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3.3.1抛物线及其标准方程(PPT)课件(人教版)
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1.抛物线 y=41x2 的准线方程是(
)
A.y=-1 B.y=-2
C.x=-1 D.x=-2
A 解析:因为 y=41x2⇔x2=4y,所以抛物线的准线方程是 y=
-1.
2.顶点在原点,焦点是 F(0,3)的抛物线标准方程是( ) A.y2=12x B.x2=12y C.y2=112x D.x2=112y
解: (1)由于点 M(-6,6)在第二象限, 所以过点 M 的抛物线开口向左或开口向上. 若抛物线开口向左,焦点在 x 轴上,设其方程为 y2=-2px(p>0). 将点 M(-6,6)代入,可得 36=-2p×(-6),所以 p=3. 所以抛物线的方程为 y2=-6x.
若抛物线开口向上,焦点在 y 轴上,设其方程为 x2=2py(p>0). 将点 M(-6,6)代入,可得 36=2p×6,所以 p=3, 所以抛物线的方程为 x2=6y. 综上所述,抛物线的标准方程为 y2=-6x 或 x2=6y.
3.已知动点 P(x,y)满足 (x-1)2+(y-2)2=|3x+45y-10|, 则点 P 的轨迹是( )
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 D 解析:由题意知,动点 P 到定点(1,2)和定直线 3x+4y-10 =0 的距离相等,又点(1,2)不在直线 3x+4y-10=0 上,所以点 P 的轨迹是抛物线.
1.已知抛物线 y2=4x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点, 又有点 A(3,4),则|PA|+|PF|的最小值为________.
2 5 解析:由题意可知点 A(3,4)在抛物线的外部. 因为|PA|+|PF|的最小值即为 A,F 两点间的距离,F(1,0), 所以|PA|+|PF|≥|AF|= 42+22=2 5, 即|PA|+|PF|的最小值为 2 5.
抛物线的定义及标准方程PPT课件-2024鲜版
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性质
抛物线具有对称性,其对称轴是 过焦点且垂直于准线的直线;抛 物线上任一点到焦点的距离等于 到准线的距离。
4
抛物线的焦点和准线
焦点
抛物线上所有点到焦点的距离相等的 点,用F表示。
准线
焦点和准线的位置关系
对于开口向上的抛物线,焦点在准线 的上方;对于开口向下的抛物线,焦 点在准线的下方。
抛物线上所有点到准线的距离相等的 直线,用l表示。
18
05
抛物线与相关曲线的联系与区别
2024/3/28
19
与直线的交点问题
抛物线与直线交点的 求解方法
交点在抛物线对称轴 上的特殊情况
2024/3/28
交点个数的判断及位 置关系
20
与圆的切线问题
抛物线与圆的切线求解方法
切线个数的判断及位置关系
切点在抛物线顶点处的特殊情况
2024/3/28
21
无限延伸
抛物线在两端无限延伸,且越来越 接近其对称轴。
12
抛物线的顶点、焦点和准线的性质
顶点
抛物线的顶点是抛物线上距离对 称轴最近的点,也是抛物线的最
高点或最低点。
焦点
抛物线的焦点位于对称轴上,且 距离顶点的距离等于焦距。所有 从焦点出发的光线经过抛物线反
射后平行于对称 轴且距离顶点等于焦距的直线。 所有从焦点出发的光线经过抛物
线反射后,都会与准线相交。
2024/3/28
13
抛物线的对称性和平移性质
对称性
抛物线关于其对称轴对称,即如果点P(x,y)在抛物线上,那么点P'(-x,y)也在抛物线上。
平移性质
抛物线可以通过平移变换得到新的抛物线。如果抛物线沿x轴平移a个单位,沿y轴平移b个单位,那么新的抛物线 的方程可以通过在原方程中替换x为x-a,y为y-b得到。这种平移变换不会改变抛物线的形状和开口方向,只会改 变其位置和顶点坐标。
抛物线具有对称性,其对称轴是 过焦点且垂直于准线的直线;抛 物线上任一点到焦点的距离等于 到准线的距离。
4
抛物线的焦点和准线
焦点
抛物线上所有点到焦点的距离相等的 点,用F表示。
准线
焦点和准线的位置关系
对于开口向上的抛物线,焦点在准线 的上方;对于开口向下的抛物线,焦 点在准线的下方。
抛物线上所有点到准线的距离相等的 直线,用l表示。
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05
抛物线与相关曲线的联系与区别
2024/3/28
19
与直线的交点问题
抛物线与直线交点的 求解方法
交点在抛物线对称轴 上的特殊情况
2024/3/28
交点个数的判断及位 置关系
20
与圆的切线问题
抛物线与圆的切线求解方法
切线个数的判断及位置关系
切点在抛物线顶点处的特殊情况
2024/3/28
21
无限延伸
抛物线在两端无限延伸,且越来越 接近其对称轴。
12
抛物线的顶点、焦点和准线的性质
顶点
抛物线的顶点是抛物线上距离对 称轴最近的点,也是抛物线的最
高点或最低点。
焦点
抛物线的焦点位于对称轴上,且 距离顶点的距离等于焦距。所有 从焦点出发的光线经过抛物线反
射后平行于对称 轴且距离顶点等于焦距的直线。 所有从焦点出发的光线经过抛物
线反射后,都会与准线相交。
2024/3/28
13
抛物线的对称性和平移性质
对称性
抛物线关于其对称轴对称,即如果点P(x,y)在抛物线上,那么点P'(-x,y)也在抛物线上。
平移性质
抛物线可以通过平移变换得到新的抛物线。如果抛物线沿x轴平移a个单位,沿y轴平移b个单位,那么新的抛物线 的方程可以通过在原方程中替换x为x-a,y为y-b得到。这种平移变换不会改变抛物线的形状和开口方向,只会改 变其位置和顶点坐标。
抛物线及其标准方程 课件
![抛物线及其标准方程 课件](https://img.taocdn.com/s3/m/740ba19a48649b6648d7c1c708a1284ac8500589.png)
(1)y2=-12x;(2)3x2-4y=0;(3)x=32y2;(4)y2=ax(a≠0).
思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,
求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.பைடு நூலகம்
解(1)由方程 y2=-12x 知,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半
轴上,2p=12,所以 p=6,2=3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为
解(1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴
或x轴的负半轴上.
设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0).
将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p·4或42=-2p·(-8),
解得2p=16或2p=2,
故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.
(2)因为直线 x+4y+6=0 与坐标轴的交点为(-6,0),
轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形
式;“计算”就是指根据所给的已知条件求出方程中参数p的值,从而
得到抛物线的标准方程.
2.求抛物线的标准方程时需注意以下三个问题:
(1)注意开口方向与方程间的对应关系;
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=my,这样
可以减少讨论情况的个数;
2 2 4
1
- ,0
4
,准线方程为
1
x= .
4
综上可知,当 a≠0 时,抛物线 x=-ay2 的焦点坐标为 1
线方程为 x=4.
1
,0
4
,准
纠错心得在解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程的形式,若
不是标准方程,应首先转化为标准方程,其次要注意分类讨论思想
思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,
求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.பைடு நூலகம்
解(1)由方程 y2=-12x 知,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半
轴上,2p=12,所以 p=6,2=3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为
解(1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴
或x轴的负半轴上.
设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0).
将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p·4或42=-2p·(-8),
解得2p=16或2p=2,
故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.
(2)因为直线 x+4y+6=0 与坐标轴的交点为(-6,0),
轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形
式;“计算”就是指根据所给的已知条件求出方程中参数p的值,从而
得到抛物线的标准方程.
2.求抛物线的标准方程时需注意以下三个问题:
(1)注意开口方向与方程间的对应关系;
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=my,这样
可以减少讨论情况的个数;
2 2 4
1
- ,0
4
,准线方程为
1
x= .
4
综上可知,当 a≠0 时,抛物线 x=-ay2 的焦点坐标为 1
线方程为 x=4.
1
,0
4
,准
纠错心得在解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程的形式,若
不是标准方程,应首先转化为标准方程,其次要注意分类讨论思想
3.3.1抛物线及其标准方程课件(人教版)
![3.3.1抛物线及其标准方程课件(人教版)](https://img.taocdn.com/s3/m/f4f340b0b04e852458fb770bf78a6529647d35d4.png)
抛物线的标准方程
图形
标准方程 ④ y2=2px(p>0)
焦点坐标
p 2
,0
y2=-2px(p>0)
⑤
-
p 2
,0
准线方程 x=- p
2
p
x= 2
x2=2py(p>0)
0,
p 2
p
⑥ y=-2
续表
图形
标准方程 ⑦ x2=-2py(p>0)
焦点坐标
0,-
p 2
准线方程 y= p
2
判断正误,正确的画“√” ,错误的画“ ✕” 。 1.抛物线的焦点到准线的距离是p. ( √ )
a
0,
1 4a
,准线方程是y=-
1 4a
.
抛物线的定义及应用
1.利用定义解决与抛物线有关的轨迹问题 先将几何条件转化,其关键是根据几何性质,将几何条件化为抛物线的定义:动点到定点的 距离等于到定直线的距离,且定点不在定直线上;再利用抛物线的定义写出标准方程,写标 准方程时要注意:先定性、再定量. 2.利用抛物线的定义解决抛物线的焦半径问题 (1)抛物线的定义主要用来进行抛物线上的点与焦点的距离及与准线的距离的转化,通过转 化可以求最值、参数、距离.
由抛物线的定义知,点P到准线x=
1 2
的距离|PD|等于点P到焦点F
-
1 2
,0
的距离|PF|,因此点P
到点M(0,2)的距离与点P到准线x= 1 的距离之和等于点P到点M(0,2)的距离与点P到点
2
F
-
1 2
,0
的距离之和,其最小值为点M(0,2)到点F
-
1 2
,0
的距离(当点P位于P'的位置时),即最小
3.3.1抛物线的标准方程(第二课时)课件(人教版)
![3.3.1抛物线的标准方程(第二课时)课件(人教版)](https://img.taocdn.com/s3/m/5ff6861500f69e3143323968011ca300a7c3f607.png)
3.3.1 抛物线及其标准方程
第二课时
教学目标:目录
1
掌握抛物线的定义
2
会求简单的抛物线方程
3
抛物线的定义及应用
教学重点、难点:目
录
抛物线定义及其应用
一、课前练习
1,根据下列条件分别求出抛物线的标准方程
3
1)、准线方程为 = 4,2)、经过点(3,-1)
3 2
= 2( > 0)所以 = , = 3
的距离为(
A. 2
)
B. 3
C. 4
p
分析:设A到抛物线焦点距离为d 4
2
4 1 5
D. 5
六、课堂小结
开口方向
右
左
上
下
图像
标准方程
焦半径|MF|
y 2 2 px( p 0)
y 2 2 px( p 0) x 2 2 py( p 0)
p
| MF | x0
1
1
1.若位于轴右侧的动点到( , 0)的距离比它到轴的距离大 .求点的轨迹方程.
2
2
1
2
1
2
解:由于位于轴右侧的动点到( , 0)的距离比它到轴的距离大 ,
1
2
1
2
所以动点到( , 0)的距离与它到直线: = − 的距离相等.
由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线(不包含原点),其
1)、设方程为: 2 = −2(p>0)或 2 = 2(p>0)
所以p=6,所以方程为 2 = ±12
2)解:当x 0时,y 4, 设x 2 2 py( p 0)
p 8, x 2 16 y
第二课时
教学目标:目录
1
掌握抛物线的定义
2
会求简单的抛物线方程
3
抛物线的定义及应用
教学重点、难点:目
录
抛物线定义及其应用
一、课前练习
1,根据下列条件分别求出抛物线的标准方程
3
1)、准线方程为 = 4,2)、经过点(3,-1)
3 2
= 2( > 0)所以 = , = 3
的距离为(
A. 2
)
B. 3
C. 4
p
分析:设A到抛物线焦点距离为d 4
2
4 1 5
D. 5
六、课堂小结
开口方向
右
左
上
下
图像
标准方程
焦半径|MF|
y 2 2 px( p 0)
y 2 2 px( p 0) x 2 2 py( p 0)
p
| MF | x0
1
1
1.若位于轴右侧的动点到( , 0)的距离比它到轴的距离大 .求点的轨迹方程.
2
2
1
2
1
2
解:由于位于轴右侧的动点到( , 0)的距离比它到轴的距离大 ,
1
2
1
2
所以动点到( , 0)的距离与它到直线: = − 的距离相等.
由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线(不包含原点),其
1)、设方程为: 2 = −2(p>0)或 2 = 2(p>0)
所以p=6,所以方程为 2 = ±12
2)解:当x 0时,y 4, 设x 2 2 py( p 0)
p 8, x 2 16 y
抛物线及其标准方程 课件
![抛物线及其标准方程 课件](https://img.taocdn.com/s3/m/5f7fc6201fb91a37f111f18583d049649b660edb.png)
抛物线及其标准方程
1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l距离_相__等__ 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 _焦__点__,直线l叫做抛物线的准__线___.
2.抛物线的标准ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程
图形
标准方程
焦点 坐标
准线 方程
y2= _(_2p_,__0_)_
2px(p>0)
x=-2p
y2=- 2px(p>0)
于到焦点的距离.由图可知,
P 点、(0,2)点和抛物线的焦点12,0三点共
线时距离之和最小,(3 分)
所以最小距离 d=
0-12 2+(2-0)2 =
217.(6 分)
求抛物线的标准方程
例2 求满足下列条件的抛物线的标准方 程. (1)过点(-3,2); (2)焦点在直线x-2y-4=0上.
【解】 (1)当抛物线的焦点在 x 轴上时,可设抛 物线方程为 y2=-2px(p>0),把点(-3,2)代入得 22=-2p×(-3),
∴p=23.
∴所求抛物线方程为 y2=-43x. 当抛物线的焦点在 y 轴上时, 可设抛物线方程为 x2=2py(p>0),
抛物线定义的应用
例3 (本题满分6分)已知点P是抛物线y2 =2x上的一个动点,求点P到点(0,2)的距离 与P到该抛物线准线的距离之和的最小值. 【思路点拨】 利用抛物线的定义把点P到准 线的距离转化为点P到焦点的距离,当三点共 线时最小.
【解】 由抛物线的定义可知,
抛物线上的点到准线的距离等
∵p2=4,∴p=8,∴抛物线方程为 y2=16x;
当焦点为(0,-2)时,设抛物线方程为 x2=- 2py(p>0), ∵-p2=-2,∴p=4, ∴抛物线方程为 x2=-8y, 综上,所求抛物线方程为 y2=16x 或 x2=-8y.
1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l距离_相__等__ 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 _焦__点__,直线l叫做抛物线的准__线___.
2.抛物线的标准ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程
图形
标准方程
焦点 坐标
准线 方程
y2= _(_2p_,__0_)_
2px(p>0)
x=-2p
y2=- 2px(p>0)
于到焦点的距离.由图可知,
P 点、(0,2)点和抛物线的焦点12,0三点共
线时距离之和最小,(3 分)
所以最小距离 d=
0-12 2+(2-0)2 =
217.(6 分)
求抛物线的标准方程
例2 求满足下列条件的抛物线的标准方 程. (1)过点(-3,2); (2)焦点在直线x-2y-4=0上.
【解】 (1)当抛物线的焦点在 x 轴上时,可设抛 物线方程为 y2=-2px(p>0),把点(-3,2)代入得 22=-2p×(-3),
∴p=23.
∴所求抛物线方程为 y2=-43x. 当抛物线的焦点在 y 轴上时, 可设抛物线方程为 x2=2py(p>0),
抛物线定义的应用
例3 (本题满分6分)已知点P是抛物线y2 =2x上的一个动点,求点P到点(0,2)的距离 与P到该抛物线准线的距离之和的最小值. 【思路点拨】 利用抛物线的定义把点P到准 线的距离转化为点P到焦点的距离,当三点共 线时最小.
【解】 由抛物线的定义可知,
抛物线上的点到准线的距离等
∵p2=4,∴p=8,∴抛物线方程为 y2=16x;
当焦点为(0,-2)时,设抛物线方程为 x2=- 2py(p>0), ∵-p2=-2,∴p=4, ∴抛物线方程为 x2=-8y, 综上,所求抛物线方程为 y2=16x 或 x2=-8y.
抛物线及其标准方程优秀课件
![抛物线及其标准方程优秀课件](https://img.taocdn.com/s3/m/fbcddca95ff7ba0d4a7302768e9951e79b8969f5.png)
准线位置:根据抛物线 准线的位置,可以分为 准线平行于x轴、准线 平行于y轴和准线不平 行于坐标轴三种。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程推导
抛物线的定义:一个平面曲线,它的所有点都位于一个固定点(焦点)和一条固定直 线(准线)之间。
抛物线的标准方程:y^2 = 4px,其中p是焦点到准线的距离。
抛物线的一般形式为y=ax^2+bx+c,其中a、b、c为常数,且a≠0。 单击此处添加文本具体内容,简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字, 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容,简明扼要地阐述您 的观点
抛物线的对称轴为x=-b/2a。 结论:二次函数的对称轴与抛物线的对称轴相同,都为x=-b/2a。
抛物线的准线方程
准线的定义: 抛物线上任意 一点到准线的
距离相等
准线的方程: x=-p(开口方 向为x轴正方向) 或x=p(开口 方向为x轴负方
向)
准线的性质: 准线是与抛物 线对称轴平行 的直线,离抛
物线最近
准线的作用: 利用准线方程 可以求出抛物 线上任意一点
的坐标
抛物线的解析性质
抛物线的导数与切线斜率
抛物线在建筑美学中的应用:古罗 马建筑中的抛物线元素
抛物线在建筑美学中的应用:桥梁、 隧道等交通设施中的抛物线应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
抛物线在建筑美学中的应用:现代 建筑中的抛物线设计
抛物线在建筑美学中的应用:室内 设计中的抛物线元素
物理学中的抛物线应用
光学应用:抛物线 镜面可以聚焦光线, 用于制造望远镜、 显微镜等光学仪器。
抛物线的渐近线方程
定义:抛物线与直线y=±x 的交点形成的直线
高二抛物线及其标准方程 完整版PPT课件
![高二抛物线及其标准方程 完整版PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/efa8e848ff4733687e21af45b307e87101f6f8ef.png)
抛物线的由于它在坐标 平面内的位置不同,方程也 不同,所以抛物线的标准方 程还有其它形式.
oF x
想一想:
抛物线的位置及其方程还有没有其它 的形式?
问题:仿照前面求抛物线标准方程的方法, 你能建立适当的坐标系,求下列后三幅图中 抛物线的方程吗?
(1)
(2)
F
F
l
(3)
F
l
1
焦点F( 2 , 0)
准线 x=
1 2
y2 32 x 焦点F(-8,0) 准线 x=8
是一次 项系数
1
的 4的
相反数
x2 32 y 焦点F(0,8) 准线 y= -8
x2 2 y
焦点F(0,
1 2
)
1 准线 y = 2
(课本67页练习2)求下列抛物线的焦点坐标和准 线方程
(3)2y2+5x=0
垂足为K,线段KF的中点O为原点建立直角坐 标系.
设|KF|=p(p>0), M(x,y)是抛物线上任意一点,
点M到直线
则焦点F (
pl
的距离为d
, 0), 准线l
:
x
2
p 2
y
l d .M
由抛物线定义知:|MF|=d
即: ( x p )2 y2 | x p |
2
2
K.
OF
x
x2 px p2 y2 x2 px p2 y2 2px (p>0)
4
(3)焦点到准线的距离是2;
y2=4x y2=-4x x2=4y x2=-4y
练习册P38
3.求过点A(2,4)的抛物线的标准方程
[思路探索] 求抛物线方程要先确定焦点位置,然 后设出标准方程,再根据已知求出待定系数, 若焦点位置不能确定,应分类讨论.
抛物线及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
![抛物线及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册](https://img.taocdn.com/s3/m/63c8a72f03768e9951e79b89680203d8cf2f6a73.png)
解:由题意知,抛物线 y =2x 的焦点坐标为
2
1
,0
2
,设为 F,准线为直线
1
l:x=-2.
如答图 2-3-3,过点 P 分别向直线 l1,l 作垂线,垂足分别为 Q,Q1,过点 F 向直线
l1 作垂线,垂足为 Q2,连接 PF.
由抛物线的定义知,|PQ|+|PQ1|=|PQ|+|PF|≥|FQ2|,
拉链的长度与三角板的一条直角边AB相等.将三角板的另一条直角边贴在
直线EF上,拉链的一端固定在三角板顶点B处,另一端固定在黑板上的点C
处.在拉链D处放置一支粉笔,沿着直线EF上下拖动三角板,粉笔会画出一
条曲线.
图2-3-1
(1)画出的曲线是什么形状?
提示:抛物线.
(2)|DA|是点D到直线EF的距离吗?为什么?
线方程.需注意p>0,焦点所在位置由标准方程一次项的系数确定,系数为正,
焦点在正半轴;系数为负,焦点在负半轴.
【变式训练1】 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线的
开口方向.
1
(1)y= 4 x2;
(2)x=ay2(a≠0).
解:(1)抛物线
1 2
y=4x 的标准形式为 x2=4y,则
是 y=-1.抛物线开口向上.
2
又因为准线 l 的方程为
所以点 M 到 y
1
x=-4,
3
轴的距离为2
1
4
− =
5
,故选
4
C.
答图2-3-4
(2)由已知得,
2
+
2
=
|3+4-12|
√32 +4 2
3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)
![3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)](https://img.taocdn.com/s3/m/29160a7c86c24028915f804d2b160b4e767f818b.png)
7
由图可知,当 ⊥ 时,|| + 最小,最小值为2.
7
即|| + ||的最小值为2 ,
此时P点纵坐标为2,代入2 = 2,得 = 2.
∴点P坐标为(2,2).
9.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶5米时,水面宽为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露
出水面上的部分高0.75米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?
m2
设 P ( , m ) ,则点 M
2p
p
p
,m ,
2
因为焦点 F 2 , 0 , FPM 是等边三角形,
m2 p
6
m2 27
2 p 2
.因此抛物线方程为
所以
,解得
p
3
p
p
( )2 m2 6
2 2
y2 6x .
(2)待定系数法.
若已知抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程,求出p 值即可,
若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论,
另外,焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2=ax (a ≠ 0) ,
焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2=ay (a ≠ 0).
跟踪训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程:
5.过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 ,y1 ) 、Q( x2 ,y2 ) 两点,若 x1 x2 3 p ,
则 PQ 等于( A )
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
6.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是
由图可知,当 ⊥ 时,|| + 最小,最小值为2.
7
即|| + ||的最小值为2 ,
此时P点纵坐标为2,代入2 = 2,得 = 2.
∴点P坐标为(2,2).
9.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶5米时,水面宽为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露
出水面上的部分高0.75米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?
m2
设 P ( , m ) ,则点 M
2p
p
p
,m ,
2
因为焦点 F 2 , 0 , FPM 是等边三角形,
m2 p
6
m2 27
2 p 2
.因此抛物线方程为
所以
,解得
p
3
p
p
( )2 m2 6
2 2
y2 6x .
(2)待定系数法.
若已知抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程,求出p 值即可,
若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论,
另外,焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2=ax (a ≠ 0) ,
焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2=ay (a ≠ 0).
跟踪训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程:
5.过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 ,y1 ) 、Q( x2 ,y2 ) 两点,若 x1 x2 3 p ,
则 PQ 等于( A )
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
6.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是
抛物线及其标准方程 课件
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抛物线的准线方程:
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在 x-2y-4=0 上.
思路分析:求抛物线标准方程时要先确定焦点位置,能确定焦点位
置的可设相应的标准方程,否则要分情况讨论.
解:(1)∵(-3,2)在第二象限,
∴抛物线开口向左或向上.
设所求抛物线的方程为 y2=-2px(p>0)或 x2=2p'y(p'>0),
综上所述,抛物线的标准方程为 y2=-8x 或 x2=-y.
抛物线标准方程的求解方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,是指
确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴,是正
半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形式.“计算”就是指根据
题目中的条件求出方程中参数 p 的值,从而得到抛物线的标准方程.
轴为对称轴,求抛物线的标准方程.
解:由题意知圆心为(-2,-4).
(1)当抛物线焦点在 x 轴上时,设方程为 y2=ax(a≠0),
由 16=-2a,得 a=-8.
∴标准方程为 y2=-8x.
(2)当抛物线焦点在 y 轴上时,设方程为 x2=ay(a≠0),
由 4=-4a,得 a=-1.
∴标准方程为 x2=-y.
于利用其定义解题.
1
2
1
,0
2
的距离比它到 y 轴的距
离大 .
(1)求点 M 的轨迹方程.
(2)是否存在 M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点 M 的坐
标;若不存在,请说明理由.
1
2
思路分析:动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 ,所以动点 M
1
2
到 F 的距离与它到直线 x=- 的距离相等,由抛物线定义可求得动点 M
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在 x-2y-4=0 上.
思路分析:求抛物线标准方程时要先确定焦点位置,能确定焦点位
置的可设相应的标准方程,否则要分情况讨论.
解:(1)∵(-3,2)在第二象限,
∴抛物线开口向左或向上.
设所求抛物线的方程为 y2=-2px(p>0)或 x2=2p'y(p'>0),
综上所述,抛物线的标准方程为 y2=-8x 或 x2=-y.
抛物线标准方程的求解方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,是指
确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴,是正
半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形式.“计算”就是指根据
题目中的条件求出方程中参数 p 的值,从而得到抛物线的标准方程.
轴为对称轴,求抛物线的标准方程.
解:由题意知圆心为(-2,-4).
(1)当抛物线焦点在 x 轴上时,设方程为 y2=ax(a≠0),
由 16=-2a,得 a=-8.
∴标准方程为 y2=-8x.
(2)当抛物线焦点在 y 轴上时,设方程为 x2=ay(a≠0),
由 4=-4a,得 a=-1.
∴标准方程为 x2=-y.
于利用其定义解题.
1
2
1
,0
2
的距离比它到 y 轴的距
离大 .
(1)求点 M 的轨迹方程.
(2)是否存在 M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点 M 的坐
标;若不存在,请说明理由.
1
2
思路分析:动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 ,所以动点 M
1
2
到 F 的距离与它到直线 x=- 的距离相等,由抛物线定义可求得动点 M
人教A版必修1高一数学46抛物线【课件】
![人教A版必修1高一数学46抛物线【课件】](https://img.taocdn.com/s3/m/4c302d4e0622192e453610661ed9ad51f01d54c1.png)
变式2 已知以圆的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点.过抛物线 上任意一点作直线的垂线,垂足为,则 的最大值为( )
D
A.8 B.2 C. D.1
【解析】易知抛物线的焦点为点,所以其方程为 .由得.易知抛物线的焦点为,准线方程为,如图,连接 ,则由抛物线的定义知.连接,可得,当且仅当, ,三点共线,且点在第一象限时,等号成立.故所求最大值为 .故选D.
图1
图2
归纳总结(1)过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,则以为直径的圆与准线相切;以和 为直径的圆均与轴相切.(2)求平面上动点到两定点,的距离之和的最小值时,利用,当点 在线段上时等号成立求解,即当点在线段上时,点到两定点,的距离之和最小,且最小值为 .(3)求平面上动点到两定点,的距离之差的最大值和最小值时,利用,即 ,当点在的延长线上时,左边等号成立,当点在的延长线上时,右边等号成立求解,即当点在 的延长线上时,取得最小值,且最小值为;当点在的延长线上时,取得最大值,且最大值为 .
10.[人B选必一P166练习B第4题变式,2021新高考Ⅰ卷]已知为坐标原点,抛物线的焦点为, 为上一点,与轴垂直,为轴上一点,且.若,则 的准线方程为________.
【解析】 解法一(解直角三角形法) 不妨设点在第一象限,作出图形如图所示,由题易得, ,,所以,所以,即,解得,所以的准线方程为 .
教材知识萃取
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
图形
D
A. B. C. D.
【解析】由题意,易知点不在第三、四象限,点到点的距离等于它到直线 的距离,由抛物线的定义可知,点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线,所以点的轨迹方程为 .故选D.
已知动圆圆心在抛物线上,且动圆恒与直线 相切,则此动圆必过点( )
D
A.8 B.2 C. D.1
【解析】易知抛物线的焦点为点,所以其方程为 .由得.易知抛物线的焦点为,准线方程为,如图,连接 ,则由抛物线的定义知.连接,可得,当且仅当, ,三点共线,且点在第一象限时,等号成立.故所求最大值为 .故选D.
图1
图2
归纳总结(1)过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,则以为直径的圆与准线相切;以和 为直径的圆均与轴相切.(2)求平面上动点到两定点,的距离之和的最小值时,利用,当点 在线段上时等号成立求解,即当点在线段上时,点到两定点,的距离之和最小,且最小值为 .(3)求平面上动点到两定点,的距离之差的最大值和最小值时,利用,即 ,当点在的延长线上时,左边等号成立,当点在的延长线上时,右边等号成立求解,即当点在 的延长线上时,取得最小值,且最小值为;当点在的延长线上时,取得最大值,且最大值为 .
10.[人B选必一P166练习B第4题变式,2021新高考Ⅰ卷]已知为坐标原点,抛物线的焦点为, 为上一点,与轴垂直,为轴上一点,且.若,则 的准线方程为________.
【解析】 解法一(解直角三角形法) 不妨设点在第一象限,作出图形如图所示,由题易得, ,,所以,所以,即,解得,所以的准线方程为 .
教材知识萃取
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
图形
D
A. B. C. D.
【解析】由题意,易知点不在第三、四象限,点到点的距离等于它到直线 的距离,由抛物线的定义可知,点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线,所以点的轨迹方程为 .故选D.
已知动圆圆心在抛物线上,且动圆恒与直线 相切,则此动圆必过点( )
抛物线及其标准方程 课件
![抛物线及其标准方程 课件](https://img.taocdn.com/s3/m/8cf1a98d48649b6648d7c1c708a1284ac8500580.png)
(2)方法一 ∵点(3,-4)在第四象限,∴设抛物线的标准 方程为 y2=2px (p>0)或 x2=-2p1y (p1>0).
把点(3,-4)的坐标分别代入 y2=2px 和 x2=-2p1y,
得(-4)2=2p·3,32=-2p1·(-4),
即 2p=136,2p1=94. ∴所求抛物线的标准方程为 y2=136x 或 x2=-94y.
(3)列式:由|MF|=|MH| 得 x-p2(p>0)① 就是抛物线的标准方程.
(5)从上述过程可以看到,抛物线上任意一点的坐标都满足 方程①,以方程①的解(x、y)为坐标的点到抛物线焦点的距 离与到准线的距离相等,即以方程①的解为坐标的点都在 抛物线上,这样,把方程①叫做抛物线的标准方程.
小结 求抛物线方程的主要步骤都是先定位,即根据题中 条件确定抛物线的焦点位置;后定量,即求出方程中的 p 值,从而求出方程. 常用方法有两种: (1)定义法:先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义, 进而求出方程. (2)待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件, 确定参数值.
问题 4 在抛物线定义中,条件“l 不经过点 F”去掉是否 可以? 答案 在抛物线的定义中,定点 F 不能在直线 l 上,否 则,动点 M 的轨迹就不是抛物线,而是过点 F 垂直于 直线 l 的一条直线.如到点 F(1,0)与到直线 l:x+y-1 =0 的距离相等的点的轨迹方程为 x-y-1=0,轨迹为 过点 F 且与直线 l 垂直的一条直线.
__y_2_=__2_p_x__ ___(_p_>_0_)___
__(_p2_,__0_) _
_x_=__-__p2__
_y_2_=__-__2_p_x_ ___(p_>__0_) ___
把点(3,-4)的坐标分别代入 y2=2px 和 x2=-2p1y,
得(-4)2=2p·3,32=-2p1·(-4),
即 2p=136,2p1=94. ∴所求抛物线的标准方程为 y2=136x 或 x2=-94y.
(3)列式:由|MF|=|MH| 得 x-p2(p>0)① 就是抛物线的标准方程.
(5)从上述过程可以看到,抛物线上任意一点的坐标都满足 方程①,以方程①的解(x、y)为坐标的点到抛物线焦点的距 离与到准线的距离相等,即以方程①的解为坐标的点都在 抛物线上,这样,把方程①叫做抛物线的标准方程.
小结 求抛物线方程的主要步骤都是先定位,即根据题中 条件确定抛物线的焦点位置;后定量,即求出方程中的 p 值,从而求出方程. 常用方法有两种: (1)定义法:先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义, 进而求出方程. (2)待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件, 确定参数值.
问题 4 在抛物线定义中,条件“l 不经过点 F”去掉是否 可以? 答案 在抛物线的定义中,定点 F 不能在直线 l 上,否 则,动点 M 的轨迹就不是抛物线,而是过点 F 垂直于 直线 l 的一条直线.如到点 F(1,0)与到直线 l:x+y-1 =0 的距离相等的点的轨迹方程为 x-y-1=0,轨迹为 过点 F 且与直线 l 垂直的一条直线.
__y_2_=__2_p_x__ ___(_p_>_0_)___
__(_p2_,__0_) _
_x_=__-__p2__
_y_2_=__-__2_p_x_ ___(p_>__0_) ___
抛物线及其标准方程 课件
![抛物线及其标准方程 课件](https://img.taocdn.com/s3/m/9d74e87959fb770bf78a6529647d27284b7337c6.png)
抛物线及其标准方程
(一)抛物线的定义 l
平面内与一个定点F和
N
一条定直线l 的距离相
等的点的轨迹叫做抛
物线。 (定点F不在定 直线l 上)
K
F
点F叫做抛物线的焦点,
直线l 叫做抛物线的准
线。
一条经过点F且 垂直于l 的直线
想一想:定义中当直线l 经
过定点F,则点M的轨迹是
什么?
M
l
·F ······
· N M
· O
x
K
F
想一想:p的几何意义?
设|KF|=p (p>0),那么焦点F的坐标为(
p
p 2
,0),准
线 l 的方程为x=- 2 。
设点M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到l的距离
为d=|MN|
由抛物线的定义,
| MF | d
∵
| MF |
(x p)2 y2 2
(x p )2 y2 | x p |
(二)抛物线的标准方程
l
· N M ·F
想一想:求抛物线方程时该如何 建立直角坐标系?
y
y=ax2
y=axy2=+acx2+bx+c
oxBiblioteka 思考: 抛物线是一个怎样 的对称图形?
求抛物线的方程
y
为什么? l
如图所示,以经过点F且垂直 于l 的直线为x轴, x轴与直线l 交于点K,与抛物线交于点O, 则O是线段KF的中点,以O为 原点,建立直角坐标系。
2
2
d | x p | 2
化简后得 :
y
l
· N M
· O
x
K
F
y2 2 px
(一)抛物线的定义 l
平面内与一个定点F和
N
一条定直线l 的距离相
等的点的轨迹叫做抛
物线。 (定点F不在定 直线l 上)
K
F
点F叫做抛物线的焦点,
直线l 叫做抛物线的准
线。
一条经过点F且 垂直于l 的直线
想一想:定义中当直线l 经
过定点F,则点M的轨迹是
什么?
M
l
·F ······
· N M
· O
x
K
F
想一想:p的几何意义?
设|KF|=p (p>0),那么焦点F的坐标为(
p
p 2
,0),准
线 l 的方程为x=- 2 。
设点M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到l的距离
为d=|MN|
由抛物线的定义,
| MF | d
∵
| MF |
(x p)2 y2 2
(x p )2 y2 | x p |
(二)抛物线的标准方程
l
· N M ·F
想一想:求抛物线方程时该如何 建立直角坐标系?
y
y=ax2
y=axy2=+acx2+bx+c
oxBiblioteka 思考: 抛物线是一个怎样 的对称图形?
求抛物线的方程
y
为什么? l
如图所示,以经过点F且垂直 于l 的直线为x轴, x轴与直线l 交于点K,与抛物线交于点O, 则O是线段KF的中点,以O为 原点,建立直角坐标系。
2
2
d | x p | 2
化简后得 :
y
l
· N M
· O
x
K
F
y2 2 px
抛物线的标准方程-(2)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
![抛物线的标准方程-(2)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件](https://img.taocdn.com/s3/m/165246b0f9c75fbfc77da26925c52cc58bd690fd.png)
注意:求抛物线旳焦点
一定要先把抛物线化为
(3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0
原则形式
焦点坐标
准线方程
(1) (2) (3) (4)
(5,0) (0,—18) (- 5—,0)
8
(0,-2)
x= -5
y= - —1
8
x= 5—
8
y= 2
课堂练习
例2:根据下列条件,写出抛物线旳原则方程:
其他形式旳 抛物线旳焦 点与准线呢?
想一想?
﹒图象 y
开口方向 原则方程
焦点
准线
o x 向右
﹒y o x 向左 ﹒y 向上
ox
﹒y o
向下
x
抛物线旳原则方程
怎样把抛物线旳位置特 征(原则位置)和方程特 征(原则方程)统一起来?
想一想?
抛物线旳原则方程
左右 型
原则方程为
y2 =+ 2px
(p>0)
1、我们对抛物线已经有了哪些认识? 2、二次函数旳图像抛物线有 什么特征?
生活中存在着多种形式旳抛物线
抛物线旳生活实例探照灯旳灯面
简朴试验
抛物线旳定义
平面内到一种定点F和一条定直线 l(F不在l上)旳距离相等旳点旳 L
轨迹叫做抛物线。
· N M
定点F叫做抛物线旳焦点
·F
定直线l叫做抛物线旳准线。
y
解:1)设抛物线旳原则方程为
x2 =2py,把A(-2,4)代入, A
得p= 1
2
2)设抛物线旳原则方程为
O
x
y2 = -2px,把A(-2,-4)代入,
得p= 4
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的正半轴上; 如果一次项是负的,那么焦点在坐标轴
的负半轴上。
课堂新授
(3)我们以前学习的抛物线和现在学习的 抛物线的标准方程有什么联系? 二次函数y ax2 bx c的图象都是抛物线, 其中的一部分y ax2是(或可化为)抛物线 的标准方程x2 2 py。
标准方程中的y2 2 px是我们以前没学过的 抛物线,但它不是x的二次函数。
l
动画
M
N•
··F
e=1
抛物线的定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l l
的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l叫做抛物线的准线。
· d M
N
· p
k
F
说明: (1)若|MF|=d,则点M的轨迹是抛物线, 反之若点M的轨迹是抛物线,则|MF|=d。
(2)焦点到准线的距离是定值, 用p表示(p>0) .
M (x , y)
F(4,0) x
课堂练习3
例4、M是抛物线y2 = 2px(P>0)上一点,若点
M 的横坐标为X0,则点M到焦点的距离是
p
X0
+
— 2
————————————
. y M
抛物线 y 2 2 px (p.0) 上任意一点P
· N M ·x
Ko F
由定义可知,
(x p )2 y2 x p
2
2
化简得 y2 = 2px(p>0)
抛物线的标准方程
y2 = 2px(p>0)
叫做抛物线的标准方程
说 明:1、它表示抛物线的焦点在X轴
的正半轴上,
焦点F( p 2
, 0),准线l:x = -
p 2
2、其中p的几何意义是:
焦点到准线的距离。
2 x=- p
2
x轴的
y轴的
负半轴上 正半轴上
y2=-2px
F(- p ,0) 2 p
x= 2
x2=2py
p F (0, )
2 y=- p
2
y轴的 负半轴上
x2=-2py
F (0, -
p )
2
p y=
2
课堂新授
想一想:
1、椭圆,双曲线,抛物线各有几条
准线?
2。 根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形、焦点坐标、准线
例题讲解
例3、点M与点F(4,0)的距离比它到直线
l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
y
分析:如 图 可 知 原 条 件 等
价于M点到F(4,0)和到 x=-4距离相等,由抛物 线的定义,点M的轨迹是 -5 -4 以F(4,0)为焦点,x= -4为准线的抛物线.因为 p/2=4,所以p=8,所求方程是 y2=16x.
课堂新授
探究:
一条抛物线,由于它在坐标平面 内的位置不同,方程也不同,所以抛 物线的标准方程还有其它形式.
想 一 想 抛物线的标准方程还有 ? 几种不同的形式?它们是
如何建系的?
三. 四种抛物线及其它们的标准方程 课堂新授
图
形
焦点位置 x轴的 正半轴上
标准方程 y2=2px
焦点坐标 准线方程
p F ( ,0)
抛物线及其标准方程
复习
椭圆、双曲线的第二定义:
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹. (1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e>1时,是双曲线;
问题
当e=1时,它的轨迹是什么?
l M
l M
·F
F·
动画
l
M
N•
··F
0<e <1
e>1
e=1
问题
当e=1时,它的轨迹是什么?
1
准线方程是y=- 48 .
例题讲解
例2、求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程。
. 解:当抛物线的焦点在y轴
y
的正半轴上时,把A(-3,2) A
代入x2 =2py,得p= 9 4
当焦点在x轴的负半轴上时,
把A(-3,2)代入y2 = -2px,
O
x
2
得p=
∴抛物3线的标准方程为x2
=
9
y或y2 = 4 x
。
2
3
课堂练习2
已知抛物线经过点P(4,-2),求抛物线的
标准方程。
提示:注意到P为第四象限的点,所以可以设抛物线 的标准方程为y2=2px或x2=-2py
解:点P(4,2)位于第四象限,设所求方程为
y2 2 p1x或x2 2 p2 y,将x 4, y 2代入,
可得p1
1 2
,
p2
4,
所求为y2 x或x2 8y
y2 =4x、 y2 = -4x、 x2已知抛物线的标准方程是(1)y2 =12x、(2)y= 12x2 求它们的焦点坐标和准线方程;
解(:1)p=6,焦点坐标是(3,0)准线方程是
x=-3.
(2)先化为标准方程 x 2
1y 12
,p
1 24
,
1
焦点坐标是(0,48 ),
y
1. 24
(3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求
它的标准方程。
解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准 方程为:x 2= - 8y
课堂练习1
1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是F(3,0);
y2 =12x
(2)准线方程 是 x
=
1 4
;
y2 =x
(3)焦点到准线的距离是2。
y=ax2+bx+c
x
思考: 抛物
线是一个怎样 的对称图形?
回忆一下,看看上面的方程哪一种简单, 为什么会简单?启发我们怎样建立坐标系?
1、标准方程的推导
课堂新授
取过焦点F且垂直于准线l的直线为 l y
x轴,线段KF的中垂线 为y轴
设︱KF︱= p
p 则F( 2
,0),l:x = -
p 2
设点M的坐标为(x,y),
下面由定义求方程 想 一 想
••••••
l
· d M
N
· k p
F
如何建立适当的直角 坐标系?
课堂新授
二、标准方程的推导
l
步骤:
(1)建系 (2)设点
· N M ·F
(3)列式
(4)化简
(5)证明
1.求曲线方程的
想 一
基本步骤是怎样 的?
想
?
课堂新授
y
o
y=ax2 y=ax2+c
l
· N M ·F
例题讲解
例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x,
求准解它线:方的因程焦为为点xp=坐-=标-32 3.和,准故线焦方点程坐;标为(-32,0) (2)已知抛物线的方程是y = -6x2,求它的焦
点坐标和准线方程;
解:方程可化为: x2 1 y, 故焦点坐标
为
(0,
1) 24
6
,准线方程为
方程的应关系,如何判断抛物线的焦点 位置,开口方向?
归纳:
根据抛物线的标准方程判断焦点的位置:
(1)先看一次项,判断焦点在X轴还是Y轴上. 如果一次项是X项,那么焦点在X轴; 如果一次项是Y项,那么焦点在Y轴。
(2)再看一次项的系数,判断焦点在坐标轴 的正半轴,还是负半轴. 如果一次项是正的,那么焦点在坐标轴
的负半轴上。
课堂新授
(3)我们以前学习的抛物线和现在学习的 抛物线的标准方程有什么联系? 二次函数y ax2 bx c的图象都是抛物线, 其中的一部分y ax2是(或可化为)抛物线 的标准方程x2 2 py。
标准方程中的y2 2 px是我们以前没学过的 抛物线,但它不是x的二次函数。
l
动画
M
N•
··F
e=1
抛物线的定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l l
的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l叫做抛物线的准线。
· d M
N
· p
k
F
说明: (1)若|MF|=d,则点M的轨迹是抛物线, 反之若点M的轨迹是抛物线,则|MF|=d。
(2)焦点到准线的距离是定值, 用p表示(p>0) .
M (x , y)
F(4,0) x
课堂练习3
例4、M是抛物线y2 = 2px(P>0)上一点,若点
M 的横坐标为X0,则点M到焦点的距离是
p
X0
+
— 2
————————————
. y M
抛物线 y 2 2 px (p.0) 上任意一点P
· N M ·x
Ko F
由定义可知,
(x p )2 y2 x p
2
2
化简得 y2 = 2px(p>0)
抛物线的标准方程
y2 = 2px(p>0)
叫做抛物线的标准方程
说 明:1、它表示抛物线的焦点在X轴
的正半轴上,
焦点F( p 2
, 0),准线l:x = -
p 2
2、其中p的几何意义是:
焦点到准线的距离。
2 x=- p
2
x轴的
y轴的
负半轴上 正半轴上
y2=-2px
F(- p ,0) 2 p
x= 2
x2=2py
p F (0, )
2 y=- p
2
y轴的 负半轴上
x2=-2py
F (0, -
p )
2
p y=
2
课堂新授
想一想:
1、椭圆,双曲线,抛物线各有几条
准线?
2。 根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形、焦点坐标、准线
例题讲解
例3、点M与点F(4,0)的距离比它到直线
l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
y
分析:如 图 可 知 原 条 件 等
价于M点到F(4,0)和到 x=-4距离相等,由抛物 线的定义,点M的轨迹是 -5 -4 以F(4,0)为焦点,x= -4为准线的抛物线.因为 p/2=4,所以p=8,所求方程是 y2=16x.
课堂新授
探究:
一条抛物线,由于它在坐标平面 内的位置不同,方程也不同,所以抛 物线的标准方程还有其它形式.
想 一 想 抛物线的标准方程还有 ? 几种不同的形式?它们是
如何建系的?
三. 四种抛物线及其它们的标准方程 课堂新授
图
形
焦点位置 x轴的 正半轴上
标准方程 y2=2px
焦点坐标 准线方程
p F ( ,0)
抛物线及其标准方程
复习
椭圆、双曲线的第二定义:
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹. (1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e>1时,是双曲线;
问题
当e=1时,它的轨迹是什么?
l M
l M
·F
F·
动画
l
M
N•
··F
0<e <1
e>1
e=1
问题
当e=1时,它的轨迹是什么?
1
准线方程是y=- 48 .
例题讲解
例2、求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程。
. 解:当抛物线的焦点在y轴
y
的正半轴上时,把A(-3,2) A
代入x2 =2py,得p= 9 4
当焦点在x轴的负半轴上时,
把A(-3,2)代入y2 = -2px,
O
x
2
得p=
∴抛物3线的标准方程为x2
=
9
y或y2 = 4 x
。
2
3
课堂练习2
已知抛物线经过点P(4,-2),求抛物线的
标准方程。
提示:注意到P为第四象限的点,所以可以设抛物线 的标准方程为y2=2px或x2=-2py
解:点P(4,2)位于第四象限,设所求方程为
y2 2 p1x或x2 2 p2 y,将x 4, y 2代入,
可得p1
1 2
,
p2
4,
所求为y2 x或x2 8y
y2 =4x、 y2 = -4x、 x2已知抛物线的标准方程是(1)y2 =12x、(2)y= 12x2 求它们的焦点坐标和准线方程;
解(:1)p=6,焦点坐标是(3,0)准线方程是
x=-3.
(2)先化为标准方程 x 2
1y 12
,p
1 24
,
1
焦点坐标是(0,48 ),
y
1. 24
(3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求
它的标准方程。
解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准 方程为:x 2= - 8y
课堂练习1
1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是F(3,0);
y2 =12x
(2)准线方程 是 x
=
1 4
;
y2 =x
(3)焦点到准线的距离是2。
y=ax2+bx+c
x
思考: 抛物
线是一个怎样 的对称图形?
回忆一下,看看上面的方程哪一种简单, 为什么会简单?启发我们怎样建立坐标系?
1、标准方程的推导
课堂新授
取过焦点F且垂直于准线l的直线为 l y
x轴,线段KF的中垂线 为y轴
设︱KF︱= p
p 则F( 2
,0),l:x = -
p 2
设点M的坐标为(x,y),
下面由定义求方程 想 一 想
••••••
l
· d M
N
· k p
F
如何建立适当的直角 坐标系?
课堂新授
二、标准方程的推导
l
步骤:
(1)建系 (2)设点
· N M ·F
(3)列式
(4)化简
(5)证明
1.求曲线方程的
想 一
基本步骤是怎样 的?
想
?
课堂新授
y
o
y=ax2 y=ax2+c
l
· N M ·F
例题讲解
例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x,
求准解它线:方的因程焦为为点xp=坐-=标-32 3.和,准故线焦方点程坐;标为(-32,0) (2)已知抛物线的方程是y = -6x2,求它的焦
点坐标和准线方程;
解:方程可化为: x2 1 y, 故焦点坐标
为
(0,
1) 24
6
,准线方程为
方程的应关系,如何判断抛物线的焦点 位置,开口方向?
归纳:
根据抛物线的标准方程判断焦点的位置:
(1)先看一次项,判断焦点在X轴还是Y轴上. 如果一次项是X项,那么焦点在X轴; 如果一次项是Y项,那么焦点在Y轴。
(2)再看一次项的系数,判断焦点在坐标轴 的正半轴,还是负半轴. 如果一次项是正的,那么焦点在坐标轴