3.1.2函数的表示法-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件(共22张PPT)
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人教版高中数学新教材必修第一册课件：3.1.2 函数表示法
即：f (x) 3 x 7
讲
22
课
人
：
邢
启 强
23
典型例题
解 : 设f (x) kx b,则f ( f (x)) f (kx b) k(kx b) b
k(kx b) b 4x 1,
k 2 (k
4 1)b
1
k b
2
1 3
或
k b
2 1
f (x) 2x 1 或f (x) 2x 1
因为 AD＝x 所以 x2= 2 a 2 A 2
E
B
所以 DC＝2－x2
讲
课
人
：
邢
启 强
27
典型例题
例5.已知函数f(x)在［-1,2］上的图象如图 所示，求f(x)的解析式.
【分析】由图象特点先确定函数类型，再求解析式.
【解析】当-1≤x≤0时，设y=ax+b,
∵过点(-1,0)和(0,1),∴
(1)求f{f[f(－2)]} (2) 当f (x)=－7时,求x ;
解: (1) f{f[f(－2)]} = f{f[-1]} = f{1} =0
(2)若x＜－1 , 2x+3 ＜1，与f (x)=－7相符，
由2x+3 =－7得x=－5 易知其他二段均不符合f (x)=－7 。
故 x=－5
讲
课
Hale Waihona Puke 人：(2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式， 可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x) 改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便 得 f(x)的解析式； (4)消去法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的表达式， 可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程
函数的表示法【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品ppt课件
[-1,8].
方法规律 描点法作函数图象的三个步骤
【跟踪训练】
2.作出下列函数图象: (1)y=1-x(|x|≤2,x∈Z); (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3). 解:(1)因为|x|≤2,x∈Z, 所以x∈{-2,-1,0,1,2}. 所以函数的图象为直 线y=1-x上的孤立点. 如图所示.
所以f(g(x))>g(f(x))的解为x=2.
x f(g(x)) g(f(x))
1 23 1 31 3 13
3函.1数.2的第表1课示时法【新函教数材的】表人示教法A-版【高新中教数材学】必人修教第A版一（册2课01件9 ）2高 优中 秀p数pt学课必件修第一 册课件( 共33张 PPT)
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3函.1数.2的第表1课示时法【新函教数材的】表人示教法A-版【高新中教数材学】必人修教第A版一（册2课01件9 ）2高 优中 秀p数pt学课必件修第一 册课件( 共33张 PPT)
探索点二 作函数的图象 【例 2】作出下列函数的图象并求出其值域. (1)y=2x+1,x∈[0,2]; (2)y= ,x∈[2,+∞); (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]
方法规律 描点法作函数图象的三个步骤
【跟踪训练】
2.作出下列函数图象: (1)y=1-x(|x|≤2,x∈Z); (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3). 解:(1)因为|x|≤2,x∈Z, 所以x∈{-2,-1,0,1,2}. 所以函数的图象为直 线y=1-x上的孤立点. 如图所示.
所以f(g(x))>g(f(x))的解为x=2.
x f(g(x)) g(f(x))
1 23 1 31 3 13
3函.1数.2的第表1课示时法【新函教数材的】表人示教法A-版【高新中教数材学】必人修教第A版一（册2课01件9 ）2高 优中 秀p数pt学课必件修第一 册课件( 共33张 PPT)
3函.1数.2的第表1课示时法【新函教数材的】表人示教法A-版【高新中教数材学】必人修教第A版一（册2课01件9 ）2高 优中 秀p数pt学课必件修第一 册课件( 共33张 PPT)
3函.1数.2的第表1课示时法【新函教数材的】表人示教法A-版【高新中教数材学】必人修教第A版一（册2课01件9 ）2高 优中 秀p数pt学课必件修第一 册课件( 共33张 PPT)
3函.1数.2的第表1课示时法【新函教数材的】表人示教法A-版【高新中教数材学】必人修教第A版一（册2课01件9 ）2高 优中 秀p数pt学课必件修第一 册课件( 共33张 PPT)
3函.1数.2的第表1课示时法【新函教数材的】表人示教法A-版【高新中教数材学】必人修教第A版一（册2课01件9 ）2高 优中 秀p数pt学课必件修第一 册课件( 共33张 PPT)
探索点二 作函数的图象 【例 2】作出下列函数的图象并求出其值域. (1)y=2x+1,x∈[0,2]; (2)y= ,x∈[2,+∞); (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]
人教A版(2019)高中数学必修第一册3.1.2函数的表示法课件
3.1.2 函数的表示法
S 350t
函数的三种表示方法：
函数的三种表示方法：
1、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
2、图像法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 3、列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系
函数的三种表示方法：
1、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
解：用图象法可将函 数 y=f(x)表示为 图3.1-2.
分段函数的解析式和图像
例2 画出函数 f(x)=|x| 的图像，并根据图像求函数 f(x)值域
x
0
0，
图像为
这样的函数叫分段函数， 在生活中，有很多可以用分段 函数描述的实际问题，比如出 租车计费，个人所得税等
分段函数的解析式和图像
例3 给定函数f ( x) = x + 1，g( x) = ( x + 1)2 ,
(1)在同一直角坐标系中画 出f ( x)和g( x)的图像 (2)∀x∈ R,用M ( x)表示f ( x), g( x)中的较大者, 记为：
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
S 350t
函数的三种表示方法：
函数的三种表示方法：
1、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
2、图像法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 3、列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系
函数的三种表示方法：
1、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
解：用图象法可将函 数 y=f(x)表示为 图3.1-2.
分段函数的解析式和图像
例2 画出函数 f(x)=|x| 的图像，并根据图像求函数 f(x)值域
x
0
0，
图像为
这样的函数叫分段函数， 在生活中，有很多可以用分段 函数描述的实际问题，比如出 租车计费，个人所得税等
分段函数的解析式和图像
例3 给定函数f ( x) = x + 1，g( x) = ( x + 1)2 ,
(1)在同一直角坐标系中画 出f ( x)和g( x)的图像 (2)∀x∈ R,用M ( x)表示f ( x), g( x)中的较大者, 记为：
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
数学人教A版(2019)必修第一册3.1.2函数的表示法(共40张ppt)
搁了一些时间；
(３)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进．
习题演练
[练习1]某教师将其一周课时节次列表如下：
x/星期
1
2
3
4
5
f(x)/节次
3
5
4
3
1
从上表可看出，这个关于x的函数的定义域为
{1,2,3,4,5}
{1,3,4,5}
1
____________；值域为___________，f(f(2))=_____.
(2)
1
f(x+ )=
x2
+
1
2
(3)f(x)+2f(-x)=x2+2x
(1)解：由题意，设 f(x)=ax+b(a≠0).
即a2=4,且ab+b=-3;
则 f [f(x)]=a(ax+b)+b=4x-3,
解得：a=2,b=-1; 或 a=-2,b=3
所以 f(x)=2x-1; 或
1
(2)解：因为f(x+ )=
x
函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等.
习题演练
1、下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个
图象写出一件事．
(１)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了
作业本再上学；
(２)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽
用解析法可将函数y=ƒ(x)表示为 ƒ(x)=5x,
x∈{1,2,3,4,5}
用列表法可将函数y=ƒ(x)表示为 笔记本数x(个) 1 2 3 4 5
总价 y(元)
用图象法可将函数y=ƒ(x)表示为
(３)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进．
习题演练
[练习1]某教师将其一周课时节次列表如下：
x/星期
1
2
3
4
5
f(x)/节次
3
5
4
3
1
从上表可看出，这个关于x的函数的定义域为
{1,2,3,4,5}
{1,3,4,5}
1
____________；值域为___________，f(f(2))=_____.
(2)
1
f(x+ )=
x2
+
1
2
(3)f(x)+2f(-x)=x2+2x
(1)解：由题意，设 f(x)=ax+b(a≠0).
即a2=4,且ab+b=-3;
则 f [f(x)]=a(ax+b)+b=4x-3,
解得：a=2,b=-1; 或 a=-2,b=3
所以 f(x)=2x-1; 或
1
(2)解：因为f(x+ )=
x
函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等.
习题演练
1、下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个
图象写出一件事．
(１)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了
作业本再上学；
(２)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽
用解析法可将函数y=ƒ(x)表示为 ƒ(x)=5x,
x∈{1,2,3,4,5}
用列表法可将函数y=ƒ(x)表示为 笔记本数x(个) 1 2 3 4 5
总价 y(元)
用图象法可将函数y=ƒ(x)表示为
3.1.2 函数的表示法(一)课件- 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
解：∵ 2f x +
∴ 2f
消去f
1
x
1
x
+f x
1
x
1
f
x
1
=
x
解得 = −2 + 1 ．
= x x ≠ 0 ，求f x 的解析式.
=x x≠0 ，
Байду номын сангаас
x≠0 ，
，解得f x =
2x
3
−
1
，x
3x
≠ 0.
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
方法总结
当同一个对应关系f 中的两个变量之间有互为相反数
1
（或互为倒数）关系时，可以用−x(或 )代替原式中的x
x
所得方程与原方程联立构造方程组求解．
，
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
角度3 赋值法求函数解析式
例6：已知对任意实数x，y都有f x + y − 2f y = x 2 + 2xy − y 2 + 3x − 3y，
求函数f x 的解析式.
2
x
x
x
1
2
1
+ +1 −2 +1 +3
x2
x
x
2
1
1
+ 1 − 2 + 1 + 3,
x
x
1
1 2
1
f 1+ = 1+
− 2 1 + + 3，
x
x
x
1
2
f x = x − 2x + 3. 又∵ 1 + ≠ 1,
x
∴ 2f
消去f
1
x
1
x
+f x
1
x
1
f
x
1
=
x
解得 = −2 + 1 ．
= x x ≠ 0 ，求f x 的解析式.
=x x≠0 ，
Байду номын сангаас
x≠0 ，
，解得f x =
2x
3
−
1
，x
3x
≠ 0.
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
方法总结
当同一个对应关系f 中的两个变量之间有互为相反数
1
（或互为倒数）关系时，可以用−x(或 )代替原式中的x
x
所得方程与原方程联立构造方程组求解．
，
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
角度3 赋值法求函数解析式
例6：已知对任意实数x，y都有f x + y − 2f y = x 2 + 2xy − y 2 + 3x − 3y，
求函数f x 的解析式.
2
x
x
x
1
2
1
+ +1 −2 +1 +3
x2
x
x
2
1
1
+ 1 − 2 + 1 + 3,
x
x
1
1 2
1
f 1+ = 1+
− 2 1 + + 3，
x
x
x
1
2
f x = x − 2x + 3. 又∵ 1 + ≠ 1,
x
高中数学必修第一册人教A版3.1.2_函数的表示法_课件
4.解方程组法或消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量
有着某种关系,这时就要根据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,
由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种
方法叫做解方程组法或消元法.
跟踪训练三
1.已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式;
1，－2≤x≤0，
＝
x，0＜x≤3，
其“段”是不等长的．
小试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示．
( ×)
(2)函数 f(x)＝2x＋1 不能用列表法表示．
( √ )
(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线． ( × )
(4)分段函数由几个函数构成．
∴ቊ
= 1,
∴所求二次函数为f(x)=x2-x+1.
= −1.
(3)∵对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,
2
∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x-3 .
解题方法（求函数解析式的四种常用方法）
1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入即可.
76
88
75
86
80
赵 磊
68
65
73
72
75
82
班平均分
88．2
78．3
85．4
80．3
75．7
82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
有着某种关系,这时就要根据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,
由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种
方法叫做解方程组法或消元法.
跟踪训练三
1.已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式;
1，－2≤x≤0，
＝
x，0＜x≤3，
其“段”是不等长的．
小试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示．
( ×)
(2)函数 f(x)＝2x＋1 不能用列表法表示．
( √ )
(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线． ( × )
(4)分段函数由几个函数构成．
∴ቊ
= 1,
∴所求二次函数为f(x)=x2-x+1.
= −1.
(3)∵对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,
2
∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x-3 .
解题方法（求函数解析式的四种常用方法）
1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入即可.
76
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80
赵 磊
68
65
73
72
75
82
班平均分
88．2
78．3
85．4
80．3
75．7
82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
3.1.2 函数的表示法课件新教材】人教A版(2019)高一数学必修第一册
解析：选 C.设 y＝k，由题意得 1＝k，
x
2
解得 k＝2，所以 y＝2x.
3.1 函 数 的 概 念
随堂练习
3、已知f（x+1）=x2+2x+2,求f(x)
解： 法一：配凑法 f（x+1）=x2+2x+2=（x+1）2+1， ∴f（x）=x2+1．
法二：换元法 令t=x+1 则x=t-1 f(t)=(t-1)²+2(t-1) =t²-2t+1+2t-2 =t²-1 ∴f（x）=x2+1
3.1 函 数 的 概 念
随堂练习
1、函数的基本表示法(列表法、图象法、解析法) 2、描点法画一些简单函数的图象。 3、求函数解析式 4、求函数解析式的配凑法、换元法
谢谢您的聆听
y
4
•
2
2 1 O 1 2
x
2
• 4
f(x)=2x，x∈R,且|x|≤2
3.1 函 数 的 概 念
典型例题
例2. 画出下列函数的图象: (2)f(x)=x+2,(x∈N,且|x|≤3)
f(x)=x+2,(x∈N,且|x|≤3)
3.1 函 数 的 概 念
变式训练
1、画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y ＝x2－2x(x>1，或x<－1)
3
3.1 函 数 的 概 念
温故知新
知识点一 区间的概念及表示
1.一般区间的表示：设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定:
定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b}
3.1.2 函数的表示(第一课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
只可能是 ( B )
03
拓展提升
Expansion And Promotion
函数的表示
解析式的求法 - 代入法
题型一. 由f(x)的解析式求f[g(x)]的解析式.
例1.已知f(x)=x2 +x -1，则f(x+1)=________.
【解析】因为f (x) x2 x 1, 所以f (x 1) (x 1)2 (x 1) 1
函数的表示
【分析】从图像中我们可以直观地看到：王伟同学的成绩一直稳定在班级的前茅， 张 城同学的成绩波动较大，赵磊同学的成绩整体有下降趋势，但三位同学的成绩基本上 都大幅领先于班级平均水平.
函数的表示
【练习1】已知f (x) x 1，则f ( f (2)) _______. x
【解析】因为f (2)
【解析】令t x 1 1, 则 x t 1, x (t 1)2 所以f (t) (t 1)2 2(t 1) t 2 1 所以f (t) t 2 1，t 1 所以f (x) x2 1，x 1
换元法：已知f(g(x))=h(x)，求f(x)时，往往可设g(x)=t，从中解出x，代入h(x)
代入法：已知f (x)求f(g(x))，只需把f (x)中的x用g(x)代入即可； 配凑法：已知f (g(x))=h(x)，求f (x)的问题,往往把右边的h(x)整理或配凑成只
含g(x)的式子, 再用x将g(x)替换即可得f(x)； 换元法：已知f(g(x))=h(x),求f (x)时,往往可设g(x)=t,从中解出x,代入h(x) 进行
【解析法】y=5x，x∈{1，2，3，4，5} 【图像法】函数图像可以表示如图：
y
【列表法】函数可以表示如下表：
笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25
03
拓展提升
Expansion And Promotion
函数的表示
解析式的求法 - 代入法
题型一. 由f(x)的解析式求f[g(x)]的解析式.
例1.已知f(x)=x2 +x -1，则f(x+1)=________.
【解析】因为f (x) x2 x 1, 所以f (x 1) (x 1)2 (x 1) 1
函数的表示
【分析】从图像中我们可以直观地看到：王伟同学的成绩一直稳定在班级的前茅， 张 城同学的成绩波动较大，赵磊同学的成绩整体有下降趋势，但三位同学的成绩基本上 都大幅领先于班级平均水平.
函数的表示
【练习1】已知f (x) x 1，则f ( f (2)) _______. x
【解析】因为f (2)
【解析】令t x 1 1, 则 x t 1, x (t 1)2 所以f (t) (t 1)2 2(t 1) t 2 1 所以f (t) t 2 1，t 1 所以f (x) x2 1，x 1
换元法：已知f(g(x))=h(x)，求f(x)时，往往可设g(x)=t，从中解出x，代入h(x)
代入法：已知f (x)求f(g(x))，只需把f (x)中的x用g(x)代入即可； 配凑法：已知f (g(x))=h(x)，求f (x)的问题,往往把右边的h(x)整理或配凑成只
含g(x)的式子, 再用x将g(x)替换即可得f(x)； 换元法：已知f(g(x))=h(x),求f (x)时,往往可设g(x)=t,从中解出x,代入h(x) 进行
【解析法】y=5x，x∈{1，2，3，4，5} 【图像法】函数图像可以表示如图：
y
【列表法】函数可以表示如下表：
笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25
3.1.2 函数的表示法(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
请分别用图象法和解析法表示函数().
解：由(1)中的函数取值情况，结合函数()的定义，可得函数
()的图象.
由( + 1)2 = + 1，得( + 1) = 0.解得 = −1，或 = 0.
结合上图，得出函数的解析式为() =
( + 1)2 ， ≤ −1，
+ 1， − 1 < ≤ 0，
途径，是联系变量和的纽带.
由于在现实生活中，将变量数对应到的方法和途径是多样化的，这就导
致了函数的表示方法也是多样化的.本节课我们就来研究一下函数常见的几种表
示方法.
复习导入
我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.其实在
上一节课的学习中，我们也已经接触了这三种函数的表示法，请同学们结合上节课
图象(均为6个离散的点)表示出来，如图所示，那么就能直观地看到每位同学成
例析
绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.
从图中可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终
高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且优秀.
张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平
均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学
的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成
回顾2：函数的三要素是什么？
定义域、对应关系和值域是函数的三要素.其中, 叫做自变量，的取值范
围叫做函数的定义域;与值相对应的值叫做函数值，函数值的集合{()| ∈
}叫做函数的值域.值域是集合的子集.
复习导入
回顾3：函数的对应关系有什么作用？
对应关系“”是将中的任意一个数，对应到中唯一确定的数的方法和
解：(2)设 = + 1，则 < 1， = − 1.
解：由(1)中的函数取值情况，结合函数()的定义，可得函数
()的图象.
由( + 1)2 = + 1，得( + 1) = 0.解得 = −1，或 = 0.
结合上图，得出函数的解析式为() =
( + 1)2 ， ≤ −1，
+ 1， − 1 < ≤ 0，
途径，是联系变量和的纽带.
由于在现实生活中，将变量数对应到的方法和途径是多样化的，这就导
致了函数的表示方法也是多样化的.本节课我们就来研究一下函数常见的几种表
示方法.
复习导入
我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.其实在
上一节课的学习中，我们也已经接触了这三种函数的表示法，请同学们结合上节课
图象(均为6个离散的点)表示出来，如图所示，那么就能直观地看到每位同学成
例析
绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.
从图中可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终
高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且优秀.
张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平
均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学
的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成
回顾2：函数的三要素是什么？
定义域、对应关系和值域是函数的三要素.其中, 叫做自变量，的取值范
围叫做函数的定义域;与值相对应的值叫做函数值，函数值的集合{()| ∈
}叫做函数的值域.值域是集合的子集.
复习导入
回顾3：函数的对应关系有什么作用？
对应关系“”是将中的任意一个数，对应到中唯一确定的数的方法和
解：(2)设 = + 1，则 < 1， = − 1.
函数的表示法 课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
表示函数 M (x) .
解：（1）在同一直角坐标系中画出函数 f (x) ， g(x) 的图象如图.
（2）由（1）图象中函数取值的情况，结合函数 M (x) 的定义，
可得函数 M (x) 的图象如图.
由 (x 1)2 x 1，得 x(x 1) 0 .
解得 x 1，或 x 0 .
结合图象得出函数
若已知函数的 结构类型， 常用待定系数 法求解析式
已知f(g(x)),求f(x)的 解析式，多用换元 法， 主要步骤： 1换元：令t=g(x), 并写出t的范围 2求解：用t表示x 3代入：用t表示的 x代入原式，写出 解析式
当一个对应 关系中， 含有自变量 的两个表达 式之间有互 为相反数或 互为倒数关 系时，可构 造方程组求 解
例 1 某种笔记本的单价是 5 元，买 x(x {1，2，3，4 ，5}) 个笔记本需要 y 元， 试用函数的三种表示法表示函数 y f (x) .
解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5} . 用解析法可将函数 y f (x) 表示为 y 5x ， x {1，2，3，4，5} .
用列表法可将函数 y f (x) 表示为
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象 法、列表法、解析法）表示函数. 2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 3.掌握求函数解析式的常用方法，理解函数图象的作用.
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
2400 0
9
2700 0
10 3000
35000 30000 25000 20000 15000 10000
解：（1）在同一直角坐标系中画出函数 f (x) ， g(x) 的图象如图.
（2）由（1）图象中函数取值的情况，结合函数 M (x) 的定义，
可得函数 M (x) 的图象如图.
由 (x 1)2 x 1，得 x(x 1) 0 .
解得 x 1，或 x 0 .
结合图象得出函数
若已知函数的 结构类型， 常用待定系数 法求解析式
已知f(g(x)),求f(x)的 解析式，多用换元 法， 主要步骤： 1换元：令t=g(x), 并写出t的范围 2求解：用t表示x 3代入：用t表示的 x代入原式，写出 解析式
当一个对应 关系中， 含有自变量 的两个表达 式之间有互 为相反数或 互为倒数关 系时，可构 造方程组求 解
例 1 某种笔记本的单价是 5 元，买 x(x {1，2，3，4 ，5}) 个笔记本需要 y 元， 试用函数的三种表示法表示函数 y f (x) .
解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5} . 用解析法可将函数 y f (x) 表示为 y 5x ， x {1，2，3，4，5} .
用列表法可将函数 y f (x) 表示为
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象 法、列表法、解析法）表示函数. 2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 3.掌握求函数解析式的常用方法，理解函数图象的作用.
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
2400 0
9
2700 0
10 3000
35000 30000 25000 20000 15000 10000
数学人教A版(2019)必修第一册3.1.2函数的表示法(共20张ppt)
图象法的优点： 能直观形象的表示出函数的变化情况。
注：图象法是今后利用数形结合思想解题的基础。
2023年9月29日星期五8时21分7秒 云在漫步
回忆：初中画函数图象主要用什么方法？ 利用此法画图的主要步骤如何？
初中画函数图象的主要方法是描点法。
用描点法画图的主要步骤有： （1）确定自变量x的取值范围； （2）列表； （3）描点； （4）连线。
1992
1993
生产 18598.4 总值
21662.5
26651.9
34560.5
列表法的优点：
不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的
对应值。当自变量的值的个数较少时使用，列表法在
实际生产和生活中有广泛的应用。
2023年9月29日星期五8时21分7秒 云在漫步
一、复习函数的三种表示方法
3.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。 例如： 我国人口出生率变化曲线：
解：由条件知：
矩形的边长为x,
25
则另一边长为 502 x2
502 x2 那么矩形的面积：
x
y=x 502 x2 （0<x<50）
2023年9月29日星期五8时21分9秒 云在漫步
请看课本P72：练习2
2.某市“招手即停”公共汽车票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足 5公里的按5公里计算）。 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出 票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
【例7】下表是某校高一（1）班三名同学在高一学 年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。
王伟 张城 赵磊 班级平均分
第一次 第二次
注：图象法是今后利用数形结合思想解题的基础。
2023年9月29日星期五8时21分7秒 云在漫步
回忆：初中画函数图象主要用什么方法？ 利用此法画图的主要步骤如何？
初中画函数图象的主要方法是描点法。
用描点法画图的主要步骤有： （1）确定自变量x的取值范围； （2）列表； （3）描点； （4）连线。
1992
1993
生产 18598.4 总值
21662.5
26651.9
34560.5
列表法的优点：
不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的
对应值。当自变量的值的个数较少时使用，列表法在
实际生产和生活中有广泛的应用。
2023年9月29日星期五8时21分7秒 云在漫步
一、复习函数的三种表示方法
3.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。 例如： 我国人口出生率变化曲线：
解：由条件知：
矩形的边长为x,
25
则另一边长为 502 x2
502 x2 那么矩形的面积：
x
y=x 502 x2 （0<x<50）
2023年9月29日星期五8时21分9秒 云在漫步
请看课本P72：练习2
2.某市“招手即停”公共汽车票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足 5公里的按5公里计算）。 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出 票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
【例7】下表是某校高一（1）班三名同学在高一学 年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。
王伟 张城 赵磊 班级平均分
第一次 第二次
3.1.2函数的表示法-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件
(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－ f(x)＝2x，求f(x)．
知识点三 画函数图像
例题讲解 【例5】画出函数y=|x|的图像
｛-x，x＜0，
【解】由绝对值的概念，有y= x，x≥0. 画出图像如图：
(翻折法)先画出函数y=x的图像 然后把图像中位于横轴下方的部分翻转到上方即可.
知识点三 画函数图像
分段函数
在定义域内自变量x的不同的取值范围上,有 不同的对应关系的函数叫分段函数.
注：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个 函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集， 值域是各段值域的并集．
知识点三 画函数图像
变式1：画出函数y=|x-2|的图像.
【解法一】由绝对值的概念可知，
新高考新教材
高中数第一册第三章函数的概念与性质
3.1.2 函数的表示法
知识回顾
设A、B是非空数集，如果对于集合A中的任意 一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合B 中都有唯一确定的数 y和它对应，就称
f: A→B 为从集合A到集合B的一个函数，
记作: y=f(x) , x∈A
x 叫做自变量，x的取值范围构成的集合A叫
-1 -2
1 2 3x
-3
知识点三 画函数图像
例6、给定函数 f (x) x 1, g(x) (x 1)2, x R
(1)在同一个坐标系中画出函数f(x),g(x)的图像；
(2)∀x∈R,用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x)，g(x)}.
例如当x=2,M(x)=max{f(2)，g(2)}=max{3,9}=9，请分别用图象法与解析
ox
知识点三 画函数图像
例题讲解 【例5】画出函数y=|x|的图像
｛-x，x＜0，
【解】由绝对值的概念，有y= x，x≥0. 画出图像如图：
(翻折法)先画出函数y=x的图像 然后把图像中位于横轴下方的部分翻转到上方即可.
知识点三 画函数图像
分段函数
在定义域内自变量x的不同的取值范围上,有 不同的对应关系的函数叫分段函数.
注：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个 函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集， 值域是各段值域的并集．
知识点三 画函数图像
变式1：画出函数y=|x-2|的图像.
【解法一】由绝对值的概念可知，
新高考新教材
高中数第一册第三章函数的概念与性质
3.1.2 函数的表示法
知识回顾
设A、B是非空数集，如果对于集合A中的任意 一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合B 中都有唯一确定的数 y和它对应，就称
f: A→B 为从集合A到集合B的一个函数，
记作: y=f(x) , x∈A
x 叫做自变量，x的取值范围构成的集合A叫
-1 -2
1 2 3x
-3
知识点三 画函数图像
例6、给定函数 f (x) x 1, g(x) (x 1)2, x R
(1)在同一个坐标系中画出函数f(x),g(x)的图像；
(2)∀x∈R,用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x)，g(x)}.
例如当x=2,M(x)=max{f(2)，g(2)}=max{3,9}=9，请分别用图象法与解析
ox
数学人教A版(2019)必修第一册3.1.2函数的表示法(共29张ppt)
结合图象可得，M (x) x 1,
(
x
1)2
,
x 1, 1 x 0, x 0.
例题
x2，x>0， 红 2．已知 f(x)＝ f（x＋1），x≤0， 则 f(2)＋f(－2)的值为( )
A．2
B．4
C．5
D．6
例题
x＋1，x≤0，
红 4．已知函数 f(x)＝ －2，x>0， 则“x0＝－2”是“f(x0)＝－1”的( ) x
应的y值叫做函数值，函数值的取值范围 f (x) x A 叫做函数的值域.
知识回顾
问题1：某复兴号高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时. （1）这段时间内，列车行进的路程S与运行时间t的关系是什么？
S 350t
问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公
例题 红 9．已知二次函数的图象过点(－1，4)，(0，1)，(1，2)，
则此二次函数的表达式为
．
求函数解析式
例.已知f (x 2) x2 4x,求f (x).
例题
红 6．已知函数 f(x)满足 f(x＋2)＝x2＋4x－3，则 f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝x2－7 B．f(x)＝x2＋7 C．f(x)＝x2＋x－1 D．f(x)＝x2－x＋2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例题
例.设函数f
(x)
x2
4x
6,
x0 ,求不等式f (x) f (1)的解集.
x 6,
x0
例题 例.已知函数f (x) 2 x 1 3x,用分段函数的形式表示函数f (x).
数学人教A版必修第一册3.1.2函数的表示法课件
图象法 形象、直观地表示自变量变化情况
列表法
只能近似的求出自变量所对应
的函数值，有时误差较大
直观、离散，不需要计算就可以直接 只能表示有限个数的自变量所
看出与自变量的值对应的函数值
对应的函数值
例 某种笔记本的单价是5元，买x(x ∈ {1,2,3,4,5})个笔记本需要元．试用
函数的三种表示法表示函数y = f(x)．
问题4 表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况表
用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．
总结：函数的三种表示法各自的特点是什么？
表示法
优点
缺点
简明、全面地概括了变量间的关系；
不够形象直观，而且并不是所
解析法 可以通过解析式求出任意一个自变量
有的函数都有解析式
的值所对应的函数值
的部分后剩余的曲线.
如图所示，
视察图像可知，函数的
值域为[−1,8）
课堂小结
1. 内容上：
解析法
列表法
图象法
1.简明
直观
1.直观形象
2.抽象
2.变化趋势
1.有规律
1.离散
1.不精准
2.不直观
2.“少”
2.不全面
课堂小结:
2. 思想方法上
：
数形结合
以形化数+以数辅形.
数缺形时少直观
形少数时难入微
数形结合百般好
的关系可以表示为：
= 350, ∈ {|0 ≤ ≤ 0.5}.
解析式
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．
问题3
下图3.1-1是北京市202X年11月23日的空气质量指数 （AIR Quality
列表法
只能近似的求出自变量所对应
的函数值，有时误差较大
直观、离散，不需要计算就可以直接 只能表示有限个数的自变量所
看出与自变量的值对应的函数值
对应的函数值
例 某种笔记本的单价是5元，买x(x ∈ {1,2,3,4,5})个笔记本需要元．试用
函数的三种表示法表示函数y = f(x)．
问题4 表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况表
用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．
总结：函数的三种表示法各自的特点是什么？
表示法
优点
缺点
简明、全面地概括了变量间的关系；
不够形象直观，而且并不是所
解析法 可以通过解析式求出任意一个自变量
有的函数都有解析式
的值所对应的函数值
的部分后剩余的曲线.
如图所示，
视察图像可知，函数的
值域为[−1,8）
课堂小结
1. 内容上：
解析法
列表法
图象法
1.简明
直观
1.直观形象
2.抽象
2.变化趋势
1.有规律
1.离散
1.不精准
2.不直观
2.“少”
2.不全面
课堂小结:
2. 思想方法上
：
数形结合
以形化数+以数辅形.
数缺形时少直观
形少数时难入微
数形结合百般好
的关系可以表示为：
= 350, ∈ {|0 ≤ ≤ 0.5}.
解析式
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．
问题3
下图3.1-1是北京市202X年11月23日的空气质量指数 （AIR Quality
新教材人教A版必修第一册 3.1.2 第1课时 函数的表示法 课件(38张)
只能近似地求出自变量所对应 的函数值
列表法
不需计算可以直接看出与自变 量对应的函数值
只能表示有限个数的自变量所 对应的函数值
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第三章 函数的概念与性质
基础自测
1．已知 f(x)＝π(x∈R)，则 f(π2)等于( B )
A．π2
B．π
C． π
D．不确定
[解析] 因为π2∈R，所以f(π2)＝π.
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第1课时 函数的表示法
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
必备知识·探新知
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
知识点 函数的表示法
基础知识
表示法
定义
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫 做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出： x 123 f(x) 2 1 1
x 123 g(x) 3 2 1
则f[g(1)]的值为__1___；当g[f(x)]＝2时，x＝__1___.
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
的方法叫做列表法
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
思考：三种表示法的优缺点分别是什么？ 提示：
表示法
优点
缺点
解析法
简明、全面地概括了变量之间 的关系，且利用解析式可求任 一自变量对应的函数值
3.1.2(第一课时)函数的表示法【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
（A）1个
（B）2个
（C）3个
（D）0个
3 . 1 . 2（第一 课时） 函数的 表示法 【新教 材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
21
3 . 1 . 2（第一 课时） 函数的 表示法 【新教 材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
1.求分段函数的函数值： x+2, x≤－1；
列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. 如：平方表，平方根表，汽车、火车站的里程价目
表、银行里的“利率表”等。 优点:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的 对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实 际生产和生活中有广泛的应用.
3
探究点3 图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.
例1 已知函数f(x)= x2, －1＜x＜2；
2x, x≥2.
(1)求 f 3,f（ 1 ）,f 5 的值;
2 (2)若f(x)=3,求x的值.
解：（1）f 3 6,f（1） 1 ,f 5 3
24
（2）x 3
3 . 1 . 2（第一 课时） 函数的 表示法 【新教 材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
3 . 1 . 2（第一 课时） 函数的 表示法 【新教 材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
24
3 . 1 . 2（第一 课时） 函数的 表示法 【新教 材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
解：设票价为y元，里程为x公里，由题意可知，自变量x 的取值范围是（0，20]
1.已知
f
(x)
x f
3 [ f (x
4)]
, ,
x 9, x 9.
3.1.2 函数的表示法(第1课时) 课件 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
知识梳理:函数的表示法
表示法
定义
解析法
用 数学表达式 表示两个变量之间的对应关系
图象法
用
列表法
列出
图象
表示两个变量之间的对应关系
表格 来表示两个变量之间的对应关系
➢ 思考
（1）任何一个函数是否只能用解析法、图象法、列表法中的一种表示?
提示:不一定.有些函数三种表示方法可以相互转化.
（2）函数的三种表示方法各有什么优、缺点?
始曲线比较陡峭,后来曲线比较平缓.又因为纵轴表示距离学校
的距离,所以开始时距离最大,最后距离为0.
答案:D
➢ 探究与发现
(2)若函数 f(x),g(x)分别由下表给出,
x
f(x)
1
1
2
3
3
1
g(x)
3
2
1
则 f(g(1))的值为 1
;满足 f(g(x))>g(f(x))的 x 的值是
解析:因为g(1)=3,所以f(g(1))=f(3)=1.
收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法
表示出来.
解:①列表法如下:
x/台
1
2
3
4
5
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
x/台
6
7
8
9
10
27 000
30 000
y/元 18 000 21 000 24 000
➢ 变式训练
②图象法:如图所示.
③解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}.
所以
所以所求二次函数的解析式为 f(x)=x2-x+1.
3.1.2函数的表示法课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
解： 因为圆的直径为50cm，矩形的一边长为 x cm，
所以与它相邻的另一边长为 2500 x2 cm,
所以矩形的面积 y x 2500 x2 .
又因为矩形的边长小于圆的直径，
所以 0 x 50 ，所以 y x 2500 x2 (0 x 50).
（注意：不能漏掉x的取值范围）
练 2 已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出
用列表法可将函数 y=f(x) 表示为
笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25
用图象法，可将函数 y=f(x) 表示为图3.1-2.
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线，折线，离 散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？
思考 判断下列图形能否作为一个函数的图象？
练3. 画出函数 y | x 2 | 的图象.
x 2, x 2
方法一：由绝对值的概念，可知
y
2
x,
x
. 2
所以函数 y | x 2 | 的图像如图所示 .
方法三： y | x 2 |也可以由 y=|x| 的图象向右平移
2个单位长度得到.
练4. 画出函数y | 2x 1|的图象.
练4
D A B
练5 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里),票价2元； (2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价y与里程x之间的函 数解析式,并画出函数的图象．
解:设票价为y元，里程为x公里.由题意可知，
值,函数值的集合f (x) x A叫做函数的值域.
思考：函数常见的表示方法有哪几种？ （1）解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
所以与它相邻的另一边长为 2500 x2 cm,
所以矩形的面积 y x 2500 x2 .
又因为矩形的边长小于圆的直径，
所以 0 x 50 ，所以 y x 2500 x2 (0 x 50).
（注意：不能漏掉x的取值范围）
练 2 已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出
用列表法可将函数 y=f(x) 表示为
笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25
用图象法，可将函数 y=f(x) 表示为图3.1-2.
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线，折线，离 散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？
思考 判断下列图形能否作为一个函数的图象？
练3. 画出函数 y | x 2 | 的图象.
x 2, x 2
方法一：由绝对值的概念，可知
y
2
x,
x
. 2
所以函数 y | x 2 | 的图像如图所示 .
方法三： y | x 2 |也可以由 y=|x| 的图象向右平移
2个单位长度得到.
练4. 画出函数y | 2x 1|的图象.
练4
D A B
练5 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里),票价2元； (2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价y与里程x之间的函 数解析式,并画出函数的图象．
解:设票价为y元，里程为x公里.由题意可知，
值,函数值的集合f (x) x A叫做函数的值域.
思考：函数常见的表示方法有哪几种？ （1）解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
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解法二:∵x+2 x=( )x2+2 +1x-1=( +1)x2-1, ∴f( x+1)=( +x1)2-1,∴f(x)=x2-1(x≥1).
(3)由f(x)=2f
1 x
+x,得f
1x=2f(x)+
1,
x
联立得
f
(x)
2
f
1 x
x,①
f
1 x
2
f
(x)
1 x
,②
①+②×2得f(x)=x+4f(x)+ 2 ,则f(x)=- 2 -1
2.函数有哪几种常用的表示法？
函数几种常用的表示法
（1）解析法：用数学表达式表示两 个变量之间的对应关系； （2）图象法：用图象表示两个变量 之间的对应关系； （3）列表法：用表格表示两个变量 之间的对应关系.
某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3， 4，5})个笔记本需要y元．试用适当的方式表示函 数y=f(x)．
求函数解析式的常用方法
1.配凑法.已知f(h(x))=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理或配凑成只 含h(x)的式子,用x将h(x)代换. 2.待定系数法.前提是已知函数的类型(如一次函数、二次函数),比如二次 函数可设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件列 出方程组,解出待定系数即可. 3.换元法.已知f(h(x))=g(x),求f(x)时,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进 行换元,便可求解. 4.解方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他
未知量,如f 等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解 方程组求出f(x). 5.赋值法. f(x)是关于x,y两个变量的方程式,可对变量赋值求出f(x).
例2 (1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x+3,则f(x)的解析式为
;
(2)已知f( x+1)=x+2 ,则x f(x)的解析式为
解析 (1)由题意可设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab
+b=4x+3,∴
a2
解 4得,
ab b 3,
或
a b
故 --所32, 求解ba 析12式., 为f(x)=-2x-3或f(x)
=2x+1.
(2)解法一:设t= x+1(t≥1),则x=(t-1)2,∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1).
;
(3)已知函数f(x)满足f(x)=2f
1 x
+x,则f(x)的解析式为
;
(4)已知f(0)=1,对任意的实数x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),则f(x)的解析式为
.
(1)已知函数类型,用待定系数法求解. (2)用换元法求解,注意新元的范围或用配凑法求解. (3)联立方程可解. (4)用赋值法可解.
x.
x
3x 3
(4)令x=0,得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=1+y2-y,
∴f(y)=y2+y+1,
∴f(x)=x2+x+1.
例3 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人民共和 国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税 （简称个税）．２０１９年１月１日 起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为 个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数． 应纳税所得额的计算公式为 应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除 －专项附加扣除－ 依法确定的其他扣除．
法一：分段函数
例1画出函数y=|x|的图像
法二：去绝对值
第一步:画y=x的图像
第二步:画y=|x|的图像
x轴上方的图像加绝 对值位置不变 与x轴的交点位置不 变
x轴下方的图像翻转 到x轴上方
y y=x
o
x
y
o
x
练习1画出函数y=|x-2|的图像
第一步:画数y=|x²-1|的图像
图象法
优点：能直观形象地表示出函数的变化情况. 缺点：只能近似地反映函数的变化情况.
练习
1 设周长为20cm的矩形的一边长为xcm，面
积为Scm2,那么x与S的对应关系是否为函数？
若是,试用适当的方法表示出来.
S x(10 x), x (0,10)
所有的函 数都能用 三种方法 表示吗?
例1画出函数y=|x|的图像
包括工 资、薪金，劳务报 酬，稿 酬，特许
权使用费
“基本减除费用” （免征额）为每年
60000元．
包括居民个人按
照国家规定的范围和标
准缴纳的基本养老保险、
基本医疗保险、失业保
险等社会保险费和住房
公积金等；
包括子女教育、
继续教育、 大病
医疗、住房贷款
利息或者住房租
金、赡养老人
等支出；
（１）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y， 求y＝f（t），并画出图象； （２）小王全年综合所得收入额为１８９６００元， 假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保 险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的 比例分别是８％，２％， １％，９％，专项附加扣
y=5x, x∈{1,2,3,4,5}
：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用 解析式来研究函数的性质。
：一些实际问题很难找到它的解析式。
笔记本数 1 2 3 4 5
x
钱数 y 5 10 15 20 25
：不必通过计算就知道当自变量取某些 值时函数的对应值。
：只用于自变量为有限个的函数。
除是５２８００元，依法确定其他扣除是４５６０ 元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
（２）小王全年应纳税所得额为 t＝１８９６００－６００００－１８９６００（８％＋２％＋１％ ＋９％）－５２８００－４５６０ ＝０．８×１８９６００－１１７３６０ ＝３４３２０． 将t的值代入③，得 y＝０．０３×３４３２０＝１０２９．６． 所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为１０２９．６元．
第三章 函数的概念与性质
3.1函数的概念及其表示
3.1.2函数的表示法
问题提出
1.从集合与对应的观点分析，函数的定 义是什么？
设A，B是非空的数集，如果按照某种确 定的对应关系f，使对于集A中的任意一 个数x，在集B中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.