高中数学复数专题知识点整理和总结人教版
高中数学必修二第七章复数知识点总结(超全)(带答案)
高中数学必修二第七章复数知识点总结(超全)单选题1、若a,b∈R，i是虚数单位，a+2021i=2−bi，则a2+bi等于（）A．2021+2i B．2021+4i C．2+2021i D．4−2021i答案：D分析：根据复数相等可得a=2，−b=2021，进而即得.因为a+2021i=2−bi，所以a=2，−b=2021，即a=2，b=−2021，所以a2+bi=4−2021i．故选：D．2、已知复数z满足z⋅z+4i z=5+a i，则实数a的取值范围为（）A．[−4,4]B．[−6,6]C．[−8,8]D．[−12,12]答案：D分析：设z=x+y i,x,y∈R，由复数相等，得出x,y,a的关系式，消去x得到关于y的一元二次方程有实数解，利用Δ≥0，求解即可得出答案.设z=x+y i,x,y∈R，则x2+y2+4i(x−y i)=5+a i，整理得：x2+y2+4y+4x i=5+a i,所以{x 2+y2+4y=54x=a，消去x得y2+4y−5+a216=0,因为方程有解，所以Δ=16−4(a216−5)≥0，解得：−12≤a≤12.故选：D.3、复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足|z−3|=|z−i|，则动点Z的轨迹为（）A．直线B．线段C．两条射线D．圆答案：A分析：设出动点Z坐标为(x,y)，根据题意列出方程，求出结果.设动点Z坐标为(x,y)，则z=x+y i，所以|x+y i−3|=|x+y i−i|，即(x−3)2+y2=x2+(y−1)2，化简得：3x−y−4=0，故动点Z的轨迹为直线.故选：A4、已知复数z满足(z−i)(2+i)=6−2i，则|z|=（）A．√3B．2C．√5D．√6答案：C分析：利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解. 因为(z−i)(2+i)=6−2i，所以z=6−2i2+i +i=(6−2i)(2−i)(2+i)(2−i)+i，=2−2i+i=2−i，所以|z|=√22+(−1)2=√5.故选：C.5、如果复数z满足|z+1−i|=2，那么|z−2+i|的最大值是（）A．√13+2B．2+√3C．√13+√2D．√13+4答案：A分析：复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离．∵|CM|=√32+22=√13．∴|z−2+i|的最大值是√13+2．故选：A．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z+1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2．6、若复数5−3−i的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数的图象上（）A ．y =2xB ．y ＝x+12xC ．y =|x|D ．y =−2x 2−1 答案：D分析：将复数化为z ＝a ＋b i 的形式即可求出A ，将A 的坐标代入选项的函数验证即可. 因为5−3−i ＝=5(−3+i)(−3−i)(−3+i)＝－32＋12i ， 所以a ＝－32，b ＝12，所以A (12,−32)，把点A 的坐标分别代入选项，只有D 选项满足. 故选：D.7、已知z(1−2i)=i ，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的虚部为i5B ．复数z 对应的点在复平面的第二象限 C ．复数z 的共轭复数z =25−i5D ．|z |=15 答案：B分析：由复数除法求出复数z ，然后可判断各选项． 由已知得z =i 1−2i=1(1+21)(1−2i)(1+2i)=−25+i 5，所以复数z 的虚部为15，而不是i5，A 错误；在复平面内，复数z 对应的点为(−25,15)，在第二象限，B 正确. z =−25−i5，C 错误；|z|=√(−25)2+(15)2=√55，D 错误；故选：B ．小提示：本题考查复数的除法，考查复数的几何意义，共轭复数的概念及模的定义，属于基础题． 8、设z =i(2+i)，则z̅= A ．1+2iB ．–1+2i C ．1–2iD ．–1–2i 答案：D分析：本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念，写出z ．z =i(2+i)=2i +i 2=−1+2i ， 所以z̅=−1−2i ，选D ．小提示：本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误． 多选题9、设复数z =1a+2i (a ∈R)，当a 变化时，下列结论正确的是（ ） A ．|z |=|z̅|恒成立B ．z 可能是纯虚数 C ．z +1z 可能是实数D ．|z |的最大值为12 答案：ABD分析：首先根据题意得到z =a a 2+4−2a 2+4i ，再结合复数的定义和运算性质依次判断选项即可.z =1a+2i=a−2i (a+2i )(a−2i )=a a 2+4−2a 2+4i ，对选项A ，z̅=aa 2+4+2a 2+4i ，|z |=|z̅|=√a 2(a 2+4)2+4(a 2+4)2， 故A 正确.对选项B ，z =aa 2+4−2a 2+4i ，当a =0时，z =−12i 为纯虚数，故B 正确. 对选项C ，z +1z=a a 2+4−2a 2+4i +a +2i =(aa 2+4+a)+(2−2a 2+4)i令2−2a 2+4=0，即a 2+3=0无解，故C 错误.对选项D ，|z |2=a 2(a 2+4)2+4(a 2+4)2=1a 2+4≤14，当且仅当a =0时取等号. 所以|z |的最大值为12，故D 正确. 故选：ABD10、1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式e i x =cosx +i sinx （x ∈R,i 为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（ ） A ．e i π+1=0B ．(12+√32i )2022=1C ．|e i x +e -i x |≤2D ．−2≤e i x −e -i x ≤2 答案：ABC分析：根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.对于A ，当x =π时，因为e i π=cos π+i sin π=−1，所以e iπ+1=0，故选项A 正确； 对于B ，(12+√32i )3=(cos π3+i sin π3)2022=(e π3i )2022=e 674πi =cos674π+i sin674π=1，故B 正确；对于C ，由e i x =cosx +i sinx ，e −i x =cos(−x)+i sin(−x)=cosx −i sinx ，所以e i x +e −i x =2cosx ,得出|e i x +e -i x |=|2cosx|≤2，故选项C 正确；对于D ，由C 选项的分析得e i x −e −i x =2i sinx ，推不出−2≤e i x −e -i x ≤2，故选项D 错误. 故选：ABC.11、已知方程x 2+2x −a =0，其中a <0，则在复数范围内关于该方程的根的结论错误的是（ ） A ．该方程一定有一对共轭虚根B ．该方程可能有两个正实根C ．该方程两根的实部之和等于−2D ．若该方程有虚根，其虚根的模一定小于1 答案：ABD分析：一元二次方程的根与判别式Δ有关,令Δ≥0即可判断有实数根的情况；当Δ<0时,求得两个虚数根，即可判断选项.因为方程x 2+2x −a =0,a ＜0，判别式Δ=4+4a 当Δ≥0时,即a ≥−1时方程有实数根，所以A 错误;由韦达定理可知两个实数根的和为−2，所以不可能有两个正实数根，所以B 错误; 当Δ<0时，方程有两个虚数根，由求根公式可得x =−1±√−(4+4a )2i ，所以两个根的实部和为−2，故C 正确；虚数根的模为√1+(√−(4+4a )2)2＞1，所以虚数根的模一定大于1，故D 错误. 故选：ABD 填空题12、已知向量a ⃗=(2，4) ，b ⃗⃗=(−1，2)，则向量a ⃗在向量b⃗⃗上的投影向量为________（用坐标表示）．答案：(−65,125)分析：先计算两个向量的夹角的余弦值，再计算向量a ⃗ 在向量b ⃗⃗ 上的投影向量. 因为a ⃗=(2，4)，b ⃗⃗=(−1，2)，则cos〈a ⃗，b⃗⃗〉=a⃗⃗⋅b ⃗⃗|a ⃗⃗|⋅|b ⃗⃗|=2√5⋅√5=35，所以向量a ⃗ 在向量b ⃗⃗ 上的投影向量为|a ⃗|cos〈a ⃗，b ⃗⃗〉⋅b ⃗⃗|b⃗⃗|=2√5×35⋅√5(-65，125).所以答案是：(-65，125)13、设i 是虚数单位，若复数z =a1+i +i (a ∈R )是实数，则a 的值为______． 答案：2分析：根据复数的运算法则，将原复数式子化简，因为该复数是实数，故得到使得其虚部为0即可. 复数z =a 1+i+i=a (1−i )(1+i )(1−i )+i=a2+(1−a2)i 因为原复数是实数，故得到1−a2=0⇒a =2所以答案是：2 14、(1+i 1−i)100=______.答案：1分析：根据复数的除法和乘方运算规则计算即可得出结果. 根据复数的运算规则知，(1+i 1−i)100=[(1+i )(1+i )(1−i )(1+i )]100=i 100=125=1所以答案是：1. 解答题15、已知点P(√3,1),Q (cos x,sin x ),O 为坐标原点，函数f (x )=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f (A )=4,BC =3，求△ABC 周长的最大值. 答案：(1)2π(2)3+2√3分析：（1）先利用向量数量积和辅助角公式化简得到f(x)=4−2sin(x +π3)，进而求出最小正周期；（2）利用余弦定理求出(b +c)2−9=bc ，使用基本不等式求出b +c ≤2√3，进而得到△ABC 周长的最大值. (1)f(x)=OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√3,1)⋅(√3−cos x,1−sin x)=3−√3cosx +1−sinx =4−2sin(x +π3)故f(x)的最小正周期T =2π， (2)f(A)=4−2sin(A +π3)=4，解得：sin(A +π3)=0，而A ∈(0,π)，故A +π3∈(π3,4π3)，故A +π3=π，所以A =2π3；又BC =3，设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,由余弦定理得：cosA =b 2+c 2−92bc=−12，所以(b +c)2−9=bc ，又bc ≤(b+c)24，故(b +c)2−9≤(b+c)24，解得：b +c ≤2√3，当且仅当b =c =√3时等号成立， 故a +b +c ≤3+2√3，即△ABC 周长的最大值为3+2√3.。
【数学讲义】7.1复数的概念-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册讲义
高中数学必修第二册第七章复数（人教A 版2019）7.1复数的概念【基础梳理】 要点一、复数的概念我们把形如a bi +()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位. 全体复数梭构成的集合C={}R b a bi a ∈+,|叫做复数集，其中.1i 2-= 复数的分类对于复数a bi +【a ，b R ∈】，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=c=0时，它是实数0；当b ≠0时，它叫做虚数，当a ＝0且b ≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R,是复数集C 的真子集，即CR ≠⊂.复数相等的充要条件在复数集C={}R b a |bi a ∈+，中任取两个数a bi +，c di +【a ，b ，c ，d ∈R 】，规定：a bi +与c di +相等当且仅当a=c 且b=d ，即当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等时，两个复数才相等。
要点二、复数的几何意义 复数z=a+bi()b a Z ,复平面内的点一一对应−−−→←.这是复数的一种几何意义.复数的几何意义---与向量对应 复数z=a+bi→−−−→←OZ平面向量一一对应,这是复数的另一种几何意义.复数的模和共轭复数 1.向量→OZ模叫做复数z=a bi +,的模或绝对值，记作z或bia +.即z=bia +=22b a +，其中a,b ∈R ，z表示复平面内的点Z ()b a ,到原点的距离。
2.如果b=0，那么z=a bi+是一个实数a，它的模就等于a()的绝对值a.共轭复数的定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复.虚部不等于 0的两个共轭复数，也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用-z表示，即如果z=a+bi,那么-z=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.共轭复数的几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.【课堂探究】例1.以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（）A. 2﹣2iB. 2+iC. ﹣+D. + i【答案】A【解析】解：的虚部为2，以=﹣2+ i的实部为﹣2，∴要求的新复数是2﹣2i，故选：A．【分析】利用实部与虚部的定义即可得出．例2已知z∈C，满足不等式的点Z的集合用阴影表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设z=x+yi（x，y∈R），则，化为x2+y2+xi﹣y﹣xi﹣y=x2+y2﹣2y=x2+（y﹣1）2﹣1＜0，即x2+（y﹣1）2＜1，故选：C．【分析】设z=x+yi（x，y∈R），代入，化简即可得出．【课后练习】1.已知复数是纯虚数，则实数（）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】 D【解析】，因为为纯虚数且为实数，故，故，故答案为：D【分析】由题意利用纯虚数的定义，求得m的值。
01-第一节 复数的概念-课时1 数系的扩充和复数的概念高中数学必修第二册人教版
6
2
2
2
2.设i是虚数单位，若复数 = 3 + 2 + (2 − 3)i的实部与虚部互为相反数，
则实数 =( A )
A.5
B.−5
C.3
D.−3
【解析】 因为复数 = 3 + 2 + (2 − 3)i的实部与虚部互为相反数，所
以3 + 2 = −(2 − 3)，解得 = 5.
Hale Waihona Puke 1 = 2 ⇔ = 且 = .
D.−3
8.[2024安徽安庆名校联考]若i − 2i2 = + 2i,, ∈ ，则复数 + i等
于( B
A.−2 + i
)
B.4 + 2i
C.1 − 2i
D.1 + 2i
【解析】 由i2 = −1,得i − 2i2 = 2 + i,则2 + i = + 2i,根据复数相等
所以 = 5时，复数为实数.
（2）为纯虚数;
【解析】
2 −−6
当
+3
= 0且 + 3 ≠ 0且2 − 2 − 15 ≠ 0时，复数为纯
虚数,
解得 = 3或 = −2,
所以 = 3或 = −2时，复数为纯虚数.
（3）为虚数.
【解析】 当 + 3 ≠ 0且2 − 2 − 15 ≠ 0时，复数为虚数,解得
第七章 复数
第一节 复数的概念
课时1 数系的扩充和复数的概念
过基础 教材必备知识精练
知识点1 数系的扩充和复数的概念
1.复数 =
1
A.−
2
【解析】
1
高中数学复数专题学习知识点整理及总结人教版本.docx
专题一复数一．基本知识㈠复数的基本概念⑴ i 叫虚数单位，规定：① i 2=﹣ 1, ②实数的一切运算法则对 i 都成立。
⑵ i 的正整数指数幂的化简i 4n =i4n+1=i4n+2=i4n+3=⑶形如 ab，它的平方等于－，+ i 的数叫做复数（其中）；复数的单位为 i1其中 a 叫做复数的实部， b 叫做虚部 . ①实数：当 b = 0 时复数 a + b i 为实数 ②虚数：当时的复数 a + bi 为虚数；③纯虚数：当 a = 0 且时的复数 a + b i 为纯虚数 .⑷两个复数相等的定义：a+bi=c+di ?a=c 且 b=d ;a+bi=0 ?a=0 且 b=0.强调：两个虚数不比较大小，也就是说：两个复数都是实数时才比较大小。
⑸共轭复数： z a bi 的共轭记作 za bi ；⑹复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面； z a bi ，对应点坐标为 p a,b；（象限的复习）⑺复数的模：对于复数 z a bi ，把 z a 2b 2 叫做复数 z 的模；㈡复数的基本运算设 z 1 a 1 b 1i ， z 2 a 2 b 2i（ 1） 加法： z 1 z 2a 1a 2b 1 b 2 i ；（ 2） 减法： z 1 z 2 a 1 a 2 b 1 b 2 i ；（ 3） 乘法： z 1 z 2 a 1a 2b 1b 2a 2b 1 a 1 b 2i 特别 z za 2b 2 。
（4） 除法：c di c di a biac bdadbc iza bi a bia 2b 2=a bi二． 例题分析【例 1】已知 za 1b 4 i ，求（ 1） 当 a, b 为何值时 z 为实数 （ 2） 当 a, b 为何值时 z 为纯虚数 （ 3） 当 a, b 为何值时 z 为虚数（ 4） 当 a, b 满足什么条件时 z 对应的点在复平面内的第二象限。
【变式 1】若复数为纯虚数，则实数的值为（）A ．B ．CD ．或（2）（ 2012 北京文 2）在复平面内，复数10i 对应的点的坐标为（ ）3 i（A ） (1,3)（ B ） (3,1) （ C ） ( 1,3) （ D ） (3, 1)【例 2】已知 z 1 3 4i ； z 2 a 3 b 4 i ，求当 a, b 为何值时 z 1=z 2【例 】已知 z1 i ，求z ， z z ；3【变式 1】 复数 z 满足 z2 i，则求 z 的共轭 z1 i－ 3+i (2 ）（ 2012 年新课标全国文2）复数 z ＝2+i 的共轭复数是（ ）（ A ） 2+i（ B ） 2－ i（C ）－ 1+i（ D ）－ 1－i3 i ，则 z ? z =（）【变式 2】（ 2010 年全国卷新课标） 已知复数 z3i) 2(1A.1B.1 42【例4】已知z 12 i ， z 23 2i（ 1） 求 z 1z 2 的值；（ 2） 求 z 1 z 2 的值；（ 3） 求 z 1 z 2 .【变式 1】已知复数 z 满足 z 2 i1 i ，求 z 的模 .【变式 2】若复数 1 ai 2是纯虚数，求复数 1 ai 的模 .【例 5】若复数 za3ia R （i 为虚数单位），1 2i（ 1） 若 z 为实数，求 a 的值（ 2） 当 z 为纯虚，求 a的值 .1. (2012年山东 1) 若复数 z 满足 z(2 i ) 11 7i(i 为虚数单位 ) ，则 z 为 （）(A)3+5i (B)3－ 5i(C) － 3+5i(D) － 3－ 5i2. （ 2013 全国理 2）若复数z 满足3 4i z 43i则 z 的虚部为（）（ A ）4（ B ）4（ C ） 4 45（ D ）53． (2013 北京，文 4) 在复平面内，复数 i(2 － i) 对应的点位于 ( ) ．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D．第四象限1 2i 4.(2013 课标全国Ⅰ，文 2)1 i2 ＝ () ．1 1 i1+ 1i1+ 1i1 1iA ．2B ．2C ．2D ．25． (2013 山东，文 1) 复数 z ＝2i 2(i 为虚数单位 ) ，则 | z | ＝ () ．iA ． 25B ．41 C ． 5 D ． 56.(2014 北京 9) 若 x i i1 2i x R ，则 x.7. （ 2014 年全国文 3）设 z1 i ，则 | z |i1A.1B.2 C.3 D. 22228. （ 2014 山东文 1）已知 a,b R ， i 是虚数单位，若 a i 与 2 bi 互为共轭复数，则(a bi )2（A ） 54i （ B ） 5 4i （ C ） 3 4i （ D ） 3 4i【例 6】（20122的四个命题：其中年全国卷新课标）下面是关于复数 z1i的真命题为（）p1 : z 2 p2 : z22i p3 : z 的共轭复数为 1i p4 : z 的虚部为1 ( A) p2, p3 (B) p1, p2 (C ) p , p(D ) p , p【变式 1】设a是实数，且a 1 i是实数，求 a 的值..1i2【变式 2】若z y3ix, y R 是实数，则实数xy的值是. 1xi【例 7】复数 z cos3 i sin3 对应的点位于第象限【变式 1】是虚数单位 , 等于 ()A．i B．-iC． 1D．-1【变式 2】已知 =2+i, 则复数 z=（）（ A） -1+3i (B)1-3i(C)3+i(D)3-i【变式 3】 i 是虚数单位，若，则乘积的值是（ A）－ 15（B）－3（C）3（D）15【例 8】（2012 年天津）复数z7i =（）3i（ A） 2 i（Ｂ） 2 i（Ｃ） 2i（Ｄ） 2 i【变式 4】（ 2007 年天津）已知i是虚数单位，2i3（）1 i Ａ 1 iＢ 1 iＣ 1 iＤ． 1 i【变式 5】 . （ 2011 年天津）已知i是虚数单位，复数13i =（）1i2 i2iC 1 2iD1 2iA B【变式 6】（ 2011 年天津）已知 i 是虚数单位，复数13i（）12i(A)1 ＋i (B)5 ＋5i (C)-5-5i (D)-1－ i【变式 7】 . （ 2008 年天津）已知i是虚数单位，则i3i1（）i1(A) 1 (B)1(C)i(D)i。
高中数学复数专题知识点整理和总结人教版57580教学内容
高中数学复数专题知识点整理和总结人教版57580专题二 复数一．基本知识【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解 二． 例题分析 【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理] 复数的概念与运算(文)
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人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。
2．理解复数相等的充要条件。
3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。
5. 会进行复数乘法和除法运算。
【要点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i数i 叫做虚数单位，它的平方等于1-，即21i =-。
要点诠释：①i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；②i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
2. 复数的概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
要点诠释：复数定义中，,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数z a bi =+（,a b R ∈）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。
分类如下：用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系 N Z Q R C （其中N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集。
） 知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大 小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．知识点三、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。
2023年人教版高中数学第七章复数知识点汇总
(名师选题)2023年人教版高中数学第七章复数知识点汇总单选题1、复数(cos 2θ+isin 3θ)⋅(cos θ+isin θ)的模为1，其中i 为虚数单位，θ∈[0,2π]，则这样的θ一共有（ ）个.A ．9B ．10C ．11D ．无数答案：C分析：先根据复数(cos 2θ+isin 3θ)⋅(cos θ+isin θ)的模为1及复数模的运算公式，求得cos 22θ+sin 23θ=1即cos 22θ=cos 23θ，接下来分cos 2θ=cos3θ与cos 2θ=−cos3θ两种情况进行求解，结合θ∈[0,2π]，求出θ的个数.|(cos 2θ+isin 3θ)⋅(cos θ+isin θ)|=|cos 2θ+isin 3θ|⋅|cos θ+isin θ|=1，其中|cos θ+isin θ|=1，所以|cos 2θ+isin 3θ|=1，即cos 22θ+sin 23θ=1，cos 22θ=1−sin 23θ=cos 23θ，当cos 2θ=cos3θ时，①2θ=3θ+2k 1π，k 1∈Z ，所以θ=−2k 1π，k 1∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=0或2π；②2θ=−3θ+2k 2π，k 2∈Z ，所以θ=2k 2π5，k 2∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=0，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos 2θ=−cos3θ时，①2θ=3θ+(2k 3+1)π，k 3∈Z ，即θ=−(2k 3+1)π，k 3∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=π，②2θ=−3θ+(2k 4+1)π，k 4∈Z ，即θ=(2k 4+1)5π，k 4∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=π5，3π5，π，7π5，9π5，综上：θ=m 5π，m =0,1,⋯10，一共有11个.故选：C2、已知i 是虚数单位，则复数z =2−i 20202+i 2021对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D分析：先化简i 2020,i 2021，再利用复数的除法化简得解.z =2−i 20202+i 2021=12+i =2−i (2+i)(2−i)=2−i 5.所以复数对应的点(25,−15)在第四象限， 故选：D小提示：名师点评复数z =x +yi(x,y ∈R)对应的点为(x,y)，点(x,y)在第几象限，复数对应的点就在第几象限.3、若复数z 满足z ⋅(2+i)=z ⋅(1−i)+1，则复数z 的实部为（ ）A ．−32B ．−1C ．−12D ．1 答案：D分析：利用复数的四则运算以及共轭复数的概念，根据对应相等即可求解.设z =a +bi (a 、b ∈R )，则(a +bi)⋅(2+i)=(a −bi)⋅(1−i)+1，化简得(2a −b)+(a +2b)i =(a −b +1)−(a +b)i ，根据对应相等得：{2a −b =a −b +1a +2b =−(a +b )， 解得a =1，b =−23，故选：D.4、复数a +b i (a,b ∈R )的平方是一个实数的充要条件是（ ）.A ．a =0且b ≠0B ．a ≠0且b =0C ．a =b =0D ．ab =0答案：D分析：利用充要条件的定义和复数的运算判断即可因为(a +b i )2=a 2+2ab i +(b i )2=a 2−b 2+2ab i 为实数，所以ab =0，反之，当ab =0时，复数a +b i (a,b ∈R )的平方是一个实数，所以复数a +b i (a,b ∈R )的平方是一个实数的充要条件是ab =0，故选：D5、在复平面内，复数z =1+i 1−i +1−i 2对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：由复数的运算求出z ，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．z =(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i 2=2i 2+1−i 2=12+12i ， 则z 在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A .6、1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程x (10−x )=40的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为5+√−15和5−√−15，数系扩充后这两个根分别记为5+√15i 和5−√15i ．若z(5+√15i )=5−√15i ，则复数z =（ ）A ．1−√15iB ．1+√15iC ．1−√15i 4D ．1+√15i 4答案：C 分析：利用复数除法运算求得z .由z(5+√15i )=5−√15i ，得z =√15i 5+√15i =√15i 2(5+√15i )(5−√15i )=25−15−10√15i 25−15i 2=1−√15i4．故选：C ．7、若a,b ∈R ，i 是虚数单位，a +2021i =2−bi ，则a 2+bi 等于（ ）A ．2021+2iB ．2021+4iC ．2+2021iD ．4−2021i答案：D分析：根据复数相等可得a =2，−b =2021，进而即得.因为a+2021i=2−bi，所以a=2，−b=2021，即a=2，b=−2021，所以a2+bi=4−2021i．故选：D．8、若z=1+2i+i3，则|z|=（）A．0B．1C．√2D．2答案：C分析：先根据i2=−1将z化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．因为z=1+2i+i3=1+2i−i=1+i，所以|z|=√12+12=√2．故选：C．小提示：本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．9、设z1=−1+√3i，z2=(12z1)2，则argz2=（）A．56πB．43πC．116πD．53π答案：B分析：首先求z2，再求tanθ，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.z2=14z12=14(−1+√3i)2=−12−√32i，复数对应的点是(−12,−√32)，位于第三象限，且tanθ=ba=√3，所以argz2=4π3.故选：B10、已知复数z1=21+i与z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，则z1z2=（）A．−4i B．−2i C．2i D．4i答案：C分析：利用复数的除法运算法则化简复数z 1，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线y =x 对称的点，得到复数z 2，最后利用复数的乘法运算法则即可求得z 1z 2．因为z 1=21+i =2(1−i )(1+i )(1−i )=1−i ，所以复数z 1在复平面内对应的点为(1,−1)，其关于直线y =x 对称的点为(−1,1)，所以z 2=−1+i ，所以z 1z 2=(1−i )(−1+i )=2i ，故选：C ．11、已知复数z 1﹑z 2满足|z 1−z 2|=r (r >0)，复数ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，且|ωi −ωj |≥r 对任意1≤i <j ≤n 成立，则正整数n 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12答案：C解析：用向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示z 1⃑⃑⃑ ,z 2⃑⃑⃑ ，根据题意，可得|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |=r ，因为|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，根据其几何意义可得ωi 的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.用向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示z 1⃑⃑⃑ ,z 2⃑⃑⃑ ，因为|z 1−z 2|=r (r >0)，所以|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|BA⃑⃑⃑⃑⃑ |=r ， 又ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，则ωi 可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为|ωi −ωj |≥r ，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60°，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.故选：C小提示：解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到ωi 的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.12、设i 是虚数单位，则复数z =2i (−2+3i )对应的点在复平面内位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C分析：利用复数的乘法法则化简复数z ，由此可得出结论.∵z =2i (−2+3i )=−6−4i ，因此，复数z 在复平面内的点位于第三象限.故选：C.双空题13、欧拉公式e i θ=cosθ+i sinθ把自然对数的底数e ､虚数单位i ､三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被兴为“数学中的天桥”，若复数z 满足(e 2023iπ+i )⋅z =i ，则z 的虚部是___________，|z |=___________.答案： −12 √22分析：结合欧拉公式、复数除法运算求得z ，从而求得z 的虚部以及|z |.由e i θ=cosθ+i sinθ，得e 2023iπ=cos2023π+i sin2023π=−1，则由(e 2023iπ+i )⋅z =i ，得z =i −1+i =i (−1−i )(−1+i )(−1−i )=12−12i ，故z 的虚部是−12，|z |=√14+14=√22. 所以答案是：−12；√22 14、已知a ，b ∈R ，1+ai =b +(2a +3)i ，则a =______，|a +3bi |=______.答案： −3 3√2分析：根据a ，b ∈R ，1+ai =b +(2a +3)i ，利用复数相等，建立方程求出a ，b 即可得到结论. ∵1+ai =b +(2a +3)i∴{1=b a =2a +3， 解得{a =−3b =1， 则|a +3bi |=|−3+3i |=√(−3)2+32=√18=3√2，所以答案是：（1）−3；（2）3√2小提示：本题主要考查复数相等的应用以及复数的模的求法，属于基础题.15、复数z =11+i对应的点在第_____象限，复数z 的实部是_______________． 答案： 四 12解析：根据复数的运算法则化简复数z ，再求对应点的坐标，以及实部即可.因为z =11+i =1−i (1+i)(1−i)=12−12i ，故其对应的点为(12,−12)位于第四象限，其实部为12.所以答案是：四；12.小提示：本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属综合基础题.16、已知复数z 满足(1−i )z =3+i ，则z =__________，|z|=__________．答案： 1+2i ##2i+1 √5分析：利用复数的除法化简得到z = 1+2i ，利用复数的模长公式即得.∵(1−i )z =3+i ，∴z =3+i 1−i =(3+i)(1+i)(1−i )(1+i )=2+4i 2=1+2i ，|z |=√12+22=√5.所以答案是：1+2i ；√5.17、复数z 满足(1+i )z =4−2i ，则z 的虚部为__________，|z |=__________．答案：−3√10分析：先根据复数的除法运算求出复数z，进而根据复数的概念求出虚部，再利用复数的模长公式即可求出模长.因为(1+i)z=4−2i，所以z=4−2i1+i =(4−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−6i2=1−3i，则z的虚部为−3，|z|=√12+(−3)2=√10，所以答案是：−3；√10.解答题18、设虚数z1、z2满足z12=z2，且z1、z2是一个实系数一元二次方程的两个根，求z1、z2．答案：{z1=−12+√32iz2=−12−√32i或{z1=−12−√32iz2=−12+√32i分析：先探讨实系数一元二次方程的两个虚根的关系，由此设z1=a+b i，结合已知条件列出方程即可得解. 一元二次方程mx2+nx+p=0中，m,n,p∈R,m≠0,Δ=n2−4mp<0，则有(x+n2m )2=n2−4mp4m2，(x+n2m)2=(√−Δ2mi)2，得原方程的二根为x1=−n2m+√−Δ2mi和x2=−n2m−√−Δ2mi，显然x1与x2互为共轭复数，即实系数一元二次方程有虚根时，这两个虚根互为共轭复数，因z1、z2是一个实系数一元二次方程的两个虚根，则有z2=z1，设z1=a+bi(a,b∈R且b≠0)，而z12=z2，于是得a2−b2+2ab i=a−b i⇒{a 2−b2=a2ab=−b ⇒{a=−12b=±√32，所以{z1=−12+√32iz2=−12−√32i或{z1=−12−√32iz2=−12+√32i19、复数z满足|z|=1，且z2+2z+1z<0．求z．答案：z=−1或z=−12±√32i解析：由题意可知设复数z =cosα+isinα,计算出z 2,2z ,1z ,代入z 2+2z +1z <0中可得{cos2α+3cosα<02sinαcosα+sinα=0可求得复数z .由题意可知：z =cosα+isinα,则z 2=cos 2α−sin 2α+2isinαcosα,2z =2cosα+2isinα,1z =cosα−isinα, ∴z 2+2z +1z =(cos2α+3cosα)+(2sinαcosα+sinα)i <0, ∴{cos2α+3cosα<02sinαcosα+sinα=0,即{cos2α+3cosα<0sinα(2cosα+1)=0， 若sinα=0，则cos2α=1，由cos2α+3cosα<0得cosα=−1，所以z =−1，若cosα=−12，则cos2α=−12，cos2α+3cosα<0，得z =−12±√32i ， ∴z =−1或z =−12±√32i . 小提示：本题考查复数的计算，关键在于设出复数z 的三角形式进行运算，理解复数小于零的含义，属于中档题.20、复数z =(1+i )m 2+(5−2i )m +(6−15i )．（1）实数m 取什么数时，z 是实数；（2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线x +y +7=0上．答案：（1）m =5或−3；（2）m =−2；（3）m =12或−2分析：复数z =(1+i)m 2+(5−2i)m +(6−15i)=(m 2+5m +6)+(m 2−2m −15)i ．（1）由m 2−2m −15=0，解得m 即可得出．（2）由{m 2+5m +6=0m 2−2m −15≠0 ，解得m 即可得出． （3）由(m 2+5m +6)+(m 2−2m −15)+7=0．解出即可得出．解：复数z =(1+i)m 2+(5−2i)m +(6−15i)=(m 2+5m +6)+(m 2−2m −15)i ．（1）由m 2−2m −15=0，解得m =5或−3．∴m =5或−3时，复数z 为实数．（2）由{m2+5m+6=0m2−2m−15≠0，解得m=−2．∴m=−2时，复数z为纯虚数．（3）由(m2+5m+6)+(m2−2m−15)+7=0．化为：2m2+3m−2=0，解得m=12或−2．∴m=12或−2，z对应点在直线x+y+7=0上．小提示：本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
人教高中数学第七章复数必考知识点归纳
(名师选题)人教高中数学第七章复数必考知识点归纳单选题1、已知复数z满足z⋅z+4iz=5+ai，则实数a的取值范围为（）A．[−4,4]B．[−6,6]C．[−8,8]D．[−12,12]答案：D分析：设z=x+yi,x,y∈R，由复数相等，得出x,y,a的关系式，消去x得到关于y的一元二次方程有实数解，利用Δ≥0，求解即可得出答案.设z=x+yi,x,y∈R，则x2+y2+4i(x−yi)=5+ai，整理得：x2+y2+4y+4xi=5+ai,所以{x 2+y2+4y=54x=a，消去x得y2+4y−5+a216=0,因为方程有解，所以Δ=16−4(a216−5)≥0，解得：−12≤a≤12.故选：D.2、若复数z满足(z-1)i=1+i其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数z=（）A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i答案：D分析：根据复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求解.因为(z-1)i=1+i，所以z=1+2ii =(1+2i)ii×i=2−i，所以z=2+i.故选：D.3、已知复数z=(1−i)−m(1+i)是纯虚数，则实数m=（）A．-2B．-1C．0D．1答案：D解析：利用纯虚数的性质可得m的值.z=(1−i)−m(1+i)=1−m−(m+1)i，因为z为纯虚数且m为实数，故{1−m =01+m ≠0，故m =1， 故选：D4、若复数z =(1+i)23+4i ，则|z |=（ ） A ．45B ．35C ．25D ．√25答案：C解析：先求出z =8−6i 25，再求出|z|得解. 由题得z =(1+i )23+4i =2i 3+4i =2i (3−4i )(3+4i )(3−4i )=8+6i 25， 所以|z |=√(825)2+(625)2=1025=25.故选：C5、已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z =z .则其中正确命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z 1和z 2的模相等,例如z 1=1+i ,z 2=√2i ,则z 1和z 2是共轭复数是错误的;对于②z 1和z 2都是复数,若z 1+z 2是虚数,则其实部互为相反数,则z 1不是z 2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z =a ,则z =a 所以z =z ,反之当z =z 时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z =z 是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.6、在复平面内，复数z =1+i 1−i +1−i 2对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：由复数的运算求出z ，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．z =(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i 2=2i 2+1−i 2=12+12i ， 则z 在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A .7、复数z =4−3i 2+i （其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ．−2B ．−1C ．1D ．2答案：A分析：根据复数除法的运算法则，求出复数z ，然后由虚部的定义即可求解.解：因为复数z =4−3i 2+i =(4−3i )(2−i )(2+i )(2−i )=5−10i22+12=1−2i ， 所以复数z 的虚部为−2，故选：A.8、欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ(e 为自然底数，i 为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数e 2i 在复平面内对应点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B分析：根据欧拉公式有e 2i =cos2+isin2，判断cos2,sin2即可确定e 2i 对应点所在象限.由题意知：e 2i =cos2+isin2，而π2<2<π， ∴cos2<0,sin2>0，故e 2i 对应点在第二象限.故选：B9、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D10、已知关于x 的方程（x 2＋mx ）＋2x i ＝－2－2i （m ∈R ）有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于（ ）A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i答案：B分析：根据复数相等得出m,n 的值，进而得出复数z .由题意知（n 2＋mn ）＋2n i ＝－2－2i ，即{n 2+mn +2=02n +2=0，解得{m =3,n =−1，∴z =3−i 故选：B填空题11、已知复数z =(m +4)+(m −2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是______． 答案：(−∞,−4)分析：由实部、虚部都小于0可得．由题意{m +4<0m −2<0，解得m <−4． 所以答案是：(−∞,−4)．12、已知|z |=1，则|z −1+√3i| 的最小值是_________．答案：1解析：由|z |=1，得z 在复平面内所对应的点Z 在以原点O 为圆心，半径为r =1的圆上．|z −1+√3i |=|z −(1−√3i)|，表示Z 到点1−√3i 所对应的点P(1，−√3)的距离，求出|OP |后减去半径可得最小值．解：因为|z |=1，所以z 在复平面内所对应的点Z 在以原点O 为圆心，半径为r =1的圆上．|z −1+√3i |=|z −(1−√3i)|，表示Z 到点1−√3i 所对应的点P(1，−√3)的距离，∵|OP |=√1+3=2，所以|PZ|min =|OP |−r =1．故答案为1．小提示：方法点睛：本题考查复数模的几何意义，|z |表示复平面上z 对应的点Z 到原点的距离，|z −z 0|表示z 在复平面上z 对应的点Z 与z 0对应的点Z 0间的距离．因此有|z −z 0|=r 表示z 0对应的点为圆心，r 为半径的圆．13、复平面内向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为2+i ，A 点对应的复数为−1，现将AB⃗⃗⃗⃗⃗ 绕A 点顺时针方向旋转90°后得到的向量为AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点C 对应的复数为_________. 答案：−2i分析：利用复数乘法的几何意义求得C 对应的复数.由于向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为2+i ，而A (−1,0)，现将AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕A 点顺时针方向旋转90°后得到的向量为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以C 对应的复数为(2+i )⋅(−i )−1=−2i .所以答案是：−2i小提示：本小题主要考查复数旋转有关概念，属于基础题.14、在复平面内，设点A ､P 所对应的复数分别为πi ､cos(2t ﹣π3)+i sin(2t ﹣π3)(i 为虚数单位)，则当t 由π12连续变到π4时，向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 所扫过的图形区域的面积是___________. 答案：π6 分析：当t =π12时，求得点P 的坐标为P 1(√32,−12)，当t =π4时，点P 的坐标为P 2(√32,12)，向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 所扫过的图形区域的面积是△AP 1P 2的面积与弓形的面积之和，即向量AP⃗⃗⃗⃗⃗ 所扫过的图形区域的面积是扇形P 1OP 2的面积，从而求得向量AP⃗⃗⃗⃗⃗ 所扫过的图形区域的面积.由题意可得，点P 在单位圆上，点A 的坐标为(0，π)，如图：当t =π12时，点P 的坐标为P 1(√32,−12)，当t =π4时，点P 的坐标为P 2(√32,12)，向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 所扫过的图形区域的面积是△AP 1P 2的面积与弓形的面积之和. 由于P 1，P 2关于实轴对称，所以△AP 1P 2的面积等于△OP 1P 2的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量AP⃗⃗⃗⃗⃗ 所扫过的图形区域的面积是扇形P 1OP 2的面积. 因为∠P 1OP 2=2×π6=π3，所以扇形P 1OP 2的面积为等于12×π3×12=π6.所以答案是：π6.小提示：关键点点睛：本题的关键点是：由“△AP 1P 2的面积等于△OP 1P 2的面积”得到“向量AP⃗⃗⃗⃗⃗ 所扫过的图形区域的面积是扇形P 1OP 2的面积”.15、若实数x,y 满足x +yi =−1+(x −y)i ，则xy =_____________．答案：12#0.5分析：根据复数相等充要条件，列出方程组，求得x,y 的值，即可求解.因为x +yi =−1+(x −y)，可得{x =−1y =x −y，解得x =−1,y =−12，所以xy =12. 所以答案是：12 解答题16、已知复数z =(a 2−2a −3)+(a 2−5a +6)i （a ∈R ）．（1）若复数z 为纯虚数，求实数a 的值；（2）若复数z 在复平面内对应的点在第二象限，求实数a 的取值范围．答案：（1）a =−1；（2）(−1,2)．分析：（1）由实部为0且虚部不为0列式求解a 的值；（2）由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．解：（1）由题意，{a 2−2a −3=0,a 2−5a +6≠0,解得a =−1． （2）∵复数z 在复平面内对应的点在第二象限，∴{a 2−2a −3<0a 2−5a +6>0， 解得：−1<a <2．∴实效a 的取值范围是(−1,2)．小提示：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．17、已知复数z =1−2i （i 为虚数单位）.（1）若z ⋅z 0=2z +z 0，求复数z 0的共轭复数；（2）若z 是关于x 的方程x 2−mx +5=0一个虚根，求实数m 的值.答案：（1）2−i ；（2）2．分析：（1）因为z ⋅z 0=2z +z 0，所以z 0=2z z−1，求出z 0，即可得到z 0的共轭复数；（2）将z =1−2i 代入方程x 2−mx +5=0，根据复数相等可求求实数m 的值.详解：（1）因为z ⋅z 0=2z +z 0，所以z 0=2z z−1=2(1−2i )−2i =2+i ，所以复数z 0的共轭复数为2−i .（2）因为z 是关于x 的方程x 2−mx +5=0的一个虚根，所以(1−2i )2−m (1−2i )+5=0，即(2−m )+(2m −4)i =0.又因为m 是实数，所以m =2.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等的充要条件、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．18、ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C ，D 四点对应的复数分别为1+3i ，2i ，2+i ，z ，（1）求复数z ；（2）z 是关于x 的方程2x 2﹣px +q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值.答案：（1）z =3+2i ；（2）p =12,q =26.分析：（1）根据A 、B 、C 对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1），设D 的坐标（x ，y ），利用AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ 求解； （2）根据3+5i 是关于x 的方程2x 2﹣px +q ＝0的一个根，然后利用根与系数的关系求解.（1）复平面内A 、B 、C 对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1），设D 的坐标（x ，y ），由于AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴（x ﹣1，y ﹣3）＝（2，﹣1），∴x ﹣1＝2，y ﹣3＝﹣1，解得x ＝3，y ＝2，故D （3，2），则点D 对应的复数z ＝3+2i ；（2）∵3+2i 是关于x 的方程2x 2﹣px +q ＝0的一个根，∴3﹣2i 是关于x 的方程2x 2﹣px +q ＝0的另一个根， 则3+2i +3﹣2i ＝p 2，（3+2i ）（3﹣2i ）＝q 2， 即p ＝12，q ＝26.。
数学总结复数知识点高中
数学总结复数知识点高中一、复数的定义1、数学中，虚数单位i定义为i²=-1。
如果一个数是实数与虚数的和，那么它就是一个复数。
2、一般的复数可以表示为a+bi，其中a和b都是实数，a被称为实部，b被称为虚部。
3、复数集合的表示法有直角坐标系表示法和极坐标系表示法。
在直角坐标系中，复数可以表示为(a, b)，其中a是实部，b是虚部，也可以表示为a+bi；在极坐标系中，复数可以表示为(r, θ)，其中r是模，θ是幅角，也可以表示为r(cosθ + isinθ)。
二、复数的运算1、复数加减法（a+bi）+(c+di) = (a+c) + (b+d)i；（a+bi）-(c+di) = (a-c) + (b-d)i。
2、复数乘法（a+bi）*(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3、共轭复数如果一个复数为a+bi，它的共轭复数为a-bi。
4、复数除法（a+bi）/(c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)i/(c²+d²)。
三、复数的性质1、加法和乘法满足交换律和结合律。
2、复数与共轭复数的乘积等于模的平方。
3、对于任意非零复数z=a+bi，都有z*·z=|z|²。
4、复数的除法等于乘以被除数的倒数。
四、复数的应用1、复数在几何中的应用（1）复数可以用来表示平面上的点，便于描述平面上的旋转、平移等运动。
（2）复数可以用来表示向量，便于计算向量的模、夹角等。
2、复数在代数方程中的应用（1）解一元二次方程。
对于ax²+bx+c=0，其中a≠0，如果b²-4ac<0，可以用复数来表示方程的解。
（2）解线性代数方程组。
在线性代数中，利用复数可以方便地解决线性代数方程组的问题。
3、复数在电路中的应用在电路中，复数可以用来表示电流和电压，并且可以方便地计算电路的阻抗、频率响应等参数。
2023年人教版高中数学第七章复数知识点总结归纳完整版
(名师选题)2023年人教版高中数学第七章复数知识点总结归纳完整版单选题1、已知为i 虚数单位，复数z =1+i1+2i ，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A分析：利用复数的除法运算化简z ，求出z 即可得在复平面内对应的点的坐标以及所在的象限.z =1+i 1+2i =(1+i )(1−2i )(1+2i )(1−2i )=1−2i 2−i 1−4i 2=3−i 5=35−15i ， z =35+15i ，所以z 在复平面内对应的点坐标为(35,15)， 所以z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A.2、已知关于x 的方程（x 2＋mx ）＋2x i ＝－2－2i （m ∈R ）有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于（ ）A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i答案：B分析：根据复数相等得出m,n 的值，进而得出复数z .由题意知（n 2＋mn ）＋2n i ＝－2－2i ，即{n 2+mn +2=02n +2=0 ，解得{m =3,n =−1 ，∴z =3−i 故选：B3、复数1−cosθ−i sinθ(θ∈[0,2π))的三角形式是（ ）A．2sinθ2(cosθ+π2+i sinθ+π2)B．2sinθ2(cosπ−θ2+isinπ−θ2)C．2sinθ2(cosθ−π2+i sinθ−π2)D．2cosθ2(cosπ−θ2+i sinπ−θ2)答案：C分析：根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.1−cosθ−i sinθ=2sin2θ2−2i sinθ2cosθ2=2sinθ2(sinθ2−i cosθ2)=2sinθ2(cosπ−θ2−i sinπ−θ2)=2sinθ2[cosπ−θ2+i sin(−π−θ2)]=2sinθ2(cosθ−π2+i sinθ−π2)，故选：C.4、设i为虚数单位，a∈R，“复数z=a22−i20201−i不是纯虚数“是“a≠1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A分析：先化简z，求出a，再判断即可.z=a22−i20201−i=a22−11−i=a22−1+i(1−i)(1+i)=a22−12−12i，z不是纯虚数，则a22−12≠0，所以a2≠1，即a≠±1，所以a≠±1是a≠1的充分而不必要条件.故选：A.小提示：本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.5、已知复数z=1+i，z是z的共轭复数，若z·a=2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．2答案：A分析：根据共轭复数的定义，结合复数的运算性质和复数相等的性质进行求解即可.因为z =1+i ，所以z =1−i ，因此z̅=2+bi a =2a +b a i =1−i ， 所以2a =1且b a =−1,则a =2,b =−2.故选：A6、已知复数z 满足1−z z =1−i ，则z =（ ） A ．−25+15i B ．−25−15i C ．25+15i D ．25−15i答案：D分析：由已知条件求出复数z ，利用共轭复数的定义可得出结果.因为1−z z =1−i ，所以，z =12−i =2+i (2−i )(2+i )=25+15i ，因此，z =25−15i . 故选：D.7、复数z =|√3+i |的虚部是（ ） A ．−12B ．12C ．−12i D ．12i 答案：A分析：先根据模的定义计算，并化简得到z =12−12i ，再根据虚部的定义作出判定. ∵z =|√3+i |=√(√3)+12=1−i 2=12−12i ， ∴z 的虚部为−12， 故选：A.8、已知i 是虚数单位，则复数z =2−i 20202+i 2021对应的点所在的象限是（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D分析：先化简i2020,i2021，再利用复数的除法化简得解.z=2−i20202+i2021=12+i=2−i(2+i)(2−i)=2−i5.所以复数对应的点(25,−15)在第四象限，故选：D小提示：名师点评复数z=x+yi(x,y∈R)对应的点为(x,y)，点(x,y)在第几象限，复数对应的点就在第几象限.9、在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限.∵复数1+i的共轭复数为1−i，∴其对应的点(1,−1)位于第四象限.故选：D.小提示：本题考查复数的几何意义，属于基础题.10、已知z=x+yi，x，y∈R，i是虚数单位.若复数z1+i+i是实数，则|z|的最小值为（）A．0B．52C．5D．√2答案：D分析：利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x=y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出.解：∵复数z1+i +i=(x+yi)(1−i)(1+i)(1−i)+i=x+y+(y−x+2)i2是实数y−x+2=0故x=y+2|z|=√x2+y2=√(y+2)2+y2=√2y2+4y+4=√2(y+1)2+2≥√2当且仅当y=−1,x=1时取等号|z|的最小值为√2故选：D11、设m∈R，则“m=2”是“复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：C分析：求出z=(m+2i)(1+i)为纯虚数时m的值，与m=2比较，判断出结果z=(m+2i)(1+i)=m−2+(m+2)i，复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数，则m−2=0，解得：m=2，所以则“m=2”是“复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数”的充要条件故选：C12、已知复数z=(a−2i)(1+3i)(a∈R)的实部与虚部的和为12，则|z−5|=（）A．3B．4C．5D．6答案：C分析：先把已知z=(a−2i)(1+3i)(a∈R)化简，整理出复数z的实部与虚部，接下来去求|z−5|即可解决.z=(a−2i)(1+3i)=(a+6)+(3a−2)i，则有，a+6+3a−2=12，解得a=2，则z=8+4i，z−5=3+4i，故|z−5|=√32+42=5．故选：C双空题13、已知复数z满足z+1=2+3i(i为虚数单位)，则|z|=___________，复数z的共轭复数z̅在复平面内所对应的点z−i位于第___________象限.答案：2√55；四.分析：根据复数的四则运算求出z，由复数的模的计算公式求得|z|，由共轭复数的概念求得z̅，由复数的几何意义即可求解.由z+1z−i =2+3i，得z=2i−21+3i=(2i−2)(1−3i)10=25+45i，则|z|=2√55,z̅=25−45i，因此复数z的共轭复数z̅在复平面内所对应的点为(25,−45)，位于第四象限．所以答案是：①2√55；②四.14、已知复数z=(a−2)+(2a−1)i是纯虚数，其中a是实数，i为虚数单位，则a=__________.|z+1|=__________.答案： 2 √10解析：先根据复数是纯虚数得到a=2，即得解.因为复数z=(a−2)+(2a−1)i是纯虚数，所以a−2=0且2a−1≠0，所以a=2.所以|z+1|=|1+3i|=√10.所以答案是：2；√10.小提示：易错点睛：复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0，不要漏了b≠0，否则容易出错.15、已知复数z满足(z−2)i=7−i，其中i为虚数单位，则|z|=_______，复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于第_______象限．答案：5√2一分析：（1）首先设复数z=a+bi，利用等式两边相等，计算复数，再求模；（2）根据复数的几何意义直接求解.设z=a+bi(a,b∈R)，则(z−2)i=(a−2+bi)i=(a−2)i−b=7−i，因此{a −2=1−b =7 ，解得{a =1b =−7， 所以a =1−7i ，故|z |=5√2，z =1+7i ，其在复数平面内对应点位于第一象限．所以答案是：5√2；一小提示：本题考查复数相等，模，共轭复数，以及复数的几何意义，属于基础题型.16、在复平面内，复数z 1=0，z 2=1+√2i ，z 3=√2+i （i 为虚数单位）对应的点分别为O 、A 、B ，则z 2⋅z 3=________；cos ∠AOB =________．答案： 3i 2√23分析：利用复数的乘法计算可得z 2⋅z 3的值；求出A 、B 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得cos∠AOB 的值.由已知可得z 2⋅z 3=(1+√2i )(√2+i )=√2+3i −√2=3i ，由复数的几何意义可得O (0,0)、A(1,√2)、B(√2,1)，则OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,√2)，OB⃑⃑⃑⃑⃑ =(√2,1)， 所以，cos ∠AOB =cos <OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ >=OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√23. 所以答案是：3i ；2√23. 17、瑞士数学家欧拉于1777年在《微分公式》一书中，第一次用i 来表示-1的平方根，首创了用符号i 作为虚数的单位．若复数z =5−i 1+i （i 为虚数单位），则复数z 的虚部为________；|z |=_____．答案： −3 √13分析：利用复数的除法可计算z ，从而可求其虚部和模.z =5−i 1+i =(5−i )(1−i )(1+i )(1−i )=4−6i 2=2−3i ，故z 的虚部为−3，模为√4+9=13，故分别填−3,√13.小提示：本题考查复数的概念、复数的除法，属于基础题.解答题18、已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是1+2i ，−2+i ，−1−2i ，求第四个顶点所对应的复数．答案：2−i分析：根据复数的几何意义以及正方形的性质进行求解即可．设复数1+2i ，−2+i ，−1−2i 对应的点分别为A,B,C则A(1,2)，B(−2,1)，C(−1,−2)，所以AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(−3,−1),BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−3)，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−3+3=0，所以∠ABC =90° 设第四个点为D(x,y)，则按照A,B,C,D 的顺序才能构成正方形，所以AB⃑⃑⃑⃑⃑ =DC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，即(−3，−1)=(−1−x ，−2−y) 即{−1−x =−3−2−y =−1 ，解得{x =2y =−1， 则D(2,−1)，对应的复数为2−i ，所以答案是：2−i19、（1）化简：1+i +i 2+i 3+⋯+i 2021；（2）方程x 2−px +k =0(p ∈R)有一个根为1+2i ，求实数k 的值． 答案：（1）1+i ；（2）5．分析：（1）根据i n +i n+1+i n+2+i n+3=0,n ∈N ∗求解（2）根据实系数一元二次方程根的特点，韦达定理求解（1）因为i n +i n+1+i n+2+i n+3=0,n ∈N ∗，所以1+i +i 2+i 3+⋯+i 2021，=1+i +i 2+i 3+(i 4+i 5+i 6+i 7)+(i 8+i 9+i 10+i 11)+⋯+(i 2016+i 2017+i 2018+i 2019)+i 2020+i 2021，=1+i .（2）由实系数一元二次方程的复数根共轭，故另一个根为1−2i ，∴k =(1+2i )(1−2i )=520、已知z 是复数，且z −i 和z 1−i 都是实数，其中i 是虚数单位.（1）求复数z 和|z |；（2）若复数z +m +(m 2−m −3)i 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m 的取值范围. 答案：（1）z =−1+i ，|z |=√2；（2）(1−√172,−1).分析：（1）设z =a +b i （a ，b ∈R ），由复数的运算法则分别求出z −i 和z 1−i 的表达式，再根据二者都为实数进行求解即可；（2）根据复数的几何意义计算求解即可.（1）设z =a +b i （a ，b ∈R ），则z −i =a +(b −1)i ，∵z −i 为实数，∴b −1=0，即b =1，z1−i =a+b i 1−i =(a+b i )(1+i )(1−i )(1+i )=a−b 2+a+b 2i =a−12+a+12i ， ∵z 1−i 为实数，∴a +1=0，即a =−1，则z =−1+i ，|z |=√(−1)2+12=√2；（2）由（1）得z +m +(m 2−m −3)i =(m +1)+(m 2−m −4)i ，依题意得{m +1<0m 2−m −4<0，解得1−√172<m <−1，∴实数m 的取值范围是(1−√172,−1).。
复数知识点总结公式大全
复数知识点总结公式大全复数是数学中一个重要的概念，其包括实数和虚数。
在实际应用中，复数广泛被用于电路分析、信号处理、控制系统、波动方程求解等领域。
因此，理解复数的性质和运算规律对于掌握这些领域的知识具有重要意义。
以下是复数知识点的总结和相关公式的大全：1. 复数的定义：复数可以表示为a+bi的形式，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的运算：（1）加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（2）减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i（3）乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i（4）除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)i/(c^2+d^2)3. 共轭复数：设z=a+bi，其共轭复数为z*=a-bi。
显然，复数与共轭复数的乘积是实数，即zz*=|z|^2，其中|z|表示复数z的模。
4. 欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+isinθ5. 复指数函数：e^(z)=e^a(cosb+isinb)，其中z=a+bi6. 幅角和辐角：复数z=a+bi的幅角θ满足tanθ=b/a，辐角则为θ+2kπ(k∈Z)。
7. 极坐标形式：复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ为z的辐角。
8. 三角形式：复数z=r(cosθ+isinθ)可以表示为z=r∠θ9. 复数的乘除法：（1）乘法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1z2=r1r2∠(θ1+θ2)（2）除法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1/z2=r1/r2∠(θ1-θ2)10. 复数的幂：z^n=r^n∠(nθ)11. 根式：复数z=r∠θ的n次根是n个复数，其模为∛r，辐角依次加2kπ/n(k=0,1,...,n-1)。
12. 解析函数与共轭函数：设u(x,y)和v(x,y)是复变函数f(x+iy)的实部和虚部，则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。
高一数学必修一知识点总结人教(3篇)
高一数学必修一知识点总结人教1.知识网络图复数知识点网络图2.复数中的难点（1）复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.（2）复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.（3）复数的辐角主值的求法.（4）利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.3.复数中的重点（1）理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.（2）熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.（3）复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.（4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法.数学教学心得如果以上的表述并不具有数学学科的特点的话，那么加上一个定语——让学生用数学的眼光进行数学思考。
比如，百货店的促销信息，人们不仅会关注哪个折扣低，还会关注标价的高低。
美国统计学家戴维穆尔的《统计学的世界》一书中有幅漫画，画的是一个人误以为平均水深就是每一个地方都是这样的水深而溺水死亡，从侧面反映了数学常识在现实生活中的作用。
数学地思考，是数学学习的更高目标。
数学学习过程中所倡导的思考方式是具有学科特点的。
看到一幅图画时，别的学科可能关注的是这幅图是多么的美观，但是对于数学学习来说，教师需要引导学生关注这个图形的组成与分解，引导学生思考的是多边形线的条数等。
这种量化、精确化的思考方式是数学教学最根本的目标价值所在。
人教版高中复数知识点总结
人教版高中复数知识点总结一、名词的复数形式名词的复数形式有规则变化和不规则变化两种方式。
1. 规则变化名词的复数形式一般遵循以下规则：① 一般情况下，在名词后加-s构成复数，如：book-books, pen-pens。
② 以s, x, sh, ch, o结尾的名词，多数直接加-es，如：bus-buses, box-boxes, brush-brushes, church-churches, tomato-tomatoes。
③ 以辅音字母+y结尾的名词，变y为i，再加-es，如：baby-babies。
④ 以-f或-fe结尾的名词，多数变f或fe为v，再加-es，如：wolf-wolves, wife-wives。
⑤ 部分名词仅在复数形式有变化，如：foot-feet, tooth-teeth。
2. 不规则变化有些名词的复数形式与其单数形式完全不同，常见的有：① 单复数同形，如：sheep-sheep, fish-fish, deer-deer。
② 单数形式以-en结尾，如：child-children, ox-oxen, man-men。
③ 不规则变化的名词，复数形式需要特别记忆，如：foot-feet, tooth-teeth。
二、名词的复数形式在句中的用法在句中，名词的复数形式通常用来表示多个或多种事物，并在主语、宾语、表语等成分中使用。
1. 主语复数形式的名词作为主语时，谓语动词也要用复数形式，如：Books are my best friends.2. 宾语宾语如果是表示总称的不可数名词，用复数形式的名词来表示其中的部分，谓语动词用单数形式，如：These news are very important to us.3. 物主代词与名词的复数形式物主代词与名词的复数形式连用时，一般要用复数形式的名词，如：These are my books.4. 表语当名词位于系动词的后面，作表语时，通常用单数形式，如：The news is very important.5. 复数名词连用复数名词连用表示一种复数概念，表示同类或相似的多种事物，如：apples and bananas are my favorite fruits.6. 不可数名词与复数名词不可数名词与复数名词连用，表示不同种类的事物，如：bread and cakes are delicious. 三、名词的不可数形式不可数名词是指不能直接用复数形式表示数量的名词，如：bread, water, information等。
高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第二册)专题07 复数的概念及运算(知识精讲)(解析版)
专题七 复数的概念及运算 知识精讲一 知识结构图二.学法指导1.判断复数概念方面的命题真假的注意点(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系； (2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同； (3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假． 2. 复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0，④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0.3.利用复数与点的对应解题的步骤(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系． 4.复数与向量的对应和转化对应：复数z 与向量OZ →是一一对应关系． 转化：复数的有关问题转化为向量问题求解．解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．5.．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 6．常见结论在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB 为平行四边形；若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形． 7.两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．8.两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．三.知识点贯通知识点1 复数的概念复数的概念：z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }，叫做复数集．例题1. 给出下列说法：①复数2＋3i 的虚部是3i ；②形如a ＋b i(b ∈R )的数一定是虚数；③若a ∈R ，a ≠0，则(a ＋3)i 是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】复数2＋3i 的虚部是3，①错；形如a ＋b i(b ∈R )的数不一定是虚数，②错；只有当a ∈R ，a ＋3≠0时，(a ＋3)i 是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误 知识点二 复数的分类复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0，④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0.例题2：实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？【解析】 (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．知识点三 复数相等的充要条件复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .例题3 . (1)若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i<0，则实数m 的值等于 ．(2)已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，求实数m 的值． (1)【答案】－3【解析】∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋1<0，∴m ＝－3.](2)【解析】设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0，即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0， 所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0，所以a ＝－12且⎝⎛⎭⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112. 知识点四 复数与复平面内的点、向量的一一对应复数的几何意义例题4．在复平面内，点A ，B ，C 对应的复数分别为1＋4i ，－3i,2，O 为复平面的坐标原点． (1)求向量OA →＋OB →和AC →对应的复数；(2)求平行四边形ABCD 的顶点D 对应的复数．【解析】 (1)由已知得OA →，OB →，OC →所对应的复数分别为1＋4i ，－3i,2，则OA →＝(1,4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(2,0)， 因此OA →＋OB →＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(1，－4)， 故OA →＋OB →对应的复数为1＋i ，AC →对应的复数为1－4i.(2)法一：由已知得点A ，B ，C 的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC 的中点为⎝⎛⎭⎫32，2，由平行四边形的性质知BD 的中点也是⎝⎛⎭⎫32，2，若设D (x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧0＋x 02＝32，－3＋y2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝7，故D (3,7)．所以D 对应的复数为3＋7i.法二：由已知得OA →＝(1,4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(2,0)，所以BA →＝(1,7)，BC →＝(2,3)， 由平行四边形的性质得BD →＝BA →＋BC →＝(3,10)，所以OD →＝OB →＋BD →＝(3,7)，于是D (3,7)．所以D 对应的复数为3＋7i. 知识点五 复数的模及其应用复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，例题5.(1)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )A ．1 B.2 C. 3D ．2(2)已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z . (1)【答案】B【解析】因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，故选B.] (2)【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.知识点六 复数加法与减法的运算复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. (2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．例题6. (1)计算：⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ； (2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z . 【答案】(1)1＋i.(2)z ＝4＋i.【解析】 (1)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i. (2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ， 所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2， 解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. 知识点七 复数代数形式加减运算的几何意义复数加减法的几何意义如图所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．例题7.如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 对应复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求①AO →所表示的复数，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数；③对角线OB →所表示的复数及OB →的长度． 【答案】①－3－2i. －3－2i.② 5－2i. 1＋6i, 37. 【解析】 ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③对角线OB →＝OA →＋OC →，它所对应的复数z ＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, |OB →|＝12＋62＝37. 知识点八 复数代数形式的乘法运算 1复数代数形式的乘法法则已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. 2复数乘法的运算律对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有：（1）交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1 （2）结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)（3）乘法对加法的分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1·z 2＋z 1·z 3 例题8.计算：①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；②(3＋4i)(3－4i)；③(1＋i)2. 【答案】① －20＋15i. ② 25 ③2i.【解析】 ①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25. ③(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i. 知识点九 复数代数形式的除法运算复数代数形式的除法法则(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，且c ＋d i≠0)例题9.(1)3＋i1＋i＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i(2)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i D ．－3－5i(1)【答案】D【解析】(1)3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i.故选D 。
2023年人教版高中数学第七章复数知识点归纳总结(精华版)
(名师选题)2023年人教版高中数学第七章复数知识点归纳总结(精华版)单选题1、若z(1+i)=1−i，则z=（）A．1–i B．1+i C．–i D．i答案：D分析：先利用除法运算求得z，再利用共轭复数的概念得到z即可.因为z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，所以z=i.故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.2、在复平面内,复数2−i1−3i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A分析：根据复数的运算法则，求得2−i1−3i =12+12i，结合复数的几何意义，即可求解.由题意，复数2−i1−3i =(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=5+5i10=12+12i，所以该复数在复平面内对应的点为(12,12)，在第一象限.故选：A.3、已知为i虚数单位，复数z=1+i1+2i，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A分析：利用复数的除法运算化简z ，求出z 即可得在复平面内对应的点的坐标以及所在的象限. z =1+i 1+2i=(1+i )(1−2i )(1+2i )(1−2i )=1−2i 2−i 1−4i2=3−i 5=35−15i ，z =35+15i ，所以z 在复平面内对应的点坐标为(35,15)， 所以z 在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A.4、若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ） A ．0B ．1C ．√2D ．2 答案：D分析：由题意首先求得z 2−2z 的值，然后计算其模即可.由题意可得：z 2=(1+i )2=2i ，则z 2−2z =2i −2(1+i )=−2. 故|z 2−2z |=|−2|=2. 故选：D.小提示：本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题. 5、已知a,b ∈R ，a1+i +b1−i =1，则a +2b =（ ） A ．3B ．√3C ．√2D ．1 答案：A分析：等式两边同乘(1+i )(1−i )，整理化简后利用复数相等的条件可求得a +2b 的值 因为a1+i +b1−i =1 ，所以a(1−i )+b(1+i )=(1+i )(1−i )=1−i 2=2 即(a +b)+(b −a)i=2所以{a +b =2b −a =0解得{a =1b =1 ，所以a +2b =3故选：A6、已知i 是虚数单位，则复数z =2−i 20202+i 2021对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D分析：先化简i 2020,i 2021，再利用复数的除法化简得解. z =2−i 20202+i 2021=12+i=2−i (2+i)(2−i)=2−i 5.所以复数对应的点(25,−15)在第四象限， 故选：D小提示：名师点评复数z =x +yi(x,y ∈R)对应的点为(x,y)，点(x,y)在第几象限，复数对应的点就在第几象限.7、在复平面内，O 为原点，向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−1−2i ，若点A 关于实轴的对称点为B ，则向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为（ ） A ．−2−i B ．2+i C ．1+2i D ．−1+2i 答案：D分析：根据复数的几何意义，由题中条件，先得出点A ，推出点B 的坐标，进而可得出结果. 由题意可知，点A 的坐标为(−1,−2)，则点B 的坐标为(−1,2)， 故向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−1+2i . 故选：D.8、设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 答案：C分析：先求出共轭复数再判断结果.由z =−3+2i,得z =−3−2i,则z =−3−2i,对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．小提示：本题考点为共轭复数，为基础题目．9、已知复数z =2−3i ，若z̅⋅(a +i )是纯虚数，则实数a =（ ） A ．−23B ．23C ．−32D ．32答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案. 解：z̅⋅(a +i )=(2+3i )(a +i )=2a −3+(3a +2)i 是纯虚数，则{2a −3=03a +2≠0，解得a =32. 故选：D.10、设复数z 满足z ⋅i =−1+i ，则|z |=（ ） A ．1B ．√2C ．√5D ．√10 答案：B分析：利用复数的四则运算以及复数模的运算即可求解. 解析因为z =−1+i i=(−1+i )⋅i i ⋅i=−i −1−1=1+i ，所以z =1−i ，|z |=√2. 故选：B11、复数2i1−i （i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．1B ．−i C ．2D ．−2i 答案：A分析：利用复数的除法法则及复数的概念即可求解. 由题意可知，2i1−i =2i ×(1+i )(1−i )(1+i )=−2+2i 2=−1+i ，所以复数2i1−i 的虚部为1. 故选：A.12、复数a+b i(a,b∈R)的平方是一个实数的充要条件是（）.A．a=0且b≠0B．a≠0且b=0C．a=b=0D．ab=0答案：D分析：利用充要条件的定义和复数的运算判断即可因为(a+b i)2=a2+2ab i+(b i)2=a2−b2+2ab i为实数，所以ab=0，反之，当ab=0时，复数a+b i(a,b∈R)的平方是一个实数，所以复数a+b i(a,b∈R)的平方是一个实数的充要条件是ab=0，故选：D双空题13、著名数学家棣莫佛（De moivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：[r(cosθ+i sinθ)]n=r n(cosnθ+i sinnθ)，其中r>0，n∈N∗.根据这个公式，则(cosπ12+i sinπ12)6=______；若[r(cosπ4+i sinπ4)]4=−16，则r= ______.答案：i 2分析：（1）直接代公式得原式为cosπ2+i sinπ2，化简即得解；（2）直接代公式化简得r4=16，解方程即得解.（1）(cosπ12+i sinπ12)6=cos(6×π12)+i sin(6×π12)=cosπ2+i sinπ2=i；（2）[r(cosπ4+i sinπ4)]4=r4(cosπ+i sinπ)=r4(−1)=−16，∴r=2.所以答案是：i；2.14、已知复数(2−3i)z=1−i，则z的虚部为_________；若13z+a为纯虚数，则实数a=_______.答案：113−5分析：首先根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，即可得到其虚部，再化简复数13z +a ，根据实部为零，虚部不为零，求出参数a ；解：由题意得z =1−i2−3i =(1−i )(2+3i )(2−3i )(2+3i )=513+113i ，所以z 的虚部为113．因为13z +a =13(513+113i )+a =5+a +i 为纯虚数，所以5+a =0，即a =−5． 所以答案是：113；−515、将复数z=3[cos (-π2)+i sin (-π2)]化成代数形式为_____;|z|=_____. 答案： −3i 3分析：利用特殊角的三角函数值，即可得到答案； ∵ z =3(0−i )=−3i ,|z|=3， 所以答案是：−3i ,316、已知复数z 满足z (1+i )=−2+i （i 为虚数单位），则z 的虚部是_____，|z |= ______． 答案： 32√102分析：根据复数z 满足z (1+i )=−2+i ，利用复数的除法化简得到z =−12+32i ，再根据复数的概念和模的求法求解.因为复数z 满足z (1+i )=−2+i ，所以z =−2+i 1+i=(−2+i )(1−i )(1+i )(1−i )=−12+32i所以z 的虚部是32，|z |=√(−12)2+(32)2=√102， 所以答案是：32；√102. 小提示：本题主要考查复数的运算以及复数的概念和模，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 17、已知复数z =1+sinθcosθ+(cosθ−sinθ)i ，则|z |的最大值为__________，最小值为__________． 答案： 32√2分析：直接计算复数的模，再利用三角函数的有界性，即可得答案；∵|z|=√(1+sinθ⋅cosθ)2+(cosθ−sinθ)2=√2+2sinθ⋅cosθ+sin2cos2θ−2sinθ⋅cosθ=√2+14sin22θ，当sin22θ=1时，|z|的最大值为32；当sin22θ=0时，|z|的最小值为√2；所以答案是：32；√2.解答题18、已知z1=3−4i，z2=3−2i.求：(1)z1⋅z2；(2)z1z2；(3)(1+i)2n+(1−i)2n（n为正整数）；(4)(1+i)15+(1−i)15(1+i)14−(1−i)14.答案：(1)1−18i(2)1713−613i(3)(2i)n+(−2i)n={2n+1,n=4k,k∈N∗, 0,n=4k+1,k∈N,−2n+1,n=4k+2,k∈N,0,n=4k+3,k∈N(4)i分析：（1）根据复数的加减法和乘法运算规则计算得出结果；（2）根据复数的四则运算规则计算得出结果；（3）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果；（4）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果.（1）根据复数的加减法和乘法运算规则得，z1·z2=(3−4i)·(3−2i)=1−18i.（2）根据复数的四则运算规则得，z 1z 2=3−4i 3−2i =(3−4i )(3+2i)(3−2i )(3+2i)=17−6i 13=1713−6i13.（3）根据复数的乘方及四则运算规则得，(1+i )2n +(1−i )2n=(2i )n +(−2i )n ={2n+1,n =4k,k ∈N ∗,0,n =4k +1,k ∈N,−2n+1,n =4k +2,k ∈N,0,n =4k +3,k ∈N（4）根据复数的乘方及四则运算规则得，(1+i )15+(1−i )15(1+i )14−(1−i )14=(1+i)14·(1+i)+(1−i )14·(1−i )(2i)7−(−2i)7=(2i)7·(1+i)+(−2i)7·(1−i )−28i=−27i +27+27i +27−28i=i19、计算：（1）(1−√3i )6−(1−√3i )152i (1−i )12(12+12i )2；（2）i2002+(√2+√2i )8−(√21−i )50+√3+1+2√3i(1−√3i )8． 答案：（1）513；（2）247+8√3i ． 分析：（1）借助(12−√32i )3=−1，(1−i )2=−2i 以及复数的四则运算，即得解；（2）借助(1+i )2=2i ，(1−i )2=−2i ，i 4=1，(12−√32i )3=−1以及复数的四则运算，即得解.（1）由于(12−√32i )3=(12−√32i )2×(12−√32i )=(−12−√32i )×(12−√32i )=−1(1−i )2=−2i故(1−√3i )6−(1−√3i )152i (1−i )12(12+12i )2=26×(−1)2−215×(−1)52i ×(−2i )6×12i=26+21526=1+29=513（2）由于(1+i )2=2i ，(1−i )2=−2i ，i 4=1，(12−√32i )3=−1故i2002+(√2+√2i )8−(√21−i )50+√3+1+2√3i +(1−√3i )8=i500×4+2+24(1+i)8−225(1−i)50+(−2√3+i)(1−2√3i)(1+2√3i)(1−2√3i)28(1+i)828(12−√32i)8=−1+24(2i)4−225(−2i)25+i28(2i)428×(−1)2×(12−√32i)2=−1+24×2−4i+i+24(−12+√32i)=247+8√3i20、已知复数z=6−4m i1+i（m∈R,i是虚数单位）．(1)若z是实数，求实数m的值；(2)设z̅是z的共轭复数，复数z̅−4z在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围．答案：(1)m=−32(2)m>32分析：（1）根据除法运算化简，再由复数为实数建立方程求解即可；（2）根据共轭复数的概念化简复数，再由复数对应的点在第一象限建立不等式求解即可. (1)z=(6−4m i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−2m−(3+2m)i，因为z为实数，所以3+2m=0，解得m=−32.(2)因为z是z的共轭复数，所以z̅=3−2m+(3+2m)i，所以z̅−4z=6m−9+(10m+15)i因为复数z̅−4z在复平面上对应的点位于第一象限，所以6m−9>0，同时10m+15>0解得m>32.。
高中数学人教B版第十章《复数》知识点清单
新教材人教B版2019版数学必修第四册第十章知识点清单目录第十章复数10. 1 复数及其几何意义10. 1. 1 复数的概念10. 1. 2 复数的几何意义10. 2 复数的运算10. 2. 1 复数的加法与减法10. 2. 2 复数的乘法与除法10. 3 复数的三角形式及其运算第十章复数10. 1 复数及其几何意义10. 1. 1 复数的概念一、复数及复数集1. 复数：一般地，当a与b都是实数时，称a+bi为复数(i为虚数单位).2. 复数的代数形式复数一般用小写字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z 的虚部，分别记作Re(z)=a，Im(z)=b.3. 复数集所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C={z|z=a+ bi，a，b∈R}.二、复数的分类1. 对于复数a+bi(a，b∈R)，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a=0且b≠0时，叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集.这样，复数z=a+bi(a，b∈R)可以分类如下：复数z{实数(b=0)，虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数).2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用下图表示：三、复数相等两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1=z2. 如果a，b，c，d都是实数，那么a+bi=c+di⇔a=c且b=d. 特别地，当a，b都是实数时，a+bi=0的充要条件是a=0且b=0.提醒：两个复数(如果不全是实数)不能比较大小，只能说它们相等或不相等.四、对复数概念的理解1. 复数的分类问题一般转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为标准形式，列出实部与虚部满足的方程或不等式即可.2. 解题时一定要先看复数是不是a+bi(a，b∈R)的形式，以确定其实部和虚部.3. 若一个复数是实数，则有以下结论：(1)z的虚部为0，则z∈R；(2)z∈R⇔z2≥0.4. 若一个复数是纯虚数，则有以下结论：(1)实部为0且虚部不为0，则z为纯虚数；(2)z是纯虚数⇔z2<0；(3)若z为纯虚数，则z=ki(k∈R且k≠0).五、复数相等的定义利用复数相等的定义时要注意：(1)化为复数的标准形式z=a+bi；(2)实部、虚部中的字母为实数，即a，b∈R；(3)实部和虚部分别对应相等.根据复数相等的定义，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.10. 1. 2 复数的几何意义一、复数的几何意义1. 复数与复平面内的点的一一对应一方面，根据复数相等的定义，复数z=a+bi(a，b∈R)被它的实数与虚部唯一确定，即复数z被有序实数对(a，b)唯一确定；另一方面，有序实数对在平面直角坐标系中对应着唯一的点Z(a，b). 因此可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，即复数z=a+bi↔点Z(a，b). 如图所示：建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面. 在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴；y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴.2. 复数与平面向量的一一对应因为平面直角坐标系中的点Z(a，b)能唯一确定一个以原点O为始点，Z为终点的向⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以复数也可用向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 来表示，这样也就能在复数集与平面直角坐标系中量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ = 以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即复数z=a+bi↔向量OZ(a，b). 如图所示：二、共轭复数1. 定义一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数. 复数z的共轭复数用z表示.2. 代数形式：a+bi与a-bi(a，b∈R)互为共轭复数，即z=a+bi⇔z=a-bi.3. 几何描述⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、非零复数z1、z2互为共轭复数⇔它们在复平面内对应的点Z1、Z2(或对应向量OZ1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )关于实轴对称.OZ2三、复数的模⃗⃗⃗⃗⃗ =(a，b)的长度称为复数z=a+bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，复数z 1. 一般地，向量OZ的模用|z|表示，因此|z|=√a2+b2. 当b=0时，|z|=√a2=|a|.2. 一般地，两个共轭复数的模相等，即|z|=|z|.四、对复数几何意义的理解1. 复平面内的虚轴上的单位长度是1而不是i，由于i=0+1·i，所以用复平面内的点(0，1)表示i时，这一点与原点的距离是1，等于虚轴上的单位长度.2. 当a=0时，对任何b≠0，b∈R，a+bi=0+bi=bi是纯虚数，但当a=b=0时，a+bi=0是实数，所以除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.3. 复数z=a+bi(a，b∈R)中的z，书写时要小写；复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时要大写.4. 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.四、复平面内复数z对应的点Z 的几个基本轨迹1. |z|=0↔点Z组成的集合是原点.2. |z|=r(r是正数)↔点Z组成的集合是圆心在原点，半径为r的圆.3. |z|>r(r是正数)↔点Z组成的集合是圆心在原点，半径为r的圆的外部.4. |z|<r(r是正数)↔点Z组成的集合是圆心在原点，半径为r的圆的内部.5. |z|≥r(r是正数)↔点Z组成的集合是圆心在原点，半径为r的圆及其外部.6. |z|≤r(r是正数)↔点Z组成的集合是圆心在原点，半径为r的圆及其内部.7. r1<|z|<r2(r1，r2是正数)↔点Z组成的集合是一个圆环(不包括边界).10. 2 复数的运算10. 2. 1 复数的加法与减法一、复数的加、减运算法则设z 1=a+bi ，z 2=c+di(a ，b ，c ，d∈R).(1)z 1+z 2=(a+c)+(b+d)i ，(2)z 1-z 2=(a-c)+(b-d)i.二、复数的加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C，有(1)z 1+z 2=z 2+z 1，(交换律)(2)(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3). (结合律)三、复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则当OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线时，以OZ 1和OZ 2为两条邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则z 1+z 2所对应的向量就是OZ⃗⃗⃗⃗⃗ ，如图1所示. 设点Z 满足OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ =Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则z 1-z 2所对应的向量就是OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，如图2所示.由复数加、减法的几何意义可得||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|.四、复数代数形式的加、减运算1. 复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项.2. 复数的加法满足交换律和结合律，利用复数加法的运算律可以简化运算.五、复数加、减运算的几何意义1. 利用复数加、减运算的几何意义解题的常用技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形有关的问题转化成复数的运算进行解题；(2)数转化为形：对于一些复数运算给予几何解释，将复数作为工具运用于几何之中.2. 利用复数的几何意义解题的常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1+z2对应的点为C，O为坐标原点(点O，A，B不共线).(1)四边形OACB为平行四边形；(2)若|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|=|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为正方形.10. 2. 2 复数的乘法与除法一、集合的相关概念1. 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，(1)z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；(2)z1z2=a+bic+di=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i(c+di≠0).2. z的n次方(或n次幂)n个相同的复数z相乘时，称为z的n次方(或n次幂)，记作z n.3. 常用结论(1)∀z∈C，z z=|z|2=|z|2.(2)z m z n=z m+n(m，n∈N*).(3)(z m)n=z mn(m，n∈N*).(4)(z1z2)n=z1n z2n(n∈N*).(5)z0=1，z-n=1z n(z≠0，n∈N*).二、复数的乘法运算律对任意z1，z2，z3∈C，(1)z1z2=z2z1；(交换律)(2)(z1z2)z3=z1(z2z3)；(结合律)(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. (分配律)三、实系数一元二次方程在复数范围内的解集1. 实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在复数范围内的解：四、复数代数形式的乘、除运算1. 复数乘、除运算的策略(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘多项式，复数的乘法运算满足交换律与结合律，且对加法满足分配律.(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘分母的共轭复数. 这种方法通常称为“分母实数化”.2. 复数代数运算中的常用结论(1)(1±i)2=±2i，1+i 1−i =i ， 1−i 1+i =-i ； (2) (−12±√32i)3=1， (12±√32i)3=-1； (3)(a+bi)(a-bi)=a 2+b 2(a ，b∈R).五、i n (n∈N)的周期性及其应用1. 虚数单位i 的幂的周期性(1)i 4n =1，i 4n+1=i ，i 4n+2=-1，i 4n+3=-i(n∈N)，其中i 0=1，i -n =1i n (n∈N *). (2)i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0(n∈N).2. 计算(a+bi)n 时，一般按乘法法则进行计算，对于复数1±i，计算它的n(n ≥2且n∈N)次方时，一般先计算它的平方；对于复数±12±√32i ，计算它的n(n ≥3且n∈N)次方时，一般先计算它的立方.六、复数范围内实系数一元二次方程根的问题1. 对于实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0，当Δ=b 2-4ac<0时，方程没有实数根. 因 此，在研究代数方程的问题中，如果仅限于实数集，有些问题就无法解决. 在实数集 扩充到复数集后，就可以对上述方程进行求解了.2. 复数范围内实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0的求根公式：(1)当Δ≥0时，x=−b±√b 2−4ac 2a ； (2)当Δ<0时，x=−b±√−(b 2−4ac)i 2a. 3. 如果实系数一元二次方程有虚根，那么虚根以共轭复数的形式“成对”出现.4. 根与系数的关系在复数范围内仍然成立.10. 3 复数的三角形式及其运算一、复数的三角形式一般地，如果非零复数z=a+bi(a ，b∈R)在复平面内对应点Z(a ，b)，且r 为向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模，θ是以x 轴正半轴为始边、射线OZ 为终边的一个角，则r=|z|=√a 2+b 2, 根据任意角余弦、正弦的定义可知cos θ=a r ，sin θ=b r . 因此a=rcos θ，b=rsin θ，如图所示，从而z=a+bi=(rcos θ)+(rsin θ)i=r(cos θ+isin θ)，上式的右边称为非零复数z=a+bi 的三角形式(对应地，a+bi 称为复数的代数形式)，其中的 θ称为z 的辐角. 显然，任何一个非零复数z 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相 差2π的整数倍. 特别地，在[0，2π)内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z.二、复数三角形式的乘除法1. 复数三角形式的乘除法设z 1=r 1(cos θ1+isin θ1)，z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1z 2=r 1(cos θ1+isin θ1)×r 2(cos θ2+isin θ2)=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].特别地，如果n∈N，则[r(cos θ+isin θ)]n =r n [cos(nθ)+isin(nθ)]. z 1z 2=r 1(cos θ1+i sin θ1)r 2(cos θ2+i sin θ2)=r 1r 2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](z 2≠0).2. 复数乘除运算的几何意义(1)复数乘法的几何意义两个复数z 1，z 2相乘时，如图1，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后把向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数就是积z 1z 2.(2)复数除法的几何意义两个复数z 1，z 2相除时，如图2，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后把向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的1r 2，得到向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数就是z 1z 2.图1 图2三、复数的三角形式1. 复数z=r(cos θ+isin θ)的结构特点①r 是复数的模，r ≥0；②式中的三角函数是同一个辐角θ的余弦和正弦；③cos θ在前，sin θ在后；④cos θ和sin θ之间用“+”连接.2. 复数的代数形式化为三角形式的方法将复数的代数形式化为三角形式，要从复数三角形式的概念出发，关键是确定两 个要素，一是复数的模，二是复数的辐角. 复数z=a+bi(a ，b∈R)的模可以直接利用公式r=√a 2+b 2求出；其辐角的求法并不唯一，可以利用cos θ=a r 先求出cos θ，再根据复数的几何意义，由复数在复平面内的对应点的坐标Z(a ，b)确定辐角θ的终边所在的象限，进而求出辐角θ；也可以利用sin θ=b r 或tan θ=b a (a ≠0)求出sin θ或tan θ，再由辐角θ的终边所在的象限，利用“已知三角函数值求角”的方法，求出辐角θ.。
高中数学复数专题知识点整理和总结人教版
【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解 【例4】 若复数()312a i z a R i +=∈-（i 为虚数单位）， R b a ∈，1i 2-=0≠b 0≠b 00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且(1)若z 为实数，求a 的值 (2)当z 为纯虚，求a 的值.【变式1】设a 是实数，且112a i i -++是实数，求a 的值.. 【变式2】若()3,1y i z x y R xi+=∈+是实数，则实数xy 的值是 . 【例7】复数cos3sin3z i =+对应的点位于第 象限【变式1】是虚数单位,等于 ( ) A ．iB ．-iC ．1D ．-1 【变式2】已知=2+i,则复数z=（）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i【变式3】i 是虚数单位，若，则乘积的值是（A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15【例8】（2012年天津）复数73i z i-=+= （ ） （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i --【变式4】（2007年天津）已知i 是虚数单位，32i 1i=- （ ） Ａ1i + Ｂ1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i --【变式5】.（2011年天津）已知i 是虚数单位，复数131i i--= （ ） A 2i +B 2i -C 12i -+D 12i --【变式6】（2011年天津） 已知i 是虚数单位，复数1312i i -+=+（ ） (A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i【变式7】.（2008年天津）已知i 是虚数单位，则()=-+113i i i （ ） (A)1- (B)1 (C)i - (D)ii 41i ()1-i +1iZ ＋17(,)2i a bi a b R i+=+∈-ab。
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【１】复数的基本概念
(1)形如a + ｂi 的数叫做复数(其中)；复数的单位为ｉ,它的平方等于-1，即.其中a 叫做复数的实部，ｂ叫做虚部
实数:当b = ０时复数a + ｂi 为实数
虚数:当时的复数a + b i 为虚数;
纯虚数：当a = 0且时的复数a ＋ ｂｉ为纯虚数
（2)两个复数相等的定义：
(３)共轭复数:z a bi =+的共轭记作z a bi =-；
（４)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+,对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习)
(5)复数的模：对于复数z a bi =+
，把z =
【2】复数的基本运算
设111z a b i =+，222z a b i =+
（1） 加法:()()121212z z a a b b i +=+++;
（2） 减法:()()121212z z a a b b i -=-+-；
（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
(4)幂运算:1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅
【3】复数的化简
c di z a bi
+=+（,a b 是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:()()22
ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=
⋅≠+，当c d a b =时z 为实数;当z 为纯虚数是ｚ可设为c di z xi a bi
+==+进一步建立方程求解 【例4】 若复数()312a i z a R i +=∈-（i 为虚数单位)，
R b a ∈，1i 2-=0≠b 0≠b 00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且
(1)若z 为实数,求a 的值 (2）当ｚ为纯虚，求a 的值．
【变式1】设a 是实数，且112
a i i -++是实数，求a 的值．. 【变式2】若()3,1y i z x y R xi
+=∈+是实数，则实数xy 的值是 ． 【例7】复数cos3sin3z i =+对应的点位于第 象限
【变式1】是虚数单位,等于 ( ） Ａ．i ﻩB ．-i ﻩＣ.1 ﻩ
D.-1 【变式２】已知
＝2+i,则复数z=(）（A)-1+3i (B)1-3ｉ (Ｃ）3+i (Ｄ)3－ｉ
【变式3】i 是虚数单位,若，则乘积的值是（Ａ）－1５ (Ｂ）－３ (Ｃ)3 (D ）15【例８】(2012年天津）复数73i z i
-=+= ( ) （A)2i + (Ｂ)2i - （C)2i -+ （D ）2i --
【变式4】（20０7年天津）已知i 是虚数单位，3
2i 1i
=- （ ) A 1i + B 1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i --
【变式５】.（201１年天津)已知i 是虚数单位,复数131i i
--＝ （ ) A 2i +B 2i -C 12i -+D 12i --
【变式6】(20１１年天津） 已知i 是虚数单位，复数1312i i
-+=+( ） (A ）１+ｉ (B)5+5i (C)-5-５i (Ｄ)－1-i
【变式７】．(2008年天津）已知i 是虚数单位,则()=-+1
13i i i （ ) (A)1- (B)1 （C ）i - (D)i
i 41i (
)1-i +1i Z ＋17(,)2i a bi a b R i
+=+∈-ab。