北师大版必修五 第二章 正弦定理复习 教案

正弦定理

教学目的：⑴使学生掌握正弦定理 ⑵能应用解斜三角形，解决实际问题 教学重点：正弦定理

教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用

教学过程：

一、复习引入

（1）正弦定理：C

c B b A a sin sin sin == （2）正弦定理的应用范围

①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边和角

②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角

（3）解三角形时根的个数数问题

二、新课讲解

问题1：在ABC Rt ∆中，斜边AB 是ABC ∆外接圆的直径（设ABC Rt ∆外接圆的半径为R ），因此：

R C c B b A a 2sin sin sin ===

（1） （2） （3）

这个结论对任意三角形是否成立？

问题2：在ABC Rt ∆中，090=C ，则ABC ∆的面积ab S 21=

，对任意ABC ∆，已知b a ,及C ，则ABC ∆的面积C ab S sin 21=

，你能证明这一结论吗？ 你能应用公式B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===

推导正弦定理吗？

例1：在ABC ∆中，),(y x AB =，),(v u AC = 求证：ABC ∆的面积||21yu xv S -=

证明：A AC AB S sin ||||21⋅=

A AC A

B 222sin ||||21⋅=

)cos 1(||||21222A AC AB -⋅=

222)cos |||(|||||21A AC AB AC AB ⋅-⋅=

22)(|)||(|2

1AC AB AC AB ⋅-⋅= 因为：),(y x AB = ),(v u AC =

所以22222)())((2

1yv xu v u y x S +-++=

||21)(212yu xv yu xv -=-= 课堂练习：

1、（2010广东理数）已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3,

A+C=2B,则sinC=

解：由A +C =2B 及A + B+ C =180°知，B =60°．由正弦定理知，13sin sin 60

A =，即1sin 2A =．由a b <知，60A

B <=，则30A =]

180180306090C A B =--=--=，sin sin 901C ==

2、△ABC 中，C B A 222sin sin sin +=，则△ABC 为( A )

A 直角三角形

B 等腰直角三角形

C 等边三角形

D 等腰三角形 3、在△ABC 中，求证：2222112cos 2cos b

a b B a A -=- 证明：B b A a sin sin =⇒b B a A sin sin =⇒22)sin ()sin (b

B a A = ⇒2222sin sin b B a A =⇒222cos 12cos 1b

B a A -=- ⇒2222112cos 2cos b

a b B a A -=-

课堂小结

先由学生自己总结解题所得。

由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C

===可以看出，在边角转化时，用正弦定理形式更简单，所以在判断三角形的形状时更加常用。但在解题时要注意，对于三角形的内角，确定了它的正弦值，要分两种情况来分析。