必修五数列知识点总结

必修五 数列

★知识梳理

1.数列的前n 项和与通项的公式

①n n a a a S +++=Λ21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()

1(11n S S n S a n n

n .

例1. ①已知下列数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求它们的通项公式n a .

⑴n n S n 322+=； ⑵13+=n n S .

②设数列{}n a 满足21*12333...3,.3

n n n

a a a a n N -++++=∈，则n a =

③数列{}n a 中，)(2

321+∈=⋅⋅N n n a a a a n Λ，求53a a +的值.

④已知数列{}n a 的首项11

2

a =，其前n 项和()21n n S n a n =≥．求数列{}n a 的通项公式．

⑤设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=5

5b a .

2. 数列的单调性

①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.

2010-2011海淀区高三年级期中

已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n ++++=-=L L （I ）求123,,a a a 的值；

（Ⅱ）求证：数列{1}n a -是等比数列；

（Ⅲ）令(2)(1)n n b n a =--（1,2,3...n =），如果对任意*n N ∈，都有21

4

n b t t +≤，求实数t 的

取值范围.

2.等差数列知识点 通项公式与前n 项和公式

⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差. ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=

或d n n na S n )1(2

1

1-+=.

等差中项:如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.

即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列. 等差数列的判定方法

⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列. ⑶()n a an b =+一次)⇔{}n a 是等差数列

⑷2()n S An Bn =+数项为常0的二次⇔{}n a 是等差数列

等差数列的常用性质

⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；

⑵等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即Λ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd . ⑶d m n a a m n )(-+=；

⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；

⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n S n 是等差数列；

例2.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n n

S b n

n .求证：数列{}n b 是等差数列.

等差数列的前n 项和n S 的最值问题

⑴若n S d a ,0,01<>有最大值，可由不等式组⎩⎨⎧≤≥+00

1n n a a 来确定n ；

⑵若n S d a ,0,01><有最小值，可由不等式组⎩⎨⎧≥≤+00

1n n a a 来确定n .

例2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n . ⑴求数列{}n a 的通项公式；

⑵数列{}n a 中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由.

3.等比数列知识点 通项公式与前n 项和公式

⑴通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 . ⑵前n 项和公式： ①当1=q 时，1na S n =

②当1≠q 时，q

q

a a q q a S n n n --=--=11)1(11.

等比中项

如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.即：G 是a 与b 的等，，，，中项⇔a ，

G ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2. 等比数列的判定方法 ⑴定义法：

q a a n

n =+1

（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：22

1++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列. 等比数列的常用性质

⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列； ⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即Λ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为k q .

⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n

⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；

⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列. 例3.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 .

4.数列的通项的求法

⑴利用观察法求数列的通项.

⑵利用公式法求数列的通项：①⎩⎨⎧≥-==-)

2()

111n S S n S a n n n （；

⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+ ⑷构造等差、等比数列求通项：

①

q pa a n n +=+1； ②n n n q pa a +=+1；

③1

1n n n a a ka b

--=

+

例4.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)(3,11++∈+==N n S a a a n n n ，设n n n S b 3-=， 求数列{}n b 的通项公式．