第四章 假设检验(2)-统计计算与方法

t1 ( n 1), t1 ( n 1)
例5 有两台光谱仪，用来测量材料中某种金属 的含量，为鉴定他们的测量结果有无显著的差 异，制备了9件试块（它们的成份、金属含量、 均匀性等均各不相同），现在分别用这两台仪 器对每一试件测量一次，得到9对观察值如下：
x% y%
d=x% -y%
2 起的, 可认为它们服从同一分布.假设Di ~ N ( D , D )，
i 1,2, , n。这就是说D1 , D2 , , Dn 构成正态总体
2 2 N ( D , D )的一个样本，其中 D , D 未知。
基于这一样本检验假设：
(1) H 0 : D 0, H1 : D 0; ( 2) H 0 : D 0, H1 : D 0; ( 3) H 0 : D 0, H1 : D 0.
由于 t sW
x-y 4.295 1.7341 1 1 10 10
所以拒绝H 0，即认为建议的新操作 方法较原来 的方法为优。
三、基于成对数据的检验 逐对比较法：在相同的条件下作对比试验，得到 一批成对的观察值，然后分析观察数据作出判断。 举例说明： 1. 比较甲、乙两种橡胶轮胎的耐磨性的试验：从甲 乙两种轮胎中各抽取n个，各取一个组成一对。 再随机抽取n架飞机，将n对轮胎分配给n架飞机， 飞行了一定时间的起落后，测得轮胎磨损量的n 对数据。
一样，仍然是那三个问题。
统计量应选为
X Y ( 1 2 ) T ~ t ( n1 n2 2). 1 1 SW n1 n2
其中
2 ( n1 1) S12 ( n2 1) S 2 SW n1 n2 2
把T作为检验统计量，可得 下面的水平为的拒绝域：
（3） 左侧检验
(X Y ) W ( x1 , , xn ) : t1 ( n1 n2 2) 1 1 SW n1 n2
例 4： 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的 建议是否会增加钢的得率，试验是在一个平炉 上进行的。每炼一炉钢时，除操作方法外，其 它条件都尽可能做的相同。先用标准方法炼一 炉，然后用建议的新方法炼一炉，各炼了10炉 其得率分别为 (1)标准方法：78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 (2)新方法：79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1
分别记D1 , D2 , , Dn的样本均值和样本方差的观察
2 值为d , s D ，则此问题转化为关于单个正态总体均值
的t检验。检验问题(1), ( 2), ( 3)的拒绝域分别为 (检验 水平为 ) :
| t | t t
d sD d n d n n
t1 ( n 1),
2
sD sD
（取 0.01）
解:
H 0 : 0 0,
H 1 : 0 0
D 0 取统计量 T SD / n
| T | t1 / 2 (n 1) 拒绝域为 W：
由样本值计算得: D 0.06, SD 0.1227 , T 1.467 查表得 t1 2 ( n 1) t 0.995 ( 8 ) 3.3554
五、均值已知时方差的假设检验
当 H 0 为真时，采取的统计量为
检验（3）的拒绝域为 X Y W ( x1 , , xn ) : u . 2 2 1 2 n n 1 2
二、方差未知但相等时 1 2 的假设检验
当 , 为未知，但 时，均值差1－ 2的
2 1 2 2 2 1 2 2 2 常见的假设检验问题，与 12 , 2 为已知时的情况
（右侧检验）
v .s. H1 : 1 2 v .s. H1 : 1 2
（左侧检验）
其中为任意已知的常数。
现讨论
H0 : 1 2
v.s. H1 : 1 2
当H0为真时， ( X Y ) 比较大就应该拒绝 H0，于是
P{( X Y ) k | H0为真} ，
所以，在H0为真时，
X Y ( X Y ) ( 1 2 ) P u1 P u1 , 2 2 2 2 1 2 1 2 n n n n 1 2 1 2
n1


2 2

( X Y ) ( 1 2 )
12
n1
n2

2 2
n2
由此可得
X Y ( X Y ) ( 1 2 ) u u 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 n n n n 1 2 1 2
2. 比较两种测量方法所得的结果是否有显著性的差异。 对同一试验品分别用两种方法测量得到成对数据。
设有n对相互独立的观察结构： ( X 1 , Y1 ), ( X 2 , Y2 ), , ( X n , Yn ),令D1 X 1 Y1 , , Dn X n Yn , 则D1 , D2 , , Dn相互独立，又由于D1 , D2 , , Dn是由同一因素所引
X Y W ( x1 , , xn ) : u1 . 2 2 1 2 n n 1 2
再讨论 H : 0 1 2
当H 0为真时，有
X Y
v.s. H1 : 1 2

2 1
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（1） 双侧检验 | (X Y ) | W ( x1 , , x n ) : t ( n1 n2 2) 1 1 1 2 SW n n 1 2 （2） 右侧检验 (X Y ) W ( x1 , , x n ) : t1 ( n1 n2 2) 1 1 SW n1 n2
其中k1为适当小的正数， k2为适当大的正数。
为方便，我们取
S12 S12 P 2 k1 | H 0为真 P 2 k2 | H 0为真 S2 S2 2
当H 0为真时，
S12 F 2 ~ F ( n1 1, n2 1), S2
n1 10 ,
x 76 .23 , s1 3.325
n2 10 ,
2 y 79 .43 , s2 2.225
2 2 ( 10 1 ) s ( 10 1 ) s 2 1 2 又sw 2.775, t 0.95 (18) 1.7341 10 10 2
设这两个样本独立，且 分别来自正态总体N ( 1 , 2 ) 和N ( 2 , 2 )，1 , 2 , 2均未知，问建议的新操 作方 法能否提高得率？ (取 0.05。 )
解： 需要检验假设
H0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0 分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差 如下 2
由F分布的分位数可得
k1 F (n1 1, n2 1) k2 F
2 1

2
(n1 1, n2 1) .
由此检验的拒绝域为
S12 W ( x1 , , x n1 , y1 , , yn2 ) : 2 F ( n1 1, n2 1) S2 2 S12 F ( n1 1, n2 1). 2 1 S2 2
0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 0.10 0.21 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89 0.10 0.09 -0.12 0.18 -0.18 0.11 0.12 0.13 0.11
问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异？）
2 2 2 2
（右侧检验）
2 2 2 2
（左侧检验）
下面我们来讨论（1）的检验法则
2 2 由于S12和S 2 分别是 12和 2 的UMVUE，因此当H 0为
S12 S12 真时， 2 应接近1。若 2 接近于0或比1大得多时，就 S2 S2 应该认为H 0为真时出现了小概率事件。于是取
S12 S12 P 2 k1 | H 0为真 P 2 k2 | H 0为真 S2 S2
同样，我们可以得到右侧检验的拒绝域为
S12 W ( x1 ,, xn1 , y1 ,, yn2 ) : 2 F1 ( n1 1, n2 1). S2
左侧检验的拒绝域为
S12 W ( x1 ,, xn1 , y1 ,, yn2 ) : 2 F ( n1 1, n2 1). S2
§4.3 两个正态总体均值与方差的 检验
考虑
X ~ N (1 ,12 ), X1 ,, X n1为X的一个样本
2 Y ~ N (2 , 2 ),Y1 ,,Yn2 为Y的一个样本
一、当方差已知时1 2 的假设检验
2 当 12 , 2 已知时，在水平下，1 2的假设检验问题
(1) H0 : 1 2
v.s. H1 : 1 2 （双侧检验）
(2) H 0 : 1 2 H 0 : 1 2 (3) H 0 : 1 2 H 0 : 1 2
v .s. H1 : 1 2 v .s. H1 : 1 2
其中k为适当大的正数。
当H 0为真时，
U (X Y )

2 1
n1


2 2
~ N (0,1),
n2
由N (0,1)的分位数知，当 H0为真时，
X Y P u1 , 2 2 1 2 n n 1 2
所以，此检验的拒绝域为
由于 | T | = 1.467 < 3.3554， 故接受H0 , 即认为这两台 仪器的测量结果无显著差异.
四、均值未知时方差的假设检验
2 当1 , 2未知时，在水平 下，12与 2 的检验问题为
2 2 (1) H0 : 12 2 v.s. H1 :12 2
（双侧检验）
(2) H 0 : ＝ H0 : (3) H 0 : ＝ H0 :
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 2 2
v .s. H1 : v .s. H1 : v .s. H1 : v .s. H1 :
2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1
因此，右侧检验的拒绝域都是
X Y W ( x1 , , xn ) : u1 . 2 2 1 2 n n 1 2
同样，检验（1）的拒绝域为
X Y W ( x1 ,, xn ) : u . 2 2 1 2 1 2 n n 1 2