立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习

α

n

r A ⋅P

⋅O

⋅h A

B

D α β

l

知识点整理

(一)平行与垂直的判断

(1)平行：设,αβ的法向量分别为,u v r r ，则直线,l m 的方向向量分别为,a b r r

，平面

线线平行l ∥m ⇔a r ∥b r a kb ⇔=r r ；线面平行l ∥α⇔a r u ⊥r 0a u ⇔⋅=r r

； 面面平行α∥β⇔u r ∥v r .u kv ⇔=r r

(2)垂直：设直线,l m 的方向向量分别为,a b r r ，平面,αβ的法向量分别为,u v r r

，则

线线垂直l ⊥m ⇔a r ⊥b r 0a b ⇔⋅=r r ；线面垂直l ⊥α⇔a r ∥u r a ku ⇔=r r

；

面面垂直α⊥β⇔u ⊥v .0=⋅⇔v u

(二)夹角与距离的计算 注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算

(1)夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b r r ，平面,αβ的法向量分别为,u v r r

，则

①两直线l ,m 所成的角为θ(02π

θ≤≤),cos a b a b

θ⋅=r r r r ；

②直线l 与平面α所成的角为θ(02π

θ≤≤),sin a u a u

θ⋅=r r

r r ；

③二面角α─l ─β的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v

u v

θ⋅=r r r r

(2)空间距离

点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难,

① 点到平面的距离h :(定理)如图，设n r

是是平面α的法向量，AP 是平面α的一条斜线，

其中A α∈则点P 到平面α的距离

② h =

||

||

AP n n ⋅u u u r u u r

u u r (实质是AP u u u r 在法向量n r 方向上的投影的绝对值) ③ 异面直线12,l l 间的距离d :||

||

CD n d AB n ⋅==u u u r u u r

r (12,l l 的公垂向量为n r ,C D 、分别是12,l l 上任一点). 题型一：非正交基底下的夹角、距离、长度的计算

例1．如图，已知二面角α-l -β的大小为1200

，点A ∈α，B ∈β，AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，且AC=CD=DB=1. 求：（1）A 、B 两点间的距离；

（2）求异面直线AB 和CD 的所成的角 （3）AB 与CD 的距离.

解：设,c DB ,b CD ,a AC ===则

,60c ,a ,90c ,b b ,a ,1|c ||b ||a |00>=<>=>=<<===

（1）()

2a c 2c b 2b a 2c b a c b a |AB |2

222

=⋅+⋅++⋅+++=++=∴

，

∴ A 、B 两点间的距离为2.

（2）异面直线AB 和CD 的所成的角为600

（3）设与AB 、CD 都垂直的非零向量为c z b y a x n ++=，

由AB n ⊥得0z 3y 2x 30)c b a ()c z b y a x (=++⇒=++⋅++①； 由CD n ⊥得0y 0b )c z b y a x (=⇒=⋅++②，

令x=1，则由①、②可得z=-1，∴c a n -=，由法则四可知，AB 与CD 的距离为

()

2

1c a a c a (|

n |AC n |AC |

n |n |

d 2

=

-=

=

⋅=. 小结：任何非正交基底下的证明、计算都先设基底，并将条件也用基底表示，特别证明线面平行时，如AB//平面PEF 可以将AB 有基底表示，PE ，PF 也用基底表示，最后用待定系数法PF PE AB μ+λ=，将λ和μ求出。 例2。如图，在三棱锥A —BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD =3，BD =CD =1。另一个侧面ABC 是正三角形. （1）求证：AD ⊥BC ；

（2）求二面角B —AC —D 的大小；

（3）在段线AC 上是否存在一点E ,使ED 与面BCD

成30°角？若存在，确定点E 的位置；若不存 在，说明理由.

20．解法一：

（1）方法一：作AH ⊥面BCD 于H 连DH.

AB ⊥BD ⇒HB ⊥BD ，∵AD =3，BD =1

∴AB =2=BC =AC ∴BD ⊥DC

又BD =CD ，则BHCD 是正方形， 则DH ⊥BC. ∴AD ⊥BC ，

方法二：取BC 的中点O ，连AO 、DO ， 则有AO ⊥BC ，DO ⊥BC . ∴BC ⊥面AOD ，∴BC ⊥AD

（2）作BM ⊥AC 于M ，作MN ⊥AC 交AD 于N ， 则∠BMN 就是二面角B —AC —D 的平面角.

∵AB =AC =BC =2，∴M 是AC 的中点，且MN //CD .

则BM =

.2

321,2121,26====AD BN CD MN 由余弦定理得arccos ,362cos 222=∠∴=⋅-+=∠BMN MN BM BN MN BM BMN 3

6

.

（3）设E 为所求的点，作EF ⊥CH 于F ，连FD ，则EF//AH ，

∴EF ⊥面BCD ，∠EDF 就是ED 与面BCD 所成的角，则∠EDF =30°， 设EF =x ，易得AH =HC =1，则CF =x ，FD =21x +.

,12,22

,331tan 2====+==

∠∴x CE x x

x FD EF EDF 则解得

故线段AC 上存在E 点，且CE =1时，ED 与面BCD 成30°角.

解法二：

（1）作AH ⊥面BCD 于H ，连BH 、CH 、DH ，则四边形BHCD 是正方形，且AH =1， 以D 为原点，以DB 为x 轴，DC 为y 轴建立空间直角坐标系如图， 则B （1，0，0），C （0，1，0），A （1，1，1）.

.

,0),1,1,1(),0,1,1(AD BC DA BC DA BC ⊥=⋅∴=-=则

（2）设平面ABC 的法向量为1n =),,(z y x ，

).

1,1,1(.0;0:11111-==+=⊥⊥=+-=⋅⊥n z x CA n CA n y x BC n BC n 可取知同理由知则由 同理，可求得平面ACD 的一个法向量为)1,0,1(2-=n . 由图可以看出，二面角B —AC —D 的大小应等于><21,n n

cos 则><21,n n =

3

6

2

3101|

|||2121=

⋅++=

n n n n ，即所求二面角的大小是.36arccos （3）设E （x ，y ，z ）是线段AC 上一点，则,1,0=>=y z x 平面BCD 的一个法向量为),,1,(),1,0,0(x x DE n ==

要使ED 与面BCD 成30°角，由图可知n DE 与的夹角为60°，