A 知识讲解 直线与双曲线的位置关系(理)

直线与双曲线的位置关系 编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质 371712一、复习】 要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2焦点在y 轴上的双曲线的标准方程 22221(0,0)x y a b a b -=>>22221(0,0)y x a b a b -=>>说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.要点二、双曲线的几何性质标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b-=(0,0)a b >> 图形性质焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c焦距 2212||2()F F c c a b ==+ 2212||2()F F c c a b ==+范围 {}x x a x a ≤-≥或，y R ∈ {}y y a y a ≤-≥或，x R ∈对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (,0)a ±(0,)a ±轴 实轴长=a 2，虚轴长=2b离心率 (1)ce e a=> 渐近线方程x ab y ±= a y x b =±要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a =±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220,b a k -≠即bk a≠±，①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP =12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1） 利用定义转化（2） 利用双曲线的几何性质 （3） 转化为函数求最值 【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质 例1.求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆2211625x y +=共焦点，且过点(－2的双曲线；(2)与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点，2)的双曲线． 【解析】(1)∵椭圆2211625x y +=的焦点为(0，±3)， ∴所求双曲线方程设为：222219y x a a -=-，又点(－2在双曲线上， ∴2210419a a-=-，解得a 2＝5或a 2＝18(舍去)． ∴所求双曲线方程为22154y y -=.(2)∵双曲线221164x y -=的焦点为(±0)， ∴设所求双曲线方程为：2222120x y a a -=-，又点，2)在双曲线上， ∴22184120a a-=-，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为221128x y -=. 【总结升华】根据焦点所在轴的位置合理的设出方程是求双曲线方程的基本步骤。

举一反三：【变式1】设双曲线焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率为( )A ．5 B.C.2D.54【答案】C【变式2】双曲线与椭圆2211664x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( ) A ．x 2－y 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．x 2－y 2＝80D ．y 2－x 2＝24【答案】D类型二：直线与双曲线的位置关系例2．已知双曲线x 2－y 2=4，直线l ：y =k (x －1)，讨论直线与双曲线公共点个数. 【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解.【解析】联立方程组⎩⎨⎧=--=4)1(22y x x k y 消去y ，并依x 项整理得：(1－k 2)·x 2+2k 2x －k 2－4=0 ① (1)当1－k 2=0即k =±1时，方程①可化为2x =5，x =25，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).(2)当1－k 2≠0时，即k ≠±1，此时有Δ=4·(4－3k 2)若4－3k 2>0(k 2≠1)，则k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点. (3)若4－3k 2=0(k 2≠1)，则k =±332，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况). (4)若4－3k 2<0且k 2≠1则k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332432,，方程组无解，故直线与双曲线无交点. 综上所述，当k =±1或k =±332时，直线与双曲线有一个公共点； 当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332时，直线与双曲线有两个公共点； 当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332332,时，直线与双曲线无公共点. 【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k 2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：举一反三：【变式1】过原点的直线l 与双曲线3422y x -=－1交于两点，则直线l 的斜率取值范围是 ( ) A.⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-23,23 B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, C.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-23,33 D.⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2323, 【答案】B【变式2】直线y =x +3与曲线－x 1x ·|x |+91y 2=1的交点个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D例3.过点7,5)P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。

【思路点拨】显然采用过P 点的直线方程与双曲线方程221725x y -=联立的方法，但要注意直线斜率不存在的情况要先判断。

【解析】若直线的斜率不存在时，则7x =(7,0)，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(7)y k x -=则57y kx =+-22(57)1725x kx +--=， ∴22257(57)725x kx -+-=⨯， 222(257)72(57)(57)7250k x kx --⨯-+--⨯=，当577k =时，方程无解，不满足条件； 当57k =2571075x ⨯⨯=方程有一解，满足条件； 当2257k ≠时，令222[14(57)]4(257)[(57)165]0k k ∆=-----=，化简得：k 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条x =10y x =+。

【总结升华】直线与双曲线有一个公共点时可能相切也可能相交，注意直线的特殊位置和所过的特殊点. 举一反三：【高清课堂：双曲线的性质371712 例2】【变式】双曲线22221-=x y a b的右焦点到直线x-y-1=0,且223=a c .(1)求此双曲线的方程；(2)设直线y=kx+m(m≠0)与双曲线交于不同两点C 、D ，若点A 坐标为(0，-b)，且|AC|=|AD|，求实数k 取值范围。

【答案】（1）2213x y -=（2）(,(()3333-∞-⋃⋃+∞类型三：双曲线的弦例4.（1）求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长； （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2214y x -=截得的弦中点轨迹方程. 【思路点拨】（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解。

（2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便.解：由22141y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得224(1)40x x -+-=得23250x x --=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则有121225,33x x x x +==- 得，12|d x x =-===（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx =+，它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为(,)P x y ，由22114y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(4)250k x kx ---=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则22420(4)0k k ∆=+->∴21680,||k k <<且12122225,44k x x x x k k +==---， ∴121212221114(),()()124224k x x x y y y x x k k=+==+=++=--， 22444k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩得2240(4x y y y -+=<-或0)y >.方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点为(,)P x y ，则221122224444x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得：121212124()()()()x x x x y y y y +-=+-， ∴121212124()y y x x x x y y +-=+-， 即41y x x y =-，即2240x y y -+=（图象的一部分）【总结升华】（1）弦长公式1212||||AB x x y y =-=-； （2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法. 举一反三：【变式】垂直于直线230x y +-=的直线l 被双曲线221205x y -=，求直线l 的方程【答案】210y x =± 类型四：双曲线的综合问题 例5.设P 是双曲线x 2－23y ＝1的右支上的动点，F 为双曲线的右焦点，已知A (3,1)，则|P A |＋|PF |的最小值为________．【答案】－2【解析】设双曲线的另一个焦点为F ′，则有F ′(－2，0)，F (2,0)，连结AF ′交双曲线的右支于点P 1，连结P 1F ，则|P 1F ′|－|P 1F |＝2a ＝2.于是(|P A |＋|PF |)min ＝|P 1A |＋|P 1F | ＝|P 1A |＋(|P 1F ′|－2)＝|AF ′|－2－2.【总结升华】双曲线的定义是解决有关最值问题的重要依据 举一反三：【变式1】设)2,3(A ，F 为双曲线2x 32y -=1的右焦点，在双曲线上求一点P ，使得||21||PF PA + 取得最小值时，求P 点的坐标.【答案】P 点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,321【高清课堂：双曲线的性质371712例3】【变式2】一条斜率为1的直线l22221(0,0)-=>>x y a b a b交于P 、Q 两点，直线l 与y 轴交于R 点，且-3,3OP OQ PR RQ ⋅==，求直线和双曲线方程.【答案】直线方程1y x =+；双曲线方程2212y x -=。