第一讲：凸函数与琴生不等式(带解答)

第一讲：凸函数与琴生不等式
一、函数的凹凸性：
定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有
1212()()
(
)22
x x f x f x f ++≤
①
则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．
注：①若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数） ②下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上 方（或曲线上）．
③()f x 的二阶导数''()0f x ≥，则()f x 为下凸函数；()f x 的二阶导数''()0f x ≤，则
()f x 为上凸函数。

常见的上凸（凹）函数，0=sin ,=cos ,=ln sin ,=ln cos 2y x y x y x y x π⎡⎫⎪⎢
⎣
⎭
，上， 常见的（下）凸函数，[)231
0+=,=,=,=n n y x y x y x y x
∞，上， 二、琴生不等式性质：
若)(x f 在区间I 为下凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ，
总有n x f x f x f n x x x f n n )
()()()(
2121+++≤+++ ；
当且仅当1
2n x x x ==
=时取到等号。

若)(x f 在区间I 为上凸函数，则对I x x x n
∈,,,21 ，
总有
n x f x f x f n x x x f n n )
()()()(
2121+++≥+++ 。

当且仅当1
2n x x x ==
=时取到等号。

三、加权形式：
[]()()()+121211221122R +++=1(),(++
)+++;n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≤对任意一列，，，，，函数是上的凸函数，有[]()()()+121211221122R +++=1(),(++
)++
+.
n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≥对任意一列，，，，，函数是上的凹函数，有
附：应用2
1
)(x x f =
，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式 2
213
22221)
(111n n a a a n a a a +++≥+++ ，等号成立条件n a a a === 21。

而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的
2
222
12221)111(n
n a a a n a a a +++≥+++ ，等号成立条件n a a a === 21。

常用不等式：
121212121212
++
++++(t>1);
++
++++(0<t<1);+++t
t t t n
n t
t t
t
n
n n
n n
x x x x x x n n x x x x x x n
n x x x x x x n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
例1 证明：(1) ()sin f x x =在[0)π，上是上凸函数
(2) ()lg g x x =在(0)+∞，上是上凸函数 (3) ()tan )2
h x x π
=在[0，上是下凸函数
证明：(1) 对12[0)x x π∀
∈，，
121212121212()()1(sin sin )sin cos sin ()
222222
f x f x x x x x x x x x
x x f ++-++=+=≤=
(2) 对12[0)x x ∀∈∞，，+
1212lg lg lg 22
x x x x
++= 即：
1212()()()22
g x g x x x
g ++≤．
(3) 当1202
x x π
≤<
，时
1212121212121212sin sin sin()2sin()
tan tan cos cos cos cos cos()cos()
x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+==++- 1212122sin()2tan cos()12x x x x x x ++≥
=++ （∵sin tan 1cos 2
αα
α=+）
即：
1212()()()22
h x h x x x
h ++≥．
例2 设A B C 、、是锐角ABC ∆的三个内角，求证：3cos cos cos ;2
A B C ++≤
例3 a b c +
∈R ，，，且a + b + c = 3
9．
证明：
设()f x =，则()(0)f x ∞为，+上的凹函数．
由琴生：1[()()()]()(1)333
a b c
f a f b f c f f ++++≤==
∴ ()()()9f a f b f c ++≤．
例4 设A B C 、、是ABC ∆的三个内角，λ是非负常数，求
+的最大值。

例5 用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，即：122n
n i n a a a a R a n
+++
+∈≥，则
．
证：∵i a R +∈
设()lg f x x =，则()f x 为(0)+∞，上的上凸函数 由琴生不等式： 12121
(lg lg lg )lg n
n a a a a a a n
n
++
++++≤
即
122n
n a a a a n
++
+≤
例6 已知，120,(1,2,
,)2,1i n x i n n x x x >=≥+++=，，
求证：12
11
1(1)(1)(1)(1)n n n
n n
n n x x x +
+++++
≥+ 证：
12
12
111111
1[(1)(1)(1)](1)(1)(1)n n n n n n n n n
n x x x x x x ++++++
≥+++
12
11
1
(1)(1)(1)n
x x x =+
++
例7 已知：120,(1,2,
,)2,1i n x i n n x x x >=≥++
+=，，求证：
12
121
n x x x n x x x n
≥
.
例8 设,i i a b 均大于0，1,2,3,
,.i n =
证明：111
1
1
()()n
n
n
p
q p
q
i i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑，
其中1p >，且
11
1p q
+=. 例9 30P ABC PAB PBC PCA
∆∠∠∠︒若为内任一点，求证、、中至少有一个小于或等于；2''';sin sin 'sin sin 'sin sin sin sin 'sin 'sin '
sin sin '(sin sin sin )sin sin sin sin 'sin 'sin '
PAB PBC PCA PAC PBA PCB PA PB PB PC PC PA αβγαβγαββγαβγαβγγααβγαβγαβγ∠=∠=∠=∠=∠=∠==⎫
⎪
=⇒=⎬⎪=⎭∴=证：设、、，且、、依正弦定理有：
n
n x x x x x x x x x x x x x x x n n n n
n
n n
n n 1
1
1)1
(1)]11()11)(11[(2121211
21121=
+++≤
+
=+≥+++∴ 又n n n
n n n n
n n n n x x x n x x x n
x x x )1()1
1()11()11()1()1
1()11)(11(1)]1
1()11)(11[(21211
21+≥++++++
+≥+++∴+≥+++∴ );)(1)]1()1)(1[((12
21112
211n
n
n n
n n a b a b
a b a b a b a b +≥+++利用结论：6
66
)21()6'''(sin )
6
'sin 'sin 'sin sin sin sin (
=+++++≤+++++≤γβαγβαγβαγβα
︒<︒≥︒≤∴≤
∴≤∴30150,302
1sin ,)2
1
(sin sin sin 3
γγβαααγβαγβα中必有一个满足、时，否则中必有一个角满足、、在 例10 （2011, 湖北）
（Ⅰ）已知函数()()ln 1,0,f x x x x =-+∈+∞求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设(),1,2,,k k a b k n =均为正数，证明：
（i ）若112212n n n a b a b a b b b b +++≤++
+，则12
121n b b b n a a a ≤
（ii ）若121n b b b ++
+=，则
1222212121
n b b b n n b b b b b b n
≤≤+++。

解：（Ⅰ）()f x max =f (1)=0 （Ⅱ）证明
（i ）令g(x )=lnx (x>0), 则g ”(x )=2
1
0,x -
<∴g (x ) 在（0，+∞）上是凹函数，对于∀a k ∈(0, +∞), (k=1,2,…，n)，由琴生不等式：
1
1
1
1
1
1
ln ln(
)ln10(
)
n
n
k k
k
k
n
n
k k k k
k
n
n
k k k
k
k k b a b
a a
b b b
b
======•≤≤=≤∑∑∑∑∑∑
1
1
ln 0
1k
n
n
k k k k k b b a =+∴•≤≤∑∏故a
(ii) 由(i)知，g(x)=lnx 在()0,+∞ 上是凹函数，由琴生不等式：
10
对于∀b k ∈(0,1), 且
1
1n
k
k b
==∑
22
1
1
1
1
1
1
ln ln()k n
n
k k
k
n
n b k k k k n
n
k k k
k
k k b
b b
b b b
b
======•≤⇒≤∑∑∑∏∑∑ （*）
k 11
11
1
1
1
1
2b ,(0,),1
11
ln 1
ln()ln ,ln ln n n
1(**)
k
k
n
k k k n
n
k k
k k k k n
n n b k
k k
k k k n
b k k b b b b b b
b
b b b n
=======∈+∞=⋅≤=≤≥
∑∑∑∑∑∏∏对于且从而故ln
例11 (2012，湖北22题)
（Ⅰ）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<. 求()f x 的
最小值；
（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：
设120,0a a ≥≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，则12121122b b a a a b a b ≤+； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注：当α为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=. 解析： (1)(I)
()min 0f x f ==
（II ） 证明：令g(x)=lnx(x>0), 则g(x) 在(0,)+∞上为凹函数（1题已证）
10 当1a ，2a 中至少有一个为0时，则12121122b b a a a b a b ≤+成立； 20 若1a ，2a >0时，由琴生不等式：
112211221212
ln ln ln()b a b a a b a b
b b b b ++≤++
121b b += ∴ln 1212121122121122ln ln()b
b
b
b
a a a
b a b a a a b a b ≤+⇒≤+ 综上，原不等式成立。

（III ） 命题形式：
设 1
0,,),1,n k k k k a b n b =≥=∑为正有理数, (k=1,2,
若 则1
1
k n n
b k
k k k k a a b ==≤∑∏
证明：10 当1a ,2a ……a n 中至少有一个为0时，原不等式显然成立。

20 当a k >0,)n (k=1,2,
时，由琴生不等式：
1
11
1
1
1
ln ln(
)k n
n
k
k
k k
n n
b k k k k k n
n
k k k
k
k k b
a a b
a a
b b
b
======≤⇒≤∑∑∑∏∑∑
综上，原不等式成立。

例12 设半径为1的半圆上依次有1n +个点121,,
,.n A A A +线段1i i A A +的长度分别记为
,1,2,
,i a i n =，求证：2121
1
2()n
n
i i i i i i a a a a n π++==+<+∑∑，其中1122,.n n a a a a ++==
设12
n A A A 是圆的内接n 边形，且O 点在此n 边形的内部。

又设'
11,i i i i i i A A a A A a ++==，
1,2,
,,n 其中
遇到失意伤心事，多想有一个懂你的人来指点迷津，因他懂你，会以我心，换你心，站在你的位置上思虑，为你排优解难。

一个人，来这世间，必须懂得一些人情事理，才能不断成长。

就像躬耕于陇亩的农人，必须懂得土地与种子的情怀，才能有所收获。

一个女子，一生所求，莫过于找到一个懂她的人，执手白头，相伴终老。

即使芦花暖鞋，菊花枕头，也觉温暖；即使粗食布衣，陋室简静，也觉舒适，一句“懂你”,叫人无怨无悔，愿以自己的一生来交付。

懂得是彼此的欣赏，是灵魂的轻唤，是惺惺相惜，是爱，是暖，是彼此的融化；是走一段很远的路，蓦然回首却发现，我依然在你的视线里；是回眸相视一笑的无言；是一条偏僻幽静的小路，不显山，不露水，路边长满你喜爱的花草，静默无语却馨香盈怀，而路的尽头，便是通达你心灵的小屋……
瑟瑟严冬，窗外雪飘，絮絮自语说了这多，你可懂我了吗？若你知晓，无需说话，只报一声心灵的轻叹，那，便是我的花开春暖。

你相不相信，人生有一种念想，不求奢华不求结果，不求你在我身边，只愿有一种陪伴暖在心灵，那，便是懂得。

有人懂得是一种幸福，懂得别人是一种襟怀，互为懂得是一种境界。

懂得，真好！
例13。