2020届安徽省皖江名校联盟高三第一次联考数学(理)

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“皖豫连盟体”2020届高三上学期第一次大联考理科数学-含答案

绝密★启用前“皖豫联盟体”2020届高中毕业班第一次考试理科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={)4lg(|2x y x -=}，B={34|2-+-=x x y x }，则=B A A. |2<x <1||x B. |2<x 1||≤x C. |3x 1||≤≤x D. |2x <2||≤-x2.已知复数))(1(i a i z -+=在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是 A. (1，+∞) B. ( -∞,-1)C.(- ∞，1)D. (-1，1)3.在“2-≤m ”是“函数34)(2--=mx x x f 在区间[-2，+∞]上单调递增”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.中秋节，小张买了一盒月饼，里面一共有10个月饼，其中豆沙馅、莲蓉馅、蛋黄馅、水果馅和五仁馅各2个，小张从中任取2个月饼，这2个月饼的馅不同的概率为 A.109 B. 98 C. 54 D. 214.设2020202022019log ,2018log ,2019===-c b a ,则A.a<c<bB. a<b<cC.b<c<aD.c<b<a6.已知函数)1(11tan )(-≠-++=a xaxx x f 为奇函数，则不等式0>)(x f 的解集为A.(-1,0)B.(-1,1]C.(0,1)D.(0,l)∪(l ,+∞)7. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-106063y y x y x ,则y x)21(2⋅的最小值为A.161 B. 81C.1D.2 8.已知平面向量c b a ,,满足)()(,,2||||c b c a b a b a -⊥-⊥==，则c b a ⋅+)(的取值范围是 A. ]2,0[ B. ]22,0[ C. ]4,0[ D. ]8,0[9. 函数xx y 2ln =的图象大致为10.已知函数)0>(21)6sin()(ωπω--=x x f ，若函数)(x f 在区间)2,0(π上有且只有两个零点，则ω的数值范围为A. ]2,32[ B. ]2,32( C. ]314,2( D. )314,2( 11.记等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知324132,1S S S a =+=，设n m ,是正整数，若存在正整数j)<i <1(|ij ，使得j i na mn ma ,,,成等差数列，则n m ,的极小值为A.2B.3.C.4D.812.设b a ,都是不为1的正数，函数2)(11-+=--n n b a x f 的图象关于1=x 对称，则)(x f 的零点个数为 A.0B.1C.2D.3二、填空题:本题共4小题,毎小题5分，共20分.13.设函数⎪⎩⎪⎨⎧+≤=0>,1lg 0,)(2x x x x x x f ，则=-))101((f f . 14.已知函数的图象上有一点P(m,2)，则曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为 .15.已知三棱锥D-ABC 的外接球半径为2，底面ABC 是直角三角形,且斜边AB 的长为，则三棱锥D-ABC 的体积的最大值为 . 16.已知函数131)(23+-=ax x x f 的图象在区间(0.2)上与x 轴恰好1个公共点，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(10分）设a 为实数，)(0,x :q 0,<22222:2112+∞∈∀++-++n n np ,不等式012≥+-ax x 恒成立.(I)若p 为真命题，求实数a 的取值范围； (II)若q p ∧⌝)(为真命题，求实数a 的取值范围. 18. (12分）已知函数331)(23+++=nx mx x x f ，其导函数)('x f 是偶函数，且0)(=x f . (I)求函数)(x f 的解析式；(II)若函数λ2)(-=x f y 有三个不同的零点，求实数λ的取值范围. 19.(12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知定点Q(1，0)及动点)<<0(sin 2,cos 2πθθθ,以 PQ 为斜边作一等腰直角三角形PRQ （原点O 与点R 分别在直线PQ 的两侧. (I)当3πθ=时，求2||OR .(II)求四边形OPRQ 面积的最大值.20.(12分)已知等差数列{n a }满足182,4965=+=a a a ，数列{n b }的前n 项和为n S ，满足12-=n n b S . (I)求{n a }与{n b }的通项公式；(II)若2)2(...,2211+-≥+++∈∀*t n b a b a b a N n n n 恒成立，求实数t 的取值范围.21.(12分)已知椭圆)0>>(1:2222b a by a x C =+的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A ，21F AF ∆的面积为1，且椭圆C 的离心率为22. (I)求椭圆C 的标准方程;(II)点M 在椭圆上且位于第二象限，过点F1作直线11MF l ⊥ ，过点F2作直线22MF l ⊥，若直线的交点N 恰好也在椭圆C 上，求点M 的坐标. 21.(12分)已知函数1ln 2)(-+=ax x x f ，其中R a ∈. (I)讨论函数)(x f 的单调性;(II)已知]),1[,1,0(e x a ∈∈,设函数221)()(xax x f x g ++=的最大值为M ，求证:M<1.。

2020届安徽省皖江联盟高三上学期12月联考试题数学(理)(解析版)

2020届安徽省皖江联盟高三上学期12月联考试题数学（理）一、单选题1．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（）A B C ．D ．【答案】B【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可. 【详解】4312i z i +===- 故选：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题.2．已知全集为R ，集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A C B ⋂的元素个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解分式不等式求得集合B ，根据交集和补集的定义求得集合()U A C B ⋂，进而得到元素个数. 【详解】{}10212x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭Q {2U C B x x ∴=≤-或}1x ≥(){}2,1,2U A C B ∴=-I ，有3个元素故选：C 【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题.3．已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论.【详解】(),a b Q 为开区间 ∴最小值点一定是极小值点 ∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件故选：A 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点.4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。

安徽省皖南八校2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题

“皖南八校”2020届高三第一次联考数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内，复数21iz i=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可.详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-，则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若集合{}2|560A x x x =-->，{}|21xB x =>，则()R C A B =（）A. {}|10x x -≤<B. {}|06x x <≤C. {}|20x x -≤<D. {}|03x x <≤【答案】B 【解析】【分析】求得集合{|1A x x =<-或6}x >，{}|0B x x =>，根据集合运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，集合{}2|560{|1A x x x x x =-->=<-或6}x >，{}{}|21|0x B x x x =>=>，则{}|16R C A x x =-≤≤，所以(){}|06R C A B x x =<≤.故选B ．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3.若3log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.30.2c =，则（） A. a b c << B. b c a << C. a c b << D. b a c <<【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数、对数函数性质，逐个分析abc 取值范围，进而比较大小。

安徽省皖江名校联盟2020届高三数学第一次联考试题理(含解析)

C. 向左平移个单位长度 4
【答案】C 【解析】【分析】
D. 向左平移个单位长度 2
根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.
【详解】因为 y = sin3x + cos3x =
2sin

3x
+
4

，
所以将其图象向左平移个单位长度， 4
可得 y =
2sin
3
a,
b a
m

， NM
=

m
−
3a,
b a
m

，根据题意可得
AM NM = 0
，
从
而
得
到
(m
−
a)(m
−
3a )
+

b a
mLeabharlann 2 =0，
进
一步
整
理
得
1+
b2 a2

m2

−
4am
+ 3a2
=
0
，根据方程有解，利用判别式大于等于零，求得 a2

3b2
，进一
B. 1, 2
C. x − 3 x 1
D. x 1 x 2
【答案】D 【解析】根据集合的基本运算进行求解即可.
【详解】由 ln x 0 得 x 1，所以 B = x | x 1 ，
A B = {x |1 x 2}，
故选 D.
【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.
所以 V
=
1 r2h 3
=
rh
1
r2 + h2

2020届安徽省皖江联盟高三上学期12月联考试题数学(理)(解析版)

2020届北京市朝阳区高三上学期期末数学试题一、单选题1．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（） A ．(1,2) B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-【答案】C【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i （2+i ）＝2i ﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．已知23a -=，0.5log 2b =，2log 3c =，则（） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】利用中间量隔开三个值即可. 【详解】∵()230,1a -=∈，0.5log 20b =<,2log 31c =>, ∴c a b >>，故选：D 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为（）A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．2y x =±【答案】B【解析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，再由双曲线离心率为2，得到c ＝2a ，由定义知b =，代入即得此双曲线的渐近线方程．【详解】解：∵双曲线C 方程为：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax 又∵双曲线离心率为2，∴c ＝2a ，可得b ==因此，双曲线的渐近线方程为y ＝故选：B ．【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．4．在ABC V 中，若3b =，c =4C π=，则角B 的大小为（）A ．6πB ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】D【解析】利用正弦定理即可得到结果. 【详解】解：∵b ＝3，c =C 4π=，∴由正弦定理b c sinB sinC=，可得34sinB sin =可得：sin B =∵c ＜b ，可得B 3π=或23π，故选：D ．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题． 5．从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（） A ．20 B ．40C ．60D ．120【答案】C【解析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可. 【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共133530C C =；（2）两名教师和两名学生，共223530C C =；故不同的选派方案的种数是303060+=. 故选：C 【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可． 6．已知函数()xxf x e e-=-，则()f x （）A ．是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增B ．是奇函数，且在(0,)+∞上单调递减C ．是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增D ．是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减【答案】C【解析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可．【详解】函数()xxf x e e-=-的定义域为R ，()() xxx xf x eee ef x -----=-=-=，即()()f x f x -=， ∴()f x 是偶函数，当x 0>时，()xxf x e e -=-,y ?x e =为增函数，y x e -=为减函数， ∴()f x 在()0,+∞上单调递增，故选：C 【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题． 7．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】A【解析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积．【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P ﹣ABC ， ∴三棱锥P ﹣ABC 的体积为：112212333ABC S ⨯⨯=⨯⨯=n ，故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．8．设函数3()3()f x x x a a R =-+∈，则“2a >”是“()f x 有且只有一个零点”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】()f x 有且只有一个零点的充要条件为2a >,或2a <-，从而作出判断. 【详解】f （x ）＝33x x a -+，f ′（x ）＝3x 2﹣3＝3（x +1）（x ﹣1），令f ′（x ）＞0，解得：x ＞1或x ＜﹣1，令f ′（x ）＜0，解得：﹣1＜x ＜1，∴()()33f x x x a a R =-+∈在()1，-∞-，()1∞+，上单调递增，在()1,1-上单调递减，且()12?f a -=+,() 12?f a =-+, 若()f x 有且只有一个零点，则2a >,或2a <-∴“2a >”是“()f x 有且只有一个零点”的充分而不必要条件，故选：A 【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9．已知正方形ABCD 的边长为2，以B 为圆心的圆与直线AC 相切.若点P 是圆B 上的动点，则DB AP ⋅u u u v u u u v的最大值是（） A． B．C ．4D ．8【答案】D【解析】建立平面直角坐标系，圆B 的方程为：222x y +=,444DB AP sin πθ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v ，利用正弦型函数的性质得到最值. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()0,0B ，()A 0,2，()D 2,2，圆B 的方程为：222x y +=,∴)Pθθ，∴()22DB =--u u u v，，)2AP θθ=-u u u v ，∴4444DB AP sin πθθθ⎛⎫⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v ∴14sin πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，DB AP ⋅u u u v u u u v的最大值是8，故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10．笛卡尔、牛顿都研究过方程(1)(2)(3)x x x xy ---=，关于这个方程的曲线有下列说法： ① 该曲线关于y 轴对称； ② 该曲线关于原点对称；③ 该曲线不经过第三象限； ④ 该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（） A ．②③ B ．①④C ．③D ．③④【答案】C【解析】以﹣x 代x ，以﹣x 代x ，﹣y 代y ，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误. 【详解】以﹣x 代x ，得到()()()123x x x xy +++=，方程改变，不关于y 轴对称；以﹣x 代x ，﹣y 代y ，得到()()()123x x x xy +++=-，方程改变，不关于原点对称；当x 0,y 0<<时，()()()1230,?0,x x x xy ---显然方程不成立， ∴该曲线不经过第三象限；令x 1=-,易得12y =，即()1,12-适合题意，同理可得()()()1,02,03,0，，适合题意， ∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选：C 【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．二、填空题11．412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______. 【答案】24【解析】先求出二项式412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项公式44421441(2)()2r r r r r rr T C x C x x---+==，再令420r -=，求出2r =代入运算即可得解. 【详解】解：由二项式412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项公式为44421441(2)()2r r r r r rr T C x C x x ---+==，令420r -=，解得2r =，即展开式中的常数项为422443242421C -⨯=⨯=⨯，故答案为24. 【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =_______；数列{}n a 的前n 项和的最小值为_____．【答案】6- 20-【解析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a 2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值．【详解】解：等差数列{a n }的公差d 为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，可得a 32＝a 1a 4，即有（a 1+2d ）2＝a 1（a 1+3d ），化为a 1d ＝﹣4d 2，解得a 1＝﹣8，a 2＝﹣8+2＝﹣6；数列{a n }的前n 项和S n ＝na 112+n （n ﹣1）d ＝﹣8n +n （n ﹣1）＝n 2﹣9n＝（n 92-）2814-，当n ＝4或5时，S n 取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．13．若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】28x y =或2y x =【解析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可. 【详解】设抛物线的标准方程为：2x my =，不难验证()12,4,22⎛⎫⎪⎝⎭，适合，故28x y =；设抛物线的标准方程为：2n y x =，不难验证()()1,14,2，适合，故2y x =；故答案为：28x y =或2y x = 【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题. 14．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X 为其中成活的株数，若X 的方差 2.1DX =，(3)(7)P X P X =<=，则p =________．【答案】0.7【解析】由题意可知：()X ~B 10,p ，且()()()101 2.137p p P X P X ⎧-=⎪⎨=<=⎪⎩，从而可得p 值．【详解】由题意可知：()X ~B 10,p∴()()()101 2.137p p P X P X ⎧-=⎪⎨=<=⎪⎩，即21001002100.5p p p ⎧-+=⎨>⎩, ∴0.7p =故答案为：0.7 【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15．已知函数()f x 的定义域为R ，且()2()f x f x π+=，当[0,)x π∈时，()sin f x x =．若存在0(,]x m ∈-∞，使得0()43f x ≥，则m 的取值范围为________．【答案】10[,)3π+∞ 【解析】由f （x + π）＝2f （x ），得f （x ）＝2f （x ﹣π），分段求解析式，结合图象可得m 的取值范围．【详解】解：∵()()2f x f x π+=，∴()()2f x f x π=-， ∵当[)0,x Îp 时，()sin f x x =．∴当[),2x ππ∈时，()()2sin f x x π=-．当[)2,3x ππ∈时，()()4sin 2f x x π=-．当[)3,4x ππ∈时，()()8sin 3f x x π=-．作出函数的图象：令()8sin 343x π-=103x π=，或113π，若存在(]0,x m ∈-∞，使得()043f x ≥，则103m π≥，故答案为：10[,)3π+∞ 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16．某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d （每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q 满足关系式：112(2)Tq l d dλλ∆=+，其中玻璃的热传导系数31410λ-=⨯焦耳/（厘米⋅度），不流通、干燥空气的热传导系数42 2.510λ-=⨯焦耳/（厘米⋅度）， T ∆为室内外温度差．q 值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型．【答案】B【解析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的q 值，根据q 值越小，保温效果越好．即可作出判断. 【详解】A 型双层玻璃窗户：3142410320.52492.5100.5l d d λλ--⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭， B 型双层玻璃窗户：3142410420.52652.5100.5l d d λλ--⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭， C 型双层玻璃窗户：3142410220.6233.22.5100.6l d d λλ--⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭， D 型双层玻璃窗户：3142410320.6249.22.5100.6l d d λλ--⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭，根据1122Tq l d d λλλ∆=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且q 值越小，保温效果越好．故答案为：B 【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题17．已知函数2()22cos ()f x x x m m R =++∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间；（3）对于任意[0,]2x π∈都有()0f x <恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）π；（2）[,]()36k k k Z ππππ-++∈；（3）(,3)-∞-.【解析】（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f （x ）的最小正周期T ；（2）由三角函数的图象与性质即可求函数f （x ）的单调递增区间；（3）原问题等价于()f x 的最大值小于零. 【详解】（1）因为()22cos f x x x m =++cos21x x m =+++，2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期2π2T π==．（2）由（1）知()2sin 216f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．又函数sin y x =的单调递增区间为ππ2,222k k ππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z)．由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈．所以()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （3）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤. 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.所以2sin 2136m x m m π⎛⎫≤+++≤+ ⎪⎝⎭. 当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 的最大值为3m +，又因为()0f x <对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以30m +<，即3m <-. 所以m 的取值范围是(),3-∞-. 【点睛】本题主要考查三角函数函数的周期、单调区间和最值问题，关键在正确化简三角函数解析式为一个角的一个三角函数名称的形式，然后利用三角函数的性质解答，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．18．某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]分组，绘成频率分布直方图如图：（1）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0,20]和(20,40]内的人数；（2）从所抽取的20人中得分落在组[0,40]的选手中随机选取3名选手，以X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．【答案】（1）抽取的20人中得分落在组[0,20]的人数有2人，得分落在组(20,40]的人数有3人；（2）分布列见解析，1.2；（3）答案不唯一，具体见解析. 【解析】（1）根据频率分布直方图即可得到满足题意的人数；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率值，即可得到的分布列和数学期望；（3）该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合此数据作出合理的解释.【详解】（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有0.005020202⨯⨯=（人），得分落在组(]20,40的人数有0.007520203⨯⨯=（人）．所以所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有2人，得分落在组(]20,40的人数有3人．（2）X 的所有可能取值为0，1，2．()33351010C P X C ===， ()1223356110C C P X C ===， ()2123353210C C P X C ===．所以X 的分布列为所以X 的期望163012 1.2101010EX =⨯+⨯+⨯=．（3）答案不唯一．答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分．【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列与期望，概率的理解，考查分析问题解决问题的能力.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3ABC π∠=，PA ⊥平面ABCD ，3PA =，2PF FA =，E 为CD 的中点．（1）求证：BD PC ⊥；（2）求异面直线AB 与DF 所成角的余弦值；（3）判断直线EF 与平面PBC 的位置关系，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（25；（3）相交，理由见解析．【解析】（1）根据题意先证明BD ⊥平面PAC ，即可得到答案；（2）以O 为坐标原点，以OB 为x 轴，以OC 为y 轴，以过点O 且与AP 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，求出AB u u u v 、DF u u u v的坐标，利用公式即可得到结果；（3）求出平面PBC 的一个法向量与向量EF u u u v ，根据n EF ⋅u u u vr 与零的关系，作出判断.【详解】（1）连结AC ．因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥. 又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥. 又因为PA AC A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC .又因为PC⊂平面PAC，所以BD PC⊥.（2）设AC，BD交于点O.因为底面ABCD是菱形，所以AC BD⊥，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA AC⊥，PA BD⊥.如图，以O为坐标原点，以OB为x轴，以OC为y轴，以过点O且与AP平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系O xyz-，则()0,1,0A-，)3,0,0B，()0,1,0C，()3,0,0D-，31,,022E⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，()0,1,3P-，()0,1,1F-.则)3,1,0AB=u u u v，)3,1,1DF=-u u u v，设异面直线AB与DF所成角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，||5cos cos,AB DFAB DFAB DFθ⋅=〈〉==⋅u u u u v u u u u vu u u v u u u vu u u v u u u v，所以AB与DF所成角的余弦值为55.（3）直线EF与平面PBC相交.证明如下：由（2）可知，33,12EF⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u v，()3,1,0BC=-u u u v，()3,1,3BP=--u u u v，设平面PBC的一个法向量为()n,,x y z=r，则0,0,n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v 即0,30,y y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令x =)n =r ．则)3n ,1202EF ⎫⋅=-⋅≠⎪⎪⎝⎭u u u v r ，所以直线EF 与平面PBC 相交．【点睛】本题考查线面的位置关系，考查异面直线所成角的度量，考查推理能力与计算能力，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,)2P -，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为(2,0)-．过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 不同于点D ），直线DA 与直线m ：4x =交于点M ．连接MF ，过点F 作MF 的垂线与直线m 交于点N ．（1）求椭圆C 的方程，并求点F 的坐标；（2）求证：D ，B ，N 三点共线．【答案】（1）22143x y +=，(1,0)；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据题意列方程组222,1914a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标；（2）讨论直线l 的斜率，利用DB DN u u u v u u u v，是平行的证明D ，B ，N 三点共线．【详解】（1）因为点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为()2,0-，所以222,191.4a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为()1,0．（2）① 当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =．显然，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．当31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，直线DA 的方程为()122y x =+，点M 的坐标为()4,3．所以1MF k =．直线FN 的方程为()1y x =--，点N 的坐标为()4,3-．则33,2DB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，()6,3DN =-u u u v ．所以2DN DB =u u u v u u u v，所以D ，B ，N 三点共线．同理，当31,2A ⎛⎫-⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭时，D ，B ，N 三点共线． ② 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-．由()221,3412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()()22223484120kxk x k +-+-=．且()()()222284344120k k k∆=--+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．直线DA 的方程为()1122y y x x =++，点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭．所以11116022412MFy x y k x -+==-+．直线NF 的方程为()11212x y x y +=--，点N 的坐标为()11324,2x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．则()222,DB x y =+u u u v ，()11326,2x DN y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭u u u v ．所以()()122132262x x y y -++⋅-()()1212132242x x y y y ⎡⎤=-+++⎣⎦，()()()()2121213224112x x k x x y ⎡⎤=-+++--⎣⎦， ()()()2221212131424442k x x k x x ky ⎡⎤=-++-+++⎣⎦，()()222222213412814244423434k k k k k y k k ⎡⎤-=-++-++⎢⎥++⎣⎦，()()()()()222222211441224844343234k kk k k k y k +-+-+++=-⋅+，242242422134121648163212121616234k k k k k k k k y k -+-+-++++=-⋅+0=．所以DB u u u v 与DN u u u v共线，所以D ，B ，N 三点共线．综上所述，D ，B ，N 三点共线．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 21．已知函数()(sin )ln f x x a x =+，a R ∈．（1）若0a =.（ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；（ⅱ）求函数()f x 在区间(1,)π内的极大值的个数．（2）若()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，求实数a 的取值范围．【答案】（1）（ⅰ）2ln02x y ππππ--+=；（ⅱ）1；（2）(,1]-∞-．【解析】（1）（ⅰ）求出导函数，得到2f π⎛⎫⎪⎝⎭'与2f π⎛⎫⎪⎝⎭，利用点斜式得到直线的方程；（ⅱ）研究函数在区间()1,π内单调性，结合极值的定义得到答案；（2）由题可知()sin cos ln x a f x x x x +='+，其中,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，分两类情况：1a ≤-与1a >-，结合函数的单调性与极值即可得到实数a 的取值范围．【详解】（1）（ⅰ）因为()sin ln f x x x =，所以()sin cos ln x f x x x x =+'，22f ππ⎛⎫= ⎪⎭'⎝．又因为ln 22f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为2ln 22y x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，化简得2ln 02x y ππππ--+=．（ⅱ）当1,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 无极大值．当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，设()()g x f x ='，则()22cos sin sin ln 0x x g x x x x x =--'+<，所以()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减．又因为202f ππ⎛⎫=⎪⎭'>⎝， ()ln 0f ππ'=-<，所以在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所以()f x 在()01,x 内单调递增，在()0,x π内单调递减，此时()f x 有唯一极大值．综上所述，()f x 在()1,π内的极大值的个数为1．（2）由题可知()sin cos ln x a f x x x x +='+，其中,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．当1a ≤-时，()0f x '<，故()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减；下面设1a >-．对于,2x ππ⎛⎫∀∈⎪⎝⎭，2ln ln ln 2x e π<<=，且cos 0x <，所以cos ln 2cos x x x >．所以当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin sin 2cos 2cos x a x a x x f x x x x +++>+'=．设()sin 2cos h x x x x a =++，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()cos 2cos 2sin 3cos 2sin 0h x x x x x x x x =+-=-<'．所以()h x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减． 102h a π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， ()2h a ππ=-+．当20a π-+≥时，即2a π≥时，()0h π≥，对,2x ππ⎛⎫∀∈⎪⎝⎭，()0h x >，所以()0f x '>，()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，不符合题意．当20a π-+<时，即12a π-<<时，02h π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0h π<，所以1,2x ππ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使()10h x =，因为()h x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，所以对1,2x x π⎛⎫∀∈⎪⎝⎭，()0h x >，所以()0f x '>．所以()f x 在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，不符合题意．所以当1a >-时，()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内不单调递减．综上可得1a ≤-，故a 的取值范围为(],1-∞-．【点睛】本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用，同时考查了数形结合的数学思想与分类讨论的思想，属于中档题．22．设m 为正整数，各项均为正整数的数列{}n a 定义如下： 11a =，1,,2,.nn n n n a a a a m a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数（1）若5m =，写出8a ，9a ，10a ；（2）求证：数列{}n a 单调递增的充要条件是m 为偶数；（3）若m 为奇数，是否存在1n >满足1n a =？请说明理由．【答案】（1）86a =，93a =，108a =；（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析．【解析】（1）5m =时，结合条件，注意求得8a ，9a ，10a ；（2）根据1n n a a +-与零的关系，判断数列{}n a 单调递增的充要条件；（3）存在1n >满足1n a =. 【详解】（1）86a =，93a =，108a =．（2）先证“充分性”．当m 为偶数时，若n a 为奇数，则1n a +为奇数．因为11a =为奇数，所以归纳可得，对*n N ∀∈，n a 均为奇数，则1n n a a m +=+，所以10n n a a m +-=>，所以数列{}n a 单调递增．再证“必要性”．假设存在*k N ∈使得k a 为偶数，则12kk k a a a +=<，与数列{}n a 单调递增矛盾，因此数列{}n a 中的所有项都是奇数．此时1n n a a m +=+，即1n n m a a +=-，所以m 为偶数．（3）存在1n >满足1n a =，理由如下：因为11a =，m 为奇数，所以212a m m =+≤且2a 为偶数，312ma m +=≤．假设k a 为奇数时， k a m ≤；k a 为偶数时，2k a m ≤．当k a 为奇数时，12k k a a m m +=+≤，且1k a +为偶数；当k a 为偶数时，12kk a a m +=≤．所以若1k a +为奇数，则1k a m +≤；若1k a +为偶数，则12k a m +≤．因此对*n N ∀∈都有2n a m ≤．所以正整数数列{}n a 中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项．设集合(){,|,}r s A r s a a r s ==<，设集合()**{|,}B r N r s A N =∈∈⊆．因为A ≠∅，所以B ≠∅．令1r 是B 中的最小元素，下面证11r =．设11r >且1111()r s a a r s =<．当1r a m ≤时，1112r r a a -=，1112s s a a -=，所以1111r s a a --=；当1r a m >时，111r r a a m -=-，111s s a a m -=-，所以1111r s a a --=．所以若11r >，则11r B -∈且111r r -<，与1r 是B 中的最小元素矛盾．所以11r =，且存在*11s N <∈满足111s a a ==，即存在1n >满足1n a =．【点睛】本题考查数列的递推关系，考查数列的单调性，考查学生分析问题及解决问题得能力，属于难题．2020届北京市东城区高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}|1A x x =≤，{|(2)(1)0}B x x x =-+<，那么A B =I （） A ．{}|12x x -<< B ．{}|11x x -≤< C ．{}|12x x ≤< D ．{}|11x x -<≤【答案】D【解析】求得集合{|12}B x x =-<<，结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<，所以A B =I {}|11x x -<≤. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．复数在复平面内的对应点位于（）A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限【答案】B【解析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限. 【详解】，对应点为，在第三象限.故答案选B 【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3．下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（） A ．1y x=B ．ln ||y x =C ．2x y =D ．1||y x =-【答案】B【解析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，对于A 中，函数()()1f x f x x-=-=-，所以函数为奇函数，不符合题意；对于B 中，函数()ln ||f x x =满足()()ln ||ln ||f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数，当0x >时，函数ln y x =为()0,∞+上的单调递增函数，符合题意；对于C 中，函数2xy =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，1||y x =-为偶函数，当0x >时，函数1y x =-为单调递减函数，不符合题意，故选：B . 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4．设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b ππ>”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据函数()xf x π=为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数()xf x π=为单调递增函数，当0a b >>时，可得()()f a f b >，即a b ππ>成立，当a b ππ>，即()()f a f b >时，可得a b >，所以0a b >>不一定成立，所以“0a b >>”是“a b ππ>”的充分而不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5．设α，β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（）A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥C ．若//n α，m n ⊥，则m α⊥D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n【答案】B【解析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，对于A 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，所以不正确；对于C 中，若//n α，m n ⊥，则m 与α可能平行，相交或在平面α内，所以不正确；对于D 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行、相交或异面，所以不正确；对于B 中，若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，，根据线面垂直的性质，可证得m n ⊥成立，故选：B . 【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 6．从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（） A ．7 B ．9 C ．10 D ．13【答案】C【解析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解. 【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有133C =种排法；（2）当三个数为1,2,3时，共有336A =种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110++=种不同排法，即这样的数共有10个. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（）A ．若2παβ+<，则sin sin αβ+<B ．若2παβ+<，则cos cos αβ+<C ．若2παβ+>，则sin sin 1αβ+> D ．若2παβ+>，则cos cos 1αβ+>【答案】A【解析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案. 【详解】对于A 中，因为2παβ+<，则0,24424αβππαβπ+-<<-<<又由sin sin 2sin cos2sincos22422αβαβπαβαβαβ+---+=<=≤所以sin sin αβ+<对于B 中，例如,66ππαβ==，此时coscos66ππ+=>所以cos cos αβ+<对于C 中，因为2παβ+>，例如5,612ππαβ==时，5611sinsin 212ππ+=<，所以sin sin 1αβ+>不正确；对于D 中，因为2παβ+>，例如2,36ππαβ==时，1cos c 23os 162ππ+=-+<，所以cos cos 1αβ+>不正确，故选：A . 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =3，则所得椭圆的焦距为2； ③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是（） A ．① B ．②③C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】设圆柱的底面半径为R ，根据题意分别求得b R =，sin R a α=，tan ROC α=，结合椭圆的结合性质，即可求解. 【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为R ，根据题意可得椭圆的短轴长为22b R =，即b R =，长轴长为22sin R a α=，即sin Ra α=，在直角1O OC ∆中，可得1tan O C OC α=，即1tan tan O C ROC αα==，又由22222222211tan tan sin R R OC b R R ααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，即222OC b a +=，所以222OC a b =-，又因为椭圆中222c a b =-，所以OC c =，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；由124O O =，可得12O O =33R = 在直角1O OC ∆中，2222212(3)1OC OO R =-=-=，由①可知，即1c =，所以22c =，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；由①可得sin R a α=，tan Rc α=，所以椭圆的离心率为sin tan cos tan sin Rc e R a ααααα====，所以当当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题9．若双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，则实数m =_________.【答案】4【解析】结合双曲线的几何性质，得到132m +=+，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，可得132m +=+，解得4m =. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10．已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 为其前n 项和，若16a =，2326a a +=，则公比q =________，4S =_________. 【答案】12 454【解析】根据等比数列的通项公式，得到2210q q +-=，求得12q =再由等比数列的前n 项和公式，求得4S ，得到答案. 【详解】。

安徽省两地2020届高三数学第一次联考(理)

绝密★启用前安徽省两地 2020 届高三第一次联考检测卷理科数学第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务势必自己的姓名、考号、考试科目用铅笔填写在答题卡上．2.每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案。

不可以答在试题卷上．3.考试结束后，监考员将本试卷和答题卡一并回收。

一、选择题（此题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分.在每题的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1. A x Z 2 22 x8 , B x R x 1 1(e R B) 的元素个数为若，则 A ∩A. 0B. 1C. 2D. 3lim x 2x a 52. 若 x 2 x2x 23，则 a 的值是A. 2B.2C. 6D.6(2 i )(1 i) 23. 计算1 2i等于A. 2B. –2C. 2iD. –2ia R, 则 a 1是 11 4. 设a 的A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D. 既不充足也不用要条件5. 设有直线 m 、n 和平面、。

以下四个命题中，正确的选项是A. 若 m ∥ ,n ∥ ,则 m ∥ nB. 若 m ,n ,m ∥ ,n ∥ ,则 ∥C. 若， m ,则 mD. 若，m， m,则 m ∥f (x) 3sin(2 x3 )6. 函数的图象为 C ，以下结论中错误的选项是11xA. 图象 C 对于直线12对称（ 2，0） B. 图象 C 对于点 35（-，）C. 函数f ( x)在区间 12 12内是增函数D. 由y3sin2x的图象向右平移 3 个单位长度能够获得图象 Cx 2 y 2 1p q7. 已知 p 、 q 、 p+q 是等差数列， p 、 q 、 pq 是等比数列，则椭圆的准线方程A.y2 2 B.x2 2 y2 6x 2 633C.D.8. 地球北纬45o圈上有 A 、B 两点，点 A 在东经130o处，点 B 在西经140o处，若地球半径为 R ，则 A 、 B 两地在纬度圈上的劣弧与 A 、B 两地的球面距离之比为223 2A.4B. 3C.4D.29. 若直线 2ax by 20(a0, b 0) 被圆 x 2y 2 2x 4y 1截得的弦长为 4，则 ab的最大值是11A.4B.2C.2D.410. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100 台洗衣机运往周边的乡镇 .现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用 .每辆甲型货车运输花费 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型货车运输费用 300 元，可装洗衣机10 台 .若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输花费为A. 2000元B. 2200 元C. 2400 元D. 2800元11. 在航天员进行的一项太空实验中，先后要实行 6 个程序，此中程序 A 只好出此刻第一步或最后一步，程序 B 和程序 C 实行时一定相邻，请问实验次序的编排方法共有A.24种 12. 定义在R 上的函数f(x) B. 48种C. 96种D. 144 种既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期 .若将方程f(x)=0在闭区间T ,T上的根的个数记为n ，则n 可能为A. 0B. 1C. 3D. 5第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）注意事项：1．第Ⅱ卷共 6 页，用钢笔或圆珠笔挺接答在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．题号二三总分17 18 19 20 21 22得分得分评卷人二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 4 分，合计 16 分)把答案填在题中横线上．13. 在 (1 2x) 6 的睁开式中，含x3 的系数是 _______________ .14. 直三棱柱ABC A1B1C1 中，ACB 90o，AC=BC=1，AA12，则直线A1B与平面BB1C1C所成的角的正切值为_______________ .15. 不论 k 为什么实数，直线ykx 1与圆 x2 y2 2ax a2 2a 4恒有交点，则实数 a的取值范围是_______________ .uuur uuur uuur 16. 已知空间向量OA (1,k,0)( k Z),| OA | 3.OB (3,1,0), O为坐标原点，给出以下结uuur论：①以 OA、OB 为邻边的平行四边形OACB 中，当且仅当 k 0 时，| OC |获得最小值；②当 k 2 时，到 A 和点 B 等距离的动点P( x, y, z) 的轨迹方程为 4x 2 y 5 0，其轨迹是uuur 7 uuur一条直线；③若OP (0,0,1),则三棱锥 OABP体积的最大值为6；④若OP=（ 0，0，1），2则三棱锥O ABP各个面都为直角三角形的概率为5.此中的真命题是（写出全部真命题的编号）三、解答题：（本大题共 6 小题，共74 分) 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 得分评卷人17.（本小题满分12 分）已知函数 f ( x) sin 2x acos2x(a R,a为常数），且 4 是函数yf (x) 的零点.(Ⅰ )求 a 的值，并求函数f ( x)的最小正周期；x 0,(Ⅱ )当2时，求函数f ( x)的值域，并写出f ( x)获得最大值时的x 的值 .得分评卷人18.（本小题满分12 分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不一样的工艺品，制作过程一定先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可竟如第二次烧制，两次烧制过程互相独立。

安徽省皖江名校联盟2020届高三数学第一次联考试题文

安徽省皖江名校联盟2020届高三数学第一次联考（8月）试题文本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第2至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可用铅笔在答题卡．．．规定位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．题无效．．．。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A 1,2,3,4},B {x 3}x ==<{，则A B =IA.1,2,3}{B.1,2}{C.1x 3}x ≤<{D.1x 3}x <<{2.已知复数z 满足(1)z i -=，则z =A. 1+B.1C.iD.－i3.某地甲、乙、丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为300，400，500，现为了调查联考数学学科的成绩，采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个容量为120的样本，那么在乙学校中抽取的数学成绩的份数为A. 30B. 40C.50D. 80 4.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.n<p<m 5.已知a 、b 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则A.a∥α，a⊥b，则b⊥αB.a⊥α，a⊥b，则b∥αC.a ⊂α，b ⊂α，a∥β，b ∥β，则α∥βD.a I b ＝A ，a∥α，b ∥α，a∥β，b ∥β，则α∥β6.数学老师要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人检查作业，则甲、乙同时被抽到的概率为 A.110 B.15 C. 310 D. 257.已知双曲线22221x y a b-=（a>0，b>0）的渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为A.8.要得到函数ysin3x 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2π个单位长度9.已知实数x 、y 满足200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则z ＝－x ＋y 的取值范围是A.[－4，2]B. [－4，0]C. [－2，－4] D[－2，4]10.定义在R 上的奇函数f(x)满足，当0x ≤时，()x xf x e e -=-，则不等式f(x 2－2x)－f(3)<0的解集为A.(－1，3)B.(－3，1)C.(,1)(3,)-∞-+∞UD. (,3)(1,)-∞-+∞U 11.过原点O 作直线l ：(2m ＋n)x ＋(m －n)y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为12C.1D.212.已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F直线l 过点F 与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 作抛物线准线的垂线，垂直分别为C 、D 两点，M 为线段AB 的中点，则△CDM 是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

安徽省皖江名校联盟2020届高三5月联考数学(理)试题及答案

1 6 .于是该圆锥的体积为 (
6)2
2 2 2 .
3
15.【答案】 4038 【解析】∵等差数列 an 的首项 a1 0 , a2019 a2020 0, a2019 a2020 0,
∴ a2019
0, a2020
0
.于是 S4038
4038(a1 2
a4038 )
4038(a2019 2
2
7.【解析】设各小长方形的宽度为 m，由频率分布直方图中各小长方形面积总和为 1 可得,
(0.08 0.10 0.14 0.12 0.04 0.02)m 1, 解得 m 2. 各小组依次是
0,2，2,4，4,6，6,8，8,10，10,12，其中点分别是 1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为
所以 CI BE . 由于 AB BE B ，所以 CI 平面 ABC .
………………………………………3 分
2020 届金榜教育五月联考·理科数学参考答案第 3 页（共 7 页）
1 点 N、I 是边 AE、AB 的中点，所以 NI // BE, NI BE 1.
2
又因为 CM // BE,CM 1 ,所以 NI / /CM .
因为 a 2, c 1, 所以 b2 a2 c2 1.于是 E 的方程是 x2 y2 1. ………………………5 分 2
x2 2y2 2 0
（Ⅱ）设 A(x1, y1), B(x2, y2 ), 联立
消去 y 得到，
y kx m
x2 2(kx m)2 2 0 ，即（1 2k 2 )x2 4kmx 2m2 2 0 .
(x 2)8 441x5 的展开式中含 x5 项的系数 a5 448 441 7.

2019年8月安徽省皖江名校联盟2020届高三第一次联考数学(理)答案解析

1 2019年8月安徽省皖江名校联盟2020届高三第一次联考数学（理科）参考答案解析1.【解析】{|12}AB x x =<<，故选D. 2.【解析】1343434252525i z i i -===-+，所以z 的实部为325，虚部为425- ，z 的共轭复数为342525i +15=，故选C. 3.【解析】因为3,4a b ==,故双曲线22+1916x y =的右焦点的坐标是. 4.【解析】因为0.40.54log 0.40,41,00.41m n p =<=><=<,所以m p n <<.5.【解析】232(32)()x x y x x e x x e '=+++,所以1|7x y e ='=,又1x =时,2y e =,所以所求切线方程为27(1)y e e x -=-,即75y ex e =-6.【解析】因为11515815()15152a a S a +===,所以81a =,又411a =,所以公差 111542d -==-,所以24211516a a d =-=+=． 7.【解析】因为sin 3cos3)4y x x x π=+=+, 所以将其图象向左平移4π个单位长度,可得)])244y x x x ππ=++=+π=,故选C. 8.【解析】根据题意,分2步分析：①先从5个人里选2人,其位置不变,有2510C =种选法,②对于剩余的三人,因为每个人都不能站在原来的位置上,因此第一个人有两种站法, 被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上,因此三个人调换有2种调换方法,故不同的调换方法有10220⨯=种.而基本事件总数为55120A =,所以所求概率为2011206=. 9.【解析】由题意可知,当x R ∈时,1()x x f x e e =-,所以1()0x x f x e e '=+>为R 上的单调递增函数,故由2(2)(3)0f x x f --<,得2(2)(3)f x x f -<,即2230x x --<,解得13x -<<,故选A.。

安徽省大教育全国名校联盟2020届高三上学期质量检测第一次联考数学(理)试题 Word版含解析

大教育全国名校联盟2020届高三质量检测第一次联考理科数学一、选择题1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2}2{|0B x x x =-+>，则AB =( )A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D.{}2,1,0,1,2--【答案】D 【解析】【分析】先求出集合B ，再与集合A 求交集即可. 【详解】由已知，22172()024x x x，故B R =，所以A B ={}2,1,0,1,2--. 故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题. 2.若复数()12()()z m m i m R =+-∈+是纯虚数，则63iz+=( ) A. 3 B. 55 D. 35【答案】C 【解析】【分析】先由已知，求出1m =-，进一步可得63i12i z+=-，再利用复数模的运算即可【详解】由z 是纯虚数，得10m +=且20m -≠，所以1m =-，3z i =.因此，63631253i ii z i++==-=故选：C.【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题. 3.已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b “是“α//β”的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据面面平行的判定及性质求解即可．【详解】解：a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，由a ∥b ，不一定有α∥β，α与β可能相交；反之，由α∥β，可得a ∥b 或a 与b 异面，∴a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，则“a ∥b “是“α∥β”的既不充分也不必要条件．故选：D .【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题． 4.函数()221x x x f x =+-的图象大致为( ) A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】由()f x 是偶函数可排除A 、B ；再由，0x >有()0f x >可排除D.【详解】由已知，()()()2111221221xx xx f x x +⎛⎫=+= ⎪--⎝⎭，则()()()()()()()2121221221xx xxx x f x f x --+-+-===--，所以()f x 为偶函数，故可排除A 和B ；当0x >时，()0f x >，故可排除D. 故选：C.【点睛】本题考查已知函数解析式确定函数图象的问题，在处理这类问题时，通常利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值来处理，是一道容易题.5.马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】模拟程序的运行即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：p ＝1，S ＝1，输出S 的值为1，满足条件p ≤7，执行循环体，p ＝3，S ＝7，输出S 的值为7，满足条件p ≤7，执行循环体，p ＝5，S ＝31，输出S 的值为31，满足条件p ≤7，执行循环体，p ＝7，S ＝127，输出S 的值为127，满足条件p ≤7，执行循环体，p ＝9，S ＝511，输出S 的值为511，此时，不满足条件p ≤7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题．6.小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A.17B. 27C.13D.1835【答案】A 【解析】【分析】利用An P n=计算即可，其中A n 表示事件A 所包含的基本事件个数，n 为基本事件总数. 【详解】从7本作业本中任取两本共有27C 种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有23C 种不同结果，由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为232717C C =.故选：A.【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A. 9 B. 12C. 15-D. 18-【答案】A 【解析】【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案.【详解】设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.8.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F到直线20bx ay -=，则E 的离心率为( )B.12【答案】A 【解析】【分析】由已知可得到直线20bx ay -=的倾斜角为45，有21ba=，再利用222a b c =+即可解决.【详解】由F 到直线20bx ay -=，得直线20bx ay -=的倾斜角为45，所以21ba=，即()2224a c a -=，解得e =故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于,,a b c 的方程或不等式，本题是一道容易题. 9.已知函数()cos(2)3f x x π=+，则下列结论错误的是( )A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 函数()f x 在2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. 函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到【答案】D 【解析】【分析】由2πT ω=可判断选项A ；当π12x =时，ππ2=32x +可判断选项B ；利用整体换元法可判断选项C ；πsin 212y x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()πcos 23x f x ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭可判断选项D .【详解】由题知()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==，所以A 正确；当π12x =时， ππ2=32x +，所以B 正确；当π2π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5π2π,33x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以C 正确；由sin 2y x = 的图象向左平移π12个单位，得ππππsin 2sin 2sin 212623y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()πcos 23x f x ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，所以D 错误.故选：D.【点睛】本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题.10.已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（） A. ﹣2 B. ﹣1C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据对称性即可求出答案．【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2，故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．11.已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A. 13y x =±B. 12y x =±C. 2y x =±D. 3y x =±【答案】C 【解析】【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率. 【详解】根据题意，点P 一定在左支上.由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =，再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ，从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c aMOF ac+-∠=.——①由2tan b MOF a ∠=，得2cos aMOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.12.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A .①③B. ②④C. ①②③D. ②③④【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题. 二、填空题13.已知向量()1,1a =，2b =，且a 与b 的夹角为34π，则()a ab ⋅+=______. 【答案】0 【解析】【分析】直接根据向量数量积的概念以及分配律即可得结果.【详解】由题知22a =，2222a b ⎛⎫⋅=⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()20a a b a a b ⋅+=+⋅=，故答案为：0.【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算，属于基础题.14.定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意的,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y -=-；②当0x <时，()0f x >，则函数()f x 的解析式可以是______________. 【答案】()f x x =-（或()2f x x =-，答案不唯一）【解析】【分析】由()()()f x y f x f y -=-可得()f x 是奇函数，再由0x <时，()0f x >可得到满足条件的奇函数非常多，属于开放性试题.【详解】在()()()f x y f x f y -=-中，令0x y ==，得(0)0f =；令0x =，则()()()()0y f y f y f f -==--，故()f x 是奇函数，由0x <时，()0f x >，知()f x x =-或()2f x x =-等，答案不唯一.故答案为：()f x x =-（或()2f x x =-，答案不唯一）.【点睛】本题考查抽象函数的性质，涉及到由表达式确定函数奇偶性，是一道开放性的题，难度不大.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(21)3n n S a +=，若108a ka =，则k =______________. 【答案】9 【解析】【分析】用1n -换(21)3n n S a +=中的n ，得11233(2)n n S a n --=+≥，作差可得13(2)n n a a n，从而数列{}n a 是等比数列，再由2810a k q a ==即可得到答案. 【详解】由233n n S a =+，得11233(2)n n S a n --=+≥，两式相减，得1233n n n a a a -=-，即13(2)n n a a n；又11233S a =+，解得13a =-，所以数列{}n a 为首项为-3、公比为3的等比数列，所以28109a k q a ===. 故答案为：9.【点睛】本题考查已知n a 与n S 的关系求数列通项的问题，要注意n 的范围，考查学生运算求解能力，是一道中档题.16.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且90PAB ∠=︒.若四棱锥P-ABCD 的五个顶点在以4为半径的同一球面上，当PA 最长时，则PDA ∠=______________；四棱锥P-ABCD 的体积为______________.【答案】 (1). 90° (2). 3【解析】【分析】易得AB ⊥平面PAD ，P 点在与BA 垂直的圆面1O 内运动，显然，PA 是圆1O 的直径时，PA 最长；将四棱锥P ABCD -补形为长方体111A B C P ABCD -，易得PB 为球的直径即可得到PD ，从而求得四棱锥的体积.【详解】如图，由90PAB ∠=及AB AD ⊥，得AB ⊥平面PAD ，即P 点在与BA 垂直的圆面1O 内运动，易知，当P 、1O 、A 三点共线时，PA 达到最长，此时，PA 是圆1O 的直径，则90PDA ∠=；又AB PD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，此时可将四棱锥P ABCD -补形为长方体111A B C P ABCD -，其体对角线为28PB R ==，底面边长为2的正方形，易求出，高PD =故四棱锥体积1433V =⨯⨯=.故答案为：(1) 90° ； (2) 8143.【点睛】本题四棱锥外接球有关的问题，考查学生空间想象与逻辑推理能力，是一道有难度的压轴填空题.三、解答题17.我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜（FAST）是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.（1）在93颗新发现脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗？（2）根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值.【答案】（1）79颗；（2）5.5秒.【解析】【分析】（1）利用各小矩形的面积和为1可得a，进而得到脉冲星自转周期在2至10秒的频率，从而得到频数；（2）平均值的估计值为各小矩形组中值与频率的乘积的和得到. 【详解】（1）第一到第六组的频率依次为 0.1，0.2，0.3，0.2，2a ，0.05，其和为1所以()210.10.20.30.20.05a =-++++，0.075a =，所以，自转周期在2至10秒的大约有()9310.1579.0579⨯-=≈（颗）. （2）新发现的脉冲星自转周期平均值为0.110.230.350.270.1590.0511 5.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（秒）.故新发现的脉冲星自转周期平均值为5.5秒.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，涉及到平均数的估计值等知识，是一道容易题.18.在ABC ∠中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin C c B =-.（1）求B ；（2）若b =AD 为BC 边上的中线，当ABC 的面积取得最大值时，求AD 的长.【答案】（1）23π；（2. 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及A B C π++=可得sin sin sin B C C B =-，从而得到tan B =（2）在ABC 中，利用余弦定可得22123a c ac ac =++≥，4ac ≤，而1sin 24ABC S ac B ac ∆==，故当4ac =时，ABC 的面积取得最大值，此时2a c ==，π6C =，在ACD 中，再利用余弦定理即可解决.【详解】（1cos sin sin A B C C B =-，结合()sin sin A B C =+，sin sin sin B C C B =-，因为sin 0C ≠，所以tan B =，由()0,πB ∈，得2π3B =. （2）在ABC 中，由余弦定得2212a c ac =++，因为223a c ac ac ++≥，所以4ac ≤，当且仅当2a c ==时，ABC 的面积取得最大值，此时π6C =. 在ACD 中，由余弦定理得222π32cos 121223176AD CA CD CA CD ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 即7AD =.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道容易题.19.在三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，14BC BB ==，125AC AB ==，且160BCC ∠=︒.（1）求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；（2）设二面角1C AC B --的大小为θ，求sin θ的值.【答案】（1）证明见解析；（215. 【解析】【分析】（1）要证明平面1ABC ⊥平面11BCC B ，只需证明AB ⊥平面11BCC B 即可；（2）取1CC 的中点D ，连接BD ，以B 为原点，以BD ，1BB ，BA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面11ACC A 的法向量为n 与平面1ABC 的法向量为1B C ，利用夹角公式111cos ,n B C n B C n B C⋅=计算即可.【详解】（1）在ABC 中，22220AB BC AC +==，所以90ABC ∠=，即AB BC ⊥. 因为1BC BB =，1AC AB =，AB AB =，所以1B ABC A B ≌.所以190ABB ABC ∠=∠=，即1AB BB ⊥. 又1BC BB B =，所以AB ⊥平面11BCC B .又AB平面1ABC ，所以平面1ABC ⊥平面11BCC B .（2）由题意知，四边形11BCC B 为菱形，且160BCC ∠=，则1BCC 为正三角形，取1CC 的中点D ，连接BD ，则1BD CC ⊥.以B 为原点，以BD ，1BB ，BA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B ，()10,4,0B ，()0,0,2A ，()23,2,0C -，()123,2,0C .设平面11ACC A 的法向量为(),,n x y z =，且()23,2,2AC =--，()10,4,0CC =.由10,0,AC n CC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得23220,40,x y z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩取(1,0,3n =. 由四边形11BCC B 为菱形，得11BC B C ⊥；又AB ⊥平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥；又1=AB BC B ⋂，所以1B C ⊥平面1ABC ，所以平面1ABC 的法向量为()1=23,6,0B C -.所以1111cos ,443n B C n B C n B C⋅===.故sin 4θ=.【点睛】本题考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的问题，在利用向量法时，关键是点的坐标要写准确，本题是一道中档题.20.已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C.（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，则是否存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠？若存在，求出直线m 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）24x ay =，抛物线；（2）存在，()(),11,-∞-+∞.【解析】【分析】（1）设(),Q x y y a =+，化简即得；（2）利用导数几何意义可得()2,A a a ，要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=. 联立直线m 与抛物线方程，利用根与系数的关系即可解决.【详解】（1）设(),Q x y y a =+，化简得24x ay =，所以动圆圆心Q 的轨迹方程为24x ay =，它是以F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线.（2）不妨设()2,04t A t t a ⎛⎫> ⎪⎝⎭.因为24x y a=，所以2x y a '=，从而直线PA 的斜率为2402t at at a+=-，解得2t a =，即()2,A a a ，又()0,F a ，所以//AF x 轴.要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=.设直线m 的方程为y kx a =-，代入24x ay =并整理，得22440x akx a -+=. 首先，()221610ak∆=->，解得1k <-或1k >.其次，设()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x ak +=，2124x x a =.()()2112121212FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x -+---+=+= ()()()21121212122222x kx a x kx a a x x k x x x x -+-+==-224204a akk a ⋅=-=. 故存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠，此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,-∞-+∞.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，涉及抛物线中的存在性问题，考查学生的计算能力，是一道中档题. 21.已知函数21()(1)ln ,2f x ax a x a R x =+--∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若),(1a ∈-∞，设()ln xg x xe x x a =--+，证明：1(0,2]x ∀∈，2(0,)x ∃∈+∞，使()()122ln2f x g x ->-.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）()()()()'110ax x f x x x+-=>，分0a ≥，10a -<<，1a =-，1a <-四种情况讨论即可；（2）问题转化为()()min min 2ln 2f x g x ->-，利用导数找到min ()f x 与min ()g x 即可证明. 【详解】（1）()()()()()'11110ax x f x ax a x x x+-=+--=>.①当0a ≥时，10ax +>恒成立，当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，所以，()f x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数.②当10a -<<时，11a->，()()'11a x x a f x x⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=. 当01x <<时，()'0f x <；当11x a<<-时，()'0f x >；当1x a>-时，()'0f x <，所以， ()f x 在()0,1上是减函数，在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. ③当1a =-时，()()2'10x f x x--=≤，则()f x 在()0,∞+上是减函数. ④当1a <-时，11a-<，当10x a<<-时，()0f x '<；当11x a-<<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以，()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数，在1,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数，在()1,+∞上是减函数. （2）由题意，得()()min min 2ln 2f x g x ->-. 由（1）知，当1a <-，(]0,2x ∈时，()()min 1,2f x f f a ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， ()1112ln 1ln 22f f a a a ⎛⎫⎛⎫--=----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()1ln 1ln 22h x x x =-+-+，()0,1x ∈，()202x h x x-'=< 故()h x 在()0,1上是减函数，有()()11ln 2ln 02h x h >=-=>，所以()12f f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，从而()()min 22ln 2f x f ==-. ()ln x g x xe x x a =--+，()0,x ∈+∞，则()()'11xg x x e x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，令()1xG x e x=-，显然()G x 在()0,∞+上是增函数，且1202G ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()110G e =->，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()0001e 0x G x x =-=，且()g x 在()00,x 上是减函数，在()0,x +∞上是增函数，()()00000min ln 10x g x g x x e x x a a ==--+=+<，所以()min 2ln 212ln 22ln 2g x a +-=++-<-，所以()()min min 2ln 2f x g x >+-，命题成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式的问题，考查学生逻辑推理能力，是一道较难的题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数）.以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系. （1）设直线l 的极坐标方程为12πθ=，若直线l 与曲线C 交于两点A.B ，求AB 的长；（2）设M 、N 是曲线C 上的两点，若2MON π∠=，求OMN ∆面积的最大值.【答案】（1；（2）1. 【解析】【分析】（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（2）()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由（1）通过计算得到121πsin22S ρρ=πsin 23θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即最大值为1.【详解】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为22112x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即220x y x +-=；再将222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得2cos sin 0ρρθθ--=，故曲线C 的极坐标方程为π2sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，显然直线l 与曲线C 相交的两点中，必有一个为原点O ，不妨设O 与A 重合，即12ππ2sin 612AB OB πθρ=⎛⎫===+=⎪⎝⎭. （2）不妨设()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则OMN 面积为121π1πππsin 2sin 2sin 222626S ρρθθ⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ πππ2sin cos sin 2663θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当πsin 213θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即取π12θ=时，max 1S =. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题.23.已知不等式111x x x m +++-≥+对于任意的x ∈R 恒成立. （1）求实数m 的取值范围；（2）若m 的最大值为M ，且正实数a ，b ，c 满足23a b c M ++=.求证11222a b b c+≥++【答案】（1）[]3,1-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=，0x ≥，得112x x x +++-≥，则12m +≤，由此可得答案；法二：由题意()min 111m x x x +≤-+++，令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数，由此可得出答案；（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论．【详解】解：（1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=（当且仅当11x -≤≤时取等号），又0x ≥（当且仅当0x =时取等号），所以112x x x +++-≥（当且仅当0x =时取等号），由題意得12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤，故m 的取值范围是[]3,1-；法二：因为对于任意x ∈R 恒有111x x x m +++-≥+成立，即()min 111m x x x +≤-+++，令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数，所以()()min 02f x f ==，即12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤，故m 的取值范围是[]3,1-；（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=， ∴1122a b b c +++()112322a b c a b b c ⎛⎫=++⋅+ ⎪++⎝⎭()()23211222a b b c a b b c +++⎛⎫=⋅+ ⎪++⎝⎭ ()32124222b c a b a b b c +⎡⎤+=++⎢⎥++⎣⎦ 1422⎡≥+=+⎣故不等式11222a b b c +≥++ 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．。

【数学】安徽省皖江名校联盟2020届高三第一次联考(8月) (理)

安徽省皖江名校联盟2020届高三第一次联考（8月）数学试卷（理）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A 3x 2},B {lnx 0}x x =-≤≤=≥{，则AB =（）A.3,2,1,0,1}---{B.1,2}{C.3x 1}x -≤≤{D.1x 2}x ≤≤{ 2.已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（） A.复数z 的实部为3 B.复数z 的虚部为425i C.复数z 的共轭复数为342525i + D.复数z 的模为1 3.椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为（）A.(5，0)B.(0，5) ，0) D.(0) 4.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则（） A.m <n <p B.m <p <nC.p <m <nD.n <p <m5.曲线32()xy x x e =+在x ＝1处的切线方程为（）A.y ＝7e x －5eB.y ＝7e x ＋9eC.y ＝3e x ＋5eD.y ＝3e x －5e 6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝11，S 15＝15，则a 2＝（） A.18 B.16 C.14 D.127.要得到函数y sin3x 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象（）A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2π个单位长度8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为（） A.12 B.14 C.16 D.189.定义在R 上的奇函数f (x )满足，当0x ≤时，()xxf x e e -=-，则不等式f (x 2－2x )－f (3)<0的解集为（）A.(－1，3)B.(－3，1)C.(,1)(3,)-∞-+∞ D. (,3)(1,)-∞-+∞10.过原点O 作直线l ：(2m ＋n )x ＋(m －n )y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为（）1 2 C.1 D.2 11.已知圆锥的母线长l 为4，侧面积为S ，体积为V ，则VS取得最大值时圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.12.已知点A 是双曲线22221x y a b+=（a >0，b >0）的右顶点，若存在过点N (3a ，0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得△AMN 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率（）A.存在最大值4B.存在最大值3C.存在最小值4D.存在最小值3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

安徽省皖江名校联盟2020届高三数学第一次联考试题文

安徽省皖江名校联盟2020届高三数学第一次联考（8月）试题文本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第2至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可用铅笔在答题卡．．．规定位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

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