量子力学习题集汇集

第一章习题

１．证明下列算符等式

[][][][][][][][][][][][][][][]0

,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A B

C A C B A C AB C

B A

C A B BC A C A B A C B A

２．设粒子波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒子的几率．

３．在球坐标中，粒子波函数为()ϕϑψ,,r ，试求： １）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率；

２）在()ϕϑ,方向的立体角Ωd 中找到粒子的几率．

４．已知力学量F 的本征方程为

n n n F ϕλϕ=

求在状态波函数

332211ϕϕϕψc c c ++=

下测力学量F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数ψ已归一或不归一的情况）．

第二章习题

１．一粒子在二维势场

⎩⎨⎧∞=,,0),(y x V 其它b

y a x <<<<0,0

中运动，求粒子的能级和波函数．能级是否简并？

２．由哈密顿算符

()

2232

22221222

2z y x m m H ωωω+++∇-=

所描述的体系，称各向异性谐振子．求其本征态和本征值．

３．利用递推关系

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=+-1121

2)(n n n n n x dx d ψψαψ 证明

(

)

222

22)2)(1()12()1(2

+-++++--=n n n n n n n n n dx d ψψψαψ

并由此证明在n ψ态下

2

,0n

E T P =

=

第 四 章 习 题

１． 证明 )cos sin (cos ϕϑϑi A +=ψ

为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。说明当体系处在此状态时，

z L 没有确定值。

２． 对于一转动惯量为I 的平面转子，其能量算符为I

L H z 2

=，求体系的能量本

征态。如ϕϕψsin )0,(A =，求),(t ϕψ。

３．量子化对称陀螺的哈密顿量可写成

()

22

22121

21z y x L I L L I H ++=

试求该对称陀螺的能量本征值。

４．一质量为m 的粒子被限制在半径为a r = 和b r =的二个不可穿透同心球面之间运动，不存在其它势。求粒子的基态能量和归一化本征函数。

第 五 章 习 题

１． J

为一角动量算符。试计算x J 、y J 、z J 在{}z J J ,2 的共同本征函数构成的

表象中，2

1

=

j 的子空间的矩阵表示。

２． 已知体系的哈密顿量H 与另一力学量B 在能量表象中的表示为

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200020001ω H ， ⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=100001010b B

0=t 时体系的态矢量为

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=11221)0(ψ

（1） 求在 0=t 及任何时刻体系能量的可能值及几率，和体系的平均能量。

（2） t 时刻的态矢)(t ψ。

（3） 求该体系力学量B 的可能值及几率和B 的平均值。

（4） 0=t 时体系在B 表象中的态矢)0(ψ'。

第 六 章 习 题

１． 设氢原子状态是

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=),(23),()(2

110211121ϕϑϕϑψY R Y r R (1) 求z L 和z S 的平均值；

(2) 求总磁矩S c

e L c e M

μμ--=2 的z 分量的平均值（用玻尔磁子表示）．

２． 在z S 表象下求解x S 的本征值方程．在x S 的本征矢测量z S 有哪些可能值？这

些可能值出现的几率及平均值．并求此状态在x S 表象中的表示．

３．L 和S

为电子的轨道角动量和自旋角动量，证明

[]0,≠⋅S L L

， []0,≠⋅S L S

如果定义总角动量S L J

+=，证明

[

]

0,=⋅S L J

４．设A 、B 是与σ

对易的任意矢量算符，证明

)())((B A i B A B A

⨯⋅+⋅=⋅⋅σσσ

第 七 章 习 题

１． 某物理体系由两个自旋

21的非全同粒子组成．已知粒子1处于21

1=z S 的本征态，粒子2处于2

1

2=x S 的本征态，求体系总自旋2S 的可能测量值及相应

的概率（取1= ）．

２． 一个处于中心势的粒子具有轨道角动量 2=L 和自旋 1=S ．求和形如

S L A H so

⋅=的自旋－轨道相互作用项相关的能级和简并度，这里A 是个常

数．

３． 两个自旋

2

1

的粒子组成的系统由等效Hamilton 量 ()2121S S B S S A H z z

⋅++=

描述，其中1S 、2S 是两个粒子的自旋，z S 1、z S 2是它们的z 分量，A 和B 为常数．求该Hamilton 量的所有能级．

４． 两个无相互作用的粒子，质量相同为m ，处于一维无限深势阱中，势阱宽

为a 2，在阱中势为零，阱外势无穷大． (1) 求系统四个最低能级的值是多少？ (2) 求这些能级的简并度，如果这两个粒子 (ⅰ) 是全同粒子，自

旋为21； (ⅱ) 不是全同粒子，自旋都为2

1

； (ⅲ) 全同粒子，自旋为1．

５． 固定在z 轴上的两个电子间存在一个磁偶极－偶极相互作用能

()z z S S S S A H 21213-⋅=

i i S σ 2

1=，i σ

为Pauli 矩阵，A 为常数（令1= ）．

(1) 用总自旋算子21S S S

+=表示A H ． (2) 求A H 的本征值和简并度．