2020江苏省中考数学选择填空压轴题专题：《函数的几何综合问题》(含答案)

专题: 函数的几何综合问题
例1．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝
3
3
x－
3
3
与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角
形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是____________．
同类题型1.1 如图，直线l：y＝x＋1交y轴于点A1，在x轴正方向上取点B1，使OB1＝OA1；过点B1作A2B1⊥x轴，交l于点A2，在x轴正方向上取点B2，使B1B2＝B1A2；过点B2作A3B2⊥x轴，交l 于点A3，在x轴正方向上取点B3，使B2B3＝B2A3；…记△OA1B1面积为S1，△B1A2B2面积为S2，△B2A3B3面积为S3，…则S2017等于
（）
A．24030
B．2
4031
C．2
4032
D．2
4033
同类题型1.2 如图，已知直线l：y＝
3
3
x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直
线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为
（）
A．（0，128）B．（0，256）C．（0，512）D．（0，1024）
同类题型1.3 如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝
3
3
x ＋1交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，过点A 作AB 1 ⊥AB 交x 轴于点B 1 ，过点B 1 作B 1A 1 ⊥x 轴交直线l 于点A 2 …依次作下去，则点B n 的横坐标为____________．
例2．高速公路上依次有3个标志点A 、B 、C ，甲、乙两车分别从A 、C 两点同时出发，匀速行驶，甲车从A →B →C ，乙车从C →B →A ，甲、乙两车离B 的距离y 1 、y 2 （千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图象如图所示．观察图象，给出下列结论：①A 、C 之间的路程为690千米；②乙车比甲车每小时快30千米；③4.5小时两车相遇；④点E 的坐标为（7，180），其中正确的有_________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．
同类题型2.1 甲、乙两辆汽车沿同一路线从A 地前往B 地，甲车以a 千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a 千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B 地，比甲车早30分钟到达．到达B 地后，乙车按原速度返回A 地，甲车以2a 千米/时的速度返回A 地．设甲、乙两车与A 地相距s （千米），甲车离开A 地的时间为t （小时），s 与t 之间的函数图象如图所示．下列说法：①a ＝40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t 的值为5.25；④当t ＝3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为 （ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
同类题型2.2 甲、乙两车从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h ，并且甲车途中休息了0.5h ，如图是甲乙两车行驶的距离y （km ）与时间x （h ）的函数图象．则下列结论：
（1）a ＝40，m ＝1；（2）乙的速度是80km/h ；（3）甲比乙迟7
4
h 到达B 地；
（4）乙车行驶94 小时或19
4
小时，两车恰好相距50km ．正确的个数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
同类题型2.3 甲、乙两人从科技馆出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向极地馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向极地馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y （米）与甲出发的时间x （秒）的函数图象．则下列四种说法：①甲的速度为1.5米/秒；②a ＝750；③乙在途中等候甲100秒；④乙出发后第一次与甲相遇时乙跑了375米．其中正确的个数是 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
例3．如图，已知动点P 在函数y ＝ 1
2x
（x ＞0）的图象上运动，PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，线段
PM 、PN 分别与直线AB ：y ＝－x ＋1交于点E ，F ，则AF ﹒BE 的值为 （ ）
A ．4
B ．2
C ．1
D ．1
2
同类题型3.1 如图，在反比例函数y ＝ 3
2x 的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，
在第二象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y ＝ k x
的图象上运动，若tan ∠CAB ＝2，则k 的值为
（ ）
A ．－3
B ．－6
C ．－9
D ．－12
同类题型3.2 如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，点C 在线段AB 上，
点D 在AB 的右侧，△OAB 和△BCD 都是等腰直角三角形，∠OAB ＝∠BCD ＝90°，若函数y ＝ 6
x
（x ＞0）的
图象经过点D ，则△OAB 与△BCD 的面积之差为（ ） A ．12 B ．6 C ．3 D ．2
同类题型3.3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx （k ＞0）分别交反比例函数y ＝ 1x 和y ＝ 9
x
在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作 BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝ 1
x
的图象于点C ，连结A C ．若△ABC 是等
腰三角形，则k 的值是___________．
例4．如图，一次函数y ＝x ＋b 的图象与反比例函数y ＝ k x
的图象交于点A （3，6）与点B ，且与y 轴交于点C ，若点P 是反比例函数y ＝ k x
图象上的一个动点，作直线AP 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，连结BN 、
CM ．若S △ACM ＝S △ABN ，则AP
AN
的值为__________．
同类题型4.1 当12 ≤x ≤2时，函数y ＝－2x ＋b 的图象上至少有一点在函数y ＝ 1
x
的图象下方，则b 的
取值范围为 （ ）
A ．b ＞2 2
B ．b ＜ 92
C ．b ＜3
D ．2 2＜b ＜ 9
2
同类题型4.2 方程x 2
＋3x －1＝0的根可视为函数y ＝x ＋3的图象与函数y ＝ 1x
的图象交点的横坐标，
那么用此方法可推断出方程x 2
＋2x －1＝0的实数根x 0 所在的范围是
（ ）
A ．－1＜x 0 ＜0
B ．0＜x 0 ＜1
C ．1＜x 0 ＜2
D ．2＜x 0 ＜3
例5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－x 2＋2mx －m 2
－m ＋1交y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ．当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH ＝∠AHO ，则m ＝__________．
同类题型5.1 已知抛物线y ＝ 14
x 2
＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到
x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（ 3 ，3），P 是抛物线y ＝ 14
x 2
＋1上一个动点，则△PMF
周长的最小值是 （ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
同类题型5.2 抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋3（a ≠0）经过点A （－1，0），B （ 32
，0），且与y 轴相交于点C ．
设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E 在线段AC 上，且DE ⊥AC ，当△DCE 与△AOC 相似时，求点D 的坐标．
同类题型5.3小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A ，出水口B 和落水点C 恰好在同一直线上，点A 至出水管BD 的距离为12cm ，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E ，则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为__________cm ．
参考答案 例1．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝ 33x － 3
3
与x 轴交于点B 1 ，以OB 1 为边长作等边三角
形A 1OB 1 ，过点A 1 作A 1B 2 平行于x 轴，交直线l 于点B 2 ，以A 1B 2 为边长作等边三角形A 2A 1B 2 ，过点A 2 作A 2B 3 平行于x 轴，交直线l 于点B 3 ，以A 2B 3 为边长作等边三角形A 3A 2B 3 ，…，则点A 2017 的横坐标是____________．
解：由直线l ：y ＝
33x －33 与x 轴交于点B 1 ，可得B 1 （1，0），D （0，－33
），
∴OB 1 ＝1，∠OB 1 D ＝30°，
如图所示，过A 1 作A 1A ⊥OB 1 于A ，则OA ＝12OB 1＝1
2
，
即A 1 的横坐标为12＝21－1
2
，
由题可得∠A 1B 2B 1＝∠OB 1 D ＝30°，∠B 2A 1B 1＝∠A 1B 1 O ＝60°，
∴∠A 1B 1B 2 ＝90°， ∴A 1B 2＝2A 1B 1 ＝2，
过A 2 作A 2B ⊥A 1B 2 于B ，则A 1B ＝1
2A 1B 2 ＝1，
即A 2 的横坐标为12＋1＝32＝22
－1
2 ，
过A 3 作A 3C ⊥A 2B 3 于C ，
同理可得，A 2B 3＝2A 2B 2 ＝4，A 2C ＝1
2A 2B 3 ＝2，
即A 3 的横坐标为12＋1＋2＝72＝23
－1
2
，
同理可得，A 4 的横坐标为12＋1＋2＋4＝152＝24
－1
2 ，
由此可得，A n 的横坐标为2n
－1
2 ，
∴点A 2017 的横坐标是22017－1
2
．
同类题型1.1 如图，直线l ：y ＝x ＋1交y 轴于点A 1 ，在x 轴正方向上取点B 1 ，使OB 1＝OA 1 ；过点B 1 作A 2B 1 ⊥x 轴，交l 于点A 2 ，在x 轴正方向上取点B 2 ，使B 1B 2＝B 1A 2 ；过点B 2 作A 3B 2 ⊥x 轴，交l 于点A 3 ，在x 轴正方向上取点B 3 ，使B 2B 3＝B 2A 3 ；…记△OA 1B 1 面积为S 1 ，△B 1A 2B 2 面积为S 2 ，△B 2A 3B 3 面积为S 3 ，…则S 2017 等于（ ）
A ．24030
B ．24031
C ．24032
D ．24033
解：∵OB 1＝OA 1 ；过点B 1 作A 2B 1 ⊥x 轴，B 1B 2＝B 1A 2；A 3B 2 ⊥x 轴，B 2B 3＝B 2A 3 ；… ∴△△OA 1B 1 ，△B 1A 2B 2 ，△B 2A 3B 3 是等腰直角三角形， ∵y ＝x ＋1交y 轴于点A 1 ， ∴A 1 （0，1）， ∴B 1 （1，0）， ∴OB 1＝OA 1 ＝1，
∴S 1＝12×1×1＝12×12 ，
同理S 2＝12×2×2＝12×22 ，S 3＝12×4×4＝12×42
；…
∴S n ＝12
×22n －2＝22n －3 ，
∴S 2017＝22×2017－3＝24031
， 选B ．
同类题型1.2 如图，已知直线l ：y ＝ 3
3
x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直
线l 的垂线交y 轴于点A 1 ；过点A 1 作y 轴的垂线交直线l 于点B 1 ，过点B 1 作直线l 的垂线交y 轴于点
A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）
A．（0，128） B．（0，256） C．（0，512） D．（0，1024）
解：∵直线l的解析式为；y＝
3
3
x，
∴l与x轴的夹角为30°，∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝30°，
∵OA＝1，
∴OB＝2，
∴AB＝ 3 ，
∵A1B⊥l，
∴∠ABA1＝60°，
∴A1O＝4，
∴A1（0，4），
同理可得A2（0，16），
…
∴A4纵坐标为44
＝256，
∴A4（0，256）．选B．
同类题型1.3 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝
3
3
x＋1交x轴于点B，交y轴于点A，过点A
作AB1⊥AB交x轴于点B1，过点B1作B1A1⊥x轴交直线l于点A2…依次作下去，则点B n的横坐标为____________．
解：由直线l ：y ＝
3
3
x ＋1交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，可得A （0，1），B （－ 3 ，0），
∴tan ∠ABO ＝
3
3
，即∠ABO ＝30°， ∴BA ＝2AO ＝2，
又∵AB 1 ⊥AB 交x 轴于点B 1 ，AO ＝1，
∴AB 1＝2
3
3 ，
∴Rt △BAB 1 中，BB 1＝4
3
3 ；
由题可得BA 1＝8
3 ，
∴A 1B 2＝8
9
3 ，
∴Rt △BA 1B 2 中，BB 2＝16
9
3 ；
由题可得BA 2＝32
9 ，
∴A 2B 3＝32
27
3 ，
∴Rt △BA 2B 3 中，BB 3＝64
27
3 ，
…
以此类推，BB n ＝(43)n
3 ，
又∵BO ＝ 3 ，
∴OB n ＝(43
)n
3－ 3 ，
∴点B n 的横坐标为(43
)n
3－ 3 ．
例2．高速公路上依次有3个标志点A 、B 、C ，甲、乙两车分别从A 、C 两点同时出发，匀速行驶，甲车从A →B →C ，乙车从C →B →A ，甲、乙两车离B 的距离y 1 、y 2 （千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图象如图所示．观察图象，给出下列结论：①A 、C 之间的路程为690千米；②乙车比甲车每小时快30千米；③4.5小时两车相遇；④点E 的坐标为（7，180），其中正确的有_________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．
解：①450＋240＝690（千米）．
故A、C之间的路程为690千米是正确的；
②450÷5－240÷4
＝90－60
＝30（千米/小时）．
故乙车比甲车每小时快30千米是正确的；
③690÷（450÷5＋240÷4）
＝690÷（90＋60）
＝690÷150
＝4.6（小时）．
故4.6小时两车相遇，原来的说法是错误的；
④（450－240）÷（450÷5－240÷4）
＝210÷（90－60）
＝210÷30
＝7（小时），
450÷5×7－450
＝630－450
＝180（千米）．
故点E的坐标为（7，180）是正确的，
故其中正确的有①②④．
同类题型2.1 甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地，甲车以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地，比甲车早30分钟到达．到达B地后，乙车按原速度返回A地，甲车以2a千米/时的速度返回A地．设甲、乙两车与A地相距s（千米），甲车离开A地的时间为t（小时），s与t之间的函数图象如图所示．下列说法：①a＝40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t的值为5.25；④当t＝3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：①由函数图象，得
a＝120÷3＝40
故①正确，
②由题意，得
5.5－3－120÷（40×2），
＝2.5－1.5，
＝1．
∴甲车维修的时间为1小时；
故②正确， ③如图：
∵甲车维修的时间是1小时， ∴B （4，120）．
∵乙在甲出发2小时后匀速前往B 地，比甲早30分钟到达． ∴E （5，240）．
∴乙行驶的速度为：240÷3＝80， ∴乙返回的时间为：240÷80＝3， ∴F （8，0）．
设BC 的解析式为y 1＝k 1t ＋b 1 ，EF 的解析式为y 2＝k 2t ＋b 2 ，由图象，得 ⎩
⎪⎨⎪⎧120＝4k 1＋b 1240＝5.5k 1＋b ，，⎩⎪⎨⎪⎧240＝5k 2＋b 20＝8k 2＋b 2 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝80b 1＝－200 ，⎩
⎪⎨⎪⎧k 2＝－80b 2＝640 ，
∴y 1 ＝80t －200，y 2 ＝－80t ＋640， 当y 1＝y 2 时，
80t －200＝－80t ＋640， t ＝5.25．
∴两车在途中第二次相遇时t 的值为5.25小时， 故弄③正确，
④当t ＝3时，甲车行的路程为：120km ，乙车行的路程为：80×（3－2）＝80km ， ∴两车相距的路程为：120－80＝40千米， 故④正确， 选A ．
同类题型2.2 甲、乙两车从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h ，并且甲车途中休息了0.5h ，如图是甲乙两车行驶的距离y （km ）与时间x （h ）的函数图象．则下列结论： （1）a ＝40，m ＝1；
（2）乙的速度是80km/h ；
（3）甲比乙迟7
4 h 到达B 地；
（4）乙车行驶94 小时或19
4
小时，两车恰好相距50km ．
正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解：（1）由题意，得m ＝1.5－0.5＝1． 120÷（3.5－0.5）＝40（km/h ），则a ＝40，故（1）正确； （2）120÷（3.5－2）＝80km/h （千米/小时），故（2）正确；
（3）设甲车休息之后行驶路程y （km ）与时间x （h ）的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由题意，得 ⎩⎨⎧40＝1.5k+b 120＝3.5k+b
解得：⎩⎨⎧k ＝40b ＝-20
∴y ＝40x －20，
根据图形得知：甲、乙两车中先到达B 地的是乙车， 把y ＝260代入y ＝40x －20得，x ＝7， ∵乙车的行驶速度：80km/h ，
∴乙车的行驶260km 需要260÷80＝3.25h ，
∴7-（2+3.25）=7
4 h ，
∴甲比乙迟7
4
h 到达B 地，故（3）正确；
（4）当1.5＜x ≤7时，y ＝40x －20．
设乙车行驶的路程y 与时间x 之间的解析式为y ＝k 'x ＋b '，由题意得 ⎩⎨⎧0＝2k ′+b ′120＝3.5k ′+b ′
解得：⎩⎨⎧k ′＝80b ′＝-160
∴y ＝80x －160．
当40x －20－50＝80x －160时，
解得：x=9
4
．
当40x －20＋50＝80x －160时，
解得：x=19
4
．
∴94－2＝14 ，194－2＝11
4
． 所以乙车行驶小时14 或11
4
小时，两车恰好相距50km ，故（4）错误．
选C ．
同类题型2.3 甲、乙两人从科技馆出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向极地馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向极地馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y （米）与甲出发的时间x （秒）的函数图象．则下列四种说法：①甲的速度为1.5米/秒；②a ＝750；③乙在途中等候甲100秒；④乙出发后第一次与甲
相遇时乙跑了375米．其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
解：①根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒，则
甲的速度是：900÷600＝1.5米/秒，故①正确；
②甲跑500秒时的路程是：500×1.5＝750米，故②正确；
③CD 段的长是900－750＝150米，时间是：560－500＝60秒，则 乙速度是：150÷60＝2.5米/秒；
甲跑150米用的时间是：150÷1.5＝100秒，则 甲比乙早出发100秒．
乙跑750米用的时间是：750÷2.5＝300秒，则
乙在途中等候甲用的时间是：500－300－100＝100秒，故③正确； ④甲每秒跑1.5米，则
甲的路程与时间的函数关系式是：y ＝1.5x ， 乙晚跑100秒，且每秒跑2.5米，则 AB 段的函数解析式是：y ＝2.5（x －100）， 根据题意得：1.5x ＝2.5（x －100）， 解得：x ＝250秒．
∴乙的路程是：2.5×（250－100）＝375（米）．
∴甲出发250秒和乙第一次相遇，此时乙跑了375米，故④正确． 选D ．
例3．如图，已知动点P 在函数y ＝ 1
2x
（x ＞0）的图象上运动，PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，线段
PM 、PN 分别与直线AB ：y ＝－x ＋1交于点E ，F ，则AF ﹒BE 的值为（ ）
A ．4
B ．2
C ．1
D ．1
2
解：作FG ⊥x 轴，
∵P的坐标为（a，1
2a
），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐标为（0，1
2a
），M点的坐标为（a，0），
∴BN＝1－1
2a
，
在直角三角形BNF中，∠NBF＝45°（OB＝OA＝1，三角形OAB是等腰直角三角形），
∴NF＝BN＝1－1
2a
，
∴F点的坐标为（1－1
2a ，
1
2a
），
同理可得出E点的坐标为（a，1－a），
∴AF 2
＝（1－1＋
1
2a
）
2
＋（
1
2a
）
2
＝
1
2a
2
，BE
2
＝（a）
2
＋（－a）
2
＝2a
2
，
∴AF 2
﹒BE
2
＝
1
2a
2
﹒2a
2
＝1，即AF﹒BE＝1．
选C．
同类题型3.1 如图，在反比例函数y＝3
2x
的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，
在第二象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝k
x
的图象上运动，若tan∠CAB
＝2，则k的值为（）
A．－3 B．－6 C．－9 D．－12
解：如图，连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，
∵由直线AB与反比例函数y＝3
2x
的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO ＝BO ． 又∵AC ＝BC ， ∴CO ⊥A B ．
∵∠AOE ＋∠AOF ＝90°，∠AOF ＋∠COF ＝90°， ∴∠AOE ＝∠COF ，
又∵∠AEO ＝90°，∠CFO ＝90°， ∴△AOE ∽△COF ，
∴
AE CF ＝OE OF ＝AO CO
， ∵tan ∠CAB ＝OC
OA
＝2，
∴CF ＝2AE ，OF ＝2OE ．
又∵AE ﹒OE ＝3
2
，CF ﹒OF ＝|k |，
∴k ＝±6．
∵点C 在第二象限， ∴k ＝－6， 选B ．
同类题型3.2 如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，点C 在线段AB 上，
点D 在AB 的右侧，△OAB 和△BCD 都是等腰直角三角形，∠OAB ＝∠BCD ＝90°，若函数y= 6
x
（x ＞0）的
图象经过点D ，则△OAB 与△BCD 的面积之差为（ ） A ．12 B ．6 C ．3 D ．2
解：∵△OAB 和△BCD 都是等腰直角三角形，
∴OA ＝AB ，CD ＝B C ．
设OA ＝a ，CD ＝b ，则点D 的坐标为（a ＋b ，a －b ），
∵反比例函数y ＝6
x
在第一象限的图象经过点D ，
∴（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2
＝6，
∴△OAB 与△BCD 的面积之差＝12a 2－12b 2＝1
2
×6＝3．
选C ．
同类题型3.3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx （k ＞0）分别交反比例函数y ＝ 1x 和y ＝ 9
x
在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作 BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝ 1
x
的图象于点C ，连结A C ．若△ABC 是等
腰三角形，则k 的值是___________．
解：∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9
x
，
解得：x ＝
3
k
，y ＝3k ，
∴点B 坐标为（
3
k
，3k ），
点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1
x
，
解得：x ＝
1
k
，y ＝k ，
∴点A 坐标为（1
k
，k ），
∵BD ⊥x 轴， ∴点C 横坐标为
3
k
，纵坐标为
13k
＝k
3
， ∴点C 坐标为（
3
k
，
k
3
），
∴BA ≠AC ，
若△ABC 是等腰三角形，
①AB ＝BC ，则(3k －1k )2＋(3k －k )2
＝3k －k 3 ，
解得：k ＝37
7 ；
②AC ＝BC ，则(3
k
－
1k
)2＋(k －k 3)2＝3k －k 3 ，
解得：k ＝
15
5
； 故答案为k ＝377 或15
5
．
例4．如图，一次函数y ＝x ＋b 的图象与反比例函数y ＝ k x
的图象交于点A （3，6）与点B ，且与y 轴交于点C ，若点P 是反比例函数y ＝ k x
图象上的一个动点，作直线AP 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，连结BN 、
CM ．若S △ACM ＝S △ABN ，则AP
AN
的值为__________．
解：把A （3，6）代入到一次函数y ＝x ＋b 与反比例函数y ＝k x
中， 得：b ＝3，k ＝18，
∴y ＝18
x
，y ＝x ＋3，
∴C （0，3）， 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x y ＝x ＋3
，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3y 1＝6 ，⎩⎪⎨⎪
⎧x 2＝－6y 2＝－3 ，
∴B （－6，－3）， 分两种情况：
①点P 在第一象限时，如图1，
∵S △ACM ＝S △ABN ，
S △MNC －S △ACN ＝S △ACN ＋S △BCN ， S △MNC ＝2S △ACN ＋S △BCN ， 12NC ﹒OM ＝2×12NC ×3＋1
2 NC ×6， OM ＝6＋6＝12， ∴M （12，0），
直线AM 的解析式为：y ＝－2
3
x ＋8，
∴N （0，8），
则⎩
⎨⎧y ＝
18x
y ＝－2
3
x ＋8
，
18x ＝－2
3
x ＋8， 解得：x ＝3或9， ∴P （9，2），
∴AN ＝32＋22＝13 ，AP ＝62＋42
＝213 ， ∴AP AN ＝21313
＝2；
②当点P 在第三象限上时，如图2，
∵S △ACM ＝S △ABN ，
∴S △ACN ＋S △MNC ＝S △ACN ＋S △BCN ， S △MNC ＝S △BCN ， 12NC ﹒OM ＝1
2 NC ×6， ∴OM ＝6， ∴M （－6，0），
直线AM 的解析式为：y ＝2
3
x ＋4，
∴N （0，4），
则⎩
⎨⎧y ＝
18x
y ＝23
x ＋4 ，
18x ＝2
3
x ＋4， 解得：x ＝3或－9， ∴P （－9，－2），
∴AN ＝13 ，AP ＝122＋82
＝413 ， ∴AP AN ＝41313
＝4， 综上所述，则AP AN
的值为2或4．
同类题型4.1 当12 ≤x ≤2时，函数y ＝－2x ＋b 的图象上至少有一点在函数y ＝ 1
x
的图象下方，则b 的
取值范围为（ ）
A ．b ＞2 2
B ．b ＜ 92
C ．b ＜3
D ．2 2＜b ＜ 9
2
解：在函数y ＝1x 中，令x ＝2，则y ＝12 ；令x ＝1
2
，则y ＝2；
若直线y ＝－2x ＋b 经过（2，1
2
），则
12 ＝－4＋b ，即b ＝9
2
； 若直线y ＝－2x ＋b 经过（1
2
，2），则
2＝－1＋b ，即b ＝3，
∵直线y ＝－2x ＋9
2
在直线y ＝－2x ＋3的上方，
∴当函数y ＝－2x ＋b 的图象上至少有一点在函数y ＝1
x
的图象下方时，直线y ＝－2x ＋b 在直线
y ＝－2x ＋92
的下方，
∴b 的取值范围为b ＜9
2
．
选B ．
同类题型4.2 方程x 2
＋3x －1＝0的根可视为函数y ＝x ＋3的图象与函数y ＝ 1x
的图象交点的横坐标，
那么用此方法可推断出方程x 2
＋2x －1＝0的实数根x 0 所在的范围是（ ） A ．－1＜x 0 ＜0 B ．0＜x 0 ＜1 C ．1＜x 0 ＜2 D ．2＜x 0 ＜3
解：方程x 2
＋2x －1＝0的实数根可以看作函数y ＝x ＋2和y ＝1x
的交点．
函数大体图象如图所示：
A ．由图可得，第三象限内图象交点的横坐标小于－2，故－1＜x 0 ＜0错误；
B ．当x ＝1时，y 1 ＝1＋2＝3，y 2＝1
1
＝1，而3＞1，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐
标小于1，故0＜x 0 ＜1正确；
C ．当x ＝1时，y 1 ＝1＋2＝3，y 2＝1
1
＝1，而3＞1，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐
标小于1，故1＜x 0 ＜2错误；
D ．当x ＝2时，y 1 ＝2＋2＝4，y 2＝12 ，而4＞1
2
，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标
小于2，故2＜x 0 ＜3错误． 选B ．
例5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－x 2＋2mx －m 2
－m ＋1交y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ．当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH ＝∠AHO ，则m ＝__________．
解：（1）∵y ＝－x 2＋2mx －m 2－m ＋1＝－（x －m ）2
－m ＋1， ∴顶点D （m ，1－m ）． ∵顶点D 在第二象限， ∴m ＜0．
当点A 在y 轴的正半轴上， 如图（1）作AG ⊥DH 于点G ，
∵A （0，－m 2
－m ＋1），D （m ，－m ＋1），
∴H （m ，0），G （m ，－m 2
－m ＋1） ∵∠ADH ＝∠AHO ，
∴tan ∠ADH ＝tan ∠AHO ， ∴
AG DG ＝AO HO
． ∴－m 1－m －(－m 2－m ＋1)
＝－m 2
－m ＋1
－m
．
整理得：m 2
＋m ＝0． ∴m ＝－1或m ＝0（舍）．
当点A 在y 轴的负半轴上，如图（2）．作AG ⊥DH 于点G ，
∵A （0，－m 2
－m ＋1），D （m ，－m ＋1），
∴H （m ，0），G （m ，－m 2
－m ＋1） ∵∠ADH ＝∠AHO ，
∴tan ∠ADH ＝tan ∠AHO ， ∴
AG DG ＝AO HO
． ∴－m 1－m －(－m 2－m ＋1)
＝m 2
＋m －1
－m
．
整理得：m 2
＋m －2＝0． ∴m ＝－2或m ＝1（舍）．
综上所述，m 的值为－1或－2．
同类题型5.1 已知抛物线y ＝ 14
x 2
＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到
x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（ 3 ，3），P 是抛物线y ＝ 14
x 2
＋1上一个动点，则△PMF
周长的最小值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解：过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交抛物线y ＝14x 2 ＋1于点P ，此时△PMF 周长最小值，
∵F （0，2）、M （ 3 ，3），
∴ME ＝3，FM ＝(3－0)2＋(3－2)2 ＝2，
∴△PMF 周长的最小值＝ME ＋FM ＝3＋2＝5．
选C ．
同类题型5.2 抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋3（a ≠0）经过点A （－1，0），B （ 32
，0），且与y 轴相交于点C ． 设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E 在线段AC 上，且DE ⊥AC ，当△DCE 与△AOC 相似时，求点D 的坐标．
解：如图2所示：延长CD ，交x 轴与点F ．
∵∠ACB ＝45°，点D 是第一象限抛物线上一点，
∴∠ECD ＞45°．
又∵△DCE 与△AOC 相似，∠AOC ＝∠DEC ＝90°，
∴∠CAO ＝∠EC D ．
∴CF ＝AF ．
设点F 的坐标为（a ，0），则（a ＋1）2＝32＋a 2 ，解得a ＝4．
∴F （4，0）．
设CF 的解析式为y ＝kx ＋3，将F （4，0）代入得：4k ＋3＝0，解得：k ＝－34 ． ∴CF 的解析式为y ＝－34
x ＋3． 将y ＝－34 x ＋3与y ＝－2x 2 ＋x ＋3联立：解得：x ＝0（舍去）或x ＝78
． 将x ＝78 代入y ＝－34 x ＋3得：y ＝7532
． ∴D （78 ，7532 ）． 同类题型5.3小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A ，出水口B 和落水点C 恰好在同一直线上，点A 至出水管BD 的距离为12cm ，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E ，则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为__________cm ．
解：如图所示，建立直角坐标系，过A 作AG ⊥OC 于G ，交BD 于Q ，过M 作MP ⊥AG 于P ，
由题可得，AQ ＝12，PQ ＝MD ＝6，故AP ＝6，AG ＝36，
∴Rt △APM 中，MP ＝8，故DQ ＝8＝OG ，
∴BQ ＝12－8＝4，
由BQ ∥CG 可得，△ABQ ∽△ACG ，
∴BQ CG ＝AQ AG ，即4CG ＝1236
， ∴CG ＝12，OC ＝12＋8＝20，
∴C （20，0），
又∵水流所在抛物线经过点D （0，24）和B （12，24），
∴可设抛物线为y ＝ax 2 ＋bx ＋24，
把C （20，0），B （12，24）代入抛物线，可得
⎩⎨⎧24＝144a ＋12b ＋240＝400a ＋20b ＋24 ，解得⎩⎨⎧a ＝－320b ＝95
， ∴抛物线为y ＝－320x 2＋95
x ＋24， 又∵点E 的纵坐标为10.2，
∴令y ＝10.2，则10.2＝－320x 2＋95
x ＋24， 解得x 1＝6＋8 2 ，x 2＝6－8 2 （舍去）， ∴点E 的横坐标为6＋8 2 ，
又∵ON ＝30，
∴EH ＝30－（6＋82）＝24－8 2 ．。