时间序列作业ARMA模型--
时间序列中的ARMA模型
c u=
1 (1 2 ... p)
旳无条
7
ARIMA模型旳概念
Yt-u=1(Yt-1-u)+ 2(Yt-2-u)+...+p(Yt-p-u)+vt
0=1 1+ 2 2+...+p p+ 2 1=1 0+ 2 1+...+ p p-1
……
p=1 p-1+ 2 p-2+...+ p 0
(1
2
1
1≤j≤22q ... q2 )
0 j>q
j>q时，ACF(j)=0，此现象为截尾，是MA(q)过程旳一种特征
如下图：
18
ARMA模型旳辨认
MA（2）过程
yt =0.5ut-1 0.3ut2 ut
19
ARMA模型旳辨认
⑵ AR(p)过程旳偏自有关函数
j p 时，偏自有关函数旳取值不为0 j>q 时，偏自有关函数旳取值为0 AR(p)过程旳偏自有关函数p阶截尾 如下图：
32
ARMA模型旳预测
二. 基于MA过程旳预测
过程 结论：
MA (2) 过程仅有2期旳记忆力
33
ARMA模型旳预测
三. 基于ARMA过程旳预测
结合对AR过程和MA过程进行预测 ARMA模型一般用于短期预测
34
五、实例：ARMA模型在金融数 据中旳应用
数据： 1991年1月到2023年1月旳我国货币供
3
ARIMA模型旳概念
2.MA（q）过程旳特征
1. E(Yt)=u
2.
var(Yt)
(1
2
时间序列的ARMA模型
If a mixed ARMA model seems to fit the data, also try a model with one fewer AR term and one fewer MA term
How do we choose the best model?
In most cases, the best model turns out a model that uses either only AR terms or only MA terms It is possible for an AR term and an MA term to cancel each other’s effects, even though both may appear significant in the model
Like a multiple regression model, but Xt is regressed on past values of Xt
The AR(1) Model
A simple way to model dependence over time is with the “autoregressive model of order 1” This is a OLS model of Xt regressed on lagged Xt-1
Model estimation
Model validation
Model forecasting
1
4/9/2010
Autoregressive (AR) and moving average (MA)
So, what’s the big difference?
ARMA模型
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2: 一般假定
X t 均值为0，否则令
X
t
Xt
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
记 Bk 为 k 步滞后算子, 即 Bk X t X tk , 则
模型【1】可表示为
Xt 1BXt 2B2 Xt pBp Xt ut
实际问题中, 常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况, 这 时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性, 否则季节性会被强趋势性所掩盖, 以至判断错误.
包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型, 需进 行季节差分消除序列的季节性, 差分步长应与季节周期一致.
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
式【5】称为( p, q)阶的自回归移动平均模型, 记为ARMA ( p, q)
注1: 实参数 1,2 , , p 称为自回归系数, 1,2 , ,q 为移动平均系数,
都是模型的待估参数
注2: 【1】和【3】是【5】的特殊情形 注3: 引入滞后算子，模型【5】可简记为
(B) Xt (B)ut
【6】
在实际中, 常见的时间序列多具有某种趋势, 但很多序列 通过差分可以平稳
判断时间序列的趋势是否消除, 只需考察经过差分后序列 的自相关系数
（3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上, 序列重
复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额等 时间序列都具有明显的季节变化. 一般地, 月度资料的时间序列, 其季节周期为12个月；
Xt 1 v1B v2B2
ut
vjB
j
ut
j0
时间序列上机实验ARMA模型的建立
实验一ARMA模型建模一、实验目的学会检验序列平稳性、随机性。
学会分析时序图与自相关图。
学会利用最小二乘法等方法对ARMA模型进行估计，以及掌握利用ARMA模型进行预测的方法。
学会运用Eviews软件进行ARMA模型的识别、诊断、估计和预测和相关具体操作。
二、基本概念宽平稳：序列的统计性质不随时间发生改变，只与时间间隔有关。
AR模型：AR模型也称为自回归模型。
它的预测方式是通过过去的观测值和现在的干扰值的线性组合预测，自回归模型的数学公式为：乂2『t2 川p y t p t式中：p为自回归模型的阶数i（i=1，2，，p）为模型的待定系数，t为误差，yt 为一个平稳时间序列。
MA模型：MA模型也称为滑动平均模型。
它的预测方式是通过过去的干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。
滑动平均模型的数学公式为：y t t 1 t 1 2 t 2 川q t q式中：q为模型的阶数；j（j=1，2，，q）为模型的待定系数；t为误差；yt为平稳时间序列。
ARMA模型：自回归模型和滑动平均模型的组合，便构成了用于描述平稳随机过程的自回归滑动平均模型ARMA，数学公式为：y t 1 y t 1 2 y t 2 p y t p t 1 t 1 2 t 2 q t q三、实验内容（1）通过时序图判断序列平稳性；（2）根据相关图，初步确定移动平均阶数q 和自回归阶数p；（3）对时间序列进行建模四、实验要求学会通过各种手段检验序列的平稳性；学会根据自相关系数和偏自相关系数来初步判断ARMA模型的阶数p和q,学会利用最小二乘法等方法对ARMA 模型进行估计，学会利用信息准则对估计的ARMA 模型进行诊断，以及掌握利用ARMA 模型进行预测。
五、实验步骤1．模型识别（1）绘制时序图在Eviews 软件中,建立一个新的工作文件, 500个数据。
通过Eviews 生成随机序列“ e，再根据“ x=*x（-1）*x（-2）+e ”生成AR（2）模型序列“ x” 默认x（1）=1, x（2）=2,得到下列数据，由于篇幅有限。
ARMA模型
ARMA模型1.简单介绍ARMA模型是一类常用的随机时间序列预测模型，是一种精度较高的时间序列短期预测方法，它的基本思想是：某些时间序列是依赖于时间t的一族随机变量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变化却有一定规律性，可用数学模型近似描述。
2.分类ARMA模型具有三种基本类型：自回归(AR)模型，移动平均（MA）模型，自回归移动平均（ARMA）模型。
3.表达如果时间序列是它的前期值和随机项的线性函数，即表示为：就称为P阶自回归模型，记为AR（p）。
其中称为自回归系数，是待估参数。
随机项是相互独立的白噪声序列，服从均值为0，方差为的正态分布。
且一般假定的均值也为0。
AR模型的平稳性问题从数学表达式来看，我们首先记为k步滞后算子，即。
则上述模型可写为：我们令（），模型就被简化为。
AR（p）平稳的等价条件是的根都小于1，另一方面，从自相关系数和偏自相关系数的曲线图也能看出该模型是否平稳，AR（p）模型平稳等价于自相关系数拖尾，偏自相关系数p步截尾。
而如果时间序列是它的当期和前期的随机误差项的线性函数，即则称为q阶移动平均模型，记为MA(q)。
它是无条件平稳的，因为它的均值和方差均为常数，跟AR模型做同样的滞后和简化，如果的根都小于1，则MA模型是可逆的。
另一个可逆的等价条件就是自相关函数q步截尾，偏自相关函数拖尾。
基于此，ARMA（p,q）模型的数学表达就呼之欲出了：而ARMA（p,q）的平稳条件就是AR(p)的平稳条件，可逆条件就是MA（q）的可逆条件。
而关于ARMA，它的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的。
4.代入本题之前在问题分析中也介绍了，我们将日期统一化，以第一次发生地震的日期作单位1参考，将数据集中的地震发生时间转化成了一个时间序列。
如图ts所示，我们分析了这组时间序列发现它的一阶差分是平稳的。
由上图，可看出它的一阶差分后的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的，故我们选择了ARMA(1,1)模型来做数据分析拟合。
时间序列ARMA模型及分析
ARMA模型及分析本次试验主要是通过等时间间隔，连续读取70个某次化学反应的过程数据，构成一个时间序列。
试对该时间序列进行ARMA模型拟合以及模型的优化，最后进行预测。
以下本次试验的数据：表1 连续读取70个化学反应数据47 64 23 71 38 64 55 41 59 48 71 35 57 4058 44 80 55 37 74 51 57 50 60 45 57 50 4525 59 50 71 56 74 50 58 45 54 36 54 48 5545 57 50 62 44 64 43 52 38 59 55 41 53 4934 35 54 45 68 38 50 60 39 59 40 57 54 23 资料来源：O’Donovan, Consec. Readings Batch Chemical Proces, ler et al.下面的分析及检验、预测均是基于上述数据进行的，本次试验是在Eviews 6.0上完成的。
一、序列预处理由于只有对平稳的时间序列才能建立ARMA模型，因此在建立模型之前，有必要对序列进行预处理，主要包括了平稳性检验和纯随机检验。
图1 化学反应过程时序图序列时序图显示此化学反应过程无明显趋势或周期，波动稳定。
见图1。
图2 化学反应过程相关图和Q统计量从图2的序列的相关分析结果:1. 可以看出自相关系数始终在0周围波动，判定该序列为平稳时间序列2.看Q统计量的P值：该统计量的原假设为X的1期，2期……k期的自相关系数均等于0，备择假设为自相关系数中至少有一个不等于0，因此如图知，该P值在滞后2、3、4期是都为0,所以拒接原假设,即序列是非纯随机序列,即非白噪声序列(因为序列值之间彼此之间存在关联,所以说过去的行为对将来的发展有一定的影响,因此为非纯随机序列,即非白噪声序列)。
二、模型识别由于检验出时间序列是平稳的，且是非白噪声序列，因此可以建立模型，在建立模型之前需要识别模型阶数即确定阶数。
中级计量经济学-考察时间序列自相关性的ARMA模型
rˆh l E rhl rh , rh1,
E c0 ahl 1ahl1 c0
eh l rhl rˆh l ahl 1ahl1
vareh l
1 12
2 a
总 结 ： 对 于 MA(1) 模 型，超过1步的点预测 为rt的无条件均值，预 测误差的方差为rt的无 条件方差
，当l
1
0，当l 1
1，当l 0
1
1 12
，当l
1
MA2：l
0
1 12
2 2
0，02 当1l2122
2 2
，当l
2
总结：MA(q)的ACF会在滞后q期之后截尾，有限记 忆，利用此性质来确定MA模型的order
22
实际MA模型的应用
模型的选择 模型的估计 模型的检验 模型的预测 模型应用举例
6
AR(2)模型的性质（续）
ACF特征：l 1l1 2l2 l c1 x1l c2 x2l
如果 12 42 0 ，x1, x2 为实数，ACF为两个指数衰减的混合 如果 12 42 0 ，x1, x2 为虚数，ACF为逐渐衰弱的正弦余弦波
，表明商业周期的存在
7
AR(p)模型
23
MA模型的应用——模型选择
ACF与PACF
若ACF表现为一个衰减拖尾的形状（非截尾），基本 可以选择AR模型，再以截尾的PACF来确定order
若ACF在滞后期为q处截尾，即 q 0，但对于 l q则有l 0
则rt服从一个MA(q)模型
Information Criteria
24
表达式：
rt 0 1 rt1 p rt p at
11B pBp rt 0 at
特征方程
ARMA模型介绍
ARMA模型介绍ARMA模型（Autoregressive Moving Average model）是时间序列分析中常用的一种模型，用于描述和预测随时间变化的数据。
ARMA模型结合了自回归（AR）和移动平均（MA）两种模型的特点，可以较好地描述时间序列数据的变化趋势。
ARMA模型的核心思想是：当前时刻的观测值可以通过历史观测值和随机误差的线性组合来表示。
具体地说，AR部分考虑了当前时刻和过去几个时刻的观测值之间的关系，而MA部分则考虑了当前时刻和过去几个时刻的随机误差之间的关系。
在AR模型中，当前时刻的观测值与过去几个时刻的观测值之间存在线性关系。
AR模型的阶数(p)表示过去几个时刻的观测值被考虑进来。
对于AR(p)模型，数学表达式如下：yt = c + φ1 * yt-1 + φ2 * yt-2 + ... + φp * yt-p + et其中，yt表示当前时刻的观测值，c表示常数项，φ1, φ2, ... ,φp表示对应的回归系数，et表示当前时刻的随机误差。
在MA模型中，当前时刻的观测值与过去几个时刻的随机误差之间存在线性关系。
MA模型的阶数(q)表示过去几个时刻的随机误差被考虑进来。
对于MA(q)模型，数学表达式如下：yt = c + et + θ1 * et-1 + θ2 * et-2 + ... + θq * et-q其中，yt表示当前时刻的观测值，c表示常数项，θ1, θ2, ... ,θq表示对应的回归系数，et表示当前时刻的随机误差。
yt = c + φ1 * yt-1 + φ2 * yt-2 + ... + φp * yt-p + et + θ1 * et-1 + θ2 * et-2 + ... + θq * et-qARMA模型可以用于时间序列的拟合和预测。
通过将模型与已有数据进行拟合，可以得到模型的参数估计值。
然后，利用这些参数估计值，可以预测未来的观测值。
ARMA模型适用于没有明显趋势和季节性的时间序列数据。
平稳时间序列分析-ARMA模型
1 0 1 2
所以，平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为
0
1 2 (1 2 )(1 1 2 )(1 1
2
)
2
1
1 0 1 2
k
1 k1 2 k2，k
2
4、自相关系数
（1）自相关系数的定义：
k
k 0
特别
0 1
（2）平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式：
k 1k 1 2 k 2 p k p
例3.5:— (3)xt xt1 0.5xt2 t
自相关系数呈现出“伪周期”性
例3.5:— (4)xt xt1 0.5xt2 t
自相关系数不规则衰减
6、偏自相关函数
自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt-k的总体 相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全 不同的相关关系。
例如，在AR(1) 中，Xt与Xt-2间有相关性可 能主要是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来 的:
对于非中心化序列
xt 0 1xt1 2 xt2
p xt p t
作变换
1 1
0
p
yt xt
则原序列即化为中心化序列
yt 1 yt1 2 yt2 p yt p t
所以，以后我们重点讨论中心化时间序列。
AR模型的算子表示
令 (B) 11B 2B2 p B p
则 AR( p) 模型可表示为
平稳AR(1)模型的传递形式为
xt
t 1 1B
i0
(1B)i t
1i ti
i0
Green函数为 Gj 1 j , j 0,1,
平稳AR(1)模型的方差为
Var(xt )
G2jVar(t )
j0
平稳时间序列的ARMA模型
第五讲（续）平稳时间序列的ARMA模型1 平稳性有一类描述时间序列的重要随机模型受到了人们的广泛关注，这就是所谓的平稳模型。
这类模型假设随机过程在一个不变的均值附近保持平衡。
其统计规律不会随着时间的推移发生变化。
平稳的定义分为严平稳和宽平稳。
定义1（严平稳）设{},t x t T ∈是一个随机过程,t x 是在不同的时刻t 的随机变量，在不同的时刻t 是不同的随机变量，任取n 个值1,,n t t 和任意的实数h ，则1,,n x x 分布函数满足关系式1111(,,;,)(,,;,)n n n n n n F x x t t F x x t h t h =++则称{},t x t T ∈为严平稳过程。
在实际中，这几乎是不可能的。
由此考虑到是否可以把条件放宽，仅仅要求其数字特征(数学期望和协方差)相等。
定义2（宽平稳）若随机变量{},t x t T ∈的均值（一阶矩）和协方差（二阶矩）存在，且满足：（1）任取t T ∈，有()t E x c =； （2）任取t T ∈，t T τ+∈，有[(())(())]()E X t a X t a R ττ-+-=协方差是时间间隔的函数。
则称{},t x t T ∈ 为宽平稳过程，其中()R τ为协方差函数。
2 各种随机时间序列的表现形式白噪声过程（white noise，如图1）。
属于平稳过程。
y t = u t, u t IID(0, 2)3white noise21-1-2-3100120140160180200220240260280300图1 白噪声序列（2=1）随机游走过程（random walk，如图11）。
属于非平稳过程。
y t = y t-1 + u t, u t IID(0, 2)10y=y(-1)+u5-5-1020406080100120140160180200图2 随机游走序列（2=1）-2-112240260340360DJPY图3 日元兑美元差分序列2200 2000 1800 1600 1400 1200图4深圳股票综合指数100 80 60 40 20图5随机趋势非平稳序列（= 0.1）20-20-40-60-80100200300400500600700800图6 随机趋势非平稳序列（= -0.1）10.0Ln(Income)9.59.08.58.07.57.05560657075808590图7 对数的中国国民收入序列14Y 1210864图8 中国人口序列3 延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻，记B 为延迟算子，有,1p t p t x B x p -=∀≥。
时间序列分析中的自回归移动平均模型研究论文素材
时间序列分析中的自回归移动平均模型研究论文素材自回归移动平均模型（ARMA）是一种常用的时间序列分析方法，被广泛应用于经济、金融和社会科学等领域。
本文旨在探讨ARMA模型的研究素材，包括相关理论、应用案例和计算方法等方面的内容。
以下是对ARMA模型的研究素材的详细讨论。
一、ARMA模型的理论基础ARMA模型是自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）的结合，它基于两个主要的假设：一是时间序列的值与过去的值相关，即自回归项；二是时间序列的值与随机误差项相关，即移动平均项。
ARMA 模型的数学表达式可表示为：\[Y_t = c + \varphi_1Y_{t-1} + \varphi_2Y_{t-2} + \ldots +\varphi_pY_{t-p} + \varepsilon_t - \theta_1\varepsilon_{t-1} -\theta_2\varepsilon_{t-2} - \ldots - \theta_q\varepsilon_{t-q}\]其中，\(Y_t\)表示时间序列的值，\(c\)表示截距，\(\varphi_i\)和\(\theta_i\)表示自回归系数和移动平均系数，\(\varepsilon_t\)表示白噪声误差项。
二、ARMA模型的应用案例ARMA模型在实际应用中具有广泛的用途。
以下是一些典型的ARMA模型应用案例：1. 股票价格预测ARMA模型可以用于预测股票价格的走势。
通过对历史股票价格数据进行ARMA模型的参数估计，可以预测未来一段时间内的股票价格变化趋势，为投资者提供决策参考。
2. 经济数据分析ARMA模型可以用于分析经济数据的周期性和趋势性。
通过对经济指标的ARMA建模，可以揭示经济变量之间的关系，为宏观经济政策的制定提供依据。
3. 疫情传播模型ARMA模型可以用于建立疫情传播模型，对疫情的发展趋势进行预测。
通过对病例数、传染率等数据进行ARMA建模，可以评估疫情的爆发和扩散情况，为疫情防控提供科学依据。
时间序列ARMA模型
ARMA （p,q ）时间序列模型1、 ARMA 模型的构建：①AIC 定阶准则：选p , q,使得2^min()ln 2(1)AIC n p q εσ=+++ (1)其中：n 是样本容量；2^εσ是2εσ的估计，与p , q 有关。
若当^^,p p q q ==时， 式(1)达到最小值，则认为序列是ARMA （^,p ^q ） 当ARMA （^,p ^q ）序列含有未知参数μ时，模型为()()(),t t B X B ϕμθε-= (2)这时应选取p,q ，使得2^min()ln 2(2)AIC n p q εσ=+++ (3)②ARMA 模型的参数估计一般使用MATLAB 工具箱给出相关参数估计。
方法有有炬估计、逆函数估计、最小二乘法、最大似然估计等。
③ARMA 模型的2χ检验若拟合模型的残差记为^t ε，即t ε的估计值。
记^^12^1,1,2,,,n k tt kt k n tt k L εεηε-+====∑∑ (4)则2χ检验统计量是221(2)Lk k n n n kηχ==+-∑(5)L 是^t ε自相关函数的拖尾数。
检验的假设是0:0,k H ρ=当k L ≤时； 1:H 对某些,0k k L ρ≤≠。
在0H 成立时，若样本容量n 充分大，2χ近似于2()L r χ-分布，其中r 是估计的模型参数个数。
2χ检验法：给定显著性水平α，查表的上α分位数2()L r αχ-，当22()L αχχ≥时拒绝0H ，认为t ε非白噪声，模型检验未通过；而当22()L r αχχ≤-时，接受0H ，认为t ε是白噪声，模型通过检验。
2、 ARMA （p,q ）序列的预报时间序列的m 步预报，是根据1{,,}k k X X - 的取值对未来k+m 时刻的随机变量k m X +（m>0）做出估计。
估计量记作1,,k k X X - 的线性组合。
^^^^12()(1)(2)(),.k k k k p X m X m X m X m p m p ϕϕϕ=-+-++-> (6)计算递推式为：^1112^^212^^^^121^^^^12(1),(2)(1),()(1)(2)(1),()(1)(2)(),.k k k k p p k k k k p p k k k k k p p k k k k p X X X X X X X X X p X p X p X X X m X m X m X m p m p ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ--+-+-=+++=+++=-+-+++=-+-++->(7)关于MA （q ）序列{,0,1,2,}t X t =±± 的预报，有^()0,.k X m m q =>因此，只需讨论^(),1,2,,k X m m q = 。
时间序列--ARMA模型的特性
j0
i 1
所以，齐次方程解是由衰减指数项、多项式、衰 减正弦项，以及这些函数旳组合混合生成旳。
上述过程中计算Gi 并不方便，通常通过解方程 n 1n1 2n2 ...n 0 得到其根为：i,i 1,2,...,n 。 由于 n 1n1 2n2 ...n 0 的根与 11B 2B2 nBn 0 的根互为倒数，因此 i Gi 。
k期滞后协方差为:
k
E( X tK (1 X t1
2 X t2
L n Xtn
t
))
1 k1 2 k2 L n k n
从而有自有关函数 :
k 1k1 2k2 ... n kn
可见，不论k有多大， k旳计算均与其１到n阶滞后 旳自有关函数有关，所以呈拖尾状。
假如AR(n)是平稳旳，则|k|递减且趋于零。
则 (B)G(B) (B)
令
* j
j
0,
,
0 jn jn
* l
0l,,
0lm lm
则 (B)G(B) (B) 化为
* j
B
j
Gk
Bk
l*Bl
j0
k0
l0
比较等式两边B旳同次幂旳系数，可得
l
*jGl j
* l
,
l
1, 2,3,...
j0
由上式，格林函数可从 l 1 开始依次递推算出。
二、ARMA模型旳逆函数
• ARMA（n,m）模型逆函数通用解法 对于ARMA（n,m）模型旳逆函数求解模型格林函数
求解措施相同。
令
I (B) 1 I j Xt j , I0 1
j 1
则平稳序列 Xt旳逆转形式 at Xt I j Xt可j 表达为 j 1
时间序列作业ARMA模型--
一案例分析的目的本案例选取2001年1月，到2013年我国铁路运输客运量月度数据来构建ARMA模型，并利用该模型进行外推预测分析。
二、实验数据数据来自中经网统计数据库2013-04 1.75 2013-05 1.62 2013-06 1.80 2013-07 1.99 2013-08 2.03 2013-09 1.92 2013-10 1.64数据来源：中经网数据库三、ARMA模型的平稳性首先绘制出N的折线图，如图从图中可以看出，N序列具有较强的非线性趋势性，因此从图形可以初步判断该序列是非平稳的。
此外，N在每年同期出现相同的变动方式，表明N还存在季节性特征。
下面对N 的平稳性和季节季节性进行进一步检验。
四、单位根检验为了减少N 的变动趋势以及异方差性，先对N进行对数处理，记为LN其曲线图如下：GENR LN = LOG(N)对数后的N趋势性也很强。
下面观察N 的自相关表，选择滞后期数为36，如下：从上图可以看出，LN的PACF只在滞后一期是显著的ACF随着阶数的增加慢慢衰减至0，因此从偏/自相关系数可以看出该序列表现一定的平稳性。
进一步进行单位根检验，打开LN选择存在趋势性的形式，并根据AIC自动选择滞后阶数，单位根检验结果如下：T统计值的值小于临界值，且相伴概率为0.0001，因此该序列不存在单位根，即该序列是平稳序列。
五、季节性分析趋势性往往会掩盖季节性特征，从LN的图形可以看出，该序列具有较强的趋势性，为了分析季节性，可以对LN进行差分处理来分析季节性：Genr = DLN = LN – LN (-1)观察DLN的自相关表，如下：DLN在之后期为6、12、18、24、30、36处的自相关系数均显著异于0，因此，该序列是以周期6呈现季节性，而且季节自相关系数并没有衰减至0，因此，为了考虑这种季节性，进行季节性差分：GENR SDLN = DLN –DLN(-6)再做关于SDLN的自相关表，如下：SDLN在滞后期36之后的季节ACF和PACF已经衰减至0，下面对SDLN建立SARMA模型。
ARMA模型解析
X t 1 v1B v2 B
2
j ut v j B ut j 0
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
3、自回归移动平均【ARMA】模型 【B-J方法建模】
自回归移动平均序列
ARMA序列，它的阶要由从低阶到高阶逐步增加，再通过检验来确定. 但实际数据处理中，得到的样本自协方差函数和样本偏自相关函数只是
k
而只能是在某步之后围绕零值上下波动，故对于 k 和 kk 的截尾性 只能借助于统计手段进行检验和判定。
和 kk 的估计，要使它们在某一步之后全部为0几乎是不可能的，
H0 : pk , pk 0, k 1,
2 统计量 N pM
H1 : 存在某个 k ，使 kk
k p 1
0 ，且
2
pkM p
( ) 表示自由度为 M 的 分布 的上侧 分位数点 2 2 M ( )，则认为 对于给定的显著性水平 0 ，若 2 2 p ，可认为 样本不是来自AR（ ）模型 ； M ( )
【2】
( B) X t ut
AR（
的根均在单位圆外，即
p ）过程平稳的条件是滞后多项式 ( B)
( B) 0 的根大于1
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、移动平均【MA】模型
移动平均序列 X t ： 如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差 项的线性函数，即可表示为
时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序列 重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额 等时间序列都具有明显的季节变化. 一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个月；
时间序列ARMA模型
第1节 时间序列ARMA 模型一、时间序列及其特征识别（一）地理时间序列的分类与构成1.地理系统中的时间序列如果对地理系统进行长期观测，每隔一定的时间作一个记录，则记录结果可以构成时间序列。
如果只针对某一个指标进行观测，得到的记录为一元时间序列；如果同时观测多个指标，则可形成多元时间序列。
因此，所谓时间序列（time series ），实际上就是将某个指标在不同时刻的不同数值，按照时间先后的顺序排列而成的数列。
时间序列分析就是利用这组数列，应用数理统计方法加以处理，以预测未来事物的发展。
地理系统的演化过程一般包含两种成分，一是确定性成分，二是随机性成分。
确定性成分具有一定的物理意义，它们又包括周期成分和非周期成分，其坐标曲线具有比较明确的规则；随机成分则表现得没有规则，其坐标曲线似乎是任意摆动和振荡的轨迹，这种轨迹很难从物理上进行阐释，只能借助随机过程理论和方法予以分析。
随机时间序列通常包括平稳和非平稳两种情况，二者的性质有很大不同。
简而言之，时间序列的分类和构成可以图示如下（图4-1-1）。
这种分类不是特别严格的，它们之间的界限有时很难区分。
例如，有些学者将周期性序列视为广义的平稳序列。
地理时间序列{确定型{ 周期型序列{简单周期复合周期 非周期序列{ 准周期序列 暂态序列{趋势型序列跳跃型序列突变型序列随机型{平稳序列{相依型序列独立型序列非平稳序列 图4-1-1 地理时间序列的分类与构成地理系统时间序列的周期性一般与地球的公转、太阳活动和月球绕转有关，因此自然地理的许多现象如江河的水位、生物的发育都具有一定的季节性。
与此相关，许多人文地理现象由于生态环境的季节变化也表现出明确的周期规律，例如风景旅游地的游客人数具有季节性特征。
认识自然变化的周期性规律有时是非常重要的，例如，早在80 年代，浙江省气象研究所就有人（田清鉴）研究发现，1887 年、1909 年、1931 年、1954 年、1975 年，我国长江、黄淮海流域都曾发生特大洪水，时间间隔平均约为22 年，与太阳黑子的22 年周期有关，由此可以推断，1997 年前后还会发生特大洪水。
基于时间序列的arma模型
基于时间序列的arma模型
基于时间序列的ARMA模型
时间序列分析是一种重要的统计学方法，它可以用来研究随时间变化的数据。
ARMA模型是一种常用的时间序列模型，它可以用来预测未来的数据趋势。
ARMA模型是由自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）组成的。
自回归模型是指当前值与前一时刻的值之间存在相关性，移动平均模型是指当前值与前一时刻的误差之间存在相关性。
ARMA模型可以用来描述时间序列数据的自相关和随机性。
ARMA模型的建立需要确定两个参数：AR阶数和MA阶数。
AR阶数是指自回归模型中使用的滞后项的数量，MA阶数是指移动平均模型中使用的滞后项的数量。
这两个参数的选择需要通过模型拟合和模型检验来确定。
ARMA模型的预测可以通过模型的参数估计和历史数据来实现。
预测的精度取决于模型的参数估计和历史数据的质量。
如果历史数据存在异常值或缺失值，预测的精度会受到影响。
ARMA模型在实际应用中有广泛的应用，例如金融市场预测、气象预测、股票价格预测等。
ARMA模型的优点是可以用来预测未来的数据趋势，缺点是对于非线性时间序列数据的拟合效果不佳。
ARMA模型是一种基于时间序列的预测模型，它可以用来预测未来的数据趋势。
在实际应用中，需要根据数据的特点选择合适的ARMA模型，并通过模型拟合和模型检验来确定模型的参数和预测精度。
arma模型通俗理解
Arma模型通俗理解什么是ARMA模型？ARMA模型是时间序列分析中的一种建模方法，它是自回归移动平均模型（ARMA）的组合。
ARMA模型结合了自己的历史数据和随机误差来预测未来的数值。
AR和MA模型的概念在理解ARMA模型之前，我们需要先了解自回归（AR）和移动平均（MA）模型。
自回归（AR）模型自回归模型基于历史数据的线性组合来预测未来的数值。
它假设未来的值是过去值的加权和，其中权重由自回归系数确定。
自回归模型的公式为：x(t) = c + φ1 * x(t-1) + φ2 * x(t-2) + … + φp * x(t-p) + ε(t)，其中φ1, φ2, …, φp为自回归系数，ε(t)为误差项，c为常数。
移动平均（MA）模型移动平均模型基于随机误差的线性组合来预测未来的数值。
它假设未来的值是过去误差的加权和，其中权重由移动平均系数确定。
移动平均模型的公式为：x(t) = μ + θ1 * ε(t-1) + θ2 * ε(t-2) + … + θq * ε(t-q) + ε(t)，其中θ1,θ2, …, θq为移动平均系数，ε(t)为误差项，μ为均值。
ARMA模型ARMA模型是自回归模型和移动平均模型的结合，它综合了过去的数值和随机误差来预测未来的数值。
ARMA模型可以表示为ARMA(p, q)，其中p和q分别为自回归和移动平均阶数。
ARMA模型的公式为：x(t) = c + φ1 * x(t-1) + φ2 * x(t-2) + … + φp * x(t-p) + θ1 * ε(t-1) + θ2 * ε(t-2) + … + θq *ε(t-q) + ε(t)，其中φ1, φ2,…, φp为自回归系数，θ1, θ2, …, θq 为移动平均系数，c为常数，ε(t)为误差项。
如何估计ARMA模型的参数？ARMA模型的参数估计可以通过最小二乘法或最大似然法进行。
通过这些方法，可以找到使得模型拟合数据最好的参数。
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一案例分析的目的
本案例选取2001年1月，到2013年我国铁路运输客运量月度数据来构建ARMA模型，并利用该模型进行外推预测分析。
二、实验数据
数据来自中经网统计数据库
数据来源：中经网数据库
三、ARMA 模型的平稳性
首先绘制出N 的折线图，如图
从图中可以看出，N 序列具有较强的非线性趋势性，因此从图形可以初步判断该序列是非平
稳的。
此外，N在每年同期出现相同的变动方式，表明N还存在季节性特征。
下面对N 的平稳性和季节季节性进行进一步检验。
四、单位根检验
为了减少N 的变动趋势以及异方差性，先对N进行对数处理，记为LN其曲线图如下：GENR LN = LOG(N)
对数后的N趋势性也很强。
下面观察N 的自相关表，选择滞后期数为36，如下：
从上图可以看出，LN的PACF只在滞后一期是显著的ACF随着阶数的增加慢慢衰减至0，因此从偏/自相关系数可以看出该序列表现一定的平稳性。
进一步进行单位根检验，打开LN选择存在趋势性的形式，并根据AIC自动选择滞后阶数，单位根检验结果如下：
T统计值的值小于临界值，且相伴概率为0.0001，因此该序列不存在单位根，即该序列是平稳序列。
五、季节性分析
趋势性往往会掩盖季节性特征，从LN的图形可以看出，该序列具有较强的趋势性，为了分析季节性，可以对LN进行差分处理来分析季节性：
Genr = DLN = LN – LN (-1)
观察DLN的自相关表，如下：
DLN在之后期为6、12、18、24、30、36处的自相关系数均显著异于0，因此，该序列是以周期6呈现季节性，而且季节自相关系数并没有衰减至0，因此，为了考虑这种季节性，进行季节性差分：
GENR SDLN = DLN –DLN(-6)
再做关于SDLN的自相关表，如下：
SDLN在滞后期36之后的季节ACF和PACF已经衰减至0，下面对SDLN建立SARMA模型。
六、滞后阶数的初步确定
观察SDLN的自相关、偏自相关图，ACF 和PACF在滞后期1和滞后期6还有滞后期12异于0，其余均与0无异，因此，SARMA(p,q)（k,m）s中p和q均不超过1，k和m均不超过2.6考虑到高洁移动平均模型估计较为困难，而且自回归模型的检验可以表示无穷的移动平均过程，因此q尽可能取较小的取值。
本例拟选择SARMA(1,0)(1,0)6、SARMA(1,0)(1,1)6、SARMA(1,0)(1,2)6、SARMA(1,0)(2,1)6、SARMA(1,1)(1,0)6、SARMA(1,1)(1,1)6、SARMA(1,1)(1,2)6、SARMA(1,1)(0,1)6八个模型来拟合SDLN。
七、ARMA模型的参数估计
1.分析SARMA(1,0)(1,0)6分析该模型的估计以及残差的检验。
LS SDLN C AR(1) SAR(6)
回归结果如表所示：
LS SDLN C AR(1) SAR(6) 回归结果如表所示：
LS SDLN C AR(1) SAR(6) sar(6)SAR(12) 回归结果如表所示：
LS SDLN C AR(1) SAR(12) SAR(6) 回归结果如表所示：
LS SDLN C AR(1) ma(1) SAR(6) 回归结果如表所示：
LS SDLN C AR(1) ma(1) SAR(6) sma(6) 回归结果如表所示：
LS SDLN C AR(1) ma(1) SAR(6) sma(12) 回归结果如表所示：
LS SDLN C AR(1) ma(1) SAR(12) sma(6) 回归结果如表所示：
各个模型的AIC、SC、残差检验结果汇总如下
综合来看选择SARMA(1,1)(1,2)对数据的拟合是最优的。
六、模型的预测
在SARMA(1,1)(1,2)6中选择动态估计，预测2013.11月的序列值，预测图如图：
上图中左边是预测值与置信区间，右边是预测的误差。
Boot meansquared error 代表均方误差方，MAE表示平均绝对误差，MAPE表示平均绝对误差百分比。
Theil不等系数中bias proportion表示偏误，即预测均值与真实均值的偏离程度；variance proportion 表示方误差，用来反映波动与真实波动之间的差异；covariance proportion表示协方差误，反映残存非系统预测误差，该误差占比越大，预测效果越好。
本例中的协方差误（0.415544）要大于方差误（0.347297），因此预测效果较好。