经济应用数学课件4.1定积分的概念及性质
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经济应用数学课件4.1定积分概念及性质
将区间 [ a , b ] 分成 n 个小区间，[ xi1, xi ] (i1,2,3, n)
记 xi xi xi1,m 1ian{xxi},(i1,2,3, n) 在每个小区间 [ xi1, xi ] 内任取一点 i(xi1i xi),
则乘积 f (i )xii1,2,3, ,n的总和为
(3)当 f ( x ) 在 [a, b] 有正有负时, 定积分
b
f (x)dx
a
就等于由曲线 y f(x), 直线 xa,xb 及 x
轴所围成的几个曲边梯形的面积的代数和.
y
A1
A3
a A2 0
b
A4
x
b
af(x)dxA 1A 2A 3A 4
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经济应用数学
数 f ( x ) 以及积分区间[a,b]有关而与积分变量
的选取无关.
b
b
b
af(x )d xaf(t)d t af(u )d u
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经济应用数学
（3）在定积分的定义中，我们假定a<b，为今后使用方便， 我们规定：
b
(1a )b, af(x)d x0;
b
a
(2) af(x)dx-bf(x)dx
4cosxdx 4sinxdx
0
0
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练习题
经济应用数学
一、判断题
（1）设 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，则
记 xi xi xi1,m 1ian{xxi},(i1,2,3, n) 在每个小区间 [ xi1, xi ] 内任取一点 i(xi1i xi),
则乘积 f (i )xii1,2,3, ,n的总和为
(3)当 f ( x ) 在 [a, b] 有正有负时, 定积分
b
f (x)dx
a
就等于由曲线 y f(x), 直线 xa,xb 及 x
轴所围成的几个曲边梯形的面积的代数和.
y
A1
A3
a A2 0
b
A4
x
b
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数 f ( x ) 以及积分区间[a,b]有关而与积分变量
的选取无关.
b
b
b
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（3）在定积分的定义中，我们假定a<b，为今后使用方便， 我们规定：
b
(1a )b, af(x)d x0;
b
a
(2) af(x)dx-bf(x)dx
4cosxdx 4sinxdx
0
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练习题
经济应用数学
一、判断题
（1）设 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，则
《定积分的概念》ppt课件
f
()(ba)
(ab).
性质7的几何意义：
在[a,b]上至少有 ，一使得 [a,以 b]为底边，以曲
y f (x)为曲边的曲A边a梯 B的 b形 面积等于同一
而高f为 ()的矩形的. 面积
假如函数f〔x〕在闭区间[a,b]上连续，我们
称b1aabf (x)dx
如已知某为地函某数时f自〔0x至〕2在4时[a,天b]上气的温平度均曲值线.为f(t),
曲线 f(x)f((x)0 )、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即
Aabf(x)dx.
质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a 移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即
WabF(s)ds
假如函数f〔x〕在区间[a,b]上的定积分存在， 那么称函数f〔x〕在区间[a,b]上可积.
如果在[a,b]上 f(x)0，此时由曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则
定积分ab f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形的面积A的
相反数.
假如在[a,b]上f〔x〕既可取正值又可取负值，那
么定积ab分f (x)dx 在几何上表示介于曲线y=f〔x〕，
直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.
[x0,x1],[x1,x2],,[xi1,xi],,[xn1,xn]
各个小区间的长度为
xi xi xi1
在每一个小[x区 i1,x间 i]上任取一i(点 xi 1ixi),
n
作和 (简式 称积 ) 分 f和 (i)x式 i
i1
记max{xi,x2,...,xn}，如果对[a区 ,b]间 任一分法 和小区[x间 i1,xi]上点 i任意取法，只 要0时 当，上
定积分的概念 课件
答案 相等.
梳理 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)≥0， 那么定积分ʃ baf(x)dx表示由 直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x) 所围 成的曲边梯形的面积.这就是定积分ʃ baf(x)dx的几何意义. 注意：f(x)<0(图象在x轴的下方)时，ʃ baf(x)dx<0，－ ʃ baf(x)dx等于曲边梯 形的面积.
n b－a
n
取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx＝ i＝1
n
f(ξi) ，当n→∞时，
i＝1
上述和式无限接近某个 常数 ，这个 常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定
积分，记作 ʃ baf(x)d，x 即 ʃ baf(x＝)
n f，(ξi)这里，a与b分别叫做
知识点三 定积分的性质
思考 你能根据定积分的几何意义解释 ʃ baf(x)dx＝ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx(其中 a<c<b)吗？ 答案 直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲 边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.
梳理 (1)ʃ bakf(x)dx＝ kʃ baf(x)dx (k 为常数). (2)ʃ ba[f1(x)±f2(x)]dx＝ ʃ baf1(x)dx±ʃ baf2(x)dx . (3)ʃ baf(x)dx＝ ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx (其中 a<c<b).
类型一 利用定积分的定义求定积分 例 1 利用定积分的定义，计算 ʃ 21(3x＋2)dx 的值.
类型二 利用定积分的性质求定积分
例 2 已知 ʃ10x3dx＝14，ʃ21x3dx＝145，ʃ21x2dx＝73，ʃ42x2dx＝536，求下列各式的值. (1)ʃ 20(3x3)dx； 解 ʃ 20(3x3)dx＝3ʃ 20x3dx
梳理 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)≥0， 那么定积分ʃ baf(x)dx表示由 直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x) 所围 成的曲边梯形的面积.这就是定积分ʃ baf(x)dx的几何意义. 注意：f(x)<0(图象在x轴的下方)时，ʃ baf(x)dx<0，－ ʃ baf(x)dx等于曲边梯 形的面积.
n b－a
n
取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx＝ i＝1
n
f(ξi) ，当n→∞时，
i＝1
上述和式无限接近某个 常数 ，这个 常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定
积分，记作 ʃ baf(x)d，x 即 ʃ baf(x＝)
n f，(ξi)这里，a与b分别叫做
知识点三 定积分的性质
思考 你能根据定积分的几何意义解释 ʃ baf(x)dx＝ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx(其中 a<c<b)吗？ 答案 直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲 边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.
梳理 (1)ʃ bakf(x)dx＝ kʃ baf(x)dx (k 为常数). (2)ʃ ba[f1(x)±f2(x)]dx＝ ʃ baf1(x)dx±ʃ baf2(x)dx . (3)ʃ baf(x)dx＝ ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx (其中 a<c<b).
类型一 利用定积分的定义求定积分 例 1 利用定积分的定义，计算 ʃ 21(3x＋2)dx 的值.
类型二 利用定积分的性质求定积分
例 2 已知 ʃ10x3dx＝14，ʃ21x3dx＝145，ʃ21x2dx＝73，ʃ42x2dx＝536，求下列各式的值. (1)ʃ 20(3x3)dx； 解 ʃ 20(3x3)dx＝3ʃ 20x3dx
《定积分的性质》课件
详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
函数可加性
总结词
函数可加性是指定积分具有函数可加性，即对于任意分割的两个子区间[a,c]和 [c,b]，其上的定积分之和等于整个区间[a,b]上的定积分。
定积分的几何意义
面积
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的区域面积。
体积
02
对于二维平面上的曲线，定积分表示的是面积；对于三维空间
中的曲面，定积分则表示的是体积。
物理应用
03
定积分在物理中有广泛的应用，如计算力矩、功、速度等物理量。Βιβλιοθήκη 定积分的性质线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对 每个函数进行积分后再求和或求差。
详细描述
积分第二中值定理说明了一个函数在两个闭 区间上的定积分值相等时，该函数在这两个 区间上必须满足的条件。这个定理在解决一 些等式问题时非常有用，因为它提供了一种 将两个区间的积分等式转化为函数性质的途 径。
积分第三中值定理
总结词
该定理表明如果一个函数在一个闭区间上的定积分值为零，那么该函数在该区间内至少 存在两个点，使得在这些点的函数值等于零。
详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则 ∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
03
定积分的比较性质
无穷区间上的比较性质
总结词
定积分在无穷区间上的比较性质是指，如果函数在无穷区间上的积分值与其在有限区间上的积分值相 等，则函数在无穷区间上的积分值也相等。
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
函数可加性
总结词
函数可加性是指定积分具有函数可加性，即对于任意分割的两个子区间[a,c]和 [c,b]，其上的定积分之和等于整个区间[a,b]上的定积分。
定积分的几何意义
面积
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的区域面积。
体积
02
对于二维平面上的曲线，定积分表示的是面积；对于三维空间
中的曲面，定积分则表示的是体积。
物理应用
03
定积分在物理中有广泛的应用，如计算力矩、功、速度等物理量。Βιβλιοθήκη 定积分的性质线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对 每个函数进行积分后再求和或求差。
详细描述
积分第二中值定理说明了一个函数在两个闭 区间上的定积分值相等时，该函数在这两个 区间上必须满足的条件。这个定理在解决一 些等式问题时非常有用，因为它提供了一种 将两个区间的积分等式转化为函数性质的途 径。
积分第三中值定理
总结词
该定理表明如果一个函数在一个闭区间上的定积分值为零，那么该函数在该区间内至少 存在两个点，使得在这些点的函数值等于零。
详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则 ∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
03
定积分的比较性质
无穷区间上的比较性质
总结词
定积分在无穷区间上的比较性质是指，如果函数在无穷区间上的积分值与其在有限区间上的积分值相 等，则函数在无穷区间上的积分值也相等。
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
定积分的概念及性质课件
度、磁场强度等；在弹性力学中，定积分可以用于求解应力和应变等问题。
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法， 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性 质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分，它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值， 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法， 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性 质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分，它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值， 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。
定积分概念、性质ppt课件
上例曲边图形的面积用定积分表示
S1x2d x lin m (n 1 )2 (n 1 )1
0
n 6 n 3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定：
a
f(x)d x0,
b
a
f(x)d x f(x)dx
b f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
推2 论 ：b
.
f(x)d
x
b
f（ x） dx,(ab)
a
a
因f(x)f(x)f(x)
.
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最
小值m， 于是， 由性质5有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
几何意义也很明显
性质 7（积分中值若定函理 f(数 x)） 在[a： ,b]上连续，
S曲
lim n
n i 1
S i矩
lim
n
(n
1)( 2n 6n 2
1)
1 0.333 3
.
总结：求曲边梯形面积的步骤 v
引例1——曲边梯形的面积（演示） 引例2——变速直线运动的路程
设物体的运动速度 vvt
分割区间 作和
取近似值 取极限
T1
ti-1 i ti T2 t
（1）细分区间 [ T 1 ,T 2 ] [ T 1 ,t 1 ] U [ t 1 ,t2 ] U L U [ tn 1 ,T 2 ]
曲边梯形的面积，即：
n
S曲
.
lim
n i1
定积分的概念课件
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指定积分在区间上的 值等于该区间内各小区间的定积分之和。
详细描述
定积分的区间可加性表明，对于任意两个不 相交的区间$[a, b]$和$[c, d]$，有
$int_{a}^{b}f(x)dx+int_{c}^{d}f(x)dx=int_ {a}^{d}f(x)dx$。这意味着可以将一个大区 间分割成若干个小区间，然后求各小区间的 定积分，再将它们相加，得到整个大区间的
体积计算
规则体积
对于规则的立体图形，如长方体、圆柱体、圆锥体等 ，可以直接利用定积分的值来计算其体积。例如，对 于圆柱体，其体积可以通过定积分$int_{a}^{b} 2pi r(h) dr$来计算。
曲顶体积
对于曲顶的立体图形，如球、球缺等，也可以利用定 积分来计算其体积。通过将曲顶立体分割成若干小锥 体，然后求和这些小锥体的体积，最后利用极限思想 得到整个曲顶立体的体积。
定积分的性质
02
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指定积分具有与加法和数乘运算类似的性质。
详细描述
定积分的线性性质允许我们将一个被积函数与常数相加或相乘，其结果等于将相应的常数加到或乘到 该函数的定积分上。即，对于两个函数的定积分，有$int (k_1f+k_2g) dx = k_1int f dx + k_2int g dx$，其中$k_1$和$k_2$是常数。
应用
无穷区间上的积分在解决一些实际问题时非常有用，例如 求某些物理量（如质量、面积等）的无穷累加和。
一致收敛性
定义
01
一致收敛性是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数序列在
某个区间上的一致收敛性。
定积分的性质 课件
定积分的概念之
定积分的性质
一、定积分问题举例
1.曲边梯形的面积
•曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、
y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边.
•观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时,
小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?
e 1
n n
1
1e n
n
1
n(1e n )
利用几何意义求定积分
例例22 用定积分的几何意义求01(1 x)dx .
解 函数 y1x在区间[0, 1]上的定积分是以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积.
因为以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一个 直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以
b
a
f
(x)dx
abg(x)dx
(a<b).
•推论2
|
b
a
f
(x)dx|
ab|
f
(x)|
dx
(a<b).
这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以
ab|
f
(x)|dx
b
a
f
(x)dx
ab|
f
(x) | dx
,
即
|
b
a
f
(x)dx|
ab|
f
(x)|
dx
.
•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
f(x) ———被积函数, i1
f(x)dx ——被积表达式,
x ————积分变量,
a ————积分下限,
定积分的性质
一、定积分问题举例
1.曲边梯形的面积
•曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、
y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边.
•观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时,
小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?
e 1
n n
1
1e n
n
1
n(1e n )
利用几何意义求定积分
例例22 用定积分的几何意义求01(1 x)dx .
解 函数 y1x在区间[0, 1]上的定积分是以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积.
因为以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一个 直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以
b
a
f
(x)dx
abg(x)dx
(a<b).
•推论2
|
b
a
f
(x)dx|
ab|
f
(x)|
dx
(a<b).
这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以
ab|
f
(x)|dx
b
a
f
(x)dx
ab|
f
(x) | dx
,
即
|
b
a
f
(x)dx|
ab|
f
(x)|
dx
.
•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
f(x) ———被积函数, i1
f(x)dx ——被积表达式,
x ————积分变量,
a ————积分下限,
定积分的概念 课件
被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆,
由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积,
所以
2 4 x2 dx 22 2 .
2
2
例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.
(2)
2
sinxdx;
2
y
解：在右图中，被积函数f (x) sin x
f(x)=sinx
在[ ， ]上连续，且在[ ，0]上
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
y
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa 0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
a 0
x2dx
y
f(x)=x2
y
2
sin xdx 0
2）.
sin xdx 2
2 sin xdx
0
0
0
3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y
y=x2
y y=f(x)
0 12 x
y=g(x)
0a
bx
练习4（2）:
计算积分 1 1 x2 dx 0
解：由定积分的几何意义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O a
bx
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
定积分的定义：
《定积分的概念》课件
微积分基本定理是定积分计算的核心 ，它建立了定积分与不定积分之间的 联系。
详细描述
微积分基本定理指出，一个定积分可 以用被积函数的不定积分来表示。这 个定理是计算定积分的基石，因为它 提供了一种将定积分问题转化为求不 定积分问题的途径。
பைடு நூலகம்
微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用广泛，包括计算面积、体积、速度和加速度等。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种物理量，如物体的运动速度、加速度，以及平面图形的面积 等。这些应用在科学、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法 和分部积分法等。
VS
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定 积分的方法；换元法是通过换元公式将复 杂的积分转化为简单的积分；分部积分法 则是通过将两个函数的乘积进行求导，再 利用微积分基本定理计算定积分的方法。 这些方法在解决实际问题时各有优缺点， 需要根据具体情况选择合适的方法。
通过将物体的运动轨迹分割成无数小的线段，再利用定积分计算这些线
段上的速度和加速度的积分和，可以求得物体的整体速度和加速度。
定积分在经济学中的应用
计算边际成本和边际收益
在经济学中，定积分可以用于计算边际成本和边际收益，这是通过将成本或收益函数在一定的范围内进行分割，再利 用定积分计算这些分段上的成本或收益的积分和，可以求得整体的边际成本和边际收益。
预测市场需求
通过将市场需求函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的需求函数的积分和，可以预测整体的 市场需求。
评估投资项目的风险
通过将投资项目的风险函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的风险函数的积分 和，可以评估整体的投资项目的风险。
详细描述
微积分基本定理指出，一个定积分可 以用被积函数的不定积分来表示。这 个定理是计算定积分的基石，因为它 提供了一种将定积分问题转化为求不 定积分问题的途径。
பைடு நூலகம்
微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用广泛，包括计算面积、体积、速度和加速度等。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种物理量，如物体的运动速度、加速度，以及平面图形的面积 等。这些应用在科学、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法 和分部积分法等。
VS
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定 积分的方法；换元法是通过换元公式将复 杂的积分转化为简单的积分；分部积分法 则是通过将两个函数的乘积进行求导，再 利用微积分基本定理计算定积分的方法。 这些方法在解决实际问题时各有优缺点， 需要根据具体情况选择合适的方法。
通过将物体的运动轨迹分割成无数小的线段，再利用定积分计算这些线
段上的速度和加速度的积分和，可以求得物体的整体速度和加速度。
定积分在经济学中的应用
计算边际成本和边际收益
在经济学中，定积分可以用于计算边际成本和边际收益，这是通过将成本或收益函数在一定的范围内进行分割，再利 用定积分计算这些分段上的成本或收益的积分和，可以求得整体的边际成本和边际收益。
预测市场需求
通过将市场需求函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的需求函数的积分和，可以预测整体的 市场需求。
评估投资项目的风险
通过将投资项目的风险函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的风险函数的积分 和，可以评估整体的投资项目的风险。
定积分的性质PPT课件(2024版)
例 2
估计积分
0
3
1 sin 3
dx x
的值.
解
f
(
x)
3
1 sin3
x
,
x [0, ],
0 sin3 x 1,
1 4
3
1 sin3
x
1 3
,
1dx
04
0
3
1 sin3
dx x
1dx, 03
4
0
3
1 s in3
dx x
. 3
第11页/共24页
例 3
估计积分
2
4
使
x2 t sin3
x
t
f
(t )dt
sin 3
f
()( x
2
x),
x2
3
lim t sin
x x
t
f
(t)dt
2 lim
sin 3
f
(
)
2 lim 3 f ( ) 6.
第14页/共24页
1
*例5 设 f ( x) 在[0, 1] 上可微，且满足 f (1) 2 2 xf ( x)dx ， 0
第20页/共24页
5、下列两积分的大小关系是：
（1） 1 x 2dx _____ 1 x 3dx
0
0
（2） 2 ln xdx _______ 2 (ln x)2 dx
1
1
（3）
1 e x dx _______
1
( x 1)dx
0
0
二、证明：
b
kf ( x)dx k
b f ( x)dx（ k 是常数 ）.
补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立.
经济应用数学课件4.1定积分概念及性质-文档资料35页PPT
经济应用数学课件4.1定积分概念及性 质-文档资料
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
55、 为 中 华
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
55、 为 中 华
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
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y
（2，1）
1S
o
1
x
o
1 2x
-1
19
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铃
4.1.2 定积分的性质
经济应用数学
若 f(x),g(x)在区间a,b上可积，则 f(x)g(x),
k f ( x ) 在 a , b 上也可积，且
性质1 性质2
b
b
akf(x)dxka f(x)dx
b f(x ) g (x )d xbf(x )d xbg (x )d x
设函数2定f 、(义x定4) .积在1分a 的, b 定上义有定义，用分点
a x 0 x 1 x 2 L x n 1 x n b
将区间 [ a , b ] 分成 n 个小区间，[ xi1, xi ] (i1,2,3,Ln)
记 xi xi xi1,m 1ian{xxi},(i1,2,3,Ln) 在每个小区间 [ xi1, xi ] 内任取一点 i(xi1i xi),
d
b
则 f(x)dx f(x)dx
c
a
2．利用定积分的性质，比较下列两组定积分的大小．
1
（1） x d x 与
1 x 2dx
0
0
（2） 4 c o s xd x 与 0
4 sin xdx
0
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经济应用数学
1、（1）√ （2）×
2、（1） 解 因为在区间 [ 0 , 1 ] 上有 x x 2
n
n
ssi vi ti
i1
i1
④ 取极限—化近似为精确
n
m 1ian{xti },
S
lim
0
i1
v(i
)ti
.
9
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铃
曲边梯形的面积:
n
Slim 0 i1
f(i )xi.
变速直线运动的路程:
n
Slim v( 0 i1
i )ti.
经济应用数学
10
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经济应用数学
a
就等于由曲线 y f(x), 直线 xa,xb 及 x
轴所围成的几个曲边梯形的面积的代数和.
y
A1
A3
a A2 0
b
A4
x
b
af(x)dxA 1A 2A 3A 4
17
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经济应用数学
例1.1 利用定积分的定义或几何意义判定
（1） 1xdx1x2dx 1x3dx
0
0
0
（2）若 f(x)sinx，则
经济应用数学
4.1 定积分的概念及性质
4第.14.章1 定积积分分的学概念
4.1.2 定积分的性质
1
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铃
第4章 积分学
经济应用数学
学习目标
理解原函数与不定积分的概念，熟练掌握不定积分 基本公式和基本性质，掌握求不定积分的方法．理解 定积分的概念，掌握定积分的性质，会求变上限函数 的导数，熟练掌握定积分的计算．会用定积分计算平 面图形的面积，会用定积分解决一些常见的经济问题． 理解二重积分的概念和性质，掌握二重积分在直角坐 标系和极坐标系下的计算．
x i1
xi
i
当 x i (i1,2,,n)较小时，Ai fixi(i1,2,,n)
③ 求和— 积零为整
n
当 x i (i1,2,,n)较小时，A f (i )xi i1
6
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④ 取极限—化近似为精确
令 m 1ianx{xi}, 当 0 时
n
Alim 0 i1
f(i )xi
经济应用数学
7
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（2） 变速直线运动的路程
经济应用数学
设物体作直线运动,已知速度 v v(t) 是时间段 [T1,T2 ] 上的连续函数,且 v(t) 0,计算在这段时间内物体所经过的
路程.
对匀速直线运动： 路程=速度×时间.
对变速直线运动： ① 分割—化大为小
T1
T2
t 0 t1 t2 t i1 t i tn1 tn t
过每个分点作y轴的平行线，将曲边梯形A分为n个小曲边梯形:
A i (i1,2,3Ln.)
5
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y经f(x济) 应用数学
② 近似代替—以直代曲
在小区间 [xi 1,xi](i 1 ,2 ,3 ,Ln )
LL
内任取一点 i , 以 f (i )为高作矩形,
其面积为：f (i )xi (i1,2,,n)
T 1 t0 t 1 L ti 1 ti L tn T 2 ,
ti ti ti1 (i1,2,,n)
8
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② 近似代替—以不变代变
si v(i)ti
③ 求和—积小为大
经济应用数学
T1
v( i )
T2
t 0 t 1 t 2 t i 1 i t i t n 1 t n t
一、 √ × √
经济应用数学
二、（1）积分区间，被积函数，积分变量
2
（2）正；（3） sinxdx sinxdx
0
三、
（1）
2
2xdxBA3
1
B
A
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（2） 1 1x2dxA2
0
4
经济应用数学
A
四、解：
Q m inex2 1 ,m axex2 e9 x 0,3
则乘积 f (i )xii1,2,3,L,n的总和为
n
Sn f (i )xi i1
11
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经济应用数学
若不论对区间 a , b 采取何种分法，也不论 i 在 a , b 中如何取法, 只要当 0 时， 极限
n
lim
0 i1
f (i )xi
存在，则称函数 f ( x ) 在区间 a , b 是可积的。
的选取无关.
b
b
b
af(x )d xaf(t)d t af(u )d u
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经济应用数学
（3）在定积分的定义中，我们假定a<b，为今后使用方便， 我们规定：
b
(1a )b, af(x)d x0;
b
a
(2) af(x)dx-bf(x)dx
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x — 积分变量
（2） 解
1
xdx 1x2dx
0
0
因为在区间 [ 0 , ] 上有 cosxsinx 4
4cosxdx 4sinxdx
0
0
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练习题
经济应用数学
一、判断题
（1）设 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，则
b
b
a f(x)dxa f(t)dt0
b
（2）若 f (x)dx 0 ，则 f (x) 0 a
2
f (x)dx 0
0
2 1.5
1 0.5
-2
-1
-0.5
-1
1 0.5
1
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3
4
5
6
1
2
-0.5
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例1.2 利用定积分的几何意义求
经济应用数学
1
1
0 (2x1)dx
2
(2) 0 (x1)dx
解 如图（1）
如图（2）
1 (2x 1)dx
(1
3)
1
2
0
2
y
(1,3)
2
0 (x 1)dx 0
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经济应用数学
该性质也称为积分中值定理．它的几何意义是：
至少存在一个以 [a, b] 为底，以 f ( ) 为高的矩形的
面积 f ()(ba)与以区间 [a, b] 为底，曲线 y f(x)
f (x) 0 为曲边的曲边梯形的面积相等．
24
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经济应用数学
（3）在区间 [0,2 ] 上，曲线 y sinx 和 x 轴所围成
的图形面积用定积分表示为 __________
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三、利用定积分的几何意义计算
2
(1) 2xdx 1
1
(2)
1 x2dx
0
四、证明不等式
3 3ex2dx3e9 0
经济应用数学
31
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练习题答案
b
b
a f(x)dxag(x)dx
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经济应用数学
例1.3 比较下列两个积分值的大小
（2，1）
1S
o
1
x
o
1 2x
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4.1.2 定积分的性质
经济应用数学
若 f(x),g(x)在区间a,b上可积，则 f(x)g(x),
k f ( x ) 在 a , b 上也可积，且
性质1 性质2
b
b
akf(x)dxka f(x)dx
b f(x ) g (x )d xbf(x )d xbg (x )d x
设函数2定f 、(义x定4) .积在1分a 的, b 定上义有定义，用分点
a x 0 x 1 x 2 L x n 1 x n b
将区间 [ a , b ] 分成 n 个小区间，[ xi1, xi ] (i1,2,3,Ln)
记 xi xi xi1,m 1ian{xxi},(i1,2,3,Ln) 在每个小区间 [ xi1, xi ] 内任取一点 i(xi1i xi),
d
b
则 f(x)dx f(x)dx
c
a
2．利用定积分的性质，比较下列两组定积分的大小．
1
（1） x d x 与
1 x 2dx
0
0
（2） 4 c o s xd x 与 0
4 sin xdx
0
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经济应用数学
1、（1）√ （2）×
2、（1） 解 因为在区间 [ 0 , 1 ] 上有 x x 2
n
n
ssi vi ti
i1
i1
④ 取极限—化近似为精确
n
m 1ian{xti },
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0
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v(i
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曲边梯形的面积:
n
Slim 0 i1
f(i )xi.
变速直线运动的路程:
n
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i )ti.
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a
就等于由曲线 y f(x), 直线 xa,xb 及 x
轴所围成的几个曲边梯形的面积的代数和.
y
A1
A3
a A2 0
b
A4
x
b
af(x)dxA 1A 2A 3A 4
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经济应用数学
例1.1 利用定积分的定义或几何意义判定
（1） 1xdx1x2dx 1x3dx
0
0
0
（2）若 f(x)sinx，则
经济应用数学
4.1 定积分的概念及性质
4第.14.章1 定积积分分的学概念
4.1.2 定积分的性质
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第4章 积分学
经济应用数学
学习目标
理解原函数与不定积分的概念，熟练掌握不定积分 基本公式和基本性质，掌握求不定积分的方法．理解 定积分的概念，掌握定积分的性质，会求变上限函数 的导数，熟练掌握定积分的计算．会用定积分计算平 面图形的面积，会用定积分解决一些常见的经济问题． 理解二重积分的概念和性质，掌握二重积分在直角坐 标系和极坐标系下的计算．
x i1
xi
i
当 x i (i1,2,,n)较小时，Ai fixi(i1,2,,n)
③ 求和— 积零为整
n
当 x i (i1,2,,n)较小时，A f (i )xi i1
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④ 取极限—化近似为精确
令 m 1ianx{xi}, 当 0 时
n
Alim 0 i1
f(i )xi
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（2） 变速直线运动的路程
经济应用数学
设物体作直线运动,已知速度 v v(t) 是时间段 [T1,T2 ] 上的连续函数,且 v(t) 0,计算在这段时间内物体所经过的
路程.
对匀速直线运动： 路程=速度×时间.
对变速直线运动： ① 分割—化大为小
T1
T2
t 0 t1 t2 t i1 t i tn1 tn t
过每个分点作y轴的平行线，将曲边梯形A分为n个小曲边梯形:
A i (i1,2,3Ln.)
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y经f(x济) 应用数学
② 近似代替—以直代曲
在小区间 [xi 1,xi](i 1 ,2 ,3 ,Ln )
LL
内任取一点 i , 以 f (i )为高作矩形,
其面积为：f (i )xi (i1,2,,n)
T 1 t0 t 1 L ti 1 ti L tn T 2 ,
ti ti ti1 (i1,2,,n)
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② 近似代替—以不变代变
si v(i)ti
③ 求和—积小为大
经济应用数学
T1
v( i )
T2
t 0 t 1 t 2 t i 1 i t i t n 1 t n t
一、 √ × √
经济应用数学
二、（1）积分区间，被积函数，积分变量
2
（2）正；（3） sinxdx sinxdx
0
三、
（1）
2
2xdxBA3
1
B
A
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（2） 1 1x2dxA2
0
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经济应用数学
A
四、解：
Q m inex2 1 ,m axex2 e9 x 0,3
则乘积 f (i )xii1,2,3,L,n的总和为
n
Sn f (i )xi i1
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经济应用数学
若不论对区间 a , b 采取何种分法，也不论 i 在 a , b 中如何取法, 只要当 0 时， 极限
n
lim
0 i1
f (i )xi
存在，则称函数 f ( x ) 在区间 a , b 是可积的。
的选取无关.
b
b
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（3）在定积分的定义中，我们假定a<b，为今后使用方便， 我们规定：
b
(1a )b, af(x)d x0;
b
a
(2) af(x)dx-bf(x)dx
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x — 积分变量
（2） 解
1
xdx 1x2dx
0
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因为在区间 [ 0 , ] 上有 cosxsinx 4
4cosxdx 4sinxdx
0
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练习题
经济应用数学
一、判断题
（1）设 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，则
b
b
a f(x)dxa f(t)dt0
b
（2）若 f (x)dx 0 ，则 f (x) 0 a
2
f (x)dx 0
0
2 1.5
1 0.5
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例1.2 利用定积分的几何意义求
经济应用数学
1
1
0 (2x1)dx
2
(2) 0 (x1)dx
解 如图（1）
如图（2）
1 (2x 1)dx
(1
3)
1
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2
y
(1,3)
2
0 (x 1)dx 0
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该性质也称为积分中值定理．它的几何意义是：
至少存在一个以 [a, b] 为底，以 f ( ) 为高的矩形的
面积 f ()(ba)与以区间 [a, b] 为底，曲线 y f(x)
f (x) 0 为曲边的曲边梯形的面积相等．
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（3）在区间 [0,2 ] 上，曲线 y sinx 和 x 轴所围成
的图形面积用定积分表示为 __________
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三、利用定积分的几何意义计算
2
(1) 2xdx 1
1
(2)
1 x2dx
0
四、证明不等式
3 3ex2dx3e9 0
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练习题答案
b
b
a f(x)dxag(x)dx
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经济应用数学
例1.3 比较下列两个积分值的大小