一模北京中考数学四边形汇总
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20．（东城） 如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，
∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点．
（1）求证：∠CED =∠DAG ；
（2）若BE =1，AG =4，求sin AEB ∠的值．
19（西城）．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O
AC ⊥AB ，AB =2，且AC ︰BD =2︰3． (1) 求AC 的长；
(2) 求△AOD 的面积． 19．（丰台）如图，四边形ABCD 中，AB = AD ，∠BAD =90°，∠CBD =30°，∠BCD =45°，
若AB =22.求四边形ABCD 的面积．
19（石景山）. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD DC ⊥，△D B C 是等边三角形，︒=∠45ABD ，2=AD .求四边形ABCD 的周长.
19（顺义）．已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点E ，
BD DC ⊥，45ABD ∠=︒，30ACD ∠=︒，AD CD ==AC 和BD 的长.
20（通州）．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC ，△DCE 是等边三角形，DE 交AB 于点F ，求△BEF 的
周长．
A
B C D
D
C
B
A
D
C
B
A
E
A D
F
E
B
A 19（海淀）.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ,BD 相交于点E ,DA
B ∠=CDB ∠=90︒,ABD ∠=45︒,
∠
DCA =30︒,AB =求AE 的长和△ADE 的面积．
19（平谷）．已知：如图，四边形ABCD 中，90A ∠=︒，120D ∠=︒，E 是
AD 上一点，∠BED=135
°，BE =
DC =2DE =
求(1)点C 到直线AD 的距离；
（2）线段BC 的长．
21（昌平）. 已知：如图，在□ABCD 中，∠BAD ，∠ADC 的平分线AE ，DF 分别与线段BC 相交于点E ，F ，AE 与DF 相交于点G ．
（1）求证：AE ⊥DF ；
（2）若AD =10，AB =
6，AE =4，求DF 的长．
20（东城）.（本小题满分5分） 解：（1）证明：∵ 矩形ABCD ，
∴ AD ∥BC .
∴ ∠CED =∠ADE .
又∵点G 是DF 的中点， ∴ AG =DG .
∴ ∠DAG =∠ADE .
∴ ∠CED =∠DAG . …………………………2分
(2) ∵ ∠AED =2∠CED ，∠AGE =2∠DAG ， ∴ ∠AED =∠AGE .
∴ AE =AG . ∵ AG =4， ∴ AE =4.
在Rt △AEB 中，由勾股定理可求AB
∴
sin 4
AB AEB AE ∠=
=
…………………………5分 19（西城）．解：（1）如图2.
∵平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点
∴OA = 12AC ，OB = 1
2BD . …………… 1分
∵AC ︰BD =2︰3， ∴OA ︰OB =2︰3 .
设OA =2x (x >0)，则OB =3x .
∵AC ⊥AB ，∴∠BAC =90°.
在Rt △OAB 中，OA 2+AB 2=OB 2. …………………………………… 2分 ∵AB =2，∴(2x )2+22=(3x )2 . 解得x =±25
5(舍负).
∴AC =2OA =
85
5
. …………………………………………………… 3分 （2）∵平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，
∴OB =OD .
∴S △AOD = S △AOB = 12 AO ·AB = 12×455×2= 45
5
. ……………………… 5分
19（丰台）.解：过点C 作CE ∥DB ，交AB 的延长线于点E ．
∴∠ACE =∠COD =60°． -----------------1分 又∵DC ∥AB ， ∴四边形DCEB 为平行四边形．---------------- 2分 ∴BD =CE ，BE = DC =3，AE =AB +BE =8+3=11． ---------------- 3分 又∵DC ∥AB ，AD =BC ， ∴DB =AC =CE ．
∴△ACE 为等边三角形．
∴AC =AE =11， ∠CAB =60°． -------------------------------------------------- 4分
过点C 作CH ⊥AE 于点H ．在Rt △ACH 中， CH =AC ·sin ∠CAB =11×
2
3
．
∴梯形ABCD
-------------------------------------------------- 5分
19.（石景山） 解：过点A 作BD AE ⊥于点E ………………… 1分
∵AD DC ⊥ ∴︒=∠90ADC ∵△DBC 是等边三角形 ∴︒=∠60BDC
∴︒=∠30ADB ………………… 2分 在Rt △AED 中，2=AD
∴12
1
==AD AE
由勾股定理得：3=DE ………………………………3分 在Rt △AEB 中，︒=∠45ABD ∴1==AE BE ∴2=
AB ………………………………4分
∴31+=BD
∴31+===BD BC DC
∴322432222++=+++=+++AD CD BC AB …………5分 即四边形ABCD 的周长为3224++. 19（顺义）解：∵ BD DC ⊥
∴ 90BDC ∠=︒
∵ 30ACD ∠=︒
，AD CD == ∴ 60,30,DEC DAC ACD ∠=︒∠=∠=︒
tan 3023
DE CD =⋅︒== ∴ 24EC DE == ，30ADE ∠=︒ …………………………………………1分
∴ 2AE DE == ……………………………………………………… 2分- ∴ 246AC AE EC =+=+= ………………………………………………3分
过点A 作AM BD ⊥,垂足为M ∵ 60AEB DEC ∠=∠=︒
∴
sin 602AM AE =⋅︒== 1c o s 60212
M E A E
=︒=⨯= ………………………………………………4分
∵45ABD ∠=︒
∴BM AM ==A
B
C
D
E