固体理论-4 等离激元
等离激元效应
等离激元效应
等离激元效应是一种物理现象，由物理学家阿兰玛尔于1956年
发现。
等离激元效应发生在一种有机物质，如甲苯或其它对称分子组成的液体或固体中，当它们受到外来的激光光束照射时，发出的激元能量会发生变化，从而使相应的物质的状态发生变化。
等离激元效应是有机物质中的一种能量交换过程，可以在物理上观察到局部变化，并有助于调控有机物质的结构和性质。
这种过程的发生受到选择性激元对称性破缺的影响，并由等离激元能量转移引起，这是一种物理现象，可以直接通过外部激光照射来实现。
等离激元效应的发生可以分为两个阶段：传热和转移。
传热有助于加热具有等离激元结构的有机物质，从而使其中的分子结构发生变化。
而转移则是由等离激元能量跃迁产生的，它可以将热量从一个有机物质结构传输到另一个有机物质结构中。
等离激元效应的发现及其机理研究，为进一步探索有机物质的性质及其在实际应用中的潜在价值，提供了一种有效的方法。
利用等离激元能谱技术，可以研究有机物质的结构和动力学变化，实现更深入的物理研究，促进物理与化学的交叉研究。
等离激元效应的实际应用也已开始出现。
目前，等离激元效应已经用于精细化学，生物学，材料科学等。
例如，可以利用它来分析复杂的大分子结构和组分，研究新型分子构型等。
它也可以用于有机聚合物的热机器性能测试，以及液晶分子结构及其动力学性质的研究等。
等离激元效应是一种有趣的物理现象，它可以帮助我们探索一些
复杂的有机物质结构和性质，并从中获取有价值的信息，从而更深入地理解有机物质。
它也可以帮助我们开发新型有机物质，完善其在化学、物理、生物、材料学等领域的应用，从而为社会发展作出技术支持。
固体理论讲义0-绪论
固体理论讲义一序论1.什么是固体固体是由大量原子所结合而成的不会流动的宏观体系。
从导电性讲：导体、半导体、绝缘体。
从晶格结构讲：晶态、准晶、非晶态、无系玻璃态。
3.元激发的概念T=0 K时，固体的基态不仅是能量最低的状态，而且还是某种有序态。
从微观角度分析，实验上所测得的宏观属性是固体在外扰动作用下从基态跃迁到激发态时所产生的响应。
对于能量靠近基态的低激发状态，往往可看作成是一些独立基本激发单元的集合，它们具有确定的能量和波矢，这些基本激发单元就是元激发，有时也称为准粒子。
4.元激发的分类元激发大体可分为两类：一类是集体激发的准粒子：声子、磁振子、等离激元等，表现为序参量的微小涨落。
这类元激发一般为波色子。
另一类元激发是个别激发：极化子、金属中的屏蔽电子或准电子。
4．固体理论的基本任务在于从微观上解释固体的各种特性，阐明其规律。
固体理论的主要方法为量子场论的方法。
借助于元激发的引入，可以使复杂的多体问题简化为接近于理想气体的准粒子系统，从而使低激发态的描述变得十分简单。
解释固体的实验测量特性问题归结为求解在给定外扰动作用下互作用系统的元激发问题，这是固体量子论的中心课题。
5.固体理论的讲授内容（1）周期性结构：正格矢、倒格矢、布里渊区。
（2）声子：晶格动力学、声学模、光学模、极化激元。
（3）磁振子：海森伯模型、铁磁自旋理论、反铁磁自旋理论。
（4）等离激元：等离激元和准电子、介电函数。
（5）电声子相互作用：（6）超导电性的微观理论：BCS理论。
（7）氧化物高温超导体（8）能带理论：（9）极化子理论：大极化子与小极化子。
（10）激子理论：瓦尼尔-莫特激子、夫伦克耳激子。
（11）强关联电子体系（12）无系系统连续介质近似：连续介质近似是将整个固体系统看作一宏观意义下的均匀介质，不考虑原子及晶格结构的具体细节。
绝热近似：考虑到离子实的质量比较大，离子运动速度相对慢，位移相对小，在讨论电子问题时，可以认为离子是固定在瞬时的位置上，这样，多种粒子的问题就简化成多电子问题。
固体理论4 等离激元.pdf
金属中的电子变成了准电子：电子 + 屏蔽电荷 ——有效质量，有限寿命 准电子间的互作用势用汤川型屏蔽库 仑势表示：库仑势 → 汤川屏蔽势
（固体整体是电中性的，形成等离子体。等离子体本来就会产 生集体振荡，可由流体力学导出其振动模式）
对于金属系统，价电子在离子的正电抵消背景上运动，系统在 宏观尺度上保持着电中性
由于价电子的巡游性，及电子间的库仑力，将会导致整个固体 内在微观尺度上的电子密度起伏
由于电子间的库仑作用为长程作用，那么即使局部的电子密度 起伏也将在整个系统中产生电子运动的关联
占据的几率为：
f
(ε ,T
)
=
exp
⎡⎣(ε
−
1
μ)
/
kBT
⎤⎦
+1
kBT
准自由电子，状态由k 描述 0K时充满费米球 温度为T 时只有费米球面附近的电子参与相互作用
——很成功的模型，但有一些定量的结果表现不好
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(iii) 关联电子集体运动模型
在索末菲模型的基础上，去掉“独立电子假设”，电子体系成 为有相互作用的系统。而库仑力是长程力，将导致固体内所有 电子的关联
失败之处：无法解释电子对比热的贡献 原因：电子气是高度简并的费米子体系，有强烈的相互作用 ——泡利原理
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(ii) 费米子模型
索末菲，1928，几个近似：
独立电子；自由电子；忽略离子的作用不考虑碰撞；电子气服
从费米统计——量子气体
在温度T 时，一个全同的费米子体系中，能量为 ε 的量子态被
常采用系统中电子密度的傅里叶分量 ρq作为集体坐标来描述这 种电子运动的关联 ——相应地，相互作用的库仑力也需要用其傅立叶分量描述
半导体材料等离激元
等离激元是指在具有一定载流子浓度的固体系统中（如金属、具有一定载流子浓度的半导体等），由于载流子之间的库仑相互作用，使得空间中一处载流子浓度的涨落，必将引起其他地方载流子浓度的振荡。
这种以载流子浓度的振荡为基本特征的元激发，称为等离激元。
等离激元纳米材料，可以通过光子吸收激发其局域表面等离激元共振，被广泛应用于光学传感、生物医学、太阳能电池以及光（电）催化领域。
常见的等离激元纳米结构主要包括金、银、铜、铝等金属材料。
金属等离激元纳米颗粒具有非常大的吸收/散射横截面积和系统可调的等离激元共振波长，同时可以产生高能热载流子，可被应用于增强半导体的光催化性能。
由于通常将等离激元金属负载在半导体材料的表面，因此可以通过近场增强机理增加靠近半导体材料表面的电子-空穴对的生成。
此外，等离激元金属还可以解决半导体材料相对较长的光吸收长度和较短的热载流子扩散长度之间的矛盾。
当等离激元材料的消光波长和半导体材料的本征吸收光谱重叠时，近场电磁共振能量转移的增强效应可能不明显，但即使在这种情况下，传输的近场增强也有足够多的能量来激发电子-空穴对的产生。
因此，将具有较强等离激元共振效应的金属纳米粒子与半导体材料复合，是提高半导体在可见光区光催化活性的有效方法之一。
例如，核壳结构的金属-半导体纳米粒子对于研究等离激元共振效应具有重要的价值，因为这种结构可以使两者之间的接触面积更大，活性位点更多，等离激元共振效应诱导产生的热电子可以很容易地克服金属-半导体之间的肖特基势垒，从等离激元金属表面转移到半导体中，从而增强半导体的催化性能。
总之，等离激元在半导体材料中的应用主要是通过其独特的物理性质来增强半导体材料的光学、电子和催化性能。
随着科学技术的不断发展，等离激元在半导体材料中的应用前景将会更加广阔。
固体物理学基础晶体的光子激发与激元学
固体物理学基础晶体的光子激发与激元学固体物理学是研究固体的性质和行为的学科，而晶体是固体物理学中的一个重要分支。
晶体具有高度有序的周期性结构，因此对光的响应非常特殊。
本文将介绍晶体的光子激发及其在激元学中的应用。
一、晶体的光子激发晶体中的光子激发是指光子与晶体中的电子、声子等激发相互作用的现象。
固体物理学家发现，在晶体中，光子可以激发出多种激发模式，例如光子晶体中的布拉格散射、声子极化和电子极化等。
1. 光子晶体中的布拉格散射光子晶体是一种具有周期性折射率分布的固体材料。
当光通过光子晶体时，会发生布拉格散射现象。
这是因为光的波长与光子晶体的周期性结构之间存在共振效应，导致光子被散射到特定的角度。
布拉格散射不仅可以用于构建光学器件，如光纤和激光器，还可以用于光谱学研究。
通过调节光子晶体的结构参数，可以精确控制布拉格散射的特性，进而实现对光的频率、波长、偏振等参数的调控。
2. 声子极化和电子极化晶体中除了光子激发，还存在声子激发和电子激发。
声子是晶体中的晶格振动模式，而电子则是晶体中的电子态。
当光子与声子或电子相互作用时，会发生能量和动量的转移，从而引起晶体中的激发。
声子极化和电子极化可以用来研究晶体的热导率、导电性等性质。
通过测量声子和电子的激发谱，可以了解晶体中载流子的行为，从而对材料的性能进行优化和改进。
二、激元学中的应用激元学是将光子学和固体物理学相结合的学科。
它研究的是光与固体中的集体激发相互作用的现象和应用。
在激元学中，固体物理学基础晶体的光子激发起到了关键作用。
1. 表面等离激元表面等离激元是一种存在于金属和绝缘体界面处的电磁激发模式。
当光与金属表面或绝缘体表面相互作用时，会引起电子和电磁场的耦合，形成电磁波在表面上的集体振动。
表面等离激元具有很多独特的性质，例如局域化、波导效应和增强光场等。
利用表面等离激元，可以实现超分辨显微镜、传感器和光波导器件等应用。
2. 晶体中的激元激发除了表面等离激元，晶体中也存在着体内激元激发。
第四章_等离激元
Ek Ck Ck
k ,
3 电子集体振荡的经典理论
对电子密度的傅里叶分量 q e
j iqr j
求导：
q i q v j e
j
iq r j
v j rj 是第j个电子的速度。
再对时间求导：
q {(q v j ) iq v j }e
假如略去q' q项，只保留 ' q的项，那么可得线性化 q 方程：
4e 2 2 iq r j q (q v j ) e m j 或
2 q P q (q v j ) 2 e j iq r j
当q 0时，可求得 q的简谐振动方程：
kq
密度起伏算符 q Ck qCk 是总动量为 q 的所有 k
电子-空穴对运动的简单叠加。
我们只要能解出电子-空穴对的运动方程，则电子体系的元激发谱就求得了
v * 首先我们考虑电子-空穴对之间不存在相互作用： (q) 0
H Ek CkCk H 0
k
代表独立电子系统。那么
N
H 是均匀分布正电荷背景 的贡献， 包括正电荷背景的自作 用能以及它与电子的互 作用能。
设有N个共有化电子，并取单位样品体积V=1，有：
e2 v(q)eiqr , r q 那么：
N
4e 2 v(q ) 2 q
2 i2 1 iq( r r ) H ' v(q)e i j H 2 q i, j i 1 2m
相对于这个“真空”的个别激发是从费米球内k态上拿出一个电子放到球外
k+q空态上去，于是在金属的“真空”上产生了一个k+q电子和一个k空穴。
固体理论4(固体能带理论)教程
( x) e k K n ( x) e k K n ika
具有共同本征值.
k
与 k K
n
描写同一状态.
因此可以把波矢限制在第一布区内 波矢数：
2 2 / N a Na
a
k
a
考虑自旋：电子数为2N
例：电子波函数为： 解：（1）方法a
(1). ( x) sin (2). ( x)
x
a
m
m ( i ) f ( x ma)
求波矢k。
( x a) sin(
方法b.
( x a)) sin a a x ika ika e ( x) e sin a ika k (2 1) 第一布区：k e 1 a a x ika ika ( x) e e sin a ik ( x a ) ika u ( x a) e sin ( x a) e u ( x) a
u (r )
其中u具有晶格的周期性，即
u(r ) u(r n1a1 n2 a2 n3 a3 )
证明：问题：求H的本征函数，直接求困难.
由量子力学知道，如果两算符对易，则它们具有共同的本征函数.
方法：
ˆ ˆ与 H 引进T 平移算符， T ˆ 对易， ˆ 的本征函数 ˆ的本征函数也就求出了 H 求出了T
固体能带理论
一、自由电子模型（前面几节使用的）
在这个模型中，电子与电子，晶格与电子之间的相互 作用被忽略 .也可以这样说晶格对电子的影响视为平均 势场. 索米菲理论：自由电子模型＋费米狄拉克分布 解释： 1.电子气热容量
Байду номын сангаас
固体理论答案
固体理论课后习题参考答案第1-5题固体理论（李正中：第二版）首先，本习题集主要贡献属于恩师谢老师(由于涉及个人隐私就不说全名啦)。
授之于鱼，不如授之于渔。
在这里为防止抄袭作为作业，不提供答案。
索求答案者，均不回复，请见谅。
由于水平有限，恳请各位前辈批评指正。
由于一学期学习的内容不多，还有很多习题(超导、强关联和无序等)没有解答。
如有慷慨者，可联系以供大家学习。
第一题：利用a和b关系，可计算k*l的数值。
再进行分类讨论(相等和不相等)。
同样进行分类讨论。
此题两个公式特别重要，后面用得很多，请大家熟记。
第二题：因为f为正点阵的周期函数，所以f(r+l)=f(r).若k不等于倒格矢K,易证上式为0.第三题第四题根据布洛赫定理，u为格点周期函数，可用平面波展开。
第五题首先写出晶体单电子薛定谔方程(V=0),再根据固体理论课后习题参考答案第6-10题固体理论（李正中：第二版）首先，本习题集主要贡献属于恩师谢老师(由于涉及个人隐私就不说全名啦)。
授之于鱼，不如授之于渔。
在这里为防止抄袭作为作业，不提供答案。
索求答案者，均不回复，请见谅。
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如有慷慨者，可联系以供大家学习。
第六题首先写出谐振子系统的哈密顿量第七题首先画出二维密排六角晶格及其倒格矢及第一布里渊区。
自己可以设定其他方向算一下。
多练习就掌握啦。
第八题由晶格振动波动方程自己可以算[100][110]等其他方向。
第九题先把E和r代入哈密顿密度，可计算出再利用W和u的关系(2.6.1)，然后利用简正坐标，产生和湮灭算符，可是H二次量子化。
第十题这道题纯属计算，注意公式较复杂可令固体理论课后习题参考答案第11-15题固体理论（李正中：第二版）首先，本习题集主要贡献属于恩师谢老师(由于涉及个人隐私就不说全名啦)。
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固体中的元激
固体中的元激发元激发(elementary excitation)是固体理论中的一个重要的概念，有关专题的研究近年来已进入固体物理发展的前沿。
所谓基态(ground state)一般是指体系在0=T K 时的状态。
对于晶体而言，处于基态意味着晶体的周期性完整无缺，每个组成原子都有固定在平衡位置。
因此，真实的晶体总是处于激发状态。
用量子场论的方法可以把晶体的许多种激发态分解成为一定数量的基本激发单元——元激发。
每个元激发具有确定的能量量子，有时还可以有相对应的准动量，一种激发态就可以看作为由对应的元激发集合而成的体系。
所有元激发能量量子的总和，即体系所具有的激发态能量。
元激发大体可以分为两类：一类为集体激发(collective excitations)，另一类为单粒子激发或称为准粒子(quasi-particle)。
用元激发概念成功地解释了晶体的许多性质，但有关理论一般只适用于偏离于基态比较小的弱激发态情况。
一、 声子(Phonons)声子是典型的集体激发类型元激发。
晶格振动作简正坐标变换后量子化，即格波波场量子化的结果引进了“声子”的概念。
概括而言：晶格振动的总能量可以表示为晶格所有格波（简正模）能量之和，即)21(∑+=qj q j q j n E ω (1) q j ω即第q j简正模的振动角频率。
由此可见，格波总是以量子ω 作为能量的激发单元的，这个量子就称为声子。
引进声子概念后，晶格振动的激发状态在物理上就可以用所有(3×原子数)个独立简正模的声子数组态}{q j n 来表示。
所以声子代表组成晶格振动激发态的基本激发单元——元激发。
晶体振动就可以看作由各种不同简正模声子集合而成的激发态体系。
由于晶格振动是集体运动，所以声子属于集体激发类型。
引入声子概念后首先成功地解释了固体的比热等热力学性质，而电子、光子等与晶格振动的相互作用就可以用它们与声子的相互作用来表示。
例如电子—声子相互作用导致电阻现象；长光学模声子和红外光量子耦合后得出耦合场的频率—波矢色散关系；在非简谐条件下，格波不能看作为彼此独立无关，它们的相互作用就要用声子—声子的相互作用来表示等等。
固体理论-4 等离激元
这时 ρq (q ≠ 0)代表相位无规变化的指数项之和，对于平移不 变的系统其平均值为 0
所以，两个密度起伏的乘积项对于运动方程仅仅是一个微小 的修正，作为一级近似完全可以略去
ρq (q ≠ 0)是无规相位的叠加——非相干叠加 而 q' = q的项是q0 = N，代表各项的相干叠加 ——二者在高密度的情况下相差很大
因此有
而Ck+,Ck 满足费米子的对易关系：
固 体 理 论 - 等离激元 - 互作用电子系统的哈密顿量
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此时哈密顿可写为：
——动能项重写
其中 Ek = ħ2k2/2m 如果把自旋加进来，则有
则哈密顿量写为
∑ ∑' H
=
k ,σ
EkCk+σ Ckσ
+
1 2
q
v(q)(
ρ
+ q
ρ
q
−
N
)
∑ ∑' ∑ ∑ =
固体理论
—— 等离激元
主讲 翦知渐
固 体 理 论 - 等离激元 - 物理图像
第四章 等离激元
库仑力作用下的电子集体运动
§1 物理图像 §2 互作用电子系统的哈密顿量 §3 无规相近似 §4 线性响应理论 §5 介电函数 §6 电子系统的元激发谱 §7 静电屏蔽
固 体 理 论 - 等离激元 - 物理图像
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在坐标表象中，系统波函数用平面波展开表示为 Ψ(r, t) = ∑Ck ei(k·r –ωt) Ck 是展开的傅里叶分量
相应地有 Ψ+(r, t) = ∑Ck+ e–i(k·r –ωt) 在二次量子化表象中，我们可以把Ck+,Ck 看作是 k 空间中的产 生和湮灭算符，而波函数 Ψ+(r, t) ， Ψ(r, t)也可以理解为坐标 表象中的产生和湮灭算符
固体物理学中的等离子体激元和声子激元
固体物理学中的等离子体激元和声子激元在固体物理学中，等离子体激元和声子激元是两个重要的概念。
它们分别描述了固体中的电子和晶格振动的集体行为，对于理解固体的电学和热学性质具有重要意义。
等离子体激元是指在固体中由电子的集体振荡引起的电磁波。
当一个电子在固体中受到外界激励而发生振荡时，它会与周围的电子发生相互作用，引发一系列电荷密度波的扩展。
当这些波的频率与光子频率相等时，激发出的电磁波能量得以传播。
等离子体激元在固体材料中的存在和特性取决于电子的电荷密度和分布情况。
由于等离子体激元与光子的耦合，所以它在光学性质方面的表现非常重要。
例如，在纳米结构中，等离子体激元的共振可以导致表面增强拉曼散射现象的出现，增强了分析物的检测灵敏度。
与等离子体激元不同，声子激元是指固体中晶格振动引起的集体激发。
晶格是由原子或离子组成的周期性结构，当晶格的振动能量达到一定程度时，就会形成声子激元。
在固体中，每个原子固定在一个平衡位置，但它们会以一定频率和振幅围绕这个平衡位置做微小的振动。
这些振动以一定的频率传递能量，形成声子激元。
声子激元在固体的热学性质方面起着重要作用，比如热传导和热膨胀。
此外，声子激元还与超导性和磁学性质等相关。
等离子体激元和声子激元在固体物理学中的研究成果丰富多样。
研究者通过实验和理论模拟，探索了它们在不同材料和结构中的行为，并提出了许多有趣的现象和应用。
例如，通过对等离子体激元的研究，人们成功研发出等离子体显示器、光子晶体等光学器件，可以实现更高分辨率和更广颜色范围的显示效果。
此外，在纳米加工和光子学领域，利用等离子体激元的特性，人们可以实现超光学效应，开展拓扑表面态（Topological Surface State）的研究。
声子激元的研究也在材料科学和能源领域有广泛应用。
研究人员通过调控材料的晶格结构和缺陷，改变声子激元的传播性质，实现更高效率的热传导。
这对于提高材料的热导率和应对热问题至关重要。
固体理论读书笔记
读书笔记第二章声子--- ---第七节极化激元1、极化激元的定义是什么？答：当光子的频率ω=kc与横波光学模声子（TO声子）的频率ωT（约1013s-1）相近时，两者的耦合很强，其结果将使光子与TO声子的色散曲线都发生很大的改变，形成光子-横光学模声子的耦合模式，其量子称为极化激元，是离子晶体中的元激发。
2、研究极化激元有什么意义？答：极化激元对于解释晶体中的光学现象起重要作用。
（判据）3、如何理解：极化激元称为长波长横向光频支振动与电磁场耦合模量子？答：由于ω=ωT时对应光子波数k=ω/c=ωT/c(约103cm-1)与布里渊区的尺寸（约108cm-1)相比为小量，属于长波范围，因此激化激元是长波长横向光频支振动与电磁场耦合模量子。
第二章声子--- ---第八节态密度1、格波模式的态密度：平均每个元胞内的格波模式的态密度g(ω)的定义是什么？答：单位频率间隔内的格波模式数被总元胞数N除2、求出格波模式的态密度能用来算什么问题？答：态密度是计算晶格热力学特性的重要物理量（内能U，热容量C v和熵S）3、格波模式的态密度如何导出？答：声子系统总振动能量---晶格振动的配分函数---晶格振动的自由能---格波模式的态密度4、格波模式的态密度中的奇点出现的原因是什么？答：求和化积分5、范霍夫奇点的定义式如何引出？答：将求和化积分和后的态密度公式沿等能面积分得到态密度的另一表达式，式中存在被积发散点，此点称为范霍夫奇点。
第二章声子--- ---第九节范霍夫奇点1、研究范霍夫奇点的物理意义是什么？答：如果定出了霍夫奇点的位置，就能作出这些点附近的态密度曲线，因此利用霍夫奇异性可以简化态密度的计算2、通过什么来划分范霍夫奇点的种类，范霍夫奇点分为哪几类？答：（1）极值点（2）1极小、1极大、2鞍点3、如何计算并分析四类范霍夫奇点附近态密度曲线？答：ω在极值附近展开---标度变换---ω(k)在霍夫奇点附近展开---利用态密度等效表示确定ω(k0)附近g(ω)---分类计算---极值点附近的态密度---作图第二章声子--- ---第十节晶格振动的局域模1、局域模出现原因是什么？答：含有杂质和缺陷的晶体，由于平移对称性被破坏，其声子谱将不同于完整晶格，会产生以杂质或缺陷为中心的局域振动模式。
固体理论
（6） 布里渊区－倒空间的W-S元胞
在倒空间中选定一个倒格点为原点，画出连接原点及其近邻倒格 点的那些矢量，然后作这些矢量的垂直平分面，由这组平面包围 成的含有原点的最小立体图形称为第一布里渊区，用BZ表示，又 称简约区。
2 2 布里渊区表面上的点所对应的k 矢量满足： K n k ， k （其中：K n是倒格矢）。 简约区具有倒点阵点群的全部对称性，由于同一晶体的正、倒点阵 具有相同的点群对称性，因此可以简单的说简约区具有晶体点阵点 群的全部对称性。
i 1
（m为整数）。
练习
(1)证明: (2 )3
A B C）（A C）B A B）C （ （
（2）证明: sc的倒格子仍为sc，bcc和fcc互为倒格子。
证明：
sc：
| a1 || a2 || a3 | a
因为最小周期为l 1，m 1，n 1 所以， ( , , ) ( 1, , ) ( , , )e i 2 ( , 1, )e i 2
( , , )e i 2 ( ) ( , , 1)e i 2 ( ) ( , , )e i 2 ( ) K K e 其中，K b1 b2 b3
iK r (r )e dr
（b）证明： 设f (r )为正点阵的周期函数，证明当k不等于K时， ikr f (r )e dr 0
由题意知：f (r ) f (r N1a1 N 2 a2 N 3 a3 ) 其中，N1 , N 2 , N 3分别表示沿三个基矢方向上 的元胞个数。 令r a1 a2 a3 , 则 f ( , , ) f ( N1 , N 2 , N 3 ) F ( , , )e
固体理论
金属中的电子气的理论金属中的自由电子并非真正自由，而是要受到金属离子的周期势场的作用，因此一些自由电子理论并不能解释金属的全部性质。
由F.布洛赫和L.-N.布里渊确立的单电子能带论解释了金属导电性与绝缘体和半导体的差别（见能带理论，半导体），并能定量计算金属的结合能，在考虑了金属离子的热运动的影响后，在描述金属的导电和导热等输运过程方面均取得了很大成功。
金属中自由电子之间有很强的相互作用，在低温下考虑了电子通过晶格推动相互耦合就能很好地解释单电子理论无法解释的超导电性。
近年来，研究合金中电子运动规律的合金电子理论也是金属电子论中的重要内容。
一、托马斯-费米近似方法在相互作用强度很大的情况下，相互作用能在系统能量中占主导地位，相比之下，处于基态的系统的粒子由于受到非常强的相互排斥作用，其运动范围受到了限制，因此，动能就会远小于相互作用能。
这时候，哈密顿量中的动能就可以忽略掉，被称为托马斯-费米(Thomas-Fermi)近似。
一维定态GP 方程变为则玻色子的密度分布为同时玻色子密度分布的边界满足，在外势为简谐势的情况我们得到凝聚体的半径为则系统的粒子数为将上式变换一下，得到化学势μ满足其中单粒子基态的特征半径为边界R 满足化学势u 和边界R 都是随着粒子个数N 和相互作用强度U 1的增加而增加的。
在处理多电子原子问题中,、通常采用Hartree-Fook 近似方法比较好,但是计算比较繁复,工作量大,在电子计算机使用以后,可以帮助人们进行大量的计算,减轻人们的负担,但用电子计算机计算有一个缺点,就是计算机只能进行数值计算,而不能解出一般形式,我们希望能找出一个普遍形式,这样对各种具体问题都能适用。
费米模型认为将金属中电子看作限制在边长为a 的立方体盒子中运动.盒子内部势能为0.盒外势能为无限大,这样通过解定态薛定谔方程,可得出金属中电子的许多性质,如电子能级,电子的最高能量,电子的平均能量,电子气的压强,电子气的能级密度和磁化率,而且费米气体模型在固体理论中和原子核结构上也有很大用处,可以推出原子核的质量公式,跟实验结果比较符合得很好。
11.1-固体中的元激发
元激发大体上分为两类: 集体激发的准粒子; 单粒子激发的准粒子
晶格振动的格波是最典型的集体激发的例子, 其准粒子 称为声子, 可以用声子的“语言”讨论与晶格振动有关 的物理问题, 如晶格比热、晶格热导等
自旋波是另一个典型的集体激发的例子, 其准粒子称为 磁振子。由于原子之间的相互耦合, 自旋的反转在晶体 内传播形成自旋波。 把这个磁系统的低激发态看成准 粒子——磁振子气体, 它遵从玻色统计
Qj (q) 2 j (q) a j (q) aj (q)
1/ 2
Pj (q) i
j (q)
2
a j (q) aj (q)
代入哈密顿量
H
1 2
j,q
Pj2
(q
)
2 j
(q)Q
2 j
(q)
1 2
j,q
1 2
j
(q)
a
j
(q)
aj
2
(q)
1 2
j
(q)
a
j
(q)
a
j
(q)
2
1 1
2 j,q 2
j
(q)
2a
j
(q)a
j
(q)
2a
j
(
q)a
j
(q)
根据对易关系有
H 1
j,q 2
j
(q)
a
j
(q)a
j
(q)
1
a
j
(q)a
j
(q)
j,q
j
(q)
aj
(q)a
j
(q)
1 2
这是用声子算符表示的系统的哈密顿量。总的能量本
征值为
固体物理II—第四章_等离激元
1.平面波法的困难
离子实内
离子实外
(T V E ) k (k K ) (T V E ) k K (T V E ) c c k K k c 0
2 ( k K ) 2 ( k K ) E k K V k K ( E Ec ) c c k K 2m k c 0
2 ( k K ) 2 ' (k K ) E KK ' k K U k K 0 2m k
§3 赝势方法
(1) (2)
1.赝波函数的非唯一性
2.赝势的非唯一性
3.赝势方法的中心思想
利用赝势和赝波函数解 波动方程不改变能量本 征值和离子实之间的区 域的波函数.
W-S元胞
因此，在对称化元胞面上给予适当的边界条件，可将能带 计算问题简化为在一个W-S元胞内求解薛定谔方程问题
元胞法的基本近似是假定在W-S元胞内晶体势场具有球对称性
W-S元胞方法的几个特点
(1)球形势近似必须成立 (2) 将(7.5.5)展开式某个l值作切断,只取有限项 (3)可以利用晶体的对称性使问题简化，特别是对 于BZ中的高对称点，可以利用波函数的已知对称 特性，消去展开式 (7.5.5) 中许多球谐函数项，以 致于所取切断l值尽管较大，但只涉及少数未知系 数的计算。
l ,m
Rl ( Ek , r ) * Y ( , ) Y lm ( k , k ) lm Rl ( Ek , ri )
§7 KKR 方法
k (r )
r ' ri
G(r , r ' )V (r ' ) k (r &近年来提出了 Muffin-tin轨道线性组合（LMTO） 方法，它是 KKR 法的“线性化”形式，保留了 KKR 法 的优点，但经线性化后的单电子哈密顿量的矩阵元已与 能量E无关，从而避免了KKR方法的上述困难． （2）近年来在 APW方法基础上也发展了线性化缀加平 面波（LAPW）方法，它是APW方法的“线性化”形式， 保留了 APW 方法的优点，但经线性化后的单电子哈密 顿量的矩阵元已与能量E无关，从而避免了APW方法的 上述困难．
固体物理学：第五章 第八节 等离激元与准电子
由5.8.1有
所以横向扰动激发的等离子体横
振荡并非密度波。对于这种情况，方程5.8.1和5.8.4
都是无足轻重的，此时加速方程5.8.2必须铜麦克斯
韦方程一起求解：
利用J=-nev，得到
应用了
并且
就是等离激元频率
方程5.8.23是普遍成立的，对于纵振动，
实质上我们导出了方程5.8.6。对于现在要讨论的横
综上所述，对于足够大的电子浓度，屏蔽效应使得 电子-电子，电子-晶格之间的关联很弱，以致阻止 束缚态的形成，随着电子浓度减小到某个临界值， 束缚态将形成。人们认为金属态到绝缘态的转变是 一个突变，即所谓的莫特转变。
四、等离子体中的横振动
上面讨论的等离激元对应于等离子体的纵振动，我 们也可以考虑横向振动。例如电子波穿过金属的情 况，由于电磁场是横场：
振动，
方程5.8.23变成
其中应用了矢量算符恒等式
方程5.8.24具有类波解
其中
我们也可以得到介电函数
由此可见，如果电磁波的频率
，则
波矢k是虚数，这样的电磁波不能在金属中传播，它将 被全反射。
如果
，k是实数，则金属对于这样的电磁波
是
明的，但是它将反射可见光，因而金属具有光泽。
f(E)为费米分布函数，N(E)为能态密度。
很小时，5.8.12可近似写为：
n为平均电子密度，并应用了 由此得到r处的点电荷qδ(r)以及它所诱导的电荷导致的 有效点和密度为:
它所长生的势由泊松方程决定
将
做傅里叶展开：
代入5.8.15可以得到
的傅里叶变换
将5.8.18代回5.8.16，得到任何浸没在自由电子气的电 荷所产生的势
知道1979年，人们才在液氦表面的二维电子气中观测 到六角形的维格纳晶格的存在。1990年，人们在半导 体反型层中的二维电子气系统中找到维格纳晶格存在 的证据。三维电子气的维格纳晶格在实验上始终未观 测到，理论上预计它应具有体心立方结构。
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——利用对易关系，其中 [Ck , Ck+ ]+ = 1 这个表达式与通常的标准形式一致
固 体 理 论 - 等离激元 - 无规相近似
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§3 无规相近似
1 经典理论
电子密度起伏算符为
对时间求导可得 再对时间求导：
∑ ρq = −i q ⋅ v je−iq⋅rj , v j = rj
j
由于势能 Φ 与力F 的关系为 F = -Φ ，所以
失败之处：无法解释电子对比热的贡献 原因：电子气是高度简并的费米子体系，有强烈的相互作用 ——泡利原理
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(ii) 费米子模型
索末菲，1928，几个近似：
独立电子；自由电子；忽略离子的作用不考虑碰撞；电子气服
从费米统计——量子气体
在温度T 时，一个全同的费米子体系中，能量为 ε 的量子态被
常采用系统中电子密度的傅里叶分量 ρq作为集体坐标来描述这 种电子运动的关联 ——相应地，相互作用的库仑力也需要用其傅立叶分量描述
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系统中电子密度起伏相对于正电背景的振荡，称为等离子区集
体振荡。波矢为q、频率为ωq 的等离子区集体振荡量子在固体
物理中，称为等离激元（Plasmons) 分析发现，库仑力的长波部分导致集体运动，作用量子即是等 离激元，而集体运动的效果则是产生屏蔽等效应
固体理论
—— 等离激元
主讲 翦知渐
固 体 理 论 - 等离激元 - 物理图像
第四章 等离激元
库仑力作用下的电子集体运动
§1 物理图像 §2 互作用电子系统的哈密顿量 §3 无规相近似 §4 线性响应理论 §5 介电函数 §6 电子系统的元激发谱 §7 静电屏蔽
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这时 ρq (q ≠ 0)代表相位无规变化的指数项之和，对于平移不 变的系统其平均值为 0
所以，两个密度起伏的乘积项对于运动方程仅仅是一个微小 的修正，作为一级近似完全可以略去
ρq (q ≠ 0)是无规相位的叠加——非相干叠加 而 q' = q的项是q0 = N，代表各项的相干叠加 ——二者在高密度的情况下相差很大
金属中的电子变成了准电子：电子 + 屏蔽电荷 ——有效质量，有限寿命 准电子间的互作用势用汤川型屏蔽库 仑势表示：库仑势 → 汤川屏蔽势
因为
∑ e2 e−λr ~ e2 e−qcr ⇒ 相当于
4π e2 eiq⋅r
r
r
q2
q > qc
这说明屏蔽库仑势来源于库仑势的短波部分，而长波部分形成
了集体振荡
从远处看，电子间已无相互作用，仅仅有“碰撞”
所以得到密度的傅里叶分量为：
电子密度的傅里叶分量表示的哈密顿为：
其中-N 项的出现是因为要扣除求和中的 i = j
第二项中 q = 0的部分——不传播部分——代表均匀分布的电子 自作用能——在凝胶模型中正好与 H+ 相抵消 因此凝胶模型中电子系统的哈密顿为
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据此可以得到对激发区的形状
其中也画出了等离
ωq
= ωP
+
3vF2 q2
10ωP
;
激元的色散曲线
vF
=
=kF m
为费米速度
等离色散曲线与对激 发区有交点：qc
当 q < qc 时，等离激 元与对激发有能隙， 集体振荡不会被电子 空穴对激发，也不会 衰减成电子空穴对。 ——长波区
当 q > qc 时，将只有个别激发，而集体振荡则可能衰减成个别 激发，不再稳定
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因为泡利原理，对于确定的 q，存在一个许可区域
(a). q < 2kF ，此时：内半月为空 穴激发区，外半月为电子激发区， 能量界限为
(b). q > 2kF ：费米球内全是空 穴激发区，另一个球内是电子激 发区，能量界限为
激发区示意图
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qc 是划分金属电子系统的集体激发与个别激发的特征参量
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4 屏蔽效应
除了产生电子密度起伏之外，电子间的相互作用对金属中单 个电子的性能也有影响，其中特别重要的是屏蔽效应 屏蔽效应是指电子间的库仑作用使每个电子周围形成了正电 荷的屏蔽壳层（正电荷云），它跟随激发它的电子一起运动， 从而改变电子间的相互作用势和有效质量
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在坐标表象中，系统波函数用平面波展开表示为 Ψ(r, t) = ∑Ck ei(k·r –ωt) Ck 是展开的傅里叶分量
相应地有 Ψ+(r, t) = ∑Ck+ e–i(k·r –ωt) 在二次量子化表象中，我们可以把Ck+,Ck 看作是 k 空间中的产 生和湮灭算符，而波函数 Ψ+(r, t) ， Ψ(r, t)也可以理解为坐标 表象中的产生和湮灭算符
费米球的半径：每个态在 k 空间占有体积 (2π)3/V，共有N个电
子，因此可以得到 kF = (3nπ2)1/3
4 3
π
kF3
⋅
2
=
N
( 2π
V
)3
=
n (2π
)3
电子的个别激发就是，一个费米球内 k 态上的电子，激发至球
外 k + q 态，从而产生一个 k + q电子和一个 k 空穴
这个电子空穴对的个别激发能量为：
H+ 包括正电背景自作用能以及它与电子的互作用能 取单位体积样品 V = 1，价电子总数为 N 库仑势的傅立叶展开为
电子库仑势的 傅里叶分量
此时H改写为：
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集体运动关联导致电子密度起伏，所以我们采用电子密度的傅 立叶分量表示集体运动坐标 由于电子的密度为
k ,σ
Ek
Ck+σ
Ckσ
+
1 2
q
⎛ v(q) ⎜
C C C +
+
k +q,σ kσ k '−q,σ
'Ck 'σ
'
−
N
⎞ ⎟
⎝ k ,k ' σ ,σ '
⎠
∑ ∑'∑ ∑ =
k ,σ
EkCk+σ Ckσ
+
1 2
q
v(q)Ck++q
,σ
C+ k '−
q ,σ
'Ck
'σ
'Ckσ
k ,k ' σ ,σ '
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2 等离子体振荡的特征频率
讨论中，晶格作为正电背景，不考虑离子的运动
考虑长波情况。假设每个电子都有相同的位移 x，实际上相当 于波矢为0 电子移动后的电场强度为E = 4πNex， N为单位体积价电子数 ——利用高斯定理可证得
电子的运动方程为 这是简谐运动方程 显然、每一个电子均以相同的频率振动
这个频率相当于 5 ~ 30eV， 紫外光范围
以上结果是假定波矢q为0时的情况，说明这是静态的情况
对于其他的多种振动模式，波矢不为 0，振动会传播 本章的任务首先就是确定q 所对应的等离激元 ħω——色散关系
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3 个别激发
现在考虑电子的个别激发
费米面的概念： 系统的“真空”（基态）可近似描述为在费米球内的所有状态 均被电子占据，而球外为真空
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首先假定不同的电子-空穴对之间不存在相互作用，v(q) = 0
此时
∑ ∑'∑ ∑ H
=
k ,σ
EkCk+σ Ckσ
+
1 2
q
v(q)Ck++
q ,σ
C+ k '−q,σ
'Ck
'σ
'Ckσ
k ,k ' σ ,σ '
代表独立电子系统
而有
这里ħωkq 代表不计相互作用时电子-空穴对的激发能量，是电 子-空穴的自由传播
因此密度起伏的傅里叶分量 ρq 和ρq+ 就可看做密度起伏算符
而对电子的密度则有
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我们用密度起伏算符 ρq 与 ρq+ 来描述电子集体坐标，在二次量 子化表象中，可得到密度起伏算符与 k 空间产生湮灭算符之间 的关系：
傅里叶展开式
算符表示式
（固体整体是电中性的，形成等离子体。等离子体本来就会产 生集体振荡，可由流体力学导出其振动模式）
对于金属系统，价电子在离子的正电抵消背景上运动，系统在 宏观尺度上保持着电中性
由于价电子的巡游性，及电子间的库仑力，将会导致整个固体 内在微观尺度上的电子密度起伏
由于电子间的库仑作用为长程作用，那么即使局部的电子密度 起伏也将在整个系统中产生电子运动的关联
相互作用势能项
由此可求得电子密度的傅里叶分量满足下列非线性的运动方程
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右边第二项分为 q' = q 和 q' ≠ q 两部分
若略去 q' ≠ q 项，则有
故ρ0 = N
或写为
其中
ωp2
=
4πNe2 m
是等离子体振荡的特征频率——长波限的结果