对数与对数运算知识点
对数的运算及对数函数
§2.2.1 对数与对数运算（一）¤知识要点：1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = ，log a a N N = ¤例题精讲：【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.【例2】计算下列各式的值：（1）lg0.001； （2）4log 8； （3）.第14练 §2.2.1 对数与对数运算（一）※基础达标1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）. A. 01ln10e ==与 B. 1()381118log 223-==-与 C. 123log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）.A. 10B. 0.01C. 100D. 10004．设13log 82x=，则底数x 的值等于（ ）. A. 2 B. 12 C. 4 D. 145．已知432log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）.A.13 B. C. D. 6．若21log 3x =，则x = ； 若log 32x =-，则x = .7．计算：= ； 6lg 0.1= .※能力提高8．求下列各式的值：（1）8； （2）9log9．求下列各式中x 的取值范围：（1）1log (3)x x -+； （2）12log (32)x x -+.※探究创新10．（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.第15讲 §2.2.1 对数与对数运算（二）¤知识要点：1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+，log log log aa a MM N N=-，log log n a a M n M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log n n a a N N =，log log m n a a nN N m=，log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲：【例2】若2510a b ==，则11a b+= .【例4】（1）化简：532111log 7log 7log 7++； （2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值.第15练 §2.2.1 对数与对数运算（二）※基础达标 1．）. A. 1B. －1C. 2D. －2 2．25log ()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）.A. －aB. a 2C. ｜a ｜D. a3．化简3log 1的结果是（ ）. A.12B. 1C. 24．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 8 D. 125．化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）.A .1 B.32C. 2D.3 6．计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .7．若3a ＝2，则log 38－2log 36＝ .第16讲 §2.2.2 对数函数及其性质（一）¤知识要点：1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.2. 由2log y x =与12log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.¤例题精讲：【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3.【例2】求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.第16练 §2.2.2 对数函数及其性质（一）※基础达标1．下列各式错误的是（ ）.A. 0.80.733>B. 0.10.10.750.75-<C. 0..50..5log 0.4log 0.6>D. lg1.6lg1.4>.2．当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.AC3．下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数（ ）A.log (0,1)a xy aa a =>≠ B. y =2x xC. log (0,1)x a y a a a =>≠D. y4．函数y ）.A. (1,)+∞B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. (1,2] 5．若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）.A. 1 m n >>B. 1n m >>C. 01n m <<<D. 01m n <<<6．函数y = . （用区间表示）7．比较两个对数值的大小：ln7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5log 0.8. ※能力提高8．求下列函数的定义域：（1） ()()3log 1f x x =++； （2）y =9．已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈，22()()[()]g x f x f x =-，求： （1）()f x 的值域； （2）()g x 的最大值及相应x 的值.第17讲 §2.2.2 对数函数及其性质（二）¤知识要点：1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.3. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲：【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<第17练 §2.2.2 对数函数及其性质（二）※基础达标 1．函数1lg1xy x+=－的图象关于（ ）. A. y 轴对称 B. x 轴对称 C. 原点对称D. 直线y ＝x 对称2．函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ）.A. RB. [8,)+∞C. (,3]-∞-D. [3,)+∞3．（07年全国卷.文理8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）.A.2B. 2C. 22D. 44．图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2，43，310，15，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.A.2，43，15，310 B. 2，43，310，15 C. 15，310，43，2 D. 43，2，310，155．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）. A. 12log (1)y x =+ B. 22log 1y x =- C. 21log y x= D.20.2log (4)y x =-6． 函数2()lg(1)f x x x =+-是 函数. （填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）7．函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 . ※能力提高8．已知6()log ,(0,1)a f x a a x b=>≠-，讨论()f x 的单调性.0 x C 1C 2C 4C 3 1y第18讲 §2.3 幂函数¤学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, y =1/x , y=x 1/2 的图像，了解它们的变化情况.知识要点：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.¤例题精讲：【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.解：设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=，所以13y x =，在R 上单调递增.【例2】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．解：∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴{6020m m -<-<，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =. 【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）. A ．101n m -<<<< B ．1,01n m <-<< C ．10,1n m -<<> D ．1,1n m <->解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【例4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区2a m 的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的22. （1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？ （3）若通过技术创新，至少保留24a m 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？ 解：（1）设每年平改坡的百分比为(01)x x <<，则101(1)2a x a -=，即11011()2x -=，解得11011()0.0670 6.702x =-≈=%.（2）设到今年为止，该工程已经进行了n 年，则2(1)2na x a -=，即110211()()22n=，解得n =5.所以，到今年为止，该工程已经进行了5年.（3）设今后最多还需平改坡m 年，则 51(1)4m a x a +-=，即521011()()22m +=，解得m =15. 所以，今后最多还需平改坡15年.点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.第18练 §2.3 幂函数※基础达标1．如果幂函数()f x x α=的图象经过点2(2,)2，则(4)f 的值等于（ ）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 122．下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）.A. 1y x =B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =--3．设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（ ）.A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c4．如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象. 已知n 分别取2±，12±四个值，与曲线1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为（ ）.A ．112,,,222-- B. 112,,2,22--C. 11,2,2,22--D. 112,,,222--5．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.A.12y x =B. 4y x =C. 2y x -=D.13y x = 6．幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 . 7．比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.4 0.40.5.※能力提高8．幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.9．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿）.（1）写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数； （2）求2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？※探究创新4251c 4c 3c 2c 110．请把相应的幂函数图象代号填入表格.① 23y x =； ② 2y x -=；③ 12y x =； ④ 1y x -=； ⑤ 13y x =；⑥ 43y x =；⑦ 12y x -=；⑧ 53y x =. 第19讲 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习¤学习目标：理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解.¤例题精讲：【例1】若()(0,1)x f x a a a =>≠且，则1212()()()22x x f x f x f ++≤. 证明：121212122()()()222x x x x f x f x x x a a f a++++-=-0==≥. ∴ 1212()()()22x x f x f x f ++≤. （注：此性质为函数的凹凸性） 【例2】已知函数2()(0,0)1bxf x b a ax =≠>+.（1）判断()f x 的奇偶性； （2）若3211(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.解：（1）()f x 定义域为R ，2()()1bxf x f x ax --==-+，故()f x 是奇函数.（2）由1(1)12b f a ==+，则210a b -+=.又log 3(4a -b )=1，即4a -b =3.由{21043a b a b -+=-=得a =1，b =1.【例3】（01天津卷.19）设a ＞0， ()x xe af x a e =+是R 上的偶函数.（1）求a 的值； （2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数．解：（1）∵ ()x xe af x a e =+是R 上的偶函数，∴ ()()0f x f x --=.∴ 110()()x x x x x x e a e a a e a e a e a e a a ---+--=⇒-+-10()()0x x a e e a-=⇒--=.e x －e -x 不可能恒为“0”， ∴ 当1a－a ＝0时等式恒成立， ∴a ＝1．（2）在(0,)+∞上任取x 1＜x 2，1212121212111()()()()x x x x x x x x e f x f x e e e a e e e e -=+--=-+-12121()(1)x x x x e e e e =--∵ e ＞1，x 1＜x 2， ∴ 121x x e e >>， ∴12x x e e ＞1，121212()(1)x x x x x x e e e e e e --＜0，∴ 12()()0f x f x -<， ∴ ()f x 是在(0,)+∞上的增函数．点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识．此题中的函数，也可以看成指数函数xy a =与x a y a x =+的复合，可以进一步变式探讨x ay a x=+的单调性. 【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.（1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t 年后的世界人口数y （亿）与t 的函数解析式；（2）若人口的平均增长率为x %，写出2010年底世界人口数为y （亿）与x 的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？解：（1）经过t 年后的世界人口数为 *54.8(1 1.2)54.8 1.012,t t y t N =⨯+%=⨯∈.（2）2010年底的世界人口数y 与x 的函数解析式为 1854.8(1)y x =⨯+%. 由1854.8(1)y x =⨯+%≤66.8， 解得1866.8100(1) 1.154.8x ≤⨯-≈. 所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.点评：解应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案. 此题由增长率的知识，可以得到指数型或幂型函数，并得到关于增长率的简单不等式，解决实际中增长率控制问题.第19练 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习※基础达标 1．（06年全国卷II.文2理1）已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N =（ ）.A. ∅B. {}|03x x <<C. {}|13x x <<D. {}|23x x << 2．（08年北京卷.文2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ）.A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>3.（05年福建卷）函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A. 1,0a b >< B. 1,0a b >> C. 01,0a b <<> D. 01,0a b <<<4．（06年广东卷）函数23()lg(31)1x f x x x=++-的定义域是（ ）.A.1(,)3-+∞B. 1(,1)3-C. 11(,)33-D. 1(,)3-∞-5．（06年陕西卷）设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a b +等于（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 66．（06年辽宁卷.文14理13）设,0(),0x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g = .7．如图所示，曲线是幂函数y x α=在第一象限内的图象，已知α分别取11,1,,22-四个值，则相应图象依次为 .※能力提高8．已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数. 求,a b 的值.9．已知函数y =24log log 42x x(2≤x ≤4). （1）求输入x =234时对应的y 值； （2）令2log t x =，求y 关于t 的函数关系式及t 的范围.※探究创新10．设121()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数. （1）求a 的值； （2）证明()f x 在区间（1，＋∞）内单调递增；（3）若对于区间[3,4]上的每一个x 值，不等式()f x >1()2x m +恒成立，求实数m 的取值范围．。
对数及其运算性质
x
loga1=0 logaa=1 logaa =b a 3.对数的运算性质:
b
loga N
=N
log a(MN)=log a M+log a N
loga(M N )=loga M-loga N n loga(M )=nloga M(n ∈R)
-1
换底公式及推论:
1.换 公 : 底 式 2.推论:
log c b loga b= log c a
思考：
在复习提问3：log264=6,log24=2的基 础上增加log464=3，你还有何猜想？你 能证明它吗？由它还能得出什么结论？
2
2
对数与对数运算(三 对数与对数运算 三)
复习提问: 1.对数式与指数式的互化:
a = N ⇔ x = loga N(a > 0, a ≠ 1, N > 0) 2.对数的基本性质:
例6：科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生 ：科学研究表明， 放射性碳14。 的衰变极有规律， 放射性碳 。碳14的衰变极有规律，其精确性可以 的衰变极有规律 称为自然界的“标准时钟” 称为自然界的“标准时钟”。动植物在生长过程中衰 变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充， 变的碳 ，可以通过与大气的相互作用得到补充， 所以活着的动植物每无组织中的碳14含量不变 含量不变。 所以活着的动植物每无组织中的碳 含量不变。死 亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用， 亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机 体中原有的碳１４按确定的规律衰减， １４按确定的规律衰减 体中原有的碳１４按确定的规律衰减，我们已经知 道其“半衰期” ５７３０年 道其“半衰期”为５７３０年。 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳１４ １４的残余 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳１４的残余 量约占原始含量的７６ ％，试推算马王堆古墓的 ７６.７ 量约占原始含量的７６ ７％，试推算马王堆古墓的 年代。 年代。
对数的含义与运算
对数含义与运算一、 知识综述1．对数定义：一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 就是N a b =，那么数 b 叫做a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的 ，N 叫做 。
即ba N =， log a Nb =aNb指数式N a b = 底数 幂 指数 对数式b N a =log对数的底数真数对数例如：对数式与指数式的互换2416= 210100= 1242= 2100.01-=2．基本性质：若0a >且1a ≠，0N >，则（1）log 10a =，log 1a a =；（2）log a Na N =.3．介绍两种特殊的对数： ①常用对数：以10作底 10log N 写成lg N ②自然对数：以e 作底为无理数，e = 2.71828…… ， log e N 写成ln N ．4.对数的运算性质：如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0， 那么（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log -log aa a M M N N=；（3）log log ()na a M n M n R =∈． 5.换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠)说明：两个较为常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； （2）log log m na a nb b m= （a 、0b >且均不为1）． 二、例题讲解例一：（1）计算： 9log 27， 345log 625．（2）求 x 的值：①33log 4x =-； ②()2221log 3211x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+-=．（3）求底数：①3log 35x =-， ②7log 28x =．例二： 例5．求下列各式的值：（1）()752log 42⨯； （2）5lg 100 ．例三： 计算： （1）lg14-21g 18lg 7lg 37-+； （2）9lg 243lg ； （3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+．三、课堂练习 一、填空题1.计算：log2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+= . 2．若10x=3,10y=4，则102x-y=__________；为表示、用7512log y x ．3．（log 43+log 83）（log 32+log 92）－log 421329log 255+=__________ ．4．若log (21)1x +=-, 则x = ． 5．已知()xf e x =，则f(5)等于 ． 6．如果732log [log (log )]0x =，那么12x -等于________________.7.25)a (log 5-（a ≠0）化简得结果是_____________________．8.已知 ab=M (a>0, b>0, M ≠1), 且logM b=x ，则logM a=________________．9.设(){}1,,lg A y xy =, {}0,,B x y =,且A =B ，则x = ；y =10. 计算：()()5log 22323-+二、选择题11．3log 9log 28的值是 （ ）A ．32 B ．1 C ．23 D ．212．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55153313221z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．z ＜x ＜yB ．x ＜y ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x 13．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（ ）A.23 B.45 C.0D.21 14．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于（ ）A ．ba ba +++12B ．ba ba +++12C ．ba ba +-+12D ．ba ba +-+1215．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则yx 的值为（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．4 或-116．若log a b ·log 3a=5，则b 等于（ ）A ．a 3B ．a 5C ．35D ．5317． 已知ab>0，下面四个等式中，正确命题的个数为 （ ） ①lg （ab ）=lga+lgb ②lgb a =lga －lgb ③bab a lg )lg(212= ④lg （ab ）=10log 1abA ．0B ．1C ．2D ．318．若f （ln x ）=3x +4，则f （x ）的表达式为 （ ）A 3ln xB 3ln x +4C 3e x +4D 3e x三、解答题19. （1）已知32a=，用a 表示33log 4log 6-；（2）已知3log 2a =，35b=，用a 、b 表示 30log 3．20.已知：lg （x －1）+lg （x －2）=lg2，求x 的值21. 已知18log 9,185,ba ==用a,b 表示 36log 4522. 15．（14分）已知函数2()(lg 2)lg f x x a x b =+++满足(1)2f -=-，且对一切实数x ，都有f (x)≥2x 成立，求实数a 、b 的值.课后练习1．下列指数式与对数式互化中错误的一组是 A ． 01e =与ln10= B ．13182-=与811log 23=- C ． 3log 92=与1293= D ．7log 71=与177=2．若b ≠1，则 loga b 等于（ ）。
对数运算和对数函数
对数与对数函数一、相关知识点1.对数的定义：如果()1,0≠>=a a N a x 且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
2.几种常见对数(1)()1,0≠>a a 且①01log =a ; ②1log =a a ; ③N a Na =log ; ④N a N a =log .（两个对数恒等式） (2)对数的重要公式：①换底公式：()0,1,log log log >=N b a b aN aNb均为大于零且不等于；②abba log 1log =，推广：da d c cb b a log log log log =⋅⋅. （3）对数的运算法则：如果0,0,1,0>>≠>N M a a 且，那么 ①()Na M a MN aloglog log += ; ②NaM a N Malog log log -=； ③()R n n MaM a n∈=log log ；④b a b a mnnm log log = . 3.反函数，只需了解：指数函数xa y =与对数函数xa y log =互为反函数，它们的图象关于直线x y =对称。
题型一：对数的化简和求值1.计算:(1)2110025lg 41lg ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-；(2)32log 2450lg 2lg 5lg +⋅+；(3)()232031027.0252lg 3.0lg 21000lg 8lg 27lg --⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+-++-+；(4)()222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +++. 2.已知()[]0lg log log 25=x ，求x 的值.3.已知0>a ，且1≠a ，m a =2log ，n a =3log ，求nm a +2的值能力提高：(1).设m ba==52，且211=+ba ,则=m ; (2).若632==b a ，求证：c b a 111=+题型二：（1）对数函数的基本性质题型一：基本性质1.函数()()223lg +-=x x f 恒过定点_______________________2.如果0log log 2121<<y x ，那么（）(A)1<<x y ； (B)1<<y x ；(C)y x <<1； (D)x y <<1.3.已知()x x f a log =，()x x g b log =，()x x r c log =，()x x h d log =的图象如图所示则a ,b ,c ,d 的大小为A.b a d c <<<;B.a b d c <<<;C.b a c d <<<;D.d c b a <<<4.若函数()⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫⎝⎛+≥=）（）（4214log 2x x f x x x f ,则⎪⎭⎫⎝⎛23f 的值是( ) A.21; B.1; C.23; D.2 5.若点()b a ,在x y lg =图像上,1≠a ,则下列点也在此图像上的是（）A.⎪⎭⎫⎝⎛b a ,1;B. ()b a -1,10;C.⎪⎭⎫⎝⎛+1,10b a ; D.()b a 2,2. 6.函数()()13log 2+=xx f 的值域为7.为了得到函数103lg+=x y 的图像,只需把函数x y lg =的图像上所有的点( ) A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度； D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度.8.若函数()()()101≠>--=a a a a k x f xx且在R 上既是奇函数,又是减函数()()k x x g a +=log 的图象是( )9.对于函数()x f 定义域中任意的()2121,x x x x ≠，有如下结论： ①()()()2121x f x f x x f ⋅=+； ②()()()2121x f x f x x f +=⋅; ③()()02121>--x x x f x f ； ④()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 当()x x f lg =时，上述结论中正确结论的序号是. 能力提高：1.已知函数()22log 21+-=a y x 的值域是R ，求a 的取值范围.2.已知函数()()1log 22++=ax ax x f 的定义域为全体实数，求a 的取值范围.3.已知函数()()1log 22++=ax axx f 的值域域为全体实数，求a 的取值范围。
对数及其知识点总结
对数及其知识点总结一、定义和性质1. 定义对数是一个数学函数。
正式定义为：如果a > 0且a≠1，且x>0，则以a为底x的对数记作log_a(x)=y，其中y表示底为a的x的对数。
换句话说，log_a(x)表示a的y次幂等于x，其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。
2. 性质（1）对数函数的定义域为正实数。
（2）对数函数的值域为实数。
（3）对数函数在a>1时，在a=1时，及a＜1时对数的性质是不同的。
（4）对数函数y=log_a(x)的图象是一条单调递增的曲线，穿过第一象限。
当x=a时,y=1。
（5）对数函数的性质：log_ab=log_ax/log_ab=log_a(x)×log_a(b)。
二、对数的计算1. 对数的运算法则（1）加法法则：log_a(mn)=log_am+log_an。
（2）减法法则：log_a(m/n)=log_am- log_an。
2. 对数的换底公式对数的换底公式是指，当我们计算不同底数的对数时，可以使用换底公式来进行计算。
换底公式是log_ab= log_cb/log_ca。
3. 对数的计算方法对数的计算方法可以通过以下步骤进行：（1）确定底数a和真数x；（2）使用对数的定义，代入相应的值进行计算；（3）根据需要，使用对数的运算法则和换底公式进行计算。
（4）对于特殊情况，如对数为整数或分数时，需要进行额外的计算。
4. 对数的应用对数在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在科学计算、工程技术、金融业务等领域都有着重要的作用。
对数常常用来表示某一数量级的大小，例如声音的强度、地震的强度、化学溶液的浓度等。
三、常用对数及自然对数1. 常用对数常用对数是指以10为底的对数。
在常用对数中，log_10(10)=1，log_10(100)=2，log_10(1000)=3，依此类推。
常用对数可以简化对数的计算，常用对数的应用也十分广泛。
2. 自然对数自然对数是以常数e≈2.71828为底的对数。
对数与对数知识点
对数与对数知识点对数是高中数学中的重要概念，广泛应用于代数、几何和数理统计等学科。
本文将介绍对数的定义、性质和应用，帮助读者全面了解对数及其相关知识点。
一、对数的定义对数是指数运算的逆运算。
设a和b是正实数，并且a≠1，若满足a^x=b，则称x为以a为底，b为真数的对数，记作x=loga(b)。
对数的定义可以解释为“b是以a为底的幂”，也可以理解为“a的x 次幂等于b”。
对数有一个重要的特例，即常用对数，以10为底的对数，记作x=log10(b)，通常省略底数10，简记为lg(b)。
常用对数是应用最广泛的对数之一。
二、对数的性质1.对数与指数的互逆性质：若a和b是正实数，并且a≠1，则有loga(a^x)=x 和 a^(loga(b))=b 成立。
2.对数的运算性质：对数具有加法和乘法运算性质，即loga(m*n)=loga(m)+loga(n) 和loga(m/n)=loga(m)-loga(n)。
另外，对数还具有指数运算的性质，即loga(m^x)=x*loga(m)。
3.常用对数的特殊性质：若m和n是两个正实数，并且m>n，则lg(m)>lg(n)。
此外，常用对数lg(b)的值可以在对数表或计算器中查找。
三、对数的应用对数在数学和实际问题中有广泛的应用，以下是几个常见的例子：1.解指数方程：对数可以用于解决指数方程。
通过取对数，将指数方程转化为线性方程，从而得到方程的解。
2.简化计算：对数运算可以简化复杂的乘法和除法运算。
例如，计算log2(16*32)可以转化为log2(16) + log2(32)，再利用对数表或计算器求得结果。
3.衡量数据变化：对数可以用于测量数据的变化程度。
例如，对数收益率常用于衡量金融投资的回报率。
4.概率计算：对数可以用于概率计算，特别是在大数相乘或相加时，通过将概率转化为对数，可以避免数值过小或过大的计算问题。
四、总结对数是数学中重要的概念，具有定义明确、性质丰富和广泛应用等特点。
03-4.2 对数与对数函数-4.2.1 对数运算 4.2.2 对数运算法则高中必修第二册人教B版
（2）［多选题］(2024·山东省淄博市期末)若,,都是正数，且 ,则( )
BCD
A. B. C. D.
【解析】设,则，， ，，，，所以 ,A错误，B正确.,因为，所以 ，则等号不成立，所以，则 ，C正确.因为，所以 ,D正确.
（3）已知,,,则 的值为___.
（2）(全国Ⅰ卷)设,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 因为，所以 ，
则有，所以 .
因为，所以，所以 ，所以 .
因为，所以，所以 ，两边同时平方得，所以 .
（1） ；
【解析】 .
（2） ;
【解析】 .
（3） .
【解析】 .
例1-3 将下列对数式改写成指数式：
（1） ;
【解析】 .
（2） ;
【解析】 .
（3） .
【解析】 .
例1-4 ［多选题］(2024·辽宁省大连八中期中)下列式子中正确的是( )
AB
A. B. C.若,则 D.若,则
知识点3 换底公式
例3-6 ［教材改编P24 T1］ 的值为__.
【解析】 .（【巧解】利用推论三求解： ）
例3-7 (2024·河北省唐山市期中)计算： ( )
B
A. B. C.1 D.2
【解析】原式 .
方法帮丨关键能力构建
题型1 对数的简单运算
例8 化简下列各式：
（1） ;
【解析】原式 .
B
A. B. C. D.
【解析】由对数运算法则可得 .
3.(2024·浙江省杭州市期中)若,则 ( )
C
A. B. C.1 D.
【解析】因为,所以,,所以, ,则 .
对数的运算
m log b 性质（3）的变型： log n b a a n loga b logb c logc d loga d
m
loga b logb a 1
1 log a b logb a
五、新课：讲解范例
1 log3 4log4 2log2 m log2 4, 求m
解（2） log a
x
2 3
y z
log a ( x y ) log a z
2
1 2 1 3
1 2
1 3
loga x 2 loga y loga z
1 1 2 log a x log a y log a z 2 3
三、新课：讲解范例
7 例3计算： （1）lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 解： 7 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 14 7 7 2 lg14 lg( ) lg 7 lg18 lg 7 3 ( ) 2 18 3 lg1 0 逆用性质
x 变型:2lg x 2 y lg x lg y, 求 y
五、课堂小结:对数的运算性质
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有： loga MN loga M loga N ⑴
说明: 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
2) 顺向、逆向运用公式 3)注意
(2)lg2 2 lg5lg 20
lg5(2lg 2 lg5) lg 2
2
lg 2 lg 5 lg10 1
2
2
对数乘除运算：真数化为最简
lg 2 lg 3 lg 10 3 lg1.8
对数与对数运算专题
对数与对数运算第一部分：知识清单 1.几个对数恒等式：(1)负数和零没有对数；(2)log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)； (3)log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)． (4)对数恒等式a log a N ＝N 2．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ． (2)log a M N＝log a M －log a N ． (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)． 3．换底公式log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)． 牢记换底公式的三个常用推论(1)推论一：log a c ·log c a ＝1.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数．(2)推论二：log a b ·log b c ·log c a ＝1.(3)推论三：log a m b n ＝n mlog a b .此公式表示底数变为原来的m 次方，真数变为原来的n 次第二部分：微题快测一、对数的定义域（注：学生在解对数不等式、方程的时候常常忽略定义域） 1.若b ＝log a (5－a )，则（ ）A.⎩⎨⎧a >0，5－a >0， B.⎩⎨⎧a ≠1，5－a >0，C.⎩⎨⎧a >0，5-a ≠1，5－a >0，D.⎩⎨⎧a >0，a ≠1，5－a >0，答案：D2.若b ＝log a (1+a )，则（ ）A.⎩⎨⎧a >0，1+a >0，B.⎩⎨⎧a >0，a ≠1，1+a >0，C.⎩⎨⎧a >0，1+a >0，D.⎩⎨⎧a >0，1+a ≠1，1+a >0，答案：B3.若b ＝log (a -1)a ，则（ ）A.⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a-1>0，a ≠1 B.⎩⎨⎧a >0，a-1≠1，a-1>0， C.⎩⎨⎧a >0，a-1>0， D.⎩⎨⎧a ≠1，1+a >0，答案：B4.若b ＝log (a -2)a ，则（ ）A.⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a-2>0，a ≠1B.⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a-2>0，C.⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a-2≠1，D.⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a-2>0，a-2≠1答案：D5.若b =log (a -2)（6－a ），则（ ）A.⎩⎪⎨⎪⎧a-2>0，6-a >0，a-2≠1B.⎩⎪⎨⎪⎧a-2≠1，6-a >0，C.⎩⎪⎨⎪⎧a-2>0，6-a >0，6-a ≠1D.⎩⎪⎨⎪⎧a-2>0，6-a ≠1，答案：A6.若a =log (b+8)b ，则（ ）A.⎩⎪⎨⎪⎧b+8>0，b >0，b+8≠1B.⎩⎪⎨⎪⎧b+8≠1，b >0，C.⎩⎪⎨⎪⎧b+8>0，b ≠1，D.⎩⎪⎨⎪⎧b+8>0，b >0，b ≠1答案：A 7.若b =log1x-1（6－x ），则（ ）A.⎩⎨⎧1x-1>0，6-x >0，6-x ≠1B.⎩⎨⎧1x-1≠1，6-x >0，C.⎩⎨⎧6-x >0，1x-1≠1，D.⎩⎪⎨⎪⎧1x-1>0，6-x >0，1x-1≠1答案：D8.若m =log(n +1)n ，则（ ）A.⎩⎪⎨⎪⎧n +1>0，n >0，n ≠1B.⎩⎪⎨⎪⎧n +1>0，n >0，n +1≠1C.⎩⎪⎨⎪⎧n >0，n +1≠1D.⎩⎪⎨⎪⎧n +1>0，n ≠1，答案：B9.若m =log(a 2-1)a ，则（ ）A.⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1>0，a >0，a ≠1B.⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1>0，a >0，a 2-1≠1C.⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2-1>0D.⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1>0，a ≠1，B.答案：B10.若a=log ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x-2(6-x )3，则（ ） A.⎩⎨⎧2xx-1>0，(6-x )3>0，(6-x )3≠1B.⎩⎨⎧2x x-1≠1，(6-x )3>0，C.⎩⎪⎨⎪⎧2xx-1>0，(6-x )3>0，2x x-1≠1 D.⎩⎨⎧(6-x )3>0，2x x-1≠1，答案：C二、同底法解对数方程（注：同底法解对数方程算是一个必拿分的知识点，然而学生对此遗忘频率非常高，失分非常严重） 1.若log 2x ＝1，则x =（ ）A. 1B. 2C. 4D.－1 答案：B2.若log 3x ＝－1，则x =（ ）A. 3B. 13 C.4 D. 9答案：B3.若lg x＝1，则x=（）A. 10B.1100C.110D.1e答案：A4.若ln x＝0，则x=（）A. 1B.1100C.110D.1e答案：A4.若ln x＝1，则x=（）A. eB. 0C. －eD. 1e答案：A5.若log2x＝1024，则x=（）A. 2B. 1024C. 21024D. 10 答案：C7.若log2x＝3，则x=（）A. 5B. 9C. 6D. 8答案：D8.若log2x＝3，则x=（）A. 5B. 9C. 6D. 8答案：D9.若log2x+1 ＝2，则x=（）A. 15B. 8C. 3D. 0答案：A10.若lg x=2，则x=（）A. 10B. 100C.110 D.1100答案：B11.若log2(x－1)=2，则x=（）A. 3B. 5C. 7D. 9 答案：B12.若log3||x=2，则x=（）A. 3B. ±3C.9D. ±9 答案：D13.若log2||x－1=2，则x=（）A.－3或5B.3或－1C.±5D.2或0 答案：A14.若log2错误!=1，则x=（）A. 2B.± 2C.22D.±22答案：B三、对数的加减运算（注：对数的运算法则是一个必拿分的知识点，然而学生对此遗忘频率非常高，失分非常严重）1.计算log510－log52等于( )A．log58 B．lg 5 C．1 D．2 答案：C2.计算log52+log53等于( )A．log56 B．log55 C．lg6 D．ln6答案：A3.计算log x2+log x3等于( )A．log x6 B．log x 5 C．lg6 D．ln6 答案：A4.计算log22+log28等于( )A．log210 B. 6 C．4 D．2 答案：C5.计算lg100+lg10等于( )A.1000B.10C.3D.1答案：C6.计算lg100－lg10等于( )A.1000B.10C.3D.1 答案：D7.计算lg2+lg5等于( )A.10B.lg7C.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫25 D.1答案：D8.计算ln e+ln(2e )等于( )A.1+ln2B.1－ln2C.2+ln2D.ln(2e ·e ) 答案：C9.计算log 23+log 25+log 21等于( )A.log 215B.log 29C.4D.log 28 答案：A10.计算log 2(2x +2)－log 2(x +1)等于( )A.log 2(x +1)B.log 2(3x +3)C.log 23D.1 答案：D11.下列各式计算结果为log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫57的是( )A.log 25－log 27B.log 25+log 27C.log 52－log 72D.log 52+log 72 答案：A12.计算lg e +lg2等于( )A.lg(2e )B.log 2 e C .lg ()e 2 D.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2答案：A13.计算lg6－lg2+lg 13等于( )A.1B.0C.lg 133D.lg 43答案：B14.计算log 2()x 2－1－log 2()x －1－log 2()x+1等于( ) A.log 2()x －1 B.log 2()x+1 C.1 D.0 答案：D15.计算log 4(x+1)－log 4(x －1)等于( )A.log 42B.log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x+1x －1C.log 4()2xD.log 4()x 2－1答案：B16.下列各式计算结果为log 2错误!的是( ) A.log 2()x －1+log 2(x +1)+log 2(x 2+1)B.log 2()x －1+log 2(x +1)－log 2(x 2+1)C.log 2()x －1－log 2(x +1)－log 2(x 2+1)D.－log 2()x －1－log 2(x +1)－log 2(x 2+1)答案：A四、对数的乘法运算（注：用换底公式计算对数的乘法运算是一个必拿分的知识点，然而学生对此遗忘频率非常高，失分非常严重） 1.log 35·log 59等于( )A ．log 1545B ．log 814C ．1D ．2 答案：D2.log 95·log 253等于( )A ．2B ．4C ．12D ．14答案：D3.log 29·log 38等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案：C4.log 38·log 227等于( )A ．1B ．3C ．6D ．9 答案：D5.log 98·log 23等于( )A ．32B ．23C ．34D ．43答案：A6.log 38·log 83等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．4 答案：B7.log 38·log 89·log 93等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1 答案：B8.log 23·log 34·log 45·log 52等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．4 答案：B9.log 34·log 1627等于( )A ．32B ．23C ．94D ．49答案：A 10.log 4127·log 32等于( ) A ．32 B ．23 C ．－32 D ．－23答案：C11.log 23·log 38·log 416等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：C12.log (x －1)2·log 8(x 2－2x +1)等于( ) A ．23 B ．32 C ．－23 D ．－32答案：A13.log (x +1)16·log 4(x 3+3x 2+3x +1)等于( ) A ．23 B ．32 C ．－6 D ．6答案：D五、推论三：log a m b n＝nmlog a b 的应用（注：考查用推论化简底数、真数中的幂和根式，是大多数学生失分的重灾区） 1.lg1000等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．13答案：C2.log 832等于（ ）A ．1B ．2C ．53D ．35答案：C3.lg0.01等于（ ）A ．0.1B ．100C ．-2D ．-e 答案：C4.log 5325等于（ ）A ．1B ．23C ．53D ．35答案：B4.log 21024等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10 答案：D5.lne 5等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：C6.log 10248等于（ ）A ．310B ．103C ．1128 D ．128答案：A7.log 279等于（ ）A ．32B ．23C ．13D ．3答案：B8..log 644等于（ ）A ．3B ．23C ．13D ．－13答案：C9.log 1614等于（ ）A ．13B ．－23C ．12D ．－12答案：D10.log a b +log a 1b等于（ ）A ．1B ．－1C ．12 D ．0答案：D11.log 279－log 1664等于（ ）A ．－23B ．23C ．－56D ．56答案：C12.log 279·log 1664等于（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案：C13.已知(log a b+log b a )2=4，且a >b ，则log a b 等于（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．1或－1 答案：A14.((2log 2-等于（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案：A 15.lg110·lg 1100+lg 11000+lg 110000A．－1 B．0 C．－5 D．1答案：C组题说明：1.针对性：每一组题针对一个知识点，比如上面的第一组题针对的是对数的定义域，第二组针对的是同底法解对数方程，第三组针对的是对数的加减运算，第四组针对的是对数的乘法运算，第五组针对的是推论三：log a m b n＝nmlog a b的应用；2.最小阻力原则：要最大限度简化运算，降低阻力，使学生以最小的阻力、最快的速度体验公式的结构、性质和用法；3.有效重复原则：每个知识点尽量组织20个左右的微题，让学生有充分亲身体验的机会，也避免了学生死记答案或互相抄袭4.原创性：尽量原创，避免学生上网搜答案，从而保证学生课外使用的效度与可信度.。
对数的基本概念及其运算
4.2.1 对数与对数的运算知识点一、对数的定义如果N a x =0(>a 且)1≠a ，那么数x 叫做______________________，记作___________，其中a 叫做________，N 叫做________．（1）通常将以10为底的对数叫做常用对数，log 10N 可简记为_________． （2）以无理数e )71828.2(⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数，log e N 简记为________．知识点二、基本性质（1）真数N 为 (负数和零无对数)；（2）1的对数为 ，即 ；（3）底数的对数为_________，即 ；知识点三、对数恒等式 （1） ；（2）xa a log ＝ 0(>a 且)1≠a ．知识点四、对数的运算法则（1）()MN a log ＝______________； （2）N Malog ＝________________；（3）na M log ＝ (n ∈R)；（4）换底公式：Na log ＝ 0(>a ，1≠a ，0>m ，1≠m ，)0>N ．知识点五、两个常用的推论（1）1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ；（2）b mnb a na m log log =(a ，0>b 且均不为)1．01log =a 1log =a a N a Na =log一、对数的概念例1、求下列各式中的x 的值． （1）32log 8-=x （2）91log 27=x（3）1)12(log -=-x（4）1)(lg log 3=x （5）0)lg(ln =x （6）4123log =x【举一反三】1、已知m a =2log ，n a =3log ，则=+n m a 2 ．2、计算：=-)5log 9(log 21224 ；=+51log 5log 33)3(3．3、下列各式：（1）0)10lg(lg =；（2）0)lg(ln =e ；（3）若x lg 10=，则10=x ；（5）若21log 25=x ，则5±=x ；其中正确的是 ．例2、在)5(log )2(a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ） A ．25<>a a 或B ．52<<aC ．5332<<<<a a 或D ．43<<a【举一反三】对数式)6(log 2)2(2++---x x x x 中x 的取值范围是 ．二、对数的运算性质及其应用 例3、计算下列各式的值 （1）)381(log 3（2）)lg(lg 2)lg(lg 2100a a +（3）27log 313log 2121log 666+- （4）4log ]18log 2log )3log 1[(66626÷⋅+-（5）)347(log )91(1023)32(14log 3lg 33log 46log 1323--++-+-++【举一反三】1、如果c b a x lg 5lg 3lg lg -+=，那么（ ） A ．c b a x 53-+=B ．cabx 53=C ．53cab x =D ．53c b a x -+=2、已知)2lg(2lg lg b a b a -=+，则ba4log 的值为 ．3、计算=⋅+2lg 50lg )5(lg 2 ；=+⋅+25lg 50lg 2lg )2(lg 2 ．4、计算下列各题 （1）41log 85log 25log 222+- （2）8.1lg 10lg 3lg 2lg -+（3）12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+（4）142log 2112log 487log 222--+（5）)11(log )122(log 21222--++-+x x x x三、 换底公式及其应用例4、求值：)3log 3)(log 2log 2(log 8493++．【举一反三】计算： （1）4log 5log 6log 5677⋅⋅（2）32log 3log 9log 6428⋅例5、已知a =7log 14，b =5log 14，用a ，b 表示28log 35．【举一反三】已知a =9log 18，518=b ，用a ，b 表示45log 36．例6、已知)1(213log 3log >>=+b a a b b a ，求224b a b a ++的值．例7、设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643==，求证： zy x 1211=+．例8、已知λ====n a a a b b b nlog log log 2121，求证：λ=)(log 2121n a a a b b b n．【课后巩固】 一、选择题1．如果log 7［log 3（log 2x ）］＝0，那么21-x 等于（ ）A ．31B ．321C ．221D ．3312．化简)0(525)(log ≠-a a 化简得结果是（ ）A ．－aB ．a 2C ．｜a ｜D ．a3．已知 ab=M (a>0, b>0, M ≠1), 且log M b=x ，则log M a=（ ）A ．1－xB ．1＋xC ．1xD ．x －14．计算=++5lg 2lg 35lg 2lg 33（ ）A ．1B ．3C ．2D ．05．已知23834xy ==，l o g ，则x y +2的值为（ ） A ．3 B ．8 C ．4D ．log 486．设方程(lgx)2－lgx 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于（ ）A ．1B ．－2C ．－103D ．－47．已知函数f(x)＝2x 2＋lg(x ＋x 2＋1)，且f(－1)≈1.62，则f(1)≈（ ）A ．2.62B ．2.38C ．1.62D ．0.388．已知)(x f 满足：当4≥x 时，x x f )21()(=；当4<x 时，)1()(+=x f x f ．则=+)3log 2(2f （ ）A ．241 B ．121 C ．81D ．839．设0>a ，若对于任意的a x [∈，]2a ，都有a y [∈，]2a ，且3log log =+y x a a ，则（ ）A ．21≤<aB ．2≥aC ．32≤≤a2{，}310．设1x 满足522=+x x ，2x 满足5)1(log 222=-+x x ，则=+21x x （ ）A ．25B ．3C ．27 D ．4二、填空题11．计算log 2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+的值是 ． 12．若10010≤≤x ，则｜3－lg x ｜－4)x lg(x lg 42+-= ． 13．已知)0(9432>=a a ，则=a 32log ． 14．计算=+--22529)25.0(lg log )12(lg log 53．15．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则a 的值是 ． 三、解答题16．已知z y x 643==， （1）求y x 2的值；（2）求证：xz y 1121-=．17．已知m a =18log ，n a =24log ，求5.1log a 的值．18．（1）设正数a ，b ，c 满足222c b a =+，求证：1)1(log )1(log 22=-++++bca a cb ． （2）设024log 21=-⋅-y y y ，1log 5log 5-=⋅x x x ，试问：是否存在一个正整数p ，使得y xP -=1。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象x y> Oxy<a <y = l o g x a 111()) x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是11xy y y y OA BC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.42B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是xyxyx yxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。
对数与对数函数-2025高考数学复习
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[解析] 因为 a＝log36＝1＋log32，b＝1＋2log52，
②logaMN ＝_l_o_g_a_M_－__l_o_g_a_N__； ③logaMn＝_n__lo_g_a_M__(n∈R)．
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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知识点二 对数函数的图象与性质 1．对数函数的定义、图象和性质
定义
函数___y_＝__lo_g_a_x_(_a_＞__0_，__且__a_≠_1_)___叫做对数函数
a＞1
0＜a＜1
图象
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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性质
定义域：___(_0_，__＋__∞__) ________ 值域：____(－__∞__，__＋__∞_)______
当x＝1时，y＝0，即过定点____(_1_,_0_) ______
当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时，____y_＞__0______
5 log4 3
5
＝log2 8＝3log2 3，所以 a－3b＝log2 5－log2 3＝log2 3＝ log4 2 ＝2log4 3＝
25 log4 9 ，所以 4a－3b＝
25 ＝ 9 ，故选 C.
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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8 ． (2017·全 国 卷 Ⅱ ) 函 数 f(x) ＝ ln(x2 － 2x － 8) 的 单 调 递 增 区 间 是
1 ＝2，∴a<c<b.故选 C.
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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考点突破 · 互动探究
对数及对数函数 知识点总结及典例
对数及对数函数一．知识梳理 （一）．对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是ba ＝ N ，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作log a N ＝ b 其中a 称对数的底，N 称真数。
1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，log e N ，记作N ln ；3）指数式与对数式的互化 ba ＝ N ⇔log a N ＝b ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）log 10a =；3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a Na =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=；3）∈=n M n M a na (log log R ）。
④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log =⋅a b b a ；2）b mnb a na m log log =。
（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．2三．【例1】比较下列各组数的大小：（1）3log 2与()23log 3x x -+（2） 1.1log 0.7与 1.2log 0.7（3）32log 3与56log 5【变式训练1】比较大小：4.0lg 4.0log 4.0log 4.0log 3211.0【变式训练2】已知01a <<，log log 0a a m n <<，则（ ）.A 1n m << .B 1m n << .C 1m n << .D 1n m <<【例2】下列指数式与对数式互化不正确的一组是 （ ） A 、0lg11100==与 B 、3131log 31272731-==-与 C 、39921log 213==与 D 、5515log 15==与【变式训练1】.若()125log -=-x，则x 的值为 （ ）A 、25-B 、25+C 、2525+-或D 、52- 【变式训练2】.若()log lg ,x ______x ==20则【变式训练3】=-+7log 3log 49log 212121 。
对数及运算性质
§4.1 对数与对数运算1.对数：（1）定义：如果a N a a b=>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b Na =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。
） 由于N a b=>0故lo g a N 中N 必须大于0。
2.对数的运算性质及换底公式.（2）指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.（3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log log n m a amb b n=④对数换底公式：log b N =b N a a log log lg lg N b =○5log a M a M= ○61log log a b b a=1、求下列各式中x 的值：log 83x =（1） lg100x =（2） 2ln x e =（3）- 642(4)log x 3=-2、求下列各式的值：51log 25（） 15log 15(2) 9log 81(3) 4lg1000（）(5)lg10000 0.4log 1(6) 217log 16（）lg 0.001（8）(9)lg0.01 (10) lg 5100 (11)3log 273 (12)5111255og3、化简求值（1）2log （74×52） （2）lg ５＋lg ２ （3）5log ３＋5log 31（4）2log ６－2log ３（5）3log ５－3log (6)3lglg 70lg 37+-（7）（8） （9）2194log 2log 3log -⋅ （10）（11）3log 12.05- （12）（13）21lg 4932-34lg 8+lg 245强化训练：对数与对数运算练习题一．选择题1．2－3＝18化为对数式为( )A ．log 182＝－3 B ．log 18(－3)＝2 C ．log 218＝－3 D ．log 2(－3)＝182．log 63＋log 62等于( )A ．6 B ．5 C ．1 D ．log 65 3．如果lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( )A ．a ＋2b －3c B ．a ＋b 2－c 3 C.ab 2c 3D.2ab3c4．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( ) A ．a －2 B ．5a －2C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1 5．的值等于( )A ．2＋ 5 B ．2 5 C ．2＋52D ．1＋526．Log 22的值为( )A ．－ 2B. 2 C ．－12D.127．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a ＞5或a <2B ．2＜a ＜3或3＜a ＜5C ．2<a <5D ．3＜a ＜48．方程2log3x ＝14的解是( )A ．x ＝19 B ．x ＝x3C ．x ＝ 3D ．x ＝99．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 10．若102x ＝25，则x 等于( )A ．lg 15 B ．lg5 C ．2lg5D ．2lg 1511．计算log 89·log 932的结果为( )A ．4 B.53 C.14 D.3512．已知log a x ＝2，log b x ＝1，log c x ＝4(a ，b ，c ，x ＞0且≠1)，则log x (abc )＝( ) A.47 B.27 C.72 D.74 二．填空题：1．2log 510＋log 50.25＝__ __. 2．方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝_______. 3．若lg(ln x )＝0，则x ＝_ ______. 4．方程9x －6·3x －7＝0的解是_______ 5．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.6．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝_______.(用m ，n 表示) 7．log 6[log 4(log 381)]＝_______.8．使对数式log (x －1)(3－x )有意义的x 的取值范围是_______ 三.计算题1．(1)2log 210＋log 20.04 (2) lg3＋2lg2－1lg1.2（3）log 6112－2log 63＋13log 627 (4)log 2(3＋2)＋log 2(2－3)；（5）lg5·lg8000＋06.0lg 61lg )2(lg 23++ （6）2)2(lg 50lg 2lg 25lg +⋅+（7）lg 25+lg2·lg50 （8）(log 43+log 83)(log 32+log 92)2.已知5lg 2lg 35lg 2lg 33⋅++=+b a ，求333ba ab ++3．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m 的值．§5 对数函数及其性质1、对数函数图像过点（4,2），则该对数函数的解析式是（ ）A 、x y 2log =B 、x y 4log =C 、x y 8log =D 、不确定2、函数x a y a log )1(2-=是对数函数，则a 的值为（ ）A 、1B 、2C 、2±D 、任意值3、函数x a a y a log )33(2+-=是对数函数，则a 的值为（ ）A 、1B 、2C 、1或2D 、任意值4、若)10(log )(≠>=a a x x f a 且，且0)2(<f ，则)(x f 的图像是 （ ）5、若函数)10()(≠>=-a a a x f x ，是定义在R 上的增函数，则函数)1(log )(+=x x g a 的图像大致是（ ）6、已知0lg lg =+ba ，则函数x a x f =)(与函数x x gb log )(-=的图像可能是（ ）7、函数)10(1log )(≠>-=a a x x f a 且的图像恒过点（ ）A 、（1,0）B 、（0,-1）C 、（1,1）D 、（1,-1）8、函数)10(12log )(≠>--=a a x x f a 且）（的图像恒过点（ ）A 、（1,0）B 、（0,-1）C 、（1,1）D 、（1,-1） 9、已知函数)10(98)3(log ≠>-+=a a x y a 且的图像恒过点A ，若点A 也在函数bx f x +=3)(的图像上，则b 的值为（ ）A 、0B 、0C 、0或1D 、-1 10、已知)1(log )2(log 45.045.0x x ->+，则实数x 的取值范围是11、已知)65(log )32(log 22->+x x ，则实数x 的取值范围是12、已知)2(log )43(log ->-x x a a ，则实数x 的取值范围是13、132log <a ，则a 的取值范围是 14、函数)1lg(-=x y 的图像大致是（ ）15、已知10≠>a a且，则函数x a y =与)(log x y a -=的图像可能是（ ）16、下列函数图像正确的是（ ）17、函数x y 2log =在[1,2]上的值域是 18、函数)1(log 22≥+=x x y 的值域是19、函数)73(1)1(log 2≤≤++=x x y 的值域是20、函数)73(1)1(log 21≤≤++=x x y 的值域是。
对数与对数知识点
对数与对数知识点在数学的广阔天地中，对数是一个十分重要的概念。
它就像一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决许多复杂的数学问题。
接下来，让我们一起深入探索对数的世界。
一、什么是对数简单来说，对数就是一种表示数的方法。
假设我们有一个等式 a^b ＝ N（其中 a 是底数，b 是指数，N 是幂），那么 b 就叫做以 a 为底 N 的对数，记作logₐN。
例如，2³＝ 8，那么 3 就是以 2 为底 8 的对数，记作 log₂8 ＝ 3。
对数的出现，其实是为了简化计算。
在没有对数的概念之前，计算一些复杂的乘除幂运算可能会非常繁琐，而对数的引入大大降低了计算的难度。
二、对数的性质1、对数的零和负数无意义因为对数是指数的逆运算，而任何数的任何次幂都不可能为零或负数，所以对数中的真数（也就是幂的值）必须大于零。
2、logₐa ＝ 1因为 a^1 ＝ a，所以logₐa ＝ 1。
3、logₐ1 ＝ 0因为 a^0 ＝ 1，所以logₐ1 ＝ 0。
4、logₐ(M × N) ＝logₐM ＋logₐN这一性质可以通过指数运算的规律推导出来。
假设logₐM ＝ p，logₐN ＝ q，那么 a^p ＝ M，a^q ＝ N，所以 M × N ＝ a^p × a^q ＝ a^（p ＋ q)，从而得出logₐ(M × N) ＝ p ＋ q ＝logₐM ＋logₐN。
5、logₐ(M ／ N) ＝logₐM logₐN同样可以通过指数运算来推导。
6、logₐM^n ＝n logₐM假设logₐM ＝ p，那么 M ＝ a^p，所以 M^n ＝（a^p)＾n ＝ a^（pn)，从而得出logₐM^n ＝ pn ＝n logₐM。
三、常用对数和自然对数在实际应用中，有两种常见的对数：常用对数和自然对数。
常用对数是以 10 为底的对数，记作 lg N。
例如，lg 100 ＝ 2。
自然对数是以无理数 e（约等于 271828）为底的对数，记作 ln N。
知识讲解_对数及对数运算_基础(学生)
对数及对数运算【要点梳理】要点一、对数概念1．对数的概念如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b ．其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．要点诠释：对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R ．2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N >；（2）1的对数为0，即log 10a =；（3）底的对数等于1，即log 1a a =．3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作．4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．要点二、对数的运算法则已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；()log log log a a a MN M N =+推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；log log log a a a M M N N=- （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；log log a a M M αα=要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log 2（-3）（-5）=log 2（-3）+log 2（-5）是不成立的，因为虽然log 2（-3）（-5）是存在的，但log 2（-3）与log 2（-5）是不存在的．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a （M ±N ）=log a M ±log a N ，log a （M·N ）=log a M·log a N ，log aNM N M a a log log =．要点三、对数公式1．对数恒等式： log log a b N a a Na N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:（1）)(log log R n M M n a a n ∈=令 log a M=b ， 则有a b =M ， （a b ）n =M n ，即n b n M a =)(， 即n a M b n log =，即:n aa M M n log log =． （2）)1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有)1,0(log log ≠>=c c M a c b c 即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c a M M c c a 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a ． 【典型例题】类型一、对数的概念例1．求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -； （2）(1)log (2)x x -+； （3）2(1)log (1)x x +-．举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为 ．类型二、指数式与对数式互化及其应用例2．将下列指数式与对数式互化：（1）2log 164=； （2）13log 273=-； （3）3x =；（4）35125=；（5）1122-=；（6）2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭．举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值：（1）161log 2x =- （2）log 86x = （3）lg1000=x（4）2-2ln e x = 【变式2】计算：222log 4;log 8;log 32并比较．类型三、利用对数恒等式化简求值例3．不用计算器计算：7log 203log lg25lg47(9.8)+++-举一反三：【变式1】求log log log a b c b c N a ⋅⋅的值（a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0）．类型四、积、商、幂的对数例4． z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式举一反三：【变式1】求值（1）1log 864log 325log 21025-+ （2）lg2·lg50+（lg5）2 （3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2类型五、换底公式的运用例5．已知18log 9,185ba ==，求36log 45．35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z yz举一反三：【变式1】求值：（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++； （2）32log 9log 278⋅；（3）31log 529-．类型六、对数运算法则的应用例6．计算 （1）34331654()log log 8145-++ （2）7lg142lg lg 7lg183-+-（3）)36log 43log 32(log log 42122++ （4）353log 21log 235++-举一反三：【变式1】计算下列各式的值（1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++； （2）33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)++．【变式2】已知1,(1,0)()44,(0,1)x x x f x x ⎧∈-⎪=⎨⎪∈⎩，则4(log 3)f = ．。
对数的运算知识点总结
对数的运算知识点总结对数的概念是建立在幂指数的基础之上的。
在代数运算中，指数表示一个数与底数的乘积。
举个例子，2的3次方表示为2^3=2×2×2=8。
对数则表示幂指数的逆运算，即给定一个底数和一个数，对数就是指明这个底数的多少次幂等于这个数。
如果a的x次幂等于b，那么记作loga(b)=x。
其中，a是底数，b是真数，x是指数。
对数的运算法则和性质有很多，接下来我们将对它们进行详细的总结和解析。
一、对数的定义和性质1. 对数的定义对数的定义是对数学中幂指数运算的逆运算。
如果a的x次幂等于b，那么记作loga(b)=x。
其中，a是底数，b是真数，x是指数。
在这个定义中，底数为a，真数为b，指数为x，x 就是对数。
对数的定义可以简单理解为求底数为a的真数b的x次幂是多少。
对数的定义也可以形式化为loga(b)=x ⇔ ax=b，即底数为a的对数b等于x等价于a的x次幂等于b。
2. 对数的性质对数有一些基本的性质，这些性质在对数的运算中有着重要的作用。
对数的性质主要有以下几点：（1）对数的底数不能为1，对数的真数不能为负数。
（2）底数为10的对数叫做常用对数，底数为自然常数e（e=2.7182）的对数叫做自然对数。
（3）对数运算的唯一性：如果loga(b)=loga(c)，那么b=c。
（4）对数运算的除法性质：loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
（5）对数运算的乘法性质：loga(b×c)=loga(b)+loga(c)。
（6）对数运算的幂指数性质：loga(b^r)=r×loga(b)。
（7）对数运算的变底公式：loga(b)=logc(b)/logc(a)。
以上是对数的定义和性质的简要总结，接下来我们将对对数的运算方法和应用进行更详细的探讨。
二、对数的运算方法对数的运算方法主要包括对数的加法、减法、乘法、除法、幂指数等运算。
掌握这些运算方法对于解决一些复杂的对数问题有着重要的作用。
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对数与对数运算
1.对数：如果a x
=N(a>0,且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x=log a N
，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
2.对数的性质:(1)1的对数等于0 ;(2)底数的对数等于1;(3)零和负数没有对数
3.以10为底的对数叫做常用对数,log 10N 记作lg N
.
4.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，logeN 记作ln N
5.对数的运算性质：如果a>0，且a ≠1，M>0;N>0，那么：
（1）log a (MN)=log a M +log a N ；log a (N1N2…Nk )=log a N1+log a N2+…log a N3
；
（2）log a (M ／N)
=log a M -log a N ；
（3）log a M n =nlog a M
6.对数换底公式：log a
N
=a
b
N b
log
log ；
7.对数运算中的三个常用结论：N a
N
a =log ,log a
a =1,log a 1
=0
8.两个常用的推论：a ，b ＞0且均不为1,m,n,为正整数
（1）log
a
b ×log b a
=1；log a
b ×log b
c ×log c a
=1；
（2） b a b a m n n
m log log =；b
a b a
n
m n m log log =；
9.指数和对数的关系：a x =N ⇔log a N
=x
比较指数式、根式、对数式：
几个对数运算公式的证明
证明下列公式：
（1）对数的运算性质:log a (M ／N)
=log a M -log a N
（2）对数的运算性质:log a M n =nlog a M
（3）对数的换底公式：log a
b
=
a
b c c log log
（4）对数运算中的常用结论：N a N
a log
（5）a ，b ＞0且均不为1,log a b
×log b a
=1 （6）a ，b ＞0且均不为1,m 为正整数,m
m
b a
log =log a b
（7）a ，b ＞0且均不为1,m,n 为正整数, n m
b a log =m n log a b
证明：（1）设a x =M ，a y
=N ，则N M =y x a
a =a x-y ．∴x-y=log a N
M
，∵x=log a M ，y=log a N
，
∴x-y= log a M - log a N ，∴log a N M = log a M - log a N
（2）设a x
=M ，则x=log a M
，∴nx=nlog a M
．∵（a x ）n=M n ，∴a xn =M n
，
∴xn=log a M n ，∴log a M n = nlog a M
（3）设log a b =x ，则a x =b ．∴log c a x =log c b x ，∴xlog c a =log c b ，∴x=log c b
÷log c
a ，∴log
a
b =
a
b c c log log
（4）设log a N =x ，则a x
=N ．∵log a a x
=x ，∴x
a
a a
log =a x
，∴x
a
a a log =N
（5）∵log a b =a
b lg lg ，log b a =b
a lg lg ，∴log a
b ×log b a
=a b lg lg ×b
a lg lg =1
（6）设m
a
b
m log =x ，则（a m
）x
=b m
，∴a mx
=b m
，∴ mx
a a
log =log a b m ，∴mxlog a a
=
mlog a
b
，∴x=log a
b ，∴m
m
b a log =log a b
（7）设n a b m
log =x ，则（a
m
）x
=b n ，∴mx
a a
log =log a b n ，∴mxlog a a
=
nlog
a
b
，∴x=m
n
log a
b ，∴n
m
b a
log =m
n log a b。