对数与对数运算知识点
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对数与对数运算
1.对数：如果a x
=N(a>0,且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x=log a N
，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
2.对数的性质:(1)1的对数等于0 ;(2)底数的对数等于1;(3)零和负数没有对数
3.以10为底的对数叫做常用对数,log 10N 记作lg N
.
4.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，logeN 记作ln N
5.对数的运算性质：如果a>0，且a ≠1，M>0;N>0，那么：
（1）log a (MN)=log a M +log a N ；log a (N1N2…Nk )=log a N1+log a N2+…log a N3
；
（2）log a (M ／N)
=log a M -log a N ；
（3）log a M n =nlog a M
6.对数换底公式：log a
N
=a
b
N b
log
log ；
7.对数运算中的三个常用结论：N a
N
a =log ,log a
a =1,log a 1
=0
8.两个常用的推论：a ，b ＞0且均不为1,m,n,为正整数
（1）log
a
b ×log b a
=1；log a
b ×log b
c ×log c a
=1；
（2） b a b a m n n
m log log =；b
a b a
n
m n m log log =；
9.指数和对数的关系：a x =N ⇔log a N
=x
比较指数式、根式、对数式：
几个对数运算公式的证明
证明下列公式：
（1）对数的运算性质:log a (M ／N)
=log a M -log a N
（2）对数的运算性质:log a M n =nlog a M
（3）对数的换底公式：log a
b
=
a
b c c log log
（4）对数运算中的常用结论：N a N
a log
（5）a ，b ＞0且均不为1,log a b
×log b a
=1 （6）a ，b ＞0且均不为1,m 为正整数,m
m
b a
log =log a b
（7）a ，b ＞0且均不为1,m,n 为正整数, n m
b a log =m n log a b
证明：（1）设a x =M ，a y
=N ，则N M =y x a
a =a x-y ．∴x-y=log a N
M
，∵x=log a M ，y=log a N
，
∴x-y= log a M - log a N ，∴log a N M = log a M - log a N
（2）设a x
=M ，则x=log a M
，∴nx=nlog a M
．∵（a x ）n=M n ，∴a xn =M n
，
∴xn=log a M n ，∴log a M n = nlog a M
（3）设log a b =x ，则a x =b ．∴log c a x =log c b x ，∴xlog c a =log c b ，∴x=log c b
÷log c
a ，∴log
a
b =
a
b c c log log
（4）设log a N =x ，则a x
=N ．∵log a a x
=x ，∴x
a
a a
log =a x
，∴x
a
a a log =N
（5）∵log a b =a
b lg lg ，log b a =b
a lg lg ，∴log a
b ×log b a
=a b lg lg ×b
a lg lg =1
（6）设m
a
b
m log =x ，则（a m
）x
=b m
，∴a mx
=b m
，∴ mx
a a
log =log a b m ，∴mxlog a a
=
mlog a
b
，∴x=log a
b ，∴m
m
b a log =log a b
（7）设n a b m
log =x ，则（a
m
）x
=b n ，∴mx
a a
log =log a b n ，∴mxlog a a
=
nlog
a
b
，∴x=m
n
log a
b ，∴n
m
b a
log =m
n log a b