山西省实验中学2019-2020高三摸底考试理数试卷(附答案解析)

山西省实验中学2020年高三第二学期开学摸底考试
数学试题（理） 第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.，则||z =（ ） A.
14
B.
12
C.1
D.2
2.已知命题2
:,12p x R x x ∃∈+<；命题:q 不等式2210x x -->恒成立，那么命题（ ） A. p 且q 是真命题 B. p 或q 是假命题 C. q 是真命题
D. p ⌝是假命题
3.已知3,2
πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，4sin 5θ=-，则tan 4πθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭（ ）
A.
1
7
B.17
-
C.7-
D.7
4.如图为由三棱柱切割而得到的几何体的三视图，俯视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积为（ ）
正视图 侧视图 俯视图
D.5.某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩()
2~90,N a ξ（0a >，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的3
5
，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A.600
B.400
C.300
D.200
6.某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内为（ ）
A.4?k >
B.5?k >
C.6?k >
D.7?k >
7.将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力、投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有x 种不同的方案，若每项比赛至少要安排一个人时，则共有y 种不同的方案，其中
x y +的值为（ ）
A.1269
B.1206
C.1719
D.756
8.0ω>函数()sin
sin 22
x
x
f x ωπω+=在,43ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增，则ω的范围是（ ） A.20,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B.30,2
⎛
⎤ ⎥⎝
⎦
C.(0,2]
D.[2,)+∞
9.球O 的球面上有四点S 、A 、B 、C ，其中O 、A 、B 、C 四点共面，ABC V 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S ABC -体积的最大值为（ ）
B.
1
3
C.
2
D.
3
10.已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点）.设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（ ）
A.123θθθ剟
B.321θθθ剟
C.231θθθ剟
D.132θθθ剟
11.设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，
1()12x
f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若在区间(-2,6]内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，
则a 的取值范围是（ ） A.(1,2)
B.(2,)+∞
C.
D.2)
12.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的离心率为2，A ，B 为其左右顶点，点P 为双曲线C 在第一象
限的任意一点，点O 为坐标原点，若P A ，PB ，PO 的斜率为123,,k k k ，则123m k k k =的取值范围为（ ） A.(0,8)
B.
C.
D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第23题~第24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.若0
sin a xdx π
=
⎰
，则三项式6
⎛
⎝
的展开式中含x 项的系数是________.
14.若实数x ，y 满足1,
21,.y y x x y m ≥⎧⎪
≤-⎨⎪+≤⎩
如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m =________.
15.已知ABC V 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若其面积2sin S b A =，角A 的平分线AD 交BC 于点D
，3
AD =
，a =b =________. 16.圆心角为120︒的扇形AOB 半径为1，C 为弧AB 的中点，D 、E 分别在OA 、OB 上，若2225
2
CD CE DE ++=，则OD OE +的取值范围是________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 为单调递增数列，n S 为其前n 项和，2
2n n S a n =+.
（1）求{}n a 的通项公式 （2若2112n n n n n a b a a +++=
⋅⋅，n T 为数列{}n
b 的前n 项和，证明：1
2
n T <. 18.（本小题满分12分）
如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，且12AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 、N 分别
是1CC ，BC 的中点，点P 在线段11A B 上，且11A P PB λ=u u u r u u u r
.
（1）求证：不论λ取何值，总有AM PN ⊥.
（2）当1λ=时，求平面PMN 与平面ABC 所成二面角的余弦值. 19.（本小题满分12分）
某企业对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.下图是设备改造前的样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表.
图 设备改造前样本的频率分布直方图
表 设备改造后样本的频数分布表
（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；
（2）根据上图和上表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；
（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元，根据表中的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望. 附：
22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++
20.（本小题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦点1F 的坐标为(,0)c -，2F 的坐标为(,0)c ，且经过点31,2p ⎛⎫
⎪⎝⎭，
2PF x ⊥轴.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设过1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同点，在椭圆C 上是否存在一点M ，使四边形2AMBF 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分） 已知函数2
1()e 2
x f x x ax =-
-有两个极值点1x ，2x （e 为自然对数的底数）.
（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：()()122f x f x +>.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y α
α=+⎧⎨=+⎩
（α为参数），直线2C 的方程为y =.
以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程； （2）若直线2C 与曲线1C 交于A ，B 两点，求
11||||
OA OB +. 23.已知关于x 的不等式|1||4|x x m -+-<的解集不是空集. （Ⅰ）求实数m 的取值范围； （Ⅱ）求函数2
4
()(3)f m m m =+
-取得最小值时的m 的值.
山西省实验中学2020年高三第二学期开学摸底考试
数学试题答案（理）
一、选择题（每小题5分，共60分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.240 14.5 15.1 16.⎣⎦
三、解答题：
17.解：（1）解（1）当1n =时，2
111221S a a ==+，
所以()2
110a -=，即11a =，
又{}n a 为单调递增数列，所以1n a …
， 由22n n S a n =+得2
111n n S a n ++=++， 所以22
11221n n n n S S a a ++-=-+，
则221121n n n a a a ++=-+，所以()2
2
11n n a a +=-.
所以11n n a a +=-，即11n n a a +-=，
所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以n a n =. （2）证明：21112
22(1)
n n n n n n a n b a a n n +++++=
=⋅⋅⋅⋅+
1
112(1)2n n n n +=
-⋅+⋅， 所以1223
1111
12222232
n T =
-+-+⨯⨯⨯⨯ 11111112(1)22(1)22n n n n n n +++-=-<⋅+⋅+⋅L . 18.以A 为坐标原点，分别以AB 、AC 、1AA 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B ，
(0,2,1)M ，(1,1,0)N
1112(2,0,0),0,0111A P A B λλλλλλ⎛⎫=== ⎪+++⎝⎭
u u u r u u u u r
11(0,0,2)AP AA A P =+=+u u u r u u u r u u u r 22,0,0,0,211λλλλ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
11(1,1,0)(0,0,2)PN AN AA A P =--=-u u u r u u u r u u u r u u u r 22,0,01,1,211λλλλ⎛⎫⎛⎫
-=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ （1）∵(0,2,1)AM =u u u u r
∴0220AM PN ⋅=+-=u u u u r u u u r
∴无论λ取何值，AM PN ⊥
（2）1
2λ=
时，(1,0,2)P ∴(0,1,2)PN =-u u u r ，(1,2,1)PM =--u u u u r
而面ABC 的法向量(0,0,1)n =r
，设平面PMN 的法向量为1(,,1)n x y =u r
则11210
20
n PM x y n PN y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u u r
u r u u u r 可取1(3,2,1)n =u r 设α为平面PMN 与平面ABC 所成二面角
∴1212||cos 14
||||n n n n α⋅==⋅u r u u r
u r u u r ∴平面PMN 与平面ABC
所成二面角的余弦值是
14
19.解（1）根据题图和题表得到2×2列联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算得
22
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -==++++2
400(172828192)12.21020020036436
⨯⨯-⨯≈⨯⨯⨯.
∵12.210 6.635>，
∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.
（2）根据题图和题表可知，设备改造前产品为合格品的概率约为17243
20050
=
，设备改造后产品为合格品的概率约为
19224
20025
=
，显然设备改造后产品合格率更高，因此设备改造后性能更优. （3）由题表知，一等品的频率为12，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为1
2
；
二等品的频率为13，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为1
3；
三等品的频率为16，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为1
6
.
由已知得随机变量X 的所有可能取值为240，300，360，420，480（单位：元） 则111
(240)6636P X ==
⨯=
， 1
2111(300)369
P X C ==⨯⨯=，
1
211115(360)263318P X C ==⨯⨯+⨯=，
1
2111(420)233P X C ==⨯⨯=，
111
(480)224
P X
==⨯=.
∴随机变量X 的分布列为
∴数学期望()24030036036918E X =⨯+⨯+⨯42048040034
+⨯+⨯=（元）.
20.解：（1）由题知1c =，
232
b a =，
又因为222a b c =+，所以2a =，b =
所以椭圆的方程为22
143
x y +=. （2）假设存在点()00,M x y ， 当l 斜率不存在时，
1
12FM F F =，2a c c -=，不成立； 当l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y .
联立22
1,43
(1),x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
消去y 得 ()2
2
223484120k x
k x k +++-=，
∵()2
16990k ∆=+>，∴2
122
834k x x k
+=-+， ∴()12122
6234k
y y k x x k
+=++=
+， 则AB 的中点坐标为22243,3434k k k k ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭. AB 与2MF 的中点重合，∴2
02
0214,2343,234x k k y k k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
∴20202123
,346,
34k x k k y k ⎧--=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩代入椭圆的方程22143x y +=化简得428024270k k +-=，解得2920k =
，即
k = ∴存在符合条件的直线l
的方程为1)y x =±+. 21.解：解（1）∵2
1()e 2
x f x x ax =-
-，∴()e x f x x a '=--. 设()e x
g x x a =--，则()e 1x
g x '
=-.
令()10x
g x e '=-=，解得0x =.
∴当(,0)x ∈-∞时，()0g x '
<，函数()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0g x '
>，函数()g x 单调递增. ∴min ()(0)1g x g a ==-.
当1a …时，()()0f x g x '
=…
，函数()f x 单调递增，无极值点；
当1a >时，(0)10g a =-<，且当x →+∞时，()g x →+∞； 当x →-∞时，()g x →+∞.
∴当1a >时，()()x f x g x e x a '==--有两个零点1x ，2x . 不妨设12x x <，则120x x <<.
∴函数()f x 有两个极值点时，实数a 的取值范围是(1,)+∞.
（2）证明：由（1）知，1x ，2x 为()0g x =的两个实数根， 120x x <<，且()g x 在(,0)-∞上单调递减.
下面先证120x x <-<，只需证()20g x -<.
∵()22e 20g x x x a =--=，得2e 2a x x =-，
∴()222e 2e 2e 22g x x x a x x x -=-+-=--+，
设()2(0)x x h x e e x x -=-+>， 则1()e 20e
x x h x '=--+<， ∴()h x 在(0,)+∞上单调递减，
∴()(0)0h x h <=，∴()20g x -<，即120x x <-<.
∵函数()f x 在()1,0x 上单调递减，
∴()()12f x f x >-，
∴要证()()122f x f x +>，
只需证()()222f x f x -+>，
即证22e 2e 220x x x +--->.
设函数2()e e 2(0)x x k x x x -=+-->，
则()e e 2x x k x x '-=--.
设()()e e 2x x x k x x ϕ'-==--，
()e e 20x x x ϕ'-=+->，
∴()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，
∴()(0)0x ϕϕ>=，即()0k x '
>，
∴()k x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0k x k >=，
∴当(0,)x ∈+∞时，2e e 20x x x -+-->，
则22e 2e 220x x x +--->， ∴()()222f x f x -+>，∴()()122f x f x +>.
22.解：解（1）由曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin x y αα
=+⎧⎨=+⎩（α为参数），得曲线1C 的普通方程为22(2)(2)1x y -+-=，
则1C 的极坐标方程为24cos 4sin 70ρρθρθ--+=，
由于直线2C 过原点，且倾斜角为3
π，故其极坐标方程为()3πθρ=∈R . （2）由24cos 4sin 70,,3ρρθρθπθ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩
得22)70ρρ-+=，设A ，B 对应的极径分别为1ρ，2ρ，
则122ρρ+=，127ρρ=，
∴121211||||||||||||OA OB OA OB OA OB ρρρρ+++===⋅ 23.解：（Ⅰ）∵关于x 的不等式|1||4|x x m -+-<的解集不是空集. ∴min (|1||4|)m x x >-+-
根据绝对值三角形不等式，有|1||4||1||(4)|3x x x x -+-≥-+-=. 当且仅当|1||4|0x x -+-≥，即14x ≤≤时取等号，
故实数m 的取值范围为3m >.
（Ⅱ）由①得30m ->，则24()(3)f m m m =+- 2
334322(3)m m m --=+++-，
∴当且仅当2342(3)
m m -=-，即53m =>时取等号， 所以函数24()(3)f m m m =+-取得最小值时m 的值为5.。