数值分析第三版课本习题及答案

第一章 绪 论

1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.

2. 设x 的相对误差为2％,求n

x 的相对误差.

3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位

有效数字:

*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯

4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:

********

12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1

234,,,x x x x 均为第3题所给的数.

5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?

6. 设028,Y =按递推公式

11

783100n n Y Y -=-

( n=1,2,…)

计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?

7. 求方程2

5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).

8. 当N 充分大时,怎样求

2

11N

dx x +∞

+⎰

?

9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2

?

10. 设

2

12S gt =

假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,

而相对误差却减小. 11. 序列

{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10

y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?

12. 计算6(21)f =-,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?

3

63

11,(322),,9970 2.

(21)(322)--++

13. 2()ln(1)f x x x =-

-,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等

价公式

22ln(1)ln(1)x x x x --=-++

计算,求对数时误差有多大?

14. 试用消元法解方程组

{

101012121010;2.

x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

15. 已知三角形面积

1sin ,2s ab c =

其中c 为弧度,

02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足

.s a b c

s a b c ∆∆∆∆≤++

第二章 插值法

1. 根据(

2.2)定义的范德蒙行列式,令

2

00

0112111

2

1

()(,,,,)11

n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x

x x ----==

证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且

101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- .

2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.

3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.

x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ln x -0.916291

-0.693147

-0.510826

-0.357765

-0.223144

4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性

插值求cos x 近似值时的总误差界.

5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.

6. 设

j

x 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:

i) 0()(0,1,,);n

k k

j j j x l x x k n =≡=∑

ii)

()()1,2,,).

n

k j

j j x

x l x k n =-≡0(=∑

7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21

()()().

8max max a x b

a x

b f x b a f x ≤≤≤≤≤-"

8. 在44x -≤≤上给出()x

f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x

e 的近似值,要使截断误差不超过

610-,问使用函数表的步长h 应取多少?

9. 若2n n y =,求4n y ∆及4

n y δ.

10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k

f x k m ∆≤≤是