圆中的切线证明及计算(提高篇)

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圆切线的两种常考证明方法

圆切线的两种常考证明方法类型一、已知公共点（证明方法：有切点、连半径、证垂直）例．如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．(1)求证：CE是⊙O的切线：(2)连接BE，若⊙O的半径长为5，OF=3，求EF的长，1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在边AC上取一点D，使得DE＝AD，连接OD、OE．（1）求证：①△AOD≌△EOD；②DE是⊙O的切线；（2）当BC＝5，AD＝2时，求⊙O的半径．2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）试判断直线BC与OD的位置关系，并说明理由.（2）若BD＝33BF＝3，求⊙O的半径.3.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MC•MN的值．DG BC，DG交线段AC于点G，交4.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作//AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．5.如图，点E为正方形ABCD的边BC上的一点，O是ABE△的外接圆，与AD交于点F，G是CD上一∠=∠．点，且DGF AEB（1）求证：FG是O的切线；DG=，求半径OA的长．（2）若4AB=，16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，以AB为直径作半圆O，交AC于点D，E为BC的中点，连接DE．(1) 求证：DE是半圆O的切线；(2) 若∠C=60∘，DE=2，求AD的长．7.如图，AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．(1) 求证：DC是⊙O的切线；(2) 若AE=1，ED=3，求⊙O的半径．8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与AC，BC分别交于点M，N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF⊥AB，垂足为F．(1) 求证：NF是⊙O的切线；(2) 若NF=2，DF=1，求弦ED的长．类型二、未知公共点（证明方法：无切点、作垂直、证相等）例.如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝9，求OD的长．1.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AE⊥CD于E，∠ABC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点D，交CD于点F．（1）求证：B C与⊙O相切；（2）若OB∥AD，DF＝6，M E3OB的长度及阴影部分的面积．（结果保留π）2.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点O ，D 为AB 上的一点，OD ＝OC ，以O 为圆心，OB 的长为半径作⊙O ．(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若AB ＝6，BD ＝2，求线段AC 的长．3.如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．(1)求证：CD 是B 的切线；(2)若23AB =60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．4.如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AB 与⊙O 相切于点D ，OB 与⊙O 相交于点E ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若BD =√3，BE ＝1．求阴影部分的面积．【课后练习】1．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点O 为BC 边上一点，以OB 为半径的⊙O 与边AB 、BC 交于点D 、E ，连接DC 、DE ，AC DC =．(1)求证：DC 为⊙O 切线；(2)若60A ∠=︒，⊙O 的半径为1，则DEC 的面积为．2．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以BC 为直径作半圆O 交AB 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE DC ，．(1)求证：DE 是半圆O 的切线；(2)若604BAC DE ∠=︒=，，求BD 的长．3.如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 上的一点，且2A DCB ∠=∠，E 是BC 上的一点，以EC 为直径的O 经过点D ．(1)求证：AB 是O 的切线；(2)若圆心O 到弦CD 的距离为1，30DCB ∠=︒，求BD 的长．Math唐老师。

专题证明圆的切线的常用方法(六大题型)(解析版)

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题证明圆的切线的常用的方法★★★方法指引：证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.类型一：有公共点：连半径，证垂直●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与A ，B 不重合），CD ⊥AB ，且CD ＝AB ，连接CB ，与⊙O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使得EF ＝EC ．求证：EF 是⊙O 的切线；【分析】连接OF ，根据垂直定义可得∠CDB ＝90°，从而可得∠B +∠C ＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC ，从而可得∠OFB +∠EFC ＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE ＝90°，即可解答；【解答】证明：连接OF ，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠B +∠C ＝90°，∵OB ＝OF ，EF ＝EC ，∴∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，∵OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线：【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式1-1】（2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．求证：BD是⊙O的切线；【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DG∥BC，∴∠AGE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠AEG＝90°，又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB，∴∠D+∠DEB＝90°，∴∠DBE＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD与⊙O相切；【点评】此题考查了切线的判定，垂径定理，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定．【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．【分析】利用切线的判定定理证明∠OCE＝90°即可得出结论．【解答】证明：∵CA平分∠ECD，∴∠ECA＝∠DCA．∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∴∠ECA+∠CAD＝90°．∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，∴∠ECA+∠ACO＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥EC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线．（2）求证：FD＝FG．【分析】（1）欲证明MN是半圆的切线，只需证得∠MAB＝90°，即MA⊥AB即可；（2）根据圆周角定理推论得到∠ACB＝90°，由DE⊥AB得到∠DEB＝90°，则∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，又D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，得到∠3＝∠5，于是∠1＝∠4，利用对顶角相等易得∠1＝∠2，则有FD＝FG．【解答】证明：（1）如图，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°，∴MA⊥AB．∴MN是半圆的切线．（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，而DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，∴∠3＝∠5，∴∠1＝∠4，而∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴FD＝FG．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定．【变式1-4】如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC＝PB ＝6，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．（3）延长PB、DE相交于点F，证明△PED≌△PEF（ASA），由全等三角形的性质得出PD＝PF＝10，DE ＝EF，求出DF的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∵∠EDB＝∠EPB，∠BOE＝∠EDB+∠DEO，∠BOE＝∠EPB+∠OBP，∴∠OBP＝∠DEO＝90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，根据勾股定理得：PD=10，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴PC＝PB＝6，∴DC＝PD﹣PC＝10﹣6＝4；在Rt△CDO中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2＝r2+42，解得：r＝3，则圆的半径为3．（3）延长PB、DE相交于点F，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴OP平分∠CPB，∴∠DPE＝∠FPE，∵PE⊥DF，∴∠PED＝∠PEF＝90°，又∵PE＝PE，∴△PED ≌△PEF （ASA ），∴PD ＝PF ＝10，DE ＝EF ，∴BF ＝PF ﹣PB ＝10﹣6＝4，在Rt △DBF 中，DF==∴BE =12DF =【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．●●【典例二】如图，△ABC 是直角三角形，点O 是线段AC 上的一点，以点O 为圆心，OA 为半径作圆．O 交线段AB 于点D ，作线段BD 的垂直平分线EF ，EF 交线段BC 于点．（1）若∠B ＝30°，求∠COD 的度数；（2）证明：ED 是⊙O 的切线．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠A ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA ＝∠A ＝60°，于是得到∠COD ＝∠ODA +∠A ＝120°；（2）根据线段垂直平分线的性质得到∠EDB ＝∠B ＝30°，求得ED ⊥DO ，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，∵OD ＝OA，∴∠COD＝∠ODA+∠A＝120°；（2）证明：∵EF垂直平分BD，∴∠EDB＝∠B＝30°，∴∠EDO＝180°﹣∠EDB﹣∠ODA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴ED⊥DO，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°=60°，求得∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，求得∠EDA＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：连接OD，∵AC=CD=DB，∴∠BOD=13×180°=60°，∵CD=DB，∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式2-2】如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据圆周角定理的推论得到∠ABC＝90°，根据角平分线的性质求出∠DBE＝45°，根据圆周角定理得到∠DOC，根据平行线的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝45°，∴∠DOC＝2∠DBE＝90°，∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠DOC＝90°，∴DE是⊙O的切线；【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理以及正方形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．【变式2-3】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，∠OAC＝60°．（1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=PC为⊙O的切线；【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，则∠AOC＝60°；（2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA＝30°，进而得出答案；【解答】（1）解：在△OAC中，∵OA＝OC＝4，∠OAC＝60°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°；（2）证明：过点C作CD⊥AO于点D，∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO，∴AD＝DO=12OA＝2，∠ACO＝60°，∴CD∵S △PAC ＝∴12PA •CD ＝∴PA ＝4，∴PA ＝AC ，∴∠P ＝∠PCA =12∠OAC ＝30°，∴∠PCO ＝∠PCA +∠ACO ＝30°+60°＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 为⊙O 的切线．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的关键．【变式2-4】（2023•门头沟区二模）如图，AB 是⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于E ，点F 在CD 上，且AF ＝DF ，连接AD ，BC ．（1）求证：∠FAD ＝∠B（2）延长FA 到P ，使FP ＝FC ，作直线CP ．如果AF ∥BC ．求证：直线CP 为⊙O 的切线．【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理可得∠ACD ＝∠ACD ＝∠B ，根据等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠FDA，进而可得∠FAD＝∠B；（2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，进而得到∠CFP＝60°，再利用等边三角形的性质可得∠PCO＝60°+30°＝90°，由切线的判定方法可得结论．【解答】证明：（1）如图，连接AC，∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，∴AC=AD，∴∠ACD＝∠ACD＝∠B，∵AF＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∴∠FAD＝∠B；（2）如图，连接OC，∵AF∥BC，∴∠FAB＝∠B，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA，∵∠AED＝90°，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，∴∠CFP＝60°，∵FP＝FC，∴△CFP是等边三角形，∴∠PCF＝60°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，∴∠OCD＝30°，∴∠PCO＝60°+30°＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理是正确解答的前提．●●【典例三】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．求证：CE 为⊙O 的切线；【分析】连接OC ，BD ，可推出EF ∥BD ，进而可证CD =BC ，进而得出CE 为⊙O 的切线；【解答】证明：如图1，连接OC ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵CE ⊥AE，∴∠E＝∠ADB，∴EF∥BD，∴∠ECD＝∠CDB，∠BCF＝∠CBD，∵∠ECD＝∠BCF，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD=BC，∴半径OC⊥EF，∴CE为⊙O的切线；【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线判定，解决问题的关键是作合适的辅助线．【变式3-1】（2022秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【分析】连接OD，根据OA＝OB，CD＝BD，得出OD∥AC，∠ODE＝∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴CD＝BD，∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型．【变式3-2】已知，如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质得AD＝BD；（2）连接OD，先得到OD为△ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线．【解答】（1）证明：连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，∵AD＝BD，OC＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．【变式3-3】如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠B＝30°，CD＝4，求线段AB的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，而∠OAD＝∠ODA，则∠ODA＝∠CAD，于是判断OD∥AC，由于∠C＝90°，所以∠ODB＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由∠B＝30°得到∠BAC＝60°，则∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝Rt△ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB＝【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，DC＝4，∴AC=＝在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．【变式3-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE＝∠DEA＝90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，有AD＝2DE；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，有BD＝2AD＝4DE，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．【点评】此题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．●●【典例四】（2022•城关区一模）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．求证：PC是⊙O的切线；【分析】可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线；【解答】解：如图，连接OC、BC，∵⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．∴OC=OB=6，OP=OB+BP=6+4=10，∴OC2+PC2=62+82=100，OP2=102=100，∴OC2+PC2=OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；【点评】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理，利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键．【变式4-1】如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线.【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可.【解答】证明:连接AB，∵AD⊥BD，且BD=2AD=8 ，∴AB为直径，AB2 =82+42 =80，∵CD=2，AD=4 ，∴AC2 =22 ＋42=20，∵CD＝2，BD=8,∴BC=102=100，∴AC2+AB2=CB2，∴∠BAC=90° ，∴AC是⊙O的切线【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形.【变式4-2】如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【分析】先根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，再利用勾股定理计算出AB、AC，接着利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，所以AC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵BD ＝2AD ＝8，∴AD ＝4，在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2+BD 2＝42+82＝80，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝42+22＝20，∵BC 2＝（2+8）2＝10，∴AC 2+AB 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵AB 为直径，∴AC 是⊙O 的切线．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理．●●【典例五】（2022•鄞州区校级开学）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上的两点，连接BC ，DC ，BC ＝CD ，CE ⊥DA 交DA 的延长线于点E ．求证：CE 是⊙O 的切线；【分析】连接OD ，OC ，证得△COD ≌△COB ，可得∠OCD ＝∠BCO ，从而得到∠ADC ＝∠DCO ，进而得到DA ∥CO ，利用切线的判定定理即可求证；【解答】证明：连接OD ，OC，如图，在△COD和△COB中，OD=OBOC=OC，CD=CB∴△COD≌△COB（SSS），∴∠OCD＝∠BCO，∵CO＝BO，∴∠B＝∠BCO，∵∠B＝∠ADC，∴∠ADC＝∠DCO．∴DA∥CO，∴∠E+∠ECO＝180°．∵CE⊥EA，∴∠E＝90°．∴∠ECO＝90°，∴EC⊥CO，∵CO是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．【变式5-1】如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．求证：CD是⊙O的切线；【分析】连接OD，利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；【解答】证明：如图，连接OD．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，OC=OC∠COD=∠COB，OD=OB∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；【点评】此题考查了切线的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD 交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．【分析】连接OC、BE，根据矩形性质和圆半径相等，推出∠CDE＝∠AEO，进而得到OP＝CP，然后根据OB∥CD，可以推出∠COE＝∠BOC，最后通过证明△BOC≌△EOC即可求解．【解答】证明：如图：连接OC、BE，OE，CD交于点P，∵四边形OBCD是矩形，∴OB∥CD，∠OBC＝90°，OB＝CD，∵OB∥CD，∴∠A＝∠CDE，∵在⊙O中，OA＝OB＝OE，∴OE＝CD，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∴∠CDE＝∠AEO，∴DP＝PE，∵OE＝CD，∴OP＝CP，∴∠COE＝∠DCO，∵OB∥CD，∴∠DCO＝∠BOC，∴∠COE＝∠BOC，在△BOC和△EOC中，OB=OECO=CO，∠BOC=∠COE∴△BOC≌△EOC（SAS），∴∠CEO＝∠OBC＝90°，∴CE⊥OE，又∵OE为⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．【变式5-3】（2022•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC交⊙O于点P，若AP BF＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AF，根据菱形的性质得到∠ACF＝∠ACE，根据全等三角形的性质得到∠AFC＝∠AEC，推出OA⊥AE，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BP，根据圆周角定理得到∠APB＝90°，求得AC＝2AP＝【解答】（1）证明：连接AF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACF＝∠ACE，在△ACF与△ACE中，CF=CE∠ACF=∠ACEAC=AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠AFC＝∠AEC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵AB∥DC，∴∠BAE+∠AEC＝90°，∴∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接BP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AB＝CB，AP=∴AC＝2AP＝设⊙O的半径为R，∵AC2﹣CF2＝AF2，AB2﹣BF2＝AF2，∴2−(2R−1)2=(2R)2−12，∴R=32（负值舍去），∴⊙O的半径为3 2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．类型二：无公共点：作垂直，证半径●●【典例六】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．【变式6-1】如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴ON为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键．【变式6-2】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．（1）求证：OB与⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=95，最后由勾股定理求出CE即可．【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：∵⊙D与OA相切于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB与⊙D相切；（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=5，∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE×DE，∴EG=OE×DEOD=4×35=125，∴DG===9 5，∴CG＝CD+DG＝3+95=245，∴CE=【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．【变式6-3】如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE＝OA即可证得结论．（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，继而可得出半径．【解答】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9﹣4＝5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD+BC＝4+9＝13，在Rt△DFC中，DC2＝DF2+FC2，∴DF=12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质．【变式6-4】（2022秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O 经过点C 且与AB 边相切于点E ，∠FAC =12∠BDC ．（1）求证：AF 是⊙O 的切线；（2）若BC ＝6，AB ＝10，求⊙O 的半径长．【分析】（1）作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，证明AC 是∠FAB 的平分线，进而根据OH ＝OE ，OE ⊥AB ，可得AF 是⊙O 的切线；（2）勾股定理得出AC ，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝OE ＝r ，进而根据切线的性质，在Rt △OEA 中，勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：如图，作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD =AD =12AB ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∵∠BDC ＝∠CAD +∠ACD ＝2∠CAD ，又∵∠FAC =12∠BDC ，∴∠FAC ＝∠CAD ，即AC 是∠FAB 的平分线，∵点O 在AC 上，⊙O 与AB 相切于点E ，∴OE ⊥AB ，且OE 是⊙O 的半径，∴OH ＝OE ，OH 是⊙O 的半径，∴AF 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC==8，∵BE，BC是⊙O的切线，∴BC＝BE＝6，∴AE＝10﹣6＝4设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，∴16+r2＝（8﹣r）2，∴r＝3．∴⊙O的半径长为3．【点评】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．1.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE交⊙O于点D，过点D作PC⊥BE垂足为点C．求证：PC与⊙O相切；【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BEA，∠BAE＝∠ODA，等量代换得到∠ODA＝∠BEA，证明OD∥BE，根据平行线的性质得到PC⊥OD，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵OA＝OD，∴∠BAE＝∠ODA，∴∠ODA＝∠BEA，∴OD∥BE，∵PC⊥BE，∴PC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切；【点评】本题考查的是切线的判定、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是BC的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．【分析】（1）连接OD，如图，先利用垂径定理得到OD⊥BC，再根据平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）先根据圆周角定理得到∠B＝90°，则∠ACB＝45°，再根据平行线的性质得到∠E＝45°，则可判断△ODE 为等腰直角三角形，于是可求出OE，然后计算OE﹣OC即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴OE=＝∴CE＝OE﹣OC＝5．【点评】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的性质．3．（2023•东城区校级模拟）如图，⊙O的半径OC与弦AB垂直于点D，连接BC，OB．（1）求证：2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）分别延长BO、CO交⊙O于点E、F，连接AF，交BE于G，过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，若G是AF的中点，求证：AM是⊙O的切线．【分析】（1）先根据垂径定理得到AC=BC，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠ABC，然后利用互余关系得∠BOD+∠OBD＝90°，从而得到结论；（2）如图，连接OA，根据垂径定理得到BE⊥AF，再根据圆周角定理得到∠CAF＝90°，则可判断BE ∥AC，所以∠ABE＝∠BAC，接着证明∠BAO＝∠CBA得到OA∥BC，根据平行线的性质得到AM⊥OA，然后根据切线的判断方法得到结论．【解答】证明：（1）∵OD⊥AB，∴AC=BC，∠ODB＝90°，∴∠BOC＝2∠ABC，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）如图，连接OA，∵G是AF的中点，∴BE⊥AF，∵CF为直径，∴∠CAF＝90°，∴CA⊥AF，∴BE∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∴AC=BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO，∴∠BAO＝∠CBA，∴OA∥BC，∵AM⊥BC，∴AM⊥OA，而OA为⊙O的半径，∴AM是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理．4．（2022•思明区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC 延长线于点E，若BC平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，由条件可以证明OB∥DE，从而证明OB⊥BE；（2）由垂径定理求出AD长，从而由勾股定理可求AC长．【解答】（1）证明：连接OB，∵″OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCE＝∠OCB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵AC是⊙O直径，∴AD⊥DE，∵BE∥AD，∴BE⊥DE，∴OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE是⊙O切线；（2）解：延长BO交AD于F，∵∠D＝∠DEB＝∠EBF＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF⊥AD，DF＝BE＝3，∴AD＝2DF＝6，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝62+22＝40，∴AC＝∴⊙O【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，用到的知识点较多，关键是熟练掌握知识点，并能灵活应用．5．（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由AC＝AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行，又EF垂直于AC，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到EF与OD也垂直，可得EF为圆O的切线；（2）连接AD，由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，即AD与BC垂直，又AC＝AB，根据三线合一得到D为BC中点，由BC求出CD的长，再由AC的长，利用勾股定理求出AD的长，三角形ACD的面积有两种求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，且BC＝6，∴CD＝BD=12BC＝3，在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD=4，又S△ACD =12AC•ED=12AD•CD，即12×5×ED=12×4×3，∴ED=12 5．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．6．（2023•宁德模拟）如图，OM 为⊙O 的半径，且OM ＝3，点G 为OM 的中点，过点G 作AB ⊥OM 交⊙O 于点A ，B ，点D 在优弧AB 上运动，将AB 沿AD 方向平移得到DC ；连接BD ，BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）如图2，当点D 在MO 延长线上时，求证：BC 是⊙O 的切线．【分析】（1）连接AO ，BO ，先根据特殊角的正弦值可得∠OAG ＝30°，再根据等腰三角形的性质可得∠OAG ＝∠OBG ＝30°，从而可得∠AOB ＝120°，然后根据圆周角定理即可得；（2）连接AO ，BO ，CO ，先证出四边形ABCD 是平行四边形，再根据等边三角形的判定与性质可得AB ＝AD ，根据菱形的判定可得四边形ABCD 是菱形，根据菱形的性质可得CB ＝CD ，然后根据SSS 定理证出△COB ≌△COD ，根据全等三角形的性质可得∠OBC ＝∠ODC ＝90°，最后根据圆的切线的判定即可得证．【解答】（1）解：如图1，连接AO ，BO ．∵点G 为OM 的中点，且OM ＝3，∴OG =12OM =32，OA ＝OB ＝OM ＝3，∵AB ⊥OM ，在Rt △AOG 中，OG =12OA ．∴∠OAG ＝30°，又∵OA ＝OB ，∴∠OAG＝∠OBG＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠ADB=12∠AOB=60°．（2）证明：如图2，连接AO，BO，CO，由平移得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OM⊥AB，点D在MO延长线上，∴DM⊥CD，∵OA＝OB，AB⊥OM，∴AG＝BG，∴DM垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠ADB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，在△COB和△COD中，CB=CDOB=ODOC=OC，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠OBC＝∠ODC＝90°，又∵OB是⊙O的半径，。

完整word版证明圆的切线经典例题

证明圆的切线方法及例题证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.AB=BC，又∵4.3=∠∴∠⌒⌒，∠1=∠2. ∴BD=DE 又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.0. ∴∠OEF=90∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的1例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.的平分线，AD是∠BAC ∵DAC. ∠∴∠DAB=，∵PA=PDDAC. ∠∠1+ ∴∠2=，∠DAB∵∠2=∠B+B. ∠∴∠1=E，又∵∠B=∠E 1=∠∴∠O的直径，∵AE是⊙0. E+∠EAC=90 ∴AC⊥EC，∠0. 1+∠EAC=90 ∴∠PA. ⊥即OA. 相切与⊙O ∴PAOE. OA，E交⊙O于，连结证明二：延长AD的平分线，∵AD是∠BAC ⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.0. BDE=90E+∠∴∠∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,20∴∠1+∠PAD=90PA. ⊥即OA相切PA与⊙O ∴. 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用说明：M ⊥DMAC于O交BC于D，3 例如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙. 与⊙O相切求证：DMOD. 证明一：连结∵AB=AC，∴∠B=∠C.，∵OB=OD∠B.∴∠1=DC. ∴∠1=∠∴OD∥AC.，∵DM⊥ACOD. DM ∴⊥相切O ∴DM与⊙AD. OD证明二：连结，是⊙ABO的直径，∵BC. ⊥AD ∴AB=AC,又∵2. ∠∴∠1= ∵DM⊥AC，0∴∠∠4=902+ OA=OD，∵ C3. 1=∠∴∠0.∴∠4=903+∠3DM. OD⊥即O 的切线∴DM 是⊙证明二是通过证两角互余证明垂直的，证明一是通过证平行来证明垂直的.说明：.解题中注意充分利用已知及图上已知0，CAB=30BD=OB，O的直径，点C在⊙O上，且∠4 例如图，已知：AB是⊙.的延长线上D在AB 的切线DC是⊙O求证：BC. 、证明：连结OCOA=OC，∵0. 30A=∠1=∠∴∠0. ∠A+∠1=60 ∴∠BOC=D又∵OC=OB，. ∴△OBC是等边三角形OB=BC. ∴OB=BD，∵OB=BC=BD. ∴CD. ⊥∴OC.是⊙∴DCO 的切线但这种方法较此题解法颇多，说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，.好2OP. =OD，且CD⊥ABOA·的直径，如图，例5 AB是⊙O. 的切线是⊙求证：PCOOC 连结证明：2，OA=OC∵OA=OD·OP，2 OPOC ∴=OD·，4OCOP?. OCOD又∵∠1=∠1，∴△OCP∽△ODC.∴∠OCP=∠ODC.∵CD⊥AB，0. ∴∠OCP=90∴PC是⊙O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，0，ADE=∠CDE=45 ∠∴△ADE≌△CDE（SAS）5∴∠4=∠1，∠1=∠3.0, 3=902+∠∵∠0. 2=901+ ∠∴∠即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.. 是垂足AC，F连结证明一：DE，作DF⊥的切线，AB是⊙D ∵AB. ⊥∴DE，⊥AC ∵DF0. ∠DFC=90 ∴∠DEB=AB=AC，∵C.B=∠∴∠BD=CD，又∵）CDF（AAS ∴△BDE≌△DF=DE. ∴. 上在⊙D ∴F的切线AC是⊙D ∴. F是垂足AC，AD，作DF⊥，证明二：连结DE D相切，与⊙∵ABAB.⊥∴DE BD=CD，，∵AB=AC2.∴∠1=∠6，⊥AC⊥AB，DF ∵DEDE=DF. ∴. D 上∴F在⊙.D 相切∴AC与⊙的，证明二是利用角平分线的性DF=DE证明一是通过证明三角形全等证明说明：.的，这类习题多数与角平分线有关质证明DF=DE0. COD=90BD，若∠切于例8 已知：如图，AC，BD与⊙OA、B，且AC∥.CD是⊙O的切线求证：. ，E为垂足证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD相切，∵AC，BD与⊙OOB. AC ∴⊥OA，BD⊥∵AC∥BD，0. ∠4=1801+∴∠∠2+∠3+0，∵∠COD=90 O00. ，∠1+4=90 ∴∠2+∠3=90∠0. ∠5=90∵∠4+5.1=∠∴∠BDO. △∴Rt△AOC∽Rt OCAC?. ∴ODOB∵OA=OB，ACOC?. ∴ODOA0，∠COD=90又∵∠CAO=∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD,7OE=OA. ∴. O 上∴E点在⊙.O的切线∴CD是⊙F. CA延长线于，延长DO交OB，作OE⊥CD于E证明二：连结OA，相切，BD与⊙O ∵AC，OB. BD ⊥∴AC⊥OA，BD，∵AC ∥BDO. F= ∠∴∠OA=OB ，又∵AAS）AOF ≌△BOD （∴△OF=OD. ∴0∵∠COD=90 ，2. ∠∴CF=CD ，∠1=，OE⊥CD AC 又∵OA⊥，OE=OA. ∴. 上E 点在⊙O∴.是⊙O的切线CD∴OF. F，连结中点CD于E，取CD并延长，作证明三：连结AOOE⊥OAC与⊙相切，∵AO. ∴AC ⊥BD，AC∵∥BD.AO⊥∴，与⊙O相切于B ∵BDB. AO 的延长线必经过点∴.O∴AB是⊙的直径OA=OBBDAC ∵∥，，CF=DF，8∴OF∥AC，∴∠1=∠COF.0，CF=DF，∵∠COD=901CD??CFOF. ∴2∴∠2= ∠COF.∴∠1= ∠2.∵OA⊥AC，OE⊥CD ，∴OE=OA.∴E点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考. 9。

圆的切线方程公式推导过程

圆切线方程公式推导过程
圆的切线方程公式推导过程如下：
1. 设圆的标准方程为(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}，其中(a, b) 是圆心，r 是半径。

2. 设切线的斜率为k，则切线方程可以表示为y = kx + m。

3. 将切线方程y = kx + m 代入圆的方程(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}，得到：(x - a)^{2} + (kx + m - b)^{2} = r^{2}
4. 展开并整理上述方程，得到：
(1 + k^{2})x^{2} + 2(km - b)x + m^{2} - 2bm + b^{2} - r^{2} = 0
5. 由于切线与圆只有一个交点，因此上述方程应该只有一个解，即判别式Delta 应该等于0：
Delta = [2(km - b)]^{2} - 4(1 + k^{2})(m^{2} - 2bm + b^{2} - r^{2}) = 0
6. 展开并整理上述方程，得到：
k^{2}m^{2} - 2kbm + b^{2} - k^{2}m^{2} + 2kbm - b^{2} + r^{2} = 0
r^{2} = 0
7. 由于r^{2} 显然不为0，因此上述方程可以简化为：
2kbm - 2kbm = 0
8. 由于上述方程对所有的k 和m 都成立，因此我们可以得到切线的斜率k 与圆的半径r、圆心(a, b) 和切线在y 轴上的截距m 无关。

9. 最后，我们可以得到圆的切线方程为y = kx + m，其中k 是任意实数，m 是切线在y 轴上的截距。

由于切线与圆只有一个交点，因此m 可以是任意实数。

证明圆的切线的七种常用方法

证明圆的切线的七种常用方法证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”2、作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”类型一、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC＝8，PB ＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．方法2、特殊角计算法证垂直2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求∠P的度数；（2）求证：P A是⊙O的切线；（3）若PD＝5，求⊙O的直径．方法3、等角代换法证垂直3、如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E 。

求证：DE 是⊙O 的切线；方法4、平行线性质法证垂直4、如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ．且︒=∠30E ，点B 是的中点（1）判断直线DE 与半圆O的位置关系，并说明理由；（2）求证CF=OC（2）若半圆O的半径为6，求DC的长．方法5 全等三角形法证垂直5、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D 作⊙O的切线，交OC的延长线于点F，连接BF，求证：BF是⊙O的切线。

类型二、无公共点：做垂直，证半径方法6 角平分线的性质法证半径6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝2．A BODCF（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．方法7 全等三角形法证半径7．已知四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，CD BC AD =+，以AB 为直径的⊙O 。

证明圆的切线的七种常用方法-圆的切线证明7种方法

求证：DE 是⊙O 的切线；方法4、平行线性质法证垂直4、如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ．且︒=∠30E ，点B 是的中点（1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）求证CF=OC（2）若半圆O 的半径为6，求DC 的长．方法5 全等三角形法证垂直5、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF ，求证：BF 是⊙O 的切线。

A B O D CF类型二、无公共点：做垂直，证半径方法6 角平分线的性质法证半径6．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB ＝5，EB ＝2．（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．方法7 全等三角形法证半径7．已知四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，CD BC AD =+，以AB 为直径的⊙O 。

证明圆的切线经典例题

证明：连结OE，AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
又∵AB=BC，
∴∠3=∠4.
⌒⌒
∴BD=DE，∠1=∠2.
又∵OB=OE，OF=OF，
∴△BOF≌△EOF（SAS）.
∴∠OBF=∠OEF.
∵BF与⊙O相切，
∴OB⊥BF.
∴∠OEF=90
0.
∴EF与⊙O相切.
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
∴∠4=∠1，∠1=∠3.
∵∠2+∠3=900,
∴∠1+∠2=900.
即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
5
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证
明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”
例7如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.
此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.
证明：取FG中点O，连结OC.
∵ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，△CFG是Rt△
∵O是FG的中点，
∴O是Rt△CFG的外心.
∵OC=OG，
∴∠3=∠G，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠4.
∵AD=CD，DE=DE，
∠ADE=∠CDE=45
0，
∴△ADE≌△CDE（SAS）
0.
求证：CD是⊙O的切线.
证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.
6
∵AC，BD与⊙O相切，
∴AC⊥OA，BD⊥OB.
∵AC∥BD，
0
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180.
∵∠COD=90
0，

证明圆的切线方法(推荐文档)

证明圆的切线方法我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线•在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有:、若直线I过O O上某一点A,证明I是O O的切线，只需连0A，证明OA丄l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直例1 如图，在^ ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E,B为切点的切线交0D延长线于F.求证: EF与O 0相切.证明: 连结0E, AD.••• AB是O 0的直径,••• AD 丄BC.又••• AB=BC ,••• mD=DE , / 1 = / 2.又••• OB=OE , OF=OF ,•••△ BOF N EOF ( SAS).•••/ OBF= / OEF.••• BF与O O相切,• OB 丄BF.•••/ OEF=9O0.••• EF与O O相切.说明: 此题是通过证明三角形全等证明垂直的求证：PA与O O相切.•/ AE是O O的直径,••• AC 丄EC, / E+ /EAC=90 .•••/ 1 + / EAC=90 0.即OA丄PA.••• PA与O O相切.例2 如图，AD是/ BAC 的平分线, P为BC延长线上一点，且PA=PD.证明二：延长AD交O O于E,连结••• AD是Z BAC的平分线,•••BE=CE ,••• OE 丄BC.•••/ E+Z BDE=90 0.•••OA=OE , •••/ E=/ 1. P证明一：作直径AE，连结EC.•/ AD 是/ BAC 的平分线,•••/ DAB= / DAC.•/ PA=PD,•••/ 2= / 1+ / DAC.•// 2= / B+ / DAB ,•/ PA=PD,•••/ PAD= / PDA. 又•••/ PDA= / BDE,•/ OA=OD ,•/ OA=OD ,•••/ 1 + / PAD=900即OA 丄PA.••• PA 与O O 相切此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用如图，AB=AC , AB 是O O 的直径，O O 交BC 于D , DM 丄AC 于M证明一：连结OD.•/ AB=AC ,••• DM 丄 OD. ••• DM 与O O 相切证明二：连结OD , AD.•••/ 3+/4=90°.••• AB 是O O 的直径,••• AD 丄BC.又•••AB=AC,•/ DM 丄 AC ,•••/ 2+/ 4=90°说明: 求证: DM 与O O 相切.•/ OB=OD ,•••OD // AC. •/ DM 丄 AC ,即OD丄DM.••• DM是O O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的•证明二是通过证两角互余证明垂直的, 解题中注意充分利用已知及图上已知例4 如图，已知：AB是O O的直径, C 在O O 上，且/ CAB=3O0, BD=OB , D在AB的延长线上.求证: DC是O O的切线证明: 连结OC、BC.•/ OA=OC ,•••/ A= / 1= / 30°.•••/ BOC= / A+ / 1=60°.又••• OC=OB ,•••△ OBC是等边三角形.••• OB=BC.•/ OB=BD ,••• OB=BC=BD.••• OC 丄CD.••• DC是O O的切线.说明: 此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较如图，AB是O O的直径，CD丄AB，且OA2=OD - 0P.求证: PC是O O的切线.证明: 连结OC•/ OA2=OD • OP, OA=OC ,2••• OC2=OD • OP,•/ AD=CD , DE=DE ,OC OP OD "O C•••/ OCP= / ODC. •/ CD 丄 AB ,•••/ OCP=90 . ••• PC 是O O 的切线.如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ,交CD 于F . 求证: CE 与^ CFG 的外接圆相切.分析: 此题图上没有画出△ CFG 的外接圆，但△ CFG 是直角三角形，圆心在斜边 FG 的中点, 为此我们取 FG 的中点O ,连结证明: 取FG 中点O ,连结OC.••• ABCD 是正方形, ••• BC 丄 CD , △ CFG 是Rt △•/ O 是FG 的中点,• O 是Rt A CFG 的外心.OC ,证明CE 丄OC 即可得解.•/ OC=OG ,•/ AD // BC ,/ ADE= / CDE=450,•••△ ADE CDE (SAS )说明: 此题是通过证三角形相似证明垂直的•••/ 4= / 1,/ 1 = /3.•••/ 2+ /3=90°,•••/ 1 + /2=90°.即CE丄OC.••• CE与^ CFG的外接圆相切二、若直线I与O O没有已知的公共点，又要证明I是O O的切线，只需作OA丄l, A为垂足，证明OA是O O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC , D为BC中点，O D与AB切于E点.求证：AC与O D相切.证明一：连结DE，作DF丄AC，F是垂足.••• AB是O D的切线,••• DE 丄AB.•/ DF 丄AC ,•••/ DEB= / DFC=900.•/ AB=AC ,•••/ B= /C.又•••BD=CD ,•••△ BDE CDF (AAS )•••DF=DE.••• F 在O D上.••• AC是O D的切线证明二：连结DE , AD，作DF丄AC , F是垂足.••• AB与O D相切,••• DE 丄AB.•/ AB=AC , BD=CD ,c•••/ 仁/2.•/ DE 丄AB , DF 丄AC ,•••DE=DF.••• F 在O D上.••• AC与O D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关例8 已知：如图，AC, BD与O 0切于A、B,且AC // BD，若/ C0D=900.求证：CD是O O的切线.证明一：连结0A , OB，作0E丄CD , E为垂足.••• AC , BD 与O 0 相切,••• AC 丄0A , BD 丄0B.•/ AC //BD ,•••/ 1 + / 2+ / 3+ /4=180 .•••/ C0D=900,•••/ 2+ / 3=90°,/ 1 + /4=90°.•••/ 4+ /5=900.••• Rt△ A0C s Rt△BD0.AC 0C0B 0D•/ 0A=0B ,AC 0C0A 0D又•••/ CA0= / C0D=900,又••• 0A 丄AC , 0E 丄CD,••• OE=OA.••• E点在O O上.••• CD是O O的切线.证明二：连结OA , OB，作OE丄CD于E,延长DO交CA延长线于F.•// COD=90 0,••• CF=CD，/ 1= / 2.又••• OA 丄AC , OE 丄CD ,••• OE=OA.••• E点在O O上.••• CD是O O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE丄CD于E,取CD中点F，连结OF.•/ AC与O O相切,••• AC 丄AO.•/ AC // BD ,••• AO 丄BD.••• BD与O O相切于B,••• AO的延长线必经过点 B.••• AB是O O的直径.•/ AC // BD , OA=OB , CF=DF ,••• OF // AC , •••/ 仁/COF.•••/ COD=90 0, CF=DF ,••• OF =-CD =CF .2•••/ 2=/ COF.•/ OA 丄AC , OE 丄CD, ••• OE=OA.••• E点在O O上.••• CD是O O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明/ 1 = / 2,证明二是利用等腰三角形三线合一证明/ 1 = / 2.证明三是利用梯形的性质证明/ 1= / 2,这种方法必需先证明三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考。

专题09 圆切线的两种证明方法

专题09 圆切线的两种证明方法方法一、有切点、连半径、证垂直例1．如图，在ABC V 中，AB AC =，以AB 为直径的O e 交BC 于点D ，过点D 作DE AC ^于点E ．（1）求证：DE 是O e 的切线．（2）若10AB =，5AD =，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）DE =【解析】（1）连接OD ，OD OB = ，ODB B \Ð=Ð，又AB AC =，C B \Ð=Ð，ODB C \Ð=Ð，又DE AC ^，90EDC C \Ð+Ð=°，即90EDC ODB Ð+Ð=°，90ODE Ð=°，即DE OD ^，DE \是O e 的切线，（2）连接AD ，得AD BC ^，∵AB =AC ，D ∴是BC 的中点，∴BD =CD ，在Rt △ABD 中，BD ===∴CD BD ==10AC AB ==，∵DE AC ^，AD BC ^，∴∠DEC =∠ADC =90°，∵∠C +∠CDE =∠C +∠DAC =90°，∴∠CDE =∠DAC ，DEC ADC △∽△，DE DC AD AC \=，即5DE =DE \=．【变式训练1】如图，PA 是以AC 为直径的☉O 的切线，切点为A ，过点A 作AB ⊥OP ，交☉O 于点B ．（1）求证：PB 是☉O 的切线；（2）若AB ＝6，3cos =5PAB Ð，求PO 的长．【答案】（1）见解析；（2）254【解析】（1）证明：连接OB ，∵PA 是以AC 为直径的☉O 的切线，切点为A ，∴∠PAO ＝90o ，∵OA ＝OB ，AB ⊥OP ，∴∠POA ＝∠POB ，又OP ＝OP ，∴△PAO @△PBO ()SAS ，∴∠PBO ＝∠PAO ＝90o ，即OB ⊥PB ，∴PB 是☉O 的切线；（2）解：设OP 与AB 交于点D ．，∵AB ⊥OP ，AB ＝6，∴DA ＝DB ＝3，∠PDA ＝∠PDB ＝90o ，∵33cos 5DA PAB PA PAÐ＝，∴PA ＝5，∴PD 4，在Rt △APD 和Rt △APO 中，∵cos cos PD PA APD APD PA PO Ð=Ð=，∴PD PA PA PO=，∴2254PA PO PD ==．【变式训练2】如图，O e 是ABC V 的外接圆，点D 是 BC的中点，过点D 作//EF BC 分别交AB 、AC 的延长线于点E 和点F ，连接AD 、BD ，ABC Ð的平分线BM 交AD 于点M ．（1）求证：EF 是O e 的切线；（2）若:5:2AB BE =，AD =，求线段DM 的长．【答案】（1）见详解；（2）2【解析】（1）证明：连接OD ，如图，∵点D 是 BC的中点，∴ BD CD =，∴OD ⊥BC ，∵BC ∥EF ，∴OD ⊥EF ，∴EF 为⊙O 的切线；（2）设BC 、AD 交于点N ，∵:5:2AB BE =，AD =，//EF BC ，∴52AN AB DN BE ==，∴DN ，∵点D 是 BC的中点，∴∠BAD =∠CAD =∠CBD ，又∵∠BDN =∠ADB ，∴ADB V ，∴DN BD DB AD ==∴BD =2，∵ABC Ð的平分线BM 交AD 于点M ，∴∠ABM =∠CBM ，∴∠ABM +∠BAD =∠CBM +∠CBD ，即：∠BMD =∠DBM ，∴DM =BD =2．【变式训练3】如图，在Rt ABC V 中，90C Ð=°，以AB 上一点O 为圆心，OA 的长为半径作O e ，交AC ，AB 分别于D ，E 两点，连接BD ，且A CBD Ð=Ð．（1）求证：BD 是O e 的切线；（2）若2CD =，4BC =，求O e 的半径．【答案】（1）见解析；（2）r =【解析】（1）证明：连接OD ，∵OA OD =，∴A ODA Ð=Ð，∵A CBD Ð=Ð，∴CBD ODAÐ=Ð∵90C Ð=°，∴90CBD CDB Ð+Ð=°，∴90ODA CDB Ð+Ð=°，∴90ODB Ð=°，∴OD BD ^，∴BD 为O e 的切线；（2）解：∵A CBD Ð=Ð，C C Ð=Ð，∴ABC BDC ∽△△， ∴CB CA CD CB =，∴2CB CD CA =×，∵2CD =，4BC =，∴8CA =，∴AB ==，设圆O 的半径为r ，则OB r =，∵222OB OD BD =+，∴BD ==，∴()(222r r -=+，解得r =．方法二、无切点、作垂直、证半径例1.如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠ADC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝4，BC ＝9，求OD 的长．【解析】（1）证明：过O 点作OE ⊥CD 于点E ，如图，∵AM 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥AD ，∵DO 平分∠ADC ，∴OE ＝OA ，∵OA 为⊙O 的半径，∴OE 是⊙O 的半径，且OE ⊥DC ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：过D 作DF ⊥BC 于F ，如图，∵AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，∴AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，∴四边形ABFD 为矩形，∴BF ＝AD ＝4，∴CF ＝BC ﹣BF ＝5，∵DC 、AM 、BC 为圆的切线，∴DA ＝DE ＝4，CE ＝CB ＝9，∴DC ＝AD +BC ＝13，在Rt △DCF 中，DF 12，∴AB ＝12，∴OA ＝6，在Rt△OAD中，OD【变式训练1】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=BE＝1．求阴影部分的面积．【解析】（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，而OF⊥AC，∴OF＝OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，∴r2+2＝（r+1）2，解得r＝1，∴OD＝1，OB＝2，∴∠B＝30°，∠BOD＝60°，∴∠AOD＝30°，在Rt△AOD中，AD=∴阴影部分的面积＝2S△AOD﹣S扇形DOF＝2×12×1−60⋅π⋅12360−π6．【变式训练2】在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，点P在∠ABC平分线上，以点P为圆心作⊙P．（1）如图，当⊙P经过点C时，求证：⊙P与直线AB相切；（2）当⊙P同时与直线BC、AC相切时，求⊙P的半径．【答案】（1）见解析；（2）1或3【详解】证明：（1）如图，过点P 作PD 垂直AB ，交AB 于D 点，∵AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，∴222222534AB AC BC ==+=+ ，∴∠ACB ＝90°，∴PC ⊥BC ，∵BP 平分∠ABC ，PC ⊥BC ，PD ⊥AB ，∴PC ＝PD ＝r ，∴⊙P 与直线AB 相切．（2）如图，当⊙P 同时与直线BC 、AC 相切时，点P 在∠ACB 或∠ACM 的角平分线上存在两种情况：①当圆心在△ABC 内部，即⊙P 1分别与直线BC 、AC 相切时，∴P 1G ＝P 1F ＝P 1E ＝r ，P 1G ⊥BC ，P 1E ⊥AB ，P 1F ⊥AC ，∴111ABC ABP ACP BCP S S S S D D D D =++＝111111222AB PE AC PF BC PG ×+×+×＝12ABC C r D ×，∴1234221345ABC ABC S r C D D ´´´===++，②当圆心在△ABC 外部，⊙P 2分别与直线BC 、AC 相切时，∴P 2M ＝P 2N ＝P 2Q ＝R ，P 2M ⊥BC ，P 2Q ⊥AB ，P 2N ⊥AC ，∴S △ABC ＝222222111222ABP BCP ACP S S S AB P Q BC P M AC P N D D D +-=×+×-×1()2AB BC AC R =+-×，∴1234223534ABCSRAB BC ACD´´´===+-+-，综上，⊙P的半径为1或3．【变式训练3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO平分∠CAB，以O为圆心，OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝12，求AEAC；（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．【详解】（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC＝OF，∴AB是⊙O的切线；（2）如图，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO+∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ECO＝90°，∴∠ACE＝∠OCD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ODC，∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴AE CE AC CD=，∵tan∠D＝12，∴12CECD=，∴12AEAC=；（3）由（2）可知：12AEAC=，∴设AE＝x，AC＝2x，∵△ACE∽△ADC，∴AE ACAC AD=，∴AC2＝AE•AD，∴（2x）2＝x（x+6），解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），∴AE＝2，AC＝4，由（1）可知：AC＝AF＝4，∠OFB＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△OFB∽△ACB，∴BF OF BC AC=，设BF＝a，∴BC＝43a，∴BO＝BC﹣OC＝43a﹣3，在Rt△BOF中，BO2＝OF2+BF2，∴（43a﹣3）2＝32+a2，∴解得：a＝727或a＝0（不合题意，舍去），∴AB＝AF+BF＝72100477+=．。

圆的切线方程推导

圆的切线方程推导
由于圆是二次曲线，它的切线实际上是一个抛物线，能够将圆弧断开。

它们是从圆的中心延伸出来的直线，具有相同的半径。

因此，切线方
程的推导非常重要，让我们来看看切线方程的推导：
1. 定义圆的中心和半径：
以(x0, y0)为圆心、以r为半径的圆的圆心方程为：
（x-x0）²+(y-y0)²=r²
2. 由定义推导出圆上任意一点(x1, y1)
由圆心方程可知：
（x1-x0）²+(y1-y0)²=r²
3. 引入一个切点P(x0, y0)，由已知点推出切线
切点P是一个圆线上的点，切线通过切点P。

圆线L1：x-x0=y-y0
圆线L2：x-x1=y-y1
将点P代入L1, 可求得P的坐标：
x0+y0-y1=x1
y0+x1-x0=y1
将P(x0, y0)的坐标代入L2，可得：
x0+y0-y1=x1
y0+x1-x0=y1
合并两式：
2x0-2x1=2y1-2y0
假设直线斜率为m，则可得
m=(y1-y0)/(x1-x0)
得出直线l与圆C的切线方程：
(y-y0)=(y1-y0)/(x1-x0)(x-x0)
4. 结论
综上所述，由点P(x0, y0)和点(x1, y1)推导出圆C的切线方程为：(y-y0)=(y1-y0)/(x1-x0)(x-x0).。

初中数学：圆的切线的证明

圆的切线的证明
一、“见切点，连半径”――证明半径与直线垂直例1．AB 是O 的直径，AB AC ⊥，BC 交⊙O 于P Q ，是AC 的中点．求证：QP
是⊙O 的切线．
分析：本例中，要证明“QP 是⊙O 的切线”，因为P 在⊙O 上，如果结论成立，那么点P 肯定是切点，所以只要连接OP ，证明OP PQ ⊥即可．
证明：连接OP ，PA ，
AB 是⊙O 的直径，90APB ∠=︒∴．在Rt APC △中，Q 是AC 的中点，
PQ AQ =∴，QAP QPA ∠=∠∴．
又OP OA =，OAP QPA ∠=∠∴，OAQ QPO ∠=∠∴．
AB AC ⊥，OP PQ ⊥∴．QP ∴是⊙O 的切线．
二、“过圆心，作垂线”――证明垂线段等于半径
例2．直角梯形ABCD 中，以腰CD 为直径的⊙1O 恰与另一腰AB 相切，求证：以腰AB 为直径的⊙2O 也与腰CD 相切．
分析：要证明以腰AB 为直径的⊙2O 与腰CD 相切，因为⊙2O 的半径是AB 的一半，由切线的定义可知，CD 如果与⊙2O 相切，那么2O 到CD 的距离应等于半径1
2
AB ，所以过2O 作2O E CD ⊥，证明21
2
O E AB =
即可．证明：过1O 作12O O AB ⊥，那么22O A O B =，作21DF O O ⊥于F ，作2O E CD ⊥于E ，
AB 与⊙1O 相切，121O O O D =∴．
211211Rt Rt O O E DO F O O E DO F ∠=∠，∴△≌△， 2O E DF =∴． 2DF O A =，21
2
O E AB =
∴，∴以腰AB 为直径的⊙2O 也与腰CD 相切．
O。