数学建模汽车刹车距离

题目：汽车刹车距离问题

（杨彬201100301007 卓越自111）

摘要：

随着现代科学技术的进步，人民生活得到了改善，私家汽车成了普通家庭的生活必需品。为了避免不必要的交通事故，我们将应用初等方法，揭示在公路上驾驶司机应该选择刹车的最佳时间和最佳距离。控制车距的影响因素：反应时间，车速，车身重，路面状况等。此模型将回答2S法则适不适用的问题，提供了司机在行驶中应注意的各种事项，有利于交通的安全与便捷。

司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到汽车完全停止住汽车行驶的离称为刹车距离，车速越快，刹车距离越长。

就要对刹车距离与车速进行分析，它们之间有怎样的数量关系？

问题重述：

美国的某些司机培训课程中有这样的规则:在正常驾驶条件下车速每增加10英里/小时,后面与前面一辆车的距离应增加一个车身长度。又云，实现这个规则的一种简便方法是所谓“2秒规则”，即后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。试判断“2秒规则”与上述规则是否一致？是否有更好的规则？并建立刹车距离的模型。汽车在10英里/小时（约16千米/小时）的车速下2秒钟下行驶多大距离。容易计算这个距离为：10英里/小时*5280英尺/英里*1小时/3600秒*2秒=29.33英尺（=8.94米），远远大于一个车身的平均长度15英尺（=4.6米），所以“2秒准则”与上述规则并不一样。

所以我们还要对刹车距离与速度做更仔细的分析，通过各种分析（主要通过数据分析）以及各种假设，我们提出了更加合理的准则，即“t秒准则”。

在道路上行驶的汽车保持足够安全的前后车距是非常重要的，人们为此提出各种五花八门的建议，就上面的“一车长度准则”，“2秒准则”以及我们提出的t秒准则。这些准则的提出都是为了怎样的刹车距离与车速的关系来保证行驶的安全。所以为了足够安全要做仔细的分析。

问题分析：

问题要求建立刹车距离与车速之间的数量关系。

制定这样的规定是为了在后车急刹车情况下不致撞到前面的车，即要确定汽车的刹车距离。刹车距离显然与车速有关，先看看汽车在10英里/小时（约16千米/小时）的车速下2秒钟下行驶多大距离。容易计算这个距离为：10英里/小时*5280英尺/英里*1小时/3600秒

*2秒=29.33英尺（=8.94米），远远大于一个车身的平均长度15英尺（=4.6米），所以“2秒准则”与上述规则并不一样。为了判断规则的合理性，需要对刹车距离做教仔细的分析。 一方面，车速是刹车距离的主要影响因素，车速越快，刹车距离越长；另一方面，还有其他很多因素会影响刹车距离，包括车型.车重，刹车系统的机械状况，轮胎类型和状况，路面类型和状况，天气状况，驾驶员的操作技术和身体状况等。

为了建立刹车距离与车速之间的函数关系，需要提出哪几条合理的简化假设呢？

可以假设车型，轮胎类型，路面条件都相同；假设汽车没有超载；假设刹车系统的机械状况，轮胎状况，天气状况以及驾驶员状况都良好；假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向。

这些假设都是为了使我们可以仅仅考虑车速对刹车距离的影响。这些假设是初步的和粗糙的，在建模过程中，还可能提出新假设，或者修改原有假设。

首先，我们仔细分析刹车的过程，发现刹车经历两个阶段：

在第一阶段，死机意识到危险，做出刹车决定，并踩下刹车系统开始起作用，汽车在反应时间行驶的距离称为“反应距离”；

在第二阶段，从刹车踏板被踩下，刹车系统开始起作用，到汽车完全停止，汽车在制动过程“行驶”（轮胎滑动摩擦地面）的距离称为“制动距离”。 在第三阶段，由于汽车的惯性，使汽车再往前行驶一段路程。

模型假设：

基于上述分析，做以下假设： 刹车距离d 等于反应距离1

d 和制动距离

2

d 及惯性距离d3之和。

反应距离

1

d 与车速v 成正比，比例关系为反应时间1t

刹车时使用最大制动力F ，F 作的功等于汽车动能的改变，且F 与车质量m 成正比。

（该模型来自/view/47211e61b84ae45c3b358c40.html ）

分析与建立模型并求解：

由假设2）

11d t v

= （1）（该公式来自

/view/47211e61b84ae45c3b358c40.html ）

由假设3，在F 作用下行驶距离2d 做的功2

21

2Fd mv =，使使车速从v 变到0，而

F=ma ，则

2

d =

2

12av ，按照牛二定律可知，刹车时的减速度a 为常数，于是

2

2d kv

= （2）（该公式来自

/view/47211e61b84ae45c3b358c40.html ）

ｄ３＝ｂ （３）

其中k 为比例系数，实际上k=a/2。由假设1，刹车距离为

2

1d t v kv =+ ＋ｂ （４）

为了将这个模型用于实际，需要知道其中的参数1t

、k

和ｄ３。通常有经验估计和

数据拟合两种方法，这里采用反应时间

1

t 的经验估计值（按多数人平均计算）0.75秒，

而利用交通部门提供的一组刹车距离的实际数据（下表）来拟合k 和ｄ３。

（该表来自/view/47211e61b84ae45c3b358c40.html ）

表（1） 车速和实际刹车距离

根据第二列和第三列数据由表（1）车速和距离数据，用ＭＡＴＬＡＢ软件画出其图，，画出d 和v 的曲线图。

代码：

x=[29.3 44.0 58.7 73.3 88.0 102.7 117.3]; y=[44 73.5 116 173 248 343 464]; plot(x,y)

图1 实际刹车距离和速度的关系曲线图

利用上图和

1

t =0.75秒，可以得到模型（3）中k=0.0213 b=10.122，于是

d=0.75v+0.0213v^2+3.83（５）

模型验证

车 速 (英里/小时)

车速 (英尺/秒) 计算刹车距离

(英尺)

刹车时间 (秒) 20

29.3

43.98

1.5