立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习
2024年高考数学立体几何知识点总结（2篇）
2024年高考数学立体几何知识点总结立体几何是数学中的一个重要分支，也是高考数学中的重要内容之一。
在高考中，立体几何的知识点主要包括空间几何、立体图形的面积与体积等方面。
下面是对2024年高考数学立体几何知识点的总结，供考生参考。
一、空间几何1. 空间几何中的点、线、面的概念和性质。
点是没有长度、宽度和高度的，只有位置的大小，用字母表示。
线是由一组无限多个点构成的集合，用两个点的字母表示。
面是由无限多条线构成的，这些线共面且没有相交或平行关系。
2. 空间几何中的垂直、平行等概念和性质。
两条线在同一平面内，如果相交角为90°，则称两线垂直。
两条线没有相交关系，称两线平行。
3. 点到直线的距离的计算。
点到直线的距离等于该点在直线上的正交投影点的距离。
二、立体图形的面积与体积1. 立体图形的分类和性质。
立体图形包括球体、圆柱体、圆锥体、棱柱体、棱锥体等。
各种立体图形具有不同的性质，如球体表面上每一点到球心的距离都相等。
2. 立体图形的面积计算。
（1）球体的表面积计算公式：S = 4πr²，其中r为球的半径。
（2）圆柱体的侧面积计算公式：S = 2πrh。
（3）圆柱体的全面积计算公式：S = 2πrh + 2πr²。
（4）圆锥体的侧面积计算公式：S = πrl，其中r为圆锥底面半径，l为斜高。
（5）棱柱体的侧面积计算公式：S = ph，其中p为棱柱底面周长，h为高。
3. 立体图形的体积计算。
（1）球体的体积计算公式：V = 4/3πr³，其中r为球的半径。
（2）圆柱体的体积计算公式：V = πr²h。
（3）圆锥体的体积计算公式：V = 1/3πr²h。
（4）棱柱体的体积计算公式：V = ph。
（5）棱锥体的体积计算公式：V = 1/3Bh，其中B为底面积，h 为高。
三、立体几何的一般理论1. 点、线、面的位置关系。
在空间中，点、线、面可以相互相交、平行、垂直等。
专题45 立体几何中的向量方法(二)—求空间角和距离-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)
专题45立体几何中的向量方法（二）——求空间角和距离 最新考纲1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的计算问题．2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.基础知识融会贯通1．两条异面直线所成角的求法设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则2.直线与平面所成角的求法设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝|a ·n ||a ||n |.3．求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． 【知识拓展】利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离设点A (x 1，y 1，z 1)，点B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝|AB →|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|BO →|＝|AB →·n ||n |.重点难点突破【题型一】求异面直线所成的角【典型例题】如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱） ABC ﹣A 1B 1C 1，在底面ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点． （1）求的值；（2）求证：BN ⊥平面C 1MN ．【再练一题】如图，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为（，，0），点D 在平面yOx 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°． （1）求向量的坐标．（2）求与的夹角的余弦值．思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．【题型二】求直线与平面所成的角【典型例题】如图所示，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，BC＝BA AD＝m，VA⊥平面ABCD．（1）求证：CD⊥平面VAC；（2）若VA m，求CV与平面VAD所成角的大小．【再练一题】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝2CD＝4，P A⊥CD，在锐角△P AD 中，E是边PD上一点，且AD＝PD＝3ED．（1）求证：PB∥平面ACE；（2）当P A的长为何值时，AC与平面PCD所成的角为30°？思维升华利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．【题型三】求二面角【典型例题】四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，∠P AB＝90°．（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）若直线BD与平面P AB所成角的正弦值为，求二面角C﹣P A﹣D的余弦值．【再练一题】如图在直角△ABC中，B为直角，AB＝2BC，E，F分别为AB，AC的中点，将△AEF沿EF折起，使点A 到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF⊥面BCD；（Ⅱ）若DE⊥BE，求二面角E﹣MF﹣C的余弦值．思维升华利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．【题型四】求空间距离【典型例题】四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，P A＝PB＝PD．（1）求证：PD⊥AB；（2）若AB＝6，PC＝8，E是BD的中点，求点E到平面PCD的距离．【再练一题】如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，P A＝AD＝2，M、N分别是A B．PC的中点．（1）求证：平面MND⊥平面PCD；（2）求点P到平面MND的距离．思维升华求点面距一般有以下三种方法：(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．(2)等体积法．(3)向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．基础知识训练1．【天津市部分区2019届高三联考一模】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===.（Ⅰ）求证：QB ∥平面PDC ； （Ⅱ）求二面角C PB Q −−的大小；（Ⅲ）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB ，求线段DH 的长． 2．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模)】已知正方形的边长为4,,E F 分别为,AD BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60的二面角，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF ，由,,A D E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ；（2）是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60；若存在，求此时二面角M EC F −−的余弦值，若不存在，说明理由．3．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试】如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C −−的余弦值为3，求PF 的长度. 4．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】如图，三棱柱111ABC A B C −中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AA AC CB ==，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若1A A 与平面ABC 所成的线面角为60︒，求二面角11C AB C −−的余弦值.5．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试】如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD .四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，ABD ∆是边长为1的等边三角形，M 为线段BD 中点，3BC =.(1)求证：AF BD ⊥；(2)求直线MF 与平面CDE 所成角的正弦值；(3)线段BD 上是否存在点N ，使得直线//CE 平面AFN ？若存在，求BNBD的值；若不存在，请说明理由.6．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试】如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：平面BDG ⊥平面ADG ； （2）求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值.7．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试】如图，等边三角形PAC 所在平面与梯形ABCD 所在平面互相垂直，且有AD BC ∥，2AB AD DC ===，4BC =.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ； （2）求二面角B PC D −−的余弦值.8．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)】如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，D 、E 、F 、G 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 中点.且AB AC ==，14BC AA ==.（1）求证：BC ⊥平面ADE ； （2）求二面角1G EF B −−的余弦值.9．【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测】如图，在三棱柱111ABC A B C −中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =.（1）证明：1//CB 面1A EF ；（2）若CA CB ⊥，面CAB ⊥面11ABB A ，求二面角1F A E A −−的余弦值．10．【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试】如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，EF 平面ABCD ．（1）求证：平面ACF ⊥平面BDF ；（2）若60CBA ∠=︒，求二面角A BC F −−的大小．11．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】如图，在三棱锥V ABC −中，,90,2VC AB ABC AB BC ︒<∠===，侧面ACV ⊥底面ABC ，45ACV ︒∠=，D 为线段AB 上一点，且满足AD CV =.（1）若E 为AC 的中点，求证：BE CV ⊥； （2）当DV 最小时，求二面角A BC V −−的余弦值.12．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】如图，在几何体1111ACD A B C D −中，四边形1111ADD A CDD C ，为矩形，平面11ADD A ⊥平面11CDD C ，11B A ⊥平面11ADD A ，1111,2AD CD AA A B ====，E 为棱1AA 的中点.（Ⅰ）证明：11B C ⊥平面1CC E ；（Ⅱ）求直线11B C 与平面1B CE 所成角的正弦值.13．【江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试】如图，在三棱锥P ABC −中，20{28x x −>−≥，2AB BC =，D 为线段AB 上一点，且3AD DB =，PD ⊥平面ABC ，PA 与平面ABC 所成的角为45.（1）求证:平面PAB ⊥平面PCD ；（2）求二面角P AC D −−的平面角的余弦值。
立体几何中的向量方法距离问题
n EF，n EG
2x 2y 0 2x 4 y 2Z 0
n ( 1 , 1 ,1) , BE (2, 0, 0)
33
d | n BE| 2 11 .
n
11
答:点 B 到平面 EFG 的距离为 2
11 .
11
练习(用向量法求点到面的距离):
如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60)
6 所以 | AC1 | 6
回到图形问题
这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6倍。
思考：
（2）若设AB=1，晶体相对的两个平面之间的距离是多少？
（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为 D1
求点到面的距离或两点间的距离来求解）
A1
空间“距离”问题
1. 空间两点之间的距离
利用公式
aaΒιβλιοθήκη 2或ax2 y2 z2
(其中
a
(
x,
y,
z)
)
，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点 为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
cosA1 AC
|
AA1 AA1 |
AC | AC
|
1 3
6 sinA1 AC 3
6 A1H AA1 sinA1 AC 3
∴ 所求的距离是 6 。 3
问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？
高三数学立体几何知识点归纳
高三数学立体几何知识点归纳
高三数学立体几何知识点归纳
数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
接下来由店铺为大家整理出高三数学立体几何知识点归纳，仅供参考，希望能够帮助到大家！
1、空间的距离问题
主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的.）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离（在会求距离问题之前，需要明确其位置关系，详见空间点、直线、平面的位置关系）、求距离的一般方法和步骤是：一作出表示距离的线段；二证明它就是所要求的距离；三计算其值、此外，我们还常用体积法求点到平面的距离、
2、面积和体积
柱、锥、台、球及其简单组合体等内容是立体几何的基础，也是研究空间问题的基本载体，是高考考查的重要方面，在学习中应注意这些几何体的概念、性质以及对面积、体积公式的理解和运用。
3、三视图
几何体的三视图和直观图是认知几何体的基本内容，在高考中，对这两个知识点的考查集中在两个方面，一是考查三视图与直观图的基本知识和基本的视图能力，二是根据三视图与直观图进行简单的计算，常以选择题、填空题的形式出现。
【高三数学立体几何知识点归纳】。
最新立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习
AB CD α βl知识点整理(一)平行与垂直的判断(1)平行：设,αβ的法向量分别为,u v ，则直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 线线平行l ∥m ⇔a ∥b a kb ⇔=；线面平行l ∥α⇔a u ⊥0a u ⇔⋅=； 面面平行α∥β⇔u ∥v .u kv ⇔=(2)垂直：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则 线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b 0a b ⇔⋅=；线面垂直l ⊥α⇔a ∥u a ku ⇔=； 面面垂直α⊥β⇔⊥.0=⋅⇔(二)夹角与距离的计算 注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算 (1)夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则①两直线l ,m 所成的角为θ(02πθ≤≤),cos a b a bθ⋅=；②直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a uθ⋅=；③二面角α─l ─β的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v u vθ⋅=(2)空间距离点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难, ① 点到平面的距离h :(定理)如图，设n 是是平面α的法向量，AP 是平面α的一条斜线，其中A α∈则点P 到平面α的距离 ② h =||||AP n n ⋅(实质是AP 在法向量n 方向上的投影的绝对值)③ 异面直线12,l l 间的距离d :||||CD n d AB n ⋅==(12,l l 的公垂向量为n ,C D 、分别是12,l l 上任一点).题型一：非正交基底下的夹角、距离、长度的计算例1．如图，已知二面角α-l -β的大小为1200，点A ∈α，B ∈β，AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，且AC=CD=DB=1. 求：（1）A 、B 两点间的距离；（2）求异面直线AB 和CD 的所成的角 （3）AB 与CD 的距离.解：设,,,===则,60,,90,,,1||||||00>=<>=>=<<===（1）2|AB |===∴，∴ A 、B 两点间的距离为2.（2）异面直线AB 和CD 的所成的角为600（3）设与AB 、CD 都垂直的非零向量为c z b y a x n ++=，由AB ⊥得0z 3y 2x 30)()z y x (=++⇒=++⋅++①； 由CD ⊥得0y 0)z y x (=⇒=⋅++②，令x=1，则由①、②可得z=-1，∴-=，由法则四可知，AB 与CD 的距离为21|n ||AC |n ||d ====. 小结：任何非正交基底下的证明、计算都先设基底，并将条件也用基底表示，特别证明线面平行时，如AB//平面PEF 可以将AB 有基底表示，PE ，PF 也用基底表示，最后用待定系数法μ+λ=，将λ和μ求出。
专题05 立体几何中的距离问题(解析版)
第三篇立体几何专题05 立体几何中的距离问题常见考点考点一点面、线面、面面距离典例1．如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，45ABC∠=︒，CF BC⊥，2CF BC==，PA PB=，平面PAB⊥平面ABCD，E，F分别是PD，AB中点.(1)求证：EF∥平面PBC；(2)若CE与平面PCF成角θ为30°，求点B到平面CEF的距离d.【答案】(1)证明过程见解析【解析】【分析】（1）作出辅助线，构造平行四边形，证明线线平行，进而证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.(1)取PC中点G，连接EG，BG，因为E是PD中点，所以EG是三角形PCD的中位线，所以EG∥CD且EG=12CD，又因为F是AB中点，四边形ABCD是平行四边形，所以BF∥CD，BF=12AB，故EG∥BF，EG=BF，所以四边形BFEG是平行四边形，所以EF∥BG，因为EF⊄平面PBC，BG⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC.(2)因为PA PB =，F 是AB 中点，所以PF ∥AB ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ，所以PF ∥平面ABCD ，因为CF BC ⊥，所以以F 为坐标原点，FC 所在直线为x 轴，过点F 平行于BC 的直线为y 轴，FP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，2CF BC ==，45ABC ∠=︒，则()0,0,0F ，()2,2,0B -，()2,0,0C ，()2,4,0D -，设()0,0,P m （0m >），则1,2,2m E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,2,2m CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中平面PCF 的法向量设为()0,1,0n =，则1sin 30294CE n CE n⋅︒===⋅+，解得：m=(3,CE =-，设平面CEF 的法向量为()1,,n x y z =，则1132020n CE x y n FC x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得：0x =，设1z =，则y =10,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则(110,BC n d n ⋅===变式1-1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，2CA =，侧棱12AA =，D 、E 分别是1CC 和1A B 的中点.(1)求证：平面ADE ⊥平面1A AB ； (2)求点1A 到平面ADE 的距离. 【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明1,DE A B DE AE ⊥⊥，然后可证； （2）求出法向量，然后根据点到平面的距离向量公式可得. (1)易知CA 、CB 、1CC 两两垂直，于是如图建立空间直角坐标系 则(2,0,0)A 、(0,2,0)B 、(0,0,0)C 、1(2,0,2)A 、(0,0,1)D 、(1,1,1)E所以(1,1,0)DE =、(2,0,1)DA =-、1(2,2,2)A B =--、(1,1,1)AE =-、1(1,1,1)A E =-- 因为1220DE A B ⋅=-+=，110DE AE ⋅=-+= 所以1,DE A B DE AE ⊥⊥又因为11,A B AE E A B =⊂平面1A AB ，AE ⊂平面1A AB 所以DE ⊥平面1A AB 又DE ⊂平面ADE 所以平面ADE ⊥平面1A AB(2)设平面ADE 的法向量为(,,)n x y z =则020n DE x y n DA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =得(1,1,2)n =- 则点1A 到平面ADE的距离1643n A E d n⋅===变式1-2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD⊥，2PA AB ==，在棱PD 上取点Q ，使得PB ∥平面ACQ .(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)求平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值； (3)求直线PB 到平面ACQ 的距离. 【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证得结论成立.（2）判断出Q 点的位置，建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值.（3）利用向量法求得直线PB 到平面ACQ 的距离. (1)由于平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，PA ⊂平面PAD ，PA AD ⊥，所以PA ⊥平面ABCD . (2)设AC BD O =，连接OQ ，由于//PB 平面ACQ ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面ACQ OQ =， 所以//PB OQ ，由于O 是BD 的中点，所以Q 是PD 的中点. 由于PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AD PA AB ⊥⊥，故,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，()()2,2,0,0,1,1C Q ，设平面ACQ 的法向量为(),,n x y z =，所以0220n AQ y z n AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可设()1,1,1n =--，平面ABCD 的法向量为()0,0,1m =， 平面ACQ 与平面ABCD 夹角为θ，则1cos 3m n m nθ⋅===⋅. (3)由于//PB 平面ACQ ，则PB 到平面ACQ 的距离，即B 到平面ACQ 的距离.()0,2,0BC AD ==,B 到平面ACQ 的距离为233BC n n⋅==.即直线PB 到平面ACQ .变式1-3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，2BC =，14CC =，点E 在棱1BB 上，11EB =，D ，F ，G 分别为1CC ，11B C ，11A C 的中点，EF 与1B D 相交于点H .（1）求证：1B D ⊥平面ABD ； （2）求证：平面//EGF 平面ABD ； （3）求平面EGF 与平面ABD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得1B D ⊥平面ABD . （2）利用向量法证得平面//EFG 平面ABD . （3）利用向量法求得平面EFG 与平面ABD 的距离. 【详解】（1）设AB a ，建立如图所示空间直角坐标系，()()()()11,0,0,0,2,0,,1,0,0,1,0,0,0,12a A a C G F E ⎛⎫⎪⎝⎭，()()()()0,2,2,,0,4,0,0,4,0,2,4D A a B C ，()()()10,2,2,,0,0,0,2,2B D BA a BD ===-， 所以110,0B D BA B D BD ⋅=⋅=，即11,,B D BA B D BD BA BD B ⊥⊥⋂=，所以1B D ⊥平面ABD .（2）()0,1,1,,0,02a EF FG ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，110,0B D EF B D FG ⋅=⋅=，即11,,B D EF B D FG EF FG F ⊥⊥⋂=，所以1B D ⊥平面EGF . 所以平面//EFG 平面ABD .（3）由（2）可知平面//EFG 平面ABD ，1B D ⊥平面ABD ，1B D ⊥平面EGF .()0,0,3EB =，所以平面EFG 与平面ABD的距离为112EB B D B D⋅==.考点二 点线、线线距离典例2．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1DD 的中点，F为线段1BB 的中点．（1）求点1A 到直线1B E 的距离；（2）求直线1FC 到直线AE 的距离； （3）求点1A 到平面1AB E 的距离； （4）求直线1FC 到平面1AB E 的距离． 【答案】（1（2；（3）23；（4）13.【解析】 【分析】（1）建立坐标系，求出向量11A B 在单位向量11||B E u B E =上的投影，结合勾股定理可得点1A 到直线1B E的距离；（2）先证明1//,AE FC 再转化为点F 到直线AE 的距离求解； （3）求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解；（4）把直线1FC 到平面1AB E 的距离转化为1C 到平面1AB E 的距离，利用法向量进行求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则11111(1,0,1),(1,1,1),(0,0,),(1,1,),(0,1,1),(1,0,0).22A B E F C A （1）因为111111221(1,1,),(,,),(0,1,0)2333||B E B E u A B B E =---==---=， 所以1123A B u ⋅=-. 所以点1A 到直线1B E 221111()13A B A B u -⋅==. （2）因为111(1,0,),(1,0,),22AE FC =-=-所以1//AE FC ，即1//,AE FC所以点F 到直线AE 的距离即为直线1FC 到直线AE 的距离.1((0,1,).2||AE u AF AE === 255,,410AF AF u =⋅= 所以直线1FC 到直线AE（3）设平面1AB E 的一个法向量为(),,n x y z =，11(0,1,1),(1,0,),2AB AE ==-1(001)AA =,,.由10,10,2n AB y z n AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令2z =，则2,1y x =-=，即(1,2,2)n =-. 设点1A 到平面1AB E 的距离为d ，则123AA n d n⋅==，即点1A 到平面1AB E 的距离为23. （4）因为1//,AE FC 所以1//FC 平面1AB E ，所以直线1FC 到平面1AB E 的距离等于1C 到平面1AB E 的距离.()111,0,0C B =，由（3）得平面1AB E 的一个法向量为(1,2,2)n =-，所以1C 到平面1AB E 的距离为1113C B n n⋅=， 所以直线1FC 到平面1AB E 的距离为13.变式2-1．在如图所示的多面体中，AD BC ∥且2AD BC =.AD CD ⊥，EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===.(1)求点F 到直线EC 的距离；(2)求平面BED 与平面EDC 夹角的余弦值. 【答案】【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得DG DA ⊥，DG DC ⊥，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，代入)22CE EF EF CE ⎛⎫⋅ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭即可； （2）求出平面BED 与平面EDC 的法向量，再利用向量的夹角公式即可得解.(1)因为DG ⊥平面ABCD ，DA ⊂平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以DG DA ⊥，且DG DC ⊥， 因为AD DC ⊥，如图所示，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,2)G ，(2,0,2)E ，(0,1,2)F ，(1,2,0)B ，所以(222)=-CE ,,，(2,1,0)=-EF ，所以求点F 到直线EC 的距离为)22CE EF EF CE ⎛⎫⋅ ⎪-== ⎪ ⎪⎝⎭(2)(1,2,0)DB =，(2,0,2)DE =设平面BED 的法向量为1(,,)n x y z =，则110DB D n E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220x y x z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，有1()2,1,2n =-，设平面EDC 的法向量为2(,,)n x y z =，则220DC D n E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，有2(101)n =,,-，设平面BED 和平面EDC 的夹角为θ，121212(cos cos ,34n n n n n n θ⋅=<>====⋅， 所以平面BED 和平面EDC ．变式2-2．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点．（1）求异面直线BD 1与CC 1的距离；（2）求直线BD 1与平面BDE 所成角的正弦值； （3）求点F 到平面BDE 的距离．【答案】（1（2（3【解析】 【分析】（1）以D 为原点，建立空间直角坐标系，由1BD •EF =0，1CC •EF =0，知EF 为BD 1与CC 1的公垂线，再计算|EF |，即可；（2）求得平面BDE 的法向量n ，设直线BD 1与平面BDE 所成角为θ，由sinθ＝|cos n ＜，1BD ＞|，即可得解；（3）点F 到平面BDE 的距离为n BFn⋅，代入相关数据，进行运算即可得解． 【详解】（1）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B （1，1，0），D 1（0，0，2），C （0，1，0），C 1（0，1，2），E （0，1，1），F （12，12，1）， ∥1BD =（﹣1，﹣1，2），1CC =（0，0，2），EF =（12，12-，0）， ∥1BD •EF =0，1CC •EF =0，∥BD 1∥EF ，CC 1∥EF ，即EF 为BD 1与CC 1的公垂线， 而|EF|== ∥异面直线BD 1与CC 12．（2）由（1）知，DB =（1，1，0），DE =（0，1，1），1BD =（﹣1，﹣1，2），设平面BDE 的法向量为n =（x ，y ，z ），则00n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y y z +=⎧⎨+=⎩，令y ＝1，则x ＝﹣1，z ＝﹣1，∥n =（﹣1，1，﹣1）， 设直线BD 1与平面BDE 所成角为θ， 则sinθ＝|cos n ＜，1BD ＞|＝|11n BD n BD ⋅⋅|＝=故直线BD 1与平面BDE． （3）由（1）知，BF =（12-，12-，1），由（2）知，平面BDE 的法向量为n =（﹣1，1，﹣1），∥点F 到平面BDE 的距离为n BF n ⋅=111-- 变式2-3．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC ⊥底面ABC ，1,ABC A AC ∆∆是边长为2的正三角形，已知D 点满足BD BA BC =+.（1）求二面角1B AC B --的大小； （2）求异面直线1A A 与BC 的距离；（3）直线1A A 上是否存在点G ，使1//DG AB C 平面？若存在，请确定点G 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）4π（2（3）存在点G ，其坐标为(，即恰好为1A 点【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面1AB C 的法向量和平面ABC 的法向量，计算出二面角1B AC B --的余弦值，由此求得其大小.（2）求得异面直线1AA 与BC 的公垂线的方向向量，并由此计算出异面直线1A A 与BC 的距离. （3）根据BD BA BC =+求得D 点的坐标，设出G 点的坐标，根据1AG AA λ=、DG 与平面1AB C 的法向量垂直列方程组，解方程组求得G 点的坐标，由此判断出存在G 点符合题意. 【详解】（1）侧面11A ACC ⊥底面ABC ，又1,ABC A AC ∆∆均为正三角形，取AC 得中点O ，连接1A O ，BO ，则1AO ⊥底面ABC，11,AO OA OB BO AC ∴===⊥故以O 为坐标原点，分别以1,,OB OC OA 为x 轴、y 轴、z 轴建立O xyz -如图所示空间直角坐标系， 则())(()10,1,0,,,0,1,0A BA C-1B(1AA ∴= ()()()()13,2,3,3,1,0,3,1,0,0,2,0AB BC AB AC ==-==设平面1AB C 的法向量为(),,n x y z =10n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩取1z =，可得()1,0,1n =-又平面ABC 的一个法向量为(1OA =111cos 22n OA n OA n OA ⋅∴⋅=== 由图知二面角1B AC B --为锐角，故二面角1B AC B --的大小为4π.（2）异面直线1AA 与BC 的公垂线的方向向量()222,,m x y z =，则100m AA m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 易得()1,3,1m =-，异面直线1A A 与BC 的距离2AB m d m⋅===（3）BD BA BC =+，而()()3,1,0,3,1,0BA BC =--=-()BD ∴=-又()3,0,0B，∴点D 的坐标为()假设存在点G 符合题意，则点G 的坐标可设为()0,,y z()()3,,,0,1,DG y z AG y z ∴==+//DG 平面1AB C (),1,0,1n =-为平面1AB C 的一个法向量，∴由()10,AG AA λλ==，得1330y z n DG zλλ+=⎧⎪=⎨⎪⋅=-=⎩0y z =⎧⎪∴⎨=⎪⎩又DG ⊄平面1AB C ，故存在点G ，使//DG 平面1AB C ，其坐标为(，即恰好为1A 点.【点睛】本小题主要考查利用空间向量法计算二面角、异面直线公垂线段的长，考查利用空间向量法研究线面平行的条件，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.巩固练习练习一 点面、线面、面面距离1．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，13AA =，且112AD DA =.(1)求平面BDC 与平面1BDC 所成角的余弦值； (2)求点1B 到平面BDC 距离. 【答案】【解析】 【分析】（1）以C 为原点.1,,CA CB CC 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面BDC 的法向量n →与平面1BDC 的法向量m →，利用数量积公式计算即可得出结果. （2）利用向量公式11cos ,BB BB n d →=计算即可得出结果. (1)依题意1,,CA CB CC 两两互相垂直，以C 为原点.1,,CA CB CC 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,1),(0,0,3),C B D C11(0,1.0),(1,0,1),(1,0,2),(0,1,3).CB CD DC BC ===-=-设平面BDC 的一个法向量为111(,,)n x y z →=，则1110,0,n CB y n CD x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩令11z =，则得111,0x y =-=，此时(1,0,1)n →=-.设平面1BDC 的一个法向量为222(,,),m x y z →=则12212220,30,m DC x z m BC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令21,z =则得222,3,x y ==此时(2,3,1),m →=因为cos,m nm nm n→→→→→→⋅===所以平面BDC与平面1BDC(2)因为1(0,0,3)BB =,点1B到平面BDC距离为111cos,BB nBB BB nnd→→→==⋅==.2．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形且22AD AB==，侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面P AD是正三角形，E､F分别是AD，PB的中点.(1)求证：AF∥平面PCE；(2)求直线CF 与平面PCE 所成角的正弦值； (3)求点F 到平面PCE 的距离. 【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）作出辅助线，证明线线平行，进而证明出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角；（3）在第二问的基础上求解点面距离. (1)取PC 的中点M ，连接MF ，ME ，因为F 是PB 的中点，所以MF 是三角形PBC 的中点，所以MF ∥BC ，且12MF BC =，因为底面ABCD 为矩形，E 是AD 的中点，所以AE ∥BC ，12AE BC =，所以MF ∥AE ，且MF =AE ，所以四边形AFME 是平行四边形，故AF ∥ME ，因为AF ⊄平面PCE ，ME ⊂平面PCE ，所以AF ∥平面PCE(2)因为侧面P AD 是正三角形，E 是AD 的中点，所以PE AD ⊥，又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，所以PE ⊥底面ABCD ，以E 为坐标原点，ED 所在直线为x 轴，取BC 中点H ，EH 所在直线为y 轴，EP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，()1,1,0C ，(P ，()1,1,0B -，11,22F ⎛- ⎝⎭，()0,0,0E ，设平面PCE 的法向量()111,,m x y z =，则111030CE m x y EP m z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得：10z =，令11x =得：11y =-，所以()1,1,0m =-，31,22CF ⎛=-- ⎝⎭，设直线CF 与平面PCE 所成角为α，故sin cos ,CF m CF m CF m α⎛- ⋅⎝====⋅； 所以直线CF 与平面PCE . (3) 点F 到平面PCE 的距离31222m CF d m-+⋅===. 3．如图在直三棱柱111ABC A B C -中，190,2,BAC AB AC AA M ∠====为AB 的中点，N 为11B C 的中点，H 是11A B 中点，P 是1BC 与1B C 的交点，Q 是1A N 与1C H 的交点.(1)求证：11A C BC ⊥；(2)求证：PQ 平面1ACM ； (3)求直线PQ 与平面1ACM 的距离. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量数量积证明，法二：通过线面垂直证明，法三:根据三垂线证明；（2）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量数量积证明，法二：通过面面平行证明线面平行； （3）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量方法求解，法二：运用等体积法求解.(1)证明：法一：在直三棱柱111ABC A B C -中，因为90BAC ∠=，以点A 为坐标原点，1AB CA AA ､､方向分别为x y z ､､轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.因为12AB AC AA ===，所以()()10,0,2,0,2,0A C -，()()12,0,0,0,2,2B C -所以()()112,2,2,0,2,2BC AC =--=-- 所以()()110,2,22,2,20AC BC ⋅=--⋅--=，所以11A C BC ⊥.法二：连接1AC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，有1AA ⊥面ABC ， AB 面ABC ，所以1AA AB ⊥，又90BAC ∠=，则AB AC ⊥，因为1AA AC A =，所以AB ⊥面11ACC A因为1AC ⊂面11ACC A ，所以1AB A C ⊥ 因为11,2AA AC AC AA ⊥==，所以四边形11AAC C 为正方形，所以11A C AC ⊥因为1AB AC A ⋂=，所以1A C ⊥面1ABC因为1BC ⊂面1ABC ，所以11A C BC ⊥.法三：用三垂线定理证明：连接1AC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，有1AA ⊥面ABC 因为AB 面ABC ，所以1AA AB ⊥，又90BAC ∠=，则AB AC ⊥， 因为1AA AC A =，所以AB ⊥面11ACC A所以1BC 在平面11ACC A 内的射影为1AC ，因为四边形11AAC C 为正方形，所以11A C AC ⊥，因此根据三垂线定理可知11A C BC ⊥(2)证明：法一：因为12,AB AC AA M ===为AB 的中点，N 为11B C 的中点，H 为11A B 中点，P 是1BC 与1B C 的交点，所以()()()10,0,20,2,01,1,1A C P --､､､()()()1,0,01,1,21,0,2M N H -､､，依题意可知Q 为111A B C △重心，则1123AQ A N =， 可得22,,233Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以11,,133PQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()()110,2,2,1,0,2AC A M =--=-，设(),,n x y z =为平面1ACM 的法向量，则1100n A C n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即22020y z x z --=⎧⎨-=⎩取1z =得2,1x y ==- 则平面1ACM 的一个法向量为()2,1,1n =-. 所以()11,,12,1,1033PQ n ⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪⎝⎭，则PQ n ⊥， 因为PQ ⊄平面1ACM ，所以//PQ 平面1ACM . 法二：连接BH MH ､.在正方形11AA B B 中，M 为AB 的中点，所以1//BM A H 且 1BM A H =，所以四边形1BMA H 是平行四边形，所以1//BH A M又H 为11A B 中点，所以四边形1AA HM 是矩形，所以1//MH AA 且1MH AA = 因为11//AA C C 且11AA C C =，所以11//,MH CC MH C C =，所以四边形1MHC C 为平行四边形，所以1//C H CM .因为1C H BH H ⋂=，1C H ⊂平面1,BHC BH ⊂平面1BHCCM ⊂平面11,A MC A M ⊂平面1A MC ，所以平面1//BHC 平面1A MC ，PQ ⊂平面1BHC ，所以//PQ 平面1ACM (3)法一：由（2）知平面1ACM 的一个法向量()2,1,1n =-，且//PQ 平面1ACM ， 所以PQ 到平面1ACM 的距离与P 到平面1ACM 的距离相等，()()10,0,2,1,1,1A P -，所以()11,1,1PA =-，所以点P 到平面1ACM 的距离121PA nd n ⋅--===所以PQ 到平面1ACM 法二：因为N H ､分别为11B C 和11A B 中点，所以Q 为111A B C △的重心，所以1123AQ A N =，所以Q 到平面1ACM 的距离是N 到平面1ACM 距离的23. 取1B H 中点E 则1//NE C H ，又1//,//,C H CM NE CM NE ⊄平面1ACM CM ⊂平面1ACM ，所以//NE 平面1ACM ， 所以N 到平面1ACM 的距离与E 到平面1ACM 的距离相等. 设点E 到平面1ACM 的距离为h ，由11E A CM C A ME V V --=得11ΔΔ1133A CM A ME S h S AC =，又1136,2A CM A ME S S ==，所以h =，所以Q 到平面1ACM ，所以PQ 到平面1ACM 4．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1， M ， N 分别是BB 1， B 1C 1的中点．(1)求直线MN 到平面ACD 1的距离；(2)若G 是A 1B 1的中点，求平面MNG 与平面ACD 1的距离．【答案】【解析】【分析】（1）证明MN∥平面ACD 1，转化为求点M 到平面ACD 1的距离，利用向量法求解即可； （2）证明平面MNG ∥平面ACD 1，转化为求直线MN 到平面ACD 1的距离，由（1）得解.(1)以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则111(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,1,),(,1,1)22A D C M N ，1(1,1,0),(1,0,1)AC AD ∴=-=-，11(,0,)22MN =-，1(0,1,)2AM →=， 故112MN AD =.因为直线MN 与AD 1不重合，所以MN ∥AD 1. 又因为MN ⊄平面ACD 1， AD 1⊂平面ACD 1，所以MN ∥平面ACD 1. 故直线MN 到平面ACD 1的距离等于点M 到平面ACD 1的距离． 设平面ACD 1的一个法向量为(,,)m x y z →=，所以100m AD x z m AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则1y z ==，所以(1,1,1)m →=， 所以点M 到平面ACD 1的距离为11||||m AM m →→→+⋅= 即直线MN 到平面ACD 1(2)连接A 1C 1， 因为G ， N 分别为A 1B 1， B 1C 1的中点，所以GN ∥A 1C 1. 又因为A 1C 1∥AC ，所以GN ∥AC .因为GN ⊄平面ACD 1， AC ⊂平面ACD 1，所以GN ∥平面ACD 1. 同理可得MN ∥平面ACD 1.因为MN ∩GN ＝N ， MN , GN ⊂平面MNG ， 所以平面MNG ∥平面ACD 1，所以平面MNG 与平面ACD 1的距离即为直线MN 到平面ACD 1的距离，由(1)练习二 点线、线线距离5．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90o BAC ∠=，11AB AC AA ===，E F 、分别是棱1C C BC 、的中点.(1)求证：1B F ⊥平面AEF ；(2)求点1A 到直线1B E 的距离.【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】(1)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量证明10B F AE ⋅=和10B F AF ⋅=即可；(2)利用向量投影即可求解.(1)∥三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒， ∥以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，∥11AB AC AA ===，E F 、分别是棱1C C BC 、的中点， ∥1111(0,0,0),(1,0,1),0,1,,,,0222A B E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111111,,1,0,1,,,,022222B F AE AF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ∥10B F AE ⋅=，10B F AF ⋅=，∥1B F AE ⊥，1B F AF ⊥， ∥AE AF A ⋂=,AE ⊂平面AEF ,AF ⊂平面AEF ，∥1B F ⊥平面AEF .(2)∥1(0,0,1)A ，∥11(1,0,0)A B =，111,1,2B E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,∥1112cos ,3A B B E ==-，∥1115sin ,3A B B E = 故点1A 到直线1B E 的距离为111115sin ,3d A B A B B E =⋅= 6．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，1AB =，点M 在PD上，且BM =(1)求PM MD的值；(2)求点B 到直线CM 的距离.【答案】(1)1【解析】【分析】（1）以A 为原点建立空间直角坐标系，设PM PD λ=，通过坐标运算得到结果； （2）在棱CM 上取点N ，使得CM BN ⊥，则BN 长即为所求.(1)以A 为原点建立空间直角坐标系如图所示： 则(1B ，0，0)，(0P ，0，2)，(1C ，2，0)，(0D ，2，0)， ∴(1PB =，0，2)-，(0PD =，2，2)-，(1CD =-，0，0)， 设(0PM PD λ==，2λ，2)λ-，则(1BMPM PB =-=-，2λ，22)λ-，1BM =+ 即24410λλ-+=，12λ=，∥1PM MD =(2)在棱CM 上取点N ，使得CM BN ⊥，设MN k MC =，[0k ∈，1]，则MN kMC =，又()1,1,1MC =-，∴(),,MN k k k =-故()1,1,1,BN BM MN k k k =+=-+-，因为CM BN ⊥，则1110MC BN k k k ⋅=-+++-=， 解得1[03k =∈，1]， ∥242,,,333BN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ∥263BN =∥点B 到直线CM . 7．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE EC ⊥.已知PD 2CD =，12AE =.（1）求直线AD 与平面PBC 间的距离；（2）求异面直线EC 与PB 间的距离；（3）求点B 到平面PEC 的距离.【答案】（1（2）3；（3【解析】【分析】（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设(),0,0A x ，()0x >，根据2304PE CE x ⋅=-=得到x ，再利用向量法求解直线AD 与平面PBC 间的距离即可. （2）利用向量法求解异面直线EC 与PB 间的距离即可. （3）利用向量法求解求点B 到平面PEC 的距离即可.【详解】（1）由题知：以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：设(),0,0A x ，()0x >，由题知：(P ，1,,02E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2,0C ，1,,2PE x ⎛= ⎝，3,,02CE x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 因为PE EC ⊥，所以2304PE CE x ⋅=-=，解得x即A ⎫⎪⎪⎝⎭，2,0B ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,2,PC =，BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PBC 的法向量()111,,nx y z =，则11120302PC n y BC n x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11y =得(0,1,2n=. 又因为()0,2,0DC =，所以直线AD 与平面PBC 间的距离123n DC d n ⋅===（2）设()222,,m x y z =，满足设m EC ⊥，m PB ⊥，因为3,02EC ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，32,2PB⎛= ⎝， 所以 22222330223202m EC y m PB x y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令21y =，得3,1,m ⎛= ，又因为32CB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以异面直线EC 与PB间的距离233m CB d m ⋅===. （3）设平面PCE 的法向量()333,,a x y z =，(0,2,PC =，33,022CE ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭， 所以33332033022a PC y a CE x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令3x =(3,1,a =， 又因为BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以点B 到平面PEC 的距离333a BCd a ⋅===+ 8．如下图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，,2,12ABC BAD PA AD AB BC π∠=∠=====．（1）求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值； （2）求异面直线PB 与CD 之间的距离．【答案】（1（2）23． 【解析】【分析】以A 为原点，建立空间直角坐标系，（1）分别求两个平面的法向量，利用二面角的向量公式即得解；（2）设Q 为直线PB 上一点，转化为求点Q 到直线CD 的距离的最小值，即()22cos d CQ CQ CQ CD =-⋅，分析即得解 【详解】以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2A B C D P ． （1）因为PA ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ， 所以PA AD ⊥，又AB AD ⊥，且PA AB A =， 所以AD ⊥平面PAB ，所以()0,2,0AD =是平面PAB 的一个法向量． 易知()()1,1,2,0,2,2PC PD =-=-，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,220,x y y z +-=⎧⎨-=⎩， 令1y =解得1,1z x ==．所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量， 从而3cos ,3AD mAD mAD m ⋅==PAB 与平面PCD 所成夹角为锐角所以平面PAB 与平面PCD （2）()1,0,2BP =-，设Q 为直线PB 上一点， 且(),0,2BQ BP λλλ==-，因为()0,1,0CB =-， 所以(),1,2CQ CB BQ λλ=+=--，又()1,1,0CD =-， 所以点Q 到直线CD 的距离 ()22cos d CQ CQ CQ CD=-⋅ 22||CQ CD CQ CD ⎛⎫⋅-== ⎪ ⎪⎝⎭， 因为22919144222999λλλ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，所以23d ≥， 所以异面直线PB 与CD 之间的距离为23．。
暑假立体几何中的距离问题
立体几何中的距离问题【要点精讲】 1．距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。
其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度点到平面的距离平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
○2等体积法。
直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。
求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。
异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定） 点到面的距离的做题过程中思考的几个方面:①直接作面的垂线求解；②观察点在与面平行的直线上，转化点的位置求解； ③观察点在与面平行的平面上，转化点的位置求解； ④利用坐标向量法求解⑤点在面的斜线上，利用比例关系转化点的位置求解。
2025届高考数学一轮复习讲义立体几何与空间向量之 空间角和空间距离
形，则在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中，异面直线 AK 和 LM 所成的角的大小为
(
D )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
[解析] 根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取 AA 1的中点 G ，连接 KG ，
则有 KG ∥ LM ，所以∠ AKG 或其补角为异面直线 AK 和 LM 所成的角.由题知 AG ＝
A 1 C 1＝5， BC 1＝4 2 ，所以 cos
52 ＋52 −(4 2）2
9
1
∠ BA 1 C 1＝
＝ ＜ ，所以60°＜
2×5×5
25
2
∠ BA 1 C 1＜90°，则过点 D 1作直线 l ，与直线 A 1 B ， AC 所成的角均为60°，即过一
点作直线，使之与同一平面上夹角大于60°的锐角的两边所在直线所成的角均成
2 z －1＝0的交线，试写出直线 l 的一个方向向量 (2，2，1)
的余弦值为
65
9
.
，直线 l 与平面α所成角
[解析] 由平面α的方程为 x ＋2 y －2 z ＋1＝0，可得平面α的一个法向量为 n ＝(1，
⑫ [0， ] ，二面角的
2
n1，n2＞｜.
范围是⑬
[0，π] .
易错警示
1. 线面角θ与向量夹角＜ a ， n ＞的关系
π
2
π
2
如图1(1)，θ＝＜ a ， n ＞－ ；如图1(2)，θ＝ －＜ a ， n ＞.
图1
2. 二面角θ与两平面法向量夹角＜ n 1， n 2＞的关系
图2(2)(4)中θ＝π－＜ n 1， n 2＞；图2(1)(3)中θ＝＜ n 1， n 2＞.
立体几何距离问题知识点与题型分类
空间中的各种距离1.点到平面的距离(1)定义 平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离. (2)常用方法 1）定义法①找到(或作出)表示距离的线段； ②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离. 3)体积法4)转化法 将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求. 5）向量法 建立三维直角坐标系求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足， 例1 如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC Q △为正三角形，AO BC ∴⊥．Q 正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅲ）1A BD △中，1115226A BD BD A D A B S ===∴=△，，，1BCD S =△． 在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B 的距离为3．设点C 到平面1A BD 的距离为d ．ABC DABC DO F由11A BCD C A BD V V --=，得111333BCD A BD S S d =g g △△， 1322BCD A BD S d S ∴==△△． ∴点C 到平面1A BD 的距离为22．解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC Q △为正三角形，AO BC ∴⊥．Q 在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB uuu r ，1OO u u u u r ，OA uu u r的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(023)A ，，，(003)A ，，，1(120)B ，，，1(123)AB ∴=-u u u r ，，，(210)BD =-u u u r ，，，1(123)BA =-u u u r ，，． 12200AB BD =-++=u u u r u u u r Q g ，111430AB BA =-+-=u u u r u u u rg ，1AB BD ∴u u u r u u u r ⊥，11AB BA u u u r u u u r⊥． 1AB ∴⊥平面1A BD ．2.直线和平面的距离(1)定义 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离例． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解析一 BD Θ∥平面11D GB ，BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点O 平面11D GB 的距离,1111C A D B ⊥Θ，A A D B 111⊥，⊥∴11D B 平面11ACC A , 又⊂11D B Θ平面11D GB∴平面1111D GB ACC A ⊥，两个平面的交线是G O 1,xz AB C DO FyBA CDOGH作G O OH 1⊥于H ，则有⊥OH 平面11D GB ，即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1∆中，222212111=⋅⋅=⋅⋅=∆AO O O S OG O . 又362,23212111=∴=⋅⋅=⋅⋅=∆OH OH G O OH S OG O . 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 解析二 BD Θ∥平面11D GBBD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点B 平面11D GB 的距离.设点B 到平面11D GB 的距离为h ，将它视为三棱锥11D GB B -的高，则，由于632221,111111=⨯⨯==∆--D GB GBB D D GB B S V V 34222213111=⨯⨯⨯⨯=-GBB D V , ,36264==∴h 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 3.平行平面的距离(1)定义 与两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.4.异面直线的距离(1)定义 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.例1已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求CD 与SE 间的距离. 解答过程：如图所示，取BD 的中点F ，连结EF ，SF ，CF ，EF ∴为BCD ∆的中位线，EF ∴∥CD CD ∴,∥面SEF ,CD ∴到平面SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又Θ线面之间的距离可转化为线CD 上一点C 到平面SEF的距离，设其为h ，由题意知，24=BC ,D 、E 、F 分别是 AB 、BC 、BD 的中点，2,2,621,62=====∴SC DF CD EF CD33222621312131=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴-SC DF EF V CEF S 在Rt SCE ∆中，3222=+=CE SC SE在Rt SCF ∆中，30224422=++=+=CF SC SF 又3,6=∴=∆SEF S EF Θ由于h S V V SEF CEF S SEF C ⋅⋅==∆--31，即332331=⋅⋅h ，解得332=h故CD 与SE 间的距离为332. 综合练习 点到平面的距离：1、如图，已知ABCD 是矩形，AB =a , AD =b , P A ⊥平面ABCD ，P A =2c , Q 是P A 的中点 求 (1)Q 到BD 的距离；(2)P 到平面BQD 的距离解 (1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足 连结QE ，∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE ∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ,AD =b ,∴AE =22ba ab +在Rt △QAE 中，QA =21P A =c∴QE =22222ba b a c ++∴Q 到BD 距离为(2)解法一 ∵平面BQD 经过线段P A 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离在Rt △AQE 中，∵AQ =c ,AE =22ba ab +∴AH =22222)(ba cb a abc ++∴P 到平面BD 的距离为22222)(bac b aabc ++解法二 设点A 到平面QBD 的距离为h ，由V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =31S △ABD ·AQh =22222)(ba cb a abcS AQ S BQD ABD ++==⋅∆∆Λ线和平面的距离：2． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. 解析一 BD Θ∥平面11D GB ，BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点O 平面11D GB 的距离,1111C A D B ⊥Θ，A A D B 111⊥，⊥∴11D B 平面11ACC A , 又⊂11D B Θ平面11D GB∴平面1111D GB ACC A ⊥，两个平面的交线是G O 1,作G O OH 1⊥于H ，则有⊥OH 平面11D GB ，即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1∆中，222212111=⋅⋅=⋅⋅=∆AO O O S OG O . 又362,23212111=∴=⋅⋅=⋅⋅=∆OH OH G O OH S OG O . 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 解析二 BD Θ∥平面11D GB ，BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点B 平面11D GB 的距离.设点B 到平面11D GB 的距离为h ，将它视为三棱锥11D GB B -的高，则，由于632221,111111=⨯⨯==∆--D GB GBB D D GB B S V V 34222213111=⨯⨯⨯⨯=-GBB D V , BACDOGH,36264==∴h 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 异面直线的距离：3、已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求(1)截面EAC 的面积；(2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离； (3)三棱锥B 1—EAC 的体积解 (1)连结DB 交AC 于O ，连结EO ，∵底面ABCD 是正方形∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45°又DO =22a ，AC =2a ，EO =︒45cos DO =a ，∴S △EAC =22a(2)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a ∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a(3)连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =23a32422322311a a a V EAC B =⋅⋅=- 两条异面直线间的距离4．如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线.(2)在Rt △BEF 中，BF =a 23,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 212，即EF =a 22.由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为a 22.1A CA例1题图BACD5. 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离.解：设AB 中点为E ，连CE 、ED .∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB .∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离.∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =22212322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∴AB 、CD 的距离是22. 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.点到平面的距离：6.如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离；解答：过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =32BE =332332=⨯. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =36331222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-BO AB . ∴A 到平面BCD 的距离是36.7．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。
高考数学复习第十一讲立体几何之空间距离
第^一讲立体几何之空间距离一、空间距离包括:点与点、点与线、点与面、线与线（异面直线）、线与面（线面平行）、面与面（面面平行）的距离。
要理解各个距离的概念。
二、空间距离的求法重点掌握：线线距离、点面距离、尤其点面距离（1）线线距离：找公垂线段（2）点面距离①直接法（过点向面作作垂线段，即求公垂线段长度）②等体积法（三棱锥）③向量法：设平面的法向量为n , P为平面外一点，Q是平面内任一点,一n PQ 则点P到平面的距离为d等于PQ在法向量n上的投影绝对值。
d --------------------n三、例题讲解1、下列命题中：①PA 矩形ABCD所在的平面，则P、B间的距离等于P到BC的距离；②若a//b,a ,b ,则a与b的距离等于a与的距离；③直线a、b是异面直线，a ,b// ,则a、b之间的距离等于b与的距离④直线a 、b 是异面直线，a ,b ,且// ,则a 、b 之间的距离等于 、 间的距离其中正确的命题个数有（ C ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个1，C 、D 为两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点 M 到截面ABCD 的距离是 ________________解析：取AB 、CD 中点P 、Q ,易证 MPQ 中，PQ 边长的高 MH 为所求，PM丄PQ 口MH2243A-BCDE 中，AE 底面 BCDE 且 AE=CD=a, G 、H 是 BE 、ED 的中点，贝U GH 到面ABD 的距离是解析：连结EC ,交BD 于0,且交GH 于0，则有平面 AEO 面ABD 。
2、如图所示，正方形的棱长为3、在底面是正方形的四棱锥1 i AE EO :"3过E作EK AO于K，则所求距离等于—EK a2 2 AO 64、如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点, G为上底面A1B1C1D1的中心，则点D到平面B1EF的距离_______________ _解：方法1 :建立如图直角坐标系，a a a a则Aa,0,0,B a,a,0,C 0,a,0,E a,2,0 , F2,a,0 ,B1a,a,a ,G 2,2,a设平面B1FE的法向量为n1 x,y,zEFa a —2,2,0 ,EB10,|,an1EF 0, n1 EB, 0a—x2ayaz 0取y 2,则x 2,z可取n12,2, 1DB1ri| 又DB1 a, a, a D到平面B1 EF的距离d —厂l n12a 2a aa3方法2 :等体积法3h a即D到平面B1EF的距离为a 。
立体几何之夹角、距离问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学(新高考通用)
【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题21立体几何之夹角、距离问题目录一览一、典型例题讲解二、梳理必备知识三、基础知识过关四、解题技巧实战五、跟踪训练达标（1）面面夹角（2）线面夹角（3）点到线的距离（4）点到面的距离六、高考真题衔接1.空间中的角（1）异面直线所成角公式：设 a ， b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,⋅== a b a b a bθ．（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线， a 为l 的方向向量， n 为平面α的法向量，θ为二、梳理必备知识l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅== a n a n a nθ．（3）二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,= n n θ或12,- n n π（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos ⋅= n n n n θ．2.空间中的距离求解空间中的距离（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线，a b 的公垂线的方向向量为 n ，这时分别在，a b 上任取，A B 两点，则向量在 n 上的正射影长就是两条异面直线，a b 的距离．则||||||||⋅=⋅= n AB n d AB n n 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（2）点到平面的距离A 为平面α外一点（如图）， n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．|n ||n |||||sin |||cos ,|=||n n ⋅⋅=⋅=⋅<>=⋅ AB AB AH AB AB AB n AB AB θ，||||⋅= AB n d n 三、解题技巧实战1．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB CD ∥，AB ⊥BC ，122BC CD PA PD AB =====，PC =E 为AB 的中点．(1)证明：BD ⊥平面APD ；(2)求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值．在△CDO 中，易得222OC CD DO =+-又23PC =，∴222OC PO PC +=，∴PO则D （0，0，0），()22,0,0A ，(0,22,0B ∴()22,2,2CP =- ，()22,0,0CE = ，∵BD ⊥平面APD ，∴平面APD 的一个法向量为则2200n CP n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得22220220x y z x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，取∴1212cos ,212n n ==⨯ ，∴平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值为【点睛】方法点拨利用向量法求二面角的方法主要有两种：（平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的范围；两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．2．如图，已知多面体111ABC A B C -中，111,,A A B B C C 均垂直于平面ABC ,120ABC ∠= ，14A A =，111,2C C AB BC B B ====.请用空间向量的方法解答下列问题：求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值.由题意知()(0,3,0,1,0,0A B -设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为可知()(10,23,1,1,AC AB == 设平面1ABB 的法向量(,n x = 则10,0,n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即30,20,x y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令1y =，则3,0x z =-=，可得平面111sin cos ,AC AC n AC θ⋅∴==⋅ ∴直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是3．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，M 为BB 1的中点，N 为BC 的中点．（1）求点M 到直线AC 1的距离；（2）求点N 到平面MA 1C 1的距离．则A(0，0，0)，A1(0，0，（1）直线AC1的一个单位方向向量为故点M 到直线AC1的距离（2）设平面MA1C1的法向量为则1111·0·0n A C n A M ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ,即202y x z =⎧⎨-=⎩不妨取x ＝1，得z ＝2，故因为N(1，1，0)，所以MN 故N 到平面MA1C1的距离222102102MN n d n -+-==++ 四、跟踪训练达标面面夹角1．（2023·全国·浮梁县第一中学校联考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，E 为棱AD 上一点，,PE AD PA PC ⊥⊥，四边形BCDE 为矩形，且13,,//4BC PE BE PF PC PA ==== 平面BEF .(1)求证：PA ⊥平面PCD ；(2)求二面角F AB D --的大小.因为//PA 平面BEF ，平面PAC 又//BE CD ，所以AF AF DE BC GC ==则(1,0,0),(0,3,0),(3,0,0),A B D F -设平面ABF 的一个法向量为(m = 则7330444030AF m x y AB m x y ⎧⎧⋅=-++⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-+=⎩又平面ABD 的一个法向量为(0,0,1)n = 故二面角F AB D --的大小为π4.2．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知多面体ABCDEF 中，AD BC EF ∥∥，且4AD CD DE ===，2BC EF ==，π3BCD FED ∠∠==(1)证明：AD BF ⊥；(2)若BF =C AF B --的余弦值．在BCD △中，4DC =，2BC =2222cos BD BC DC BC DC =+-⋅⋅同时AD ∥BC ，可得DB AD ⊥因为BD AD ⊥，DF AD ⊥，且所以AD ⊥平面BDF ；又因为BF ⊂平面BDF ，所以AD （2）在BDF V 中，2BD FD ==即222BD FD BF +=，所以BD ⊥以D 为原点，,,DA DB DF 的方向分别为建立空间直角坐标系如图．其中(4,0,0),(0,23,0),(0,0,23),(2,23,0)A B F C -，所以()()()4,23,0,4,0,23,6,23,0AB AF AC =-=-=- 设向量(,,)n x y z = 为平面ABF 的法向量，满足0423004230n AB x y n AF x z ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪∴⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩ ，不妨令3x =，则2y z ==，故(3,2,2)n = ，设向量(,,)m p q r =为平面ACF 的法向量，满足0423006230m AF p r m AC p q ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪∴⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩ 不妨令3p =，则2,3r q ==，故(3,3,2)m = 131311cos ,||||44114m n m n m n ⋅〈〉===⨯ 由图可知二面角为锐角，所以二面角C AF B --的余弦值为131144.3．（2023·云南昆明·统考一模）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABC 是等边三角形，AB AD ⊥(1)从三个条件：①AC BD ⊥；②120ADC ∠=︒；③2BD AD =中任选一个作为已知条件，证明：1BC DC ⊥；(2)在（1）的前提下，若13AB AA =，P 是棱1BB 的中点，求平面1PDC 与平面1PDD 所成角的余弦值．【答案】(1)证明见详解(2)710对②：∵180ADC ABC ∠+∠=又∵AB AD ⊥，即90BAD ∠=可得90BCD ∠=︒，即BC CD ⊥又∵1CC ⊥平面ABCD ，BC ∴1BC CC ⊥，且1CD CC =I 故BC ⊥平面11CDD C ，注意到1DC ⊂平面11CDD C ，故对③：∵AB AD ⊥，即BAD ∠在Rt BAD 中，则sin ABD ∠故30,ABD CBD AB ∠=∠=︒=故90BCD BAD ∠=∠=︒，即BC 又∵1CC ⊥平面ABCD ，BC4．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）刍甍（chúméng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”，如图，在刍甍ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面BAE和平面CDE交于EF．(1)求证：//AB EF ；(2)若平面CDE ⊥平面ABCD ，4AB =，2EF =，ED FC =，AF =，求平面ADE 和平面BAE 所成角余弦值的绝对值．5．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，D 为1AA 的中点．(1)证明：11B D BC ⊥；(2)设,M N 分别是棱,AC BC 上的点，若点1,,,B D M N 在同一平面上，且ABC 的面积是CMN 的面积的3倍，求二面角1A B M N --的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)217【分析】（1）方法一：延长B 11B C BC ⊥可证得1BC ⊥平面方法二：结合垂直关系可以C 得结论；AB 设2AB = ，则()3,1,1D ，(0,2,0B ()13,1,1DB ∴=- ，(10,2,2BC =- 方法三：1AA ⊥ 平面ABC ，AB 10AA AB ∴⋅= ，10AA AC ⋅= ；则()3,1,0A ，232,,033M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,,033MA ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ，12MB ⎛=- ⎝ 设平面1AMB 的法向量(1,m x y = 则11111131033234233MA m x y MB m x y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-++⎪⎩设平面1B MN 的法向量(2,x n y =，线面夹角6．（2023·北京·校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C-中，D，E，G分别为11,,AA AC BB的中点，11A C 与平面1EBB交于点F，AB BC==，12AC AA==，1C C BE⊥．(1)求证：F为11A C的中点；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值．条件①：平面ABC⊥平面1EBB；条件②：13BC=．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．由题意得()()(0,2,0,1,0,0,1,0,1B C D -()()2,0,1,1,2,0CD CB ∴== .设平面BCD 的法向量(),,n a b c = ，020,200n CD a c a b n CB ⎧⋅=+=⎧⎪∴∴⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ ,2a =，则1,4b c =-=-，∴平面BCD 的法向量(2,1,4)n =-- 又()0,2,1FG =- ,设直线FG 与平面BCD 所成的角为则2105sin cos ,105n FG θ== ，所以直线FG 与平面BCD 所成角的正弦值为选条件②，因为5AB BC ==，AC由题意得()()(0,2,0,1,0,0,1,0,1B C D -()()2,0,1,1,2,0CD CB ∴== .设平面BCD 的法向量(),,n a b c = ，020,200n CD a c a b n CB ⎧⋅=+=⎧⎪∴∴⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩,2a =，则1,4b c =-=-，∴平面BCD 的法向量(2,1,4)n =-- 又()0,2,1FG =- ,设直线FG 与平面BCD 所成的角为则2105sin cos ,105n FG θ== ，所以直线FG 与平面BCD 所成角的正弦值为7．（2023·全国·模拟预测）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形CDEF 是边长为2的正方形，AD DE ⊥，AB CD ∥，6AE =，1AB BD ==．(2)求直线BC与平面BEF所成角的正弦值．则()0,0,0D ，()1,0,0B ，E所以()0,2,0= EF ，(1,0,BE =- 设平面BEF 的法向量为n = 取1z =，得2x =，所以可取设直线BC 与平面BEF 所成的角为则sin cos ,BC BC n BC θ⋅== 所以直线BC 与平面BEF 所成角的正弦值为8．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，PAB PDC ∠=∠．(1)证明：四边形ABCD 为矩形；(2)若2PA AB ==，当四棱锥P ABCD -的体积最大时，求直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)64【分析】（1）取AD 的中点线面垂直，再证得线线垂直即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求（2）由题意知，当平面PAD ⊥平面（1）知AB AD ⊥，所以以O 为原点，空间直角坐标系，因为2PA AB ==，则()0,0,0O ，B 设平面PDC 的法向量为(,,n x y z = 令3x =，则()3,0,1n =- ．又()1,2,3PB =- ，设直线PB 与平面则sin cos ,23n PB n PB n PBθ⋅=== 所以直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值为9．（2023·四川凉山·二模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别是BC ，11A C 中点，平面11ABB A平面AEF l =．(1)证明：l EF ∥；(2)若AB AC ==，平面11ACC A ⊥平面11ABB A ，且1AB EF ⊥，求直线l 与平面11A B E 所成角的余弦值．∵E ，G 分别是BC ，AB 又∵1A F AC ∥且112A F AC =∴四边形1EGA F 为平行四边形，∴又EF ⊄平面11ABB A ，1AG ∵EF ⊂平面AEF ，平面（2）由三棱柱为直棱柱，∴平面设1AA a =，则1(0,22,0)B ，F 所以1(0,22,)AB a =- ，(0,EF = 又1AB EF ⊥，则10AB EF ⋅= ，解得所以(2,2,2)E ，(0,0,2)A ，则设平面11A B E 法向量为(,,n x y = 所以11100n A B n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2222x ⎧⎪⎨+⎪⎩由（1）知直线EF l ∥，则l 方向向量为设直线l 与平面11BCC B 所成角为则sin cos ,n EF n EF n EF α⋅===⋅ 所以直线l 与平面11BCC B 所成角的余弦值为10．（2023·江苏·统考一模）在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B BA ⊥平面ABC ，侧面11A B BA 为菱形，1π3ABB ∠=，1AB AC ⊥，2AB AC ==，E 是AC 的中点.(1)求证：1A B⊥平面1AB C；(2)点P在线段1A E上（异于点1A，E），AP与平面1A BE所成角为π4，求1EPEA的值.点到线的距离11．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P −ABCD 中，AD BC ，190 1.2ADC PAB BC CD AD ∠=∠==== ，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒.(1)在平面PAB 内是否存在一点M ，使得直线CM 平面PBE ，如果存在，请确定点M 的位置，如果不存在，请说明理由；(2)若二面角P −CD −A 的大小为45︒，求P 到直线CE 的距离.点E 为AD 的中点，AE ED ∴=1,2BC CD AD ED BC ==∴= ，AD BC ∥ ，即ED BC ∥，∴四边形BCDE 为平行四边形，即,,AB CD M M CD CM ⋂=∴∈∴ BE ⊂ 平面,PBE CM ⊂平面PBE CM ∴ 平面PBE ，,M AB AB ∈⊂ 平面PAB ，M ∴∈平面PAB ，故在平面PAB 内可以找到一点M （2）如图所示，ADC PAB ∠∠= 且异面直线PA 与CD 所成的角为又,,AB CD M AB CD ⋂=⊂平面AD ⊂ 平面,ABCD PA AD ∴⊥，又,,AD CD PA CD AD PA ⊥⊥⋂=CD \^平面PAD ，PD ⊂ 平面,PAD CD PD ∴⊥.因此PDA ∠是二面角P CD A --PA AD ∴=.因为112BC CD AD ===.以A 为坐标原点，平行于CD 的直线为⎫⎪⎭12．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，160A AC ∠=︒，1A B =(1)证明：平面11A ACC ⊥平面ABC ；(2)设M 为侧棱1CC 上的点，若平面1A BM 与平面ABCM 到直线11A B 距离．轴，建立空间直角坐标系，-中，底面四边形ABCD 13．（2022秋·天津河东·高三天津市第七中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD为菱形，E为棱PD的中点，O为边AB的中点.(1)求证：AE //平面POC ；(2)若侧面PAB ⊥底面ABCD ，且3ABC PAB π∠∠==，24AB PA ==；①求PD 与平面POC 所成的角；②在棱PD 上是否存在点F ，使点F 到直线OD 的距离为21，若存在，求DF DP 的值；若不存在，说明理由.（2）①在平面PAB 内过点O 作Oz 菱形ABCD 中3ABC π∠=，则OC ⊥以O 为原点，分别以,,OB OC Oz 所在直线为()()(1,0,3,0,23,0,4,23,0P C D --(1,0,3)OP =- ，(0,23,0)OC = ，设平面POC 的一个法向量为(,n x y = 则30230n OP x z n OC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取=3x ，得设直线PD 与平面POC 所成的平面角为n PD ⋅ 4②设[],0,1DF DP λλ=∈14．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为4，点A 到平面1BC D 的．(1)求1BC D 的面积；(2)若2AB BC ==，动点E 在线段1DD 上移动，求1AEC 面积的取值范围．则(2,0,0)A ，1(0,2,1)C 设(0,0,)(01)E t t ≤≤，则(2,0,EA = 则直线1AC 的单位方向向量为u =r 则点E 到直线1AC 的距离为d EA = 所以1AEC 的面积1112AEC S AC =⋅△所以1AEC 面积的取值范围为32⎡⎢⎣15．（2022·全国·高三专题练习）在滨海文化中心有天津滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，14,2AB AD AA ===，圆台下底圆心O 为AB 的中点，直径为2，圆与直线AB 交于,E F ，圆台上底的圆心1O 在11A B 上，直径为1.（1）求1AC 与平面1A ED 所成角的正弦值；（2）求二面角1E A D F --的余弦值；（3）圆台上底圆周上是否存在一点P 使得1FP AC ⊥，若存在，求点P 到直线11A B 的距离，若不存在则说明理由.则1(2A ，0，2)，(0C ，4，0)，(2E ，1，所以11(2,4,2),(2,0,2),(2,1,0)A C DA DE =--==设平面1A ED 的法向量为(,,)n x y z = ，则有100n DA n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22020x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则=2y -，1z =-，故(1,n =- 所以111||2|cos ,|3||||A C n A C n A C n ⋅<>== ，故1AC 与平面1A ED 所成角的正弦值为23点到面的距离16．（2022秋·四川·高三四川省岳池中学校考阶段练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面,120,3,ABC AB BC ABC PA D ∠==== 为线段PC 上一点，且BC BD ⊥.(1)在线段AC 上求一点M ，使得平面BPC ⊥平面BDM ，并证明；(2)求点C 到平面ABD 的距离.则33(0,,0),(,0,0),(0,22A B C -设PD PC λ= ,其中01λ≤≤，则BD BP PD BP PC λ=+=+ 因为BC BD ⊥，所以BC BD ⋅ 设平面BPC 的法向量为m = 则33022330m BC x y m PC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩ 设33(0,,0),22M b b -≤≤，MB17．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ，AD AB ⊥，22DC AD a ===，PA PD =，二面角P AD B --的大小为135︒，点P 到底面ABCD 的距离为2a ．(1)过点P 是否存在直线l ，使直线l ∥平面ABCD ，若存在，作出该直线，并写出作法与理由；若不存在，请说明理由；(2)若2PM MC = ，求点M 到平面PAD 的距离．平面，建立空间直角坐标系，由条件（2）取线段AD 的中点为O ，线段连接,OE OP ，因为ABCD 为直角梯形，AB CD 所以//OE AB ，又AD AB ⊥，所以AD OE ⊥，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又PO OE O = ，,PO OE ⊂平面POE 所以AD ⊥平面POE ，过点O 在平面POE 内作直线ON ⊥则直线,,OA OE ON 两两垂直，以O 为原点，,,OA OE ON 为,,x y z 过点P 作//PF NO ，交直线OE 于点因为,ON OA ON OE ⊥⊥，,OA OE 所以ON ⊥平面ABCD ，故PF ⊥平面又点P 到底面ABCD 的距离为2a ，所以因为OE AD ⊥，OP AD ⊥，18．（2023·云南红河·统考二模）如图，在几何体ABCDEF中，菱形ABCD所在的平面与矩形BDEF所在的平面互相垂直．(1)若M 为线段BF 上的一个动点，证明：CM ∥平面ADE(2)若60BAD ∠=︒，2AB =，直线CF 与平面BCE F 到平面BCE 的距离．()3,1,0B ，()0,2,0C ，(0,0,E a19．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD E --为60°，DE CF ∥，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，6CF =．(1)求证：CD AE ⊥；(2)求直线DE 与平面AEF 所成角的正弦值．(3)直接写出λ的值，使得CG CF λ=，且三棱锥B ACG -【答案】(1)证明见解析CD AD ⊥ ，CD DE ⊥，ADE ∴∠即为二面角A CD F --的平面角，即∴(0,1,3)A ，(0,0,0),(0,3,0),(3,6,0)D E F ∴(0,2,3),(3,5,3),AE AF DE =-=-设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，230,3530.n AE y z n AF x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令2z =，则所以(3,3,2)n =-，∴3330cos ,10310DE n DE n DE n ⋅===20．（2023·江西九江·统考二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC ⊥平面11AA B B ，13ABB ∠=，1AB =，12AC AA ==，D 为棱1BB 的中点．(1)求证：AD ⊥平面11AC D ；(2)若E 为棱BC 的中点，求三棱锥1E AC D -的体积．则()0,0,0A ，1,1,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，1,0,2D ⎛ ⎝所以1,1,02AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，1,0,2AD ⎛= ⎝ 设(),,n x y z =r为平面1AC D 的一个法向量，则10n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1302223x z x y ⎧+=⎪⎨⎪-++⎩所以点E 到平面1AC D 的距离d =则三棱锥1E AC D -的体积13S V =1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C -中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 五、高考真题衔接的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值；(3)求平面1ACD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值．则()2,0,0A 、()2,2,0B 、(2,0,2C 则10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知平面ABC 的一个法向量为EF ⊄ 平面ABC ，故//EF 平面2．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，1A B =则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以AC 则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z = ，则m BD m BA ⎧⋅⎨⋅⎩ 可取()1,0,1m =-，3．（2021·天津·统考高考真题）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值．（III ）求二面角11A A C E --的正弦值．4．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．。
专题12立体几何中的距离问题11月19日终稿
专题12立体几何中的距离问题知识点一 距离问题之点到点 空间的距离共分六类:点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面;后两类均为平行状态下的计算，可以统一为点到面的距离，本节不做赘述.空间中的距离问题不但能解决长度问题，也能解决体积、夹角问题.(1)墙角体顶点到底面的距离为h ，墙角的三侧棱长分别为a ，b ，c 则有22221111h a b c =++ (2)设墙角体底面ABC △内一点M 到各侧面的距离分别为1h ，2h ，3h ，则点M 到顶点P 的距离:d 【例1】在三棱锥P ABC -中，2APC CPB BPA π∠=∠=∠=，并且3PA PB ==，4PC =，又D 是底面ABC内一点，则D 到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是 ．【例2】(浦东新区校级开学)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的平方取值范围为（ ）A ．(1B ．11[)52，C ．1(52，D ．1[1)5，【例3】(浦东新区校级模拟)三棱锥P ABC -中，侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，底面ABC 内一点M 到三个侧面的距离分别是2、3、6，那么PM = ．知识点二 距离问题之点到线【例4】如图，AB 垂直于BCD △所在的平面，AC AD =，:3:4BC BD =.当BCD △的面积最大时，点A 到直线CD 的距离为 ．题型三 距离问题之点到面点到面的距离通常可以利用等体积法或建系法处理，在小题中也可借助面面垂直将点到面的距离转化为点到线的距离，当遇到特殊几何体如墙角体还可以利用公式：墙角体顶点到底面的距离为h ，墙角的三侧棱长分别为a ，b ，c 则有22221111h a b c =++ 【例5】点A ，B 到平面α距离分別为12，20，若斜线AB 与α成30︒的角，则AB 的长等于 ．【例6】如图1，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面11EAC 的距离为 ．【例7】如图1，在四面体A BCD -中，60DAB ∠=︒，45BAC ∠=︒，45CAD ∠=︒，4AB =，3AC =，4AD =. (1)求点C 到平面ABD 的距离; (2)求AB 与平面ACD 所成角.题型四 距离问题之折线段问题【例8】(浦东新区校级月考)如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是面对角线1BC 上一动点，Q 是底面ABCD 上一动点，则1D P PQ +的最小值是 ．图1图2图1图2图3【例9】如图1，在棱长均为ABCD 中，M 为AC 的中点，E 为AB 的中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP PQ +的最小值是（ ）A B C D ．【例10】(兴庆区校级三模)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1||||AA AD =||2AB =，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则||||PE PF +的最小值为 ．题型五 距离问题之异面直线距离 线到线之间的距离分为两类:当两直线平行时，两直线之间的距离等同于点到直线之间的距离(同题型二) 当两直线异面时，异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线之间的距离.法一:四面体体积1sin 6V abd θ=,a ,b 为四面体的一组对棱长，d 为对棱的公垂线段长，θ为异面直线夹角. 法二:转化为线到平行平面之间的距离，进一步转化为点到面的距离.注:(1)和两条异面直线都垂直且相交的的直线叫做两条直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段即为两条异面直线的公垂线段;(2)任意两条异面直线有且只有一条公垂线;证明:①存在性设m 、n 是两条异面直线，过m 上一点P 作直线a n ∥，则m 和a 确定一个平面α. 过P 作直线b α⊥，则b m ⊥，b a ⊥，b n ⊥，且b 和m 确定一个平面β.因为m 、n 异面，所以n 不在β内，且n 不会与β平行，这是因为如果n β∥，则a β∥或a β⊂. 因为P β∈，P a ∈，所以a 与β不平行，若a β⊂，因为b m ⊥，b a ⊥，m a P =，所以a 和m 重合，即m n ∥，矛盾， 所以n 与β不平行，即n 和β相交设这个交点为Q ，即Q β∈，过Q 作直线l m ⊥，则l b ∥所以l n ⊥，即l 同时垂直m 、n ，且l 和m 、n 交点分别为P 、Q ②唯一性由存在性的证明可知n 和β只有一个交点Q ，经过Q 点有且只有一条直线l m ⊥，因此异面直线的公垂线有且只有一条.(3)两条异面直线的公垂线段长是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条.【例11】如图1，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，点M ,N 分别在线段A D '，D C '上，且满足MN ∥平面A ACC ''，则线段MN 长度的取值范围为 ．【例12】已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，点M ,N 分别为线段AB '，AC 上的动点，点T 在平面 BCC B ''内，则||||MT NT +的最小值是（ ）A B C D ．1同步训练1.如图，与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB ，1CC ，11A D 所在直线的距离相等的点（ ） A ．有且只有1个 B ．有且只有2个C ．有且只有3个D ．有无数个2.已知平面α∥平面β.直线m α⊂，直线n β⊂，点A m ∈，点B n ∈.记点A ，B 之间距离为a ，点A 到直线n 的距离为b .直线m 和n 的距离为c ，则（ ） A ．b c a ≤≤ B ．a c b ≤≤C ．c a b ≤≤D ．c b a ≤≤3.(义乌市校级期中)一条线段AB 的两端点A ，B 和平面α的距离分别是30cm 和50cm ，P 为线段AB 上一点，且:3:7PA PB =，则P 到平面α的距离为（ ）A ．36cmB ．6cmC ．36cm 或6cmD ．以上都不对4.(广陵区校级月考)在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 的中点，则点C 到平面1A DM 的距离为 ．5.如图，在单位正方体ABCD A B C D -''''中，E 为B C '中点，F 为棱D C ''上动点，P 为BD '上动点，求||||PE PF +的最小值.6.如图，在单位正方体ABCD A B C D -''''中，E ,F 为两动点，求C E EF '+的最小值 ．。
立体几何中的求距离问题.
立 体 几 何 中 的 求 距 离 问 题集美中学数学组 刘 海 江一、记一记，填一填，这些知识你掌握了吗？1、两点间的距离：连接两点的线段的长。
求法：（1）纳入三角形，将其作为三角形的一边，通过解三角形求得（2）用公式，),,(),,,(222111z y x B z y x A ，则|AB|= 。
（3）利用向量的模，|AB|=|AB =… （4）两点间的球面距离 ：A ，B 为半径是R 的球O 上的两点，若＜,＞=θ 则A ，B 两点间的球面距离为 。
2、点到直线的距离：从点向直线作（相交）垂线，该点与垂足间的线段长。
求法：（1）解三角形：所求距离是某直角三角形的直角边长，解此三角形即可。
（2）等积法：所求距离是某三角形的一高，利用面积相等可求此距离。
(3 ) 利用三垂线定理：所求距离视作某平面的斜线段长，先求出此平面的垂线段和射影的长，再由勾股定理求出所求的距离。
（4）利用公式：A 0:),,(00=++C By Ax l y x 到直线的距离为 。
基本思想是将点线距转化为点点距。
3、点到平面的距离与直线到平面的距离（重点）（1）从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和____________的距离，叫做这个点到这个平面的距离。
求法： ①利用定义、做出平面的垂线，将垂线段纳入某个三角形内，通过解三角形求出此距离；②利用等积法、将此距离看作某个三棱锥的高，利用体积相等求出此距离； ③利用向量、点A ，平面α，满足ααα⊥∈∉O A ,,，则点A 到平面α的距离||n d = （ 是平面α的法向量 ）（2）一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意_________到这个平面的_________，叫做这条直线和这个平面的距离。
（一条直线和一个平面平行时，直线上任意两点到平面的距离相等） 求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法）4、两个平行平面的距离一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也_________另一个平面，这条直线叫做两个平面的__________，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的_______,它的长度叫做两个平行平面的____________。
立体几何中的向量方法(距离、角度)专题选择性必修第一册
类型一 用空间向量求距离 【典例】已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是边AB,AD的中 点,CG垂直于正方形ABCD所在的平面,且CG=2,求: (1)点B到直线FG的距离; (2)点B到平面EFG的距离.
05 平面与平面所成角
两个平面的法向量所成角是这两个平面的夹角吗？
, 的夹角为，cos | u v|
| u || v |
例题 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3， ∠ACB=90°，P为BC中点，点Q,R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ， BR=2RB1，求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值 z
D1 F
C1
N
A1
E
M B1
D
Cy
A
B
x
AB n
d
n
1.4.2 立体几何中的向量方法 ——角度问题
03 异面直线所成角
l
l
m
m
l, m的夹角为，cos | a b|
| a || b |
(0, ]
2
类型二 向量法求异面直线所成的角(数学运算，直观想象) 【典例】如图，在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4， 点 D 是 BC 的中点．求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值．
(1)证明:DC1⊥BC.
(2)求平面A1B1BD与平面C1BD的夹角的大小.
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，
空间几何体的距离问题(答案版)
专题：空间几何体的距离问题一、点到直线的距离（点线距）1、点在直线上的射影自点A向直线l引垂线，垂足A叫做点A在直线l上的射影．1点A到垂足的距离叫点到直线的距离．2、点线距的求法：点到直线的距离问题主要是将空间问题转化为平面问题，利用解三角形的方法求解距离。
二、点到平面的距离（点面距）1、点到平面的距离：已知点P是平面α外的任意一点，过点P作PAα⊥，垂足为A，则PA唯一，则PA是点P 到平面α的距离。
即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离（转化为点到点的距离）结论：连结平面α外一点P与α内一点所得的线段中，垂线段PA最短2、点面距的求解问题，主要有三个方法：（1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；（2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；（3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．三、异面直线的距离（线线距）1、公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条.2、两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度.四、直线到平面的距离（线面距）直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离).如果一条直线l平行与平面α,则直线l上的各点到平面的垂线段相等,即各点到α的距离相等；垂线段小于或等于l上任意一点与平面α内任一点间的距离；五、平面到平面的距离（面面距）1、两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线.（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段.（3）两个平行平面的公垂线段都相等.（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长.2、两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.题型一点到直线的距离【例1】【解析】ABC 的两条直角边3BC =，4AC =，22345AB ∴=+=.过C 作CM AB ⊥，交AB 于M ，连接PM ，因,,∩,,AB CM AB PC CM PC C CM PC ⊥⊥=⊂平面PCM ，则AB ⊥平面PCM .又PM ⊂平面PCM ，则PM AB ⊥，∴点P 到斜边AB 的距离为线段PM 的长.由1122ABC S AC BC CM =⋅=⋅△，得431255AC BC CM AB ⋅⨯===，228114432525PM PC CM =+=+=.∴点P 到斜边AB 的距离为3.故选：B.【变式1-1】【解析】将四面体SABC 补成正方体SDBG EAFC -，连接DE 交AS 于点M ，连接FG 交BC 于点N ，连接MN ，如图，则M ，N 分别为DE ，BC 的中点，因为BD CE ∥且BD CE =，故四边形BDEC 为平行四边形，则BC DE ∥且BC DE =，又因为M ，N 分别为DE ，BC 的中点，所以DM BN ∥且DM BN =，故四边形BDMN 为平行四边形，故MN BD ∥且52MN BD SG ===因为BD ⊥平面SDAE ，AS ⊂平面SDAE ，所以BD AS ⊥，即MN AS ⊥，同理可得MN BC ⊥，故P 到BC 的距离最小值为52MN =故选：C【变式1-2】【解析】因为PB ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PB BC ⊥，又因为AB BC ⊥，且AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，因为PA ⊂平面PAB ，所以PA BC ⊥，取PA 的中点E ，因为PB AB =，所以PA BE ⊥，又因为BE BC B = ，且,BE BC ⊂平面BCE ，所以PA ⊥平面BCE ，因为CE ⊂平面BCE ，所以CE PA ⊥，所以CE 即为点C 到直线PA 的距离，在等腰直角PAB 中，由4PB AB ==，可得22BE=，在直角BCE 中，由2BC =，可得2223CE BC BE =+=所以点C 到直线PA 的距离为23故选：B.【变式1-3】【解析】（1）取AB 的中点E ，连接CE ，如图所示：因为AD DC ⊥，122AD DC AB ===，则四边形AECD 为正方形，所以222222AC BC =+=因为222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥.因为AD DC ⊥，AD DB ⊥，CD BD D =I ，,CD BD ⊂平面BCD ，所以AD ⊥平面BCD .又因为BC ⊂平面BCD ，所以AD BC ⊥.因为BC AC ⊥，BC AD ⊥，AD AC A = ，,AC AD ⊂平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD ，又因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ADC .（2）取,AC CD 的中点,F H ，连接,,EF FH HE ，因为BC ⊥平面ACD ，//EF BC ，所以EF ⊥平面ACD ，又因为CD ⊂平面ACD ，所以EF CD ⊥.因为,//AD CD AD FH ⊥，所以FH CD ⊥.因为EF CD ⊥，FH CD ⊥，EF FH F ⋂=，,EF FH ⊂平面EFH ，所以CD ⊥平面EFH ，又因为EH ⊂平面EFH ，所以CD EH ⊥.因为112HF AD ==，122EF BC ==，且HF EF ⊥，所以()22123HE +=，即点E 到直线CD 3题型二直线到直线的距离【例2】【解析】如图，该四棱柱为长方体，因为11//A B D C ,所以1AD C ∠为异面直线1A B 与1AD 所成角，设底面正方形边长为a，则11,AC AD CD ===，在1AD C 中，22211121184cos 2285AD CD AC AD C AD CD a +-∠===+，解得1a =，因为该四棱柱为长方体，所以AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥,同理1AB AD ⊥,所以直线1AD 与直线1B C 的距离为1AB a ==，故选:B.【变式2-1】【解析】,P Q 在,BD SC 上移动，则当PQ 为,BD SC 公垂线段时，,P Q 两点的距离最小； 四棱锥S ABCD -为正四棱锥，SO ⊥平面ABCD ，O ∴为正方形ABCD 的中心，BD AC ∴⊥，又SO BD ⊥，SO AC O = ，BD ∴⊥平面SOC ，过O 作OM SC ⊥，垂足为M ，OM ⊂ 平面SOC ，OM BD ∴⊥，OM ∴为,BD SC 的公垂线，又5SO OC OM SC ⋅===，,P Q ∴.故选：B.【变式2-2】【解析】连接1AC 交1AC 于点O ，连接OM ，∵,O M 分别为1,AC BC 的中点，则OM 1A B ，、且OM ⊂平面1AMC ，1A B ⊄平面1AMC ，∴1A B 平面1AMC ，则点P 到平面1AMC 的距离相等，设为d ，则P ，Q 两点之间距离的最小值为d ，即点1A 到平面1AMC 的距离为d ，∵1AC 的中点O 在1AC 上，则点C 到平面1AMC 的距离为d ，由题意可得为1111,AC CM C M AC AM MC ======由11C AMC C ACM V V --=，则11111113232d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得d =故P ，Q两点之间距离的最小值为3d =.故选：A.【变式2-3】【解析】如图所示：连接EH ，且1EH =，设2HEF θ∠=，1EHG θ∠=，作GR AB⊥于,R EH的中点为O，连接OR，在Rt ROG△中，可求得2OG=，在Rt OGH中，可求得GH=由此可知121cos cos2θθ===延长EA到K使AK EA=，连接,GK GF，则易知四边形EKGF为平行四边形，∴GK EF//，且GK EF=，则KGHθ∠=就是EF与GH所成的角，连接KH与AB交于R，则KH=，在GKH△中，由余弦定理可求得1cos3θ=，则28sin9θ=，根据公式（2）得2d=，∴EF与GH间的距离是2．题型三点到平面的距离【例3】【解析】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，1BB⊥平面1111DCBA，1B P⊂平面1111DCBA，则11BB B P⊥，由3BP=，得1B P===在11Rt B C P△中，1190B C P∠= ，则11C P==，即点P为11C D中点，又111//,AA BB BB⊂平面1BB P，1AA⊄平面1BB P，因此1//AA平面1BB P，于是点A到平面1BB P的距离等于点1A到平面1BB P的距离，同理点C到平面1BB P的距离等于点1C到平面1BB P的距离，连接1A P，过11,A C分作1B P的垂线，垂足分别为1,O O，如图，由1111111111122A PBS B P A O A BA D=⋅=⋅1122O=⨯，解得115AO=，在11Rt B C P△中，111115B CC PC OB P⋅==，则111555AO C O+=+=，所以点,A C到平面1BB P故选：B【变式3-1】【解析】1113D C BE C BEV S DC-=⋅⋅，111112122C BES C E BC=⋅⋅=⨯⨯=，2DC=，则123D C BEV-=.在BED中，由题意及图形结合勾股定理可得BE DE==，BD=则由余弦定理可得222125cos BE DE BD BED BE DE +-∠==⋅，则1261255sin BED ∠=-=.则162sin BDE S BE DE BED =⋅⋅∠= .设1C 到平面EBD 的距离为d ，则113C BDE BDE V S d -=⋅ .又11D C BE C BDE V V --=，则11226333C BDE BDE BDE V S d d S -=⋅=⇒== .故选：D 【变式3-2】【解析】（1）连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点，又∵E 为PD 的中点，∴OE 是三角形PBD 的中位线，∴//PB OE ，又∵PB ⊂/平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，∴//PB 平面AEC ；（2）∵平行四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，2BC AD ==，1AB =，∴222cos 3AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=，则222AC AB BC +=，故90ACD ∠=︒，又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PAB ，PAD ，PAC △都是直角三角形，∵1==PA AB ，∴2PB =，2PC =，5PD =，∴222PD PC CD =+，∴90PCD ∠=︒，∴52EA EC ==，因为O 是AC 的中点，所以OE AC ⊥，且1222OE PB ==，所以112632224EAC S AC OE =⋅=⨯⨯=△，11331222DAC S AC CD =⋅=⨯⨯=△，设点D 到平面AEC 的距离为h ，由12D ACE E ACD P ACD V V V ---==得：16113134232h ⨯⨯=⨯⨯⨯，解得22h =.【变式3-3】【解析】（1）连接CO ，如图，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点，又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，由3AC BC =知，60CAB ∠=︒，∴ACO △为等边三角形，从而CD AO ⊥．∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，∴PD CD ⊥，又PD AO D = ，,PD AO ⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB ．（2）因为2AO =，所以CD =3PD DB ==，∴1111133332322P BDC BDC V S PD DB DC PD -=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=．又PB ==，PC ==，BC ==∴PBC 为等腰三角形，则12PBC S =⨯ 设点D 到平面PBC 的距离为d ，由P BDC D PBC V V --=得，132PBC S d ⋅=△，解得5d =，即点D 到平面PBC 5题型四直线到平面的距离【例4】【解析】在正三棱柱111ABC A B C -中，在底面ABC 内作AD BC ⊥，因为平面11BB C C ⊥底面ABC ，平面11BB C C 底面ABC BC =，所以AD ⊥平面11BB C C ，因为11AA CC ∥，1AA ⊄平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以1AA ∥ 平面11BB C C ，所以AD 即为直线1AA 到平面11BB C C 的距离，因为ABC 为等边三角形，且2AB =，所以直线1AA 到平面11BB C C 的距离为AD ==.【变式4-1】【解析】因为//,BC AD AD ⊂平面PAD ，BC 不在平面PAD 内，所以//BC 平面PAD ，则BC 到平面PAD 的距离即为点B 到平面PAD 的距离，设点B 到平面PAD 的距离为d ，因为B PAD P ABD V V --=，2PD AD ==，PD ⊥平面ABCD ,60BAD ∠= ，四边形ABCD 为菱形，所以11112222232322d ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得d =即BC 到平面PAD【变式4-2】【解析】（1）因为PA ⊥平面ABC ，连接AM ，则PMA ∠即为直线PM 与平面ABC 所成的角，又3PA AB ==，4AC =，AB AC ⊥，M 为BC 中点，可得5BC =，52AM =，所以6tan 5PA PMA AM ∠==，即直线PM 与平面ABC 所成的角的正切值为65.（2）由题知，//ME 平面PAB ，//MF 平面PAB ，ME MF M = ，,ME MF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB .因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥，又AC AB ⊥，,AB PA ⊂平面PAB ，AB PA A = ，所以AC ⊥平面PAB ，又//ME 平面PAB ，所以AE 就是直线ME 到平面PAB 的距离，又M 为BC 122AE AC ==，即直线ME 到平面PAB 的距离为2.【变式4-3】【解析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接FO ，∵F 为AD 的中点，O 为BD 的中点，则//OF PB ，∵PB ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF ，∴//PB 平面ACF .（2）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA AD ⊥，PA ⊂平面PAD ，所以PA ⊥平面ABCD .由于//PB 平面ACF ，则PB 到平面ACF 的距离，即P 到平面ACF 的距离.又因为F 为PD 的中点，点P 到平面ACF 的距离与点D 到平面ACF 的距离相等.取AD 的中点E ，连接EF ，CE，则//EF PA ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以EF ⊥平面ABCD ，因为CE ⊂平面ABCD ，所以EF CE ⊥，因为菱形ABCD 且60ABC ∠= ，2PA AD ==，所以3CE =，1EF =，则22132CF EF CE =+=+=，2AC =，1144222AF PD ==+=，11724222ACF S =⨯⨯-=△，设点D 到平面ACF 的距离为D h ，由D ACF F ACD V V --=得113122133772ACD ACF D ACD D ACF S EF S h S EF h S ⨯⨯⨯=⨯⇒===△△△△即直线PB 到平面ACF 的距离为2217.题型五平面到平面的距离【例5】【解析】如图，过点A 作AE β⊥，垂足为E ，过点C 作CF β⊥，垂足为F ，由题意可知，5BE =，16DF =，设AB x =，33CD x =-，则()222533256x x -=--，解得：13x =，∴平面α与平面β间的距离2213512AE =-=【变式5-1】【解析】如图所示：将鲁班锁放入正方体1111ABCD A B C D -中，则正方体的边长为222+，连接1BD ，1CD ，11D I D J =，故1D C IJ ⊥，BC ⊥平面11CDD C ，IJ ⊂平面11CDD C ，则BC ⊥IJ ，1BC D C C ⋂=，1,BC D C ⊂平面1BCD ，故IJ ⊥平面1BCD ，1D B ⊂平面1BCD ，故1IJ D B ⊥，同理可得1IH D B ⊥，HI IJ I = ，,HI IJ ⊂平面HIJ ，故1D B ⊥平面HIJ ，同理可得1BD ⊥平面EFG ，132236BD =+=，设B 到平面EFG 的距离为h ，则111122222sin 603232h ⨯=⨯⨯⨯⨯︒⨯，则63h =，故两个相对三角形面间的距离为1422363BD h -=.【变式5-2】【解析】分别取,BC AD 的中点,M N ，连接,,,MN MG NE EG ，根据半正多面体的性质可知，四边形EGMN 为等腰梯形；根据题意可知,BC MN BC MG ⊥⊥，而,,MN MG M MN MG =⊂ 平面EGMN ，故BC ⊥平面EGMN ，又BC ⊂平面ABCD ，故平面ABCD ⊥平面EGMN ，则平面EFGH ⊥平面EGMN ，作MS EG ⊥，垂足为S ，平面EFGH 平面EGMN EG =，MS ⊂平面EGMN ，故MS ⊥平面EFGH ，则梯形EGMN 的高即为平面ABCD 与平面EFGH 之间的距离；322223212,2M G S G ====，故22243(21)228MS MG SG =-=--==，即平面ABCD 与平面EFGH 48B11【变式5-3】【解析】（1）证明：连接11,B D NF M N ，、分别为1111A B A D 、的中点，E F 、分别是1111,C D B C 的中点，11////MN EF B D ∴，MN ⊄ 平面EFBD ，EF ⊂平面EFBD ，//MN ∴平面EFBD ，NF 平行且等于AB ，ABFN ∴是平行四边形，//AN BF ∴，AN ⊄ 平面EFBD ，BF ⊂平面EFBD ，//AN ∴平面EFBD ，AN MN N ⋂= ，∴平面//AMN 平面EFBD ；（2）平面AMN 与平面EFBD 的距离B =到平面AMN 的距离h ．AMN中，AM AN ==MN =12AMN S = ∴由等体积可得1112313232h ⋅=⋅⋅⋅⋅，h ∴=。
数学立体几何解题技巧
数学立体几何解题技巧数学立体几何解题技巧我们把不同于一般解法的巧妙解题方法称为解题技巧,它来源于对数学问题中矛盾特殊性的认识。
下面是店铺精心整理的数学立体几何解题技巧，欢迎阅读与收藏。
数学立体几何解题技巧篇11平行、垂直位置关系的论证的策略:(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。
(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。
2空间角的计算方法与技巧:主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。
(1)两条异面直线所成的角：①平移法：②补形法：③向量法：(2)直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。
②用公式计算.(3)二面角：①平面角的作法：(i)定义法;(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。
②平面角的计算法：(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;(ii)射影面积法;(iii)向量夹角公式.3空间距离的计算方法与技巧:(1)求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。
(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。
在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。
(3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。
求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。
4熟记一些常用的小结论诸如：正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。
高考数学专题—立体几何(空间向量求空间角与空间距离)
高考数学专题——立体几何（空间向量求角与距离）一、空间向量常考形式与计算方法设直线l,m 的方向向量分别为l ⃗,m ⃗⃗⃗⃗，平面α,β的法向量分别为n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗. （1）线线角：（正负问题）：用向量算取绝对值（因为线线角只能是锐角）直线l,m 所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：cos θ=l⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗|l⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗|； （2）线面角：正常考你正弦值，因为算出来的是角的余角的余弦值 非正常考你余弦值，需要再算一步。
直线l 与平面α所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：sin θ=|l ⃗⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗||l⃗|⋅|n ⃗⃗|； (3)二面角：同进同出为补角；一进一出为原角。
注意：考试从图中观察，若为钝角就取负值，若为锐角就取正值。
平面α,β所成的二面角为θ，则0≤θ≤π，如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝⟨AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗,CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩．如图②③，n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|n⃗⃗1⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n⃗⃗1|⋅|n2⃗⃗⃗⃗⃗⃗||，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． (4)空间距离额计算：通常包含点到平面距离，异面直线间距离。
二、空间向量基本步骤空间向量求余弦值或正弦值四步法（1）建系：三垂直，尽量多点在轴上；左右下建系，建成墙角系；锥体顶点在轴上；对称面建系。
一定要注明怎样建成的坐标系（2）写点坐标（3）写向量：向量最好在面上或者轴上（可简化计算量） （4）法向量的简化计算直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线l ⊥α，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作，有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为α⃗=(x,y,z ).在平面内找出（或求出）两个不共线的向量a ⃗=(x 1,y 1,z 1)，b ⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，根据定义建立方程组，得到{α⃗×a ⃗=0α⃗×b ⃗⃗=0，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.三、空间向量求距离向量方法求异面直线距离：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。
立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习
AB CD α βl知识点整理(一)平行与垂直的判断(1)平行：设,αβ的法向量分别为,u v ，则直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 线线平行l ∥m ⇔a ∥b a kb ⇔=；线面平行l ∥α⇔a u ⊥0a u ⇔⋅=； 面面平行α∥β⇔u ∥v .u kv ⇔=(2)垂直：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则 线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b 0a b ⇔⋅=；线面垂直l ⊥α⇔a ∥u a ku ⇔=； 面面垂直α⊥β⇔⊥.0=⋅⇔(二)夹角与距离的计算 注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算 (1)夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则①两直线l ,m 所成的角为θ(02πθ≤≤),cos a b a bθ⋅=；②直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a uθ⋅=；③二面角α─l ─β的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v u vθ⋅=(2)空间距离点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难, ① 点到平面的距离h :(定理)如图，设n 是是平面α的法向量，AP 是平面α的一条斜线，其中A α∈则点P 到平面α的距离 ② h =||||AP n n ⋅(实质是AP 在法向量n 方向上的投影的绝对值)③ 异面直线12,l l 间的距离d :||||CD n d AB n ⋅==(12,l l 的公垂向量为n ,C D 、分别是12,l l 上任一点).题型一：非正交基底下的夹角、距离、长度的计算例1．如图，已知二面角α-l -β的大小为1200，点A ∈α，B ∈β，AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，且AC=CD=DB=1. 求：（1）A 、B 两点间的距离；（2）求异面直线AB 和CD 的所成的角 （3）AB 与CD 的距离.解：设,,,===则,60c ,a ,90c ,b b ,a ,1|c ||b ||a |00>=<>=>=<<===（1）2||===∴，∴ A 、B 两点间的距离为2.（2）异面直线AB 和CD 的所成的角为600（3）设与AB 、CD 都垂直的非零向量为z y x ++=，由AB n ⊥得0z 3y 2x 30)()z y x (=++⇒=++⋅++①； 由CD ⊥得0y 0b )c z b y a x (=⇒=⋅++②，令x=1，则由①、②可得z=-1，∴-=，由法则四可知，AB 与CD 的距离为21|n |||n ||d ===⋅=. 小结：任何非正交基底下的证明、计算都先设基底，并将条件也用基底表示，特别证明线面平行时，如AB//平面PEF 可以将有基底表示，， 也用基底表示，最后用待定系数法PF PE AB μ+λ=，将λ和μ求出。
2025数学大一轮复习讲义苏教版 第七章 空间距离及立体几何中的探索性问题
∴点 P 到 l 的距离 d＝|A→P|sin〈A→P，n〉＝ 5×
1－
11002＝3
2
2 .
自主诊断
3.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另
一条直线距离的最小值.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2， AA1＝3，则异面直线AC与BC1之间的距离是
A.
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，E(0,0,1)，F(2,2,1)，
C1(0,2,2)，A(2,0,0)，B(2,2,0)， 因为-B-→1E＝(－2，－2，－1)，B--1→A1＝(0，－2,0)， 所以 cos〈B--1→A1，-B-→1E〉＝0×－2＋－24××－9 2＋0×－1＝23，
5 5
B.
7 7
C.
6 6
√D.67
自主诊断
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，C1(0,1,3)， 则A→C＝(－2,1,0)，—BC→1 ＝(－2,0,3)， 设A→C和—BC→1 的公垂线的方向向量 n＝(x，y，z)，
n·A→C＝0， 则n·—BC→1 ＝0，
第七章
§7.8 空间距离及立体 几何中的探索性问题
课标要求
1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离. 2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或 空间角存在的条件.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.点到直线的距离 如图(1)，若P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平
第46讲 空间距离及立体几何中的探索性问题
例1（1） [2023·温州三模] 四面体满足 ,,,，点在棱上，且，点为 的重心，则点到直线 的距离为( )
A
A. B. C. D.
［思路点拨］（1）建立空间直角坐标系,利用投影向量及勾股定理求解点到直线的距离.
[解析] 四面体满足 ，即,,两两垂直，以点为原点，以,, 的方向分别为,, 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.因为,,，，所以 ,,，所以, ，则 ,，所以点到直线 的距离 .故选A.
（2）直线与直线间的距离有以下两种情况：①两平行直线间的距离，此时其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离都相等，所以直线与直线的距离转化为点到直线的距离.②两异面直线间的距离，有两种方法：几何法：求公垂线段的长度.向量法：在两直线上各取一点构成一个向量， 为在两直线的公垂线方向上的单位向量，则两异面直线间的距离为 .
（2） 求点到平面 的距离．
解： 由题意可知是，的中点，所以 ,,, .设平面的法向量为 ，则 ,，、取，得 ,所以点到平面的距离 .
探究点三 立体几何中的探索性问题
例3 如图①是直角梯形，， ，四边形 是边长为2的菱形，并且 ，以为折痕将折起，使点到达 的位置，得到四棱锥,如图②，且 .
①
②
（1） 求证：平面 平面 .
变式题1 如图所示，在长方体 中，,，点是棱的中点，则点 到平面 的距离为( )
B
A.1 B. C. D.
[解析] 方法一：连接,设点到平面的距离为，因为点是棱 的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，又平面 过的中点，所以点到平面的距离等于点到平面 的距离.由等体积法得，所以 ，，.在中，, ，所以，则 ，解得，即点到平面的距离为 .故选B.
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αnr A ⋅P⋅O⋅h ABD α βl知识点整理(一)平行与垂直的判断(1)平行：设,αβ的法向量分别为,u v r r ，则直线,l m 的方向向量分别为,a b r r，平面线线平行l ∥m ⇔a r ∥b r a kb ⇔=r r ；线面平行l ∥α⇔a r u ⊥r 0a u ⇔⋅=r r； 面面平行α∥β⇔u r ∥v r .u kv ⇔=r r(2)垂直：设直线,l m 的方向向量分别为,a b r r ，平面,αβ的法向量分别为,u v r r，则线线垂直l ⊥m ⇔a r ⊥b r 0a b ⇔⋅=r r ；线面垂直l ⊥α⇔a r ∥u r a ku ⇔=r r；面面垂直α⊥β⇔u ⊥v .0=⋅⇔v u(二)夹角与距离的计算 注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算(1)夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b r r ，平面,αβ的法向量分别为,u v r r，则①两直线l ,m 所成的角为θ(02πθ≤≤),cos a b a bθ⋅=r r r r ；②直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a uθ⋅=r rr r ；③二面角α─l ─β的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u vu vθ⋅=r r r r(2)空间距离点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难,① 点到平面的距离h :(定理)如图，设n r是是平面α的法向量，AP 是平面α的一条斜线，其中A α∈则点P 到平面α的距离② h =||||AP n n ⋅u u u r u u ru u r (实质是AP u u u r 在法向量n r 方向上的投影的绝对值) ③ 异面直线12,l l 间的距离d :||||CD n d AB n ⋅==u u u r u u rr (12,l l 的公垂向量为n r ,C D 、分别是12,l l 上任一点). 题型一：非正交基底下的夹角、距离、长度的计算例1．如图，已知二面角α-l -β的大小为1200，点A ∈α，B ∈β，AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，且AC=CD=DB=1. 求：（1）A 、B 两点间的距离；（2）求异面直线AB 和CD 的所成的角 （3）AB 与CD 的距离.解：设,c DB ,b CD ,a AC ===则,60c ,a ,90c ,b b ,a ,1|c ||b ||a |00>=<>=>=<<===（1）()2a c 2c b 2b a 2c b a c b a |AB |2222=⋅+⋅++⋅+++=++=∴，∴ A 、B 两点间的距离为2.（2）异面直线AB 和CD 的所成的角为600（3）设与AB 、CD 都垂直的非零向量为c z b y a x n ++=，由AB n ⊥得0z 3y 2x 30)c b a ()c z b y a x (=++⇒=++⋅++①； 由CD n ⊥得0y 0b )c z b y a x (=⇒=⋅++②，令x=1，则由①、②可得z=-1，∴c a n -=，由法则四可知，AB 与CD 的距离为()21c a a c a (|n |AC n |AC |n |n |d 2=-==⋅=. 小结：任何非正交基底下的证明、计算都先设基底，并将条件也用基底表示，特别证明线面平行时，如AB//平面PEF 可以将AB 有基底表示，PE ，PF 也用基底表示，最后用待定系数法PF PE AB μ+λ=，将λ和μ求出。
例2。
如图，在三棱锥A —BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD =3，BD =CD =1。
另一个侧面ABC 是正三角形. （1）求证：AD ⊥BC ；（2）求二面角B —AC —D 的大小；（3）在段线AC 上是否存在一点E ,使ED 与面BCD成30°角？若存在，确定点E 的位置；若不存 在，说明理由.20．解法一：（1）方法一：作AH ⊥面BCD 于H 连DH.AB ⊥BD ⇒HB ⊥BD ，∵AD =3，BD =1∴AB =2=BC =AC ∴BD ⊥DC又BD =CD ，则BHCD 是正方形， 则DH ⊥BC. ∴AD ⊥BC ，方法二：取BC 的中点O ，连AO 、DO ， 则有AO ⊥BC ，DO ⊥BC . ∴BC ⊥面AOD ，∴BC ⊥AD（2）作BM ⊥AC 于M ，作MN ⊥AC 交AD 于N ， 则∠BMN 就是二面角B —AC —D 的平面角.∵AB =AC =BC =2，∴M 是AC 的中点，且MN //CD .则BM =.2321,2121,26====AD BN CD MN 由余弦定理得arccos ,362cos 222=∠∴=⋅-+=∠BMN MN BM BN MN BM BMN 36.（3）设E 为所求的点，作EF ⊥CH 于F ，连FD ，则EF//AH ，∴EF ⊥面BCD ，∠EDF 就是ED 与面BCD 所成的角，则∠EDF =30°， 设EF =x ，易得AH =HC =1，则CF =x ，FD =21x +.,12,22,331tan 2====+==∠∴x CE x xx FD EF EDF 则解得故线段AC 上存在E 点，且CE =1时，ED 与面BCD 成30°角.解法二：（1）作AH ⊥面BCD 于H ，连BH 、CH 、DH ，则四边形BHCD 是正方形，且AH =1， 以D 为原点，以DB 为x 轴，DC 为y 轴建立空间直角坐标系如图， 则B （1，0，0），C （0，1，0），A （1，1，1）..,0),1,1,1(),0,1,1(AD BC DA BC DA BC ⊥=⋅∴=-=则（2）设平面ABC 的法向量为1n =),,(z y x ，).1,1,1(.0;0:11111-==+=⊥⊥=+-=⋅⊥n z x CA n CA n y x BC n BC n 可取知同理由知则由 同理，可求得平面ACD 的一个法向量为)1,0,1(2-=n . 由图可以看出，二面角B —AC —D 的大小应等于><21,n ncos 则><21,n n =3623101||||2121=⋅++=n n n n ，即所求二面角的大小是.36arccos （3）设E （x ，y ，z ）是线段AC 上一点，则,1,0=>=y z x 平面BCD 的一个法向量为),,1,(),1,0,0(x x DE n ==要使ED 与面BCD 成30°角，由图可知n DE 与的夹角为60°，ABCDEFxyzG.30,1,.12,22,,212.2160cos 21||||,cos 22角成与面时且点上存在故线段则解得则所以οοBCD ED CE E AC x CE x x x x xn DE ====+===+=>=< 题型二、利用坐标系或几何法解决距离、角度及其证明问题例3、如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2BAD π∠=，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，3,7FC ED ==（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离；（Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值． 解法一:（Ⅰ）,AB DC DC ⊂Q P 平面EFCD , ∴AB 到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD 的距离，过点A 作AG FD ⊥于G ，因2BAD π∠=AB ∥DC ，故CD AD ⊥；又Q FA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理可知，CD FD ⊥，故CD FAD ⊥面，知CD AG ⊥，所以AG 为所求直线AB 到面EFCD 的距离在Rt ABC △中，22945FD FC CD =-=-=由FA ⊥平面ABCD ，得FA ⊥AD ，从而在Rt △FAD 中，22541FA FD AD =-=-=∴255FA AD AG FD ⋅===。
即直线AB 到平面EFCD 的距离为55。
（Ⅱ）由己知，FA ⊥平面ABCD ，得FA ⊥AD ，又由2BAD π∠=，知AD AB ⊥，故AD ⊥平面ABFE∴DA AE ⊥，所以，FAE ∠为二面角F AD E --的平面角，记为θ.在Rt AED △中, 22743AE ED AD =-=-=,由ABCD Y 得,FE BA P ,从而2AFE π∠=在Rt AEF △中, 22312FE AE AF =-=-=故tan 2FEFAθ==所以二面角F AD E --2.解法二: （Ⅰ）如图以A 点为坐标原点,,,AB AD AF u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设00(0,0,)(0)F z z >可得0(2,2,)FC z =-u u u r,由||3FC =u u u r .2220223z ++=,解得(0,0,1)F Q AB ∥DC ，DC ⊂面EFCD ,所以直线AB 到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD 的距离。
设A 点在平面EFCD 上的射影点为111(,,)G x y z ,则111(,,)AG x y z =u u u r因0AG DF ⋅=u u u r u u u r 且0AG CD ⋅=u u u r u u u r ,而(0,2,1)DF =-u u u r(2,0,0)CD =-u u u r ,此即1112020y z x -+=⎧⎨-=⎩ 解得10x = ① ,知G 点在yoz 面上,故G 点在FD 上.GF DF u u u r u u u r P ,111(,,1)GF x y z =---+u u u r 故有1112y z =-+ ② 联立①,②解得, 24(0,,)55G .∴||AG uuu r 为直线AB 到面EFCD 的距离. 而24(0,,)55AG =u u u r所以||AG =u u u r （Ⅱ）因四边形ABFE 为平行四边形,则可设00(,0,1)(0)E x x <,0(2,1)ED x =--u u u r.由||ED =u u u r=解得0x =.即(E .故(AE =u u u r由(0,2,0)AD =u u u r ,(0,0,1)AF =u u u r因0AD AE ⋅=u u u r u u u r ,0AD AF ⋅=u u u r u u u r ,故FAE ∠为二面角F AD E --的平面角，又Q EF =u u u r,||EF =u u u r ,||1AF =u u u r ,所以||tan ||EF FAE FA ∠==u u u ru u u r 例3、如图,四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形， 侧面SBC ⊥底面ABCD.已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC=22， SA ＝SB ＝3.(1)证明：SA ⊥BC ；(2)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小.求异面直线DC 、SA 的距离.解: (1)作AE BC ⊥于E 点,则cos 2cos 45AE BE AB ABE ==⋅∠=⋅=o又∵BC=22∴12BE BC =,即E 点是BC 的中点. 又∵SEA SB ∆≅∆ ∴ 90SEB SEA ∠=∠=o, 即SE 是BC 的中垂线. 又∵侧面SBC ⊥底面ABCD ∴SE AC ⊥面.(2) 以E 为原点,分别以向量,,EA EB ES u u u r u u u r u u u r的正方向为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴,建立空间直角坐标系,如图4所示. 容易求得SE=1,于是A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),D(2,-22,0),S(0,0,1),E(0,0,0).设平面SAB 的法向量(x,y,z)n =r,∵ (2,0,1)SA =-u u r,SB=(0,2,-1)u u r∴2-02-0n SA x z n SB y z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩r u u r r u u r 令2z =,得(1,1,2)n =r. 又∵(2,22,1)SD =--u u u r设直线SD 与平面SAB 所成的角为θ,则2222sin 11114SD n SD nθ⋅===⋅⋅u u u r r u u u r r∴22arcsinθ=.题型三、探索性问题已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且).10(<<==λλADAF ACAE（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ 21．证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC.………………………………3分 又),10(<<==λλADAF AC AE Θ∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC …………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ， ∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC.………………8分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===οAB BD,722=+=∴BC AB AC 由AB 2=AE ·AC 得,76,76==∴=ACAE AE λ故当76=λ时，平面BEF ⊥平面ACD.………………………………………………12分 22.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点。