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2011年高考数学陕西文(word版含答案)

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2011年高考数学天津文(word版含答案)

2011年高考数学天津文(word版含答案)

选择题1.i 是虚数单位，复数13i1i--=（ ）. (A)2i -(B)2+i (C)12i -- (D)1+2i -2.设变量,x y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为( ).(A)-4 (B)0 (C)43(D)43.阅读如下程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，则输出y 的值为( ).(A)0.5 (B)1 (C)2 (D)44.设集合{}{}|20,|0A x x B x x =∈->=∈<R R ，{}|(2)0C x x x =∈->R ，则“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的( ).(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5.已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c ===，则( ).(A)a b c >> (B)a c b >> (C)b a c >> (D)c a b >>6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（ ）.(A)(B)(C)(D)7.已知函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,ππ.()f x ωϕ>-<≤若的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则（ ）. (A)()f x 在区间[2π,0]-上是增函数 (B)()f x 在区间[3π,π]--上是增函数 (C)()f x 在区间[3π,5π]上是减函数(D)()f x 在区间[4π,6π]上是减函数8.对实数a b 和，定义运算“⊗”：,1, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，设函数2()(2)(1),f x x x x =-⊗-∈R .若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）. (A)(1,1](2,)-⋃+∞ (B)(2,1](1,2]--⋃(C)(,2)(1,2]-∞-⋃(D) [-2，-1]填空题9.已知集合{}||-1|2,A x x =∈<R Z 为整数集，则集合A ⋂Z 中所有元素的和等于________.10.一个几何体的三视图如下图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m .11.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，n ∈*N ，若32016,20,a S ==则10S 的值为_______.12.已知22log log a b +≥1，则39ab+的最小值为__________.13.如下图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，::4:2:1.D F C F A F F B BE ==若CE 与圆相切，则线段CE 的长为__________.14.已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,90ADC ∠=︒,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.解答题15.编号为1216,,,A A A ⋅⋅⋅的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：（Ⅱ）从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人，（i ）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果； （ii ）求这2人得分之和大于50的概率.16.在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2.B C b ==（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）cos(2)4A π+的值.17.如下图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，45ADC ∠=︒，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，2PO =，M 为PD 中点. （Ⅰ）证明：PB //平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.18.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点(),Pab 满足212PF F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点.若直线2PF 与圆()(22116x y ++=相交于,M N 两点，且58MN AB =,求椭圆的方程. 19.已知函数322()4361,f x x tx t x t x =+-+-∈R ，其中t ∈R .（Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．20.已知数列{}{}n n a b 与满足1*1113(1)(2)1,,, 2.2n nn n n n n b a b a b n a -+++-+=-+=∈=N 且 （Ⅰ）求23,a a 的值； （Ⅱ）设2121,nn n c a a n +-=-∈*N ，证明{}n c 是等比数列；（Ⅲ）设n S 为{}n a 的前n 项和，证明2121212212n n n nS S S S a a a a --++++≤1().3n n -∈*N参考答案 1.A提示：i 22i24)i 1)(i 1()i 1)(i 31(i 1i 31-=-=+-+-=--.2.D提示：如下图，画可行域（阴影部分），通过平移与03=-y x 平行的直线可知，y x z -=3在(2,2)A 点有最大值，故4max =z .也可将三角形区域的其它顶点坐标代入目标函数3z x y=-中去求值查对，看看自己求得的值是否三个值中最大的，如果不是最大的，那么求解必有错.3.C提示：根据条件执行3次，过程如下：第一次：7=x ；第二次：4=x ；第三次：1=x ；不满足条件输出2=y ，故选(C).4.C提示：经化简：}2|{>∈=x x A R ，则}02|{<>=⋃x x x B A 或，又{}0,2,C x x x =∈<>R或故C B A =⋃,故选（C ）.5.B提示：首先确定：1,1,1<<>c b a ，又显然6.3log 2.3log 44<，故选(B).6.B提示：双曲线的左顶点为A )0,(a -，抛物线的焦点为)0,2(p B ，则42=+pa ；双曲线的一条渐近线为x ab y =，把)1,2(--代入后得b a 2=，而抛物线的准线为22-=-=px ，由此解得1,2==b a ，则5=c ，故双曲线的焦距为52.7.A提示：由6πT =,得31=ω,当π2x =时，1ππ2π,322k k ϕ⨯+=+∈Z ,解得π2π,3k k ϕ=+∈Z ，又πϕ-<≤ππ=3ϕ，所以，即1π()2sin()33f x x =+，π1ππ2π2π,2332k x k k -≤+≤+∈Z ,)(x f 单调递增，解得5π6π2k -≤x ≤π6π,2k k +∈Z ，令0=k ，则)(x f 在区间5ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，那么)(x f 在区间[2π,0]-上是增函数.此题也可验证选项的正确性，如对于选项（A ）,若2π0x -≤≤，则π1ππ3333x -≤+≤，)(x f 为增函数，故选(A). 8.B提示：解1)1()2(2≤---x x ，得21≤≤-x ，则⎩⎨⎧>-<-≤≤--=，或，，，211212)(2x x x x x x f 如下图，由图像可看出函数c y =与函数()f x 有两个交点时，c 的取值范围为]2,1(]1,2(⋃--.故应选（B ）.9.3提示：{}1<3A x x <=∈R |-，则{}0,1,2A ⋂=Z ，那么A ⋂Z 中所有元素的和等于3.10.4提示：根据所给的几何体的三视图，可以想到这个几何体是一个如下图所示的复合体.底座是一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体，上面是一个长、宽、高分别1,1,2的长方体，可得422=+=V .11.110提示：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯⨯+=+，，20219202016211d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2201d a ，则110291010110=⨯⨯+=d a S .12.18提示：因为()222log log log a b ab +=≥1，所以ab ≥2.而ba 93+≥b a b a 232932+=⋅≥ab2232当且仅当⎩⎨⎧==,2,93b a b a 即b a 2=时，取等号.又ab2232≥1832222=⨯，故最小值为18.也可由ab ≥2，得到a ≥2b，那么b a 93+≥b b 2233+≥bb 22332⋅≥18，当且仅当1=b 时，取等号.13.27 提示：设,x BE =则,2,4x FB x AF ==由圆的相交弦定理得FC DF FB AF ⋅=⋅,解得.21=x 由切割线定理知，2,CE EB EA =⋅解得27=CE . 14.5提示：建立如下图所示的坐标系，则),0,2(A 设),0(),,0(a C y P ，则),1(a B ，那么),1(),,2(y a PB y PA -=-=，)43,5(3y a -=+，从而22)43(25|3|y a PB PA -+=+≥25，当且仅当a y 43=时，取等号.15.解：（Ⅰ）4，6，6.（Ⅱ）（i ）得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种.（ii ）“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种.所以51().153P B ==16.解：（Ⅰ）由,2,B C b ==可得2c b a ==.所以222222331cos .23a a a b c a A bc +-+-===（Ⅱ）因为1cos ,(0,π)3A A =∈，所以sin 3A ==. 27cos 22cos 1.9A A =--=-故sin 22sin cos 9A A A ==所以πππ7c 44A A⎛⎫+= ⎪⎝⎭17.（Ⅰ）证明：连接,BD OM ,如下图，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB //MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB //平面ACM .（Ⅱ）证明：因为45ADC ∠=︒，且1A D A C ==，所以90DAC ∠=︒，即AD AC ⊥，又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,PO AD AC PO O ⊥⋂=而，所以AD ⊥平面PAC .（Ⅲ）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ，因M 为PD 的中点，所以MN //PO ，且11,2MN PO PO ==⊥由平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以MAN ∠是直线AM 与平面A B C D 所成的角，在Rt DAO ∆中，11,2AD AO ==，所以DO =，从而12AN DO ==，在Rt ,tan MN APF MAN AN ∆∠===中，即直线AM 与平面ABCD所成角的正切值为18.解：（Ⅰ）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =，2c =，整理得2210,1c cc a aa ⎛⎫+-==- ⎪⎝⎭得（舍）或11,.22c e a ==所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2,a c b c==，可得椭圆方程为2223412x y c +=.又P (a b ，),2F (,0)c ,所以直线2PF的方程为).y x c =-,A B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 消去y 并整理，得2580x cx -=. 解得1280,5x x c ==，得方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设85A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,)B ，所以16||.5AB c == 于是5||||2.8MN AB c ==圆心(-到直线2PF的距离||2|.22c d+== 因为222||42MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以223(2)16.4c c ++= 整理得2712520c c +-=，得267c =-（舍），或 2.c = 所以椭圆方程为221.1612x y +=19.（Ⅰ）解：当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-,(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-（Ⅱ）解：22()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2t x t x =-=或 因为0t ≠，所以下分两种情况讨论： （1） 若0,,2t t t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）若0,2t t t >-<则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,.2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的单调递减，在,2t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，以下分两种情况讨论：(1)当2t ≥1t ，即≥2时，()f x 在（0，1）内单调递减.2(0)10,(1)643f t f t t =->=-++≤644230.-⨯+⨯+< 所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.(2)当01,022t t <<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增.若317(0,1],124t f t t ⎛⎫∈=-+- ⎪⎝⎭≤370.4t -< 2(1)643f t t =-++≥643230.t t t -++=-+>所以(),12t f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在内存在零点. 若()3377(1,2),110,244t t f t t t ⎛⎫∈=-+-<-+< ⎪⎝⎭(0)10f t =->. 所以()0,2t f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在内存在零点.所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点. 综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.20.（Ⅰ）解：由13(1),2n n b n -+-=∈*N ，可得2,,1,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数.又()1121n n n n n b a b a +++=-+，当1n =时12,21,a a +=-由12,a =可得23;2a =- 当2n =时，2325a a +=，可得38a =. （Ⅱ）证明：对任意n ∈*N ,21212221n n n a a --+=-+, ① 2221221n n n a a ++=+. ②②-①，得21212132,n n n a a -+--=⨯即2132,n n c -=⨯于是14n n c c +=. 又16c =≠0，所以{}n c 是等比数列.（Ⅲ）证明：12a =，由（Ⅱ）知，当k k ∈*N 且≥2时， 2113153752123()()()()k k k a a a a a a a a a a ---=+-+-+-++- 13523212(14)23(2222)23214k k k ----=+++++=+⨯=-. 故对任意2121,2.k k k a --∈=*N由①得212122221,k k k a --+=-+所以21212,2k k a k -=-∈*N . 因此，21234212()()().2k k k k S a a a a a a -=++++++= 于是，212-12212.2k k k k k S S a --=-=+ 故21221221222121212121221.1222144(41)22k k k k k k k k k k k k k k k S S k k k a a ------+-++=+=-=----- 所以对任意,n ∈*N()()2121212212321212412342122221112111141244441441n n n nn n n n n n n S S S S a a a a S S S S S S a a a a a a n ----++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2221112141244441441111.4123n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≤-+=- ⎪⎝⎭。

2011年高考数学江西文(word版含答案)

2011年高考数学江西文(word版含答案)

【选择题】 【1】．若(i)i 2i,,x y x y -=+∈R ，则复数i x y +=（ ）.（A ）2i -+ （B ）2i +（C ）12i -（D ）12i +【2】．若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ）.（A ）M N （B ）MN（C ）()()UUM N 痧 （D ）()()U UM N 痧【3】．若()()121log 21f x x =+，则()f x 的定义域为（ ）.（A ）1,02⎛⎫-⎪⎝⎭（B ）1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（C ）()1,00,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭（D ）1,22⎛⎫-⎪⎝⎭【4】．曲线e x y =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ）.（A ）1（B ）2（C ）e（D ）1e【5】．设{}n a 为等差数列，公差2d =-,n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ）.（A ）18（B ）20（C ）22（D ）24【6】．观察下列各式：则234749,7343,72401,===…，则20117的末两位数字为（ ）.（A ）01（B ）43（C ）07（D ）49【7】．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如下图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均值为x ,则（ ）.（A ）e o m m x == （B ）e o m m x =< （C ）e o m m x <<（D ）oe m m x <<【8】．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：则（A ）1y x =- （B ）1y x =+（C ）1882y x =+（D ）176y =【9】．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为（ ）.【10】．如下图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X 轴上方，其“底端”落在原点O 处，一顶点及中心M 在Y 轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.今使“凸轮”沿X 轴正向滚动前进，在滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）.【填空题】【11】．已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为3π，若向量1122=-b e e ，2121234,=+⋅则b e e b b = . 【12】．若双曲线22116y x m-=的离心率e =2，则m = . 【13】．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 ___【14】．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,P y 是角θ终边上的一点，且sin θ=y =_ . 【15】．对于x ∈R ，不等式102x x +--≥8的解集为 .【解答题】【16】．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力. （1）求此人被评为优秀的概率； （2）求此人被评为良好及以上的概率 【17】．在ABC V 中，角A,B,C 的对边是,,,a b c 已知3cos cos cos a A c B b C =+.（1）求cos A 的值；（2）若1a=,cos cos B C +=求边c 的值. 【18】．如图1，在ABC V 中，,2,2B AB BC π∠===P 为AB 边上一动点，PD BC ∥交AC 于点D ，现将V PDA 沿PD 翻折至V PDA '，使平面PDA '⊥平面PBCD . （1）当棱锥A'PBCD -的体积最大时，求PA 的长；（2）若点P 为AB 的中点，E 为A'C 的中点，求证：A'B DE ⊥.【19】．已知过抛物线()y px p 2=2>0的焦点，斜率为的直线交抛物线于(,)A x y 11，(,)()B x y x x 2212<两点，且AB =9.（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+u u u r u u r u u u r，求λ的值．【20】．设321().3f x x mx nx =++ （1）如果()()232g x f'x x x =--=-在处取得最小值-5，求()f x 的解析式；（2）如果10(m,n N ),()m n f x ++<∈的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值.（注：区间(),a b 的长度为b a -）图1【21】．（1）已知两个等比数列}{na ，}{nb ，满足(),,,aa ab a b a b a 1112233=>0-=1-=2-=3，若数列}{na 唯一，求a 的值；（2）是否存在两个等比数列}{na ，}{nb ，使得,,.b a ba b a b a 11223344----成公差不．为0的等差数列？若存在，求}{na ，}{nb 的通项公式；若不存在，说明理由．【参考答案】 【1】．B 提示：由(i)i i 12i x x y -=+=+，得2,1x y ==.故选（B ）.【2】．D提示：{5,6}()()()U U U M N M N ==痧 .故选（D ）.【3】．C 提示：由()12log 210x +≠且()210x +> ，得 12x >-且0x ≠．故选（C ）.【4】．Ａ 提示：0(0)e |x x f ='==1.故选（A ）.【5】．Ｂ 提示：由1011S S =知110a =，又2d =-，故111(111)(2)20a a =+-⨯-=.故选（B ）.【6】．B 提示：234567=497=3437=24017=**07,7=**49,,，，，可知后两位数呈以4为周期的周期数列，而201150243=⨯+，故20117后两位数为43. 故选（B ）.【7】．D提示：将图像中的数据看作是茎叶图，得众数o m ＜中位数e m ＜平均值x .故选（D ）.【8】．C提示：线性回归方程都经过数据的平均数对(,)x y ，此处平均数为（176, 176）,只有C 符合. 故选（C ）.【9】．D提示：左视图中体对角线变为右侧面的对角线,并且方向与（D ）选项相符. 故选（D ）.【10】．Ａ提示：当图像旋转一定角度时,由于x 轴与下段弧相切，根据切线的性质，可知最高点仍是旋转前的最高点（即圆心），故最高点是没有变化的；中心M 由图像可知是先增大再减少呈周期变化，故选（A ）.【11】．6-提示：221212121212(2)(34)38252cos63π⋅=-⋅+=--⋅=--=-b b e e e e e e e e .【12】．48提示：222216416a b me a ++===，得48m =．【13】．27 提示：0,1;1,2;6,3;27,4s n s n s n s n ========程序终止.【14】．-8提示：由题意知，0y <，并且sin y r θ===8y =-. 【15】．[)0,+∞提示：采用零点分段法，分别讨论：10x <-解集为空集；当-10≤x ≤2时,解集为[]0,2；当2x >时,解集为()2,+∞.综上可知，原不等式的解集为[)0,+∞．【16】．解：将5杯饮料编号为：1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A 饮料，编号4，5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345），可见共有10种.令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件.则（1）1()10P D =； （2）37(),()()()510P E P F P D P E ==+=. 【17】．解：（1）由余弦定理2222222c o s ,2c o s b a c a c B cab a b C=+-=+-，有c o s c o s c B b C a +=，代入已知条件得13cos ,cos 3a A a A ==即.（2）由1cos sin 33A A ==,得，则1cos cos()cos ,3B A C C C =-+=-+代入cos cos B C +=，得c o s 2s 3,s i n ()1C C C ϕ+=从而得，其中sin 2ϕϕϕπ==<<. 则,2C ϕπ+=于是sin 3C =由正弦定理得sin sin 2a C c A == 【18】．解：（1）令(02),,2,PA x x A'P PD x BP x =<<===-则 因为A'P PD ⊥，且平面'A PD ⊥平面PBCD ，故A'P ⊥平面PBCD . 所以3'111(2)(2)(4)366A PBCD V Sh x x x x x -==-+=-，令31()(4),6f x x x =-由21()(43)0,6f'x x =-=x 得当,()0,()x f'x f x ∈>时单调递增；当2),()0,()x f'x f x ∈<时单调递减，所以，当x =()f x 取得最大值，即当'A PBCD V -最大时，PA =（2）如图2，设F 为A'B 的中点，连接,PF FE ，则有EF ∥BC ，PD ∥BC ，且1,22EF BC PD BC 1==， 所以DE PF ∥，又A'P PB =， 所以PF A'B ⊥， 故.DE A'B ⊥【19】．解：（1）直线AB的方程是)2p y x =-，与22y p x =联立，从而有22450,x px p -+= 所以1254px x +=. 由抛物线定义得12||9,AB x x p =++=所以4p =，从而抛物线方程是28.y x =（2）由224,450p x px p =-+=可简化为2540,x x -+=从而121,4,x x ==12y y =-=从而(1,A B -.设33(,)(1,(41OC x y λλ==-+=+-，图2又2338,y x =即21)]8(41),λλ-=+即2(21)41λλ-=+.解得0, 2.λλ==或【20】．解：（1）由题得222()2(1)(3)(1)(3)(1)g x x m x n x m n m =+-+-=+-+---，已知()2g x x =-在处取得最小值-5，所以212,(3)(1)5,m n m -=⎧⎨---=-⎩即3,2m n ==. 即得所要求的解析式为321()32.3f x x x x =++ （2）因为2'()2,f x x mx n =++且()f x 的单调递减区间的长度为正整数，故'()0f x =一定有两个不同的根，从而2440,m n =->Δ即2m n >.不妨设为1221,,||x x x x -=则为正整数. 故m ≥2时才可能有符合条件的m ，n . 当2m =时，只有3n=符合要求；当3m =时，只有5n =符合要求；当m ≥4时，没有符合要求的n . 综上所述，只有2m =，3n =或3m =，5n =满足上述要求.【21】．解：（1）设{}n a 的公比为q ，则21231,2,3b a b aq b aq =+=+=+.由123,,b b b 成等比数列得22(2)(1)(3)aq a aq +=++，即24310aq aq a -+-=.由20440a a a >=+>得Δ，故方程有两个不同的实根.再由{}n a 唯一，知方程必有一根为0，将=0q 代入方程得1.3a = （2）假设存在两个等比数列{},{}n n ab ，使11223344,,,b a b a b a b a ----成公差不为0的等差数列，设{}n a 的公比为1,{}n q b 的公比为2q ，则2212b a b q aq-=-，22331211,b a b q a q -=-33441211b a b q a q -=-. 由11223344,,,b a b a b a b a ----成等差数列得22121111121122331211121112112()(),2()(),b q a q b a b q a q b q a q b q a q b q a q ⎧-=-+-⎪⎨-=-+-⎪⎩即22121122122111(1)(1)0,(1)(1)0,b q a q b q q a q q ⎧---=⎪⎨---=⎪⎩①2q ⨯-②得21121()(1)0a q q q --=.① ②由10a ≠得1211q q q ==或.（i ）当12q q =时，由①，②得11121b a q q ===或，这时2211()()0b a b a ---=与公差不为0矛盾; （ii ）当11q =时，由①，②得10b =或21q =，这时2211()()0b a b a ---=与公差不为0矛盾.综上所述，不存在两个等比数列{},{}n n a b ，使11223344,,,b a b a b a b a ----成公差不为0的等差数列.【End 】。

【名校推荐】专题25 概率与统计-三年高考(2016-2018)数学(文)试题分项版解析 Word版含解析

【名校推荐】专题25 概率与统计-三年高考(2016-2018)数学(文)试题分项版解析 Word版含解析

考纲解读明方向分析解读 本节内容是高考的重点考查内容之一,最近几年的高考有以下特点:1.古典概型主要考查等可能性事件发生的概率,也常与对立事件、互斥事件的概率及统计知识综合起来考查;2.几何概型试题也有所体现,可能考查会有所增加,以选择题、填空题为主.本节内容在高考中分值为5分左右,属容易题.分析解读从近几年的高考试题来看,本部分在高考中的考查点如下:1.主要考查分层抽样的定义,频率分布直方图,平均数、方差的计算,识图能力及借助概率知识分析、解决问题的能力;2.在频率分布直方图中,注意小矩形的高=频率/组距,小矩形的面积为频率,所有小矩形的面积之和为1;3.分析两个变量间的相关关系,通过独立性检验判断两个变量是否相关.本节内容在高考中分值为17分左右,属中档题.1．【2018年浙江卷】设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.点睛：2．【2018年全国卷Ⅲ文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【答案】B【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则，因为，所以，故选B.点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题。

3．【2018年全国卷II文】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.4．【2018年江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5．【2018年江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.点睛：的平均数为.6．【2018年全国卷Ⅲ文】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．【答案】分层抽样【解析】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样，故答案为：分层抽样。

2011年高考数学湖南文(word版含答案)

2011年高考数学湖南文(word版含答案)

【选择题】【1】．设全集{}{}1,2,3,4,5,2,4,U U M N M N ==∪∩=ð则N =（ ）. （A ）{}1,2,3 （B ）{}1,3,5 （C ）{}1,4,5（D ）{}2,3,4【2】．若,a b ∈R ，i 为虚数单位，且(i)i i a b +=+，则（ ）. （A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ）1,1a b ==-（D ）1,1a b =-=-【3】．“1x >”是“1x >”的（ ）.（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分又不必要条件 【4】．设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）.（A ）942π+ （B ）3618π+（C ）9122π+ （D ）9182π+【5】．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 算得，22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）. （A ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” （B ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”（C ）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”（D ）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【6】．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）.（A ）4（B ）3（C ）2（D ）1【7】．曲线sin 1sin cos 2x y x x=-+在点M （4π，0）处的切线的斜率为（ ）.（A ） 12-（B ） 12 （C ） 2- （D ）2【8】．已知函数2()e 1,()43x f x g x x x=-=-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（ ）.（A ） 2⎡⎣（B ） (22+（C ）[]1,3 （D ）()1,3【填空题】【9】．（选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 .【10】．（选做题）已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 .【11】．（必做题）若执行如下图所示的框图，输入11x =，2342,4,8x x x ===，则输出的数等于 .【12】．（必做题）已知()f x 为奇函数，()()9g x f x =+，(2)3g -=，则(2)f =_________． 【13】．（必做题）设向量，a b 满足|ab =（2，1），且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 【14】．（必做题）设1,m >在约束条件,,1y x y mx x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≤≤下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m 的值为 ．【15】．（必做题）已知圆2212C xy +=：，直线4325.l x y +=： （1）圆C 的圆心到直线l 的距离为 ．（2）圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ． 【16】．（必做题）给定*k ∈N ，设函数**f →N N ：满足：对于任意大于k 的正整数n ，().f n n k =-（1）设1k =，则其中一个函数f 在1n =处的函数值为 ；（2）设4k =，且当n ≤4时，2≤()f n ≤3，则不同的函数f 的个数为 . 【解答题】【17】．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =． （1）求角C 的大小； （2）求cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小.【18】．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X （单位：毫米）有关，据统计，当X =70时，Y =460；X 每增加10，Y 增加5．已知近20年X 的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160,220, 140, 160.（1）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表：（2）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．【19】．如图1，在圆锥PO 中，已知PO O =的直径2AB =，点C 在AB 上，且∠CAB =30°，D 为AC 的中点.（1）证明：AC ⊥平面POD ;（2）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值.【20】．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%． （1）求第n 年初M 的价值n a 的表达式；（2）设12···nn a a a A n+++=，若n A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新.证明：须在第9年初对M 更新．【21】．已知平面内一动点P 到点(1,0)F 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相图1交于点,D E ，求,AD EB 的最小值.【22】．设函数1()ln ()f x x a x a x=--∈R . （1）讨论()f x 的单调性.（2）若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k .问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【参考答案】 【1】．B 提示：由{}1,2,3,4,5U MN ==,{}2,4U MN =ð,得N ={}135，，.故选（B ）. 【2】．C提示：由(i)i i a b +=+得1i i a b -+=+，则1,1a b ==-.故选（C ）. 【3】．A提示：由1x ＞可推出1x ＞，而由1x ＞推不出1x ＞.故选（A ）.【4】．D提示：由已知可得该空间几何体为一球和一四棱柱组成，四棱柱的底面为边长为3的正方形，高为2，体积为23318⨯⨯=，球的体积为3439()322⨯π⨯=π，所以该几何体的体积为9182π+.故选（D ）. 【5】．A提示：26.635K ＞，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选（A ）. 【6】．C提示：令22209x y a -=，则有30x ay ±=，所以2a =.故选（C ）. 【7】．B 提示：：''sin 11()sin cos 21sin 2x y x x x=-=++，所以1121sin(2)4k ==π+⨯.故选（B ）. 【8】．B 提示：()e 11x fx =--＞，若()()f a g b =，则()2431g b b b =-+--＞，解得22b ＜.故选（B ）. 【9】．2提示：将参数方程2cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩化为普通方程为22143x y +=，将(cos sin )10ρθθ-+=化为直角坐标方程为10x y -+=，联立方程组221,4310,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩消去y 得27880x x +-=，因为0＞Δ，故交点有2个.【10】．40或60提示：区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试点：则试点可选为1310(9010)408x =+-=或2510(9010)608x =+-=，由对称性可知，第二次试点可以是40或60.故填40或60. 【11】．154提示：先求和123415x x x x x =+++=，然后再求平均数，输出154x =.【12】．6 提示：()()(2)2929g f f -=-+=-+，所以()26f =.【13】．(4,2)--提示：设(,)x y =a ，由a 与b 的方向相反可设(0)λλ=＜a b ，所以2,,x y λλ=⎧⎨=⎩代入2220x y +=，解得2λ=-，则a 的坐标为(4,2)--.【14】．3提示：画出可行域，利用图解法求解；或,,y x y mx =⎧⎨=⎩1,,x y y mx +=⎧⎨=⎩1,,x y y x +=⎧⎨=⎩求出三个区域端点111(0,0),(,),(,)1122m m m ++，当且仅当直线5z x y =+过点1(,)11mm m ++时有最大值5141m z m +==+，解得3m =.【15】．（1）5；（2）16. 提示：（1）圆C 的圆心到直线l 的距离为2555d==；（2）由（1）知圆心到直线l 的距离为5，要使圆上的点到直线l 的距离小于2，即1:4315l x y +=与圆相交所得的劣弧上，由半径为3可知劣弧所对的圆心角为3π，故所求的概率为1326P π==π.【16】．（1）a （a 为正整数）；（2）16. 提示：（1）由题可知()f n ∈*N ，而1k =时，1n >，则()1f n n =-∈*N ，故只须()1f ∈*N ，故(1)f a =（a 为正整数）.（2）由题可知4k =，4n >，则()4f n n =-∈*N ，而n ≤4时，2≤()f n ≤3即(){2,3}f n ∈，即{1,2,3,4}n ∈，(){2,3}f n ∈，则不同的函数f 的个数为4216=.【17】．解：（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0A π＜＜，所以s i n 0A ＞.从而s i n cos .C C =又cos 0C ≠，所以tan 1C =，则4C π=. （2）由（1）知，34B A π=-cos()cos()4A B A A π-+=-π-=πcos 2sin()6A A A +=+.因为304A π＜＜，所以11.6612A πππ+＜＜从而当62A ππ+=，即3A π=时，2sin()6A π+取最大值2.cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==【18】．解：（1）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为（2）P （“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）(490530)(130210)(70)(110)(220)1323.20202010P Y Y P X X P X P X P X =<>=<>==+=+==++=或或故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为310． 【19】．解：（1）如图2，因为OA OC =,D 是AC 的中点，所以AC OD ⊥. 又⊥PO 底面O ，AC ⊂底面O ,所以AC PO ⊥,而OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD .（2）由（1）知，AC ⊥平面POD ，又AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC ，在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，则OH ⊥平面PAC .连结CH ， 则CH 是OC 在平面PAC 上的射影，所以OCH ∠是直线OC 和平面PAC 所成的角．在Rt △ODA 中，1sin 30.2OD OA =⋅=在Rt △POD中，3OH==在Rt △OHC中，sin 3OH OCHOC ∠== 故直线OC 和平面PAC所成角的正弦值为3【20】．解：（1）当n ≤6时，数列{}n a 是首项为120，公差为10-的等差数列，12010(1)13010;n a n n =--=-当n ≥6时，数列{}n a 是以6a 为首项，公比为34的等比数列， 又670a =，所以6370()4n n a -=⨯.因此，第n 年初，M 的价值n a 的表达式为613010,6,370(),7.4n n n n a n --≤⎧⎪=⎨⨯≥⎪⎩ (2)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得, 当6n 1≤≤时，1205(1),1205(1)1255;nn S n n n A n n =--=--=-当n ≥7时，由于6S =570,故667833()570704[1()]44n n n S S a a a -=++++=+⨯⨯⨯-63780210(),4n -=-⨯ 63780210()4n n A n--⨯=.因为{}n a 是递减数列，所以{}n A 是递减数列，又283780210()4748280,864A -⨯==>393780210()7947680,996A -⨯==< 所以须在第9年初对M 更新．【21】．解：（1）如图，设动点P 的坐标为(,)x y|| 1.x = 化简得222.y x x =+当x ≥0时，24y x =，当0x ＜时，0.y =图2所以，动点P 的轨迹C 的方程为24(0)y x x =≥和0(0).y x =<（2）由题意知，直线1l 的斜率存在且不为0，设为k ，则1l 的方程为(1)y k x =-．由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得2222(24)0.k x k x k -++= 设1122(,),(,),A x y B x y 则12,x x 是上述方程的两个实根，于是1212242,1x x x x k +=+=． 因为12l l ⊥，所以2l 的斜率为1k-．设3344(,),(,),D x y E x y 则同理可得2343424,1x x k x x +=+=.故()()AD EB AF FD EF FB ⋅=+⋅+AF EF AF FB FD EF FD FB =⋅+⋅+⋅+⋅AF FB FD EF =⋅+⋅1234(1)(1)(1)(1)x x x x =+++++ 12123434()+1++()+1x x x x x x x x =+++2241(2)11(24)1k k=+++++++22184()8416k k =+++⨯=≥. 当且仅当221k k =,即1k =±时，AD EB ⋅取最小值16． 【22】．解：（1）()f x 的定义域为(0,),+∞22211'()1a x ax f x x x x-+=+-=． 令2()1,g x x ax =-+其判别式2 4.a -Δ=当0()0.a f x '2≤时，≤，≥Δ故()(0,)f x +∞在内单调递增．当0()0a g x <-2>=时，，Δ的两根都小于0.在(0,)+∞上，'()0f x >，故()(0,)f x +∞在内单调递增．当0()0a g x >2>=时，，Δ的两根为12x x ==.当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时，'()0f x <；当2x x >时，'()0f x >，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减．（2）由（1）知，2a >． 因为1212121212()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--， 所以1212121212()()ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x --==+-⋅--. 又由(1)知，121x x =．于是1212ln ln 2x x k a x x -=-⋅-. 若存在a ，使得2,k a =-则1212ln ln 1x x x x -=-.即1212ln ln x x x x -=-．亦即222212ln 0(1).x x x x --=> (*)再由（1）知，函数1()2ln h t t t t =--在(0,)+∞上单调递增，而21x >，所以 222112ln 12ln10.1x x x -->--=这与(*)式矛盾． 故不存在a ，使得2.k a =-【End 】。

2011年全国高考数学试题(安徽word版)

2011年全国高考数学试题(安徽word版)

2011年全国高考数学试题（安徽word 版）数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选题中，只有一项是符合题目要求的. （1）设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，则实数a 为 (A)2(B) -2 (C) 21-(D)21 （2）双曲线8222=-y x 的实轴长是(A)2(B) 22(C) 4(D) 24（3）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(,则=)1(f (A)-3 (B)-1 (C) 1 (D)3 （4）设变量x,y 满足|x|+|y |≤1，则x+2y 的最大值和最小值分别为(A) 1,-1 (B) 2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1 （5）在极坐标系中，点)3,2(π到圆θρcos 2=的圆心的距离为(A) 2 (B)942π+(C)912π+(D)3（6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(A)48(B) 17832+(C)17848+(D)80（7）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是 (A) 所有不能被2整除的整数都是偶数(B) 所有不能被2整除的整数都不是偶数 (C) 存在一个不能被2整除的整数是偶数(D) 存在一个能被2整除的整数不是偶数（8）设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8}，则满足A S ⊆且φ≠B S 的集合S 的个数是(A)57(B) 56(C) 49(D)8（9）已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对R x ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f 的单调递增区间是 (A) )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ(B) )(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ(C) )(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ(D) )(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ （10）函数n m x ax x f )1()(-=在区间[0,1]上的图像如图所示，则m,n 的值可能是(A) m=1,n=1 (B) m=1,n=2 (C) m=2,n=1 (D) m=3,n=1第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

高考数学(文)二轮复习专题一 三角函数和平面向量 第2讲 平面向量、解三角形 Word版含答案

高考数学(文)二轮复习专题一 三角函数和平面向量 第2讲 平面向量、解三角形 Word版含答案

第2讲 平面向量、解三角形【课前热身】第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0， 所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1， 即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55， 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ， 所以sin(A+C )=3sin B cos B ， 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。

2014年陕西省高考文科数学试题及答案( 纯WORD版)

2014年陕西省高考文科数学试题及答案( 纯WORD版)

2014年陕西高考数学（文科）试卷及答案（纯word 版）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M N =（ ）.[0,1]A .(0,1)B .(0,1]C.[0,1)D 2、函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π 3、已知复数2z i =-，则z z ⋅的值为（ ）.5A .5B .3C .3D4、根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（ ） .2n Aa n = .2(1)n B a n=- .2n n C a = 1.2n n D a -= 5、将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ） .4A π .3B π .2C π .D π6、从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ） 1.5A 2.5B 3.5C 4.5D 7、下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）()3A f x x =、 ()3xB f x =、 ()23C f x x =、 ()12xD f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭、8、原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆 否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） 、A 真，真，真 、B 假，假，真 、C 真，真，假 、D 假，假，假9、某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ， 若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）、A x ，22s 100+ 、B 100x +，22s 100+ 、C x ，2s 、D 100x +，2s 输入N11S i ==，是开始2i a S =*i S a =1i i =+i N >输出12,,,N a a a ⋅⋅⋅结束否10、如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）、A 321122y x x x =-- 、B 3211322y x x x =+- 、C 314y x x =- 、D 3211242y x x x =+-二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11.抛物线24y x =的准线方程为________.12.已知42a=，lg x a =，则x =________.13. 设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==b a ，若0=⋅b a ，则=θtan ______.14. 已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的 表达式为________.15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A.（不等式选做题）设R n m b a ∈,,,，且5,522=+=+nb ma b a ，则22n m +的最 小值为______.B.（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6=BC ，以BC 为直径的半圆分别交AC AB ,于点F E ,，若AE AC 2=，则EF =_______. C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中， 点)6,2(π到直线1)6sin(=-πθρ的距离是_______.三、解答题.16. （本小题满分12分）A B C ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.（1）若c b a ,,成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+； （2）若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，求B cos 的值. 17.（本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱BC AD ,的平面分别交四面体的棱 CA DC BD AB ,,,于点H G F E ,,,. （1）求四面体ABCD 的体积； （2）证明：四边形EFGH 是矩形.18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈. （1）若23mn ==，求||OP ； （2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.19.（本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔偿金额（元） 0 1000 2000 3000 4000 车辆数（辆）500130100150120（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率. 20.（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0,3)，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -.（1）求椭圆的方程； （2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足||53||4AB CD =，求直线l 的方程.21.（本小题满分13分） 设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数()'()3xg x f x =-零点的个数；（3）若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围.2014年陕西高考数学（文科）试卷参考答案1—10 DBACC BBADA 11.x =—1 12.10 13.21 14.xx 20141+ 15.A 5 B.3 C.1 16. （1）C)sin(A 2sinC sinA .∴C),sin(A sinB sinC.sinA 2sinB c,a b 2∴,,+=++=+=+= 即成等差，c b a（2）.43cosB 434a 2a -4a a 2ac b -a cosB a 2b .∴2ac b ∴,,2222222222==+=+====所以，，，且成等比，c a c c b a17. （1）32ABCD 32122213131BCD -A .BCD -A AD ∴BCD ⊥AD DC,⊥BD Δ,ΔΔBCD -A 的体积为所以，四面体的体积所以，三棱锥的高为三棱锥面且为等腰由题知，=••••=•=AD S V RT BCD BCD（2）.FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG ADEF EFGH ⊂HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,⊂EH EFGH,//B BCD⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以，四边形，即面，且且共面和，面面同理且共面面面面且为等腰由题知，EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====18. （1）22|OP |22|OP |∴(2,2),OP ∴(2,2))3,3(32)]1,2()2,1[(32)AC AB (32AC AB OP ∴32),,(),2,3(),3,2(),11(22==+====+=+=+===所以，，y x n m n m y x P C B A （2）1---.1-)3,2(.,,-.--.2,2),1,2()2,1(y)x,(∴,AC AB OP 最大值为，所以，取最大值时，经计算在三个顶点求线性规划问题，可以代含边界内的最大值，属在三角形即求解得即n m x y n m x y B C B A ABC x y x y n m n m y n m x n m n m ==+=+=+=+=19. （1）27.01002710001201502800∴.120,1504000,300028004000,3000,2000,1000,0.1000120150100130500==+==++++=p n 元的概率赔付金额大于投保金额，分别对应车辆数元有：投保金额大于赔付金额总车辆数（2）.24.04000.24.0100244000∴.24100201204000.100100101000)1(元的新司机所占概率为所以，赔付金额为元的新司机所占概率额为在所有投保中，赔付金人元的新司机为赔付金额为人知，新司机总人数由===•=•=p m20. （1）134.1,2,21,322222=+==∴+===y x c a c b a a c b 所以，椭圆方程为联立解得由题知，（2）3321-.33.33,1354-54325-441516,32516435.-4415124-)411(]4-))[(1(:3-,m ,03-mx -13421-54-54)54-1(4.454,14|2|:),,(),,(.1),0,0(02-221-222222222122122221212222222222222211±=±=±==•••=•••=∴==+•+=++===+=+=++=•==∴+==∴+===++=x y m m m m m CD AB CD AB m m m x x x x k AB m x x x x m x y x m x y m m CD CD d r m d m d y x B y x A r m x y m x y 所以，所求直线方程为时，直线与圆相交经验证，当，解得）（即）（）（由弦长公式得由韦达定理得，整理得和椭圆方程联立直线方程由点线距离公式得则设半径，圆心即直线方程 21. （1）.2)(.2ln )()(∴.)(,0)(0)(∴,0)(.0,-x )(2的极小值为所以，只有极小值单调递减时，同理，当单调递增；得解时，当x f eee ef x f x f x f e x x f e x x f x xex f e m =+=<′<<>>′>=′=（2）没有零点；时，当个零点；有时，只有一个零点；当时，，或所以，当的图像，则大致画出函数在区间上递减，值域为解得同理，令在区间上递增，值域为解得令则，令)(322)(320)(320≤)()32,∞-()(∴,10)().32,0()(∴,100)().-1)(1(-1)(32)1(,∈,0,3-x )(3-x ∴,03--x 3-)()(2332x g m x g m x g m m x g x g x x h x h x x h x x x x h h R m x x x h x m x x m x x f x g ><<=><′<<>′+==′=>====′= （3）.∞),41(∈41∴]41(-∞-∞∈-0-m ∴1-.)∞,0(1)(,1-)(-)(0222时，满足题意所以，当时，二次函数当上恒成立在即时，当+>>><+<′<>>m m x x x x x x m x x f ab a f b f a b。

(word完整版)高考数学中的内切球和外接球问题

(word完整版)高考数学中的内切球和外接球问题

高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ,则该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ,则此球的表面积为.例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（）.A. 16B. 20C. 24D. 323.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形， 其侧棱垂直于底面，已知该 六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9,底面周长 为3,则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ,高为h ,则有 6x 3 9 会 3 2.6 — x h 8 4的半径的常用公式二、构造法（补形法）1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 V 3 ,则其外 接球的表面积是.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为V 3 ,则其外 接球的表面积是.故其外接球的表面积S 4 r 2 9 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分 别为a,b,c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体， 于是长方体的体 对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则 有2R va 2 b 2 c 2.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

函数的基本性质

函数的基本性质

函数的基本性质 高考试题1.(2013年北京卷,文3)以下函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) (A)y=1x(B)y=e -x解析:y=1x是奇函数,选项A 错;y=e -x 是指数函数,非奇非偶,选项B 错;y=lg|x|是偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,选项D 错;只有选项C 是偶函数且在(0,+∞)上单调递减.应选C. 答案:C2.(2012年陕西卷,文2)以下函数中,既是奇函数又是增函数的为( )(A)y=x+1 (B)y=-x 3 (C)y=1x(D)y=x|x|解析:若为奇函数,排除A,若为增函数,排除B 、C,应选D. 答案:D3.(2010年北京卷,文6)给定函数①y=12x ,②y=12log (x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( ) (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④解析:显然幂函数y=12x 及指数型函数y=2x+1在(0,1)上单调递增,对于y=12log (x+1)可看作是y=12log u,u=x+1的复合函数,由复合函数的单调性知y=12log (x+1)在(0,1)上递减,对函数y=|x-1|,其图象是偶函数y=|x|的图象向右平移一个单位得到,y=|x|在(-1,0)上递减,则y=|x-1|在(0,1)上递减.应选B. 答案:B4.(2012年浙江卷,文10)设a>0,b>0,e 是自然对数的底数( ) (A)若e a +2a=e b +3b,则a>b (B)若e a +2a=e b +3b,则a<b (C)若e a -2a=e b -3b,则a>b (D)若e a -2a=e b -3b,则a<b解析:设函数f(x)=e x +2x,易知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又因为a>0,b>0,则当e a +2a=e b +3b 时,一定有e a +2a>e b +2b,此时a>b.应选A. 答案:A5.(2012年安徽卷,文13)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a= .解析:函数的图象是以,02a⎛⎫- ⎪⎝⎭为端点的2条射线组成,所以-2a=3,a=-6. 答案:-6考点二 函数的奇偶性1.(2013年山东卷,文3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x 2+1x,则f(-1)等于( ) (A)2 (B)1 (C)0 (D)-2 解析:因x>0时f(x)=x 2+1x. 所以f(1)=1+1=2,又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2. 应选D. 答案:D2.(2013年湖南卷,文4)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:由题意:f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 得f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),()()()()112,114,f g f g -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩⇒()()()()112,114,f g f g -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得g(1)=3. 应选B. 答案:B3.(2013年天津卷,文7)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a 满足f(log 2a)+f(12log a)≤2f(1),则a的取值范围是( ) (A)[1,2] (B)10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ (C)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D)(0,2] 解析:由题得f(log 2a)+f(-log 2a)≤2f(1), 即f(log 2a)≤f(1), 则-1≤log 2a ≤1, 所以12≤a ≤2,应选C. 答案:C4.(2012年广东卷,文4)以下函数为偶函数的是( ) (A)y=sin x (B)y=x 3 (C)y=e x 21x +解析:选项A 、B 为奇函数,选项C 为非奇非偶函数,对于D 有()21x -+21x +=f(x). 答案:D5.(2012年天津卷,文6)以下函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( ) (A)y=cos 2x,x ∈R (B)y=log 2|x|,x ∈R 且x ≠0(C)y=2x xe e --,x ∈R(D)y=x3+1,x∈R解析:函数y=log2|x|为偶函数,且当x>0时,函数y=log2|x|=log2x为增函数,所以在(1,2)上也为增函数.应选B.答案:B6.(2011年上海卷,文15)以下函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )(A)y=x-2(B)y=x-1(C)y=x2(D)y=1 3 x解析:选项为偶函数的是A、C,其中y=x2在(0,+∞)上是单调递增函数.应选A.答案:A7.(2010年山东卷,文5)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于( )(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,即f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.应选A.答案:A8.(2013年江苏卷,11)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为.解析:设x<0,则-x>0,f(-x)=x2+4x,所以x<0时,f(x)=-x2-4x.所以f(x)=224,0,4,0. x x xx x x⎧-≥⎨--<⎩当x≥0时,由x2-4x>x,解得x>5,当x<0时,由-x2-4x>x,解得-5<x<0,故不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).答案:(-5,0)∪(5,+∞)9.(2012年重庆卷,文12)函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .解析:因为函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,所以f(-x)=f(x),由f(x)=(x+a)(x-4)=x 2+(a-4)x-4a, 得x 2-(a-4)x-4a=x 2+(a-4)x-4a, 即a-4=0,a=4. 答案:410.(2011年湖南卷,文12)已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)= .解析:g(-2)=f(-2)+9=3, 则f(-2)=-6, 又f(x)为奇函数, 所以f(2)=-f(-2)=6. 答案:611.(2011年广东卷,文12)设函数f(x)=x 3cos x+1.若f(a)=11,则f(-a)= .解析:f(a)+f(-a)=a 3cos a+1+(-a)3cos (-a)+1=2,而f(a)=11,故f(-a)=2-f(a)=2-11=-9. 答案:-9考点三 函数的周期性1.(2013年湖北卷,文8)x 为实数,[x]表示不超过x 的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R 上为( ) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)增函数 (D)周期函数解析:因为f(x+1)=(x+1)-[x+1] =(x+1)-([x]+1)=x-[x]=f(x). 所以f(x)是周期函数,应选D. 答案:D2.(2011年大纲全国卷,文10)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f(x)=2x(1-x),则f 52⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( )(A)-12 (B)-14 (C)14 (D)12解析:f 52⎛⎫- ⎪⎝⎭=f 522⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫- ⎪⎝⎭=-f 12⎛⎫⎪⎝⎭ =-2×12×112⎛⎫- ⎪⎝⎭=-12.应选A. 答案:A3.(2013年江苏卷,1)函数y=3sin π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期为 .解析:T=2π2=π. 答案:π4.(2013年大纲全国卷,文13)设f(x)是以2为周期的函数,且当x ∈[1,3)时,f(x)=x-2,则f(-1)= . 解析:f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1-2=-1. 答案:-15.(2012年浙江卷,文16)设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f 32⎛⎫⎪⎝⎭= .解析:f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 322⎛⎫- ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫- ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫⎪⎝⎭=12+1=32. 答案:326.(2012年江苏卷,10)设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)= 1,10,2,01,1ax x bx x x +-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a,b ∈R .若f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 32⎛⎫⎪⎝⎭,则a+3b 的值为 .解析:由题意f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫⎪⎝⎭,所以2232b=-12a+1,∴32a+b=-1①又f(-1)=f(1),∴b=-2a,②解①②得a=2,b=-4,∴a+3b=-10.答案:-10模拟试题考点一函数的单调性1.(2012辽宁协作体模拟)已知f(x)是定义在实数集R上的增函数,且f(1)=0,函数g(x)在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,且g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}等于( )(A){x|x≤0或1≤x≤4}(B){x|0≤x≤4}(C){x|x≤4}(D){x|0≤x≤1或x≥4}解析:画出函数f(x)和g(x)的草图如下图,由图可知当f(x)g(x)≥0时,x的取值范围是x≤0或1≤x≤4,即{x|f(x)g(x)≥0}={x|x≤0或1≤x≤4}.应选A.答案:A2.(2013重庆高三(上)期末测试)“函数x(0,+∞)上是增函数”的充分不必要条件是a∈ .解析:x(0,+∞)上是增函数,故需要2-a>0,即a<2,而要求充分不必要条件,则填集合(-∞,2)的一个子集即可.答案:(-∞,t)(t<2)考点二函数的奇偶性1.(2012广东佛山模拟)已知函数f(x)=()()120,210,xxxx-⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩则该函数是( )(A)偶函数,且单调递增 (B)偶函数,且单调递减(C)奇函数,且单调递增 (D)奇函数,且单调递减解析:当x>0时,f(x)=1-2-x,这时-x<0,所以f(-x)=2-x-1,于是f(-x)=-f(x);当x<0时,f(x)=2x-1,这时-x>0,所以f(-x)=1-2x,于是也有f(-x)=-f(x).又f(0)=0,故函数f(x)是一个奇函数;又因为当x>0时,f(x)=1-2-x单调递增,当x<0时,f(x)=2x-1也单调递增,所以f(x)单调递增.应选C.答案:C2.(2011浙江省“百校联盟”交流联考卷)定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2010x+log2010x,则在R上方程f(x)=0的实根个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.当x>0时,函数y=2010x 与函数y=-log2010x有一个交点,知2010x+log2010x=0有唯一的实根.由奇函数性质知,当x<0时,也有唯一一个根使f(x)=0,所以f(x)=0在R上有3个实数根.答案:C考点三函数基本性质的综合应用1.(2013浙江宁波高三第一学期期末)函数f(x)=15,0,51,0,xxxx-⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩则该函数为( )(A)单调递增函数,奇函数(B)单调递增函数,偶函数(C)单调递减函数,奇函数(D)单调递减函数,偶函数解析:当x>0时,-x<0,则f(-x)=5-x-1=-f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)=1-5x=-f(x),又f(0)=0,所以函数f(x)为奇函数,易知函数在(0,+∞)递增,故函数在定义域内递增.应选A.答案:A2.(2012北京朝阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是( )(A)0 (B)0或-12(C)-14或-12(D)0或-14解析:∵f(x+2)=f(x),∴T=2.又0≤x≤1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图象如下图.显然a=0时,y=x与y=x2在[0,2]内恰有两个不同的公共点.另当直线y=x+a与y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点,由题意知y'=(x2)'=2x=1,∴x=12.∴A11,24⎛⎫⎪⎝⎭,又A点在y=x+a上,∴a=-14.综上知选D.答案:D3.(2012浙江台州模拟)函数y=f(x-1)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数(定义域均为R).若0≤x<1时,f(x)=2x,则f(10)= .解析:依题意得f(-x-1)=-f(x-1),f(-x+1)=f(x+1),所以f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x),故函数周期为8.f(10)=f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=1.答案:1综合检测1.(2013重庆一中第一次摸底)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(1)=1,f(x+2)=()1f x 对任意x ∈R 恒成立,则f(2011)等于( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由f(x+2)=()1f x , 得f(-1+2)=()1f x -, 即f(1)f(-1)=1, 而f(1)=1,故f(-1)=1, 且f(x+4)=()12f x +=f(x),∴f(2011)=f(503×4-1)=f(-1)=1.应选A. 答案:A2.(2012茂名二模)已知减函数f(x)的定义域是R ,m,n ∈R ,假如不等式f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立,那么在以下给出的四个不等式中,准确的是( )(A)m+n<0 (B)m+n>0 (C)m-n<0 (D)m-n>0解析:将f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)变形为f(m)+f(-n)>f(-m)+f(n),当m<n 时,-n<-m,则有f(m)>f(n)且f(-n)>f(-m),反之亦成立.应选C. 答案:C3.(2012琼海一模)已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x -a -x +2(a>0且a ≠1),若g(2)=a,则f(2)等于( ) (A)2 (B)174(C)154(D)a 2 解析:由题意得f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)=a -x -a x+2, 联立f(x)+g(x)=a x -a -x+2,求解得g(x)=2,f(x)=a x -a -x .故a=2,f(2)=22-2-2=4-14=154.应选C. 答案:C1.已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( ) A 2- B 4- C 6- D 10-答案：D解析：令3()()4F x f x ax bx =+=+，则3()F x ax bx =+为奇函数(2)(2)46,(2)(2)46,(2)10F f F f f -=-+==+=-=-。

高考新课标2卷数学文word版含含答案

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高考新课标2卷数学文word版含含答案--2019 年一般高等学校招生全国一致考试文科数学本试卷共5页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考据号码填写清楚，将条形码正确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题一定使用2B铅笔填涂；非选择题一定使用毫米黑色笔迹的署名笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请依据题号次序在答题卡各题目的答题地区内作答，高出答题地区书写的答案无效；在底稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔划出，确立后一定用黑色笔迹的署名笔描黑。

5．保持卡面洁净，不要折叠，不要弄破、弄皱，禁止使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知会合A={ x | x1}，B { x |x2}，则A∩ B=A． ( – 1 ， +∞ )B． ( –∞， 2)C． ( – 1，2)D．2．设 z=i(2+i)，则z =A． 1+2i B．– 1+2iC． 1– 2i D．– 1– 2i3．已知向量 a =(2，3)，b=(3，2)，则| a–b| = A．2B． 2．52．C D 504．生物实验室 5 只兔子中随机拿出有 5 只兔子，此中只有3只丈量过某项指标，若从这32 只丈量过该指标的概率只，则恰有为23A．B．3521C．D．55----5．在“一带一路”知识测试后，甲、乙、丙三人对成绩进行展望．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩宣布后，三人成绩互不同样且只有一个人展望正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙6．设 f(x) 为奇函数，且当x ≥0时，1，则当 x<0时，f(x)= e x f(x)=A． ex1B． e ．x． e C e1D x1x17．设α，β为两个平面，则α∥ β 的充要条件是A．α内有无数条直线与β 平行B．α内有两条订交直线与β 平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面是函数 f(x)= sin x8．若 x1=， x 2=( >0) 两个相邻的极值点，则443 A． 2B．21 C． 1D．9．若抛物2线y =2px （ p>0 ）A． 2C． 410．曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为．x y1 0AC． 2x y 2 1 011．已知 a ∈（ 0 ，π）， 2sin2高考新课标2卷数学文word版含含答案2=p=----15A．B．55．3D．2 5C35x2y212．设 F为双曲线C ： 221（ a>0， b>0）的右焦点， O 为坐标原点，以 OFa b为直径的圆与圆x2+y2=a2交于 P 、 Q 两点．若 | PQ|=| OF|，则 C 的离心率为A． 2B．3C． 2D．5二、填空题：此题共小题，每小5 分，共 20 分．4题，2x3y6013．若变量 x ， y 知足拘束条件，xy 3则 z=3x – y 的最大值是0___________.，y2014．我国高铁发展快速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为0.97 ，有20个车次的正点率为8，有 10 个车次的正点率为0.99 ，则经停该站高铁列车全部车次的均匀正点率的预计值___________.为15．△ABC 的内角 A ，B， C 的对边分别a， b ， c.已知 bsinA+acosB=0 ，则为B=__________ _.16．中国有悠长的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝期间的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体表现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的全部极点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1 ．则该半正多面体共有________ 个面，其棱长为_________ ．（此题第一空 2分，第二空3分．）三、解答题：共 70分。

2011年高考数学湖北文(word版含答案)

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【选择题】【1】．已知{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,1,3,5,7,2,4,5,U A B ===则()U AB ⋃=ð（ ）. （A ）{}6,8 （B ）{}5,7（C ）{}4,6,7 （D ）{}1,3,5,6,8【2】．若向量(1,2),(1,1),==-a b 则2-+与的夹角等于a b a b （ ）.（A ）4π-（B ）6π （C ）4π （D ）34π 【3】．若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()e ,()x f x g x g x +==则（ ）.（A ）e exx-- （B ）1(e +e )2x x - （C ）1(e -e )2x x - （D ）1(e -e )2x x - 【4】．将两个顶点在抛物线22(0)y p x p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则（ ）. （A ）0n = （B ）1n =（C ）2n = （D ）3n ≥【5】．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如下图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间)10,12⎡⎣内的频数为（ ）.（A ）18（B ）36（C ）54 （D ）72【6】．已知函数()cos ,f x x x x -∈R ，若()1f x ≥，则x 的取值范围为（ ）.（A ）π|2π2ππ,3x k x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z （B ）π|πππ,3x k x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z （C ）π5π|2π2π,66x k x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z （D ）π5π|ππ,66x k x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 【7】．设球的体积为1V ，它的内接正方体的体积为2V ，下列说法中最合适的是（ ）. （A ）1V 比V 大约多一半 （B ）1V 比2V 大约多两倍半（C ）1V 比V大约多一倍（D ）1V 比2V 大约多一倍半【8】．直线2100x y +-=与不等式组0,0,2,4320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的公共点有（ ）.（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）无数个【9】．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）.（A ）1升（B ）6766升 （C ）4744升 （D ）3733升 【10】．若实数,a b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b互补，记(,),a b a b ϕ--那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）. （A ）必要而不充分的条件 （B ）充分而不必要的条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要的条件【填空题】【11】．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家.为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家. 【12】．18(x -的展开式中含15x 的项的系数为__________.（结果用数值表示）【13】．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________.（结果用最简分数表示） 【14】．过点(1,2)--的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为__________.【15】．里氏震级M 的计算公式为：0lg lg MA A =-，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 _____级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍.【解答题】【16】．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 已知11,2,c o s 4a b C ===. （I ） 求ABC ∆的周长； （II ）求c o s ()A C -的值.【17】．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{}n b 中的345,,b b b .（I ） 求数列{}n b 的通项公式；（II ） 数列{}n b 的前n 项和为nS ，求证：数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列.【18】．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为点E 在侧棱1AA 上，点F在侧棱1BB 上，且AE BF ==（I ） 求证：1CFC E ⊥；（II ） 求二面角1E CF C --的大小.【19】．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆 /千米）的函数. 当桥上的车流密度达到200辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆 /千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （I ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（II ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x vx =⋅可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【20】．设函数32()2f x x a x b x a =+++，2()32gx x x =-+，其中x ∈R ，,a b 为常数. 已知曲线()()y f x y g x ==与在点(2,0)处有相同的切线l .（I ） 求,a b 的值，并写出切线l 的方程； （II ）若方程()()f x g x m x+=有三个互不相同的实根0，x ，x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)fxg x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围. 【21】．平面内与两定点12(,0),(,0)(0)A a A a a ->连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上12,A A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线.（Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的),0()0,1(+∞-∈ m ，对应的曲线为2C ，设12,F F 是2C 的两个焦点. 试问：在1C 上，是否存在点N ，使得12F NF ∆的面积2||S m a =. 若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由.【参考答案】【1】．A提示：∵}754321{，，，，，B A = ，∴{}()6,8U A B ⋃=ð ,故选（A ）.【2】．C提示：2(3,3),-(0,3)+a b =a b =，设它们的夹角为θ，由数量积公式得229189cos =⨯=θ ，π0≤≤θ ，4π=∴θ ，故选（C ）.【3】．D提示：)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，∴)()(),()(x g x g x f x f -=-=-，∴()()e ,()()e ,x x f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩即为()()e ,()()e ,x x f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨--=⎪⎩解方程得e e (),2e e ().2x xx xf xg x --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩故选（D ）. 【4】．C 提示：px y22=的图像为开口向右的抛物线，过抛物线焦点分别作倾斜角为30,150的两条直线，则这两条直线与抛物线的交点及焦点构成符合条件的两个正三角形.由对称性可知，两直线位置一有改变就不可能构成正三角形，故选（C ）. 【5】．B提示： 各小矩形的面积表示各组的频率，∴所有小矩形的面积之和等于1，[)1210，内的频率为2)19.015.005.002.0(1⨯+++-= 0.18 ， ∴[)12,10内的频数为3618.0200=⨯ ，故选（B ）.【6】．A 提示：)6πsin(2)cos 21sin 23(2cos sin 3)(-=-=-=x x x x x x f , 由1)(≥x f 得，,21)6πsin(≥-x 所以6π5π26π6π2+≤-≤+k x k π, 所以π2π2ππ()3k x k k +≤≤+∈Z ，故选（A ）. 【7】．D提示：设球的半径为1，正方体的棱长为a ，所以π341=V . 所以2223=a ，即 342=a ，所以.93832==a V 所以7.1193834221≈-÷=-πV V V ，故选（D ）. 【8】．B提示：画出不等式组表示的平面区域，作出直线0102=-+y x ，易知0102=-+y x 与平面区域有唯一公共点)0,5(. 【9】．B提示：自上而下设各节容积分别为9821,,,,a a a a 且公差为d ，则由已知得⎩⎨⎧=++=+++，，439874321a a a a a a a 故⎩⎨⎧=+=+，，421336411d a d a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.66722131d a ，故666766282213415=+=+=d a a .【10】．C提示：由0),(=b a ϕ，得b a b a +=+22，平方得0=ab ，不妨设,0=b 则a a =2，即,0≥a 可得a 与b 互补；反之由a 与b 互补，容易得到0),(=b a ϕ，故选（C ）. 【11】．20提示：抽样比为20 : 1，所以应从中型超市400家中抽取20家. 【12】．17 提示：由23181818181)31(C )31(C rr rrrrr xxxT --+-=-=， 令152318=-r ，得,17)31(C ,2151522183x x T r =-==得所以15x 的系数为17. 【13】．14528提示：所求概率14528C C C C 2302312713=+=P . 【14】．1或717提示：设l 的方程为)1(2+=+x k y 所以圆心(1,1)到l 的距离21|32|kk d +-=.已知半径r =1，弦长2=l ，由圆的性质，得222)2(l d r +=，所以,211)32(122++-=kk 所以0172472=+-k k ，解得1=k 或717=k . 【15】．6，10000提示：6)3(3001.0lg 1000lg lg lg 0=--=-=-=A A M.由00lglg lg A A A A M=-=，所以MA A 100=. 当M =9时，地震的最大振幅为9010A A =， 当M =5时，地震的最大振幅为5010'A A =.所以10000101010'45090===A A A A . 【16】．解：（Ⅰ）22212cos 14444c a b ab C =+-=+-⨯=， 2.c ∴=ABC ∴∆的周长为122 5.a b c ++=++=（Ⅱ）1cos ,sin 4C C =∴===sin 4sin 2a C A c ∴===,a c A C <∴<，故A 为锐角，7cos .8A ∴===7111cos()cos cos sin sin .848416A C A C A C ∴-=+=⨯+=【17】．解：（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+. 依题意，得15,a d a a d -+++=解得 5.a = 所以{}n b 中的345,,b b b 依次为7,10,18.d d -+依题意，有(7)(18)100,d d -+=解得2d =或13d =-（舍去）. 故{}n b 的第3项为5，公比为2.由2312,b b =⋅即2152,b =⋅解得15.4b =所以{}n b 是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为1352524n n n b --=⋅=⋅.（Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==⋅--，即22545-⋅=+n n S .所以1112555524, 2.542524n n n n S S S -+-+⋅+===⋅+因此54nS ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以52为首项，公比为2的等比数列.【18】．解法1：（Ⅰ）由已知可得11CC CE C F ====2221(),EF AB AE BF EF C E =+-===于是有2222221111,EF C E C F CE C E CC +=+=，所以11,C EEF C E CE ⊥⊥.又1,.EF CEE C E CEF ⋂=⊥所以平面由CF ⊂平面,CEF 故1.CFC E ⊥（Ⅱ）在CEF ∆中，由（Ⅰ）可得EF CF CE ===于是有222EF CF CE +=，所以.CF EF ⊥ 又由（Ⅰ）知1CF C E ⊥，且1EF C E E ⋂=，所以CF ⊥平面1C EF ，又1C F⊂平面1C EF ，故1CF C F ⊥.于是1EFC ∠即为二面角1E CF C --的平面角.由（Ⅰ）知1C EF ∆是等腰直角三角形，所以145EFC ∠=︒，即所求二面角1E CF C --的大小为45︒.解法2：建立如下图所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),,0),(0,2,0),A B C C E F .（Ⅰ）1(0,2,2),(3,1C E CF =--=-，10220C E CF ⋅=+-= .所以1.CFC E ⊥（Ⅱ）(0,CE=-，设平面CEF 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由,,CE CF ⊥⊥m m 得0,0,CE CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即20,0.y y ⎧-+=⎪-=可取=m .设侧面1BC 的一个法向量为,n 由1,,BC CC ⊥⊥n n 及(3,1,0)CB =-，1CC=可取(1=n .设二面角1E CF C --的大小为θ，于是由θ为锐角可得||cos ||||θ⋅===⋅m n m n 45θ=︒，即所求二面角1E CF C --的大小为45︒. 【19】．解：（Ⅰ）由题意，当020,()60x v x ≤≤=时；当20200x ≤≤时，设()v x ax b =+.再由已知得2000,2060,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,3200.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故函数()v x 的表达式为60,020,()1(200),20200.3x v x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1(200),20200.3x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩当020,()x f x ≤≤时为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200；当20200x ≤≤时，211(200)10000()(200)3323x x f x x x +-⎡⎤=-≤=⎢⎥⎣⎦当且仅当200x x =-，即100x =时，取等号.所以，当100,()xf x =时在区间[20，200]上取得最大值10000.3 综上，当100x =时，()f x 在区间[0，200]上取得最大值1000033333≈.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【20】．解：（Ⅰ）2()34,()2 3.f x x ax b g x x ''=++=-由于曲线()()y f x y g x ==与在点（2，0）处有相同的切线，故有(2)(2)0,(2)(2) 1.f g f g ''====由此得8820,1281,a b a a b +++=⎧⎨++=⎩解得2,5.a b =-⎧⎨=⎩所以2,5a b =-=，切线l 的方程为20x y --=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得32()452f x x x x =-+-，所以32()()32.f x g x x x x +=-+依题意，方程2(32)0x xx m -+-=有三个互不相同的实数120,,x x ，故12,x x 是方程2320x x m -+-=的两相异的实根， 所以94(2)0,m ∆=-->即1.4m >- 又对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-成立，特别地，取1x x =时，111()()f x g x mx m +-<-成立，得0.m <由根与系数关系，可得121230,20,x x x x m +=>=->故120.x x <<对任意的1221[,],0,0,0x x x x x x x x ∈≤-≥>有-，则12()()()()0,f x g x mx x x x x x +-=--≤又111()()0f x g x mx +-=.所以函数()()f x g x mx +-在12[,]x x x ∈的最大值为0.于是当0m <时，对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-恒成立，综上，m 的取值范围为1,0.4⎛⎫-⎪⎝⎭【21】．解：（I ）设动点为M ，其坐标为(,)x y ，当x a ≠±时，由条件可得12222,MA MA y y y k k m x a x a x a⋅=⋅==-+- 即222()mxy ma x a -=≠±，又12(,0),(,0)A a A a -的坐标满足222,mx y ma -=故依题意，曲线C 的方程为222.mxy ma -=当1m <-时，曲线C 的方程为22221,x y C a ma +=-是焦点在y 轴上的椭圆；当1m =-时，曲线C 的方程为222x y a +=，C 是圆心在原点的圆；当10m -<<时，曲线C 的方程为22221x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆； 当0m >时，曲线C 的方程为22221,x y a ma-=C 是焦点在x 轴上的双曲线. （II ）由（I ）知，当m =-1时，1C 的方程为222;xy a += 当(1,0)(0,)m ∈-+∞时，2C的两个焦点分别为12((F F -对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，1C 上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是22200020,0,12|||.2x y a y y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅=⎪⎩ 由①得00||,y a <≤由②得0||y =当0,0,a m <≤≤<或0m <≤时， 存在点N ，使2S m a =；,a m >即-1<或m >时， 不存在满足条件的点N ，当150,m ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦时， 由100200(1,),(1,)NF a m x y NF a x y =-+--=+-， 可得22221200(1),NF NF x m a y ma ⋅=-++=- 令112212||,||,NF r NF r F NF θ==∠=，则由21212cos ,NF NF rr ma θ⋅==-可得212cos ma r r θ=-， ① ②从而22121sin 1sin tan 22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-， 于是由2||Sm a =， 可得221tan ||,2ma m a θ-=即2||tan .m m θ=- 综上可得，当12m ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，在1C 上，存在点N ，使得2||,S m a =且12tan 2;F NF ∠=当10,2m ⎛∈ ⎝⎦时，在1C 上，存在点N ，使得2||,S m a =且12tan 2;F NF ∠=-当15,m ⎛⎛⎫+∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，在1C 上，不存在满足条件的点N .【End 】。

2011年高考数学全国数学文(word版含答案)

2011年高考数学全国数学文(word版含答案)

选择题1．设集合U ={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U M N ð（∩）=（ ）.(A){}12，(B){}23，(C){}2，4(D){}1，42．函数0)y x =≥的反函数为（ ）.(A)2()4x y x =∈R (B)2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x ∈R(D)24(0)y x x =≥3．设向量,a b 满足1||||1,2==⋅=-a b a b ,则2+=a b （ ）.4．若变量,x y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）.(A)17(B)14(C)5(D)35．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是（ ）.(A)a >1b + (B)a >1b - (C)2a >2b (D)3a >3b6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差d = 2，224k k S S +-=,则k = （ ）.(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 57．设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（ ）.(A)13(B) 3 (C) 6 (D) 98．已知直二面角l αβ--，点,,A AC l α∈⊥C 为垂足，点,B BD l β∈⊥，D 为垂足，若AB =2，1AC BD ==，则CD =（ ）.(A)2(D)19．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（ ）. (A)12种 (B)24种 (C)30种 (D)36种 10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=（ ）.(A) 12-(B)1 4-(C)14(D)1211．设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =（ ）.(A)4(B)(C)8(D)12．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N .若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（ ）. (A)7π (B)9π (C)11π (D)13π填空题13．10(1)x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 ． 14．已知α∈（3,2ππ），tan 2,cos αα=则= ． 15．已知正方体1111ABCD A BC D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 ．16．已知12,F F 分别为双曲线C : 221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为（2，0），AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = ． 解答题17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S .18．△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．己知sin sin sin sin ,a A c C C b B += （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若75,2,A b ==求a c ,.19．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立.（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（II ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.20．如下图，四棱锥S ABCD -中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，AB =BC =2，CD =SD =1.（I ）证明：SD ⊥平面SAB ； （II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小.21．已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a =++---∈R . （I ）证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）；（II ）若0()f x x x =在处取得极小值，0(1,3)x ∈，求a 的取值范围.22．如下图，已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交于,A B 两点，点P 满足.OA OB OP ++=0（Ⅰ）证明：点P 在C 上；（II ）设点P 关于O 的对称点为Q ，证明：,,,A P B Q 四点在同一圆上.参考答案1.D提示：由于{2,3}M N =，所以(){1,4}U MN =ð；2.B提示：由y ＝x ≥0），得x ＝24y （y ≥0）.故所求反函数为y ＝24x （x ≥0）.3.B提示：222441423,+=++⋅=+-=a b a b a b 即2+=a b4.C提示：如下图，约束条件所表示的可行域为阴影部分，把直线2x ＋3y ＝0平移，当它过点A (1，1)时，函数23z x y =+的值达到最小，所以z min ＝2×1＋3×1＝5；5.A提示：这需要逐个判断和辨别：对于（B ），1a b >-是a b >成立的必要不充分条件；对于（C ），22a b >是a b >成立的既不充分又不必要条件；对于（D ），33a b >是a b >成立的充要条件；只有（A ），1a b >+是使a b >成立的充分而不必要条件. 6.D提示：因为212111()[(1)]2(21)k k k k S S a a a kd a k d a k d +++-=+=++++=++， 所以22(21)24k ++=，解得k ＝5. 7.C提示：两个图像能再次重合，说明平移的单位长度3π应为最小正周期的整数倍，即23kT k ωππ==⋅，k ∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z .故正数ω的最小值为6. 8.C提示：如下图，依题意可知AC β⊥，故AC BC ⊥.又2,1,AB AC BD ===，可得BC =CD9.B提示：本题可分两步，第一步是从4位同学中选出2人选修课程甲，有24C 种不同的方法；第二步是剩下的2位同学选乙或丙课程，有2×2种不同的方法.根据分步计数原理，不同的选法共有24C 2224⨯⨯=种.10.A提示：5511111()(+2)=()=()=2(1)2222222f f f f -=----⨯-=-⨯.11.C提示：依题意，这样的圆必位于第一象限，设半径为r ，则圆心为(r ，r )，所以2224+1-)r r r -=（）（，即210170r r -+=.若两圆的半径分别为12,r r ，则两圆心的距离128C C ====.12.D提示：如下图，圆M 的半径是2，球的半径为4，故球心O 到圆M 的距离为322422=-=OM .又圆N 所在平面与圆M 所在平面成60︒二面角，所以球心O 到圆N 的距离为32==OMON ，所以圆N 的半径1334222=-=-=ON R r ，于是面积为2r ππ=13.13．0A B lC D αβE提示：通项公式11010()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-，故x 的系数是110C -，9x 的系数是910C -，根据组合数性质191010C C =，所以系数之差为0. 14． 提示：由()2α3π∈π，，tan 2α=，得541t a n1s e c 2-=+-=+-=αα，故55s e c 1c o s -==αα； 15．23提示：如下图，连结DE ，则DAE ∠就是异面直线AE 与BC 所成的角，易得32231c o s ===∠AE AD DAE .16．6提示：由1(6,0)F - ，2(6,0)F ，(2,0)M ，知1284MF MF ==，.根据角平分线定理，得22121==MF MF AF AF ，即212AF AF =.又根据双曲线的定义，知6221==-a AF AF ，解得62=AF . 17．解：设{}n a 的公比为q ，由题设得12116,630.a q a a q =⎧⎨+=⎩解得113,2,2, 3.a a q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或当113,2,32,3(21);n n n n a q a S -===⨯=⨯-时 当112,3,23,3 1.n n n n a q a S -===⨯=-时18．解：（I）由正弦定理得222.a c b +=由余弦定理得2222cos .b a c ac B =+-故cos 45.B B ==︒因此（II ）sin sin(3045)A =︒+︒s i n 30c o s 45c o s 30s i n 45=︒︒+︒︒=故sin 1sin A a b B =⨯==+sin sin 602sin sin 45C c b B ︒=⨯=⨯=︒19．记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买. （I ）()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===+()()()()0.8P C P A B P A P B =+=+= . （II ）,()1()10.80.2,D C P D P C ==-=-=123()0.20.80.384.P E C =⨯⨯=20．解：（I ）如下图所示，取AB 的中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ==. 连结SE，则,SE AB SE ⊥ 又1SD =，故222ED SE SD =+， 所以DSE ∠为直角. 由,,AB DE AB SE DESE E ⊥⊥=，得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥. SD 与两条相交直线AB ,SE 都垂直. 所以SD ⊥平面SAB .（II ）由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE . 作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD，2SD SE SF DE ⨯==. 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG =DC =1. 连结SG ，则SG BC ⊥. 又,BC FG SGFG G ⊥=，故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG .作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC .S F F G FH SG ⨯==，即F 到平面SBC.由于ED //BC ，所以ED //平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也为7.设AB 与平面SBC 所成的角为α，则sin arcsin77d EB αα===.21．解：（I ）2'()3636.f x x ax a =++-由(0)124,'(0)36f a f a =-=-得曲线()0y f x x ==在处的切线方程为(36)124y a x a =-+-，由此知,曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）（II ）由2'()02120.f x x ax a =++-=得（i ）当11,()a f x ≤≤时没有极小值；（ii ）当11,'()0a a f x ><=或时由，得12x a x a =-=-+故02.x x =由题设知，1 3.a <-当1a >时，不等式13a <-无解；当1a <时，解不等式513, 1.2a a <-<-<<得综合（i ）（ii ），得a 的取值范围是5(,1).2-22．解：（I ）由题知(0,1)F ，则直线l 的方程为1y =+，代入2212y x +=并化简，得2410x --=.设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y则12,44x x ==121212)212x x y y x x +=+=++=.由题意，得312312()()12x x x y y y =-+=-=-+=-. 所以点P的坐标为(1)-. 经验证，点P的坐标为(1)-满足方程221,2y x +=故点P 在椭圆C 上. （II）由(1)2P --和题设知，(2Q ，PQ 的垂直平分线1l 的方程为2y x =.①设AB 的中点为M，则1()42M ，AB 的垂直平分线2l 的方程为14y x =+.②由①，②得12,l l的交点为1()8N .21||8||||2||||||NP AB x x AM MN NA ===-======故||||NP NA =.又||||NP NQ =，||||NA NB =，所以||||||||NA NP NB NQ ===，由此知,,,A P B Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上.。

2011年高考真题——理科数学（山东省） Word版含答案

2011年高考真题——理科数学（山东省） Word版含答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长.球的体积公式V=34R 3π, 其中R 是球的半径.球的表面积公式：S=4πR 2,其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑ . 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第1卷（共60分）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合 M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =（A ）[1,2) （B ）[1,2] （C ）( 2,3] （D ）[2,3]（2）复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为： （A ）0 （B ）33（C ）1 （D ）3 (4)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（A ）[-5,7] (B)[-4,6] (C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D ）(-∞，-4]∪[6,+∞) （5）对于函数y=f （x ），x ∈R ，“y=|f(x)|的图像关于y 轴”是“y=f （x ）是奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23（7）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（A ）63.6万元 （B ）65.5万元 （C ）67.7万元 （D ）72.0万元（8）已知双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（A ）22154x y -= （B ）22145x y -= （C ）221x y 36-= （D ）221x y 63-= （9）函数2sin 2xy x =-的图象大致是（10）已知f （x ）是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f （x ）=x 3-x ，则函数y=f （x ）的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为 （A ）6（B ）7（C ）8（D ）9（11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是（A ）3 （B ）2（C ）1 （D ）0（12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是 （A ）C 可能是线段AB 的中点 （B ）D 可能是线段AB 的中点（C ）C ，D 可能同时在线段AB 上（D ）C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）执行右图所示的程序框图，输入2l =，m=3，n=5，则输出的y 的值是 .(14)若62x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .（15）设函数()2xf x x =+（x ＞0），观察： ()()12x f x f x x ==+ f 2 (x)=f(f 1（x ）)= 34xx +f 3 (x)=f(f 2（x ）)= 78xx +f 4 (x)=f(f 3（x ）)= 1516xx +……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f m （x ）=f （f m-1（x ））= . （16）已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）（本小题满分12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （Ⅰ）求sin sin CA的值； （Ⅱ）若cosB=14，b=2, 求△ABC 的面积S.（18）（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。

2011年高考数学全国新课标文(word版含答案)

2011年高考数学全国新课标文(word版含答案)

【选择题】 【1】．已知集合M ={0，1，2，3，4}，N ={1，3，5}，P M N =，则P 的子集共有（ ）.（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个 【2】．复数5i12i=-（ ）. （A ）2i - （B ）12i - （C ） 2i -+ （D ）12i -+【3】．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）. （A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x=-+ （D ）||2x y -=【4】．椭圆221168x y +=的离心率为（ ）.（A ）13 （B ）12 （C （D ）2【5】．执行如下的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（ ）. （A ）120 （B ） 720 （C ） 1440 （D ） 5040【6】．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可 能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）. （A ）13 （B ） 12 （C ）23 （D ）34【7】．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（ ）. （A ） 45- （B ）35- （C ） 35 （D ）45【8】．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为（ ）.【9】．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ）.（A ）18 （B ）24 （C ）36 （D ）48【10】．在下列区间中，函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为（ ）.（A ）1(,0)4- （B ）1(0,)4 （C ）11(,)42 （D ）13(,)24【11】．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（ ）.（A ）()y f x =在(0,)2π单调递增，其图像关于直线4x π=对称（B ）()y f x =在(0,)2π单调递增，其图像关于直线2x π=对称（C ）()y f x =在(0,)2π单调递减，其图像关于直线4x π=对称（D ）()y f x =在(0,)2π单调递减，其图像关于直线2x π=对称【12】．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图像与函数|lg |y x =的图像的交点共有（ ）. （A ）10个 （B ）9个 （C ）8个 （D ）1个 填空题【13】．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量k -a b 垂直，则k =_____________．【14】．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，，则2z x y =+的最小值为_________．【15】．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．【16】．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．【解答题】【17】．已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=；（II ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．【18】．如下图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）设PD =AD =1，求棱锥D -PBC 的高．【19】．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（II ）已知用B 配方生产的一件产品的利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,94,2,94102,4,102.t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【20】．在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．【21】．已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（I ）求a ，b 的值；（II ）证明：当x >0，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-． 【22】．（选做题）如下图，,D E 分别为ABC ∆的边,AB AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，,AD AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：,,,C B D E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求,,,C B D E 所在圆的半径．【23】．（选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,(22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C ． （I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB.【24】．（选做题）设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． （I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （II ）若不等式()0f x ≤的解集为{}1x x ≤-，求a 的值．【参考答案】 【1】．B提示：由于P ＝{1，3}，所以集合P 的子集数共有4个．故选(B). 【2】．C 提示：5i 1-2i ＝5i(1+2i)(1-2i)(1+2i)＝-2+i ，故选（C ）． 【3】．B提示：（A ）选项，为奇函数，故排除；（C ）选项和（D ）选项，都为偶函数，但在(0,+∞)单调递减，故排除．选（B ）． 【4】．D提示：∵a =4，b =22，∴c =22，∴e ＝c a ＝224＝22．故选（D ）．【5】．B提示：k 与p 的对应变化如下表：p ＝1【6】．A提示：设事件A 为两同学参加同一兴趣小组，三个兴趣小组分别记为X ，Y ，Z ，其基本事件总数为XX 、XY ，XZ ，YX ，YY ，YZ ，ZX ，ZY ，ZZ 共9个；事件A 包括的基本事件数为XX ，YY ，ZZ 共3个，所以P (A )=13．故选（A ）．【7】．B提示：法一、设(,2)(0)P a a a≠为直线2y x =上的一点，则r OP ==，由三角函数的定义，s i n y r θ==，由二倍角公式，22243cos 212sin 1255a a θθ=-=-⨯=-．故选（B ）．法二、由题意知tan 2θ=，由二倍角公式，22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--=-===-++．故选（B ）．【8】．D提示：由正视图和俯视图可知，这个几何体是由半个圆锥和一个三棱锥拼接而成，圆锥在后，三棱锥在前，公共面是一个垂直于底面的三角形，此时其侧视图是一个三角形，故选（D ）． 【9】．C提示：由题知AB 为抛物线的通径，则212AB p ==，P 到AB 的距离等于焦点到其准线的距离，为p =6，从而ABP V 的面积S ＝12×p ×AB ＝36．故选（C ）． 【10】．C提示：∵e<16，∴14e <2，∴141()=e -2<04f ．∵e >1，∴12e>1，∴121()=e -1>02f ，又函数()e 43x f x x =+-在区间(14，12)内连续，∴()f x 在区间(14，12)上有零点．选（C ）． 【11】．D 提示：()f x =2sin(2x +4π+4π)=2cos2x ，由余弦函数的图像可知，()y f x =在(0,2π)内单调递减，由()2f π=2cos π=2x π=对称．故选（D ）．【12】．A提示：作出函数()y f x =与lg y x =在[-1，10]上的图像，如下图所示，由于lg10=1,所以两曲线在[0，10] 上有10个交点，故选（A ）．【13】．1提示：∵(a +b )⊥(k aa －b )，∴(a +b )⋅(k a －b )＝0，即2k a －a ⋅b +k a ⋅b －b 2＝0，整理得k (1+a ⋅b )=1+a ⋅b ．∵a 与b 不共线，∴a ⋅θ≠cos b =－1 (θ为a 与b 的夹角)， ∴k =1. 【14】．6-提示：法一、设2(2)()x y m x y n x y +=++-，即2(2)(),x y m n x m n y +=++-则21,1,2, 1.m n m m n n +==⎧⎧⎨⎨-==-⎩⎩解得从而2(2)()x y x y x y +=+--. 又329,9()6,x y x y ≤+≤-≤--≤-由不等式的性质，得623,x y -≤+≤故2z x y =+的最小值为-6．法二：画出可行域，如下图所示，求出可行域的顶点(3,-3)，(6,-3)，(4,-5)，(5,-1)，代入目标函数2z x y =+中，得出2z x y =+的最小值为-6．【15】．1534提示：设BC ＝x ，由余弦定理，得49=25+x 2-2×x ×5×(-12)，即x 2+5x -24=0，解得x =3或x =-8(舍)，所以ABC V 的面积S =12×3×5×sin120︒=1534．【16】．13提示：取几何体的轴截面，如下图，设球的半径OB R =，圆锥的底面半径CB r =，由2r π=316×42R π,解得r =32R ，在Rt OBC V 中，CO ＝12R . 又两圆锥有公共底面，∴:():()22R R PC CQ R R =-+=1:3．故应填13．【17】．（Ⅰ）证明：因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,231131)311(31nn n S -=--=所以12nn a S -=．（Ⅱ）因为n n a a a b 32313log log log +++=)21(n +++-= 2)1(+-=n n ,所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n 【18】．解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，由余弦定理得BD =．从而BD 2+AD2= AB 2，故BD ⊥AD.又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD. 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD（Ⅱ）如下图，作DE ⊥PB ，垂足为E ．已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC ． 由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC //AD ，所以BC ⊥BD ． 故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE ，则DE ⊥平面PBC ． 由题设知，PD =1，则BD =3，PB =2.根据BE ·PB =PD ·BD ，得DE =23， 即棱锥D -PBC 的高为.23【19】．解：（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为228=0.3100+，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.（Ⅱ）由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t ≥94，由试验结果知，质量指标值t ≥94的频率为0.96.所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率的估计值为0.96.用B 配方生产的产品平均一件的利润为1[4(2)542424] 2.68100⨯⨯-+⨯+⨯=（元）【20】．解：（Ⅰ）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+故可设C 的圆心为（3，t ），则有,)22()1(32222t t +=-+解得t =1.则圆C 的半径为.3)1(322=-+t所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x（Ⅱ）设A （11,y x ），B （22,y x ），其坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x 消去y ，得到方程.012)82(222=+-+-+a a x a x由已知可得，判别式2561640.a a ∆=--> 因此，,441656)28(22,1a a a x --±-=从而21212214,2a a x x a x x -++=-=.①由于OA ⊥OB ，可得12120x x y y +=.又,,2211a x y a x y +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x ②由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a【21】．（Ⅰ）解：221(ln )'()(1)x a x b x f x x x +-=-+. 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即 1,1.22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知ln 1()1x f x x x=++，所以 221ln 1()(2ln )11x x f x x x x x--=--- 考虑函数()2ln h x x =-x x 12-(0)x >，则22222)1()1(22)(x x x x x x x h --=---='. 所以当1≠x 时，()0.(1)0,h x h '<=而故当)1,0(∈x 时，;0)(11,0)(2>->x h x x h 可得 当),1(+∞∈x 时，21()0,()01h x h x x <>-可得. 从而当ln ln 0,1,()0,().11x x x x f x f x x x >≠->>--且时即 【22】．（选做题）解：（I ）如下图所示，连结DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中， AD AB mn AE AC ⨯==⨯， 即AB AE AC AD =. 又DAE CAB ∠=∠，从而△ADE ∽△ACB .因此ADE ACB ∠=∠. 所以,,,C B D E 四点共圆．（Ⅱ）m =4，n =6时，方程2140x x mn -+=的两根为122,12x x ==.故AD =2，AB =12.如下图，取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ,AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为,,,C B D E 四点共圆，所以,,,C B D E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于A ∠=90，故GH ∥AB ， HF ∥AC .从而5HF AG ==，1(122)52DF =⨯-=. 故,,,C B D E 四点所在圆的半径为52.【23】．（选做题）解：（I ）设(,)P x y ，则由条件知(,)22x y M .由于M 点在1C 上，所以 2cos ,222sin ,2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即 4cos ,44sin .x y αα=⎧⎨=+⎩ 从而2C 的参数方程为 4cos ,44sin .x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=． 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3πρ=．所以21||||AB ρρ-==【24】．（选做题）解：（I ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．由此可得 3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-． (Ⅱ) 由()0f x ≤，得30x a x -+≤.此不等式化为不等式组,30,x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或,30,x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩即 ,,4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或,.2x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2a x x ≤-. 由题设可得2a -= 1-，故2a =.【End 】。

2013年高考真题——文科数学(陕西卷)解析版 Word版含答案

2013年高考真题——文科数学(陕西卷)解析版 Word版含答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。

2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。

3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(共50分)1. 第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R , 函数()f x =M , 则C M R 为(A) (－∞,1)(B) (1, + ∞)(C) (,1]-∞ (D) [1,)+∞【答案】B【解析】),1(],1,(.1,0-1∞=-∞=≤∴≥MR C M x x 即 ,所以选B 2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于(A) (B)(C) (D) 02. 【答案】C【解析】.221,//),2,(),,1(±=⇒⋅=⋅∴==m m m b a m b m a 且 ,所以选C 3. 设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (A) ·log log log a c c b a b = (B) ·log lo log g a a a b a b =(C) ()log ?l g o lo g a a a b c bc =(D) ()log g og o l l a a a b b c c +=+3. 【答案】B【解析】a, b,c ≠1. 考察对数2个公式: abb y x xyc c a a a a log log log ,log log log =+= 对选项A: bab a b bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式不符，所以为假。

2011年高考数学浙江文(word版含答案)

2011年高考数学浙江文(word版含答案)

【选择题】【1】．若{1},{1}P x x Q x x =<=>-，则（ ）.（A ）P Q ⊆（B ）Q P ⊆（C ）C RP Q ⊆ （D ）C R Q P ⊆【2】．若复数1i z =+，i 为虚数单位，则(1)z z +⋅=（ ）.（A ）13i + （B ）33i +（C ）3i - （D ）3【3】．若实数,x y 满足不等式组250,270,0,0,x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩则34x y +的最小值是（ ）.（A ）13 （B ）15（C ）20 （D ）28【4】．若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则（ ）. （A ）α内的所有直线与l 异面 （B ）α内不存在与l 平行的直线（C ）α内存在唯一的直线与l 平行 （D ）α内的直线与l 都相交【5】．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B += （ ）.（A ）-12 （B ）12（C ） -1 （D ）1 【6】．若,a b 为实数，则 “01ab <<”是“1b a<”的（ ）.（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【7】．几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）.（A ） （B ） （C ） （D ）【8】．从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（ ）.（A ）110 （B ）310（C ）35 （D ）910【9】．已知椭圆22122:1x y C a b +=（0a b >>）与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若1C 恰好将线段AB 三等分，则（ ）.（A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【10】．设函数()()2,,R f x ax bx c a b c =++∈，若1x =-为函数()e x f x 的一个极值点，则下列图像不可能为()y f x =的图像是（ ）.（A ） （B ） （C ） （D ） 【填空题】【11】．设函数4()1f x x=- ,若()2f a =,则实数a =_______. 【12】．若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______.【13】．某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如下图）.根据频率分布直方图可知3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_________.【14】．某程序框图如下图所示，则该程序运行后输出的k 的值是_________.【15】．若平面向量,αβ满足1,1=≤αβ，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的取值范围是________. 【16】．若实数,x y 满足221xy xy ++=，则x y +的最大值是____________.【17】．若数列2(4)()3n n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则k =__________. 【解答题】【18】．已知函数()sin ()3f x A x πϕ=+，R x ∈，0A >，02πϕ<<．()y f x =的部分图像如下图所示，P ，Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A ． （1）求()f x 的最小正周期及ϕ的值； （2）若点R 的坐标为(1,0)，23PRQ π∠=，求A 的值．【19】．已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项1a 为R)(∈a a ，且11a ，21a ，41a 成等比数列． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）对*N ∈n ，试比较2322221111...na a a a ++++与11a 的大小． 【20】．如下图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．（1）证明：AP ⊥BC ；（2）已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =．求二面角B AP C --的大小．【21】．设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a .（1）求)(x f 的单调区间； （2）求所有实数a ，使2e )(1e ≤≤-x f 对e],1[∈x 恒成立．注：e 为自然对数的底数．【22】．如下图，设P 是抛物线1C ：2x y =上的动点.过点P 做圆2C 1)3(:22=++y x 的两条切线，交直线l ：3y =-于,A B 两点.（1）求2C 的圆心M 到抛物线1C 准线的距离；（2）是否存在点P ，使线段AB 被抛物线1C 在点P 处的切线平分？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【23】．（自选模块测试）设正数,,x y z 满足221x y z ++=. （1）求3xy yz zx ++的最大值；（2）证明：31112511126xy yz zx ++≥+++. 【24】．（自选模块测试）已知直线l ：1cos ,sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为l 的倾斜角，且0απ<<）与曲线C ：,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）相交于,A B 两点，点F 的坐标为（1,0）.（1）求ABF ∆的周长；（2）若点E （-1,0）恰为线段AB 的三等分点，求ABF ∆的面积.【参考答案】 【1】．C 提示：因为{}1|C ≥=x x P R ，故C R P Q ⊆.【2】．A提示：(1)z z +⋅=(2i)(1i)13i ++=+，选（A ）. 【3】．A提示：画出可行域，如下图所示，由⎩⎨⎧=-+=-+052072y x y x ，解得A （3，1）.将点（3，1）代入得最小值为13，故选（A ）.【4】．B提示：（A ）、（C ）、（D ）均错误，对于（B ），可用反证法证明，即若α内存在与l 平行的直线，则由线线平行可推出线面平行.故选（B ）. 【5】．D提示：由正弦定理及cos sin a A b B =可得，B B B B A A 22cos 1sin sin sin cos sin -===，移项得2sin cos cos A A B +=1. 【6】．D提示：由01ab <<，若0>a ，则1b a <；若0<a ，则1b a >.即“01ab <<”不能推出1b a<；反之也不成立（须考虑b a ,的符号）.故选（D ）. 【7】．B ；提示：根据正视图，排除（A ）、（C ）；根据侧视图，排除（D ）.故选（B ）. 【8】．D提示：一一列出所有事件总数为10，而“3个球中至少有1个白球” 的对立事件是“3个球全是红球”，共1个事件，故1091011=-=P ，选（D ）. 【9】．C提示：由共焦点知，225.a b -=由题可知||2AB a =.设2C 的一条渐近线与1C 的一个交点为C00(,)x y .则由⎩⎨⎧==+xy b a y a x b 2222222，得2220222202(5),5(4)4(5).5(4)b b x b b b y b ⎧+=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩由1C 恰好将线段AB 三等分知，||6||OC AB =，故22220036()||4x y AB a +==⇒212b =.故选（C ）.【10】．D提示：由题意，若1x =-为函数x x f e )(的一个极值点，可得：c a f f =⇒=-'+-0)1()1(，在（D ）选项中，由图可知：(1)0,2,0,2,12f b a c a a b a ba ⎧⎪-><+=⎪⎧>⇒⎨⎨>⎩⎪⎪-<-⎩发生矛盾，故（D ）错误.【11】．-1提示：由()f a =2，知42,1a=-解得1a =-. 【12】．1提示：由两直线互相垂直知，12()12m⨯-=-，故1m =. 【13】．600提示：10(0.0020.0060.012)3000600.⨯++⨯= 【14】．5 提示：一一列出：.,5,4,5;4,4,4;3,4,3454443b a b a k b a k b a k>=========所以，5=k . 【15】．⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ 提示：21sin ||||==θβαS ，所以21121sin ≥⋅=|β|θ由于],0[πθ∈，故∈θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ.【16】．332 提示：由221xy xy ++=，得222)2()()(1y x y x xy y x +-+≥-+=，332332≤+≤-y x .所以x y +的最大值是332. 【17】．4提示：1122(4)()(1)(3)()33n n n n a a n n n n ---=+--+)92(323121--⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=-n n n .当0922>--n n ，即4110>+>n ，即当5≥n 时，01<--n n a a 为递减数列；当50<<n 时，01>--n n a a 为递增数列，且0,054<>a a ，故4=k .【18】．解：（1）由题意得，2 6.3T ππ==因为(1,)sin()3P A y A x πϕ=+在的图像上，所以sin() 1.3πϕ+=又因为02πϕ<<，所以6πϕ=（2）设点Q 的坐标为0(,)x A -，如下图.由题意可知03362x πππ+=，得04,(4,)x Q A =-所以.连结PQ ，在2,3PRQ PRQ π∆∠=中，由余弦定理得222222)1c o s .22RP RQ PQ PRQ RP RQ +-∠===-⋅解得2 3.A =又0,A A >=所以【19】．解（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知2214111()a a a =⋅. 即2111()(3)a d a a d +=+，从而21a d d =. 因为10,.dd a a ≠==所以故通项公式.na na =（2）记22222111,2n nn nT a a a a a =+++=因为，所以211[1()]111111122()[1()]1222212n n nn T a a a -=+++=⋅=--.从而，当0a >时，11nT a <；当110,.n a T a <>时 【20】．（1）证明：由AB AC =，D 是BC 的中点，得AD BC ⊥，又PO ⊥平面ABC ，，得PO BC ⊥.因为PO AD O ⋂=，所以BC ⊥平面PAD ，故.BC PA ⊥（2）解：如下图，在平面PAB 内作BM PA ⊥于M ，连结CM .因为,BCPA PA ⊥⊥得平面BMC ，所以AP CM ⊥.故BMC ∠为二面角B AP C --的平面角. 在222Rt ,41,ADB ABAD BD AB ∆=+=中得 在222Rt POD PDPO OD ∆=+中,，在Rt PDB ∆中，222PB PD BD =+，所以222236, 6.PBPO OD BD PB =++==得在222Rt ,25, 5.POA PAAO OP PA ∆=+==中得又2221cos ,sin 23PA PB AB BPA BPA PA PB +-∠==∠=⋅从而.故sin BMPB BPA =∠=同理CM=因为222BM MC BC +=，所以90BMC ∠=︒，即二面角B AP C --的大小为90.︒【21】．（1）解：因为22()ln f x a x x ax =-+，其中0x >，所以2()(2)()2a x a x a f x x a x x-+'=-+=-.由于0a >，所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞.（2）证明：由题意得，(1)1e 1,e f a a =-≥-≥即.由（1）知()f x 在[1,e]内单调递增，要使2e 1()e f x -≤≤对[1,e]x ∈恒成立，只要222(1)1e 1,(e)e e e ,f a f a a =-≥-⎧⎨=-+≤⎩解得 e.a =【22】．解（1）因为抛物线1C 的准线方程为：14y =-，所以圆心M 到抛物线1C 准线的距离为：111|(3)|.44---= （2）设点P 的坐标为200(,)x x ，抛物线1C 在点P 处的切线交直线l 于点D . 再设,,A B D 的横坐标分别为,,A B D x x x . 过点200(,)P x x 的抛物线1C 的切线方程为：20002()y x x x x -=- .（1）当01x =时，过点P （1，1）与圆2C 的切线PA 为：151(1)8y x -=-.可得17,1,1,215A B D A B D x x x x x x =-==-+≠.当10-=x 时，过点P （-1，1）与圆2C 的切线PB 为：151(1)8y x -=-，可得D B A D B A x x x x x x 2,1,1517,1≠+==-=.所以2010x -≠设切线,PA PB 的斜率为12,k k ，则2010:()PA y x k x x -=-， （2）2020:()PB y x k x x -=-. （3）将3y =-分别代入（1），（2），（3）得 22200000012012333(0);;(,0)2D A B x x x x x x x x x k k x k k -++=≠=-=-≠，从而20012112(3)().A B x x x x k k +=-++21=，即22222010010(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=.同理，22222020020(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=.所以12,k k 是方程222220000(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=的两个不相等的根，从而222000121222002(3)(3)1,.11x x x k k k k x x ++-+=⋅=--因为2A B D x x x +=，所以220001201203111112(3)(),.x x x k k x k k x --++=+=即从而20022002(3)1(3)1x x x x +=+-，进而得4008,x x ==.综上所述，存在点P 满足题意，点P的坐标为(【23】．（自选模块测试）（1）解：3()3()[12()]xy x y z xy x y x y ++=++-+23()2()xy x y x y =++-+223()()2()4x y x y x y ≤+++-+ 25()()4x y x y =-+++ 25211[()].4555x y =-+-+≤ 当15x y z ===时等号成立，3xy xz yz ++取到最大值15. （2）证明：由柯西不等式和（1）得311251113(1)(1)(1)x y y z z x x y y z z x ++≥++++++++25125.11655≥=+ 【24】．（自选模块测试）解：（1）如下图，曲线C 的方程为1222=+y x ，得)0,1(F ，)0,1(-E 为椭圆C 的两个焦点，又,A B 在椭圆上，知222||||||||==+=+a BF BE AF AE ， 又直线AB 过点E ，所以，ABF ∆的周长为24.（2）解：将⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x 代入1222=+y x ，得01cos 2)sin 1(22=-⋅-+t t αα. 设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，其中08)sin 1(4cos422>=++=∆αα， 且αα221sin 1cos 2+=+t t ，……① α221sin 11+-=t t ……② 则α22122121sin 1224)(||||+=-+=-=t t t t t t AB . 不妨设1:2||:||=EB AE ，则212t t -=所以⎩⎨⎧-=-=+22212212t t t t t t ，得22121)(2t t t t +-=， 所以α2sin 11+-=222)sin 1(cos 42αα+⋅-， 即αα22sin 1cos 8+=，得97sin 2=α，则αααsin 2sin 12221sin ||||212⋅+⋅=⋅⋅=∆EF AB S ABF =8143.【End 】。

2011年陕西高考文科数学真题及答案

2011年陕西高考文科数学真题及答案

2011年陕西高考文科数学真题及答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．设，是向量，命题“若，则”的逆命题是 a b =-a b =a b （ ）若，则 若，则 A.≠-a b ||||≠a b B.≠-a b ||||≠a b 若，则 若，则C.||||≠a b ≠-a bD.=a b ≠-a b 【参考答案】D 2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 2x =-（ ）（D ）A.28y x =-B.24y x =-C.28y x =24y x =【参考答案】 C 3.设，则下列不等式中正确的是0a b <<( )A.2a b a b +<<<B.2a ba b +<<<C.2a b a b +<<<D.2a ba b +<<<【参考答案】 B 4.函数的图像是13y x =（ ）C. D. .A.B C. D.【参考答案】 B5. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A.2π83-B.π83- C.82π- D.2π3【参考答案】 A6.方程在内 （ ）cos x x =(),-∞+∞没有根 有且仅有一个根 A. B.有且仅有两个根 有无穷多个根C. D.【参考答案】C7.如右框图，当时，等于126,9,x x ==8.5p =3x （ ）A.7B.8C.9D.11.【参考答案】 B 8.设集合，22{||cos sin |,}M y y x x x ==-∈R，为虚数单位，R ，则为（ ） {|||1ixN x =<i x ∈}M NA.(0,1)B.](0,1C.[0,1)D.[]0,1【参考答案】C 9．设 ，是变量和的个样本点，直线是由这些样本1122(,),(,),x y x y (,)n n x y x y n l 点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是 （ ）直线过点 A.l (,)x y和的相关系数为直线的斜率 B.x y l 和的相关系数在0到1之间C.x y 当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同D.n l 【参考答案】 A10．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）和 和 和 和 A.○1○20 B.○9○10 C.○9○11 D.○10○11【参考答案】D 二 填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（ 本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．设，则______.lg ,0()10,0xx x f x x >⎧=⎨⎩…((2))f f -=【参考答案】2-【解答】由算起，先判断的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断2x =-x (2)f -作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．∵，∴，20x =-<21(2)100100f --==>所以，即．22(10)lg102f --==-((2))2f f -=-12．如图，点在四边形内部和边界(,)x y ABCD 上运动，那么的最小值为________.2x y -【参考答案】1【解答】本题为线性规划问题，采用数形结合法解答，解答本题的关键是确定目标函数过哪一个点时取得最小值．目标函数，当时，，所以当取得最大值时， 的值最小；2z x y =-0x =z y =-y z 移动直线，当直线移动到20x y -=过点时，最大，即的值最小，此时．A y z 2111z =⨯-=13．观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为__________________.【参考答案】（或） 567891011121381++++++++=561381+++= 【解答】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，根据以上规律写出第五个等式，注意行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是；等式右边都是n 21n -完全平方数，行数 等号左边的项数 1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7则第5行等号的左边有9项，右边是9的平方，所以，256[5(251)1]9++++⨯--= 即．561381+++= 14．设，一元二次方程有整数根的充要条件是 ． n ∈+N 240x x n -+=n =【参考答案】或34【解答】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．，因为是整数，即为整数，x =2=±x 2±整数，且，又因为，取验证可知符合题意；反之4n …n ∈+N 1,2,3,4n =3,4n =3,4n =时，可推出一元二次方程有整数根．240x x n -+=15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A ．（不等式选做题）若不等式对任意R 恒成立，则的取值范|1||2|x x a ++-…x ∈a 围是 ．【参考答案】(,3]-∞【解答】先确定的取值范围，则只要不大于的最小|1||2|x x ++-a |1||2|x x ++-值即可．当时，；1x -…|1||2|12213x x x x x ++-=---+=-+…当时，； 12x -<…|1||2|123x x x x ++-=+-+=当时，； 2x >|1||2|12213x x x x x ++-=++-=->综上可得，所以只要， |1||2|3x x ++-…3a …即实数的取值范围是．a (,3]-∞B ．（几何证明选做题）如图，，，，且=6，B D ∠=∠AE BC ⊥90ACD ∠=AB AC =4，=12，则= ．AD AE 【参考答案】2【解答】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解．因为，所以=，又因AE BC ⊥AEB △90ACD ∠=为，所以∽，所以,所以B D ∠=∠AEB △ACD △AC ADAE AB=． 64212AB AC AE AD ⨯===C ．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴xOy O x 为极轴建立极坐标系，设点分别在曲线：（为参数）和曲线：,A B 1C 3cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩θ2C 上，则的最小值为 ．1ρ=||AB 【参考答案】1【解答】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程． 曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以1C 22(3)1x y -+=2C 221x y +=||AB．111--=三．解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16.（本小题满分12分）如图，在中，，，是上的高，沿把ABC △45ABC ∠=90BAC ∠=AD BC AD 折起，使ABC △90BDC ∠=（1）证明：平面平面；ADB ⊥BDC （2）设，求三棱锥的表面积。

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2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学【选择题】【1】．设a,b 是向量，命题“若=-a b ，则||||=a b ”的逆命题是（ ）． （A ）若≠-a b ，则||||≠a b （B ）若=-a b ，则||||≠a b（C ）若||||≠a b ，则≠-a b（D ）若||||=a b ，则=-a b【2】．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（ ）．（A ）28yx =- （B ）24yx =- （C ）28yx = （D ）24yx =【3】．设0a b <<，则下列不等式中正确的是（ ）．（A ）2a ba b +<<（B ）2a ba b +<<<（C ）2a ba b +<<<（D 2a ba b +<< 【4】．函数13y x =的图像是（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）【5】．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）．（A ）2π83-（B ）π83-（C ）82π-（D ）2π3【6】．方程cos x x =在(),-∞+∞内（ ）．（A ）没有根（B ）有且仅有一个根 （C ）有且仅有两个根（D ）有无穷多个根【7】．如下框图，当126,9,x x ==8.5p =时，3x 等于（ ）．（A ）7 （B ）8 （C ）10（D ）11【8】．设集合22{||cos sin |,},{|||1,i }ixM y y x x x N x x ==-∈=<∈R R 为虚数单位，，则M N ⋂为( ). （A ）(0,1)（B ）(0,1] （C ）[0,1)（D ）[0,1]【9】．设1122(,),(,)x y x y ，…，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）．（A ）直线l 过点(,)x y（B ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 （C ）x 和y 的相关系数在0到1之间（D ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同【10】．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（ ）．（A ）1◯和20◯ （B ）9◯和10◯ （C ）9◯和11◯ (D) 10◯和11◯ 【填空题】【11】．设lg ,0,()10,0,x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则((2))f f -=______．【12】．如图，点(,)x y 在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x y -的最小值为________．【13】．观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为__________________．【14】．设n +∈N ,一元二次方程240x x n -+=有整数．．根的充要条件是n =_____． 【15】．（选做题）若不等式12x x ++-≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________．【16】．（选做题）如图，,,90B D AE BC ACD ∠=∠⊥∠=︒，且6,4,12AB AC AD ===，则AE = ．【17】．（选做题）直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点,A B 分别在曲线13cos sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩，：（θ为参数）和曲线21C ρ=：上，则AB 的最小值为 ．【解答题】【18】．如图，在△ABC 中，45,90,ABC BAC AD ∠=︒∠=︒是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使90BDC ∠=︒ ．（1）证明：平面ADB ⊥平面BDC ； （2）设1BD =，求三棱锥D ABC -的表面积．【19】．设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点(0,4)，离心率为35．（1）求C 的方程； （2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． 【20】．叙述并证明余弦定理．【21】．如图，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线e x y =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ．再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P，2Q ；…；n P ，n Q ，记k P 点的坐标为(,0)(1,2,,)k x k n =．（1）试求k x 与1k x -的关系(2≤k ≤)n ； （2）求112233n n PQ PQ PQ PQ ++++．【22】．如图，A 地到火车站共有两条路径1L 和2L ，现随机抽取100位从A 地到火车站的人进行调查，调查结果如下：（1）试估计40分钟内不能．．赶到火车站的概率； （2）分别求通过路径1L 和2L 所用时间落在上表中各时间段内的频率；（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．【23】．设()ln ,()()()f x x g x f x f x '==+． （1）求()g x 的单调区间和最小值；（2）讨论()g x 与1g x ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系； （3）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1a对任意x ＞0成立．【参考答案】 【1】．D提示：结合命题与逆命题的结构特点，即知选项（D ）正确. 【2】．C提示：依题意可设抛物线的方程为()220y px p =>，又22p-=-，所以224p =⨯=，故所求抛物线的方程为28y x =.【3】．B提示：方法一：因为0a b <<，a <，22a b b bb ++<=，2a b +>2a ba b +<<<.方法二：取1,4a b ==，则由52,,422a b a b +====，即得2a ba b +<<<. 【4】．B提示：因为幂函数的图像必经过点()1,1，所以选项（A ）（D ）错误.又13111828⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故由此判断即知选项（C ）错误，选项（B ）正确. 【5】．A提示：由三视图知，对应几何体是这样的：在棱长为2的正方体中挖去一个倒放的圆锥（高为2，底面圆半径为1）.故所求体积为()3212212833V ππ=-⨯⨯⨯=-. 【6】．C提示：通过在同一坐标系内，分别作出函数y x =和cos y x =的图像（注意：它们都是偶函数），观察即知图像有且仅有两个交点．故方程cos x x =在(),-∞+∞内有且仅有两个根.【7】．B 提示：若3699x -<-成立，则698.52p +==，这显然不可能．若3699x -<-不成立，则3398.582x p x +==⇒=，满足3699x -<-不成立．综上，所求38x =. 【8】．C 提示：因为222cos sin cos 2,1i 11ixx x x x x -=<⇒-<⇒<， 所以集合{|0M y =≤y ≤1}，{}11N x x =-<<，故[)0,1M N⋂=.【9】．A提示：因为线性回归直线必经过样本中心点(),x y ，所以选项（A ）正确.注意：由图知，直线l 的斜率小于零，所以x 和y 的相关系数必小于零，但x 和y 的相关系数并不是直线l 的斜率，故选项（B ）（C ）错误.因为无论n 为奇数或偶数，所有样本点都基本集中在直线l 的附近，至于直线l 两侧的样本点的个数是否相同显然是不确定的，故选项（D ）错误. 【10】．D提示：设开始时树苗集中在第x 个树坑旁边，则路程总和为()()2102010110201020x x +++-++++-⎡⎤⎣⎦()()201211220x x =+++-++++-⎡⎤⎣⎦()()()()21202120202121022x x x x x x ---⎡⎤=+=-+⎢⎥⎣⎦.又1,2,3,,20x =，从而易知当10x =或11x =时路程总和最小.故两个最佳坑位的编号为10◯和11◯. 【11】．2- 提示：因为()22100f --=>，所以()()()22210lg102f f f ---===-.【12】．1提示：方法一：设2z x y =-，又注意到1,1AB CD k k <<，于是平移直线l ：2y x z =-，分析即知当A l ∈时，z 取得最小值，故所求()min 22111x y -=⨯-=.方法二：将,,,A B C D 的坐标分别代入2x y -得11,2，显然其中1最小，故所求2x y -的最小值为1.【13】．567891011121381++++++++=提示：由所给等式可知：第五个等式左边第一个加项为5，然后依次增加1，且加项个数为9（注意：加项个数的规律为1,3,5,7,）；右边是29，即81（注意：右边的规律为22221,3,5,7,）.【14】．3或4提示：一元二次方程240x x n -+=有整数根，首先要满足164n ∆=-≥0，又n +∈N ，所以1,2,3,4n =.又由240x x n -+=变形得()224x n -=-，从而经检验即知3n =或4时方程根x 为整数.故所求充要条件是3n =或4. 【15】．(],3-∞提示：由题设得a ≤()min123x x ++-=，故所求a 的取值范围是(],3-∞.【16】．2提示：由题设知△ABE ∽△ADC ，所以AB AD AE AC =，所以64212AB AC AE AD ⨯===•. 【17】．1提示：因为曲线1C 的方程为()2231x y -+=，曲线2C 的方程为221x y +=，所以它们均表示圆，圆心和半径分别是()3,0,1和()0,0,1.又易知两圆相离，故所求min 3111AB =--=.【18】．（1）证明：∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴ 当△ABD 折起后，,AD DC AD DB ⊥⊥． 又DB DC D ⋂=， ∴AD ⊥平面BDC ． ∵AD ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC ．（2）解：由（1）知，,,DA DB DB DC DC DA ⊥⊥⊥,1DB DA DC ===，∴AB BC CA ===从而111122DAB DBC DCA S S S ===⨯⨯=△△△， 1sin 602ABC S =︒=△∴表面积132S=⨯+=． 【19】．解：（1）将(0,4)代入C 的方程得2161b=， ∴4b =． 又35c e a ==，∴222925a b a -=，即2169125a -=， ∴5a =． ∴C 的方程为2212516x y +=． （2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为()435y x =-， 设直线与C 的交点为()11,Ax y ，()22,B x y ，将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()22312525x x -+=，即2380x x --=，解得132x =232x =， ∴AB 的中点坐标12322x x x +==，()1212266255y y y x x +==+-=-，即中点坐标为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭．注：用根与系数的关系正确求得结果，同样给分．【20】．解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．或：在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，有2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-．证法一：如图1，2aBC BC =•()()AC AB AC AB =--• 222AC AC AB AB =-+•222cos AC AC AB A AB =-+• 图1 222cos b bc A c =-+，即2222cos a b c bc A =+-．同理可证2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-． 证法二：已知△ABC 中，,,A B C 所对边分别为,,a b c ，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图2，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ． ∴2222(cos )(sin )a BCb Ac b A ==-+22222cos 2cos sin b A bc A c b A =-++222cos b c bc A =+-． 图2同理可证2222222cos ,2cos .b c a ca B c a b ab C =+-=+-【21】．解：（1）设11(,0)k k P x --，由e xy '=，得111(,e )k x k k Q x ---点处切线方程为111e e ()k k x x k y x x ----=-．由0y =，得11(2kk x x -=-≤k ≤)n ．（2）由110,1k k x x x -=-=-得，得(1)k x k =--，所以(1)e e k x k k kPQ --==． 于是，112233...n n n S PQ PQ PQ PQ =++++112(1)11e e e 1e e...e 1e e 1n nn ---------=++++==--． 【22】．解：（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人， 则用频率估计相应的概率为0.44．（2）选择1L 的有60人，选择2L 的有40人， 故由调查结果得频率为：（3）1A ，2A 分别表示甲选择1L 和2L 时，在40分钟内赶到火车站；1B ，2B 分别表示乙选择1L 和2L 时，在50分钟内赶到火车站．由（2）知12()0.10.20.30.6,()0.10.40.5P A P A =++==+=，因为12()()P A P A >，所以甲应选择1L； 12()0.10.20.30.20.8,()0.10.40.40.9P B P B =+++==++=，因为21()()P B P B >，所以乙应选择2L ． 【23】．解：（1）由题设知1()ln g x x x=+， ∴21(),x g x x-'=令()g x '=0，得x =1． 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，故(0,1)是()g x 的单调递减区间． 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，故(1,)+∞是()g x 的单调递增区间，因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1g =．（2）1ln g x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，设11()()2ln h x g x g x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，则22(1)()x h x x -'=-． 当1x =时，(1)0h =，即1()g x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，()0,(1)0h x h ''<=， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减．当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 当1,()(1)0x h x h ><=时，1()g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭即． （3）由（1）知()g x 的最小值为1，所以1()()g a g x a -<对任意0x >成立1()1,g a a ⇔-< 即ln 1,a <从而得0e a <<，即a 的取值范围为(0,e)．【End 】。

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