二项式定理公式、各种例题讲解及练习

二项式定理例题讲解

分 类 计 数 原 理

分 步 计 数 原理

做一件事，完成它有n 类不同的办法。第一类办

法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方

法……，第n 类办法中有mn 种方法，则完成这件

事共有：N=m1+m2+…+mn 种方法。

做一件事，完成它需要分成n 个步骤。第一步中有m1种方法，

第二步中有m2种方法……，第n 步中有mn 种方法，则完成

这件事共有：N=m1 m2 … mn 种方法。

注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。 排列

组合

从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n 个不同的元素中取m 个元素的排列。

从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同的元素中取m 个元素的组合。 排列数

组合数

从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列

的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的

排列数，记为Pnm

从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫

做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记为Cnm

选排列数

全排列数

二项式定理

二项展开式的性质

(1)项数：n+1项

(2)指数：各项中的a 的指数由n 起依次减少1，直至0为止；b 的指出从0起依次增加1，直至n 为止。而每项中a 与b 的指数之和均等于n 。

(3)二项式系数：

各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和

例1．试求：

（1）(x 3－

22x )5

的展开式中x 5的系数； （2）(2x 2－x

1

)6的展开式中的常数项；

（3）(x －1)9的展开式中系数最大的项；

（4）在100

3)23(+x 的展开式中，系数为有理数的项的个数．

解：（1）T r ＋1＝r r r r

r

r x C x

x C 51552535)2()2()

(---=-

依题意15－5r ＝5，解得r ＝2 故(－2)2r

C 5＝40为所求x 5的系数 （2）T r ＋1＝r

C 6(2x 2)6

－ r

r x

)1

(-＝(－1)r ·26－ r ·r r x C 3126- 依题意12－3r ＝0，解得r ＝4

故4)1(-·222

6C ＝60为所求的常数项．

（3）T r ＋1＝r

)1(-r r x C -99

∵1265

949==C C ，而(－1)4＝1，(－1)5＝-1

∴ T 5＝126x 5是所求系数最大的项 （4）T r ＋1＝r r r r r

r r x C

x C

--

-⋅⋅=1003

2

50100

3

100100

23

)2()

3(,

要使x 的系数为有理数，指数50－

2r 与3

r

都必须是整数， 因此r 应是6的倍数，即r ＝6k （k ∈Z ）， 又0≤6k ≤100，解得0≤k ≤16

3

2

（k ∈Z ） ∴x 的系数为有理数的项共有17项．

评述 求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．

例2．试求：

（1）(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；

（2）(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数；

（3）3

21⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项. 解：（1）∵ (x ＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…

∴ (x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179 （2）∵ (x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5

＝x

x x x x x 6

5)1()1()]1([1})]1([1){1(-+-=-------

∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数3

6C -＝-20

（3）∵ 3

21⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+x x =

6

1⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-x x ∴ 所求展开式中的常数项是-3

6C ＝－20

评述 这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．

例3．（1）已知(1＋x )n 的展开式中，x 3的系数是x 的系数的7倍，求n 的值；

（2）已知(ax ＋1)7（a ≠0）的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，求a 的值； (3)已知(2x ＋gx x

1)8

的展开式中，二项式系数最大的项的值等于

1120，求x 的值．

解：（1）依题意1

37n n C C =，即

6

)

2)(1(--n n n ＝7n

由于n ∈N ，整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8

(2) 依题意3

474372572a C a C a C =+

由于a ≠0，整理得5a 2－10a ＋3＝0，解得a ＝1±

5

10 （3）依题意T 5＝4

lg 448)()2(x x x C ＝1120，

整理得x 4(1

＋lg x )

＝1，两边取对数，得

lg 2x ＋lg x ＝0，解得lg x ＝0或lg x ＝－1 ∴x ＝1或x ＝

10

1 评述 (a ＋b)n 的展开式及其通项公式是a ，b ，n ，r ，T r ＋1五个量的统一体，已知与未知相对的，运用函数