《等差数列的前n项和》课件(全国讲课比赛一等奖)教学文案

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等差数列的前n项和全国讲课比赛一等奖PPT课件

思考：问1+2+3+4+…+n=?
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一、情境导入
思考：问1+2+3+4+…+n=?
sn = 1 + 2 + … +(n-1)+ n sn = n +（n-1）+ … + 2 + 1
2 sn =（n+ 1）+ （n+ 1） +…+（n+ 1） =n(n+1)
(n 1) n
Sn
2
Sn =？
4a1
4 (4 1)d 2
20
da1
2 2
an 2n
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三、探究深化
例4.在等差数列{an}中，满足a4=7,求S7.
解:
S7
7(a1 2
a7 )
a1 a7 2a4
7 2a4 2
7a4
49
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四、总结反思
1.本节课学到了哪些知识？ 2.你觉得本节课的难点是什么？ 3.高斯的故事对你有什么启发？
Sn=a1+a2+a3…+an-1+an
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二、学导结合若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*), 则 am +an =ap+aq 设等差数列{an}的前n项和为Sn， Sn=a1+a2+a3…+an-1+an .求Sn
Sn = a1 +a2 +a3 +…+an-2 + an-1 + an
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《等差数列的前n项和》课件(全国讲课比赛一等奖)

数列定义
数列是由一系列数字按照一定顺序排列而成的集合。
数列的元素
数列中的每个数字称为数列的元素。元素的位置用自然数表示。
通项公式
通项公式是根据数列的特点和规律，通过公式来表示数列中的任意一项。
等差数列的特点和公式
等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差恒定的数列。在这个部分中，我们将研究等差数列的特点和等差数列公式，以及如何判断一个数列是否为等差数列。
《等差数列的前n项和》课件（全国讲课比赛一等奖）
欢迎大家来到我的《等差数列的前n项和》课件！在这个课件中，我们将探索数列的定义、等差数列的特点和公式、等差数列的前n项和公式，以及一些例题和实际应用。
数列的定义
数列是由一系列数字按照一定顺序排列而成的集合。在这个部分中，我们将学习数列的定义、数列的元素和通项公式，以及如何表示一个数列。
总结与展望
通过本课件，我们学习了等差数列的定义、特点和公式，推导了等差数列的前n项和公式，并应用到了实际问题中。希望大家能够通过本课件加深对等差数列的理解，并能够灵活运用等差数列的知识。
1
等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn表示前n项和，a1表示第一项， an表示第n项。
2
证明前n项和公式
我们可以通过数学归纳法来证明等差数列的前n项和公式。
3
具体例题演示
让我们通过一些具体的例题来加深对等差数列的前n项和公式的理解。
应用实例
等差数列的特点
等差数列的每一项与前一项之间的差恒定。
等差数列的公式
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。

《等差数列的前n项和》课件(全国讲课比赛一等奖)

对学生的答疑解惑
01
解答学生在学习过程中遇到的疑惑和问题，帮助他们更好地理解和掌握等差数列的前n项和。
02
针对学生的不同学习需求和问题，提供个性化的指导和建议。
下节课预告：等差数列的性质探究
• 预告下节课的学习内容，引导学生对等差数列的性质进行探究和思考，激发他们的学习兴趣和好奇心。
THANKS。
详细描述
首先，将等差数列的项倒序排列，然后将其与原数列相加。由于倒序数列与原数列的对应项相加都等于同一个常数（等差数列的首项加末项），因此，这些相加的结果都相互抵消，除了第一项和最后一项。因此，等差数列的前n项和可以通过求第一项和最后一
项的和，然后乘以项数n再除以2来得到。
错位相减求和
总结词
错位相减法是一种通过将等差数列的每一项乘以一个递增或递减的系数，然后求和来找到等差数列的和的方法。
等差数列的前n项和公式的扩展
推广到等差数列的任意项和
总结词
等差数列的任意项和公式是等差数列前n项和公式的一种扩展，它可以计算等差数列中任意一项的值。
详细描述
等差数列的任意项和公式是基于等差数列的通项公式和前n项和公式推导出来的。通过设定等差数列的首项、公差以及项数，可以计算出任意一项的值。这个公式在解决一些数学问题时非常有用，特别是那些需要精确计算等差数列中某一项的值的问题。
要点二
详细描述
首先，将等差数列的每一项拆分成两个部分，通常是一个常数和一个递增或递减的等差数列。然后，将这些拆分后的项重新组合成新的数列，并求和。由于相邻的拆分项会相互抵消，因此最后只剩下首项和末项的和。因此，等差数列的前n项和可以通过求首项和末项的和，然后乘以项数n再除以2来得到。

等差数列的前n项求和公式市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

1指出S1，S2 S12中哪个最大，并说明理由；
2求公差d的取值范围.
解：1 S12
0, S13
0
aa76
a7 a7
0 0
a6 a7
0 0
S6最大
2
1212 1312
2d 2d
66d 78d
0 0
24 d 3 7
练习
1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S20 2、一种项数为36旳数列旳前四项和是21，后四项和是67，求这个数列旳和。 3、{an}是等差数列，S10>0,S11<0,则求使an<0旳n旳最小值
根据等差数列旳前n项求和公式
Sn
n
a1
nn 1
2
d
得
SS20102100aa1 12100222100- 11dd
310 1220
解得 a1=4，d=6 将此成果代入上面旳求和公式，得Sn=4n+n(n-1)×3=3n2+n
所以，等差数列旳前n项和旳公式是 Sn 3n2 n
解:根据题意，由7n<100 得 n<100／7
解1： 3a 3d 11a 55d
8a 52d a 13 d 0 d 0
2
Sn
na1
nn 1 d
2
n2
14n 2
d
解2： S3 S11 a1 0
由等差数列构成旳函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
即 n=7
例8.等差数列an 若令A=d/2,B=a1-d/2，则 S=An2+Bn
将等差数列旳前n项和公式写成上述形式,有利于求其前n项和旳极值:

等差数列的前n项和公开课一等奖课件省赛课获奖课件

工具
第二章数列
1．等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于( )
A．5或7
B．3或5
C．7或－1
D．3或－1
解析： Sn＝na1＋2 11＝35.
∴na1＋11n＝70，①
an＝a1＋(n－1)×2＝11.
∴a1＋2n＝13.②
由①②得 a1＝3 或 a1＝－1.故选 D.
工具
第二章数列
设 Sn，Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前 n 项和，当 n≤20 时，Sn′＝－Sn＝－－60n＋nn－ 2 1×3 ＝－32n2＋1223n；8 分当 n>20 时，Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20 ＝－60n＋nn－ 2 1×3－2×－60×20＋20×2 19×3 ＝32n2－1223n＋1 260.10 分
2.2.3 等差数列的前n项和
工具
第二章数列
第1学时等差数列的前n项和
工具
第二章数列
工具
第二章数列
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程． 2.掌握等差数列前n项和公式并应用公式解决实际问题． 3.纯熟掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中的三个求另外的两个.
工具
第二章数列
2.已知等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13， (1)求公差d的值； (2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值．
解析：(1)由 11a5＝5a8－13 得 11(a1＋4d)＝5(a1＋7d)－ 13
∵a1＝－3，∴d＝59.
工具
第二章数列
(2)an＝a1＋(n－1)d＝－3＋(n－1)×59 令 an≤0 得 n≤352 ∴a1<a2<…<a6<0<a7<…. ∴Sn 的最小值为 S6＝6a1＋6×2 5d＝6×(－3)＋15×59＝－239.

等差数列的前n项和市公开课一等奖省优质课获奖课件

157
39 2
(b1
b39
)
S39
354
【小结】若两个等差数列{an}与{bn}前n项和
分别为Sn、Sn，则 an:bn= S2n -1: S2n-1 . 第14页
例4.在等到差数列｛an｝中，a6+a9+a12+a15=20, 求S20 解：∵a6+a15=a9+a12=a1+a20 • ∴a1+a20=10 • ∴S20=(1／2)(a1+a20) ×20=100
知识回顾
{an}为等差数列 an+1- an=d
an= a1+(n-1) d
更普通情形，an= am+(n - m)，d d=
an am nm
a、b、c成等差数列 b为a、c 等差中项
b a c 2b= a+c
2
在等差数列{an}中，由 m+n=p+q,m,n,p,q∈N★
am+an=ap+aq
偶数项和为 15，求 a 1、d。
由题
aa12
a3 a4
a5 a6
a7 a8
a9 125 a10 15
归纳：等差数列中，
n 为奇数，必有
法一
:
55aa1 1(1(2345678)d9)d
125 15
aa1145dd
25 3
ad1
113 22
___SS_奇_奇__S_S_偶偶___na_a_nn2_21_1 n 为偶数，必有
法二 : a8
a8
2
a8
a1 a15 2
=6
归纳：选取中项求等差数列前 n 项之和 S n

3.3等差数列前n项和公式省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件

7,27, 37, 47, , 14 7,
即 7，14，21，28，…，98
这个数列是成等差数列，记为 an
a1 7, a14 98, n 14
S14
14 (7 98) 2
735.
Sn
n（a1 2
an )
答：集合M共有14个元素，它们和等于735.
第8页
等差数列前n项和练习1
S 1. 依据以下条件，求对应等差数列 an
C组: 在等列前多少项和最大?
第16页
数列{an}前n项和Sn=100n-n2 (n∈N*) (1)判断数列{an}是什么数列? (2)设bn=│an│,求数列{bn}前n项和.
第17页
第18页
第19页
第20页
A ab 2
第3页
高斯求和故事
等差数列 1,2,…50,51,…100和
Sn=1+2+…+100
1+100=2+99=3+98=…=50+51=101
Sn=
100 •101 2
=5050
第4页
等差数列前n项和公式推导
等差数列 a1, a2 , a3 , …，an , …，前n项和
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
n
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10
10 (5 95) 2
500.
Sn
n（a1 2
an )
(2)a1 100, d 2, n 50;
5（ 0 50 1)
Sn
na1
n（n 2
1)
d
S50 50 100
2

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

公式2
$S_n = na_1 + frac{n(n-1)}{2}d$。
公式3
$S_n = frac{d}{2}n^2 + (a_1 - frac{d}{2})n$。
公式证明
证明1
利用等差数列的定义和性质，通过数学归纳法证明。
证明2
利用等差数列的通项公式，通过代数运算证明。
证明3
利用二次函数的性质，通过配方法证明。
险费等经济指标。
Байду номын сангаас
会计
在会计中，等差数列前n项和用于计算成本、收入、利润等财务
数据。
统计学
在经济统计学中，等差数列前n 项和用于分析经济数据，如计算
GDP、CPI等经济指标。
04 等差数列前n项和的变式与拓展
CHAPTER
变式公式
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中$a_1$是首项，$d$是公差。
公式推导
01
02
03
定义首项和公差
设等差数列的首项为a1，公差为d。
计算前n项和
前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中n 为项数。
推导过程
通过等差数列的性质，将前n项和表示为首项、公差和项数的函数，再化简得到最终公式。
公式应用
解决实际问题
验证结果
等差数列的前n项和公式在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算存款利息、评估投资回报等。
03 等差数列前n项和的应用
CHAPTER
在数学中的应用
数学证明
等差数列前n项和公式是数学中常用的工具，用于证明各种数学定理和性质，如等差数列的性质、求和公式等。

《等差数列前n项和的性质》课件教学文案

2．若一个等差数列{an}的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )
A．13项
B．12项
C．11项
D．10项
解析： a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，所以 3(a1＋an)＝180，即 a1＋an＝60. 由 Sn＝390，知na12＋an＝390，所以n×260＝390，解得 n＝13.故选 A. 答案： A
故此数列的前 110 项之和为－110.
方法二：设 Sn＝an2＋bn，∵S10＝100，S100＝10，
∴110020a2＋a＋101b0＝0b1＝0010 ⇒ab＝＝－ 1110111010
，
∴Sn＝－11010n2＋11101n，
∴S110＝－11010×1102＋11101×110＝－110.
已知数列{an}为等差数列，其前12项和354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27，求这个数列的通项公式．
利用等差数列前n项和公式列方程组求解或根据等差数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等差数列求解．
[规范作答] 方法一：由等差数列的性质可知奇数项 a1， a3，a5，…，a11 与偶数项 a2，a4，a6，…，a12 仍然成等差数列，2 分
设{an}的首项为 a1，公差为 d，则 S 偶＝a2×6＋6×2 5×2d＝6a1＋36d，4 分 S 奇＝a1×6＋6×2 5×2d＝6a1＋30d，6 分
12a1＋66d＝354， ∴66aa11＋＋3360dd＝3227，
解得ad1＝＝52.， 10 分
∴an＝a1＋(n－1)d＝5n－3.12 分方法二：设奇数项与偶数项的和分别为 S 奇，S 偶，