一次函数小结与复习--教学设计

指定课题：一次函数小结与复习

教学设计

一、内容和内容解析

1. 内容

人教版八年级下册第十九章《一次函数》的小结与复习.

2. 内容解析

函数是研究变量之间关系的重要数学模型，函数概念中隐含着变化与对应的思想，利用函数观点可以从运动变化的角度加深对数学问题的理解.一次函数是初中数学研究的一类最基本、最简单的函数，其中一次函数的定义、图象和性质是本章的主要基础知识；会根据问题的条件写出一次函数的解析式，会画一次函数的图象和了解一次函数的性质，是学习本章后应具备的基本技能.本章对一次函数的图象和性质的研究方法，将对其他函数的研究起到很好的铺垫作用.

因此，本节课的学习重点是：一次函数的图象和性质，及三个“一次”之间的关系.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）系统掌握一次函数及其相关知识；并运用这些知识解决相关的数学问题.

（2）培养学生观察、归纳以及运用所学知识解决数学问题的能力，进一步提高学生解决综合问题的能力.

（3）进一步体会数学中的建模思想，方程与函数、化归与转化、数形结合、待定系数法等重要的数学思想和方法.

2. 目标解析

达成目标的具体要求是：通过复习，理解掌握函数、一次函数的概念，一次函数的图象及性质，并能进行简单的实际应用.

在函数概念的形成过程中，感受变化与对应的思想；在用函数的观点看一元一次方程、二元一次方程（组）和一元一次不等式（组）时，体会方程与函数的思想、转化的思想、数形结合的思想.

三、教学问题诊断分析

函数是数学中极为重要的基本概念，它对数学的发展有重大影响，是数学学习中的重要知识点，但是由于函数概念涉及运动变化，抽象性较强，因此初学者接受并理解它有一定难度，本节课的学习难点是：一次函数的图象及性质的综合应用.

四、教学支持条件分析

“变化与对应”的思想体现在函数概念之中，用运动变化的眼光，以函数为工具，把抽象的数量关系和直观的函数图象结合起来，从“数”与“形”两方面动态地分析问题，从而全面地认识函数，是本节课学习的突出特点.

五、教学过程设计

1. 导入课题

前面我们已经学习了第十九章《一次函数》，这节课来进行小结与复习.

师生活动：首先，老师以图片的形式给出本章的主要知识点，请两位同学到黑板上来将它们按我们学习的顺序一一排列出来.然后，师生一起依次进行复习.

设计意图：由学生亲自动手排列本章的主要知识点，让学生对全章的知识脉络有更清晰的认识.

2. 知识回顾

问题1：观察下列变量之间的对应关系，哪些是函数关系?

①北京春季某天气温变化图

③

.教师引导学生分析③表示的为什么不是函数关系.

设计意图：复习函数的定义，强调定义中注意函数值的唯一性. 追问1：上述①②④三种函数关系分别是用什么方法表示的? 学生活动：归纳出函数的三种表示方法. 设计意图：概括函数的表示方法. 追问2：上述函数④y =4x +2是什么函数? 学生活动：回答y =4x +2是一次函数.

师生活动：引导学生回顾一下一次函数的定义.形如y =kx +b (k ≠0)的函数叫一次函数.当b =0时，y =kx 是正比例函数.正比例函数是一种特殊的一次函数.

设计意图：复习一次函数的定义，以及一次函数与正比例函数之间的关系. 问题2：画出一次函数y =4x +2的图象. 学生活动：动手画出一次函数y =4x +2的图象.

教师活动：引导学生复习一次函数的图象以及用“两点法”画一次函数的图象. 设计意图：复习一次函数的图象及其画法.

o

y x

②中国人口统计表④y =4x +2

追问：观察图象，回答下列问题：

（1）将直线y=4x+2向下平移2个单位长度，其解析式为_________.

（2）将直线y=4x向下平移2个单位长度，其解析式为___________.

师生归纳：

（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是由直线y=kx平移︱b︱个单位得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）.

（2）两条直线l1：y1=k1x+b1与l2：y2=k2x+b2平行的条件：k1＝k2且b1≠b2.

（3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象及性质表：

一次函数y=kx+b（k≠0）中，k决定直线的倾斜方向，b决定直线与y轴的交点位置.

设计意图：复习一次函数的图象与性质.

问题3：如图1，直线y1=kx+b经过点B(-2，0)，结合图象回答下列问题：

（1）方程kx+b=0的解是_________；

（2）当x_________时，一次函数y1=kx+b的图象在x轴上方；

（3）不等式kx+b＜0的解集是____________.

设计意图：这三个问题属于基础题，主要复习一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系；

（拓展）如图2，经过点B(-2，0)的直线y1=kx+b与直线y2=4x+2相交于点A(-1，-2).结合图象回答下列问题：

（1）二元一次方程组

⎩

⎨

⎧

+

=

+

=

2

4

,

x

y

b

kx

y

的解为_________；

（2）不等式4x+2＜kx+b的解集为____________；

（3）不等式组4x+2＜kx+b＜0的解集为__________．

y y1

设计意图：这一组习题是在前3个问题的基础上延伸，让学生感悟一次函数与二元一次方程组及不等式组之间的联系，进一步体会化归与转化的数学思想和数形结合的数学思想.

3. 实际应用

师生活动：教师给出一段《乌鸦喝水》的故事视频，指出故事情境中反映了“石子个数与瓶内水面高度的变化关系”，这种变化关系在数学中抽象出的就是函数模型，引出问题4.

问题4：小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如图3的操作，请根据图3中所给信息，解答下列问题：

（1）放入一个小球，量桶中水面升高_______cm. （2）求放入球后量桶中水面的高度y （cm ）与小球个数x （个）之间的一次函数关系式.

（3）当量桶的高度为49cm 时，量桶中至少放入几个小球时才有水溢出?

设计意图：（1）以故事引出问题，激发学生的学习兴趣，

同时让学生体会到数学来源于生活，进一步认识到函数是反映某些现实问题中变量之间相互联系的一种数学模型.（2）重点复习用待定系数法求一次函数解析式，让学生感受到如何用数学知识来解决实际问题，体会数学建模的思想.

4. 课堂小结

（1）通过本节课的复习，我们主要复习了哪些基本知识? 师生活动：师生一起回顾，教师展示知识结构图. （2）你掌握了哪些重要的数学思想和数学方法?

师生活动：共同归纳本章中涉及到的重要的数学思想和方法.

设计意图：让学生在回顾课堂经历的基础上，从知识、思想方法等角度总结自己的收获. 5. 布置作业

必做题：教科书第107页复习题19第1，2，3题. 选做题：教科书第108页复习题19 第10题. 六、目标检测设计

1.已知一次函数1)3(15

2

+-=-m

x m y ，且y 随x 的增大而减小，则m =______.

设计意图：巩固一次函数的定义及性质.

2.已知一次函数y=ax+b 的图象如图4所示，则一次函数y=bx+a 的图象大致是( )

设计意图：巩固一次函数的图象.

3.一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象由直线y=3x 向下平移得到，且过点A (1，2). （1）求一次函数的解析式；

图 3

图4