§1.11 对称多项式
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第三步：作 f1f1，并展开化简．
再对 f 1 按一、二、三步骤进行，构造 f 2 :
f2f12
如此反复进行，直到出现 fhfh 1h0 ，则
f12h .
§1.11 对称多项式