直线和圆锥曲线的参数方程

3 3 4 倾斜角为 α，则 tan α＝4，sin α＝5，cos α＝5.又点 P(1，1)在直线 4 x＝1＋5t， l 上，所以直线 l 的参数方程为 (t 为参数). 3 y＝1＋ t 5 因为 3×5－4×4＋1＝0，所以点 M 在直线 l 上. 4 由 1＋5t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点之间的距离公式，可得|PN| ＝ （1＋2）2＋（1－6）2＝ 34.
QM → 动点 M 分有向线段QP的数量比 MP
自主预习
讲练互动
课堂达标
教材链接
2.圆的参数方程 (1)圆心在原点、 半径为 r 为参数).
x＝rcos α， y＝rsin α 的圆的参数方程_____________( α
OP与x轴正方向的夹角 参数 α 的几何意义是_________________________.
x＝t， 得到参数方程 y＝2t＋1
t (t 为参数)；如果令 x＝2，可得到
t x＝ ， 参数方程 2 (t 为参数) y＝t＋1
自主预习 讲练互动 课堂达标 教材链接
这样的参数方程中的 t 不具有一定的几何意义，但是在 实际应用中有时能够简化某些运算.例如，动点 M 做匀 速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和 12，点 M 从 A 点(1，1)开始运动，求点 M 的轨迹的参数 方程.点 M (t 为参数).
【思维导图】
自主预习
讲练互动
课堂达标
教材链接
【知能要点】
1.直线的参数方程.
2.直线的参数方程的应用.
3.圆的参数方程及应用.
自主预习
讲练互动
课堂达标
教材链接
题型一
直线的参数方程 (α 为参数)中，α，x0，y0
x＝x0＋tcos α， 直线的参数方程 y＝y0＋tsin α
都是常数，对于同一直线，选取的参数不同，会得到不同 的参数方程.对于直线普通方程 y＝2x＋1，如果令 x＝t，可
自主预习
讲练互动
课堂达标
教材链接
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为
B1＋ A1＋
3 1 t ，1＋ t1， 2 1 2
3 1 t2，1＋ t2.以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4， 2 2
自主预习 讲练互动 课堂达标 教材链接
π 【例 2】 已知直线 l 经过点 P(1，1)，倾斜角α ＝6， (1)写出直线 l 的参数方程； (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、 B， 求点 P 到 A、 B 两点的距离之积.
3 x＝1＋ 2 t， 解 (1)直线的参数方程是 (t 是参数). y＝1＋1t 2
整理得到 t2＋( 3＋1)t－2＝0.① 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
【反思感悟】 本题P到A、B两点的距离就是参数方程中t的
两个值，可以充分利用参数的几何意义.
自主教材链接
3 x＝－ 3＋ 2 t， 2.已知直线 l： (t 为参数). y＝2＋1t 2 (1)分别求 t＝0，2，－2 时对应的点 M(x，y)； (2)求直线 l 的倾斜角； (3)求直线 l 上的点 M(－3 3，0)对应的参数 t，并说明 t 的几何意义.
§2 直线和圆锥曲线的参数方程
2.1 直线的参数方程 2.2 圆的参数方程
自主预习
讲练互动
课堂达标
教材链接
1.直线的参数方程 (1)经过点 P(x0，y0)、倾斜角是 α 的直线的参数方程为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)①
其中 M(x，y)为直线上的任意一点，参数 t 的几何意义是 → 从点 P 到 M 的位移 _________________，可以用有向线段PM的数量来表示.
x＝1＋9t， 的轨迹的参数方程可以直接写为 y＝1＋12t
自主预习
讲练互动
课堂达标
教材链接
2 x＝－4＋ 2 t， 【例 1】 设直线的参数方程为 (t 为参数)， y＝ 2t 2 点 P 在直线上，且与点 M0(－4，0)的距离为 2，若该直
x＝－4＋t， 线的参数方程改写成 y＝t
了运算，这也正是直线参数方程标准式的优越性所在.
自主预习
讲练互动
课堂达标
教材链接
1.已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1，1)在直线l上， 写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5，4)和点N(－2， 6)的距离.
自主预习
讲练互动
课堂达标
教材链接
解
3 由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为 ，设直线的 4
自主预习
讲练互动
课堂达标
教材链接
(2)经过两个定点 Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中 x1≠x2)的直线的参数
方程为
x＝x1＋λx2， 1 ＋λ (λ 为参数，λ≠－1). y1＋λy2 y＝ 1 ＋λ
其中 M(x，y)为直线上的任意一点，参数 λ 的几何意义是
____________________________________. 当 λ＞0 时，M 为内分点； 当λ ＜0 且 λ≠－1 时，M 为外分点； 当 λ＝0 时，点 M 与 Q 重合.
(t 为参数)，则在这个
方程中点 P 对应的 t 值为________.
自主预习
讲练互动
课堂达标
教材链接
解析 由|PM0|＝ 2知 t＝± 2，代入第一个参 数方程， 得点 P 的坐标分别为(－3， 1)或(－5， －1)，再把点 P 的坐标代入第二个参数方程可 得 t＝1 或 t＝－1.
答案 ±1 【反思感悟】 直线参数方程的标准形式中的参数具有 相应的几何意义，本题正是使用了其几何意义，简化
(2)去掉圆与 x 轴负半轴交点，圆心在原点、半径为 r 的圆
2 （ 1 － k ）r x＝ ， 1＋k2 的参数方程. (k 为参数)参数 k 的几何意义 y＝ 2kr 2 1 ＋ k 直线AP的斜率 是_____________________.
自主预习
讲练互动
课堂达标
教材链接