2011年高考数学陕西文(word版含答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
文科数学
【选择题】
【1】．设a,b 是向量，命题“若=-a b ，则||||=a b ”的逆命题是（ ）． （A ）若≠-a b ，则||||≠a b （B ）若=-a b ，则||||≠a b
（C ）若||||≠a b ，则≠-a b
（D ）若||||=a b ，则=-a b
【2】．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（ ）．
（A ）2
8y
x =- （B ）2
4y
x =- （C ）2
8y
x = （D ）2
4y
x =
【3】．设0a b <<，则下列不等式中正确的是（ ）．
（A ）2a b
a b +<<
（B ）2a b
a b +<
<
<
（C ）2
a b
a b +<<<
（D 2
a b
a b +<< 【4】．函数
1
3
y x =的图像是（ ）
．
（A ） （B ） （C ） （D ）
【5】．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）．
（A ）2π
83-
（B ）π
83
-
（C ）82π-
（D ）2π3
【6】．方程cos x x =在(),-∞+∞内（ ）
．
（A ）没有根
（B ）有且仅有一个根 （C ）有且仅有两个根
（D ）有无穷多个根
【7】．如下框图，当126,9,x x ==8.5p =时，3x 等于（ ）
．
（A ）7 （B ）8 （C ）10
（D ）11
【8】．设集合22{||cos sin |,},{||
|1,i }i
x
M y y x x x N x x ==-∈=<∈R R 为虚数单位，，则M N ⋂为( ). （A ）(0,1)
（B ）(0,1] （C ）[0,1)
（D ）[0,1]
【9】．设1122(,),(,)x y x y ，…，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）．
（A ）直线l 过点(,)x y
（B ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 （C ）x 和y 的相关系数在0到1之间
（D ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同
【10】．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（ ）．
（A ）1◯和20◯ （B ）9◯和10◯ （C ）9◯和11◯ (D) 10◯
和11◯ 【填空题】
【11】．设lg ,0,()10,0,
x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则((2))f f -=______．
【12】．如图，点(,)x y 在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x y -的最小值为________．
【13】．观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
照此规律，第五个等式应为__________________．
【14】．设n +∈N ,一元二次方程2
40x x n -+=有整数．．根的充要条件是n =_____． 【15】．（选做题）若不等式
12x x ++-≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________．
【16】．（选做题）如图，,,90B D AE BC ACD ∠=∠⊥∠=︒，且6,4,12AB AC AD ===，则AE = ．
【17】．（选做题）直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点,A B 分
别在曲线13cos sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩
，
：（θ为参数）和曲线21C ρ=：上，则AB 的最小值为 ．
【解答题】
【18】．如图，在△ABC 中，45,90,ABC BAC AD ∠=︒∠=︒是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使90BDC ∠=︒ ．
（1）证明：平面ADB ⊥平面BDC ； （2）设1BD =，求三棱锥D ABC -的表面积．
【19】．设椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>过点(0,4)，离心率为35．
（1）求C 的方程； （2）求过点(3,0)且斜率为
4
5
的直线被C 所截线段的中点坐标． 【20】．叙述并证明余弦定理．
【21】．如图，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线e x y =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于
点2P ．再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P
，2Q ；…；n P ，n Q ，记k P 点的坐标为(,0)(1,2,
,)k x k n =．
（1）试求k x 与1k x -的关系(2≤k ≤)n ； （2）求112233n n PQ PQ PQ PQ ++++．
【22】．如图，A 地到火车站共有两条路径1L 和2L ，现随机抽取100位从A 地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
（1）试估计40分钟内不能．．
赶到火车站的概率； （2）分别求通过路径1L 和2L 所用时间落在上表中各时间段内的频率；
（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
【23】．设()ln ,()()()f x x g x f x f x '==+． （1）求()g x 的单调区间和最小值；
（2）讨论()g x 与1g x ⎛⎫
⎪⎝⎭
的大小关系； （3）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1
a
对任意x ＞0成立．
【参考答案】 【1】．D
提示：结合命题与逆命题的结构特点，即知选项（D ）正确. 【2】．C
提示：依题意可设抛物线的方程为()220y px p =>，又22
p
-=-
，所以224p =⨯=，故所求抛物线的方程为28y x =.
【3】．B
提示：方法一：因为0a b <<，a <，22
a b b b
b ++<=，
2a b +>2
a b
a b +<<<.
方法二：取1,4a b ==，则由52,,422a b a b +====，即得2
a b
a b +<<<. 【4】．B
提示：因为幂函数的图像必经过点
()1,1，所以选项（A ）
（D ）错误.又1
3
111
828⎛
⎫=> ⎪⎝⎭
，故由此判断即知选项（C ）错误，选项（B ）正确. 【5】．A
提示：由三视图知，对应几何体是这样的：在棱长为2的正方体中挖去一个倒放的圆锥（高为2，底面圆半径为1）.故所求体积为()3
212212833
V π
π=-⨯⨯⨯=-. 【6】．C
提示：通过在同一坐标系内，分别作出函数y x =和cos y x =的图像（注意：它们都是偶函数）
，观察即知图像有且仅有两个交点．故方程cos x x =在(),-∞+∞内有且仅有两个根.
【7】．B 提示：若
3699x -<-成立，则69
8.52
p +=
=，这显然不可能．若3699x -<-不成立，则3
398.582
x p x +=
=⇒=，满足3699x -<-不成立．综上，所求38x =. 【8】．C 提示：因为
222cos sin cos 2,
1i 11i
x
x x x x x -=<⇒-<⇒<， 所以集合{|0M y =≤y ≤1}，{}
11N x x =-<<，故[)0,1M N
⋂=.
【9】．A
提示：因为线性回归直线必经过样本中心点()
,x y ，所以选项（A ）正确.注意：由图知，直线l 的斜率小于零，所以x 和y 的相关系数必小于零，但x 和y 的相关系数并不是直线l 的斜率，故选项（B ）（C ）错误.因为无论n 为奇数或偶数，所有样本点都基本集中在直线l 的附近，至于直线l 两侧的样本点的个数是否相同显然是不确定的，故选项（D ）错误. 【10】．D
提示：设开始时树苗集中在第x 个树坑旁边，则路程总和为
()()2102010110201020x x +++-++++-⎡⎤⎣⎦
()()201211220x x =++
+-+++
+-⎡⎤⎣⎦
()()()()21202120202121022x x x x x x ---⎡⎤=+=-+⎢⎥⎣⎦
.
又1,2,3,,20x =，从而易知当10x =或11x =时路程总和最小.故两个最佳坑位的编号为10◯
和11◯. 【11】．2- 提示：因为()22100f --=>，所以()()()22210lg102f f f ---===-.
【12】．1
提示：方法一：设2z x y =-，又注意到1,1AB CD k k <<，
于是平移直线l ：2y x z =-，分析即知当A l ∈时，z 取得最小值，故所求
()min 22111x y -=⨯-=.
方法二：将,,,A B C D 的坐标分别代入2x y -得11,2，显然其中1最小，故所求
2x y -的最小值为1.
【13】．567891011121381++++++++=
提示：由所给等式可知：第五个等式左边第一个加项为5，然后依次增加1，且加项个数为9（注意：加项个数的规律为1,3,5,7,）；右边是29，即81（注意：右边的规律为2
2221
,3,5,7,
）.
【14】．3或4
提示：一元二次方程2
40x x n -+=有整数根，首先要满足164n ∆=-≥0，又n +∈N ，所以
1,2,3,4n =.又由240x x n -+=变形得()2
24x n -=-，从而经检验即知3n =或4时方程根x 为整
数.故所求充要条件是3n =或4. 【15】．
(],3-∞
提示：由题设得a ≤()
min
123x x ++-=，故所求a 的取值范围是(],3-∞.
【16】．2
提示：由题设知△ABE ∽△ADC ，所以AB AD AE AC =，所以64
212
AB AC AE AD ⨯===•. 【17】．1
提示：因为曲线1C 的方程为()2231x y -+=，曲线2C 的方程为221x y +=，所以它们均表示圆，圆
心和半径分别是
()3,0,1和()0,0,1.又易知两圆相离，故所求min 3111AB =--=.
【18】．（1）证明：∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴ 当△ABD 折起后，,AD DC AD DB ⊥⊥． 又DB DC D ⋂=， ∴AD ⊥平面BDC ． ∵AD ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC ．
（2）解：由（1）知，,,DA DB DB DC DC DA ⊥⊥⊥,
1DB DA DC ===，
∴AB BC CA ===
从而111122DAB DBC DCA S S S ===
⨯⨯=△△△， 1sin 602ABC S =︒=△
∴表面积132S
=⨯+=
． 【19】．解：（1）将(0,4)代入C 的方程得
216
1b
=， ∴4b =． 又35c e a ==，∴222
9
25
a b a -=，即2169125a -=， ∴5a =． ∴C 的方程为
22
12516
x y +=． （2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为()4
35
y x =-， 设直线与C 的交点为()11,A
x y ，()22,B x y ，
将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()2
2312525
x x -+=，即2380x x --=，解得
132x =
232
x =， ∴AB 的中点坐标12322x x x +=
=，()1212266255y y y x x +==+-=-，即中点坐标为36,25⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
注：用根与系数的关系正确求得结果，同样给分．
【20】．解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．或：在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，有2
2
2
2cos a b c bc A =+-，
2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-．
证法一：如图1，
2
a
BC BC =•
()()AC AB AC AB =--• 22
2AC AC AB AB =
-+•
2
2
2cos AC AC AB A AB =-+• 图1 222cos b bc A c =-+，即2222cos a b c bc A =+-．
同理可证2
2
2
2cos b c a ca B =+-，
222
2cos c a b ab C =+-． 证法二：已知△ABC 中，,,A B C 所对边分别为,,a b c ，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立
直角坐标系，如图2，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ． ∴2
2
22(cos )(sin )a BC
b A
c b A ==-+
22222cos 2cos sin b A bc A c b A =-++
222cos b c bc A =+-． 图2
同理可证
2222
2
2
2cos ,2cos .
b c a ca B c a b ab C =+-=+-
【21】．解：（1）设11(,0)k k P x --，由e x
y '=，得1
11(,e )k x k k Q x ---点处切线方程为111e e ()k k x x k y x x ----=-．
由0y =，得11(2k
k x x -=-≤k ≤)n ．
（2）由110,1k k x x x -=-=-得，得(1)k x k =--，
所以
(1)
e e k x k k k
PQ --==． 于是，
112233...n n n S PQ PQ PQ PQ =++++112(1)
11e e e 1e e
...e 1e e 1
n n
n ---------=++++==--． 【22】．解：（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人， 则用频率估计相应的概率为0.44．
（2）选择1L 的有60人，选择2L 的有40人， 故由调查结果得频率为：
（3）1A ，2A 分别表示甲选择1L 和2L 时，在40分钟内赶到火车站；
1B ，2B 分别表示乙选择1L 和2L 时，在50分钟内赶到火车站．
由（2）知
12()0.10.20.30.6,()0.10.40.5P A P A =++==+=，
因为12()()P A P A >，所以甲应选择1L
； 12()0.10.20.30.20.8,()0.10.40.40.9P B P B =+++==++=，
因为21()()P B P B >，所以乙应选择2L ． 【23】．解：（1）由题设知1
()ln g x x x
=+， ∴21
(),x g x x
-'=
令()g x '=0，得x =1． 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，故(0,1)是()g x 的单调递减区间． 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，故(1,)+∞是()g x 的单调递增区间，
因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1g =．
（2）1ln g x x x ⎛⎫
=-+
⎪⎝⎭
，
设11()()2ln h x g x g x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，则22(1)()x h x x -'=-． 当1x =时，(1)0h =，即1()g x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
． 当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，()0,(1)0h x h ''<=， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减．
当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 当1,()(1)0x h x h ><=时，1()g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭
即． （3）由（1）知()g x 的最小值为1，所以1()()g a g x a -<
对任意0x >成立1()1,g a a ⇔-< 即ln 1,a <从而得0e a <<，即a 的取值范围为(0,e)．
【End 】。