初二数学不等式
初二数学不等式解集表示方法
初二数学不等式解集表示方法不等式是数学中常见的一种表示关系的方式。
在初二数学中，学生将学习如何解不等式，并且要使用特定的方法来表示不等式的解集。
本文将介绍初二数学中常用的不等式解集表示方法。
一、不等式的解集表示方法解不等式时，需要找到使不等式成立的变量取值范围。
这个取值范围称为不等式的解集。
在表示不等式的解集时，常用以下几种方法：1. 图形表示法：对于简单的不等式，可以将其转化为图形，用图形表示不等式的解集。
例如，不等式x > 2表示x在2的右边，可以用一条竖直线表示，然后在这条竖直线的右边标上一个开圈，表示不包括2。
这样，表示了不等式x > 2的解集。
2. 区间表示法：对于一些特定的不等式，可以使用区间表示法来表示解集。
区间表示法使用中括号和圆括号来表示开闭区间。
例如，不等式3 ≤ x ≤ 7可以用区间表示法表示为[3, 7]。
3. 不等式符号表示法：对于简单的不等式，可以直接使用不等式符号表示解集。
例如，不等式x > 5可以表示为x > 5。
4. 集合表示法：对于一些复杂的不等式，可以使用集合表示法来表示解集。
集合表示法使用大括号来表示集合。
例如，不等式x^2 - 4 < 0的解集可以表示为{x | -2 < x < 2}。
二、解不等式的方法解不等式的方法主要有以下几种：1. 图像法：对于一些简单的不等式，可以绘制图像来解不等式。
首先，将不等式转化为等式，然后绘制等式的图像。
接着，根据不等式的符号确定图像的左右区间，并标出解集。
例如，对于不等式x + 2 > 0，可以将其转化为等式x + 2 = 0，得出x = -2。
将x = -2绘制在数轴上，并在-2的右边标上箭头，表示解集为x > -2。
2. 正负数法：适用于一些关于不等式的基本问题。
根据不等式的正负号和绝对值的性质，可以确定不等式的解集。
例如，对于不等式2x - 3 < 7，可以将其转化为等式2x - 3 = 7，得出x = 5。
初二数学不等式知识点总结
初二数学不等式知识点总结一、不等式的概念。
1. 不等式的定义。
- 用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子叫做不等式。
例如：2x + 1>5，3y - 2≤slant4等。
2. 不等式的解。
- 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x + 3>5，x = 3是它的一个解，因为当x = 3时，3+3 = 6>5。
3. 不等式的解集。
- 一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 1>0的解集是x>1，表示所有大于1的数都是这个不等式的解。
- 可以用数轴来表示不等式的解集。
例如x≥slant2在数轴上表示为：在数轴上找到2这个点，然后用实心圆点（因为包含2这个值），然后向数轴正方向画一条线，表示所有大于等于2的数。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（不等式的传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如：若5>3，3>1，则5>1。
2. 性质2（不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变）- 如果a>b，那么a±c>b±c。
例如：若x + 3>5，两边同时减3，得到x>2。
3. 性质3（不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc（或(a)/(c)>(b)/(c)）。
例如：若2x>4，两边同时除以2（2是正数），得到x > 2。
4. 性质4（不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）- 如果a>b，c<0，那么ac（或(a)/(c)<(b)/(c)）。
例如：若- 3x>6，两边同时除以 - 3（-3是负数），得到x<-2。
三、一元一次不等式。
1. 一元一次不等式的定义。
- 含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
八年级 不等式知识点
八年级不等式知识点在八年级数学中，不等式是一个非常重要的知识点。
学好不等式对于后续学习和生活中的应用都有着重要的意义。
本文将介绍八年级不等式的相关知识点及其应用。
一、不等式的定义不等式是描述两个数或多个数的大小关系的一种数学表达式，使用不等号 ">"、"<"、">="或"<="表示。
二、不等式的解及解法1.不等式的解：将一个不等式中的未知数确定一个范围，使得不等式成立的所有数的集合，称为不等式的解集。
2.不等式的解法：（1）直接图解法将不等式转化成一条直线，比较该直线和一条平行于x轴的直线的位置关系，来确定不等式解的范围。
（2）移项变形法通过移项或变形将不等式变为形如x≥a，x≤a，x>a或x<a的形式，再根据不等号的方向，确定解的范围。
（3）乘除变形法通过乘或除单边（或双边）保持不等式成立，使不等式变得更简单。
三、不等式的性质1.两边同加（或减）同一个数，不等式不变。
2.两边同乘（或除）同一个正数，不等式不变。
3.两边同乘（或除）同一个负数，不等式不变，但不等号方向要反转。
4.对于x > a, x < b，有x > (a + b) / 2。
四、一元一次不等式的应用不等式在现实世界中有着广泛应用。
以一元一次不等式举例，常见的应用有以下几种情况。
1.生活中的应用不等式可以帮助人们解决一系列实际问题，比如预算、购买商品折扣、求解面积和体积等。
2.经济学中的应用经济学中不等式有着广泛应用，如企业成本的控制、营销管理中的利润预测、经济增长方程的解等。
3.科学中的应用在科学研究中，不等式也有着广泛应用，如微生物生长数量的控制、化学反应动力学模型的建立、人口增长与资源限制的关系等。
五、结语通过本文的介绍，我们了解了八年级不等式的相关知识点及其应用。
学好不等式不仅可以帮助我们应对数学考试，更可以在日常生活和职业中应用数学知识，提高自身综合素质。
初二不等式经典例题
初二不等式经典例题摘要：1.初二不等式的概念和基本性质2.经典例题1：解不等式|x - 3| < 13.经典例题2：解不等式-2x + 3 > 54.经典例题3：解不等式组{ 2x + 1 < 3, 4x - 5 > 6 }5.总结与展望正文：一、初二不等式的概念和基本性质初二不等式是初中数学中的重要内容，主要研究如何解不等式以及如何处理不等式组。
不等式是指用不等号（如"<"、"≤"、">"、"≥"）连接的两个数或代数式。
在初二阶段，我们主要学习解一元一次不等式、一元二次不等式以及不等式组。
二、经典例题1：解不等式|x - 3| < 1这是一个一元一次不等式，我们可以通过以下步骤求解：1.将绝对值符号拆掉，得到两个不等式：x - 3 < 1 和-(x - 3) < 1。
2.分别解这两个不等式，得到x < 4 和x > 2。
3.将两个不等式的解集合并，得到最终解集：{x | 2 < x < 4}。
三、经典例题2：解不等式-2x + 3 > 5这是一个一元一次不等式，我们可以通过以下步骤求解：1.将常数项移到不等式左边，得到-2x > 2。
2.将不等式两边同时除以-2，并注意改变不等号方向，得到x < -1。
四、经典例题3：解不等式组{ 2x + 1 < 3, 4x - 5 > 6 }这是一个一元一次不等式组，我们可以通过以下步骤求解：1.解第一个不等式，得到x < 1。
2.解第二个不等式，得到x >3.5。
3.将两个不等式的解集合并，得到最终解集：{x | 3.5 < x < 1}。
五、总结与展望初二不等式是初中数学的基础知识，对于解决实际问题和进一步学习高中数学有着重要意义。
通过解决不等式和不等式组，我们可以提高自己的逻辑思维能力和运算能力。
初二数学不等式基本解法思路
初二数学不等式基本解法思路不等式是数学中常见的一种方程形式，其解法与等式有所不同。
在初二数学中，我们需要掌握不等式的基本解法思路，以便解决相关问题。
一、一元不等式的解法1. 分情况讨论法：当不等式中存在绝对值、分式等复杂形式时，可以通过分情况讨论来解决问题。
步骤如下：- 首先，将不等式根据条件进行合理分组，得到多个可能的情况。
- 其次，针对每个情况，确定对应的条件，并解出相应的不等式。
- 最后，整合各个情况下的解集，得到最终的解集。
2. 提取公因式法：当不等式中存在公因式时，可以通过提取公因式的方式简化问题。
步骤如下：- 首先，观察不等式中的各项是否存在公因式。
- 其次，将公因式提取出来，使不等式变得更简单。
- 最后，解出简化后的不等式，并确定解集。
3. 线性不等式的解法：当不等式为一次方程时，我们可以使用线性不等式的解法来求解。
步骤如下：- 首先，将不等式转化为等式，得到一个一次方程。
- 其次，根据一次方程的解的性质，确定不等式的解集。
- 最后，根据不等式的要求，确定最终的解集。
二、二元不等式的解法1. 图像法：当不等式中存在二元变量和图像的相关关系时，可以使用图像法解决问题。
步骤如下：- 首先，将不等式转化为图像，并观察图像的特点。
- 其次，根据图像的特点，确定不等式的解集。
- 最后，根据不等式的要求，确定最终的解集。
2. 代入法：当不等式中存在二元变量时，可以使用代入法解决问题。
步骤如下：- 首先，先固定其中一个变量，将不等式化简为一元不等式。
- 其次，解出化简后的一元不等式，并得到相应的解集。
- 最后，根据不等式的要求，确定最终的解集。
三、综合运用不等式解题在解决具体问题时，我们需要综合运用不等式的解法思路。
具体步骤如下：1. 首先，将问题中的条件和要求抽象成一个或多个不等式。
2. 其次，根据具体情况选择合适的不等式解法。
3. 然后，根据解法思路解出不等式，并得到相应的解集。
4. 最后，验证解集是否满足问题的条件和要求。
八年级 不等式知识点
八年级不等式知识点八年级数学不等式知识点八年级数学学习内容繁杂，其中不等式是重要的一环。
不等式解题不仅考察学生对数学观念的把握能力，更考验了学生的逻辑思维能力。
本文将详细介绍八年级数学中的不等式知识点。
一、不等式基本概念不等式是一个数学表达式，比大小关系的运算符从等于号扩充到了不等于号（“<”，“>”，“≤”，“≥”）。
不等式由左侧算式和右侧算式通过一个不等式符号相连，如a＜b，表示a值小于b。
一个不等式可以有多个解，例如不等式x²＜9，有两个解x＜3和x＞－3，因此最终的解集要用区间表示法来表示，即x∈（－3，3）。
二、不等式的性质1. 加（减）同一个数或者同一个式子不改变不等式的方向，例如：a＜b，那么a＋c＜b＋c。
2. 乘（除）同一个正数不改变不等式的方向，乘（除）同一个负数改变不等式的方向，例如：a＜b，c＞0，则ac＜bc，c＜0时ac＞bc。
3. 交换不等式两侧，并改变不等式方向，不等式的成立关系不改变，例如：a＜b，那么b＞a。
三、一元一次不等式一元一次不等式是指将不等式中只有一个未知数的次数为1，且不是分数或小数的不等式。
一元一次不等式的解法与方程的解法相似，但需要注意等号一侧系数的正负性大于等于一等解不等式时是否改变不等式方向。
例如：2x＋3＞5＋x解得x＞2。
四、一元二次不等式一元二次不等式是指将含一个未知数的二次项的不等式叫做一元二次不等式。
一元二次不等式解法有三种：因式分解法、配方法和一元二次不等式的判别式法。
但需要注意在三种解法中要注意等式两侧的正负性，以避免不等式解答错误。
例如：x²-9＞0中可以通过因式分解法解得x＜－3或x＞3，两个解的合集即是x∈（－∞，－3）∪（3，∞）。
五、含分数不等式含分式不等式是指形如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)≤0的不等式。
含分数不等式的解法主要有两种方法：通分和借位。
例如：（2x＋1）/ x＜4解得x>（－1/3），x＜0。
初二不等式基本知识点总结
初二不等式基本知识点总结一、一元一次不等式1. 不等式的定义不等式是使用大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)、小于等于号(≤)等符号来表示两个数量的大小关系。
例如：a < b、c > d。
2. 不等式的解法对于一元一次不等式ax + b > c，其中a、b、c为已知数，x为未知数，解不等式的步骤如下：(1) 将不等式化为等价不等式，即去掉绝对值号，并根据a的正负情况变号；(2) 通过化简和移项找出不等式的解集。
3. 不等式组的解法对于一元一次不等式组{ax + b > c, dx + e < f}，其中a、b、c、d、e、f为已知数，x为未知数，解不等式组的步骤如下：(1) 分别解出每个不等式的解集；(2) 将每个不等式解集进行交并运算，得到不等式组的解集。
4. 不等式的图像表示使用数轴可以方便地表示一元一次不等式的解集。
对于不等式ax + b > c，首先画出表示常数c的点，然后根据a的正负情况，确定画出的区域是大于还是小于c的区域。
二、一元二次不等式1. 不等式的定义一元二次不等式是形如ax² + bx + c > 0的不等式，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
2. 不等式的解法对于一元二次不等式ax² + bx + c > 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数，解不等式的步骤如下：(1) 求出二次函数的零点，即ax² + bx + c = 0的解；(2) 根据二次函数的图像，确定不等式的解集。
3. 不等式的图像表示一元二次不等式和二次函数的图像表示是相互联系的。
通过画出二次函数的图像，并确定大于0的区域，可以得到不等式的解集。
三、一元一次不等式组1. 不等式组的定义一元一次不等式组是多个一元一次不等式的组合，其中每个不等式都是以相同的未知数为变量。
2. 不等式组的解法对于一元一次不等式组{ax + b > c, dx + e < f}，其中a、b、c、d、e、f为已知数，x为未知数，解不等式组的步骤如下：(1) 分别解出每个不等式的解集；(2) 将每个不等式解集进行交并运算，得到不等式组的解集。
解不等式练习题及答案初二
解不等式练习题及答案初二不等式是数学中一个重要的概念，它描述了数之间的大小关系。
解不等式是解决数学问题中常见的一种方法。
在初二数学学习中，我们会遇到各种不等式的题目。
本篇文章将为大家提供一些初二阶段常见的解不等式练习题及答案。
希望通过这些建议和习题，能够帮助大家更好地理解和掌握不等式的解题方法。
一、一元一次不等式1.解不等式：3x + 5 < 17解：首先将不等式中的常数项移到一边，得到：3x + 5 - 5 < 17 - 5化简后得：3x < 12然后将不等式两边除以系数3，得到：x < 42.解不等式：2x + 3 > 7解：首先将不等式中的常数项移到一边，得到：2x + 3 - 3 > 7 - 3化简后得：2x > 4然后将不等式两边除以系数2，得到：x > 23.解不等式：4x - 1 ≤ 7解：首先将不等式中的常数项移到一边，得到：4x - 1 + 1 ≤ 7 + 1化简后得：4x ≤ 8然后将不等式两边除以系数4，得到：x ≤ 2二、一元二次不等式4.解不等式：x^2 - 5x > 0解：首先将不等式移到一边，得到：x^2 - 5x > 0然后将不等式因式分解，得到：x(x - 5) > 0得到不等式的解集：x < 0 或 x > 55.解不等式：2x^2 + 7x + 3 ≤ 0解：首先将不等式移到一边，得到：2x^2 + 7x + 3 ≤ 0然后求解二次方程2x^2 + 7x + 3 = 0 的解，得：x = -3 或 x = -1/2得到不等式的解集：-3 ≤ x ≤ -1/2三、综合不等式6.解不等式：3x + 2 > 8 或 2x - 5 ≤ 7解：对于不等式3x + 2 > 8，同样进行通项计算，得到：3x > 6，x > 2对于不等式2x - 5 ≤ 7，同样进行通项计算，得到：2x ≤ 12，x ≤ 6得到综合不等式的解集：x ≤ 6 并且 x > 2，即2 < x ≤ 67.解不等式：(x - 1)(x + 2) > 0 或 x - 3 < 0解：对于不等式(x - 1)(x + 2) > 0，我们可以通过图像法或符号法进行解答。
初二数学基本不等式知识点
初二数学基本不等式知识点数学中的不等式是我们在初中阶段学习的重要内容之一。
不等式是数学中表示大小关系的一种运算符号，用于表示两个数的大小关系。
在初二数学中，我们学习了基本的不等式知识点，下面将为大家详细介绍。
1. 不等式的定义和表示方法不等式是用不等号（>、<、≥、≤）表示的数学关系。
具体表示方法有：- 常见不等式：例如x > 3，表示x大于3；a ≤ 5，表示a小于等于5。
- 不等式组：由多个不等式组合而成的数学表达式，例如x > 3与x< 5可以合并成不等式组3 < x < 5。
- 绝对值不等式：含有绝对值符号的不等式，例如|2x - 3| > 7。
2. 不等式的性质不等式具有以下性质：- 反身性：对于任意实数a，a ≥ a与a ≤ a都成立。
- 传递性：若a > b，b > c，则a > c。
- 加法性：若a > b，则a + c > b + c。
- 乘法性：若a > b，且c > 0，则ac > bc；若c < 0，则ac < bc。
3. 不等式的解集表示不等式的解集是使得不等式成立的数的集合。
表示解集有三种常见方法：- 空集表示法：当不等式无解时，解集为空集，用符号∅表示。
- 集合表示法：使用集合的形式表示解集，例如解集{x | x > 2}表示大于2的实数集合。
- 区间表示法：使用区间来表示解集，例如(3, +∞)表示大于3的实数区间。
4. 一元一次不等式一元一次不等式是一元一次方程的不等式形式，例如ax + b > 0。
解一元一次不等式的基本步骤是：- 化简不等式，将其转化为标准形式。
- 确定不等式的解集表示方法，可以使用集合表示法或区间表示法。
- 根据解集表示方法，求解不等式，并求出解集。
5. 二元一次不等式二元一次不等式是含有两个未知量的一次不等式，例如ax + by > c。
八年级不等式知识点总结
八年级不等式知识点总结不等式是数学中一种非常重要的概念，它们在很多领域都有广泛应用。
在初中数学中，学生在八年级的时候就开始接触不等式。
本文将对八年级不等式知识点进行总结，为学生们提供详细的学习参考。
一、不等式的基本概念不等式是数学中用不等于号（≠，>, ≥，<，≤）表示的数学语句。
例如，a > b，表示a比b大。
在不等式中，我们可以把不等式的两边同时加上或者减去同一个数，两边同时乘以或者除以同一个正数，不等式的符号不会改变；但是如果两边同时乘以或者除以同一个负数，不等式的符号需要交换。
例如，对于不等式 a > b，我们可以同时加上一个数c，变成a+c > b+c；也可以同时乘以一个正数k，变成 ak > bk；但是不能同时乘以一个负数，否则不等式符号需要交换。
二、解不等式的方法解不等式是初中数学中不可或缺的一部分，学生们需要掌握一些常见的不等式解法。
1. 加减法原则如果不等式的两边都加上一个数，不等式的符号方向不会变化。
例如，对于不等式 2x-5 > 7，我们可以把等式两边都加上5，变成 2x > 12。
因为2是正数，所以不等式的方向没有改变。
最终解为x > 6。
2. 乘除法原则如果不等式的两边同时乘以或者除以一个正数，不等式的符号方向不会变化；但是如果同时乘以或者除以一个负数，不等式的符号需要交换。
例如，对于不等式 -3x < 9，我们可以把等式两边同时除以-3，同时不等式符号需要交换，变成 x > -3。
最终解为x > -3。
3. 求绝对值法当不等式中出现绝对值符号时，我们需要讨论绝对值中的数字的正负性，然后转化为两个不等式。
例如，对于不等式 |x-3| < 4，我们需要分别考虑x-3的正负，得到 x-3 < 4 和 x-3 > -4。
解得-1 < x < 7。
最终解为-1 < x < 7。
初二数学不等式解法练习题
初二数学不等式解法练习题不等式是数学中常见的一种关系式，它描述了两个数或者两个表达式之间的大小关系。
在初二数学中，不等式的解法是一个重要的知识点，它涉及到数轴、符号法等多种方法。
本文将为大家提供一些不等式解法的练习题，帮助大家巩固相关知识和提高解题能力。
练习题一：求解不等式1. 求解不等式 2x + 3 > 5x - 1。
2. 求解不等式 4(x - 3) ≤ 2x + 1。
3. 求解不等式 3(x + 4) - 2(2x - 1) ≥ 5。
练习题二：解不等式组1. 解不等式组 {2x + 1 > 3, x - 2 ≤ 4}。
2. 解不等式组 {3x - 5 > x + 7, 2x + 3 ≥ 7x - 2}。
练习题三：绘制不等式图像根据以下不等式，绘制数轴上的区间表示：1. x ≥ -32. 2x + 1 < 53. x - 3 ≤ 2练习题四：实际问题中的应用1. 现有一个数x，它的四倍加5大于11，求解不等式 4x + 5 > 11 的解集。
2. 一家超市举办特价促销活动，书籍原价大于100元的按原价的8折出售，小于等于100元的按原价的6折出售。
设某本书的原价为x元，求解不等式 0.8x + 0.6x < 80 的解集。
解题过程和详细答案请见下文。
练习题一：1. 2x + 3 > 5x - 1移项得 3 + 1 > 5x - 2x化简得 4 > 3x两边除以3得 4/3 > x解集为 x < 4/3。
2. 4(x - 3) ≤ 2x + 1分配得 4x - 12 ≤ 2x + 1移项得 4x - 2x ≤ 1 + 12化简得2x ≤ 13两边除以2得x ≤ 6.5解集为x ≤ 6.5。
3. 3(x + 4) - 2(2x - 1) ≥ 5分配得 3x + 12 - 4x + 2 ≥ 5合并同类项得 -x + 14 ≥ 5移项得 -x ≥ 5 - 14化简得 -x ≥ -9注意：当不等号两边同时乘以-1时，需要翻转不等号方向。
初二不等式知识点归纳总结
初二不等式知识点归纳总结在初中数学学习中，不等式是一个重要的内容，它是代数学的基础，也是进一步学习高等数学的基础。
因此，掌握不等式的相关知识点对于我们的数学学习是非常重要的。
下面，我将对初二不等式知识点进行归纳总结，希望可以帮助大家更好地理解和掌握不等式的概念和性质。
1. 不等式的基本概念不等式是数学中的一种比较关系，用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”表示。
其中，“<”表示小于，“>”表示大于，“≤”表示小于等于，“≥”表示大于等于。
例如，a < b 表示 a 小于 b，a > b 表示 a 大于 b，a ≤ b 表示 a小于等于 b，a ≥ b 表示 a 大于等于 b。
2. 不等式的性质不等式具有一些基本的性质，这些性质可以帮助我们在解决不等式问题时进行推导和判断。
(1) 传递性：如果 a < b，且 b < c，那么 a < c。
(2) 加减性：如果 a < b，那么 a + c < b + c；如果 a < b，且 c > 0，那么 ac < bc。
(3) 倍加减性：如果 a < b，且 c > 0，那么 ac < bc；如果 a < b，且c < 0，那么 ac > bc。
(4) 倒置性：如果 a < b，那么 -a > -b。
3. 不等式的解集表示法不等式的解集表示了使不等式成立的所有实数的集合。
根据不等式的形式和条件，我们可以使用不同的表示方法来表示解集。
(1) 区间表示法：对于a ≤ x ≤ b 的不等式，解集表示为 [a, b]。
(2) 不等式表示法：对于a ≤ x < b 的不等式，解集表示为 [a, b)。
(3) 线段表示法：对于 a < x < b 的不等式，解集表示为 (a, b)。
(4) 不等式组表示法：对于a ≤ x ≤ b 或 a < x < b 的不等式组，解集表示为{x | a ≤ x ≤ b}。
初二不等式经典例题
初二不等式经典例题摘要：一、初二不等式基本概念1.不等式的定义2.不等式的基本性质3.不等式的解集表示方法二、初二不等式经典例题解析1.例题一：简单一元一次不等式求解2.例题二：一元一次不等式的应用题3.例题三：一元一次不等式组求解4.例题四：一元二次不等式的解法三、解决初二不等式问题的技巧与方法1.技巧一：不等式性质的应用2.技巧二：图像法求解不等式3.技巧三：代数法求解不等式正文：一、初二不等式基本概念不等式是数学中的一种基本概念，用于表示大小关系。
不等式可以表示为“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等符号。
例如，3>2、x≤5等。
不等式的基本性质包括：1）若a>b，则a+c>b+c；2）若a>b，则-a<-b；3）若a>b且c>0，则ac>bc；4）若a>b且c<0，则ac<bc。
不等式的解集表示方法有：1）区间表示法；2）集合表示法。
二、初二不等式经典例题解析1.例题一：简单一元一次不等式求解题目：解不等式x+2>5。
解：移项得x>3，所以解集为x∈(3, +∞)。
2.例题二：一元一次不等式的应用题题目：一辆汽车从甲地到乙地，行驶100公里，已知汽车行驶的时间为2小时，求汽车的速度是否大于50公里/小时。
解：设汽车速度为v，根据距离=速度×时间，得v×2=100，所以v>50。
答案为汽车速度大于50公里/小时。
3.例题三：一元一次不等式组求解题目：解不等式组x+3>6和x-2<4。
解：分别解得x>3和x<6，所以解集为3<x<6。
4.例题四：一元二次不等式的解法题目：解不等式x^2-5x+6>0。
解：首先求出方程x^2-5x+6=0的根，得x=2,3。
因为二次函数开口向上，所以解集为x∈(2,3)。
三、解决初二不等式问题的技巧与方法1.技巧一：不等式性质的应用在解不等式时，可以充分利用不等式的基本性质，如加减、乘除、翻转不等号等，简化不等式的求解过程。
初二数学-第25讲 不等式的基本性质与解集
第二十五讲 不等式的基本性质与解集【知识要点】1．一元一次不等式的标准形式：ax ＜b 或ax ＞b （a ≠0）； 一般形式：ax －b ＜0或ax －b ＞0（a ≠0）2．不等式的解集：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。
如1-≤x 或x <-1等。
②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别） x <-1 4．解一元一次不等式的步骤：①去分母，②去括号，③移项变号，④合并同类项，⑤系数化为1。
★解一元一次不等式与解一元一次方程相似，只是在化系数为1的时间要注意：除以负数记得变号。
5．不等式的基本性质（一）①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变。
②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
6．不等式的基本性质（二）①若a b >，则b a <；若a b <，则b a >。
（互逆性） ②若,a b b c >>，则a c >，若,,a b b c <<则a c <。
（传递性） ③若,a b c d >>，则a c b d +>+；若,a b c d <<，则a c b d +<+。
【典型例题】【例1】利用不等式的基本性质，用“>”或“<”号填空。
①若a b <，则21a - 21b -。
②若a b >，则43a -+ 43b -+。
③若362x ->，则x －4。
④若,0a b c >>，则ac c + bc c +。
⑤若0,0,0x y z <><，则()x y z - 0。
【例2】比较大小。
①a b -与a b + ②237x x --+和38x -+③223x x -+与22x -+ ④(3)(5)x x +-与(2)(4)x x +-【例3】已知21,34x y -<<<<求：①x y - ②2x y + ③32x y -的取值范围。
【初中数学】初二数学不等式的知识点归纳
【初中数学】初二数学不等式的知识点归纳【—不等式归纳】不等式就是用不等号可以将两个解析式连接起来所成的式子。
不等式
在一个式子中的数的关系,不全是等号,不含左右符号的式子，那它就是一个不等式.
比如2x+2y≥2xy，sinx≤1，ex>0，2x<3，5x≠5等。
根据解析式的分类也可以对不等式
分类，不等号两边的解析式都就是代数式的不等式，称作代数不等式;也分后一次或多次
不等式。
只要存有一边就是打破式，就称作打破不等式。
比如lg(1+x)>x就是打破不等式。
不等式分为严格不等式与非严格不等式。
一般地，用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)
“≥”(大于等同于符号)“≤”(大于等同于符号)相连接的不等式称作非严苛不等式，或表示广义不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为f(x，y，……，
z)≤g(x，y，……，z)(其中不等号也可以为<，≥，>中某一个)，两边的解析式的公共定
义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
整式不等式
是不等式两边都是整式(未知数不在分母上)
一元一次不等式:所含一个未知数(即为一元),并且未知数的次数就是1次(即为一次)
的不等式.如3-x>0
同理:二元一次不等式:含有两个未知数(即二元),并且未知数的次数是1次(即一次)
的不等式.
不等式的排序应用领域常规来说只可以发生在选择题或者填空题当中。
初二不等式计算题大全
初二不等式计算题大全在初中数学学习过程中，不等式是一个重要的内容。
通过解不等式的计算题，可以帮助学生掌握不等式的基本概念和解题方法。
本文将整理一系列初二水平的不等式计算题，旨在帮助学生巩固知识，提高解题能力。
一、一元一次不等式1.解不等式3x−5>7。
2.解不等式 $2(x + 3) \\leq 14$。
3.解不等式4x+2>6x−1。
4.解不等式 $5 - 2x \\geq 1$。
5.解不等式2x+3<5x−2。
6.解不等式 $2x - 1 \\leq 3x + 5$。
7.解不等式6(x−2)>4(x+1)。
二、一元二次不等式1.解不等式x2−4x−5>0。
2.解不等式 $2x^2 + 4x - 6 \\leq 0$。
3.解不等式(x+3)(x−2)<0。
4.解不等式 $3x^2 - 5x + 2 \\geq 0$。
5.解不等式x2+6x+9>0。
6.解不等式 $2x^2 - 8x + 6 \\leq 0$。
7.解不等式x2+4x+4<0。
三、综合不等式1.解不等式 $2x - 3 \\leq 4$，且3x+2>7。
2.解不等式x2−x−2>0，且$x^2 - 2x - 8 \\leq 0$。
3.解不等式 $6(x - 1) \\geq 5x - 7$，且3x+4<2x+7。
4.解不等式2(x−3)>x+1，且$3x - 2 \\leq 9 - x$。
5.解不等式x2−5x+6>0，且$2x^2 + 3x - 2 \\leq 0$。
结语以上是一些初二阶段的不等式计算题，希望同学们能够通过练习，巩固所学的知识，提高解题能力。
不等式是数学中的重要概念，对于数学学习的深入和应用有着重要作用。
希望同学们在学习过程中多多练习，勇敢面对挑战，取得更好的成绩。
初二数学不等式的解集知识点总结(优秀4篇)
初二数学不等式的解集知识点总结(优秀4篇)初二数学不等式的解集知识点总结篇一不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
相信上面的知识同学们已经能很好的掌握了，希望同学们在平时认真学习，很好的把每一个知识点掌握。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。
点的坐标的性质下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。
点的坐标的性质建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。
反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。
初二数学《不等式的性质》知识点解读
初二数学《不等式的性质》知识点解读不等式是数学中常见的概念，它与等式一样重要，在解决实际问题时具有广泛的应用。
在初二阶段，我们学习了不等式的性质，本文将对这些知识点进行解读。
一、大于和小于的基本性质1. 大于的性质：对于实数a、b、c来说，如果a > b且b > c，则有a > c。
这个性质可以认为是大于关系的传递性质。
2. 小于的性质：与大于类似，对于实数a、b、c来说，如果a < b且b < c，则有a < c。
小于关系也具有传递性质。
二、不等式的加减性质1. 加法性质：对于实数a、b、c来说，如果a > b，则a + c > b + c。
这个性质表示，在不等式两边同时加上一个相同的数时，不等号的方向保持不变。
2. 减法性质：与加法性质类似，对于实数a、b、c来说，如果a > b，则a - c > b - c。
同样地，在不等式两边同时减去一个相同的数时，不等号的方向不变。
三、不等式的乘除性质1. 乘法性质：对于实数a、b、c来说，如果a > b且c > 0，则ac > bc。
这个性质说明，当不等式两边同时乘以一个正数时，不等号的方向保持不变。
2. 除法性质：与乘法性质相似，对于实数a、b、c来说，如果a > b且c > 0，则a/c > b/c。
同样地，在不等式两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变。
四、绝对值不等式的性质绝对值不等式是指形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的不等式。
其中，a、b、c为已知实数，x为未知数。
1. |ax + b| < c的性质：当|ax + b| < c时，-c < ax + b < c。
这表示，绝对值小于c的不等式可以转化为一个区间。
2. |ax + b| > c的性质：当|ax + b| > c时，ax + b > c或ax + b < -c。
初二数学不等式求解题技巧
初二数学不等式求解题技巧初中阶段的数学不等式求解是非常重要的一部分，也是很多同学觉得比较困难的内容之一。
但只要掌握了一些基本的求解技巧，就能够在不等式求解中游刃有余。
下面我将为你详细介绍一些初二数学不等式求解题的技巧。
一、掌握基本不等式在求解不等式时，首先要掌握基本不等式，例如对于任意实数x，有以下基本不等式成立：1. 正整数的平方大于0，即x^2 > 0，当且仅当x≠0；2. 两个正数的乘积大于0，即a>0，b>0，那么ab>0；3. 两个负数的乘积大于0，即a<0，b<0，那么ab>0；4. 正数的平方根大于0，即√a > 0，当且仅当a>0；5. 两个正数的平方根之积大于0，即√a,√b > 0，那么√a√b>0。
根据这些基本不等式，可以轻松求解许多简单的不等式。
二、注意不等式的变换在不等式求解中，一些常见的变换包括：1. 两边加上（或减去）同一个数；2. 两边都乘（或除）以正数；3. 两边都乘（或除）以负数，同时不等号方向要改变。
需要注意的是，当不等式两边乘以一个负数时，不等号方向会改变。
这是因为负数的平方根是不存在的，所以无法确定该负数与正数之间的大小关系。
三、判断不等式的解集在进行不等式求解时，我们要根据已知条件来判断不等式的解集。
常见的判断方法包括1. 通过图像法判断，即绘制函数的图像，找出函数的增减区间，根据不等式的条件来确定解集。
2. 通过试值法判断，即选取一些特殊的数来代入不等式中，看它们是否能满足不等式的条件。
3. 通过变形法判断，即将不等式变形为等式，得出等式的解，再根据不等式的条件来确定解集。
四、注意特殊情况在不等式求解过程中，还需要注意一些特殊情况，包括：1. 当不等式中含有绝对值时，需要将不等式分成正负两种情况进行求解，然后取两种情况下的交集。
2. 当不等式中含有分数时，需要注意分子分母的正负和分母的取值范围是否为0。
初二数学解不等式知识点归纳总结
初二数学解不等式知识点归纳总结解不等式是数学中常见的一个重要内容，也是初中数学学习中的一项基础知识。
不等式是指数值之间的大小关系，解不等式就是找出使得不等式成立的变量的可能取值范围。
解不等式的方法与解方程式略有不同，需要通过一些规则和技巧来进行推导和判断。
本文将对初二数学解不等式的知识点进行归纳总结。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最基础、最简单的不等式类型。
它的形式一般为ax + b > 0或者ax + b < 0，其中a和b为已知实数，x为待求实数。
解一元一次不等式的关键是确定不等式的解集。
解集可以通过求解不等式的解集、解不等式的过程图示化等方法进行确定。
对于不等式ax + b > 0，我们可以按照以下步骤解决：1. 将不等式变换成方程，得到方程ax + b = 0。
2. 求解方程，得到方程的解集{-b/a}。
3. 根据不等式的性质确定解的范围，即x > -b/a。
对于不等式ax + b < 0，解集的确定方法与ax + b > 0类似，只是在最后一步确定解的范围时，变为x < -b/a。
二、一元一次不等式组一元一次不等式组由多个一元一次不等式组成，形式一般为{ax + b > 0, cx + d < 0}。
解一元一次不等式组的关键是确定整个不等式组的解集。
解一元一次不等式组的步骤如下：1. 分别解每个不等式，得到每个不等式的不等式解集。
2. 根据不等式解集的性质，确定整个不等式组的解集。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指含有二次项的一元不等式，形式一般为ax^2 + bx + c > 0或者ax^2 + bx + c < 0，其中a、b、c为已知实数，x为待求实数。
解一元二次不等式的关键是确定不等式的解集。
根据一元二次不等式的性质，可以利用开放性差、顶点法、零点法等方法进行求解。
四、绝对值不等式绝对值不等式是一类特殊的不等式，形式一般为|ax + b| < c或者|ax+ b| > c，其中a、b、c为已知实数，x为待求实数。
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练习：⑴解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。
（1）11-≤+-x ； （2）032<-x⑵填空题：①大于0且小于π的整数是 ；②34-≥x ,则x 的最小整数是 。
⑶李强同学用若干根长度相等的火柴棒在桌面上首尾相接地摆三角形，其中三角形的一边用了3根火柴棒，另一边用了6根火柴棒，那么第三边最少用 根火柴棒，最多用 根火柴棒。
练习：⑴解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。
①41233523+>--x x ； ②3252132x x x -≤--⑵某商品原来的价格为6元/件，涨价x %后仍不高于9元/件，求x 的最大值。
练习：⑴已知函数3211+=x y ，132-=x y ，求当x 为何值时，21y y =，21y y >，21y y <。
⑵甲现有存款600元，乙现有存款2000元，从本月起甲每月存500元，乙每月存200元。
问几个月后甲的存款开始超过乙的存款额？⑶某电视厂要印刷产品宣传材料。
甲印刷厂提出每份材料手1元印刷费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出每份材料收2.5元印刷费，不收制版费。
假如你是电视机厂的厂长，选择哪家印刷厂较合算？ 练习：解下列不等式组 （1）⎪⎩⎪⎨⎧-<+>-23221xx x （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+321)2(352xx x x1、 用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车？2、 一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住；每房住6人，有一间住不满，则有宿舍多少间？学 生有多少名？二、巩固练习1、不等式9-3x ≥2的非负整数解是 。
2、当y 时，代数式2y -3的值不大于5y -3。
3、若代数式531x +与51-x 代数式的差是负数，那么x 的范围是 。
4、当x ________时，代数式523--x 的值是非正数。
.当m ________时，不等式(2－m )x ＜8的解集为mx ->28.5、适合不等式2≤3x -7＜8的整数解是 。
6、已知三角形的两边为3和4，则第三边a 的取值范围是_______。
7、某种商品进价150元，标价200元，但销量较小。
为了促销，商场决定打折销售，若为了保证利润率不底于20%，那么至多打几折？如果设商场将该商品打x 折，则可列出不等式为： 。
8、选择题：⑴如果0＜x ＜1，则下列不等式成立的是（ ） A 、x 2＞x1＞x B 、x1＞x 2＞x C 、x ＞x1＞x 2 D 、x1＞x ＞x 2⑵如图，天平右盘中每个砝码的重量都是1g ，图中显示出某药品A 重量的范围是（ ）A 、大于2g ；B 、小于3g ；C 、大于2g 且小于3g ；D 、大于2g 或小于3g⑶若不等式组⎩⎨⎧>≤11x m x 无解，则m 的取值范围是( )A.m ＜11B.m ＞11C.m ≤11D.m ≥119、解下列不等式（组）：⑴22531-->+x x ； ⑵121431--≥-x x ； ⑶；⎩⎨⎧+≥--+<-)1(46)1(5)3(62x x x x ； ⑷⎪⎩⎪⎨⎧>-+≥+0)2(321332x x x10、将若干个练习本分给若干个学生，如果每人分4本，那么还余20本；如果每人分8本，那么最后有一个学生分到的不足8本，求学生人数和练习本个数。
11、某校校长暑假将带领该校“市级三好学生”去三峡旅游。
甲旅行社说：如果校长买全票一张，则其余学生可以享受半价优惠；乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的6折优惠。
已知两家旅行社的全票价都是240元，请你就学生数说明哪家旅行社更优惠。
12、提高题：⑴已知方程x+2m-3=3x+7的解不小于2且不大于10，那么m 的范围是 。
⑵不等式组⎩⎨⎧-<+<212m x m x 的解集是x ＜m －2，则m 的取值应为 。
⑶已知方程组⎩⎨⎧=--=+72315y x k y x 的解满足x 小于11，y 大于7的条件，求k 的正整数值。
⑷已知函数y =3x +12的图象，回答下列问题：①当x为什么值时，y＞0？②如果这个函数y的值满足－6≤y≤6，求相应的x的取值范围.例5. 下图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象（分别为正比例函数和一次函数），已知两地间的距离是80km，请你根据图象回答或解决下面问题：（1）谁出发得较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？（3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数关系式。
例6. 东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠办法。
甲：买一枝毛笔就赠送一本练习本；乙：按购买金额打九折付款。
某校欲为书法兴趣小组购买这种毛笔10枝，书法练习本x（x≥10）本。
（1）写出每种优惠办法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（本）之间的函数关系式；（2）购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；第一章检测题一. 填空题1. 用不等式表示：x的2倍与1的和大于－1为__________，y的13与t的差的一半是负数为_________。
2. 有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，根据图示，用“>”或“<”填空。
b 0 a（1）a＋3______b＋3；（2）b－a_______0（3）-a3______-b3；（4）a＋b________03. 若0<a<1，则aa a21，，按从小到大排列为________。
4. 在数轴上表示数x的点与原点的距离不超过5，则x满足的不等式（组）为_______5. 当x_______时，代数式3x ＋4的值为正数。
6. 要使方程52321x m x m -=-+()的解是负数，则m________7. 若||2112x x -=-，则x___________8. 已知a<b ，则不等式组x a x b><⎧⎨⎩的解集是____________9. 若不等式组2123x a x b -<->⎧⎨⎩的解集是-<<11x ，则()()a b +-11的值为___________10. 如果不等式20x m -≥的负整数解是－1，－2，则m 的取值范围是_________ 二. 选择题（每小题3分，共24分）11. 若a>b ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.b a <1B.a b>1C. ->-a bD. a b ->012. 与不等式3251-≤-x 的解集相同的是（ ）A. 325-≥xB. 325-≤xC. 235x -≥D. x ≤413. 不等式x x --<-321313的负整数解的个数有（ ）A. 0个B. 2个C. 4个D. 6个14. 不等式组1241323-<-≤-⎧⎨⎪⎩⎪x x x 的整数解的和是（ ）A. 1B. 0C. -1D. -215. 下列四个不等式：（1）ac>bc ；（2）-<-m a m b ；（3）ac bc 22>；（4）-≤-ac bc22中，能推出a>b 的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 如果不等式()a x a +>+11的解集为x <1，那么a 满足的条件是（ ） A. a>0 B. a<-2 C. a>-1 D. a<-1 17. 若不等式组x x t-<->⎧⎨⎩10的解集是x <1，则t 的取值范围是（ ）A. t<1B. t>1C. t ≤-1D. t ≥118. 若方程组x y x y a -=+=-⎧⎨⎩323的解是负数，则a 的取值范围为（ ）A. -<<36aB. a <6C. a <-3D. 无解三. 解下列不等式或不等式组（每4题6分，共24分） 19.x x 2131--≥ 20. -<-<1232x21. -+<-+-≥⎧⎨⎪⎩⎪21113121x x x 22. 31151235x x x x +>-≤-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 四. 解答题（23题5分，其余每题9分共50分） 23. 若||()x x y m -+--=4502，求当y ≥0时，m 的取值范围。
24. 已知A 、B 两地相距80km ，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地，甲骑摩托车，乙骑电动自行车，PC 、OD 分别表示甲、乙两人离开A 的距离s （km ）与时间t （h ）的函数关系。
根据图象，回答下列问题： （1）_________比_______先出发________h ； （2）大约在乙出发______h 时两人相遇，相遇时距离A 地______km （3）甲到达B 地时，乙距B 地还有___________km ，乙还需__________h 到达B 地； （4）甲的速度是_________km/h ，乙的速度是__________km/h 。
25. 甲、乙两旅行社假期搞组团促销活动，甲：“若领队买一张全票，其余可半价优惠”。
乙“包括领队在内，一律按全票价的六折优惠”。
已知全票价为120元，你认为选择哪家旅行社更优惠？26. 某工厂有甲种原料360kg ，乙种原料290kg ，计划用这两种原料生产A 、B 两种产品共50件。
已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9kg ，乙种原料3kg ，可获利润700元：生产一件B 种产品，需用甲种原料4kg ，乙种原料10kg ，可获利润1200元。
（1）按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来。
（2）设生产A 、B 两种产品获总利润W （元），采用哪种生产方案获总利润最大？最大利润为多少？27. 某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年），年票分A、B、C三类；A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入园林时，需再购买门票每次3元。
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林次数最多的购票方式。
（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算。