合理放缩超越函数 巧取零点所在区间

变形 ４ ｌｎ（ｚ＋ １１≤ 或 Ｉｎ ≤ 一１．
点 ．
变 形 ５ Ｉｎ ≤ 山．— （０＞ ０１．
（上
口
一
变形 ６ Ｉｎ ≤ （０＞ ０），可 根据需要 调整 对 ０取值如 ：
Ｉｎｚ＜ ｚ，Ｉｎｚ＜２、， 等．
变 形 ７ Ｉｎ ≥ ｌ一 二 或 Ｉｎ ≥ 一 １．
２０１８年 第 ７期 （上 ）
中学数 学研 究
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合理放缩超越 函数 巧取零 点所在 区间
安徽省岳 西 中学 （２４６６００） 储 百六
１引言
利用上 述式子 可将指 对数 函数放 缩到 简单 的多 项式 函
在 近年高考 中零 点问题 已悄然 成为了一个热 点，这类 问 数，而多项 式 函数 的零点较 容易 找到或 确定位 置，从 而容 易
（２）零点定理：若函数 ｆ（ｘ）在区间 ［。，ｂ】上是连续函数，
注 因函数 ＝ ｅ。为下 凸函数，所 以函数 ＝ ｅ 的图
且 ｆ（ａ）ｙ（ｂ）＜０，则 ｆ（ｘ）在 （ｎ，６）上至少存在一个零点．
像 在 ＝ ｏ处切线 的上方．其他 函数也 可依照其 凹凸性得
所 以在 解决此 类 问题 时，往往 先判 断函数 的单调性 ，再 出类 似的不等式，这是不等式证 明的常用 的 “切线法”．
类 问题结合 实例谈谈解决 该问题 的思路 ，以期读 者从 中得 到 启 发 ． ２问题 思路分 析
要 确定 函数 零点 所在 区 间，就 是寻 找数 ０使 ｆ（ｘｏ）＞ ０（或 ｙ（ｚｏ）＜ ０），从 而 确 定 函 数零 点 所 在 区 间 的端 点．但 是 对 于 一些 复 杂 函数 依 直 觉取 点，往往 行 不通 ，为 了 找到 符合 条 件 的 ｘｏ可 将 ｆ（ｘ）适 当 的放缩 到一 新 函数 夕（ ），使 ｆ（ｘ）≥ （ ）（或 ｆ（ｘ）≤ｇ（ ）），再求出 （ ）的零点 ＸＯ，从而 找到符合条件 的区间端点 ．
由零点 定理取点找 出零 点所在 的区间．判断函数Βιβλιοθήκη Baidu调性对 多
证明 令 Ｆ（Ｘ）＝ｅ 一ｅ 。（Ｘ－Ｘ０）一ｅ 。，Ｆ （ ）：ｅ 一ｅ 。，
数学生而言并非难事 ，取点找零点 所在 区问总感 觉无从下手， 所 以 Ｆ（ｘ）在 （一。。，ｘｏ）为 减 函数，在 （ｘｏ，＋。。）为增 函数，
很 多答 案 的解答也是 有如神 助，从天而 降．下 面笔者 针对此 ｒ（ｘ）≥Ｆ（ｚｏ）＝０，所 以 （１）式 成立 ．
从 上述分 析可看 出解决 问题 的关键 在于找 到适 当的 函 数 ９（ｚ），函数 ｇ（ｘ）需 满足两 个条件 ：（１）零点 存在且 易求 ；（２） 不等式 ｙ（ｘ）≥＿ｑ（ｚ）（或 ．厂（ ）≤９（ｚ））已知或易于证明．那如 何找 ｇ（ｚ）呢？下面 以指对数 函数为例，探讨其 放缩 的方 法：
ｘｏ＝ ｌｎ（２ａ）得 ：ｅ ≥ ２ａ（ｘ—ｌｎ（２ａ））＋２ａ，所 以 ｆ（ｘ）＝
ｅ 一ａｘ≥ ２ａ（ｘ～ｌｎ（２ａ））＋２ａ—ａｘ＝ ａｘ一２ａＩｎ２ａ＋２ａ，
由 ａｘ ～ ２ａＩｎ２ａ 十 ２ａ ＞ ０得 ：ｘ ＞ ２Ｉｎ２ａ一 ２，取 ２ ＝
１、利用 常见不等 式 ｅ ≥ ＋ １及 其变形 变 形 １ ｅ ＞ （去 掉 １）． 变形 ２ ｅ一 ≥ 一 ＋ １（一ｚ换掉 ），特别 的当 ｚ＜ １时 有 ｅ ≤ ÷ ．
变形 ３ 当 ｚ＞ ０时，ｅ ＞ ＝，ｎ∈ ．
证明由ｅ ≥ｚ可得 ＝（ｅ署） ＞（ ）”＝筹．
类似有 ： （２）Ｖｚ，Ｘ０∈ 有 Ｉｎｚ≤ 二 （ｚ—ｚ０）＋ＩｎＸ０，证 明与上式 类似 ，此处从略． 容易看 出 （１）和 （２）是 上述 不 等式 的一般 推广，不 过用 （１）和 （２）可将 切点选在更合适 的位置 ．下面通过一些例子介 绍具体 的操作方法 ． ３例 题选 讲 例 １ 求证 ：当 ｎ＞ｅ时，函数 ｆ（ｘ１＝ｅ 一０ｚ有两个零 点 ． 分析 （１）先判断 函数 的单调性 ．因为 ．厂 （ ）： ｅ。一ｏ，由 ， ）＞ ０得 ＞ Ｉｎａ，ｌ厂 （ ）＜ ０得 ＜ Ｉｎ０，所 以 ｆ（ｘ）在 （Ｉｎ０，＋。。）为单调 递增 函数，在 （一。。，Ｉｎ０）上为单调 递减 函 数 ． （２）再 来 取 函数 零 点 所 在 区 间． 因 为 ０ ＞ ｅ，所 以 ｌ厂巾ｉ （ ）＝ ｆ（１ｎ。）＝ ａ（１一 Ｉｎ０）＜ ０，下 面 要 确 定 零 点 所 在 区间，只需在 区间 （一。。，Ｉｎ ｎ）和 （Ｉｎ ｎ，＋。。）上分别 取两个 点 Ｘｌ， ２，使得 ｆ（ｘ１），，（ ２）都 大于 ０．在 区间 （一。。，Ｉｎ０）上 容 易看 出 ０符合 题意，ｆ（０）＝ １＞ ０，于 是 ｙ（０）ｙ（１ｎ０）＜ ０， 所 以 ｙ（ｘ）的零点所在 区间为 （０，Ｉｎ０）上．再在 （Ｉｎ０，＋。。）取
题一般利用 函数 的单调性 与零 点定 理来解决 ，其理论依据是 ： 构造 出合适 的函数 ｌｑ（ ）．
（１）若函数 ｆ（ｘ）在区间 ［ｎ，ｂ］上是连续的单调函数，则函
２、切 线 法 ，以 直 代 曲
数 ｙ（ｘ）在区间 【ｎ，ｂ］上至多一个零点．
（１）对 Ｖｚ，Ｘ０∈Ｒ有 ｅ ≥ｅ 。（ —ｘｏ）＋ｅ ．
方 法 一：利 用 变 形 ３，为 了得 到 足够 大 的 ｚ２，可让 放
缩 后 的 指 数 佗 ＞ １，不 妨 取 ｎ ＝ ２得：ｅ ＞ － ７－，于 是
２
２
，（ｚ）＝ ｅ ～。 ＞ －ｉ －一０ｚ，由 一ｎｚ＝ ０得 ＝ ４ｎ＞ Ｉｎａ，
所 以 ｙ（４ａ）＞ ０，所 以 ｆ（１ｎａ）ｆ（４ａ）＜０，这样 就找到 了 ｆ（ｘ）
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中学数 学研究
２０１８年第 ７期 （上 ）
的 零 点所 在 区 １日Ｊ为 （Ｉｎ ａ，４ｎ）．
零 点 ．
法二 ：用 切 线法 ．为 了得 到 足够 大 的 ｘ２，在 切点 选 择
分析 本题若享接讨论单调性比较麻烦，可分离参数后
时要 使 切线 的斜率 比 ａ大，比如 ：２ａ，３ａ等．在 （１）式 中取