pso粒子群算法
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在式 (1)、 (2)中， i＝ 1， ， …，M，M是该群体中粒子 以上面 两个 公式 为 基2 础 ，形成了后 来PSO 的总数 的标准形式
的速度和位置。
xi xi Vi
算法介绍 算法介绍
从社会学的角度来看，公式(1)的第一部分称为记忆项， PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最 表示上次速度大小和方向的影响；公式第二部分称为自 优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”(pb 身认知项，是从当前点指向粒子自身最好点的一个矢量， est,gbest)来更新自己。 x x V 表示粒子的动作来源于自己经验的部分；公式的第三部 在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己 的速度和位置。 分称为群体认知项，是一个从当前点指向种群最好点的 矢量，反映了粒子间的协同合作和知识共享。粒子就是 (1)式 通过自己的经验和同伴中最好的经验来决定下一步的运 Vi Vi c1 rand () ( pbesti xi ) c2 rand () ( gbesti xi ) 动。 (2)式
i i i
(1) 式 于对鸟群捕食的行为研究。粒子群优化算法的基 Vi 本思想是通过群体中个体之间的协作和信息共享 Vi c1 rand () ( pbesti xi ) c2 rand () ( gbesti xi ) 来寻找最优解． (2) 式 的优势在于简单容易实现并且没有许多参数 xi PSO x V i i 的调节。目前已被广泛应用于函数优化、神经网 在式 (1)、(2)中，i＝1，2，…，M，M是该群体中粒子 络训练、模糊系统控制以及其他遗传算法的应用 的总数 领域。
xi xi Vi
(1)式 那么找到食物的最优策略是什么 Vi Vi c1 rand () ( pbesti xi ) c2 rand () ( gbesti xi ) (2)式
？
最简单有效的就是搜寻目前离食物最近的鸟的 xi xi Vi 周围区域。 在式 (1)、(2)中，i＝1，2，…，M，M是该群体中粒子
的总数
算法介绍
算法介绍 算法介绍
抽象： PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最 鸟被抽象为没有质量和体积的微粒 (点)，并延伸到N维 优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”(pb 空间，粒子 I 在N维空间的位置表示为矢量Xi＝(x1，x est,gbest)来更新自己。 x ， ，„，xN)，飞行速度表示为矢量Vi＝x(v 2在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己 1 V v2，„，v )．每个粒子都有一个由目标函数决定的适应值(fitne N的速度和位置。 ss value) ，并且知道自己到目前为止发现的最好位置 (1) 式 (pbest) 和现在的位置 Xi ．这个可以看作是粒子自己的 V V c rand () ( pbest i i 1 i xi ) c2 rand () ( gbesti xi ) 飞行经验．除此之外，每个粒子还知道到目前为止整个 (2)式 群体中所有粒子发现的最好位置(gbest)(gbest是pbest x x V i i 中的最好值)i ．这个可以看作是粒子同伴的经验．粒子 在式 (1)、(2)中，i＝1，2，…，M，M是该群体中粒子 就是通过自己的经验和同伴中最好的经验来决定下一步 的总数 的运动。
假设种群大小是N=3；在搜索空间中随机 更新粒子的历史最优位置和全局的最优位置。 v v c r ( pBest x ) c r ( gBest x ) 初始化每个解的速度和位置，计算适应函 0 * 2.5 3 0 0 1.5 2 p v (1.5,1) f1 89 f 9.5 ( 4) 90.25 16 106.25 1 数值，并且得到粒子的历史最优位置和群 0 . 5 2 0 0 1 x x v (8,5) (1.5,1) (9.5,4) 体的全局最优位置。 f1 89 2 2 步骤 v2 v,22 c1 r1 f ( pBest x )5) c r64 gBest 89 x2 ) 8 ( 25 2 2 2 2 ( v ( 3 ) 4 ： 1 1 pBest ＝ (8, 5) p1 1 0 2 0.3 (8 (5)) 6.1 0.5 (3) p v (6.1,1.8) pBest x5 (8, 5) 2 2 x ( 8 , 5 ) 1.1 2 1 0.1.21 5 (2 ) 0 2 0 ((1 9) 1.8 f2* 如果满足结束条件，则输出 1.1 102 100 101.21 )106 f2 x x v (5,9) (6.1,1.8) 2(1.1,10 2 .8) (1.1,10) 1 1 1 全局最优结果并结束程序， * f ( 5) 9 25 81 106 v ( 3 , 2 ) 2 2 101.21 f2 f2 p 注意！ 2 否则，转向步骤 对于越界的位置，需要进行合法性调整 x2 (5,9) 继续执行。 (5,9) pBest2 2 2X 2x pBest 2 (1.1,10) x3 ) c 2 r ( gBest x3 ) v3 v3 c1 r1 ( pBest3 2 22 * 2 2 7) 49 64 113 v3 ( (1.7) 5 ,.3 f3 5) 512.25 0 2 0( .05 15.14 (8 ( ( 8) 7)) 3 . 5 f3 f3 p ( 3.5) 2.89 113 0 p3 3 2 0.8 ((5) (8)) 6.3 (3.5,6.3) v3 0 . 5 3 0 * x15.14 ( 7,8) pBest3 x3 (7, 8) f3 f3 x3 x v (7,8) (3.5,6.3) (3.5,1.7) 1 1 1 3.5, 1.7) w是惯量权重，一般取 [0,1]区间的数，这里假设为0.5 3 x3 ( pBest gBest pBest1 2.0 (8, 5) c1和c2为加速系数，通常取固定值 gBest pBest3 (3.5, 1.7)
ห้องสมุดไป่ตู้
满足结束条件 否
更新每个粒子的速度和位置 评估每个粒子的函数适应值 更新每个粒子历史最优位置 更新群体的全局最优位置
结束
应用举例
例6.1 其中 已知函数 ， y f ( x1 , x2 ) x12 x22 ，用粒子群优化算法求解y的最小值。
10 x1 , x2 10
运行步骤
xi xi Vi xi xi Vi
（ (1) 3式 ）式 Vi Vi c1 rand () ( pbesti xi ) c2 rand () ( gbesti xi ) (2)式
非负，称为惯性因子。
Vi Vi c1 rand () ( pbesti xi ) c2 rand () ( gbesti xi )
onal Conference on Neural Networks．1995．1942~1948.)。源
算法介绍 算法介绍
设想这样一个场景：一群鸟在随机的搜索食物。 PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最 优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”(pb 在这个区域里只有一块食物，所有的鸟都不知 est,gbest)来更新自己。 道食物在那。但是它们知道自己当前的位置距 在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己 离食物还有多远。 的速度和位置。
i i i
算法介绍 算法介绍
PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最 代找到最优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪 优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值” (pb 两个“极值” (pbest,gbest)来更新自己。 est,gbest) 来更新自己。 x x V x x V 在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己 在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更 的速度和位置。 新自己的速度和位置。
(1)式 (1)式
在式(1)、(2)中，i＝1，2，…，M，M是该群体中粒子 在式(1)、(2)中，i＝1，2，…，M，M是该群体中粒子 的总数 的总数
xi xi Vi
(2)式 (2)式
算法介绍 算法介绍
Vi 是粒子的速度； PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最 pbest 和gbest如前定义； 优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值” (pb est,gbest) 来更新自己。 rand() 是介于（ 0、1）之间的随机数； 在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己 X i 是粒子的当前位置。
i i i
以上面两个公式为基础，形成了后来 PSO 在式 (1)、(2)中，i＝1，2，…，M，M是该群体中粒子 的标准形式 的总数
xi xi Vi
算法介绍 算法介绍
PSO初始化为一群随机粒子 (随机解)。然后通过迭代找到最 1998 年shi等人在进化计算的国际会议上 优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值” (pb 发表了一篇论文《 A modified particle swarm est,gbest)来更新自己。 optimizer 》对前面的公式(1)进行了修正。引入 在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己 的速度和位置。 惯性权重因子。
i i i
算法介绍
迭代终止条件根据具体问题一般选为最大迭代 次数Gk或(和)微粒群迄今为止搜索到的最优位置 满足预定最小适应阈值。
PSO算法流程图和伪代码
开始 随机初始化每个粒子 评估每个粒子并得到全局最优 是 //功能：粒子群优化算法伪代码 //说明：本例以求问题最小值为目标 //参数：N为群体规模 procedure PSO for each particle i Initialize velocity Vi and position Xi for particle i Evaluate particle i and set pBesti = Xi end for gBest = min {pBesti} while not stop for i=1 to N Update the velocity and position of particle i Evaluate particle i if fit (Xi) < fit (pBesti) pBesti = Xi; if fit(pBesti) < fit (gBest) gBest = pBesti; end for end while print gBest end procedure
i i i i i i
PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭
Vi Vi c1 rand () ( pbesti xi ) c2 rand () ( gbesti xi )
Vi Vi c1 rand () ( pbesti xi ) c2 rand () ( gbesti xi )
公式 (2) 和 (3)被视为标准 pso 算法。 在式 (1)、 (2) 中， i＝1，2，…， M， M是该群体中粒子 的总数
算法介绍 算法介绍
标 准 PSO算法的流程： (随机解)。然后通过迭代找到最 PSO 初始化为一群随机粒子 Step1: 初始化一群微粒(群体规模为m)，包括随机位置和 优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值” (pb est,gbest) 来更新自己。 速度； x x V 在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己 Step2: 评价每个微粒的适应度； 的速度和位置。 Step3: 对每个微粒，将其适应值与其经过的最好位置 (1)式 pbest作比较，如果较好，则将其作为当前的 Vi 最好位置 Vi c1 rand () ( pbesti xi ) c2 rand () ( gbesti xi ) pbest; (2)式 对每个微粒，将其适应值与其经过的最好位置 Step4: gbest 作比较，如果较好，则将其作为当前的 xi x V i i 最好位置gbest; 在式(1)、(2)中，i＝1，2，…，M，M是该群体中粒子 Step5:根据(2)、(3)式调整微粒速度和位置； 的总数 Step6：未达到结束条件则转Step2。
xi xi Vi
c1和c2是学习因子，通常取c1＝ c2＝2 (1)式 在每一维，粒子都有一个最大限制速度 Vmax，如果 Vi Vi c1 rand () ( pbest c2 rand () ( gbesti xi ) i xi )，那么这一维的速度 某一维的速度超过设定的 Vmax (2)式 就被限定为 Vmax 。（ Vmax >0）
粒子群优化算法 PSO
算法介绍 算法介绍
PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最 粒子群优化算法（PSO）是一种进化计算技术（e 优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”(pb volutionary computation）,由Eberhart博士和k est,gbest)来更新自己。 ennedy 博士于 1995 年提出 (Kennedy xJ ， Eberhart R． x V 在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己 Particle swarm optimization．Proceedings of the IEEE Internati 的速度和位置。
的速度和位置。
xi xi Vi
算法介绍 算法介绍
从社会学的角度来看，公式(1)的第一部分称为记忆项， PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最 表示上次速度大小和方向的影响；公式第二部分称为自 优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”(pb 身认知项，是从当前点指向粒子自身最好点的一个矢量， est,gbest)来更新自己。 x x V 表示粒子的动作来源于自己经验的部分；公式的第三部 在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己 的速度和位置。 分称为群体认知项，是一个从当前点指向种群最好点的 矢量，反映了粒子间的协同合作和知识共享。粒子就是 (1)式 通过自己的经验和同伴中最好的经验来决定下一步的运 Vi Vi c1 rand () ( pbesti xi ) c2 rand () ( gbesti xi ) 动。 (2)式
i i i
(1) 式 于对鸟群捕食的行为研究。粒子群优化算法的基 Vi 本思想是通过群体中个体之间的协作和信息共享 Vi c1 rand () ( pbesti xi ) c2 rand () ( gbesti xi ) 来寻找最优解． (2) 式 的优势在于简单容易实现并且没有许多参数 xi PSO x V i i 的调节。目前已被广泛应用于函数优化、神经网 在式 (1)、(2)中，i＝1，2，…，M，M是该群体中粒子 络训练、模糊系统控制以及其他遗传算法的应用 的总数 领域。
xi xi Vi
(1)式 那么找到食物的最优策略是什么 Vi Vi c1 rand () ( pbesti xi ) c2 rand () ( gbesti xi ) (2)式
？
最简单有效的就是搜寻目前离食物最近的鸟的 xi xi Vi 周围区域。 在式 (1)、(2)中，i＝1，2，…，M，M是该群体中粒子
的总数
算法介绍
算法介绍 算法介绍
抽象： PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最 鸟被抽象为没有质量和体积的微粒 (点)，并延伸到N维 优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”(pb 空间，粒子 I 在N维空间的位置表示为矢量Xi＝(x1，x est,gbest)来更新自己。 x ， ，„，xN)，飞行速度表示为矢量Vi＝x(v 2在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己 1 V v2，„，v )．每个粒子都有一个由目标函数决定的适应值(fitne N的速度和位置。 ss value) ，并且知道自己到目前为止发现的最好位置 (1) 式 (pbest) 和现在的位置 Xi ．这个可以看作是粒子自己的 V V c rand () ( pbest i i 1 i xi ) c2 rand () ( gbesti xi ) 飞行经验．除此之外，每个粒子还知道到目前为止整个 (2)式 群体中所有粒子发现的最好位置(gbest)(gbest是pbest x x V i i 中的最好值)i ．这个可以看作是粒子同伴的经验．粒子 在式 (1)、(2)中，i＝1，2，…，M，M是该群体中粒子 就是通过自己的经验和同伴中最好的经验来决定下一步 的总数 的运动。
假设种群大小是N=3；在搜索空间中随机 更新粒子的历史最优位置和全局的最优位置。 v v c r ( pBest x ) c r ( gBest x ) 初始化每个解的速度和位置，计算适应函 0 * 2.5 3 0 0 1.5 2 p v (1.5,1) f1 89 f 9.5 ( 4) 90.25 16 106.25 1 数值，并且得到粒子的历史最优位置和群 0 . 5 2 0 0 1 x x v (8,5) (1.5,1) (9.5,4) 体的全局最优位置。 f1 89 2 2 步骤 v2 v,22 c1 r1 f ( pBest x )5) c r64 gBest 89 x2 ) 8 ( 25 2 2 2 2 ( v ( 3 ) 4 ： 1 1 pBest ＝ (8, 5) p1 1 0 2 0.3 (8 (5)) 6.1 0.5 (3) p v (6.1,1.8) pBest x5 (8, 5) 2 2 x ( 8 , 5 ) 1.1 2 1 0.1.21 5 (2 ) 0 2 0 ((1 9) 1.8 f2* 如果满足结束条件，则输出 1.1 102 100 101.21 )106 f2 x x v (5,9) (6.1,1.8) 2(1.1,10 2 .8) (1.1,10) 1 1 1 全局最优结果并结束程序， * f ( 5) 9 25 81 106 v ( 3 , 2 ) 2 2 101.21 f2 f2 p 注意！ 2 否则，转向步骤 对于越界的位置，需要进行合法性调整 x2 (5,9) 继续执行。 (5,9) pBest2 2 2X 2x pBest 2 (1.1,10) x3 ) c 2 r ( gBest x3 ) v3 v3 c1 r1 ( pBest3 2 22 * 2 2 7) 49 64 113 v3 ( (1.7) 5 ,.3 f3 5) 512.25 0 2 0( .05 15.14 (8 ( ( 8) 7)) 3 . 5 f3 f3 p ( 3.5) 2.89 113 0 p3 3 2 0.8 ((5) (8)) 6.3 (3.5,6.3) v3 0 . 5 3 0 * x15.14 ( 7,8) pBest3 x3 (7, 8) f3 f3 x3 x v (7,8) (3.5,6.3) (3.5,1.7) 1 1 1 3.5, 1.7) w是惯量权重，一般取 [0,1]区间的数，这里假设为0.5 3 x3 ( pBest gBest pBest1 2.0 (8, 5) c1和c2为加速系数，通常取固定值 gBest pBest3 (3.5, 1.7)
ห้องสมุดไป่ตู้
满足结束条件 否
更新每个粒子的速度和位置 评估每个粒子的函数适应值 更新每个粒子历史最优位置 更新群体的全局最优位置
结束
应用举例
例6.1 其中 已知函数 ， y f ( x1 , x2 ) x12 x22 ，用粒子群优化算法求解y的最小值。
10 x1 , x2 10
运行步骤
xi xi Vi xi xi Vi
（ (1) 3式 ）式 Vi Vi c1 rand () ( pbesti xi ) c2 rand () ( gbesti xi ) (2)式
非负，称为惯性因子。
Vi Vi c1 rand () ( pbesti xi ) c2 rand () ( gbesti xi )
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算法介绍 算法介绍
设想这样一个场景：一群鸟在随机的搜索食物。 PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最 优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”(pb 在这个区域里只有一块食物，所有的鸟都不知 est,gbest)来更新自己。 道食物在那。但是它们知道自己当前的位置距 在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己 离食物还有多远。 的速度和位置。
i i i
算法介绍 算法介绍
PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最 代找到最优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪 优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值” (pb 两个“极值” (pbest,gbest)来更新自己。 est,gbest) 来更新自己。 x x V x x V 在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己 在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更 的速度和位置。 新自己的速度和位置。
(1)式 (1)式
在式(1)、(2)中，i＝1，2，…，M，M是该群体中粒子 在式(1)、(2)中，i＝1，2，…，M，M是该群体中粒子 的总数 的总数
xi xi Vi
(2)式 (2)式
算法介绍 算法介绍
Vi 是粒子的速度； PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最 pbest 和gbest如前定义； 优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值” (pb est,gbest) 来更新自己。 rand() 是介于（ 0、1）之间的随机数； 在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己 X i 是粒子的当前位置。
i i i
以上面两个公式为基础，形成了后来 PSO 在式 (1)、(2)中，i＝1，2，…，M，M是该群体中粒子 的标准形式 的总数
xi xi Vi
算法介绍 算法介绍
PSO初始化为一群随机粒子 (随机解)。然后通过迭代找到最 1998 年shi等人在进化计算的国际会议上 优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值” (pb 发表了一篇论文《 A modified particle swarm est,gbest)来更新自己。 optimizer 》对前面的公式(1)进行了修正。引入 在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己 的速度和位置。 惯性权重因子。
i i i
算法介绍
迭代终止条件根据具体问题一般选为最大迭代 次数Gk或(和)微粒群迄今为止搜索到的最优位置 满足预定最小适应阈值。
PSO算法流程图和伪代码
开始 随机初始化每个粒子 评估每个粒子并得到全局最优 是 //功能：粒子群优化算法伪代码 //说明：本例以求问题最小值为目标 //参数：N为群体规模 procedure PSO for each particle i Initialize velocity Vi and position Xi for particle i Evaluate particle i and set pBesti = Xi end for gBest = min {pBesti} while not stop for i=1 to N Update the velocity and position of particle i Evaluate particle i if fit (Xi) < fit (pBesti) pBesti = Xi; if fit(pBesti) < fit (gBest) gBest = pBesti; end for end while print gBest end procedure
i i i i i i
PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭
Vi Vi c1 rand () ( pbesti xi ) c2 rand () ( gbesti xi )
Vi Vi c1 rand () ( pbesti xi ) c2 rand () ( gbesti xi )
公式 (2) 和 (3)被视为标准 pso 算法。 在式 (1)、 (2) 中， i＝1，2，…， M， M是该群体中粒子 的总数
算法介绍 算法介绍
标 准 PSO算法的流程： (随机解)。然后通过迭代找到最 PSO 初始化为一群随机粒子 Step1: 初始化一群微粒(群体规模为m)，包括随机位置和 优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值” (pb est,gbest) 来更新自己。 速度； x x V 在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己 Step2: 评价每个微粒的适应度； 的速度和位置。 Step3: 对每个微粒，将其适应值与其经过的最好位置 (1)式 pbest作比较，如果较好，则将其作为当前的 Vi 最好位置 Vi c1 rand () ( pbesti xi ) c2 rand () ( gbesti xi ) pbest; (2)式 对每个微粒，将其适应值与其经过的最好位置 Step4: gbest 作比较，如果较好，则将其作为当前的 xi x V i i 最好位置gbest; 在式(1)、(2)中，i＝1，2，…，M，M是该群体中粒子 Step5:根据(2)、(3)式调整微粒速度和位置； 的总数 Step6：未达到结束条件则转Step2。
xi xi Vi
c1和c2是学习因子，通常取c1＝ c2＝2 (1)式 在每一维，粒子都有一个最大限制速度 Vmax，如果 Vi Vi c1 rand () ( pbest c2 rand () ( gbesti xi ) i xi )，那么这一维的速度 某一维的速度超过设定的 Vmax (2)式 就被限定为 Vmax 。（ Vmax >0）
粒子群优化算法 PSO
算法介绍 算法介绍
PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最 粒子群优化算法（PSO）是一种进化计算技术（e 优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”(pb volutionary computation）,由Eberhart博士和k est,gbest)来更新自己。 ennedy 博士于 1995 年提出 (Kennedy xJ ， Eberhart R． x V 在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己 Particle swarm optimization．Proceedings of the IEEE Internati 的速度和位置。