等差数列(教学设计)

等差数列
教学目标
1．明确等差数列的定义．
2．掌握等差数列的通项公式，会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题
3．培养学生观察、归纳能力． 教学重点
1、等差数列的概念；
2、等差数列的通项公式
教学难点
等差数列“等差”特点的理解、把握和应用
教学方法
启发式教学
(一)复习回顾
1、按一定顺序排列的一列数叫做数列
2、数列最常用的表示：通项公式 （二）新授课
引例：这些数列有什么共同特点呢？
① 1，4，7，10，13，16,… 4-1=7-4=10-7=13-10=16-13=3
② 3，0，-3，-6，-9，… 0-3=-3-0=-6-(-3)=-9-(-6)=-3
③101，102，103，10
4，… 分析后导入新课。

出示一组幻灯片举实例
教学过程——创设问题
1、这五个数列有何共同特征？
2、如何用数学语言给具有这种特征的特殊数列下定义呢？ 回答：
1、从第2项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。

2、给出概念
一、等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

（1） 定义中的关键词是什么？
（2）公差d 是哪两个数的差？
相邻两项后项与前项之差
例1、判断下列数列是否是等差数列? 如果是等差数列，说出公差是多少?
（1）1，2，4，6，8（不是）
（2）2，4，6，8 （ 是 ）
（3）1，-1，1，-1（不是）
（4）0, 0, 0, 0,…（ 是 ） a a a a a a a a a a n n n n d -=-==-=-=-=+-11342312...2d =0
d =
问题：如果等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，那么这个等差数列432,,a a a 如何表示？n a 呢？
（1）等差数列的通项公式(求法一——迭代法)
根据等差数列的定义可得：
d a a =-12 ，d a a =-23，d a a =-34，…
所以： d a a +=12，
()32112a a d a d d a d =+=++=+，
()431123a a d a d d a d =+=++=+，
猜想： 514a a d =+，
……
由此猜想:d n a a n )1(1-+=，
因此等差数列的通项公式就是: d n a a n )1(1-+=，*N n ∈
注：需要特别强调的是在求432,,a a a 的过程中采用了迭代法，由猜想归纳
出n a 的通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，
没有说服力，完整的方法——数学归纳法将在以后学习.所以下面我们引入第
二种方法（累加法）来证明等差数列的通项公式是d n a a n )1(1-+=，
*N n ∈ （2）等差数列的通项公式(求法二——迭加法)
根据等差数列的定义可得：
（6）-5，-4，-3 （不是）
1d =（5）
1,（ 是 ）
d a a =-12
d a a =-23
d a a =-23
…… ()1-n 个式子相加
12n n a a d ---=
1n n a a d --=
将以上1=n 个式子累加得等差数列的通项公式就是:
d n a a n )1(1-+=，*2N n n ∈≥且
当1=n 时也满足上述式子，所以：
等差数列的通项公式就是: d n a a n )1(1-+=，*N n ∈
二、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=
例2 、 在等差数列｛an ｝中，
（1）已知a1=2,d=3,n=10,求
（2）已知a1=3,an=21,d=2,求 （3）已知a1=12,a6=27,求 （4）已知d=-2,a7=8,求 解：（1）a10=a1+9d=2+9×3=29
（2）21=3+(n-1)×2 ∴ n=10
（3）a6=a1+5d,即27=12+5d ∴d=3
（4）a7=a1+6d 8=a1+6×(-2) ∴a1=20
注：等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ，an , a1 , n ,d 这四个变量 ，知道其中三个量就可以求余下的一个量.
例3、 n a n
d
1
a {}。

和通项公差求首项已知中等差数列n n a d a a a a ,,
19,10,174==
解:
两式作差：
结论：由等差数列的两项就可以确定这个数列。

思考： 由等差数列的通项公式知
两式作差得：
即
此为等差数列的通项公式的变形公式：
练习：
解：
例4、梯子的最高一级宽 33 cm ，最低一级宽110cm ，中间还有10 级，各级的宽度成等差数列。

计算中间各 级的宽度。

解：由题得
10
314=+=d a a 19617=+=d a a 9
3=d 3=d 11=a 233)1(1-=⨯-+=n n a n {}有何关系？
且与则
中，公差为已知等差数列),(,m n N m n a a d a m n n >∈+d
n a a n )1(1-+=d m a a m )1(1-+=d m n a a m n )(-=-d m n a a m n )(-+=),()(m n N m n d m n a a m n >∈-+=+且{}。

和通项求公差已知中等差数列
n n a d a a a ,19,10,74==33
10194747=-=--=a a d 233)4(10)4(4-=⨯-+=-+=n n d
n a n a 12,110,33121===n a a d a a )112(112-+=7=d
小结：1、等差数列的概念：（定义式） 或
2、等差数列的通项公式：
（不完全归纳法、累加法证明）
变形式：
课后思考：
1. 若在a,b 中插入一个数A, 使得a,A,b 成等差,则A 等于多少? 1n n a a d n N *+-=∈（）1(2,n n a a d n n N *--=≥∈）
33 110 .
103,96,89,82,
75,68,61,54,
47740,40733111098765432=========+==+=a a a a a a a a a a ()+∈-+=N n d n a a n )1(1),()(m n N m n d
m n a a m n >∈-+=+且
作业布置
2.如果一个数列的通项公式能写成 （p,q 是常数）的形式，
n a pn q
=+3. 如果一个数列是等差数列，那么该数列的通项公式能否写成
n a pn q =+必做题：
1、已知10,3,21=-==n d a
，求n a ； 2、已知
8,317=-=a d ，求1a ；
选做题： 3、某市出租车的计价标准为km /2.1元，起步价为10元，即最初的km 4（不含4千米）计费10元。

如果某人乘坐该市的出租车去往1km 4处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？。