高三数学简单几何体的表面积与体积PPT教学课件

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8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)

(1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？ (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－－－－－－－－－－教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A

《简单几何体的表面积与体积》立体几何初步PPT课件(棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积)

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体的表面积与体积的求法．
2.会求与多面体相关的组合体的表面积与体积.
直观想象逻辑推理数学运算数学建模
必修第二册·人教数学A版
课前 • 自主探究
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课堂 • 互动探究
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课时 • 跟踪训练
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数学人教A版(2019)必修第二册8.3简单几何体的表面积与体积(共37张ppt)

内容索引
【解析】由题意，知 V 长方体 ABCD－A′B′C′D′＝1×1×0.5＝12(m3)， V 棱锥 P－ABCD＝13×1×1×0.5＝16(m3)，所以这个漏斗的容积 V＝12＋16＝23≈0.67(m3)．
内容索引
1. 常见的求几何体体积的方法： ①公式法：直接代入公式求解；②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可；③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 2. 求几何体体积时需注意的问题：柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
第八章立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积
棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念
1. 阅读课本，了解多面体的表面积的概念：
【解析】多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．思考1►►► 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？【解析】棱柱的侧面展开图是几个平行四边形，棱锥的侧面展开图是几个三角形，棱台的侧面展开图是几个梯形．它们的表面积是上、下底面面积与侧面展开图的面积的和．
内容索引
注意：棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离．棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离．
内容索引
思考2►►► 观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式 V 棱柱＝Sh，V 棱锥＝13Sh，V 棱台＝13h(S′ ＋ S′S＋S)，它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？

高中数学一空间几何体空间几何体的表面积与体积球的体积和表面积PPT课件

答案：D
类型 3 球的简单切、接的问题(互动探究)
[典例 3] (1)一球与棱长为 2 的正方体的各个面相切，则该球的体积为________．
(2)正方体的表面积是 a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________．
解析：(1)依题意，2R＝2，所以 R＝1. 所以球的体积 V 球＝43π×13＝43π. (2)正方体内接于球，则正方体的对角线是球的直径．设球的半径是 r，则正方体的对角线长是 2r. 依题意，2r＝ 3× a62，即 r2＝18a2.
[自主解答] (1)设点 C 到平面 OAB 的距离为 h，球的半径为 R.
由于∠AOB＝90°，所以 VO ABC＝VC AOB＝13S△AOB·h＝16R2h.
要使三棱锥 O-ABC 的体积最大，则 h＝R. 因此16R3＝36，所以 R＝6，故球 O 的表面积 S 表＝4πR2＝144π. 答案：C
A．1 倍 B．2 倍 C．3 倍 D．4 倍解析：设三个球的半径分别为 x，2x，3x，则最大球的半径为 3x，其体积 V＝43π·(3x)3＝36πx3.
又其余两个球的体积之和为43πx3＋43π·(2x)3，所以43π·(3x)3÷43πx3＋43π·（2x）3＝3. 答案：C
SUCCESS
r＝ 3，故球的体积 V 球＝43πr3＝4 3π.
归纳升华 1．处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
2．解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来解决．

人教版数学必修二空间几何体的表面积和体积(共82张PPT)

①直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c，则
S直棱柱侧＝ .（类比矩形的面积）
ch
②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么
S圆柱侧＝ .（类比矩形的面积） 2πrl
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？
侧面积怎么求？
h
cb
a
h
a
Байду номын сангаас
h
bc
S 直棱＝拄 a （侧 bc)hch
• 侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和（除去
底面）
2022年9月22日星期四9时44分23秒云在漫步
棱柱、棱锥、棱台的侧面积
• 侧面积所指的对象分别如下： • 棱柱----直棱柱。 • 棱锥----正棱锥。 • 棱台----正棱台
2022年9月22日星期四9时44分24秒云在漫步
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是
(1)求此正三棱柱的侧棱长； (2)正三棱柱ABC－A1B1C1的表面积．
【思路点拨】 (1)证明△AED为直角三角形，然后求侧棱长；(2)分别求出侧面积与底面积．
【解】 (1)设正三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱长
为 x.
∵△ABC 是正三角形，
∴AE⊥BC.
又底面 ABC⊥侧面 BB1C1C，且交线为 BC，
那么它的体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
和高，再根据体积公式求出其体积. 2、对应的面积公式
V台体= 如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。
知能迁移2 已知球的半径为R，在球内作一个内把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？设H为正△ABC的中心，

课件2：简单几何体的表面积和体积

高
自
考
主落
1．(人教 A 版教材习题改编)已知圆锥的表面积为 a m2，体验
实且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是 ·
·
明
固( )
考
基
础
a
3πa
2 3πa
情
2 3a
A.2
B. 3π
C. 3π
D. 3π
【解析】设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，由题意
知 2πr＝πl，∴l＝2r，
明考
基
情
础某一个面上．
2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转
化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方
典例
法．
课
探究
3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥
后作
·
业
提知
的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利
能用“等积法”可求“点到面的距离”．
菜单
典
例探究
则圆锥的表面积 S 表＝πr2＋2πr2＝a，∴r2＝3aπ，∴2r＝
课后
作
· 提知
2 3πa 3π .
业
能
【答案】 C
菜单
91淘课网 ——淘出优秀的你
自
主落
(
实
·
固
基
础
2．正六棱柱的高为 6，底面边长为 4，则它的全面积为
高考
)
体
A．48(3＋ 3)
B．48(3＋2 3)
验 ·
菜单
91淘课网 ——淘出优秀的你
【尝试解答】 (1)由三视图知，该几何体的上面是一个高

立体几何简单几何体的表面积和体积PPT课件

• (1)证明：EF∥平面PAD； • (2)求三棱锥E－ABC的体积V.
第19页/共60页
• 分析：(1)由E、F为中点易想到中位线获证． • (2)求三棱锥E－ABC的体积，由于△ABC面积易求，需看E到平面ABC的距
离是否可求，注意到 E 为 P B 中点， PA ⊥ 平面 A B C D ，因此只需取 A B 中点 G ，则EG为高，或由E为PB中点知，E到平面ABC的距离等于P到平面ABC的距离的一半．而 P 到平面 A B C 的距离为 PA ，也可获解． • 解析：(1)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点， • ∴EF∥BC. • 又BC∥AD，∴EF∥AD， • 又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD， • ∴EF∥平面PAD.
(3)如果正棱台的上、下底面的周长是 c′、c，斜高是 h′，那么它的侧面积是 S 正棱台侧＝12(c＋c′)h′
第2页/共60页
• (4)棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和；棱锥的全面积等于底面积与侧面积的和；棱台的全面积等于侧面积与两底面积的和．
• 5．祖暅原理的应用：等底面积、等高的柱体(或锥体)体积相等． • 6．柱体体积V柱＝Sh.特殊地，圆柱体积V＝πr2h.
• 答案：B • 点评：不要将左视图的面积与三棱柱一个侧面的面积混淆.
第18页/共60页
• [例2] (2010·陕西文)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形， PA ⊥ 平面 A B C D ， A P ＝ A B ， B P ＝ B C ＝ 2 ， E ， F 分别是 P B ， P C 的中点．
答案：C
第16页/共60页
(理)(2010·北京西城抽样)如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2，且侧棱 AA1⊥底面 ABC，其正(主)视图是边长为 2 的正方形，则此三棱柱侧(左)视图

2023高考数学基础知识综合复习第18讲简单几何体的表面积与体积课件(共24张PPT)

分叫作棱台
(2)旋转体的形成
几何体
旋转图形
圆柱
矩形
旋转轴
矩形一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一直角边所在的直线
圆台
直角梯形或等腰梯形
球
半圆或圆
直角腰所在的直线或等腰梯形
上下底中点连线所在的直线
直径所在的直线
2.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其画法步骤为:
①画轴:在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴
3
4
3 = .故选 D.
考点一
考点二
考点三
本题考查四面体的体积的最大值的求法,涉及空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于难题.处理
此类问题时,往往先去找到不变的量,再根据题中的所给条件的变
化规律找到最值,从而得到体积的最值.
和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°);
②画线(取长度):平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画出与x'轴
平行(或重合)的线段,且长度不变,平面图形中与y轴平行(或重合)的
线段画出与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半;
③连线(去辅助线):连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
径,从而进一步求解.
考点一
考点二
考点三
◆角度3.体积最值问题
例5(1)(2019年1月浙江学考)如图,线段AB是圆的直径,圆内一条动
弦CD与AB交于点M,且MB=2AM=2,现将半圆沿直径AB翻折,则三
棱锥C-ABD体积的最大值是(
)
2
3
1
3
A.

高中数学《简单几何体的表面积与体积》导学课件北师大版必修2课件

.. 导. 学固思
4.如图是一个圆台的侧面展开图,根据图中数据求这个圆台的表面积和体积.
【解析】设圆台的上底半径为 r,下底半径为 R. 由图知母线 l=8, 2 π r= ×16,2π R= ×24,
��
��
2
��
3
��
��× �� × ��
2
=12.
所以球的表面积 S=4π R =4π ×144=576π (平方厘米 ).
.. 导. 学固思
棱柱、棱锥、棱台的体积与表面积已知棱长为 5,底面为正方形,各侧面均为正三角形的四棱锥,求它的表面积与体积.
��
因此 , 三棱锥 C-A'DD'的体积 VC-A'DD'= × Sh= Sh.
��
��
��
��
剩余部分的体积是 Sh- Sh= Sh.
��
��
��
所以三棱锥 C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为 Sh∶ Sh=1∶5.
��
2 2
��
2
��
π.
.. 导. 学固思
如图所示,在长方体 ABCD-A'B'C'D'中,用截面截下一个三棱锥 C-A'DD',求三棱锥 C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比.

高考数学高中复习8.2《简单几何体的表面积与体积》知识点讲解PPT课件

第2节简单几何体的表面积与体积
【教材回扣】
1．简单几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环 (3)若圆柱、圆锥的底面半径为 r，母线长 l，则其表面积为
S 柱＝2πr2＋2πrl，S 锥＝πr2＋πrl (4)若圆台的上下底面半径为 r1，r2，母线长为 l，则圆台的表面积为 S＝ π(r12＋r22)＋π(r1＋r2)l (5)球的表面积为 4πR2 (球半径是 R)．
二、易错易混 3．圆柱的侧面展开图是边长为 6π 和 4π 的矩形，则圆柱的表面积为( ) A．6π(4π＋3) B．8π(3π＋1) C．6π(4π＋3)或 8π(3π＋1) D．6π( 解析：设圆柱的底面半径为 r，分两种情况．①若 6π＝2πr，r ＝3，∴圆柱的表面积为：4π×6π＋2πr2＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)． ②若 4π＝2πr，r＝2，∴圆柱的表面积为：4π×6π＋2×πr2＝24π2 ＋8π＝8π(3π＋1)，故选 C.
三、走进高考 5．[2018·全国Ⅰ卷]已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1、 O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A．12 2π B．12π C．8 2π D．10π
答案：B 解析：设圆柱的底面半径为 r，高为 h，由题意可知 2r＝h＝2 2， ∴圆柱的表面积 S＝2πr2＋2πr·h＝4π＋8π＝12π，故选 B.
答案：C 2
解析：底面半径 r＝32ππl＝13l，故圆锥中 S 侧＝13πl2，S 表＝13πl2＋π13l 2＝49πl2，所以表面积与侧面积的比为 4:3.
2．[2019·江苏卷]如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 的体积是 120， E 为 CC1 的中点，则三棱锥 E－BCD 的体积是________．

简单几何体的表面积与体积_课件

总结
旋转体的面积和体积公式
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
V
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，x、x分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径
棱柱体积
长方体体积：正方体体积：
底面积高
棱柱体积
（其中S为底面面积，h为柱体的高）
棱锥体积（底面积S，高h）
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离。
棱锥体积（底面积S，高h）
棱锥的体积公式：
（其中S为底面面积，h为高）
类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积。如图把球O的表而分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”。当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径R.设 O-ABCD是其中一个“小锥体”，它的体积是
圆台的侧面展开图是扇环
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
r’ ＝r
上底扩大
r’ ＝0
上底缩小
圆柱、圆锥和圆台的表面积
理解并掌握圆柱、圆锥和圆台的表面积公式能够根据公式进行求值
圆柱体积
h
圆锥体积
h
（其中S为底面面积，h为高）
圆台体积
上下底面积分别是s',s,高是h，则
某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被酸正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？
求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面
积. 提示：侧面均为矩

高中数学人教A版必修第二册简单几何体的表面积与体积课件1

一、探究棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体的各个面的面积之和．
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
比如，若四面体P-ABC的各棱长均为a，则它
的表面积为___3_a__2 __．
一、探究棱柱、棱锥、棱台的表面积
问题2 将棱长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′，沿平面
AB′D′截去三棱锥A′- AB′D′后，所得几何体的表面积如何
计算？
D
C
是直接将两个几何体的面积相减吗？
A
S =S正方体 S A ABD 2SABD
D
B C
A
B
二、探究棱柱、棱锥、棱台的体积
问题3 我们之前已经学习长方体的体积公式
V长方体 abc ，其中a，b，c分别是长方体的长、宽、高．它的一种等价表述形式是 V长方体 Sh ，其中S是长方体的底面积，h是长方体的高．那么，公式 V Sh 是否
将原棱锥和被截去的棱锥的体积作差，即可得到棱台的体积．
V 1 h S SS S 3
其中，S′，S分别为棱台的上下底面面积，h为棱台的高．
高中数学人教A版（2019）必修（第二册)8.3 简单几何体的表面积与体积 1课件( 共20张 PPT)
高中数学人教A版（2019）必修（第二册)8.3 简单几何体的表面积与体积 1课件( 共20张 PPT)
三、建立联系，整体认识
问题6 请大家观察棱柱、棱锥、棱台体积公式，它们之间有什么联系？你能结合棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
V棱柱 =Sh
S =S
1
V棱台 3 h S
S =0
SS S
V棱锥

空间几何体的表面积和体积教学ppt课件

2. 求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公
式v=3 Sh进行计算即可.常用方法为：割补法和等体积变换法：
(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积.
(2)等体积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面. ① 求体积时，可选择容易计算的方式来计算； ② 利用“等积性”可求"点到面的距离".
5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是
正视图
侧视图
俯视图
解析：此几何体为一圆锥与圆柱的组合体. 圆柱底面半径为r=a, 高为h₁=2a, 圆锥底面半径为r=a, 高为h₂=a . 故组合体体积为V=πr²h₁+
答案：
慎
KAODIAN
TUPO
JIEJIE
GAO
考点一
多面体的表面积
则三棱锥D-ABC 的体积为
()
A.
B.
C. a3
D.
解析：设正方形ABCD的对角线AC、BD 相交于点E, 沿AC折起后依题意得，当
BD=a 时，BE⊥DE, 所以DE⊥平面ABC, 于是三棱锥D-ABC 的高为DE=
a, 所以三棱锥D-ABC 的体积
答案： D
4.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为解析：正方体的体对角线为球的直径. 答案： 27π
2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.
例 3 如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，
旋转一周得到一几何体，求该几何

第七章第二节空间几何体的表面积和体积46页PPT文档

3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°， E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使 A、B重合，求形成三棱锥的外接球的体积．
解：如图，把正四面体放在正方体中．显然，正四面体
的外接球就是正方体的外接球．
∵正四面体棱长为1，
∴正方体棱长为
∴外接球直径2R=
第二节空间几何体的表面积和体积
柱、锥、台和球的侧面积和体积
圆柱圆锥
面积 S侧＝ 2πrh S侧＝ πrl
圆台
S侧＝ π(r1＋r2)l
体积
面积
直棱柱 S侧＝
正棱锥 S侧＝
正棱台 S侧＝
球
S球面＝
体积
对于不规则的几何体应如何求其体积？提示：对于求一些不规则几何体的体积，常用割补的方法，转化为已知体积公式的几何体进行解决.
结合图形，确定球心与径，代入表面积公式.
【解析】设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，
则O在底面ABC上的射影是点M，在△ABC中，AB＝AC＝2，
∠BAC＝120°，∠ABC＝ (180°－120°)＝30°，AM＝
＝2.因此，R2＝22＋
＝5，此球的表面积等于
4πR2＝20π.
【答案】 20π
解析：设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则
∴体积V＝xyz＝24. 答案：24
5．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是________．
解析：底面半径是
所以正方形的边长是2π ＝2
2 S 故圆柱的侧面积是(2 )2＝4πS.
答案：4πS
1．多面体的表面积是各个面的面积之和．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形，其表面积为侧面积与底面积之和．

高考数学一轮复习第六章第二讲空间几何体的表面积与体积课件

图 6-2-7
解析：设上部圆柱的体积为 V1，则
V1＝π×322×2
3＝9
3π 2.
设中、下部圆台的体积分别为 V2，V3，则
V2＝31×49π＋841π＋247π×3 3
＝1174 3π，
V3＝31×49π＋841π＋247π× 3
＝39
4
3π .
所以该青铜器的体积为 V＝V1＋V2＋V3＝87 2 3π(cm3).故选 A.
因为R2＋R1＝2l ， R2－R1＝4l ，
所以RR12＝＝8l2－＋88lll82，．
因为 R1>0 且 R2>0，所以 l∈(0，2 2).
设圆台的体积为 V， V＝13(πR21 ＋πR22 ＋ πR21 ·πR22 )·h ＝13(πR21 ＋πR22 ＋πR1R2)·h ＝ 135π(R21 ＋R22 ＋R1R2)·(R2－R1). ＝ 135π34(R2＋R1)2＋14(R2－R1)2(R2－R1)
三棱台 ABC-A1B1C1 的体积记为 V1，三棱锥 B-A1B1C 的体积记为
V2，则VV12＝(
)
图 6-2-4
A.74
B.73
C.72
D.7
解析：∵AB∶A1B1＝1∶2， ∴BC∶B1C1＝1∶2. ∴SBCB1∶SB1C1C ＝1∶2，S△ABC∶SA1B1C1＝1∶4. ∴V A1BCB1∶V A1B1C1C＝1∶2. 设三棱台的上、下底面面积分别为 S 和 4S，高为 h，
【题后反思】(1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和. (3)求组合体的表面积时应注意对衔接部分的处理.
【变式训练】 1.(2023 年宜宾市期末) 在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝2 ，将 △ABC 绕直线 AB 旋转一周，得到的旋转体的表面积为( )

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5. A 解析：如图，设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h. ∵πR=2πr，∴r=R/2,又∵l=R，
h l2r2 R2R2 3R, 42
圆锥的体积 V1R2
3R
3R3
.
3 4 2 24
经典例题
题型一几何体的表面积问题
【例1】 (2010·安徽)一个几何体的三视图如图，该几何体的
棱柱，所以侧面积为3*2*1=6.
3. 12π 解析：V= 4/3πR3=4 3，∴R= 3，
S=4πR2=4π×3=12π.
4. D 解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意
不妨
ab 2，ຫໍສະໝຸດ bc3，解得
ac
6，
a 2，
b
1，
c
3，
所以长方体的对角线长为 a 2 b 2 c 2 2 1 3 6 ，故 2 R 6 .
答案：1. 各侧面面积之和各个面的面积之和 2. 展开图展开图
3. 2πrl 2πr(r+l) πrl πr(r+l) π (r′+r)l π (r′2+r2+r′l+rl)
4. abc a3 πr2h 1/3πr2h 1/3πh(r′2+r′r+r2) 5.4/3πR3 4πR2
基础达标
1. 将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的 ( )
4. 柱、锥、台体的体积 V长方体＝________，V正方体＝________，V柱＝Sh，V锥＝1/3Sh， V台＝1/3(S′＋S＋ )S hS ' . 这是柱体、锥体、台体统一计算公式，特别地，圆柱、圆锥、圆台还可以分别写成： V圆柱＝______，V圆锥＝________，V圆台＝________. 5. 球的体积及球的表面积设球的半径为R，V球＝________，S球＝________.
是
()
A. 4＋ 2
B. 2＋ 2
C. 3＋ 2
D. 6
答案：C
解析：由已知，该几何体是一个正方
体截去一半剩余的部分(截面为
BDD′B′)．
题型二几何体的体积问题
【例2】 (2010·浙江)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，
则此几何体的体积是
()
A. 3 5 2 cm3
3
B. C3m2 0 3
第二节简单几何体的表面积与体积
基础梳理
1. 柱体、锥体、台体的侧面积，就是____________；表面积是____________，即侧面积与底面积之和．
2. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的 ________，它的表面积就是________的面积．
3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积 S圆柱侧＝______________，S柱表＝____________； S圆锥侧＝______________，S锥表＝____________； S圆台侧＝______________，S台表＝____________.
3
C. 2 2 4 cm3 3
D. Cm1 63 30
解：解此几何体为正四棱柱与正四棱台的组合体，
因为V正四棱柱=4*4*2=32(cm3)，
V正四棱台1 3（ 82+42+
8242） 2=224， 3
所以 V32224320（ cm3） .故选 B. 33
变式2－1
(2010·天津)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的
A. 2
B. 3 2
C. 6
D. 6
5. (教材改编题)将半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是
() A. 3 R 3 B.
24
3C.R 3
8
D. 5 R 3
24
5 R3 8
答案：
1. C 解析：由球的体积V= 4/3πR3，知应扩大到原来的8倍．
2. D 解析：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三
表面积是
()
A. 372 C. 292
B. 360 D. 280
解：该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上上面长方体的4个侧面积之和．
S=2*(10*8+10*2+8*2)+2*(6*8+8*2)=36
0，故选B.
变式1－1
(2011·珠海模拟)已知几何体的三视图如图所示，它的表面积
A. 2倍
B. 4倍
C. 8倍
D. 16倍
2. (2010·福建)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所
示，则其侧面积等于
()
A. 3B. 2 C. 2 D. 6 3 3. 若一个球的体积为4 π3 ，则它的表面积为．
4. (教材改编题)一个长方体有共顶点的三个面的面积分别
是 2，3， .则6这个长方体外接球的直径是( )
体积为
．
答案:10/3 解析：由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体．因为正四棱柱的体积为2，正四棱锥的体积为 1/3*4*1=4/3,所以该几何体的体积 V=2+ 4/3=10/3.