指数函数对数函数幂函数的图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

(一)指数与指数函数

1.根式 (1)根式的概念

(2).两个重要公式

①⎪⎩

⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a

a n

n

;

②a a n

n =)((注意a 必须使n a 有意义)。

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n

a

a m n N n *=>∈>、且;

②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n

m n

a

a m n N n a

-

*=

=

>∈>、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、

注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数

图象

定义域 R 值域 (0,+∞) 性质

(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0

(2) 当x>0时,01

(3)在(-∞,+∞)上就是增函数

(3)在(-∞,+∞)上就是减函数

注:如图所示,就是指数函数(1)y=a x ,(2)y=b x,(3),y=c x (4),y=d x 的图象,如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？

提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还就是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义

如果(01)x a N a a =>≠且,那么数x 叫做以a 为底,N 的对数,记作log N

a x =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 (2)对数形式 特点

记法

一般对数 底数为a 0,1a a >≠且 log N a

常用对数 底数为10 lg N

自然对数

底数为e

ln N

2(1)对数的性质(0,1a a >≠且):①1log 0a =,②log 1a

a =,③log N

a a

N =,④log N

a a N =。

(2)对数的重要公式:

①换底公式:log log (,1,0)log N N

a b

b

a

a b N =>均为大于零且不等于; ②1

log log b

a a

b =

。 (3)对数的运算法则:

如果0,1a a >≠且,0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=; ②N M N

M

a a a

log log log -=; ③)(log log R n M n M a n

a ∈=;

④b m

n

b a n

a m log log =

。 3、对数函数的图象与性质

图象

1a >

01a <<

性

质

(1)定义域:(0,+∞)

(2)值域:R

(3)当x=1时,y=0即过定点(1,0) (4)当01x <<时,(,0)y ∈-∞; 当1x >时,(0,)y ∈+∞ (4)当1x >时,(,0)y ∈-∞; 当01x <<时,(0,)y ∈+∞ (5)在(0,+∞)上为增函数

(5)在(0,+∞)上为减函数

注:确定图中各函数的底数a,b,c,d 与1的大小关系

提示:作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0

指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数,它们的图象关于直线y=x 对称。 (三)幂函数

1、幂函数的定义

形如y=x α

(a ∈R)的函数称为幂函数,其中x 就是自变量,α为常数

注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。 2、幂函数的图象

注:在上图第一象限中如何确定y=x 3,y=x 2,y=x,12

y x =,y=x -1方法:可画出x=x 0; 当x 0>1时,按交点的高低,从高到低依次为y=x 3,y=x 2, y=x,12

y x =, y=x -1; 当0

y x = ,y=x, y=x 2,y=x 3 。

y=x y=x 2

y=x 3

12

y x =

y=x -1

定义域 R R R [0,+∞) {}|0x x R x ∈≠且

值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {}|0y y R y ∈≠且

奇偶性 奇 偶

奇 非奇非偶 奇

单调性

增

x ∈[0,+∞)时,增; x ∈(,0]-∞时,减

增

增

x ∈(0,+∞)时,减; x ∈(-∞,0)时,减

定点

(1,1)

知识点1:指数幂的化简与求值 例1、(2007育才A)

(1)计算:25

.021

21

3

2

5

.032

0625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---;