苏教版-九年级数学一元二次方程及解法

一元二次方程

1.知识.能力聚焦

1.一元二次方程的概念

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

判断一个方程是否是一元二次方程： （1）方程是整式方程； （2）方程中只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2.

2.方法.技巧平台

2.一元二次方程的解（根）

使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）

例题1

把下列方程化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项，若方程不是一元二次方程，请说明理由。

（1）()2

2

6923x x x ++=-

（2）()()2

22127x x x --=+

例题2

下列哪些数时一元二次方程2

43x x -=-的根？ -3，-2，-1,0,1,2,3,4

3一元二次方程的判定

若方程无法确定为一元二次方程时，我们常将方程化为一般形式，并确定未知数是否只有1个，未知数最高次数为2，最高次数的项的系数为非零实数。

如

()

()2

2

112x x +=-+化为一般形式为42x =，不是一元二次方程

()()

2

2

221x x -=+化为一般形式为2

820x

x +-=是一元二次方程。

【规律】任何一个一元二次方程经过整理（去括号、去分母、移项、合并同类项）都可化成一元二次方程的一般形式。

3.创新.思维拓展

易错点1：对一元二次方程的定义理解不透

一元二次方程的定义包括三方面内容：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.这三个条件必须同时满足，缺一不可。

例 下列关于

x

的方程：①

20ax bx c ++=；②22

23x x

+

=; ③

2250

x x --=；④

2332x x -=，其中一定是一元二次方程的有（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

易错点 2：写一元二次方程的各项时易错

若要指出一元二次方程的各项，必须先把一元二次方程写成一般形式，即各项是在方程为一般形式的前提下定义的，在写时一定要注意符号问题。若二次项系数为负数，一般把方程两边都乘以 -1，化为正数。

例题4

某商品经过两次连续降价，每件销售由原来的55元降到了35元，设平均每次降价的百分率为x ，则下列方程正确的是（ ）

A.()

2

55

135x += B. ()2

35155x +=

C.

()2

55135x -= D. ()2

35155x -=

例题 5

方程2

2(817)210m

m x mx -+++=（ ） 填“是”或不是“不是”一元二次方程。

例题 6

下列方程中一元二次方程的个数是（ ）

（1）2

43x

x =； （2）()2

22310x x -+-=；

（3） 21403x x +=； （4） 20x =；

（50=； （6）()2656x x x +=

例题 7

把方程

()

()()2

153223x x x x --+=--+化成一般形式，并指出它的二次项系数、二次项、

一次项和常数项分别是 。

易错点3：判断一元二次方程时，易忽略0a ≠的条件而出现错误

一元二次方程中，二次项是必不可少的项，若方程2

0ax bx c ++=为一元二次方程，则一定要注

意0a

≠。

一元二次方程的解法

1. 知识.能力聚焦

1. 用直接开平方法解一元二次方程

用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接接开平方法。

例1 解下列方程：

（1）x 2

＝2 （2）4x 2

－1＝0

（3）x 2+6x+9=0

例2 解下列方程：

⑴（x ＋1）2

= 2 ⑵（x －1）2

－4 = 0

⑶12（3－x ）2

－3 = 0 (4) (2x-3)=(x+2)

2. 用配方法解一元二次方程

把一个一元二次方程配成

()

()2

0x a b b -=≥的形式来解一元二次方程的叫法叫做配平方。

例1、填空：

（1）x 2+6x+ =(x+ )2； (2)x 2-2x+ =(x- )2；

22

(3)x 2-5x+ =(x- )2； (4)x 2+x+ =(x+ )2； (5)x 2+px+ =(x+ )2；

例２、解下列方程：

（1） x 2－4x ＋3 = 0 （2）x 2＋3x －1 = 0

3. 用公式法解一元二次方程

对于一元二次方程

()

200ax bx c a ++=≠。当

b 2－4a

c ≥0 时，它的根

是

)240x b ac =-≥，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解

一元二次方程的方法叫做公式法。

例1．解下列方程：（公式法） ⑴ x 2

＋3x ＋2 = 0

⑵ 2 x 2

－7x = 4

（3） （4）

（5） （6）

0222

=-+x x 0122

=--x x 02122

=-

-y y 132

1

2=+t t