全国物理竞赛复赛模拟试题(一)

2015年全国中学生物理竞赛复赛模拟（一）
撰题人：于万堂
一．(素质)（15分）一半径为R的轮子在水平面上以角速度ω作匀速无滑动滚动，在轮上有一质点A以轮心为平衡位置沿其一固定直径做振幅为R，角频率为ω的简谐运动，设t=0时刻质点A恰好在轮与水平面的接触处，相对于xoy系，求：
（1）质点A的运动方程
（3）质点运动轨迹的曲率半径
二．(舒奥)（20分）地球质量为M=5.982410⨯kg ，月球质量为m=7.3kg 2210
⨯,月球中心和地球中心相距m r 801084.3⨯=，万有引力常量2311/1067.6s kg m G •⨯=-
（1） 只考虑地球和月球之间的万有引力，试求月球中心绕地—月系统质心做圆周运动的
周期T 0（以天为单位）
（2） 将中国农历一个月的平均时间记为T （以天为单位），形成T 0和T 之间差异的主要
原因是什么？
（3） 已知月球绕地球运动的轨道平面与地球绕太阳运动的轨道平面几乎重合，某时刻太
阳、地球、月球的相对位置以及地球绕太阳运动的方向如图所示，试在图中画出此时月球绕地—月质心运动的方向，并简叙述原因
（4） 结合生活常识，计算中国农历一个月的平均时间T （以d 为单位）
太阳 地球 月球 C ：地—月系统质心
三．（舒力145）（15分）光滑桌面上有一轻质细杆，杆可以绕着过中心O点的竖直轴无摩擦地转动，有四个质量相同的小球，其中两个分别固定在杆的两端A1A2处，另外两个穿在细杆上可沿杆无摩擦地滑动，他们的位置分别在OA1和OA2的中点。

今使系统在极短的时间内获得绕O轴转动的角速度，而后让其自由运动，可动小球将沿杆朝固定小球撞去，试求动球相对于细杆初始径向加速度与最后和固定球碰前瞬间径向加速度之比。

四．（素质）（15分）三块半径为a的金属板A、B、C平行放置，间距为l(l《a.B板的质量为m，先让B板带上电量Q0，然后用绝缘材料在常温常压下密封，使所围的A和B、B和C 两个区域不漏气，气压均为P0，且A、C板固定不动，B板可以无摩擦地沿轴向移动，把电源两极（电动势为 ，内阻不计）接上A、C系统充电。

试求（1）充电结束后A及C所带电量。

（2）撤除电源后B板做小振动的频率。

五．(素质)（15分）如图，一个装有活门K的真空容器置于压强为p0，温度为T0的大气中，扭开活门后气体迅速冲入容器中，当冲入容器中的气体达到大气压强p0时，立即关闭活门，设容器内的气体在大气中的体积为V0。

求：
（1）冲入容器内气体的内能U和它在大气中的内能U0之差
C的理想气体，求冲入容器内的气体的温度T和体积V （2）若气体是摩尔定容热容量为
V
P0,T0大气
六．（24决）（20分）如图所示，一半径为R、折射率为n g的透明球体置于折射率n0=1的空气中，其球心位于图中光轴的O处，左、右球面与光轴的交点为O1与O2 ．球体右半球面为一球面反射镜，组成球形反射器．光轴上O1点左侧有一发光物点P，P点到球面顶点O1的距离为s ．由P点发出的光线满足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射．1．问发光物点P经此反射器，最后的像点位于何处？
2．当P点沿光轴以大小为v的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以怎样的
速度运动？并说明当球体的折射率n g 取何值时像点亦做匀速运动．
P O1O2
七．(舒奥)（20分）取一个-u 子和氦核组成的类氢原子，-u 子的质量是电子质量的207倍，带电量为-e,氦核的质量是电子的质量的18364⨯倍，带电量为2e ，在实验参考系中所谓“此离子处于静止状态”，意指离子质心处于静止状态，因-u 质量约为氦核质量的1/35（相比之下，电子质量为氦核质量的1/1836），氦核相对质心的运动不宜略去，在质心参考系中，设-u 子和氦核均作圆周运动，由-u 子和氦核构成的系统的动能k E 定义两者的动能之和，后者量子化条件与玻尔氢原子角动量量子化条件相同，即同为：.......3,2,1,2==n h n L π。

将此离子（处于静止状态）基态中，-u 子和氦核的间距（玻尔半径）记为'1R ，基态能量记为'1E ，已知氢原子的基态半径nm R 052.01=，基态能量为,6.131eV E -=试求'1R 和'1E
八．（素质）（25分）设νν和0分别表示静止原子和运动原子发射的光子频率，试证明，它们之间的关系满足：
θννcos 1/-12
20c
v c v -= 其中v 是运动原子的速度，θ为原子运动方向和发光方向的夹角。