万有引力定律期末复习讲义

万有引力定律期末复习讲义

第1节 开普勒行星运动定律和万有引力定律

【概念·公式·定理】——基础不牢·地动山摇 一、开普勒行星运动定律

1．第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

2．第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。[注1] 3．第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。 二、万有引力定律[注2]

1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比。

2．表达式：F ＝G m 1m 2r 2，G 为引力常量，其值为G ＝6.67×10－

11 N·m 2/kg 2。

3．适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球球心间的距离。 三、经典时空观和相对论时空观 1．经典时空观[注3]

空间、时间是独立于物体及其运动而存在的。 2．相对论时空观

物体占有的空间以及物理过程、化学过程，甚至还有生命过程的持续时间，都与它们的运动状态有关。

[注解释疑]

[注1] 面积定律是对同一个行星而言的，不同的行星相等时间内扫过的面积不等。由面积定律可知，行星在近日点的速度比它在远日点的速度大。 [注2] 万有引力定律的“三性”

(1)普遍性：任何有质量的物体间都存在万有引力。 (2)相互性：两物体间的万有引力是一对作用力与反作用力。

(3)宏观性：只有质量巨大的天体间或天体与其附近物体间的万有引力才有实际的物理意义。 [注3] 经典力学——牛顿运动定律的适用范畴。

[深化理解]

1．开普勒行星运动定律既适用于行星绕太阳运动，也适用于卫星绕地球运动。 2．不考虑地球自转时，地球表面上的重力加速度g ＝

GM

R 2

。 3．地球赤道上的物体随地球自转的向心力由万有引力与支持力的合力提供，而地球表面附近做匀速圆周运动的卫星由万有引力提供向心力。

4．在计算中心天体密度时，要注意区分中心天体的半径R 和环绕天体的轨道半径r 。 【题型·考法·技巧】——重点难点厘清·能力大增

考点一 开普勒行星运动定律

1．[对开普勒行星运动定律的理解]

对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法正确的是( )

A ．开普勒通过自己长期观测，记录了大量数据，通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律

B ．根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨迹是圆，太阳处于圆心位置

C ．根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大；距离太阳越远，其运动速度越小

D ．根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比 2．[对开普勒第二定律的理解及应用]

(多选)(2017·全国卷Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N

的运动过程中( )

A ．从P 到M 所用的时间等于T 04

B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大

C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小

D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 3.[开普勒第三定律的应用]

(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍。P 与Q 的周期之比约为( ) A ．2∶1 B ．4∶1 C ．8∶1

D ．16∶1 [老师点评]

(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。

(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。

(3)开普勒第三定律a 3

T

2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同。

考点二 天体质量和密度的计算

1．“自力更生”法(g －R)

利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。 (1)由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2

G 。

(2)天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g

4πGR

。

(3)GM ＝gR 2称为黄金代换公式。

2．“借助外援”法(T －r)

测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和半径r 。 (1)由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得天体的质量M ＝4π2r 3

GT

2。

(2)若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43

πR 3＝3πr 3

GT 2R 3

。

(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3π

GT 2，可见，只要测出

卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。

[典例] 1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G ，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，地球上一个昼夜的时间为T 1(地球自转周期)，一年的时间为T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离为L 1，地球中心到太阳中心的距离为L 2。下列说法正确的是( ) A ．地球的质量m 地＝GR 2g

B ．太阳的质量m 太＝4π2L 23

GT 22

C ．月球的质量m 月＝4π2L 12

GT 12

D ．由题中数据可求月球的密度 [延伸思考]

(1)由题中数据可以求出地球的平均密度吗？ (2)由题中数据可以求出太阳的平均密度吗？ 1．[对天体质量的计算方法的理解]

(2017·北京高考)利用引力常量G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( ) A ．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)

B ．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期

C ．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离

D ．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 2．[天体密度的计算]

(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms 。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11

N·m 2/kg 2。以周期T

稳定自转的星体的密度最小值约为( ) A ．5×109 kg/m 3 B ．5×1012 kg/m 3 C ．5×1015 kg/m 3

D ．5×1018 kg/m 3

3．[“借助外援”法计算天体的质量]