经济应用数学课件4.1定积分的概念及性质

的选取无关.
b
b
b
af(x )d xaf(t)d t af(u )d u
13
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
（3）在定积分的定义中，我们假定a<b，为今后使用方便， 我们规定：
b
(1a )b, af(x)d x0;
b
a
(2) af(x)dx-bf(x)dx
14
首页
返回
结束
上页
下页
铃
x — 积分变量
T 1 t0 t 1 L ti 1 ti L tn T 2 ,
ti ti ti1 (i1,2,,n)
8
首页
返回
结束
上页
下页
铃
② 近似代替—以不变代变
si v(i)ti
③ 求和—积小为大
经济应用数学
T1
v( i )
T2
t 0 t 1 t 2 t i 1 i t i t n 1 t n t
2
首页
返回
结束
上页
下页
铃
4.1.1 定4.积1分的定概积念分的概念及性质
经济应用数学
1、定积分问题举例
y
y f(x)
（1）曲边梯形的面积
曲边设梯y形=f的(x)定在义区间 [a,b] 上非负,o连续x.A由a 直线
B
x b
x
x=a, x=b, y=0及曲线 y=f(x) 所围成的图形称为曲边梯形.
一、 √ × √
经济应用数学
二、（1）积分区间，被积函数，积分变量
2
（2）正；（3） sinxdx sinxdx
0
三、
（1）
2
2xdxBA3
1
B
A
32
首页
返回
结束
上页
下页
铃
（2） 1 1x2dxA2
0
4
经济应用数学
A
四、解：
Q m inex2 1 ,m axex2 e9 x 0,3
a
a
a
此性质可以推广到任意有限多个函数代数和的情形．
20
首页
返回
结束
上页
下页
铃
性质3 性质4
经济应用数学
若 c为积分区间 [a , b ] 内（或外）的一点，
且下式中各个积分都存在，则有
b
c
b
af(x)d x af(x)d xcf(x)d x
b
b
a1dxa dxba
性质5 若 x [a ,b ],f(x ) g (x ),则：
（3）在区间 [0,2 ] 上，曲线 y sinx 和 x 轴所围成
的图形面积用定积分表示为 __________
30
首页
返回
结束
上页
下页
铃
三、利用定积分的几何意义计算
2
(1) 2xdx 1
1
(2)
1 x2dx
0
四、证明不等式
3 3ex2dx3e9 0
经济应用数学
31
首页
返回
结束
上页
下页
铃
练习题答案
经济应用数学
4.1 定积分的概念及性质
4第.14.章1 定积积分分的学概念
4.1.2 定积分的性质
1
首页
返回
结束
上页
下页
铃
第4章 积分学
经济应用数学
学习目标
理解原函数与不定积分的概念，熟练掌握不定积分 基本公式和基本性质，掌握求不定积分的方法．理解 定积分的概念，掌握定积分的性质，会求变上限函数 的导数，熟练掌握定积分的计算．会用定积分计算平 面图形的面积，会用定积分解决一些常见的经济问题． 理解二重积分的概念和性质，掌握二重积分在直角坐 标系和极坐标系下的计算．
y
（2，1）
1S
o
1
x
o
1 2x
-1
19
首页
返回
结束
上页
下页
铃
4.1.2 定积分的性质
经济应用数学
若 f(x),g(x)在区间a,b上可积，则 f(x)g(x),
k f ( x ) 在 a , b 上也可积，且
性质1 性质2
b
b
akf(x)dxka f(x)dx
b f(x ) g (x )d xbf(x )d xbg (x )d x
并称此极限值为函数在 a , b 上的定积分。
b
记作： f ( x )dx a
即：
b a
n
f(x)dxlim
0i1
f(i)xi
12
首页
返回
结束
上页
下页
铃
【说明】
经济应用数学
（1）定义中，区间[a,b]的划分是任意的， i 的选取
是任意的.
（2）定积分的结果是一个确定的常数.它只与积分函
数 f ( x ) 以及积分区间[a,b]有关而与积分变量
2
f (x)dx 0
0
2 1.5
1 0.5
-2
-1
-0.5
-1
1 0.5
1
2
3
4
5
6
1
2
-0.5
-1
18
首页
返回
结束
上页
下页
铃
例1.2 利用定积分的几何意义求
经济应用数学
1
1
0 (2x1)dx
2
(2) 0 (x1)dx
解 如图（1）
如图（2）
1 (2x 1)dx
(1
3)
1
2
0
2
y
(1,3)
2
0 (x 1)dx 0
d
b
则 f(x)dx f(x)dx
c
a
2．利用定积分的性质，比较下列两组定积分的大小．
1
（1） x d x 与
1 x 2dx
0
0
（2） 4 c o s xd x 与 0
4 sin xdx
0
27
首页
返回
结束
上页
下页
铃
思考题解答
经济应用数学
1、（1）√ （2）×
2、（1） 解 因为在区间 [ 0 , 1 ] 上有 x x 2
n
n
ssi vi ti
i1
i1
④ 取极限—化近似为精确
n
m 1ian{xti },
S
lim
0
i1
v(i
)ti
.
9
首页
返回
结束
上页
下页
铃
曲边梯形的面积:
n
Slim 0 i1
f(i )xi.
变速直线运动的路程:
n
Slim v( 0 i1
i )ti.
经济应用数学
10
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
b
a
f(x)dx
f()a
b
ba
称为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值.
25
首页
返回
结束
上页
下页
铃
4.1.3 小结
重点：
定积分的定义 定积分的性质
经济应用数学
26
首页
返回
结束
上页
下页
铃
思考题
经济应用数学
1．判断：
（1）若 b f (x)dx 0 ，则 f (x) 0 a
（2）若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积，且 [c,d][a,b]
a
就等于由曲线 y f(x), 直线 xa,xb 及 x
轴所围成的几个曲边梯形的面积的代数和.
y
A1
A3
a A2 0
b
A4
x
b
af(x)dxA 1A 2A 3A 4
17
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
例1.1 利用定积分的定义或几何意义判定
（1） 1xdx1x2dx 1x3dx
0
0
0
（2）若 f(x)sinx，则
1
x
x
2
i
1
x
i
x
i 1 xn b
a x 0 x 1 x 2 L x i 1 x i L x n b ,
把 [a , b ] 分成 n 个小区间： x i 1 ,x i( i 1 ,2 , n ).
第 i 个小区间的长度 x i x i x i 1( i 1 ,2 , n )
b
a f ( x)dx
f ( x ) — 被积函数
经济应用数学
a — 积分下限
f ( x)dx — 被积表达式
b — 积分上限
a , b — 积分区间
n
f ( i )xi — 积分和
i1
曲边梯形的面积 变速直线运动的路程
b
S a f (x)dx
S T2 v(t )dt T1
15
首页
返回
结束
返回
结束
上页
下页
铃
性质6
经济应用数学
设 M mfa (x )x,m mfi(x n ),则
x [a,b ]
x [a,b ]
b
m (b a ) af(x )d x M (b a ) (a b ).
性质7
若函数 f ( x) 在区间[a,b]上连续，则至少存在
一点 a,b, 使得
a bf(x ) d x f()b a a b
3
2
（3） f(x)dx f(x)dx0
2
3
29
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
二、填空题
（1）定积分的值只与 ________ 及 ________ 有关， 而与 ________ 的记法无关 .
2
（2）利用定积分的几何意义可以判断出定积分 xdx 1 的符号是 ________ (“正”或“负”）
过每个分点作y轴的平行线，将曲边梯形A分为n个小曲边梯形:
A i (i1,2,3Ln.)
5
首页
返回
结束
上页
下页
铃
y经f(x济) 应用数学
② 近似代替—以直代曲
在小区间 [xi 1,xi](i 1 ,2 ,3 ,Ln )
LL
内任取一点 i , 以 f (i )为高作矩形,
其面积为：f (i )xΒιβλιοθήκη Baidu (i1,2,,n)
x i1
xi
i
当 x i (i1,2,,n)较小时，Ai fixi(i1,2,,n)
③ 求和— 积零为整
n
当 x i (i1,2,,n)较小时，A f (i )xi i1
6
首页
返回
结束
上页
下页
铃
④ 取极限—化近似为精确
令 m 1ianx{xi}, 当 0 时
n
Alim 0 i1
f(i )xi
曲线弧称为曲边,线段AB称为底边.
3
首页
返回
结束
上页
下页
铃
曲边梯形面积S的求法
（1） 分割—化整为零 （2） 近似代替—以直代曲 （3） 求和— 积零为整 （4） 取极限—化近似为精确
经济应用数学
4
首页
返回
结束
上页
下页
铃
① 分割—化整为零
经济应用数学
y f(x)
在区间 [a , b]
LL
分点：
a x0x
经济应用数学
7
首页
返回
结束
上页
下页
铃
（2） 变速直线运动的路程
经济应用数学
设物体作直线运动,已知速度 v v(t) 是时间段 [T1,T2 ] 上的连续函数,且 v(t) 0,计算在这段时间内物体所经过的
路程.
对匀速直线运动： 路程=速度×时间.
对变速直线运动： ① 分割—化大为小
T1
T2
t 0 t1 t2 t i1 t i tn1 tn t
设函数2定f 、(义x定4) .积在1分a 的, b 定上义有定义，用分点
a x 0 x 1 x 2 L x n 1 x n b
将区间 [ a , b ] 分成 n 个小区间，[ xi1, xi ] (i1,2,3,Ln)
记 xi xi xi1,m 1ian{xxi},(i1,2,3,Ln) 在每个小区间 [ xi1, xi ] 内任取一点 i(xi1i xi),
23
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
该性质也称为积分中值定理．它的几何意义是：
至少存在一个以 [a, b] 为底，以 f ( ) 为高的矩形的
面积 f ()(ba)与以区间 [a, b] 为底，曲线 y f(x)
f (x) 0 为曲边的曲边梯形的面积相等．
24
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
（2） 解
1
xdx 1x2dx
0
0
因为在区间 [ 0 , ] 上有 cosxsinx 4
4cosxdx 4sinxdx
0
0
28
首页
返回
结束
上页
下页
铃
练习题
经济应用数学
一、判断题
（1）设 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，则
b
b
a f(x)dxa f(t)dt0
b
（2）若 f (x)dx 0 ，则 f (x) 0 a
b
b
a f(x)dxag(x)dx
21
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
例1.3 比较下列两个积分值的大小
2 ln xdx 与
2 ln 2 xdx
1
1
解 因为在区间 [1,2 ] 上有 0lnx1, 故当
x[1,2]时，有 lnxln2x
由性质５得
．
2 lnxdx
2ln2xdx
1
1
22
首页
则乘积 f (i )xii1,2,3,L,n的总和为
n
Sn f (i )xi i1
11
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
若不论对区间 a , b 采取何种分法，也不论 i 在 a , b 中如何取法, 只要当 0 时， 极限
n
lim
0 i1
f (i )xi
存在，则称函数 f ( x ) 在区间 a , b 是可积的。
所以由估值不等式得：
3 3ex2dx3e9 0
33
首页
返回
结束
上页
下页
铃
上页
下页
铃
经济应用数学
3、1定积f(分x)的 几0,何意b 义f(x)dxA
a
y y f(x)
A
o xa xb x
2f(x)0,
b
af(x)dxA
y
xa xb
o
x
A
y f(x)
16
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
(3)当 f ( x ) 在 [a, b] 有正有负时, 定积分
b
f (x)dx