山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题答案
专题05空间中的平行关系与垂直关系(解析版)
专题05空间中的平行关系与垂直关系1．在正四棱锥S ABCD -中，SO ⊥面ABCD 于O ，2SO =,P Q 分别在线段,BD SC 上移动，则,P Q 两点的最短的距离为（）A B C ．2 D ．1【答案】B,P Q 在,BD SC 上移动，则当PQ 为,BD SC 公垂线段时，,P Q 两点的距离最小；四棱锥S ABCD -为正四棱锥，SO ⊥平面ABCD ，O ∴为正方形ABCD 的中心，BD AC ∴⊥，又SO BD ⊥，SOAC O =，BD ∴⊥平面SOC ，过O 作OM SC ⊥，垂足为M ，OM ⊂平面SOC ，OM BD ∴⊥，OM ∴为,BD SC 的公垂线，又5SO OC OM SC ⋅===，,P Q ∴. 故选：B.2．【广西河池市2020-2021学年高一上学期期末】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的正弦值为（）．A ．5B C ．5D ．5【答案】D连AC ，BD 相交于点O ，连OE 、BE ，因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，有PC //OE ，可得OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，不妨设正方形中，2AB =，则2PA =， 由PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥，则BE DE ===1122OD BD ==⨯=因为BE DE =，O 为BD 的中点，所以90EOD ∠=︒，sin5OD OED DE ∠===． 故选：D.3．【广西桂林市2020-2021学年高一上学期期末】已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α.B ．若直线m 、n 与平面α所成角相等，则//m n .C ．若m α⊂，n ⊂α且//m β，βn//，则//αβ.D ．若m α⊥，βn//且//αβ，则m n ⊥. 【答案】DA. 由题得//n α或n ⊂α，所以该选项错误；B. 由题得//m n 或,m n 相交或,m n 异面，所以该选项错误；C. 由题得//αβ或,αβ相交，所以该选项错误；D. 由题得m β⊥，又βn//，所以m n ⊥，所以该选项正确.故选：D4．【河南省天一大联考2020-2021学年高一上学期期末】在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【答案】A∵90BAC ∠=︒，12AC BC =，∴30CBA ∠=︒， ∵1BC AC ，AB AC ⊥，1BC ABB ，1,BC AB ⊂平面1ABC ，∴AC ⊥平面1ABC ，∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30， ∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30， 故选：A ．5．【河南省平顶山市2020-2021学年高一上学期期末】将如图的平面图形折成正方体，则在这个正方体中，正确的是（）A ．//AB CD ，AB EF ⊥ B ．AB CD ⊥，AB EF ⊥C ．//AB CD ，AB 与EF 所成的角为60 D ．AB CD ⊥，AB 与EF 所成的角为60【答案】D作出翻折后的正方体如下图所示：在正方体ANBF MCED -中，四边形MCED 为正方形，则CD ME ⊥，AM ⊥平面MCED ，CD ⊂平面MCED ，CD AM ∴⊥，AM ME M =，CD 平面ABEM ，AB CD ∴⊥，在正方体ANBF MCED -中，//AF CE 且AF CE =，所以，四边形ACEF 为平行四边形，所以，//AC EF ，所以，异面直线AB 与EF 所成的角为BAC ∠， 易知ABC 为等边三角形，所以，60BAC ∠=， 因此，AB 与EF 所成的角为60. 故选：D.6．【陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高一上学期期末】已知α、β是平面，m 、n 是直线，下列命题中不正确的是（） A ．若//m α，n αβ=，则//m n B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥【答案】A对于A 选项，若//m α，则直线m 与平面α内的直线平行或异面， 由于n αβ=，则直线m 、n 平行或异面，A 选项错误；对于B 选项，若//m n ，m α⊥，则n α⊥，B 选项正确； 对于C 选项，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，C 选项正确；对于D 选项，若m α⊥，m β⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，D 选项正确. 故选：A.7．【河南省焦作市2020-2021学年高一上学期期末】如图所示，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N 为其所在棱的中点，则异面直线AB 与MN 所成角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C作如图所示的辅助线，由于M ，N 为其所在棱的中点，所以//MN PQ ，又因为//AC PQ ，所以//AC MN ，所以CAB ∠即为异面直线AB 与MN 所成的角（或补角），易得AB AC BC ==，所以60CAB ∠=︒.故选：C ．8．【陕西省铜川一中2020-2021学年高一上学期期末】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，将四边形CDEF 沿EF 翻折，使得平面CDEF ⊥平面ABEF ，则异面直线BD 与AE 所成角的正弦值为（）AB．10C．10D【答案】D如图，连接BF 交AE 于点O ，取DF 的中点G ，连接OG ，AG ，则OG BD ∥且12OG BD =，所以AOG ∠(或其补角)为异面直线BD 与AE 所成的角.由在矩形ABCD中，AB =2BC =，则1DF FA ==，2AE BF ==，所以112AO AE ==. 平面CDFE ⊥平面ABEF ，平面CDFE ⋂平面ABEF EF =，DFEF ，DF ⊂平面DCEF ，所以DF ⊥平面BAFE ，又BF ，AF ⊂平面BAFE ，所以DF BF ⊥，DF FA ⊥，所以BD =所以12OG BD ==1122GF DF ==，所以AG ==在AOG中，112cos AOAOG GO ∠===sin 5AOG ∠=．所以异面直线BD 与AE. 故选：D ．9．【贵州省思南中学2019-2020学年高一下学期期末】如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，若24CD AB ==，EF BA ⊥，则EF 与CD 所成的角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A解：如图所示：取CB 的中点G ，连接EG ，FG ，则//EG AB ，//FG CD ，EF ∴与CD 所成的角为EFG (或其补角)， EF AB ⊥，EF EG ∴⊥，又112EG AB ==，122FG CD ==， ∴在Rt EFG 中，1sin 2EFG ∠=， EF ∴与CD 所成的角为30．故选：A ．10．已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则（） A ．1θθ≥ B ．1θθ≤C ．2θθ≥D ．2θθ≤【答案】A设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ， 过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，DE CE ===2DC =，∴1cos 3θ==，233AO CO CE ===，∴13cos 33AO AD θ===， 取BC 中点F ，连结DF 、AF ，则DF BC ⊥，AF BC ⊥，又DF AF F ⋂=，∴BC ⊥平面AFD ，∴BC AD ⊥，∴290θ=︒， ∴21θθθ≥≥，排除B ，C ，当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ， 故选：A .11．如图（1），Rt ABC，1,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，沿AD 将ACD△折起到AC D '，使得C '在平面ABD 上的射影H 落在AB 上，如图（2），则以下结论正确的是（）A ．AC BD '⊥B ．AD BC '⊥ C ．BD C D ⊥' D ．AB C D ⊥'【答案】C设AH a =，则BH a =，因为'C H ⊥面ABD ，AB 面ABD ，DH ⊂面ABD ，所以'C H ⊥AB ，'C H ⊥DH ，'C H ⊥DB ，又Rt ABC ，1,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，所以'1,6C D BD B DAB π==∠=∠=，所以在'Rt AC H 中，'C H ==Rt C HD ’中，()2'222'211DH C D C H a a =-=--=，所以DH a AH ==，所以6ADH DAB π∠=∠=，又23ADB π∠=，所以2HDB π∠=，所以BD ⊥DH ，又'C HDH H =，所以BD ⊥面'C DH ，又'C D ⊂面'C DH ，所以BD ⊥'C D ， 故选：C.12．在正方体1111ABCD A BC D -中，过点C 做直线l ，使得直线l 与直线1BA 和11B D 所成的角均为o 70，则这样的直线l （） A ．不存在 B ．2条C ．4条D ．无数条【答案】C因为11//B D BD ，过点C 做直线l 可以转化为过B 做直线l 与直线1BA 和BD 所成的角均为o 70，由于1BA 与BD 所成的角都等于o 60，所以当直线l 是1A BD ∠的角平分线时与1A B BD 、都成o 30，然后直线l 绕着点B 转动，在与平面1A BD 垂直的过程中有一条直线与两条直线都成o 70，同理在1A BD ∠的对顶角中也有一条直线l 与两条直线都成o70， 因为1A BD ∠的补角是o 120，角平分线与两条直线都成o 60，当直线l 绕着点B 从1A BD ∠一侧的补角角平分线开始转动，在与平面1A BD 垂直的过程中有一条直线与两条直线都成o 70，同理另一侧的补角也存在一条，所以共有4条. 故选：C.13．【山东省烟台市第二中学2019-2020学年高一下学期期末】我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng ）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF 是一个刍甍，其中BCF △是正三角形，22AB BC EF ==，则以下两个结论：①//AB EF ；②BF ED ⊥，（）A ．①和②都不成立B ．①成立，但②不成立C ．①不成立，但②成立D ．①和②都成立【答案】B解：∵//AB CD ，CD 在平面CDEF 内，AB 不在平面CDEF 内， ∴//AB 平面CDEF ， 又EF 在平面CDEF 内，由AB 在平面ABFE 内，且平面ABFE 平面CDEF EF =，∴//AB EF ，故①对；如图，取CD 中点G ，连接BG ，FG ，由AB ＝CD ＝2EF ，易知//DE GF ，且DE ＝GF ，不妨设EF ＝1，则BG ==假设BF ⊥ED ，则222FG B G F B +=，即212FG +=，即FG ＝1，但FG 的长度不定，故假设不一定成立，即②不一定成立. 故选：B.14．【湖北省荆门市2019-2020学年高一下学期期末】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是（）A ．MN 与1AC 垂直B ．MN 与平面11ACC A 垂直 C ．MN 与平面1C BD 平行 D ．MN 与平面1A BD 平行【答案】C对于选项A ，连接1BC ，11B D ，由三角形中位线知识即可证得11//MN BD ，由选项B 可得11B D ⊥平面11ACC A ，所以MN 与1AC 垂直 对于选项B ，由三角形中位线知识即可证得11//MN B D ， 正方体中，易得1111B D AC ⊥及1AA ⊥平面1111D C B A ， 所以111AA B D ⊥，又1111B D AC ⊥所以11B D ⊥平面11ACC A ，所以MN 与平面11ACC A 垂直对于选项C ，因为M ∈1BC ，1BC ⊂平面1C BD ，所以MN 与平面1C BD 至少有一个公共点M ，MN 与平面1C BD 不可能平行.对于选项D ，由B 选项的证明可得11//MN B D ，又11//BD B D ， 所以//MN BD ，又MN ⊄平面1A BD 所以MN 与平面1A BD 平行 故选：C15．如图，在长方形ABCD 中，AD CD <，现将ACD △沿AC 折至1ACD △，使得二面角1A CD B --为锐二面角，设直线1AD 与直线BC 所成角的大小为α，直线1BD 与平面ABC 所成角的大小为β，二面角1A CD B --的大小为γ，则,,αβγ的大小关系是（）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．γαβ>>D ．不能确定【答案】B解决本题，先来了解最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于直线与平面内其他直线的夹角． 证明如下：直线AB 与平面α斜交，斜足为B ，AO ⊥平面α，BC OC ⊥，由AO ⊥平面α，BC OC ⊥， 可证明BC ⊥平面AOC ， 则BC AC ⊥． 则cos BOABO AB ∠=， cos BCABC AB ∠=，cos BCOBC BO∠=，所以cos cos BO BC BCABO OBC AB BO AB∠⋅∠=⨯=， 即cos cos cos ABC ABO OBC ∠=∠⋅∠， 故cos cos ABC ABO ∠<∠，ABC ABO ∠>∠．过点1D 作1D O ⊥平面ABC ， 过点B 作BO '⊥平面1ACD ， 连接OB .过O '作1O H CD '⊥， 连接BH ，如图：则1D BO ∠为直线1BD 与平面ABC 所成角， 即1D BO β∠=， 由BO '⊥平面1ACD ， 则1BO CD '⊥， 又1O H CD '⊥， 且BO O H O '''⋂= 所以1D C ⊥平面BO H '， 则1CD BH ⊥所以BHO '∠为二面角1A CD B --的平面角， 即BHO γ'∠=， 又11D ABC B AD C V V --=， 即111133ABC AD C S OD S O B '⨯⨯=⨯⨯△△， 且112AD C ABCDS ABC S S ==矩形△△， 所以1BO D O '=. 由sin ,BO BHO BH''∠=111sin D OD BO BD ∠=， 由1BH BD <，所以sin BHO '∠>1sin D BO ∠，即BHO '∠>1D BO ∠， 也即γβ>. 又在平面1AD C 内，111,AD DC O H DC '⊥⊥， 所以1//AD O H '.所以α等于直线O H '与BC 所成的角，BHO '∠也为直线O H '与平面1BCD 所成的角.根据上面已证的最小角定理有BHO α'∠<. 所以αγβ>>， 故选：B.16．【河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期末】四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，各条棱长均为2.则异面直线VC 与AB 所成角的大小为______. 【答案】60°如图示，因为ABCD 是正方形，所以AB ∥CD , 所以异面直线VC 与AB 所成角即为∠VCD. 又各条棱长均为2，所以△ VCD 为等边三角形，所以∠VCD =60°，异面直线VC 与AB 所成角的大小为60°. 故答案为：60°17．【河南省濮阳市2020-2021学年高一上学期期末】空间三条直线a ，b ，c 两两异面，则与三条直线都相交的直线有___________条. 【答案】无数在a 、b 、c 上取三条线段AB 、CC '、A D ''， 作一个平行六面体ABCD A B C D -''''，如图所示在c 上，即在直线A D ''上取一点P ，过a 、P 作一个平面β 平面β与'DD 交于Q 、与CC '交于R ，则 由面面平行的性质定理，得//QR a ，于是PR 不与a 平行，但PR 与a 共面．故PR 与a 相交，得直线PR 是与a ，b ，c 都相交的一条直线．根据点P 的任意性，得与a ，b ，c 都相交的直线有无穷多条． 故答案为：无数18．【河南省豫南九校2020-2021学年高一上学期期末】如图，圆柱的体积为16π，正方形ABCD 为该圆柱的轴截面，F 为AB 的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC ，EF所成的角的余弦值为______．设圆柱底面半径为r ，则母线长为2r ，由2216r r ππ⋅=得2r．设底面圆心为O ，连接OE ，OF ．则//OE AC ，所以OEF ∠为异面直线AC ，EF 所成的角．在Rt OEF △中，2OF =，OE =EF =所以cos OE OEF EF ∠==故答案为：3．19．如图，在多面体ABC DEF -中，已知棱,,AE BD CF 两两平行，AE ⊥底面DEF ，DE DF ⊥，四边形ACFE 为矩形，23AE DE DF BD ====，底面△DEF 内(包括边界)的动点P 满足,AP BP 与底面DEF 所成的角相等.记直线CP 与底面DEF 的所成角为θ，则tan θ的取值范围是___________.【答案】⎣⎦连结,PD PE ，由题意易知,APE APB ∠∠即分别为,AP BP 与底面DEF 的所成角， 故tan tan APE APB ∠=∠，即AE BDPE PD=，可得2PE PD =， 以,DF DE 作为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，设(,)P x y ，而(3,0),(0,3)F E ，可得22(1)4x y ++=， 即点P 在以圆心(0,1)M -，半径为2r的圆弧上运动(点P 在△DEF 内且包括边界).设圆M 与坐标轴正半轴交于点(0,1)N ，Q ，连结PF ，显然QF PF NF ≤≤，又3QF =NF =而3tan PF θ=tan θ≤≤.故答案为：⎣⎦.20．【辽宁省沈阳市第二中学2019-2020学年度下学期高一年级数学期末】已知：平面l αβ=，∈A l ，B l ∈，4AB =，C β∈，CA l ⊥，3AC =，D α∈，DB l ⊥， 3.DB =直线AC 与BD 的夹角是60︒，则线段CD 的长为_________．【答案】5如图，作//AE BD 且AE BD =，连接,ED EC ，则CAE ∠（或其补角）为异面直线,AC BD 所成的角，所以60CAE ∠=︒或120CAE ∠=︒，因为//AE BD 且AE BD =，所以ABDE 是平行四边形，所以//DE AB ，4DE AB ==， 因为,AB AC AB BD ⊥⊥，所以,ED AC ED AE ⊥⊥，AC AE A ⋂=，所以BD ⊥平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以ED CE ⊥，3AC AE ==，若60CAE ∠=︒，则3CE =，5CD ==，若120CAE ∠=︒，则23sin60CE =⨯︒=CD ．故答案为：521．【云南省昆明市2019-2020学年高一下学期期末】如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，G 分别是棱11A D ，1AA ，AB 的中点.下列四个结论：①1//CD FG ；②//AC 平面EFG ；③平面BAC ⊥平面EFG ；④1B D EG ⊥.其中正确结论的编号是___________.【答案】①②④对于①，在正方体1111ABCD A BC D -中，11//CD BA ，1//BA FG ，所以1//CD FG ，故①正确；对于②，延长EF 交DA 的延长线于H ，连HG ，则1AH A E AG ==，所以//HG AC ，又HG ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ，所以//AC 平面EFG ，故②正确；对于③，平面BAC 与平面EFG 不垂直；故③不正确；对于④，在正方体中，因为11B D CD ⊥，1//CD FG ，所以1B D FG ⊥， 因为1B DAC ，//AC HG ，所以1B D HG ⊥，因为FG HG G ⋂=，所以1B D ⊥平面FHG ，又EG ⊂平面FHG ，所以1B D EG ⊥，故④正确. 故答案为：①②④22．如图在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，11AD AA ==，则点1B 到平面1D BC 的距离为______.解：设点1B 到平面1D BC 的距离为d ， 1111B BCD D BCB V V --=，∴11111133BCD BCB Sd SA B =．∴111111123232d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯．d ∴=．． 23．【黑龙江省鸡西市第一中学2019-2020学年度高一下学期期末】如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且EF =现有如下四个结论：①AC BE ⊥； ②平面EFC//平面1A BD③异面直线,AE BF 所成的角为定值； ④三棱锥A BEF -的体积为定值， 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④①设AC 与BD 相交与G .根据正方体的性质可知1,AC BD AC BB ⊥⊥，而1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥平面11BDD B ，所以AC BE ⊥.故①正确.②根据正方体的性质可知11//A B D C ，1A B ⊂/平面11B CD ，1D C ⊂面11B CD ，所以1//A B 平面11B CD .同理可证//BD 平面11B CD ，而1A B BD B ⋂=，所以平面1//A BD 平面11B CD ，也即平面//EFC 平面1A BD .故②正确.③由于正方体的边长为1，所以112BD B D BG ===，而EF =性质可知//EF BG ，所以四边形BGEF 是平行四边形，所以//BF GE ，所以AEG ∠是异面直线,AE BF 所成的角，所以tan AGAEG GE∠=，其中AG 为定值，GE 长度不固定，所以AEG ∠不是定值，所以③错误. ④由①可知AC ⊥平面11BDD B ，所以111113322212A BEFBEF V S AG -⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭为定值，所以④正确.故答案为：①②④24．已知正ABC 的顶点A 在平面α上，顶点B 、C 在平面α的同一侧，D 为BC 的中点，若ABC 在平面α上的投影是以A 为直角顶点的三角形，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的最小值为______.如图，结合题意绘出图像，AEF 即ABC 在平面α上的投影，作DG ⊥平面α于点G ，连接AG ，设BE a =，CF b =，2AB AC BC ===，则AD =， 因为AEF 即ABC 在平面α上的投影，D 为BC 的中点，所以点G 在线段EF 上且点G 是线段EF 的中点，22BE FCa bDG ， 因为AEF 是以A 为直角顶点的三角形，所以12GAEF ， 因为DG ⊥平面α于点G ，所以DG AG ⊥，DAG ∠即直线AD 与平面α所成角， 因为22224AE AB BE a ，22224AF AC CF b ，222EF AE AF =+，所以222228EF AE AF a b ，因为22222322EF a b AG AD DG ，即2212EFa b ，联立()22222128EF a b EF a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩，解得2ab =， 则323262sin 26633a b DGDAGa aADaa ，当且仅当a b ==AD 与平面α， 25．【辽宁省大连市2019-2020学年高一（下）期末】在正方体1111ABCD A BC D -中，P ，Q 分别为棱1AD ，1BC 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列命题中，所有正确命题的序号为______.①当点P 异于点A 时，直线1PB 与直线AQ 一定异面；②BPQ 的面积为定值；③P ，Q 运动过程中，均有BC PQ ⊥；④P ，Q 运动过程中，线段PQ 在面11BB C C 内射影所形成的区域面积是四边形11BB C C 面积的一半. 【答案】①③④ 对①，如图所示：当0PA >时，假设直线1PB 与直线AQ 是共面直线，则AP 与1B Q 共面， 与题意矛盾，所以直线1PB 与直线AQ 一定异面，故①正确； 对②，当点P 在A 处时，点Q 与1B 重合，如图所示：设正方体边长为1，111122BPQ S =⨯⨯=△. 当点P 在1AD 中点时，此时点Q 在1BC 的中点，如图所示：设正方体边长为1，11224BPQ S =⨯⨯=△， 故BPQ 的面积不是定值，故②错误；对③，过P 做PH AD ⊥，过Q 做QK BC ⊥，连接HK ，如图所示：因为1//PH DD ，1//QK BB ，1AP B Q =，11AD B C =，AD BC =， 所以11AP AH BQ BKAD AD B C BC===，即AH BK =. 所以四边形ABKH 为矩形，即BC HK ⊥. 又因为BC QK ⊥，QKHK K =，所以BC ⊥平面PHKQ .PQ ⊂平面PHKQ ，所以BC PQ ⊥，故③正确.对④，P 点在平面11BCC B 内的射影点的轨迹为线段1BC ， 设11BC B C O =，如图所示：线段PQ 在平面11BB C C 内射影所形成的区域为1B OB △和1C OC △，111112B OBC OCBB C C SSS +=四边形，故④正确. 故答案为：①③④26．在长方体1111A BCD A BC D -中，E ，F ，G 分别为所在棱的中点，H ，Q 分别为AC ，1AD ，的中点，连EF ，EG ，FG ，DQ ，CQ ，1D H ．（I ）求证：平面//EFG 平面ACQ（II ）问在线段CD 上是否存在一点P ，使得//DQ 平面1D PH ？若存在，求出P 点的位置若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析（2）当13DP DC =时，满足条件，证明见解析. 连接111,AC BC ,由E ，F ，G 分别为所在棱的中点 所以11//AC GF ,1//EF BC由11//AD BC ,所以1//AD EF ,又1AD ⊂平面ACQ , EF ⊄平面ACQ 所以//EF 平面ACQ又11//AC AC ,所以//GF AC ,又AC ⊂平面ACQ , GF ⊄平面ACQ 所以//GF 平面ACQ ,又GF EF F ⋂= 所以平面//EFG 平面ACQ（2）线段CD 上存在一点P ，当13DP DC =时，满足//DQ 平面1D PH . 证明如下：连接PH 并延长交AB 于点M ,连接1D M ，则平面1D PH 与平面1D PM 为同一平面.由H 为AC 的中点，则AMH 与CPH △全等.则2233AM AB CD == 取线段1D M 的中点N ，连接QN .由,Q N 分别为11,AD D M 的中点，所以111233QN AM AB DC ===且//QN AM又//DP AM 且13DP DC =, 即//QN DP 且QN DP = 所以四边形QDPN 为平行四边形，故//QD NP又QD ⊄平面1D PH ，NP ⊂平面1D PH ，所以//DQ 平面1D PH .27．【陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高一上学期期末】如图，ABC 中，22AC BC AB ==，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点．（1）求证：//GF 平面ABC ； （2）求证：AC ⊥平面EBC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. （1）证明：连接AE ．四边形ABED 为正方形，F 为BD 的中点，F ∴为AE 的中点， 又G 为CE 的中点，所以，//FG AC ，FG ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//FG ∴平面ABC ；（2）证明：四边形ABED 为正方形，BE AB ∴⊥，因为平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，BE ⊂平面ABED ，BE ∴⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC BE ∴⊥，AC BC AB ==，由勾股定理可得222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥， BCBE B =，AC ∴⊥平面BEC .28．【河南省驻马店市2020-2021学年高一上学期期末】如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，2PA PD AD ===，点M ，N 分别是线段PC ，AD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥A NBM -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）14. （1）∵PA AD =，N 为AD 中点∴PNAD∵底面ABCD 为菱形，∴60BAD ∠=︒，∴三角形ABD 为等边三角形， ∴BN AD ⊥， ∵PNBN N ，∴AD ⊥面PNB（2）∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，PNAD∴PN面ABCD又∵2PA PD AD ===，3PN NB，1AN =，∴AD NB ⊥∴11122ABNSAN BN =⋅=⨯=∵M 为PC 中点，∴点M 到面ABN 的距离等于P 到面ABN 距离的12又∴1132A NBM M ANB ABNV V PN S --==⨯⋅∴111324A NBM V -=⨯= 29．【河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期末】在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，O 是底面ABCD 的中心.（1）求证:1BO//平面11DA C ; （2）求点O 到平面11DA C 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2（1）证明：连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO .11//O B DO 且11O B DO =， 11B O DO ∴是平行四边形.11//BO DO ∴.又1DO ⊂平面11DA C ，1B O ⊂/平面11DA C ，1//B O ∴平面11DA C .（2）1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，且1111BB B D B ⋂=，11AC ∴⊥平面11B D DB .∴平面11DAC ⊥平面11B D DB ，且交线为1DO .在平面11B D DB 内，过点O 作1OH DO ⊥于H ，则OH ⊥平面11DA C ， 即OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离.在矩形11B D DB 中，连接1OO ，1OOD OHD ∽△△，则11O D ODO O OH=，OH ∴==即点O 到平面11DA C30．【宁夏银川一中2020-2021学年高一上学期期末】如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，底面ABC 是直角三角形，4PA AB BC ===，O 是棱AC 的中点，G 是AOB∆的重心，D 是P A 的中点.（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求证：DG//平面PBC ；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）证明：PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥， 底面ABC 是直角三角形且AB BC =，AB BC ∴⊥，又PA ⊂平面P AB ，AB 平面P AB ，PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB .(2)证明：连结OG 并延长交AB 于点E ，连结DO ，DE ,G 是AOB ∆的重心，∴OE 为AB 边上的中线，∴E 为AB 边上的中点，又有D 为PA 边上的中点，∴//DE PB ，PB ⊂平面PBC ，//DE ∴平面PBC ，同理可得//DO 平面PBC ，又DE ⊂平面DOE ，DO ⊂平面DOE ，DE DO D ⋂=， ∴平面DOE //平面PBC ，又有DG ⊂平面DOE ，DG //∴平面PBC。
江苏省南通市如皋中学2019_2020学年高一数学下学期6月阶段考试试题创新班含解析
【答案】B
【解析】
【分析】
求出整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为 ，结合样本容量为 可求得该学校学生的总数.
【详解】从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为 ，
所以,在整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为 ，
所以，从该学校中抽取一个容量为 的样本时，则该学校学生的总数为 。
【答案】
【解析】
【分析】
列举出所有的基本事件,并确定事件“取出的两个球的编号之和小于 ”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率。
【详解】从袋中随机抽取出两个球，则所有的基本事件有： 、 、 、 、 、 ，共 种，
其中，事件“取出的两个球的编号之和小于 ”所包含的基本事件有： 、 ，共 种,
当a＝0时，e2x﹣alnx a即为e2x≥0显然成立；
当a＞0时，f（x）＝e2x﹣alnx的导数为 ＝2e2x ，
由于y＝2e2x 在(0，+∞）递增（增函数+增函数=增函数），
设 ＝0的根为m，即有a＝2me2m， .
当0＜x＜m时， ＜0，f（x)单调递减；当x＞m时， ＞0,f(x)单调递增，
因此,所求事件的概率为 .
故答案为: 。
【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力,属于基础题.
14.如表是某厂2020年1～4月份用水量(单位:百吨)的一组数据
月份x
1
2
3
4
用水量y
2.5
3
4
4。5
由散点图可知,用水量y与月份x之间有较明显的线性相关关系,其线性回归方程是 ,预测2020年6月份该厂的用水量为_____百吨.
山东省烟台市2019_2020学年高一英语下学期期末考试试题含解析
山东省烟台市2019-2020学年高一英语下学期期末考试试题（含解析）说明：本试卷由四个部分组成，共12页，满分150分，考试用时120分钟。
请把答案全部涂写在答题卡上，考试结束后，只交答题卡。
第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. Who knows the address?A. The Dells.B. Blare.C. Alan.2. What’s the probable relationship between the speakers?A. Doctor and patient.B. Passenger and driver.C. Bank clerk and customer.3. What does the man mean?A. The window can’t be opened.B. He will not open the window.C. The window is already open.4. Which is the quickest way to the airport?A. By taxi.B. By bus.C. By underground.5. What is the woman going to do this evening?A. Eat out with her sister.B. Go to the airport.C. Phone the restaurant. 第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
专题07概率(原卷版)
专题07概率1．【吉林省长春市第150中学2017-2018学年高一下学期期末】从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（）A．所取的3个球中至少有一个白球B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C．所取的3个球都是黑球D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球2．【北京市房山区2020-2021学年高一上学期期末】某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量分为一等品、二等品、不合格品．从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.75，“抽到二等品”的概率为0.2，则“抽到不合格品”的概率为（）A．0.05 B．0.25 C．0.8 D．0.953．【湖南省娄底市2019-2020学年高一下学期期末】从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）A．B与C互斥B．任何两个均互斥C．A与C互斥D．任何两个均不互斥4．【北京市东城区2019-2020学年度高一下学期期末统一检测】在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为110.那么以下理解正确的是（）A．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C．某顾客消费210元，一定不能中奖D．某顾客消费1000元，至少能中奖1次5．【湖南师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．25B．35C．12D．136．【北京八中2018-2019学年度高一第二学期期末】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与至少有一个红球C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是红球7．【山东省威海市2020-2021学年高一上学期期末】从含有3件正品2件次品的5件产品中，任意取出2件产品，则取出的2件产品中至少有一件次品的概率为（）A ．710B ．310C ．15D ．1108．【北京市海淀区2020-2021学年高一上学期期末】从数字2,3,4,6中随机取两个不同的数，分别记为x 和y ，则xy为整数的概率是（） A ．16 B ．14 C ．12 D ．7129．【辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一上学期期末】从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（） A ．“至少一个白球”和“都是红球”B ．“至少一个白球”和“至少一个红球”C ．“恰有一个白球”和“恰有一个红球”D ．“恰有一个白球”和“都是红球”10．【甘肃省庆阳市镇原中学第2019-2020学年高一下学期期末】围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（）A ．17B ．1235C ．1735D ．111．【湖北省荆门市2019-2020学年高一下学期期末】华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数.从15以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）A．115B．15C．13D．1212．【山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期末】人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作B，隐性基因记作b：成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是BB，bB或Bb”）.人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的.分别用D，d表示显性基因、隐性基因，基因对中只要出现了显性基因D，就一定是卷舌的.生物学上已经证明：控制不同性状的基因邀传时互不干扰.若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是BdDd，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为（）A．116B．316C．716D．91613．【广东省佛山市第一中学2019-2020学年高一下学期期末】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽取的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为（）A．35B．310C．15D．11014．【广东省佛山市第一中学2019-2020学年高一下学期期末】甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是（）A．甲获胜的概率是16B．甲不输的概率是12C．乙输的概率是13D．乙不输的概率是1215．【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一下学期期末】数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“垂帘画阁画帘垂，谁系怀思怀系谁？”既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（）A．19B．29C．39D．4916．【辽宁省沈阳市2020-2021学年高一上学期期末】设,,A B C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且1()4P A=，()23P C=，则()P A B+=_____________．17．【山东省枣庄市2019-2020学年高一（下）期末】在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：423 231 423 344 114 453 525 323 152 342345 443 512 541 125 342 334 252 324 254相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为_____．18．【福建省三明市2019-2020学年高一（下）期末】已知事件A B ，互相对立，且2P A P B （）＝（），则P （A ）＝_____．19．【陕西省宝鸡市渭滨区2019-2020学年高一下学期期末】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是16，甲不输的概率是56，则甲赢的概率为______. 20．【重庆市九龙坡区2019-2020学年高一下学期期末】已知一个口袋有3个白球，1个黑球，这些球除颜色外全部相同，现从口袋中随机逐个取出两球，取出的两个球是一黑一白的概率是________.21．【北京市房山区2020-2021学年高一上学期期末】暑假期间，甲外出旅游的概率是14，乙外出旅游的概率是15，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是__________.22．【湖南省怀化市2019-2020学年高一下学期期末】甲､乙两人随意入住两间空房，则甲､乙两人各住一间房的概率是_______23．【安徽师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末】抛掷甲、乙两枚质地均匀且各面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子，记正面向上的数字分别为x ，y ，则x y <的概率是__________.24．【延安市实验中学高一下学期期末】采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本,若个体a 前两次未被抽到,则第三次被抽到的概率为_____.25．【山西省朔州市怀仁一中2018-2019学年高一上学期期末】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A =“取出的两球同色”，B =“取出的2球中至少有一个黄球”，C =“取出的2球至少有一个白球”，D “取出的两球不同色”，E =“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件：④()1P C E =；⑤()()P B P C =.26．【安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高一上学期期末】甲､乙两人独立破译一个密码，他们译出的概率分别为13和1.4求：（1）两人都译出的概率；（2）两人中至少一人译出的概率；（3）至多有一人译出的概率.27．【辽宁省营口市2020-2021学年高一上学期期末】甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码. （1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率.28．【安徽省蚌埠市2020-2021学年高一上学期期末】袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个、白球2个、红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球，规定取出球的总积分多者获胜.（1）求甲、乙成平局的概率；（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.29．【北京市东城区2019-2020学年度高一下学期期末统一检测】某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言.（Ⅰ）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；（Ⅱ）求选中1名医生和1名护士发言的概率；（Ⅲ）求至少选中1名护士发言的概率.30．【山东省滕州一中2019-2020学年高一下学期期末】若5张奖券中有2张是中奖的，先由甲抽1张，然后由乙抽1张，求：（1）甲中奖的概率()P A；（2）甲､乙都中奖的概率()P B；（3）只有乙中奖的概率(C)P.。
2019-2020学年山东省枣庄八中东校区高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年山东省枣庄八中东校区高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若复数z= 1−ii ，则复数z 的虚部为（ ） A.1 B.-1 C.-i D.i2.（单选题，5分）某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（ ） A.80 B.96 C.108 D.1103.（单选题，5分）设复数z 满足（1+i ）z=2i ，则|z|=（ ） A. 12 B. √22 C. √2 D.24.（单选题，5分）点P 是△ABC 所在平面上一点，若 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABP 与△ACP 的面积之比是（ ） A.3 B.2 C. 13 D. 125.（单选题，5分）箱中装有标号为1，2，3，4，5且大小相同的5个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有2人参与摸奖，恰好有1人获奖的概率是（ ） A. 25B. 425 C. 625 D. 12256.（单选题，5分）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）A.（1）（2）B.（1）（3）C.（1）（4）D.（1）（5）7.（单选题，5分）在△ABC 中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，其面积S∈[ √32，3√32 ]，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的取值范围为（ ） A.[ π6， π4] B.[ π4 ， π3 ] C.[ π6 ， π3 ] D.[ 2π3 ， 3π4 ]8.（单选题，5分）已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形ABC ，D 为底边BC 的中点，以AD 为折痕，将三角形ABD 翻折，使BD⊥CD ，则经过A ，B ，C ，D 的球的表面积为（ ） A.10π B.12π C.16π D.20π9.（多选题，5分）如图所示，在四个正方体中，l 是正方体的一条体对角线，点M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP 的图形为（ ）A.B.C.D.10.（多选题，5分）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的学生有60人，则下列说法正确的是（）A.样本中支出在[50，60）元的频率为0.03B.样本中支出不少于40元的人数有132C.n的值为200D.若该校有2000名学生，则定有600人支出在[50，60）元11.（多选题，5分）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A.P（A）=P（B）=P（C）B.P（BC）=P（AC）=P（AB）C.P（ABC）= 18D.P（A）•P（B）•P（C）= 1812.（多选题，5分）已知a，b⃗，c是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）A.| a• b⃗|≤| a || b⃗ |B.若a• b⃗ = c• b⃗且b⃗≠0，则a = cC.两个非零向量a，b⃗，若| a - b⃗ |=| a |+| b⃗ |，则a与b⃗共线且反向D.已知a =（1，2），b⃗ =（1，1），且a与a+λ b⃗的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（- 53，+∞）13.（填空题，4分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶D在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=___ m．14.（填空题，4分）某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为___ ．15.（填空题，4分）某人5次下班途中所花的时间（单位：分钟）分别为m，n，5，6，4．已知这组数据的平均数为5，方差为2，则|m-n|的值为___ ．16.（填空题，4分）已知三棱锥S-ABC的四个顶点在以O为球心的同一球面上，且∠ACB=90°，SA=SB=SC=AB，当球的面积为400π时，O到平面ABC的距离是___ ．17.（问答题，12分）在平面直角坐标系中，已知a=(1，−2)，b⃗=(3，4)．（Ⅰ）若(3a−b⃗)∥(a+kb⃗)，求实数k的值；（Ⅱ）若(a−tb⃗)⊥b⃗，求实数t的值．18.（问答题，12分）某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示．（1）估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数；（2）估计这100名学生参加实践活动时间的上四分位数．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA- √3 sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．20.（问答题，12分）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB 所对弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB与CD所成角的正切值．21.（问答题，12分）某校为了解学生寒假期间的学习情况，从初中及高中各班共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计．请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：年级人数初一 4初二 4初三 6高一12高二 6高三18合计50（Ⅱ）经调查，每天平均学习时间不少于6小时的学生均来自高中．现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于6小时的学生中随机抽取6名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6名学生中随机选取2人进行访谈，求这2名学生来自不同年级的概率．22.（问答题，14分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．（1）求证：EF || 平面BDD1B1；的值；若（2）在棱CD上是否存在一点G，使得平面GEF || 平面BDD1B1？若存在，求出CGGD不存在，请说明理由．2019-2020学年山东省枣庄八中东校区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若复数z= 1−ii，则复数z的虚部为（）A.1B.-1C.-iD.i【正确答案】：B【解析】：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】：解：复数z= 1−ii = −i(1−i)−i•i=-i-1，则复数z的虚部为-1．故选：B．【点评】：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A.80B.96C.108D.110【正确答案】：C【解析】：求出高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400，即可得出该样本中的高二学生人数．【解答】：解：设高二x人，则x+x-50+500=1350，x=450，所以，高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400因为 120500 = 625 ，所以，高二学生抽取人数为： 450×625 =108， 故选：C ．【点评】：本题主要考查分层抽样的应用，根据比例关系是解决本题的关键． 3.（单选题，5分）设复数z 满足（1+i ）z=2i ，则|z|=（ ） A. 12 B. √22 C. √2 D.2【正确答案】：C【解析】：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】：解：∵（1+i ）z=2i ，∴（1-i ）（1+i ）z=2i （1-i ），z=i+1． 则|z|= √2 ． 故选：C ．【点评】：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.（单选题，5分）点P 是△ABC 所在平面上一点，若 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABP 与△ACP 的面积之比是（ ） A.3 B.2 C. 13D. 12【正确答案】：D【解析】：过P 作PE || AC ，PF || AB ，由 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据题意，△ABP 与△ACP 的面积之比为BP ：PC=1：2，得出结论．【解答】：解：点P 是△ABC 所在平面上一点，过P 作PE || AC ，PF || AB ， 由 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，故AE：EB=2：1=PC：PB，所以△ABP与△ACP的面积之比为BP：PC=1：2，故选：D．【点评】：考查平面向量的基本定理，共线向量的性质，面积之比与边的比的关系，基础题．5.（单选题，5分）箱中装有标号为1，2，3，4，5且大小相同的5个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有2人参与摸奖，恰好有1人获奖的概率是（）A. 25B. 425C. 625D. 1225【正确答案】：D【解析】：如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，求出获奖的概率为：4C52 = 25，现有2人参与摸奖，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出恰好有1人获奖的概率．【解答】：解：箱中装有标号为1，2，3，4，5且大小相同的5个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，获奖的概率为：4C52 = 25，现有2人参与摸奖，恰好有1人获奖的概率是：p= 25×(1−25)+(1−25)×25= 1225．故选：D．【点评】：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.（单选题，5分）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）A.（1）（2）B.（1）（3）C.（1）（4）D.（1）（5）【正确答案】：D 【解析】：该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1），不过上、下底的中心时截面图形为（5）．【解答】：解：当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1）；当不过上、下底的中心时，截面图形为（5）．所以只有（1）、（5）正确．故选：D ．【点评】：本题考查了圆柱体的截面图形应用问题，是基础题．7.（单选题，5分）在△ABC 中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，其面积S∈[ √32，3√32]，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的取值范围为（ ）A.[ π6 ， π4 ]B.[ π4 ， π3 ]C.[ π6 ， π3 ]D.[ 2π3 ， 3π4 ]【正确答案】：C【解析】：可设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为θ，则据题意得出θ为锐角，且 |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3cosθ，从而根据△ABC 的面积 s ∈[√32，3√32] 可得出 √33≤tanθ≤√3 ，这样根据正切函数在 (0，π2) 的单调性即可求出θ的范围．【解答】：解：∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3 ； ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则： |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | cosθ=3； ∴ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3cosθ； 又 s ∈[√32，3√32] ； ∴ √32≤12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinθ≤3√32 ； ∴ √32≤32tanθ≤3√32 ； ∴ √33≤tanθ≤√3 ； ∴ π6≤θ≤π3 ；∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的取值范围为 [π6，π3] ． 故选：C ．【点评】：考查向量数量积的计算公式，三角形的面积公式，以及正切函数的单调性．8.（单选题，5分）已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形ABC ，D 为底边BC 的中点，以AD 为折痕，将三角形ABD 翻折，使BD⊥CD ，则经过A ，B ，C ，D 的球的表面积为（ ）A.10πB.12πC.16πD.20π【正确答案】：A【解析】：如图所示，由题意可得：DB ，DC ，DA 两两相互垂直．根据长方体的对角线与外接球的直径的关系即可得出．【解答】：解：如图所示，由题意可得：DB ，DC ，DA 两两相互垂直．AD 2=32-12=8．设经过A ，B ，C ，D 的球的半径为R ．则4R 2=12+12+8=10．∴球的表面积=10π．故选：A．【点评】：本题考查了等腰三角形的性质、长方体的性质、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为（）A.B.C.D.【正确答案】：AD【解析】：根据正方体的性质即可判断出结论．【解答】：解：对于AD．根据正方体的性质可得：l⊥MN，l⊥MP，可得l⊥平面MNP．而BC无法得出l⊥平面MNP．故选：AD．【点评】：本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.（多选题，5分）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的学生有60人，则下列说法正确的是（）A.样本中支出在[50，60）元的频率为0.03B.样本中支出不少于40元的人数有132C.n的值为200D.若该校有2000名学生，则定有600人支出在[50，60）元【正确答案】：BC【解析】：在A中，样本中支出在[50，60）元的频率为0.3；在B中，样本中支出不少于40元的人数有：0.0360.03×60+60 =132；在C中，n= 600.03=200；D．若该校有2000名学生，则可能有600人支出在[50，60）元．【解答】：解：由频率分布直方图得：在A中，样本中支出在[50，60）元的频率为：1-（0.01+0.024+0.036）×10=0.3，故A错误；在B中，样本中支出不少于40元的人数有：0.0360.03×60+60 =132，故B正确；在C中，n= 600.03=200，故n的值为200，故C正确；D．若该校有2000名学生，则可能有600人支出在[50，60）元，故D错误．故选：BC ．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．11.（多选题，5分）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）A.P （A ）=P （B ）=P （C ）B.P （BC ）=P （AC ）=P （AB ）C.P （ABC ）= 18D.P （A ）•P （B ）•P （C ）= 18【正确答案】：ABD【解析】：利用古典概型、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解．【解答】：解：甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”， 则P （A ）= C 21C 21+C 21C 214×4 = 12 ．P （B ）= 24 = 12 ，P （C ）= 24 = 12 ， ∴P （A ）=P （B ）=P （C ），故A 正确；P （BC ）=P （B ）P （C ）= 12×12 = 14 ，P （AC ）= C 21C 214×4 = 14 ，P （AB ）= C 21C 214×4 = 14 ，∴P （BC ）=P （AC ）=P （AB ），故B 正确；P （ABC ）= C 21C 214×4 = 14 ，故C 错误；P （A ）•P （B ）•P （C ）= 12×12×12 = 18 ，故D 正确．故选：ABD ．【点评】：本题考查概率的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.（多选题，5分）已知 a ， b ⃗ ， c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）A.| a • b ⃗ |≤| a || b⃗ |B.若 a • b ⃗ = c • b ⃗ 且 b ⃗ ≠0，则 a = cC.两个非零向量 a ， b ⃗ ，若| a - b ⃗ |=| a |+| b ⃗ |，则 a 与 b⃗ 共线且反向 D.已知 a =（1，2）， b ⃗ =（1，1），且 a 与 a +λ b⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（- 53 ，+∞）【正确答案】：AC【解析】：根据平面向量数量积的定义判断A 正确；平面向量数量积的消去律不成立，判断B 错误；利用平面向量的数量积与模长公式，判断C 正确；根据 a 与 a +λ b⃗ 的夹角为锐角时 {a •(a +λb ⃗ )＞0a 与a +λb ⃗ 不共线，列不等式求出λ的取值范围，判断D 错误．【解答】：解：对于A ，由平面向量数量积的定义知| a • b ⃗ |=| a |×| b ⃗ |×|cosθ|≤| a || b⃗ |，所以A 正确；对于B ，由 a • b ⃗ = c • b ⃗ 且 b ⃗ ≠0，不能得出 a = c ，所以B 错误；对于C ，两个非零向量 a ， b ⃗ ，若| a - b ⃗ |=| a |+| b⃗ |， 则 a 2 -2 a • b ⃗ + b ⃗ 2 = |a |2 +2| a |×| b ⃗ |+ |b ⃗ |2 ， 所以 a • b ⃗ =-| a |×| b ⃗ |，所以cosθ=-1，即 a 与 b⃗ 共线且反向，C 正确； 对于D ， a =（1，2）， b ⃗ =（1，1），则 a +λ b⃗ =（1+λ，2+λ）； 若 a 与 a +λ b⃗ 的夹角为锐角，则 {a •(a +λb ⃗ )＞0a 与a +λb⃗ 不共线 ，即 {(1+λ)+2(2+λ)＞02+λ≠2(1+λ) ，解得λ＞- 53 且λ≠0所以实数λ的取值范围是（- 53 ，0）∪（0，+∞），D 错误．故选：AC ．【点评】：本题考查了平面向量数量的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档题．13.（填空题，4分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶D 在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=___ m ．【正确答案】：[1]100 √6【解析】：利用正弦定理求出BC，再计算出CD即可．【解答】：解：由题意可得AB=600，∠BAC=30°，∠ABC=180°-75°=105°，∴∠ACB=45°，在△ABC中，由正弦定理可得：ABsin∠ACB =BCsin∠BAC，即√22 = BC12，∴BC=300 √2，在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴tan30°= DCBC = √33，∴DC=100 √6．故答案为：100 √6．【点评】：本题考查了正弦定理解三角形，属于中档题．14.（填空题，4分）某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为___ ．【正确答案】：[1] 718【解析】：利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式直接求解．【解答】：解：某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为：p=（1- 13）× 12×23+ 13×(1−12)×23+ 13×12×(1−23) = 718．故答案为：718．【点评】：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.（填空题，4分）某人5次下班途中所花的时间（单位：分钟）分别为m，n，5，6，4．已知这组数据的平均数为5，方差为2，则|m-n|的值为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用平均数、方差的概念列出关于m，n的方程组，解这个方程组，利用整体思想，只要求出|m-n|即可，故可设m=5+t，n=5-t，求解即可．【解答】：解：由题意可得：m+n+5+6+4=25，m+n=10，根据方差公式得（m-5）2+（n-5）2=8，设m=5+t，n=5-t，则2t2=8，解得t=±2，∴|m-n|=2|t|=4，故答案为：4．【点评】：本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．16.（填空题，4分）已知三棱锥S-ABC的四个顶点在以O为球心的同一球面上，且∠ACB=90°，SA=SB=SC=AB，当球的面积为400π时，O到平面ABC的距离是___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：根据题意可得：球的半径R=10，并且三棱锥顶点S在底面ABC内的射影D是△ABC的外心，由∠ACB=90°，可得D是AB的中点，所以点O到ABC的距离h=OD．再利用三角形的有关性质求出答案即可．【解答】：解：设球半径为R，因为球的表面积为400π，所以球的半径R=10．因为SA=SB=SC，所以三棱锥顶点S在底面ABC内的射影D是△ABC的外心，又因为∠ACB=90°，所以D是AB的中点，所以点O到ABC的距离h=OD．因为SA=SB=AB，所以可得△SAB是等边三角形，所以点O是三角形△SAB的外心，即三角形的中心．又因为其外接圆的半径为10，所以OD=5．故答案为：5．【点评】：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，解决此类问题的一般方法是根据球心距d，球半径R，截面圆半径r，构造直角三角形，满足勾股定理，是与球相关的距离问题常用方法．属于中档题．17.（问答题，12分）在平面直角坐标系中，已知a=(1，−2)，b⃗=(3，4)．（Ⅰ）若(3a−b⃗)∥(a+kb⃗)，求实数k的值；（Ⅱ）若(a−tb⃗)⊥b⃗，求实数t的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）可以求出3a−b⃗=(0，−10)，a+kb⃗=(3k+1，4k−2)，根据(3a−b⃗)∥(a+kb⃗)即可得出3k+1=0，解出k即可；（Ⅱ）可以求出a−tb⃗=(1−3t，−2−4t)，根据(a−tb⃗)⊥b⃗即可得出(a−tb⃗)•b⃗=0，进行向量坐标的数量积的运算即可求出t的值．【解答】：解：（Ⅰ）3a−b⃗=(0，−10)，a+kb⃗=(3k+1，4k−2)，∵ (3a−b⃗)∥(a+kb⃗)，∴3k+1=0，解得k=−1；3（Ⅱ）a−tb⃗=(1−3t，−2−4t)，∵ (a−tb⃗)⊥b⃗，．∴ (a−tb⃗)•b⃗=3(1−3t)−4(2+4t)=0，解得t=−15【点评】：本题考查了向量坐标的加法、减法、数量积和数乘运算，向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．18.（问答题，12分）某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示．（1）估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数；（2）估计这100名学生参加实践活动时间的上四分位数．【正确答案】：【解析】：（1）由众数、中位数和平均数得定义结合直方图先求出a=0.14，再直接各自求出．（2）设参加实践活动时间的上四分位数为m，解方程0.04×2+0.12×（m-4）=0.25，可得所求值．【解答】：解：（1）因为（0.04+0.12+0.15+a+0.05）×2=1，所以a=0.14，则众数是7．设中位数是x，则（0.04+0.12）×2+（x-6）×0.15=0.5，即x=7.2，则中位数是7.2．平均数x =3×0.08+5×0.24+7×0.3+9×0.28+11×0.1=7.16．（2）设参加实践活动时间的上四分位数为m，则0.04×2+0.12×（m-4）=0.25，则m=5.41．故这100名学生参加实践活动时间的上四分位数大约是5.41．【点评】：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了众数、中位数和平均数，上四分位数的应用问题，是基础题．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA- √3 sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）方法一：由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围．方法二：由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，然后利用基本不等式求出b的取值范围即可．【解答】：解：（1）由已知得：-cos（A+B）+cosAcosB- √3 sinAcosB=0，即sinAsinB- √3 sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴sinB- √3 cosB=0，即tanB= √3，又B为三角形的内角，则B= π3；（2）方法一：∵a+c=1，即c=1-a，cosB= 12，∴由余弦定理，得b2=a2+c2-2ac•cosB，即b2=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=1-3a（1-a）=3（a- 12）2+ 14，∵0＜a＜1，∴ 14≤b2＜1，则12≤b＜1．∴b的取值范围为[ 12，1）．方法二：∵a+c=1，即c=1-a，cosB= 12，∴由余弦定理，得b2=a2+c2-2ac•cosB，即b2=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=1-3ac≥1−3(a+c2)2=1−34=14，∴b≥ 12，又b＜a+c=1，∴ 12≤b＜1，∴b的取值范围为[ 12，1）．【点评】：此题考查了余弦定理，二次函数的性质，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20.（问答题，12分）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB 所对弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB与CD所成角的正切值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意结合图形求得圆锥的侧面积和体积；（2）取PO的中点E，连接DE、CE，得出∠CDE或其补角即为所求．【解答】：解：（1）由题意，得OB=2，PB=4，∴ PO=√PB2−OB2=2√3，∴圆锥的侧面积为S=πrl=8π；体积为V=13πr2ℎ=13⋅π⋅22⋅2√3=8√33π；（2）取PO的中点E，连接DE，CE，则∠CDE或其补角即为所求，如图所示；由CO⊥平面PAB得CO⊥DE，由PD=DO=2得DE⊥PO，易得DE⊥平面EOC，∴DE⊥EC，∴ DE=12OA=1，CE=√OC2+OE2 = √22+(√3)2=√7，=√7，计算tan∠CDE=√71即异面直线AB与CD所成角的正切值为√7．【点评】：本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系和应用问题，也考查了表面积与体积的计算问题．21.（问答题，12分）某校为了解学生寒假期间的学习情况，从初中及高中各班共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计．请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：年级人数初一 4初二 4初三 6高一12高二 6高三18合计50（Ⅱ）经调查，每天平均学习时间不少于6小时的学生均来自高中．现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于6小时的学生中随机抽取6名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6名学生中随机选取2人进行访谈，求这2名学生来自不同年级的概率．【正确答案】：【解析】：（I ）利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求得学习时间为6～8小时的频率，再根据频数=频率×样本容量求解；（II ）求得分层抽样的抽取比例，再根据高中三个年级的人数分别乘以抽取比例可得三个年级的抽取人数；（III ）利用列举法写出从6名学生中选取2人所有可能的情形，从中找出2名学生来自不同年级的情形，利用个数比求概率．【解答】：解：（Ⅰ）由直方图知，学习时间为6～8小时的频率为1-（0.02+2×0.12+0.06）×2=0.36，∴学习时间为～小时的人数为50×0.36=18；（Ⅱ）由直方图可得，学习时间不少于 6小时的学生有18+12+6=36 人． ∵从中抽取6名学生的抽取比例为 636= 16，高中三个年级的人数分别为12、6、18， ∴从高中三个年级依次抽取2名学生，1名学生，3名学生；（Ⅲ）设高一的2 名学生为A 1，A 2高二的 1名学生为B ，高三的 3名学生为C 1，C 2，C 3． 则从6名学生中选取2人所有可能的情形有（ A 1，A 2），（A 1，B ），（A 1，C 1），（ A 1，C 2），（ A 1，C 3），（A 2，B ），（ A 2，C 1），（ A 2，C 2），（A 2，C 3），（B ，C 1），（C 1，C 2），（C 1，C 3），（C 2，C 3），（B ，C 2），（B ，C 3），共15种可能． 其中2名学生来自不同年级的有（ A 1，B ），（A 1，C 1），（ A 1，C 2），（A 1，C 3），（ A 2，B ），（ A 2，C 1），（A 2，C 2），（A 2，C 3），（ B ，C 1），（B ，C2），（ B ，C 3），共11种情形， 故所求概率为P= 1115 ．【点评】：本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，是概率统计的典型题，根据频率分布直方图中频率=频数样本容量 =小矩形的高×组距来获得数据，是解答此类问题的基本方法．22.（问答题，14分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．（1）求证：EF || 平面BDD1B1；的值；若（2）在棱CD上是否存在一点G，使得平面GEF || 平面BDD1B1？若存在，求出CGGD不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）连结BM，推导出EF || BM，由此能证明EF || 平面BDD1B1．（2）推导出EG || BD，由E是BC中点，得G是DC中点，从而棱CD上存在一点G，使得平=1．面GEF || 平面BDD1B1，且CGGD【解答】：证明：（1）连结BM，∵BE=EC，CF=FM，∴EF || BM，又EF⊄平面BDD1B1，BM⊂平面BDD1B1，∴EF || 平面BDD1B1．解：（2）棱CD上存在一点G，使得平面GEF || 平面BDD1B1．理由如下：∵平面GEF∩平面ABCD=EG，平面BDD1B1∩平面ABCD=BD，∴EG || BD，又∵E是BC中点，∴G是DC中点，=1．∴棱CD上存在一点G，使得平面GEF || 平面BDD1B1，且CGGD【点评】：本题考查线面平行证明，考查满足面面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．。
2019-2020学年上海市华师大二附中高一下学期数学期中考试试卷 带详解
【解析】
【分析】
通过换元，令 则 ，将函数零点转化为函数 的图象与直线 有三个交点，利用数形结合求得 的范围.
【详解】函数 ， ，令 则 ，函数 恰有三个零点，可转化为函数 的图象与直线 有三个交点，如图： 根据三角函数图象的性质可得 ， ，所以 ， 即 ，由 ，可得 ，所以 的取值范围是 .
④ 图像关于 中心对称;
⑤ 的最小正周期为 .
【答案】②③⑤
【解析】
分析：①根据 可判断；②由 、 可判断；③ 时， ，进而可得结论；④ 是奇函数图象关于 对称，结合周期性可判断；⑤由
，利用周期公式可得结论.
详解：① ,
,
, 不是 对称轴，①错误；
② ， ，
， 是 的最小正周期，②正确；
③ 时， ，
（1）求 值；
（2）将函数 的图像向左平移 个单位，再将所得函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，若函数 在区间 上存在零点，求实数k的取值范围.
18.已知 满足 ，若其图像向左平移 个单位后得到 函数为奇函数．
（1）求 的解析式；
（2）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且满足 ，求 的取值范围．
【详解】 的递减区间是 ，又 ， ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：B．【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题.
14.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（）
（3）将函数 的图象向右平移 个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍后所得到的图象对应的函数记作 ，已知常数 ， ，且函数 在 内恰有 个零点，求常数 与 的值．
山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期中考试物理(等级考)试题 Word版含解析
D．人造地球卫星绕地球圆周运动，万有引力提供其向心力,故D正确。
故选D。
3。如图所示，质量分布均匀、长度均为L A、B棒的质量分别为m、 ，将它们叠放后置于水平地面上如图甲所示，若将它们的叠放顺序改为如图乙所示,则A、B棒整体的重力势能（ ）
对B有
对A有
故圆盘的转动最大角速度为
故ABD错误，C正确。
故选C。
8。汽车过拱形桥时对地面的压力过小是不安全的，要保障汽车安全过桥，下列说法正确是( ）
A。 对于同一拱形桥，汽车过桥时的速度过小是不安全的
B。 对于同一拱形桥,汽车过桥时的速度过大是不安全的
C。 对于同样的车速，拱形桥的半径大些比较安全
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】据题意可知
,
当 较小时，A、B均由静摩擦力充当向心力， 增大，设物块质量为 ，可得
所以B受到的静摩擦力先达到最大，此后角速度继续增大，要保证B不滑动，轻绳产生弹力并增大，A受到的摩擦力继续增大，直到A受到的静摩擦力也达到最大,此时角速度最大，轻绳的弹力T也最大.
C. 宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用
D。 人造卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供
【答案】D
【解析】
【详解】A．物体的重力是由于地球对物体的吸引引起的，也就是由于地球对物体的万有引力引起的,故A错误;
B．在赤道地面上的物体随地球自转所需的向心力是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供的,故B错误；
A. 增加了 B。 增加了
2019-2020学年山东省潍坊市高一(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1U =-，0，1，2}，{1A =-，1}，则集合(U A =ð ) A ．{0，2}B ．{1-，0}C ．{0，1}D ．{1，2}2．命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x +…”的否定是( )A ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+…B ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+<C ．(0,)x ∀∈+∞，13x x +< D ．(0,)x ∀∈+∞，13x x+…3．设x R ∈，则“|3|1x -<”是“2x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，设(3)a f =-，()b f π=，(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<5．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h （单位：)m 与时间t （单位：)s 之间的关系为2() 4.914.717h t t t =-++，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．32米6．对x R ∀∈，不等式221(4)(2)02m x m x m -+-+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[2，6){2}-C ．(,2)[2-∞-，6)D ．[2，6)7．读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( )A ．120B ．130C ．150D ．1808．已知a ，b 为正实数，则下列判断中正确的个数是( )①若11a b <>；②若1a b +=，则14a b+的最小值是10； ③11()()4a b a b ++…；④函数11y a a =++的最小值为1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．定义在R 上的奇函数()f x 在[0，)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(1)1f x --剟的x 的取值范围是( ) A ．[2-，2]B ．[2-，1]C ．[1-，3]D ．[0，2]10．关于x 的方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(3,1)--B ．(11)(3,17)-+C ．(2-，1)(2-⋃，3)D ．(2,6)11．已知函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，31()2x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图象交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，8(x ，8)y ，则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为( )A ．20B ．24C ．36D ．40二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12．函数1()1f x x =+-的定义域为 ． 13．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x …时，()(1)f x x x =-，则(2)f -= ． 14．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为 ．15．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)A a b ，若函数()y f x =满足：[1x a ∀∈-，1]a +，都有[1y b ∈-，1]b +，则称这个函数是点A 的“界函数”．已知点(,)B m n 在函数212y x =-的图象上，若函数212y x =-是点B 的“界函数”，则m 的取值范围是 ．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知集合{|26}A x x =-剟，{|35}B x x =-剟． （1）求AB ，AB ；（2）若{|121}C x m x m =+-剟，()C A B ⊆，求实数m 的取值范围．17．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x -…的解集为(,1)[0-∞-，)+∞．（1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．18．已知函数223,(02)()43,(2)x x f x x x x -+<⎧=⎨-+⎩……，()(||)F x f x =．（1）判断()F x 的奇偶性，在给定的平面直角坐标系中，画出函数()F x 的大致图象；并写出该函数的单调区间；（2）若函数()()H x F x t =-有两个零点，求t 的取值范围．19．已知函数2()(1)()f x x a x a a R =+--∈． （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若[1a ∀∈-，1]，()0f x …恒成立，求实数x 的取值范围．20．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，来自151个国家和地区的3617家企业参展，规模和品质均超过首届．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”，专（业)精（品)尖（端)特（色)产品精华荟萃．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2020年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金()R x 万元，且2210,040()901945010000,40x ax x R x x x x x ⎧+<<⎪=⎨-+⎪⎩…．经测算生产10千台空调需另投入的资金为4000万元．由调研知，每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2020年的企业年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2020年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少？ 注：利润=销售额-成本21．已知二次函数()y f x =满足：①x R ∀∈，有(1)(1)f x f x --=-+；②(0)3f =-；③()y f x =的图象与x 轴两交点间距离为4．（1）求()y f x =的解析式；（2）记()()5g x f x kx =++，[1x ∈-，2]． （Ⅰ）若()g x 为单调函数，求k 的取值范围；（Ⅱ）记()g x 的最小值为()h k ，讨论2(4)h t λ-=的零点个数．2019-2020学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1U =-，0，1，2}，{1A =-，1}，则集合(U A =ð ) A ．{0，2}B ．{1-，0}C ．{0，1}D ．{1，2}【解答】解：因为全集{1U =-，0，1，2}，{1A =-，1}， 所以：{0U A =ð，2}， 故选：A ．2．命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x +…”的否定是( )A ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+…B ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+<C ．(0,)x ∀∈+∞，13x x +< D ．(0,)x ∀∈+∞，13x x+…【解答】解：命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x+…”的否定是：否定限定量词和结论，故为：(0,)x ∀∈+∞，13x x+<， 故选：C ．3．设x R ∈，则“|3|1x -<”是“2x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由|3|1x -<，131x ∴-<-<，解得24x <<． 则由“24x <<” ⇒ “2x >”， 由“2x >”推不出“24x <<”，则“|3|1x -<”是“2x >”的充分不必要条件； 故选：A ．4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，设(3)a f =-，()b f π=，(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【解答】解：()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，()f x ∴在(,0)-∞上单调递减，距对称轴越远，函数值越大， (1)(3)()f f f π-<-<，则c a b <<， 故选：D ．5．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h （单位：)m 与时间t （单位：)s 之间的关系为2() 4.914.717h t t t =-++，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．32米【解答】解：2() 4.914.717h t t t =-++， ∴烟花冲出后在爆裂的最佳时刻为14.71.52( 4.9)t =-=⨯-，此时2(1.5) 4.9 1.514.7 1.51728h =-⨯+⨯+≈， 故选：B ．6．对x R ∀∈，不等式221(4)(2)02m x m x m -+-+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[2，6){2}-C ．(,2)[2-∞-，6)D ．[2，6)【解答】解：对x R ∀∈，不等式221(4)(2)02m x m x m -+-+>+恒成立， ①当240m -=且20m +≠，即2m =时，104>对x R ∈恒成立， 2m ∴=满足题意；②当2m ≠且2m ≠-时，则有2240(2)4(2)0m m m ⎧->⎨=---<⎩，解得26m <<． 综合①②，可得26m <…，故实数m 的取值范围为[2，6)， 故选：D ．7．读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( )A ．120B ．130C ．150D ．180【解答】解：本题的大意为：《毛诗》、《春秋》和《周易》共94本，3个人读《毛诗》一册，4个人读《春秋一册》，5个人读《周易》一册，问由多少个学生？ 11194()345÷++479460=÷120=（人)故选：A ．8．已知a ，b 为正实数，则下列判断中正确的个数是( )①若11a b <>；②若1a b +=，则14a b+的最小值是10； ③11()()4a b a b ++…；④函数11y a a =++的最小值为1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解答】解：已知a ，b 为正实数，①11a b a b<⇒>⇒>①正确； ②1414414()()14529b b a a b a b a b a a a b+=++=++++=…，所以②不正确； ③1122a a a a +=…，同理12b b +…，11()()4a b a b∴++…，所以③正确；④11111)11111y a a a a a =+=++--=+++…，当且仅当111a a +=+，即0a =时取等号，而0a >，所以1y >，不能取等号，所以 ④不正确． 故选：B ．9．定义在R 上的奇函数()f x 在[0，)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(1)1f x --剟的x 的取值范围是( ) A ．[2-，2]B ．[2-，1]C ．[1-，3]D ．[0，2]【解答】解：由奇函数()f x 在[0，)+∞是减函数，可知()f x 在(,0)-∞是减函数，从而可得，()f x 在R 上单调递减， 由(2)1f -=，可知f （2）1=-， f （2）1(1)1(2)f x f =--=-剟，212x ∴--剟，解可得，13x -剟，即解集为[1-，3] 故选：C ．10．关于x 的方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3,1)--B．(11)(3,17)-+C ．(2-，1)(2-⋃，3)D ．(2,6)【解答】解：设函数22()5(9)2f x x a x a a =-++--，方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内， ∴函数22()5(9)2f x x a x a a =-++--的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，∴(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即2222026030a a a a a a ⎧-->⎪--<⎨⎪->⎩，解得：11a -<<-或31x <<+， 故选：B ．11．已知函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，31()2x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图象交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，8(x ，8)y ，则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为( )A ．20B ．24C ．36D ．40【解答】解：函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=的对称中心为(2,3)， 函数315()322x g x x x -==+--也关于(2,3)中心对称， 则若交点为1(x ，1)y 时，1(4x -，16)y -也为交点，若交点为2(x ，2)y 时，2(4x -，26)y -也为交点，⋯，所以128128112288()()()x x x y y y x y x y x y ++⋯++++⋯+=++++⋯++1111222288881[()(46)()(46)()(46)]402x y x y x y x y x y x y =++-+-+++-+-+⋯+++-+-=．故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12．函数1()1f x x =+-的定义域为 [2-，1)(1⋃，)+∞ ． 【解答】解：由题意得： 2010x x +⎧⎨-≠⎩…， 解得：2x -…且1x ≠，故函数的定义域是[2-，1)(1⋃，)+∞， 故答案为：[2-，1)(1⋃，)+∞．13．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x …时，()(1)f x x x =-，则(2)f -= 2 ． 【解答】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，2()f x x x =-， 所以(2)f f -=-（2）(24)2=--=， 故答案为：2．14．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为 {|6x x <或1}2x > ． 【解答】解：不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<， 所以方程20ax bx c ++=的解为2和6，且0a <； 由根与系数的关系得， 26260b a c a a ⎧+=-⎪⎪⎪⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩， 解得8b a =-，12c a =，且0a <；所以不等式20cx bx a ++<化为212810x x -+>， 解得16x <或12x >，所以所求不等式的解集为1{|6x x <或1}2x >． 故选：1{|6x x <或1}2x >． 15．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)A a b ，若函数()y f x =满足：[1x a ∀∈-，1]a +，都有[1y b ∈-，1]b +，则称这个函数是点A 的“界函数”．已知点(,)B m n 在函数212y x =-的图象上，若函数212y x =-是点B 的“界函数”，则m 的取值范围是 11[,]22- ．【解答】解：(,)B m n 在函数212y x =-的图象上，∴212n m =-，[1x m ∴∀∈-，1]m +，都有2211[1,1]22y m m ∈---+，①10m +…，即1m -…时，212y x =-在[1m -，1]m +上单调递增，∴2211[(1),(1)]22y m m ∈---+，∴22221111[(1),(1)][1,1]2222m m m m ---+⊆---+，∴222211(1)12211(1)122m m m m ⎧----⎪⎪⎨⎪-+-+⎪⎩……，解得12m -…，又1m -…，∴这种情况不合题意； ②1010m m +>⎧⎨-<⎩，即11m -<<时，由[1x m ∈-，1]m +可得21[(1),0]2y m ∈--或21[(1),0]2y m ∈-+，∴222111[(1),0][1,1]222m m m --⊆---+且222111[(1),0][1,1]222m m m -+⊆---+，∴2222211(1)12211(1)1221102m m m m m ⎧----⎪⎪⎪-+--⎨⎪⎪-+⎪⎩………，解得1122m-剟， ③10m -…，即1m …时，212y x =-在[1m -，1]m +上单调递减，∴2211[(1),(1)]22y m m ∈-+--，∴22221111[(1),(1)][1,1]2222m m m m -+--⊆---+，∴222211(1)12211(1)122m m m m ⎧-+--⎪⎪⎨⎪---+⎪⎩……，解得12m …，又1m …，∴这种情况不合题意，综上得，m 的取值范围是11[,]22-．故答案为：11[,]22-．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知集合{|26}A x x =-剟，{|35}B x x =-剟． （1）求AB ，AB ；（2）若{|121}C x m x m =+-剟，()C A B ⊆，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得{|25}AB x x =-剟，{|36}AB x x =-剟．（2）①若C =∅，则121m m +>-，2m ∴<； ②若C ≠∅，则12112215m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，解得23m 剟， 综上可得3m …． 17．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x -…的解集为(,1)[0-∞-，)+∞．（1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0，)+∞上是增函数． 【解答】解：（1）由题意211x ax --+…， 变形2311011x a x a x x --++=++…， 这等价于(31)(1)0x a x -++…且10x +≠， 解得1x <-或13a x -…，所以103a -=，解得1a =． （2）由（1）得21()1x f x x -=+， 任取1x ，2[0x ∈，)+∞，且12x x <，则210x x ->， 那么212121*********()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， 210x x ->，12(1)(1)0x x ++>， 21()()0f x f x ∴->，∴函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．18．已知函数223,(02)()43,(2)x x f x x x x -+<⎧=⎨-+⎩……，()(||)F x f x =．（1）判断()F x 的奇偶性，在给定的平面直角坐标系中，画出函数()F x 的大致图象；并写出该函数的单调区间；（2）若函数()()H x F x t =-有两个零点，求t 的取值范围．【解答】解：（1）由题意知()F x 定义域为R ，关于原点对称， 又()(||)(||)()F x f x f x F x -=-==， ()F x ∴在R 上是偶函数．函数()F x 的大致图象如下图：观察图象可得：函数()F x 的单调递增区间为：(2,0)-，(2,)+∞，单调递减区间为：(,2)-∞-，(0,2)．（2）当()()H x F x t =-有两个零点时， 即()F x 的图象与直线y t =图象有两个交点， 观察函数图象可得3t >或1t =-．19．已知函数2()(1)()f x x a x a a R =+--∈． （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若[1a ∀∈-，1]，()0f x …恒成立，求实数x 的取值范围． 【解答】解：（1）不等式2(1)0x a x a +--<等价于()(1)0x a x -+<，当1a <-时，不等式的解集为(,1)a -； 当1a =-时，不等式的解集为∅； 当1a >-时，不等式的解集为(1,)a -． （2）22(1)(1)x a x a a x x x +--=-+++， 设g （a ）2(1)a x x x =-+++，[1a ∈-，1]，要使g （a ）0…在[1a ∈-，1]上恒成立， 只需(1)0(1)0g g -⎧⎨⎩……，即22210,10,x x x ⎧++⎨-⎩……解得1x …或1x -…， 所以x 的取值范围为{|1x x -…或1}x …．20．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，来自151个国家和地区的3617家企业参展，规模和品质均超过首届．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”，专（业)精（品)尖（端)特（色)产品精华荟萃．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2020年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金()R x 万元，且2210,040()901945010000,40x ax x R x x x x x ⎧+<<⎪=⎨-+⎪⎩…．经测算生产10千台空调需另投入的资金为4000万元．由调研知，每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2020年的企业年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2020年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少？ 注：利润=销售额-成本【解答】解：（1）由题意2(10)1010104000R a =⨯+=，所以300a =， 当040x <<时，22()900(10300)26010600260W x x x x x x =-+-=-+-；当40x …时，22901945010000919010000()900260x x x x W x x x x-+-+-=--=，所以2210600260,040()919010000,40x x x W x x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+-⎪⎩…．（2）当040x <<，2()10(30)8740W x x =--+ 当30x =时，()8740max W x =⋯当40x …，29190100001000010000()9190()9190x x W x x x x x x -+-==--+=-++， 因为0x >，所以10000200x x +=…，当且仅当10000x x=时，即100x =时等号成立， 此时()20091908990W x -+=…， 所以()8990max W x =万元， 因为87408990<，所以2020年产量为100（千台）时，企业所获利润最大，最大利润是8990万元． 21．已知二次函数()y f x =满足：①x R ∀∈，有(1)(1)f x f x --=-+；②(0)3f =-；③()y f x =的图象与x 轴两交点间距离为4．（1）求()y f x =的解析式；（2）记()()5g x f x kx =++，[1x ∈-，2]． （Ⅰ）若()g x 为单调函数，求k 的取值范围；（Ⅱ）记()g x 的最小值为()h k ，讨论2(4)h t λ-=的零点个数． 【解答】解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由题意知对称轴12bx a=-=-①；(0)3f c ==-②； 设()0f x =的两个根为1x ，2x ，则12b x x a+=-，12c x x a=，12||4x x -===；③由①②③解得1a =，2b =，3c =-，2()23f x x x ∴=+-．（2）2()()(2)2I g x x k x =+++，其对称轴22k x +=-．由题意知：212k +--…或222k +-…， 0k ∴…或6k -…．()II ①当0k …时，对称轴212k x +=--…，()g x 在[1-，2]上单调递增，()(1)1h k g k =-=-+， ②当60k -<<时，对称轴2(1,2)2k x +=-∈-，2244()()24k k k h k g +--+=-=， ③当6k -…时，对称轴222k x +=-…，()g x 在[1-，2]单调递减，()h k g =（2）210k =+，∴21,0,44(),604210,6k k k k h k k k k -+⎧⎪--+⎪=-<<⎨⎪+-⎪⎩……， 令244m t =--…，即()(4)h m m λ=-…，画出()h m 简图，)i 当1λ=时，()1h m =，4m =-或0，244t ∴-=-时，解得0t =，240t -=时，解得2t =±，有3个零点．)ii 当1λ<时，()h m λ=有唯一解10m >，2140t m -=>，t =有2个零点． )iii 当12λ<<时，()h m λ=有两个不同的零点2m ，3m ，且2m ，3(4m ∈-，2)(2--⋃，0)，240m +>，340m +>，224t m ∴-=时，解得t =，234t m -=时，解得t =有4个不同的零点．)iv 当2λ=时，()2h m =，224m t =-=-，∴t =2个零点．)v 当2λ>时，()h m λ=无解．综上所得：2λ>时无零点；12λ<<时，有4个零点；1λ=时，有3个零点；2λ=或1λ<时，有2个零点．。
2019-2020学年湖北省武汉六中高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年湖北省武汉六中高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（2，6），b⃗⃗ =（-1，λ），若a⃗∥b⃗⃗，则λ=（）A.3B.-3C. 13D.- 132.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（x-1，2），b⃗⃗ =（2，1），则a⃗⊥ b⃗⃗的充要条件是（）A.x=- 12B.x=-1C.x=5D.x=03.（单选题，5分）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+2n（n∈N*），则a100的值是（）A.9900B.9902C.9904D.11000，则这个数列的第n项a n为（）4.（单选题，5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1= a n1+2a nA.2n-1B.2n+1C. 12n−1D. 12n+15.（单选题，5分）已知| a⃗ |=1，| b⃗⃗ |= √2，且a⃗⊥（a⃗ - b⃗⃗），则向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量为（）A.1B. √2C. 12D. √226.（单选题，5分）数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n-1）…的前n项和为（）A.2n-1B.n•2n-nC.2n+1-nD.2n+1-2-n7.（单选题，5分）数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A. 13B. 512C. 12D. 7128.（单选题，5分）若在△ABC中，2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形9.（单选题，5分）三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2+c2，则角A的取值范围是（）A.（π2，π）B.（π4，π2）C.（π3，π2）D.（0，π2）10.（单选题，5分）在△ABC中，若acos2C2 +ccos2A2= 32b，那么a，b，c的关系是（）A.a+b=cB.a+c=2bC.b+c=2aD.a=b=c11.（单选题，5分）△ABC中，A：B=1：2，C的平分线CD把三角形面积分成3：2两部分，则cosA=（）A. 13B. 12C. 34D.012.（单选题，5分）在钝角三角形ABC中，a=1，b=2，则边c的取值范围是（）A. √5＜c＜3B. √3＜c＜√5C.1＜c＜√3或√5＜c＜3D. √3＜c＜√5或√5＜c＜313.（填空题，5分）已知向量a⃗，b⃗⃗的夹角为60°，| a⃗ |=2，| b⃗⃗ |=1，则| a⃗ +2 b⃗⃗ |=___ ．14.（填空题，5分）已知a⃗，b⃗⃗为单位向量，且a⃗• b⃗⃗ =0，若c⃗ =2 a⃗ - √5b⃗⃗，则cos＜a⃗，c⃗＞=___ ．15.（填空题，5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a= √7，b=2，A=60°，则sinB=___ ，c=___ ．16.（填空题，5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=___ ，S5=___ ．17.（问答题，10分）已知| a⃗ |=4，| b⃗⃗ |=8，a⃗与b⃗⃗夹角是120°．（1）求a⃗•b⃗⃗的值及| a⃗+b⃗⃗ |的值；（2）当k为何值时，(a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)？18.（问答题，12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB= 35，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-21．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．19.（问答题，12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n•S n-1=0（n≥2），a1= 12．（1）求证：{ 1S n}是等差数列；（2）求a n的表达式．20.（问答题，12分）已知a⃗ =（cosx，2cosx），b⃗⃗ =（2cosx，sinx），f（x）= a⃗• b⃗⃗．（1）把f（x）的图象向右平移π6个单位得g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；（2）当a⃗≠0⃗⃗，a⃗与b⃗⃗共线时，求f（x）的值．21.（问答题，12分）在△ABC中，AC=6，cosB= 45，C= π4．（1）求AB的长；（2）求cos（A- π6）的值．22.（问答题，12分）（1）数列{a n}的前n项和为S n=10n-n2，求数列{|a n|}的前n项和．（2）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=-10．求数列{ a n2n−1}的前n项和．2019-2020学年湖北省武汉六中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（2，6），b⃗⃗ =（-1，λ），若a⃗∥b⃗⃗，则λ=（）A.3B.-3C. 13D.- 13【正确答案】：B【解析】：根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得2λ=-6，解可得λ的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，向量a⃗ =（2，6），b⃗⃗ =（-1，λ），若a⃗∥b⃗⃗，则有2λ=-6，解可得：λ=-3；故选：B．【点评】：本题考查向量平行的坐标表示方法，掌握向量的坐标计算2.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（x-1，2），b⃗⃗ =（2，1），则a⃗⊥ b⃗⃗的充要条件是（）A.x=- 12B.x=-1C.x=5D.x=0【正确答案】：D【解析】：直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出x的值即可．【解答】：解：因为向量a⃗ =（x-1，2），b⃗⃗ =（2，1），a⃗⊥ b⃗⃗，所以2（x-1）+2=0，解得x=0．故选：D．【点评】：本题考查向量垂直条件的应用，充要条件的应用，考查计算能力．3.（单选题，5分）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+2n（n∈N*），则a100的值是（）A.9900B.9902C.9904D.11000【正确答案】：B【解析】：由a n+1=a n+2n，可得a n+1-a n=2n，利用“累加求和”、等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】：解：∵a1=2，a n+1=a n+2n，∴a n+1-a n=2n，∴a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+…+（a2-a1）+a1=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+2= 2×n(n−1)2+2=n2-n+2．∴a100=1002-100+2=9902．故选：B．【点评】：本题考查了“累加求和”、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.（单选题，5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1= a n1+2a n，则这个数列的第n项a n为（）A.2n-1B.2n+1C. 12n−1D. 12n+1【正确答案】：C【解析】：取倒数，推出数列{ 1a n}是等差数列，然后求解数列的通项公式即可．【解答】：解：数列{a n}中，a1=1，a n+1= a n1+2a n，1 a n+1=1a n+2，可得数列{ 1a n}是等差数列，首项为1，公差为2，所以1a n=1+(n−1)×2=2n−1，所以a n= 12n−1，故选：C．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是中档题．5.（单选题，5分）已知| a⃗ |=1，| b⃗⃗ |= √2，且a⃗⊥（a⃗ - b⃗⃗），则向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量为（）A.1B. √2C. 12D. √22【正确答案】：D【解析】：利用向量的数量积以及向量的垂直关系，推出向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量即可．【解答】：解：由| a⃗ |=1，| b⃗⃗ |= √2，且a⃗⊥（a⃗ - b⃗⃗），得a⃗•（a⃗ - b⃗⃗）=0，a⃗• b⃗⃗ = a⃗• a⃗=1，所以向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量为|a⃗|cos〈a⃗，b⃗⃗〉=a⃗⃗b⃗⃗|b⃗⃗|=√2=√22，故选：D．【点评】：本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．6.（单选题，5分）数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n-1）…的前n项和为（）A.2n-1B.n•2n-nC.2n+1-nD.2n+1-2-n【正确答案】：D【解析】：由1+2+22+…+2n-1= 1×(1−2n)1−2=2n-1可知，数列的前n项和为：（21-1）+（22-1）+（23-1）+…+（2n-1）=21+22+23+…+2n-n= 2(1−2n)1−2−n =2n+1-2-n【解答】：解：∵1+2+22+…+2n-1=1×(1−2n )1−2=2n -1 ∴数列的前n 项和为：1+（1+2）+（1+2+22）+…+（1+2+22+…+2n-1） =（21-1）+（22-1）+（23-1）+…+（2n -1） =21+22+23+…+2n -n =2(1−2n )1−2−n =2n+1-2-n 故选：D ．【点评】：本题为数列的求和问题，求出数列的通项公式并应用到数列中是解决问题的关键，属中档题．7.（单选题，5分）数列{a n }、{b n }满足a n •b n =1，a n =n 2+3n+2，则{b n }的前10项之和等于（ ） A. 13 B. 512 C. 12 D. 712【正确答案】：B【解析】：先求出数列{b n }的通项公式，然后写出数列{b n }的前10项之和，利用裂项的方法求和即可．【解答】：解：∵a n •b n =1 ∴b n = 1n 2+3n+2 = 1(n+1)(n+2) ∴s10=12×3+13×4+ + 110×11+111×12 =（ 12 - 13 ）+ (13−14) + +(110−111) +(111−112) = 12- 112 = 512故选：B ．【点评】：本题考查了数列的求和对于通项公式为 1(n+1)(n+2) ，一般采取裂项的方法求前n 项和，属于基础题．8.（单选题，5分）若在△ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形【正确答案】：C【解析】：由题意和和差角公式易得sin（A-B）=0，进而可得A=B，可判△ABC为等腰三角形．【解答】：解：∵在△ABC中2cosBsinA=sinC，∴2cosBsinA=sinC=sin（A+B），∴2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB-cosAsinB=0，∴sin（A-B）=0，∴A-B=0，即A=B，∴△ABC为等腰三角形，故选：C．【点评】：本题考查三角形性质的判断，涉及和差角公式的应用，属基础题．9.（单选题，5分）三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2+c2，则角A的取值范围是（）A.（π2，π）B.（π4，π2）C.（π3，π2）D.（0，π2）【正确答案】：C【解析】：由条件推出A为锐角，从而判断△ABC的形状，通过a＞b＞c，推出A的范围．【解答】：解：△ABC中，由a＞b＞c，说明A最大，由a2＜b2+c2，故A为锐角，故△ABC的形状是锐角三角形，因为A最大，所以A＜π2，A∈（π3，π2）故选：C．【点评】：本题主要考查三角形的形状的方法，勾股定理（或余弦定理）的应用，属于中档题．10.（单选题，5分）在△ABC中，若acos2C2 +ccos2A2= 32b，那么a，b，c的关系是（）A.a+b=cB.a+c=2bC.b+c=2aD.a=b=c【正确答案】：B【解析】：已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用正弦定理化简，整理后把sin（A+C）=sinB代入，利用正弦定理化简即可得到结果．【解答】：解：把acos2C2 +ccos2A2= 32b，化简得：a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，由正弦定理得：sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=3sinB，整理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，∵sin（A+C）=sinB，∴sinA+sinC+sinB=3sinB，即sinA+sinC=2sinB，则由正弦定理化简得，a+c=2b．故选：B．【点评】：此题考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．11.（单选题，5分）△ABC中，A：B=1：2，C的平分线CD把三角形面积分成3：2两部分，则cosA=（）A. 13B. 12C. 34D.0【正确答案】：C【解析】：由A与B的度数之比，得到B=2A，且B大于A，可得出AC大于BC，利用角平分线定理根据角平分线CD将三角形分成的面积之比为3：2，得到BC与AC之比，再利用正弦定理得出sinA与sinB之比，将B=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，即可求出cosA的值．【解答】：解：∵A：B=1：2，即B=2A，∴B＞A，∵角平分线CD 把三角形面积分成3：2两部分， ∴由角平分线定理得：BC ：AC=BD ：AD=2：3， ∴由正弦定理 BCsinA = ACsinB 得： sinAsinB = 23 ， 整理得： sinAsin2A = sinA2sinAcosA = 23 ， 则cosA= 34 ． 故选：C ．【点评】：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，角平分线定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．12.（单选题，5分）在钝角三角形ABC 中，a=1，b=2，则边c 的取值范围是（ ） A. √5 ＜c ＜3 B. √3 ＜c ＜ √5C.1＜c ＜ √3 或 √5 ＜c ＜3D. √3 ＜c ＜ √5 或 √5 ＜c ＜3 【正确答案】：C【解析】：题中已知△ABC 是钝角三角形，没有指明哪个角是最大角，从而无法确定边之间的关系，从而可以分两种情况进行分析，从而确定第三边c 的变化范围．【解答】：解： ① ∵当∠C 是钝角时，有∠C ＞90°， ∴c ＞ √a 2+b 2 = √5 ， 又a+b ＞c ，可得c ＜1+2=3， ∴可得边c 的取值范围是（ √5 ，3）； ② 当∠B 是钝角时，有∠B ＞90°，∴b 2＞a 2+c 2，可得4＞1+c 2，解得c ＜ √3 ， 又c ＞b-a=1， ∴1＜c ＜ √3 ，综上，边c 的取值范围是1＜c ＜ √3 或 √5 ＜c ＜3．【点评】：考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可，属于基础题．13.（填空题，5分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 的夹角为60°，| a ⃗ |=2，| b ⃗⃗ |=1，则| a ⃗ +2 b ⃗⃗ |=___ ． 【正确答案】：[1]2 √3【解析】：根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】：解：【解法一】向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 的夹角为60°，且| a ⃗ |=2，| b ⃗⃗ |=1， ∴ (a ⃗+2b ⃗⃗)2= a ⃗2 +4 a ⃗ • b ⃗⃗ +4 b ⃗⃗2 =22+4×2×1×cos60°+4×12 =12，∴| a ⃗ +2 b⃗⃗ |=2 √3 ． 【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ +2 b ⃗⃗ ； 在△OAC 中，由余弦定理得| OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √22+22−2×2×2×cos120° =2 √3 ， 即| a ⃗ +2 b ⃗⃗ |=2 √3 ． 故答案为：2 √3 ．【点评】：本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14.（填空题，5分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ 为单位向量，且 a ⃗ • b ⃗⃗ =0，若 c ⃗ =2 a ⃗ - √5b ⃗⃗ ，则cos ＜ a ⃗ ， c ⃗ ＞=___ ．【正确答案】：[1] 23【解析】：根据向量数量积的应用，求出相应的长度和数量积即可得到结论．【解答】：解： a ⃗•c ⃗ = a ⃗•(2a ⃗−√5b ⃗⃗) =2 a ⃗2 - √5 a ⃗•b ⃗⃗ =2， ∵ c ⃗2 =（2 a ⃗ - √5b ⃗⃗ ）2=4 a ⃗2 -4 √5 a ⃗•b ⃗⃗ +5 b ⃗⃗2 =9， ∴| c ⃗ |=3，∴cos ＜ a ⃗ ， c ⃗ ＞= a⃗⃗•c ⃗|a ⃗⃗||c ⃗| = 23 ． 故答案为： 23【点评】：本题主要考查向量夹角的求解，根据向量数量积的应用分别求出数量积及向量长度是解决本题的关键．15.（填空题，5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a= √7 ，b=2，A=60°，则sinB=___ ，c=___ ． 【正确答案】：[1]√217; [2]3 【解析】：由正弦定理得 √7sin60° = 2sinB ，由此能求出sinB ，由余弦定理得cos60°= 4+c 2−72×2c ，由此能求出c ．【解答】：解：∵在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． a= √7 ，b=2，A=60°， ∴由正弦定理得： a sinA=b sinB ，即 √7sin60° = 2sinB， 解得sinB=2×√32√7=√217． 由余弦定理得：cos60°= 4+c 2−72×2c ，解得c=3或c=-1（舍）， ∴sinB=√217，c=3． 故答案为： √217，3．【点评】：本题考查三角形中角的正弦值、边长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16.（填空题，5分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=4，a n+1=2S n +1，n∈N *，则a 1=___ ，S 5=___ ．【正确答案】：[1]1; [2]121【解析】：运用n=1时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n＞1时，a n+1=S n+1-S n，结合条件，计算即可得到所求和．【解答】：解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=4，即a1+a2=4，即有3a1+1=4，解得a1=1；由a n+1=S n+1-S n，可得S n+1=3S n+1，由S2=4，可得S3=3×4+1=13，S4=3×13+1=40，S5=3×40+1=121．故答案为：1，121．【点评】：本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a1=S1，n＞1时，a n=S n-S n-1，考查运算能力，属于中档题．17.（问答题，10分）已知| a⃗ |=4，| b⃗⃗ |=8，a⃗与b⃗⃗夹角是120°．（1）求a⃗•b⃗⃗的值及| a⃗+b⃗⃗ |的值；（2）当k为何值时，(a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)？【正确答案】：【解析】：（1）利用数量积定义及其运算性质即可得出；（2）由于(a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)，(a⃗+2b⃗⃗)• (ka⃗−b⃗⃗) =0，展开即可得出．) =-16．【解答】：解：（1）a⃗•b⃗⃗ = |a⃗||b⃗⃗| cos120°= 4×8×(−12| a⃗+b⃗⃗ |= √a⃗2+b⃗⃗2+2a⃗•b⃗⃗ = √42+82+2×(−16) =4 √3．（2）∵ (a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)，∴ (a⃗+2b⃗⃗)• (ka⃗−b⃗⃗) = ka⃗2−2b⃗⃗2 + (2k−1)a⃗•b⃗⃗ =0，∴16k-128+（2k-1）×（-16）=0，化为k=-7．∴当k=-7值时， (a ⃗+2b ⃗⃗)⊥(ka ⃗−b ⃗⃗) ．【点评】：本题考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.（问答题，12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cosB= 35 ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-21．（1）求△ABC 的面积； （2）若a=7，求角C ．【正确答案】：【解析】：（1）先根据平面向量的数量积的运算法则化简 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−21 ，把cosB 的值代入求出ac 的值，然后由cosB 的值和B 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值，利用三角形的面积公式表示出△ABC 的面积，把ac 和sinB 的值代入即可求出△ABC 的面积；（2）由（1）求出的ac 的值和a 的值，求出c 的值，再由a ，c 及cosB 的值，利用余弦定理求出b 的值，再由b ，sinB 以及c 的值，利用正弦定理求出sinC 的值，利用大边对大角，由a 大于c 得到角C 为锐角，由特殊角的三角函数值即可求出角C 的度数．【解答】：解：（1）∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos (π−B )=−accosB =−35ac =−21 ，∴ac=35，又∵ cosB =35 ，0＜B ＜π，∴ sinB =45 ， ∴ S △ABC =12acsinB =12×35×45=14 ； （2）由（1）知：ac=35，且a=7，∴c=5，则 b 2=a 2+c 2−2accosB =49+25−2×35×35=32 ，∴ b =4√2 ，由正弦定理得： bsinB=csinC，∴ sinC =csinBb=5×454√2=√22， 又∵a ＞c ，∴ C ∈(0，π2) ，∴ C =π4 ．【点评】：此题综合考查了正弦、余弦定理以及三角形的面积公式，培养了学生分析问题，解决问题的能力．学生做题时注意以下两点：第1问中注意两向量的夹角为π-B ，不是角B ；第2问中由a ＞c ，利用大边对大角得到角C 为锐角．19.（问答题，12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n •S n-1=0（n≥2），a 1= 12 ． （1）求证：{ 1S n}是等差数列； （2）求a n 的表达式．【正确答案】：【解析】：（1）本题关键是将a n =S n -S n-1代入化简，再根据等差数列的定义进行判定即可． （2）先求出S n ，利用S n 求a n ，必须分类讨论a n = {a 1 n =1S n −S n−1n ≥2，求解可得．【解答】：（1）证明：∵-a n =2S n S n-1，∴-S n +S n-1=2S n S n-1（n≥2），S n ≠0（n=1，2，3）． ∴ 1S n- 1Sn−1=2．又 1S 1= 1a 1=2，∴{ 1S n}是以2为首项，2为公差的等差数列． （2）解：由（1）， 1S n=2+（n-1）•2=2n ，∴S n = 12n ．当n≥2时，a n =S n -S n-1= 12n - 12(n−1) =- 12n (n−1)[或n≥2时，a n =-2S n S n-1=-12n (n−1)]； 当n=1时，S 1=a 1= 12． ∴a n = {12(n =1)−12n (n−1)(n ≥2)【点评】：本题主要考查了等差数列的证明，以及已知S n 求a n ，注意分类讨论，属于基础题． 20.（问答题，12分）已知 a ⃗ =（cosx ，2cosx ）， b ⃗⃗ =（2cosx ，sinx ），f （x ）= a ⃗ • b ⃗⃗ ． （1）把f （x ）的图象向右平移 π6 个单位得g （x ）的图象，求g （x ）的单调递增区间； （2）当 a ⃗≠0⃗⃗，a ⃗ 与 b ⃗⃗ 共线时，求f （x ）的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得：f(x)=√2sin(2x+π4)+1．把f（x）的图象向右平移π6个单位得g（x）的图象：g（x）= √2sin[2(x−π6)+π4]+1．再利用正弦函数的单调性即可得出：g（x）的增区间．（2）当a⃗≠0⃗⃗，a⃗与b⃗⃗共线时，可得tanx=4．于是f（x）= 2cos2x+2sinxcosxsin2x+cos2x = 2+2tanxtan2x+1，即可得出．【解答】：解：（1）f（x）=2cos2x+2sinxcosx=cos2x+1+sin2x= √2sin(2x+π4) +1．∴ f(x)=√2sin(2x+π4)+1．把f（x）的图象向右平移π6个单位得g（x）的图象：g（x）= √2sin[2(x−π6)+π4] +1=√2sin(2x−π12) +1．∴ g(x)=√2sin(2x−π12) +1．由2kπ−π2≤2x−π12≤ π2+2kπ，解得kπ−5π24≤x≤kπ+ 7π24，k∈Z．∴g（x）的增区间[kπ−5π24，kπ+7π24]，k∈Z．（2）∵当a⃗≠0⃗⃗，a⃗与b⃗⃗共线时，∴4cos2x-sinxcosx=0，∴tanx=4．∴f（x）=2cos2x+2sinxcosx= 2cos2x+2sinxcosxsin2x+cos2x = 2+2tanxtan2x+1= 2+2×442+1= 1017．【点评】：本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、图象变换、同角三角函数基本关系式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）在△ABC中，AC=6，cosB= 45，C= π4．（1）求AB的长；（2）求cos（A- π6）的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A- π6）的值．【解答】：解：（1）∵△ABC中，cosB= 45，B∈（0，π），∴sinB= 35，∵ AB sinC =ACsinB，∴AB= 6×√2 235=5 √2；（2）cosA=-cos（π-A）=-cos（C+B）=sinBsinC-cosBcosC=- √210．∵A为三角形的内角，∴sinA= 7√210，∴cos（A- π6）= √32cosA+ 12sinA= 7√2−√620．【点评】：本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．22.（问答题，12分）（1）数列{a n}的前n项和为S n=10n-n2，求数列{|a n|}的前n项和．（2）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=-10．求数列{ a n2n−1}的前n项和．【正确答案】：【解析】：（1）S n=10n-n2，n≥2时，a n=S n-S n-1，（n=1时也成立）．令a n≥0，解得n≤5．可得n≤5时，{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……+a n=S n．n≥6时，{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……a5-a6+……-a n=2S5-S n．即可得出T n．（2）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=0，a6+a8=-10．可得a1+d=0，2a1+12d=-10，联立解得：a1，d，可得a n．于是a n2n−1 = 2−n2n−1．利用错位相减法即可得出．【解答】：解：（1）∵S n=10n-n2，∴n≥2时，a n=S n-S n-1=10n-n2-[10（n-1）-（n-1）2]=11-2n，（n=1时也成立）．令a n≥0，解得n≤5．∴n≤5时，{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……+a n=S n=10n-n2．n≥6时，{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……a5-a6+……-a n=2S5-S n=2×（50-25）-（10n-n2）=n2-10n+50．综上可得：T n= {10n−n2，1≤n≤5n2−10n+50，(n≥6)．（2）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=0，a6+a8=-10．∴a1+d=0，2a1+12d=-10，联立解得：a1=1，d=-1，∴a n=1-（n-1）=2-n．∴ a n 2n−1 = 2−n2n−1．∴数列{ a n2n−1 }的前n项和H n=1+0- 122- 223+……+ 2−n2n−1．1 2 H n= 12+0- 123- 224+……+ 3−n2n−1+ 2−n2n．相减可得：12 H n=1- 12- 122123-……+ 12n−1- 2−n2n=2- 1−12n1−12- 2−n2n．化为：H n= n2n−1．（n=1时也成立）．【点评】：本题考查了数列递推关系、绝对值数列求和问题、等差数列与等比数列的通项公式求和公式、分类讨论方法、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2019-2020学年山东省菏泽市高一下学期期末数学试卷(A卷) (解析版)
2019-2020学年山东省菏泽市高一第二学期期末数学试卷（A卷）一、选择题（共8小题）.1．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.45 0.45B．0.5 0.5C．0.5 0.45D．0.45 0.52．复数z＝的虚部为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．﹣3i3．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．标准差C．众数D．中位数4．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．者B．事C．竟D．成5．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，≈1.732）A．63B．69C．75D．816．已知向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2共线，则m的值为（）A．﹣2B．2C．D．7．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10），[10，15），[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（）A．14B．15C．16D．178．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面α，满足CP⊥平面α，则平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面周长为（）A．4B．12C．8D．8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（）A．从折线图能看出世界人口的变化情况B．2050年非洲人口将达到大约15亿C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（）A．若b2+c2﹣a2＞0，则△ABC为锐角三角形B．若A＞B，则sin A＞sin BC．若b＝3，A＝60°，三角形面积S＝3，则a＝D．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形11．在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A．B．C．若点P是线段AD上的动点，且满足＝+，则λ+2μ＝1D．若△ABC所在平面内一点P满足＝λ（）（λ≥0），则点P的轨迹一定通过△ABC的内心12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）A．FM∥A1C1B．BM⊥平面CC1FC．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD．三棱锥B﹣CEF的体积为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省烟台市2019-2020年初四数学第一学期期末考试试题及答案
山东省烟台市2019-2020年初四数学第一学期期末考试试题及答案一、选择题（每题3分，共36分）1、如图所示的几何体是由12个大小相同的小正方体组成的，将其中的小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（ ）A ．主视图和左视图B ．主视图和俯视图C ．左视图和俯视图D ．主视图、左视图、俯视图2. 如图，属于物体在太阳光下形成的影子的图形是 （ ）A. B ． C ． D ．3.物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3 为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ） A.31 B. 32 C. 21 D. 41 4.如果将抛物线y=x 2+1向右平移2个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A ． y=（x-2）2-2 B ． y=（x+2）2-2 C ． y=（x-2）2-1 D ． y=（x +2）2-15. 已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（ ）A. B. C. D.6.已知二次函数y =ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如右图所示，则直线y =ax +b 与反比例函数xacy =在同一坐标系内的大致图象为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，AB 为⊙O 的直径，点D ，C 在⊙O 上，∠D=62°，则∠ACO 的度数为（ ） A. 26° B. 28° C. 30° D. 32°8. 如图，港口A 在观测站O 的正东方向，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行2km 到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向．则观测站O 距港口A 的距离为（ ）A ．22kmB ． 23kmC ．32kmD ．33km9.如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，O 为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O 半径长为（ ）A. 23B. 26C. 332D. 22310.如图，抛物线y =ax 2+bx+c ，若M=4a+2b+c ，N=a-b+c ，P=4a+2b ，则（ ）A. M ＞0，N ＞0，P ＞0B. M ＞0，N ＜0，P ＞0C. M ＜0，N ＞0，P ＞0D. M ＜0，N ＞0，P ＜011.如图所示，已知△ABC 中，BC=12，BC 边上的高h=6，D 为BC 上一点，EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC于点F ，设点E 到边BC 的距离为x ，则△DEF 的面积y 关于x 的函数图象大致为（ ）12. 如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点C ，过A ，B 分别作AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC ，若AD ＝3，CE ＝3，则弧AC 的长为（ ） A.332 B. π33 C. π23 D. π332二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分）．13. 在△ABC 中，若角A 、B 满足()23sin 1tan 02A B -+-=，则∠C 等于 .14. 如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE 的面积为4，则正八边形ABCDEFGH 的面积为_____ .15. 如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为30°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90米，那么该建筑物的高度BC 约为_____米．（结果精确到1m ，参考数据：3≈1.73）16. 已知二次函数y =ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x= -31，下列结论：①ab ＞0 ②a+b+c ＜0 ③b+2c ＜0 ④a+4c ＜2b ，其中正确结论是__ _____.17.在正方形ABCD 中，AB=8，点E 为BC 的中点，以CD 为直径作半圆CFD ，点F 为半圆的中点，连接AF ，EF ，图中阴影部分的面积是 .18. 一段抛物线y= -x （x-3）（0≤x≤3），记为C1，它与x 轴交于两点O ，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x 轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x 轴于A3；…如此进行下去，直至得到Cn,若点P （2019，b ）在其中某段抛物线上，则b=_________.三、解答题（满分66分）． 19. （满分6分）（1）221sin 60cos302sin 45tan 6023-︒︒+︒-︒+ （2）21sin 60cos 60tan 4512tan 30tan 302-︒⋅︒+-︒+︒20. （满分6分）已知二次函数y= -21x 2+bx+c 的图象经过A （0，-8），B （-2，-20）两点.（1）求b ，c 的值； （2）二次函数y = -21x 2+bx+c 的图象与x 轴是否有交点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由.21. （满分7分）如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO 长为40cm ，与水平面所形成的夹角∠OAM 为75°．由光源O 射出的边缘光线OC ，OB 与水平面所形成的夹角∠OCA ，∠OBA 分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC （不考虑其他因素，结果精确到0.1cm ．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73）．22.（满分7分）如图，Rt △ABO 的顶点O 在坐标原点，点B 在x 轴上，∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=4，反比例函数y=()0＜x x k的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D. （1）求反比例函数的关系式；（2）连接CD ，求四边形CDBO 的面积.23 .（满分8分）某初中学校举行毛笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题： （1）请将条形统计图补全；（2）求“二等奖”所对的圆心角的度数； （3）获得一等奖的同学中有41来自七年级，有41来自八年级，其他同学均来自九年级，现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率.24、（满分10分）某班同学参加社会公益活动，准备用每斤6元的价格购进一批水果进行销售，并将所得利润捐给孤寡老人．这种水果每天的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的对应关系如表所示：（1）按照满足表中的销售规律，求y 与x 之间的函数表达式；（2）按照满足表中的销售规律，求每天销售利润W （元）与销售单价x （元/千克）之间的函数表达式； （3）在销售单价不低于10元及满足问题（2）条件下，每天销售水果多少千克时，该天获得最大利润？25、（10分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 在线段AB 上，以AD 为直径的⊙O 与BC 相交于点E ，与AC 相交于点F ，∠B=∠BAE=30°. （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若AC=3，求⊙O 的半径r ；（3）在（1）的条件下，判断以A 、O 、E 、F 为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．26、（12分）已知抛物线y = ax 2+23x+4的的对称轴是直线x =3，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标．x 10 11 12 13 14 …… y 200 180 160 140 120 ……2019-2020学年度第一学期期末学业水平考试初四数学试题参考答案及评分建议(如有错误请组长及时更正)一、选择题（每小题3分，满分36分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 答案CAACABBACDDD17、解：作FH ⊥BC 于H ，连接FH ，如图，∵∵点E 为BC 的中点，点F 为半圆的中点，∴BE=CE=CH=FH=4， AE 2=64+16=80， 易得Rt △ABE ≌△EHF ， ∴∠AEB=∠EFH ， 而∠EFH+∠FEH=90∘， ∴∠AEB+∠FEH=90∘，∴∠AEF=90∘，∴∴图中阴影部分的面积=S 正方形ABCD+S 半圆−S △ABE−S △AEF =8+8π．二、填空题（每小题3分，满分18分）13．75o 14．16 15．104 16．①② 17 . 88π+ 18．0 三、解答题（共6道题，满分66分） 19.计算（满分6分）（1）原式=2+332112(3)22234⨯+⨯-⨯ …………………………………1分=3111+44+-1=………………………………3分 （2）原式=2)331(2112123-+⨯-…………………………………………1分 =333212123-⨯+- =33.……………………3分 20.（6分）解：（1）把A (0，－8)，B (－2，－20)分别代c bx x y ++-=221，得()⎪⎩⎪⎨⎧-=+----=20222182c b c ，……………………………2分 解得⎩⎨⎧-==85c b ；………………………………………………………………………3分 （2）由（1）可得，该抛物线解析式为：85212-+-=x x y ．∵△=()821452-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=9＞0，∴二次函数图象与x 轴有公共点．…………4分 令y =0，则085212=-+-x x解得，x 1=2，x 2=8 ………………5分∴公共点的坐标是（2，0）或（8，0）． …………………………………………6分 21.（满分7分）解：在Rt △ACO 中，97.04075sin ≈==︒OCOA OC ................................................2分解得OC≈38.8，. .................................................................................................3分在Rt △BCO 中，3383830===︒BC .BC OC tan . .................................................5分解得1673838..BC ≈⨯=..................................................................................6分 答：该台灯照亮水平面的宽度BC 大约是67.1cm ．................................................7分22．（满分7分）解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=4， ∴AB=34=43⨯.……………………………………………1分 作CE ⊥OB 于E ， ∵∠ABO=90°，∴CE ∥AB ，∵OC=AC ，∴OE=BE=12OB=2. CE=12AB=23，∴C （-2，23）. …………………………………………2分 ∵反比例函数的图象经过OA 的中点C ， ∴k=22343-⨯=-，∴反比例函数的关系式为y= -43x ； ……………………......……………………3分（2）∵OB=4，∴D 的横坐标为-4，代入y=-43x 得，y=3，∴D （-4，3）. …………………………………………………………………4分 ∴BD=3，∵AB=43，∴AD=33，∴S △ACD=12AD•BE=12×33×2=33. ……………………………………………5分 ∴S 四边形CDBO=S △AOB-S △ACD=12OB•AB -33=12×4×43-33=53． ………7分23. （满分8分）（1）2510÷％=40（人）答：参加大赛获奖同学共40人。
2019-2020学年山东省潍坊一中高一(下)期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年山东省潍坊一中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（每小题5分）.1．复数的虚部为（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i2．已知向量＝（cosθ，sinθ），＝（2，﹣1），且⊥，则的值是（）A．3B．﹣3C．D．3．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）A．B．1C．D．2（1+）4．设两个单位向量的夹角为，则＝（）A．1B．C．D．75．圆锥的高h和底面半径r之比h：r＝2：1，且圆锥的体积V＝18π，则圆锥的表面积为（）A．18πB．9（1+2）πC．9πD．9（1+）π6．将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（）A．y＝cos2x B．y＝﹣cos2xC．y＝sin（2x﹣）D．y＝﹣sin2x7．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）海里．A．10B．20C．10D．208．设a，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥．其中为正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．有下列说法，其中错误的说法为（）A．若，，则B．若，则P是三角形ABC的垂心C．两个非零向量，，若，则与共线且反向D．若，则存在唯一实数λ使得10．将函数f（x）＝sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（）A．4B．6C．8D．1211．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中无解的是（）A．a＝7，b＝3，B＝30°B．b＝6，，B＝45°C．a＝10，b＝15，A＝120°D．b＝6，，C＝60°12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）A．FM∥A1C1B．BM⊥平面CC1FC．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD．三棱锥B﹣CEF的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数，x∈R，则的值为．14．已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为cm．15．函数y＝3sin x﹣4cos x在x＝θ处取得最大值，则sinθ＝．16．如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动．若＝1，则的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知复数z满足z2＝3+4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）求（）2019的值．18．已知，且向量与不共线．（1）若与的夹角为45°，求；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．19．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、CD 和SC的中点．求证：（1）直线EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．20．已知：复数z1＝2sin A sin C+（a+c）i，z2＝1+2cos A cos C+4i，且z1＝z2，其中A、B、C 为△ABC的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，．（Ⅰ）求证：CD⊥PD；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAB；（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使CM∥平面PAB，若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足．（1）求||的值；（2）已知A（1，cos x），B（1+cos x，cos x），x∈[0，]，f（x）＝•﹣（2m+）||，若f（x）的最小值为g（m），求g（m）的最大值．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．复数的虚部为（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i解：因为复数＝＝＝﹣2i，所以复数的虚部为﹣2．故选：B．2．已知向量＝（cosθ，sinθ），＝（2，﹣1），且⊥，则的值是（）A．3B．﹣3C．D．解：由＝（cosθ，sinθ），＝（2，﹣1），且⊥，得2cosθ﹣sinθ＝0，即tanθ＝2．∴＝．故选：C．3．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）A．B．1C．D．2（1+）解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB＝，对应原图形平行四边形的高为：2，所以原图形的面积为：1×2＝2．故选：A．4．设两个单位向量的夹角为，则＝（）A．1B．C．D．7解：两个单位向量的夹角为，则＝9+24•+16＝9×12+24×1×1×cos+16×12＝13，所以＝．故选：B．5．圆锥的高h和底面半径r之比h：r＝2：1，且圆锥的体积V＝18π，则圆锥的表面积为（）A．18πB．9（1+2）πC．9πD．9（1+）π解：圆锥的高h和底面半径r之比h：r＝2：1，∴h＝2r，又圆锥的体积V＝18π，即πr2h＝＝18π，解得r＝3；∴h＝6，母线长为l＝＝＝3，则圆锥的表面积为S＝πrl+πr2＝π•3•3+π•32＝9（1+）π．故选：D．6．将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（）A．y＝cos2x B．y＝﹣cos2xC．y＝sin（2x﹣）D．y＝﹣sin2x解：函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣）＝﹣cos2x．故选：B．7．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）海里．A．10B．20C．10D．20解：如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°．在△ABC中，由正弦定理可得BC＝×sin30°＝10．故选：A．8．设a，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥．其中为正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：对于①，时，不一定得出n∥α，①错误；对于②，时，不一定得出a⊥α，②错误；对于③，时，α∥β成立，③正确；对于④，时，m与n可能平行，也可能异面，所以④错误；对于⑤，时，能得出α⊥β，⑤正确；对于⑥，时，m与n可能平行，也可能垂直，也可能异面，所以⑥错误；综上知，正确的命题序号是③⑤，共2个．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．有下列说法，其中错误的说法为（）A．若，，则B．若，则P是三角形ABC的垂心C．两个非零向量，，若，则与共线且反向D．若，则存在唯一实数λ使得解：对于A：若，，（），则，故A错误；对于B：，整理得，故，同理，，故点P为△ABC的垂心，故B正确；对于C：两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确；对于D：若（）则存在唯一实数λ使得，故D错误．故选：AD．10．将函数f（x）＝sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（）A．4B．6C．8D．12解：因为将函数f（x）＝sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，所以是已知函数周期的整数倍，即k•＝（k∈Z），解得ω＝4k（k∈Z），A，C，D正确．故选：B．11．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中无解的是（）A．a＝7，b＝3，B＝30°B．b＝6，，B＝45°C．a＝10，b＝15，A＝120°D．b＝6，，C＝60°解：对于A：由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即9＝49+c2﹣7c，即c2﹣7c+40＝0，因为△＝（7）2﹣4×40＝﹣13＜0，可得方程无解，所以三角形无解．对于B：由正弦定理得：，即，即sin C＝，因此C有解．对于C．因为a＝10＜b＝15，所以B＞A＝120°，因此三角形无解．对于D：由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，即108＝a2+36﹣6a，即a2﹣6a﹣72＝0，解得：a＝12，或a＝﹣6（舍去），因此，三角形只有一解．故选：AC．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）A．FM∥A1C1B．BM⊥平面CC1FC．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD．三棱锥B﹣CEF的体积为定值解：A：∵F，M分别是AD，CD的中点，∴FM∥AC∥A1C1，故A正确；B：由平面几何得BM⊥CF，又BM⊥C1C，∴BM⊥平面CC1F，故B正确；C：BF与平面CC1D1D有交点，∴不存在点E，使平面BEF∥平面CC1D1D，故C错误；D：三棱锥B﹣CEF以面BCF为底，则高是定值，∴三棱锥B﹣CEF的体积为定值，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数，x∈R，则的值为1．解：函数，x∈R，则＝cos＝＝1．故答案为：1．14．已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为2cm．解：设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，解得l＝2r；又圆锥的表面积为12π，所以πr2+πrl＝3πr2＝12π，解得r＝2；所以圆锥的底面圆半径为2cm．故答案为：2．15．函数y＝3sin x﹣4cos x在x＝θ处取得最大值，则sinθ＝．解：y＝3sin x﹣4cos x＝（sin x﹣cos x）＝5sin（x﹣φ）（其中tanφ＝），依题意，θ﹣φ＝2kπ+（k∈Z），故θ＝2kπ++φ（k∈Z），则sinθ＝cosφ＝＝，故答案为：．16．如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动．若＝1，则的最小值为﹣．解：建立如图所示的坐标系，＝＝1，则AO＝1，又由菱形ABCD的边长为2，则OB＝，故A（﹣1，0），B（0，﹣），设P点坐标为（0，b），b∈[﹣，0]，则＝（1，b），＝（0，b+）＝，当b＝﹣时，取最小值﹣，故答案为：﹣四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知复数z满足z2＝3+4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）求（）2019的值．解：（Ⅰ）设z＝a+bi，则z2＝a2﹣b2+2abi＝3+4i，所以，解得a＝﹣2，b＝﹣1，所以z＝﹣2﹣i；（Ⅱ）因为，所以，所以（）2019＝i2019＝i504×4+3＝i3＝﹣i．18．已知，且向量与不共线．（1）若与的夹角为45°，求；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．解：（1）∵与的夹角为45°，∴＝cos45°＝＝．∴＝﹣＝2+﹣1＝1+．（2）∵向量与的夹角为钝角，∴（）•（）＜0，且不能反向共线，∴＝k2﹣1＜0，解得﹣1＜k＜1，k≠0∴实数k的取值范围是（﹣1，1）（k≠0）．19．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、CD 和SC的中点．求证：（1）直线EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．【解答】证明：（1）如图，连结SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB，又SB⊂平面BDD1B1，EG不包含于平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1．（2）如图，连结SD，∵F，G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD，又SD⊂平面BDD1B1，FG不包含于平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，又直线EG∥平面BDD1B1，且直线EG⊂平面EFG，直线FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．20．已知：复数z1＝2sin A sin C+（a+c）i，z2＝1+2cos A cos C+4i，且z1＝z2，其中A、B、C 为△ABC的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）∵z1＝z2∴2sin A sin C＝1+2cos A cos C﹣﹣﹣﹣①，a+c＝4﹣﹣﹣﹣②，由①得2（cos A cos C﹣sin A sin C）＝﹣1即，∴，∵0＜B＜π∴；（Ⅱ）∵，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B⇒a2+c2﹣ac＝8，﹣﹣④，由②得a2+c2+2ac＝16﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑤由④⑤得，∴＝．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，．（Ⅰ）求证：CD⊥PD；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAB；（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使CM∥平面PAB，若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．【解答】证明：（I）因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA．因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD．因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD．（II）因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA，在直角梯形ABCD中，，AB＝，BD＝，由题意可得，所以AD2＝AB2+BD2，所以BD⊥AB．因为PA∩AB＝A，所以BD⊥平面PAB．解：（Ⅲ）在棱PD上存在点M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中点．证明：取PA的中点N，连接MN，BN，因为M是PD的中点，所以．因为，所以．所以MNBC是平行四边形，所以CM∥BN．因为CM⊄平面PAB，BN⊂平面PAB．所以CM∥平面PAB．22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足．（1）求||的值；（2）已知A（1，cos x），B（1+cos x，cos x），x∈[0，]，f（x）＝•﹣（2m+）||，若f（x）的最小值为g（m），求g（m）的最大值．解：（1）由已知得：，∴，∴，∴，∴；（2）f（x）＝＝1+＝（cos x﹣m）2+1﹣m2，∵x，∴cos x∈[0，1]，当m＜0时，当cos x＝0时，f（x）取得最小值g（m）＝1；当0≤m≤1时，当cos x＝m时，f（x）取得最小值g（m）＝1﹣m2；当m＞1时，当cos x＝1时，f（x）取得最小值g（m）＝2﹣2m，综上所述，g（m）＝，∴g（m）的最大值为1．。
山东省烟台市2019-2020年初四数学第一学期期中考试试题及答案
山东省烟台市2019-2020年初四数学第一学期期中考试试题及答案（第一部分：基础演练，满分120分）一、选择题（3′×12=36′）1、 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则下列式子成立的是（ ） A. sinA=sinB B ．cosA=cosB C ．sinA=cosB D ． tantanB2、函数21=1x y x +-的自变量x 的取值范围是（ ） A. x >-1且x ≠1 B. x ≥-1且x ≠1 C. x =±1 D. 全体实数3、如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为（ ）A. 33 B ． 55 C ． 233 D ．2554、下列斜坡最陡的是（ ）A. 斜坡AB 的坡比为1:3 B ．斜坡CD 的倾斜角为45° C ．斜坡EF 的坡度为21 D ．斜坡GH 的坡角为α，tan 43=α 5、若二次函数x mx y m-=-22在其图象对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，则m 的值是（ ）A. m <0B. m=±2C. m=2D. m= -2 6、在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=23，则△ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．非等腰锐角三角形 7、利用计算器求值时，按键顺序为的显示结果记为m ，的显示结果记为n ，则m ，n 的大小关系为（ ）A. m<n B ． m>n C ． m=n D ．不能比较8、下列各图象中，有可能是函数y =ax 2+a （a ≠0 ）的图象是（ ）9、为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．则显示牌BC 的高度为（ ） A.()33-1m B ．()3+3m C ．()33-3m D ．()3-3m10、由二次函数y=（x -2）2-4的图象可以看出，当0≤x ≤3时，y 的取值范围是（ ） A. y ≤0或y ≥-3 B ．-3≤y ≤0 C ．-4≤y ≤-3 D ．．-4≤y ≤0经市场调查，每件服装每降价2元，每天可多卖出1件.在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x 元，每天售出服装的利润为y 元，则y 与x 的函数关系为（ ）A. ()60125010212≤++-=x x x y B ．()60<<0120010-212x x x y +-=C ． ()60<<0125010-212x x x y +-=D ．()60<<0120010212x x x y ++-=12、如图，已知顶点为（-3，-6）的抛物线y =ax 2+bx+c 经过点（-1，-4），则下列结论中错误的是（ ） A. b 2>4acB. ax 2+bx+c ≥-6C. 若点（-2，m ），（-5，n ） 在抛物线上，则m >nD. 关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c =-4的两根为-5和-1二、填空题（3分×6=18分） 13、20011sin 60cos302sin 45tan 6043-+-+= .14、已知抛物线y =ax 2+bx+c 过（3，-7），（-5，-7）两点，那么该抛物线的对称轴是直线 . 15、将抛物线y =（x -1）2-3向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为 .16、二次函数y =ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如表所示：下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x=2；③当0＜x ＜4时，y>0；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4； ⑤若A （x1，2），B （x2，3）是抛物线上两点，则x1<x2．其中正确结论的序号是 17、如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶8千米至B 地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达景区C ，小明发现景区C 恰好在A 地的正北方向，则B ，C 两地的距离为 千米. 18、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=10cm ，BC=12cm ，动点M 从点A 开始沿边AC 以1cm/s 的速度移动（不与点C 重合），动点N 从点C 开始沿边CB 以2cm/s 的速度移动（不与点B 重合）,如果点M 、N 同时出发，经过 秒后，四边形ABNM 的面积最小. 三、解答题19、（4分）计算：tan 60sin 60cos3n 02si 45-︒︒⋅︒︒20、（6分）已知二次函数y =2x 2+4x .（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）画出这个函数的大致图象（草图），指出函数值不小于0时，x 的取值范围. x -1 0 2 3 4y 5 0 -4 -3 021.（8分）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE 的长（结果保留根号）．22、（8分）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们西北方向距离6海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.23、（8分）如图，在小山的东侧A庄有一热气球，由于受西风影响，以每分钟35米的速度沿着与水平方向成75°的方向飞行，40分钟时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P 点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测后得B庄的俯角为30°，又在A庄测得山顶P的仰角为45°，求A庄与B庄的距离及山高.24、（10分）如图，二次函数的图象顶点为A（2，2）且经过坐标原点O，并与x轴交于点B.（1）求二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标.25、（10分）福山振华商厦购进一批进价为20/件的日用商品，第一个月，按进价提高50％的价格出售，售出400件；第二个月，商厦准备在不低于原售价的基础上再进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少.若销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示.（1）销售单价每提高1元时，销售量相应减少件；（2）请直接写出y与x之间的函数表达式：；（3）求第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？26、（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-5与y轴交于点A，与x轴交于点B（-5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方抛物线上与动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积.2019-2020学年度第一学期期中学业水平考试初四数学试题参考答案及评分建议(如有错误请组长及时更正)一、选择题（每小题3分，满分36分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CADBDBBACDDC二、填空题（每小题3分，满分18分）13．1 14． x= －1 15． y =(x −4)2－1 16．①②④ 17．46 18.．5 三、解答题（共8道题，满分66分） 19.计算（满分4分） 原式233322222=⨯()-⨯… 33324=⨯-…3338=-538=-.……………4分 20.（满分6分）解：（1）y= -2x2+4x=-2(x2-2x+1)+2=-2(x-1)2+2，…………2分 这个二次函数图象的顶点坐标为（1，2），……………3分 对称轴为直线x=1．……………………4分 （2）图象如右图：………………5分 函数值不小于0时，0≤x≤2．………6分 21.（满分8分）解：过点A 作AH ⊥CD ，垂足为H ，………1分由题意可知四边形ABDH 为矩形，∠CAH =30°，∴AB =DH =1.5，BD =AH =6，在Rt △ACH 中，tan ∠CAH =CHAH，∴CH =AH •tan ∠CAH ， ∴CH =AH •tan ∠CAH =6tan 30°=6×3233=（米）. ………………3分 ∵DH =1.5，∴CD =32+1.5， ……………5分在Rt △CDE 中， ∵∠CED =60°，sin ∠CED =CECD ，∴CE =）（34235.13260sin +=+=CD 米………7分∴拉线CE 的长为）（34+米.……………………8分22. （满分8分）设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x 小时.……………1分 由题意得：∠ABC =45°+75°=120°，AB =6，BC =10x ，AC =14x . 过点A 作AD ⊥CB 交其延长线于点D . 在Rt △ABD 中，AB =6，∠ABD =60°. ∴BD =AB cos60°=3AD =AB sin60°=4分 ∴CD =10x +3.在Rt △ACD 中，由勾股定理得：(14x )2=(10x +3)2+(2，…………………………………6分 解得x 1=1，x 2=38-（不合题意，舍去）………………………7分 答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为1小时. …………………8分23.（满分8分）解：如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，.…………1分 在Rt △ACD 中，∠ACD ＝75°﹣30°＝45°， ∵AC ＝35×40＝1400（米）， ∴AD ＝AC•sin45°＝2700（米）．.…………3分 在Rt △ABD 中， ∵∠B ＝30°，∴AB ＝2AD ＝21400（米）．.…………………4分 又过点P 作PH ⊥AB ，垂足为H ， .……………………5分 设PH= x ，在Rt △APH 中 ∵∠BAP ＝45°，∴AH ＝PH•tan45°＝PH= x 在Rt △BPH 中 ∵∠B ＝30°，∴BH ＝xPH330tan =……………………6分∵AB ＝BH+AH ， ∴x x +=321400∴PH=27006700-=x (米） ………………………7分答：A 庄与B 庄的距离为21400米，山高为（27006700-）米。
2019-2020学年市第六中学高一上学期期中数学试题（解析版）
2019-2020学年市第六中学高一上学期期中数学试题（解析版）2019-2020学年市第六中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合M＝[1,2]，N＝{x∈Z|-1A．[1,2]B．(－1,3)C．{1}D．{1,2}【答案】D【解析】集合N为整数集，所以先用列举法求出集合N，然后根据交集的定义求出即可.【详解】解：，.故选：D.【点睛】本题考查交集的概念和运算，解题的关键是先分析出集合中的代表元素是整数，属于基础题.2．已知集合A＝{x|x>2}，B＝，则B∩∁RA等于（）A．{x|2≤x≤5}B．{x|－1≤x≤5}C．{x|－1≤x≤2}D．{x|x≤－1}【答案】C【解析】已知集合A，B，则根据条件先求出，然后根据交集的定义求出即可.【详解】解：集合A＝{x|x>2}，所以，又集合，则.故选：C.【点睛】本题考查交集和补集的概念和计算，属于基础题.3．函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是（）A．(－∞，1)B．C．【答案】B【解析】函数f(x)的定义域即：即被开方数大于等于0，分母不为0，且对数函数的真数有意义，根据条件列出方程组，解出的范围即为所求.【详解】解：函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是，解得：，所以函数f(x)的定义域是.故选：B.【点睛】本题考查求复合函数的定义域，解题的关键是保证每部分都有意义，属于基础题.4．已知f()＝x－x2，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)＝x2－x4B．f(x)＝x－x2C．f(x)＝x2－x4(x≥0)D．f(x)＝－x(x≥0)【答案】C【解析】令（），解出，利用换元法将代入解析式即可得出答案.【详解】解：令（），则，所以（），所以f(x)＝x2－x4（）.故选：C.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，解题的关键是注意换元之后的定义域，属于基础题.5．与函数相同的函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：A中对应关系不同；B中定义域不同；C中定义域不同；D中对应关系，定义域均相同，是同一函数【考点】函数是同一函数的标准6．下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为函数是奇函数，所以选项A不正确；因为函为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B不正确；函数的图象抛物线开口向下，对称轴是轴，所以此函数是偶函数，且在区间上单调递减，所以，选项C正确；函数虽然是偶函数，但是此函数在区间上是增函数，所以选项D不正确；故选C。
山东省烟台市2018-2019学年高二第二学期期中考试试题 数学【含解析】
山东省烟台市2018-2019学年高二第二学期期中考试试题 数学一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1~10题只有一项符合题目要求，第11~13题有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 1.若复数ii 1iz -=+（i 为虚数单位），则||z =（ ） A. 2 2C. 55【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得(1)z i i i =++，求出z ，再由模长公式，即可求解. 【详解】(1)12,||5,1z i i i i i iz z i=++=-++∴-=∴=. 故选:D.【点睛】本题考查复数乘除法间的关系、乘法运算以及模长，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，则复数22(12i)1i++-的共轭复数是（ ） A. 25i + B. 25i -C. 25i --D. 25i -+【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算法则，化简22(12i)1i++-，即可求出结论. 【详解】2222(1)(12)3425,2511i i i i z i i i+++=-++=-+∴=----. 故选:C.【点睛】本题考查复数的代数运算及共轭复数，属于基础题.3.某社团小组有2名男生和4名女生，现从中任选2名学生参加活动，且至少有1名男生入选，则不同的选法种数有（ ） A. 8 B. 9C. 14D. 15【答案】B【解析】 【分析】用间接法求解，求出6名学生任选2人的不同选法，扣除2人都是女生的不同选法，即可求解【详解】6名学生任选2人的不同选法有2615C =，2人都是女生的不同选法有246C =，2∴人中至少有1名男生入选不同选法有9种.故选:B.【点睛】本题考查组合应用问题，“至多”“至少”考虑用间接法处理，也可用直接法求解，属于基础题. 4.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.为了了解该地区近几年蔬菜的产量，收集了近5年的统计数据，如表所示： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 年份代码x 1 2 3 4 5 年产量y （万吨） 4.95.15.55.75.8根据上表可得回归方程ˆˆ0.2yx a =+，预测该地区2019年蔬菜的产量为（ ） A. 5.5 B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】求出样本中心点坐标，代入回归方程，求出a ，即可求解. 【详解】3, 5.4x y ==，(3,5.4)在回归直线上，代入回归直线方程得5.40.23, 4.8,0.2 4.8a a y x =⨯+=∴=+，依题意2019年份代码为6，当6,6x y ==. 故选:B.【点睛】本题考查样本中心点与线性回归方程关系，以及线性回归方程的应用，属于基础题. 5.从0，2，4，6，8中任取2个数字，从1，3，5，7中任取1个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（ ）A. 64B. 80C. 96D. 240【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论从0，2，4，6，8中任取2个数字是否含有0，根据题意所取的奇数在个位，即可求解. 【详解】若从0，2，4，6，8中取2个数字不含0，满足条件的三位奇数有214448A C =，若从0，2，4，6，8中取2个数字含0，满足条件的三位奇数有114416A C =，所以可组成的三位奇数有64. 故选:A.【点睛】本题考查排列组合应用问题，要注意特殊元素的处理，属于基础题. 6.5211(1)x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为（ ） A. 11 B. 11-C. 9D. 9-【答案】D 【解析】 【分析】3x 为5(1)x -展开式中的3x 项与“1”相乘和5x 项与“21x-”相乘得到，根据二项展开式定理求出35,x x 的项，即可求解.【详解】5(1)x -通项公式为155()(1)k k k k k k T C x C x +=-=-， 5(1)x ∴-展开式中含35,x x 项分别为335555,C x C x --， 5211(1)x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴展开式中3x 的系数为9-. 故选:D.【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式通项是解题的关键，属于基础题. 7.甲、乙、丙3位大学毕业生去4个工厂实习，每位毕业生只能选择一个工厂实习，设“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A ，“甲独自去一个工厂实习”为事件B ，则(|)P A B =（ ）A. 23B.13C.34D.58【答案】A 【解析】 【分析】求出甲独自去一个工厂实习有1243C ⨯，3为大学毕业生去的工厂各不相同有34A ，根据条件概率公式，即可求解.【详解】“甲独自去一个工厂实习”为事件B ，事件B 包含的基本事件有124336C ⨯=，“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A ，事件A 包含的基本事件有3424A =，242(|)363P A B ==. 故选:A.【点睛】本题考查条件概率，确定基本事件个数是解题关键，属于基础题. 8.已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，(0)(4)P P ξξ<=>，且(3)0.4P ξ>=，则(1)P ξ≥=（ ） A. 0.4 B. 0.5C. 0.6D. 0.1【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性可得2μ=，有(3)(1)P P ξξ>=<，再由对立事件概率关系即可求解. 【详解】(0)(4),2P P ξξμ<=>∴=，(3)(1)0.4P P ξξ∴>=<=， (1)1(1)0.6P P ξξ∴≥=-<=.故选:C.【点睛】本题考查正态分布曲线的对称性、对立事件概率关系，属于基础题.9.随着互联网的发展，网络购物用户规模也不断壮大，网上购物越来越成为人们热衷的一种现代消费方式.假设某群体的20位成员中每位成员网购的概率都为p ，各成员的网购相互独立.设X 为该群体中使用网购的人数，() 4.8D X =，(9)(11)P X P X =<=，则p =（ ） A. 0.3 B. 0.4C. 0.6D. 0.7【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得随机变量X 满足二项分布(20,)XB p ，根据二项分布方差公式求出p ，再由(9)(11)P X P X =<=求出p 的取值范围，即可求出结论.【详解】依题意随机变量X 满足二项分布(20,)XB p ，9911111192020(9)(11),(1)(1)P X P X C p p C p p =<=-<-，22(1)p p -<，解得0.51p <<，() 4.820(1) 4.8D X p p ==-=，整理得20.240p p -+=，解得0.6p =或0.4p =（舍去）. 故选:C.【点睛】本题考查二项分布方差、独立重复试验概率，熟记公式是解题关键，属于基础题.10.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“5局3胜”，即先赢3局者为胜.根据经验，甲在每局比赛中获胜的概率为23，已知第一局甲胜，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ） A.49B. 427C. 827D. 89【答案】D 【解析】 【分析】对甲获胜比赛局数分类讨论，打3局甲获胜，甲连赢2,3局；打4局获胜则2,3局甲一胜一负，第4局胜；打5局获胜，则2,3,4局甲胜一局负两局，第5局胜，求出各种情况的概率，按照互斥事件概率关系，即可求解.【详解】甲在每局比赛中获胜的概率为23，第一局甲胜， 打3局甲获胜概率为22()349=；打4局甲获胜概率为122128()3327C ⋅=； 打5局获胜的概率为2223124()()3327C ⋅=，所以甲获胜的概率为4848927279++=. 故选:D.【点睛】本题考查相互独立同时发生的概率、互斥事件的概率，考查计算求解能力，属于基础题. 11.有关独立性检验的四个命题，其中正确的是（ ）A. 两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大B. 对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的可信程度越小C. 从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病D. 从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关 【答案】ABD 【解析】 【分析】2K 观测值越大，两个变量有关系的可能性越大，选项A 正确；根据独立性检验，2K 观测值越小，两个有关系的可信度越低，选项B 正确；独立性检验的结论适合于群体的可能性，不能认为是必然情况，选项C 不正确；根据独立性的解释，选项D 正确.【详解】选项A ，两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大， 则2K 观测值越大，两个变量有关系的可能性越大，所以选项A 正确；选项B ，根据2K 的观测值k 越小，原假设“X 与Y 没关系”成立的可能性越大， 则“X 与Y 有关系”的可信度越小，所以选项B 正确；选项C ，从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关， 不表示某人秃顶他有95%的可能患有心脏病，所以选项C 不正确； 选项D ，从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关， 是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关， 是独立性检验的解释，所以选项D 正确. 故选:ABD.【点睛】本题考查独立性检验概念辨析、2K观测值与独立性检验的关系，意在考查概念的理解，属于基础题.12.某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是（）A. 答对0题和答对3题的概率相同，都为1 8B. 答对1题的概率为3 8C. 答对2题的概率为5 12D. 合格的概率为1 2【答案】CD【解析】【分析】根据古典概型的概率公式，结合组合数公式，逐项求出各事件的概率.【详解】选项A，答对0题和3题的概率为3531010112012CC==，所以选项A错误；选项B，答对1题的概率为1255310105512012 C CC⨯==所以选项B错误；选项C，答对2题的概率为1255310105512012C CC⨯==，所以选项C正确；选项D，至少答对2题的概率为511 12122+=，所以选项D正确.故选:CD.【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件的概率，要明确各事件的关系，利用组合数求出基本事件的解题的关键，属于基础题.13.某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（）A. 四人去了四个不同餐厅就餐的概率为518B. 四人去了同一餐厅就餐的概率为11296C. 四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为25216D. 四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为23【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率，分别求出选项,,A B C 对应事件的概率，逐项验证；对于选项D ，根据每个学生随机选择一家餐厅，则选择去第一餐厅的概率为16，所以去第一餐厅就餐的人数X 服从二项分布1(4,)6XB ，即可求出期望，判断选项D 正确.【详解】四位同学随机选择一家餐厅就餐有46选择方法，选项A ，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为4645618A =，所以选项A 正确；选项B ，四人去了同一餐厅就餐的概率为4616216=， 所以选项B 不正确；选项C ，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为22445256216C ⨯=，所以选项C 正确； 选项D ，每个同学选择去第一餐厅的概率为16， 所以去第一餐厅就餐的人数X 服从二项分布1(4,)6XB ，12()463E X ∴=⨯=，所以选项D 正确.故选:ACD.【点睛】本题考查互斥事件概率、二项分布期望，应用排列组合、分步乘法原理求出基本事件个数是解题的关键，注意特殊分布的运用，属于中档题.二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.14.若1021101211(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++，则1211a a a +++=_________.【答案】1 【解析】 【分析】展开式中，令1x =，得到所有系数和，令0,x =得到常数项0a ，相减即可求出结论. 【详解】1021101211(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++，令00,2x a ==，令012111,3a a a x a ++++==，12111a a a +++=.故答案为:1.【点睛】本题考查展开式系数和，应用赋值法是解题的关键，属于基础题.15.用红、黄、蓝三种颜色涂四边形ABCD 的四个顶点，要求相邻顶点的颜色不同，则不同的涂色方法共有_________种. 【答案】18 【解析】 【分析】先对A 顶点涂色有3种颜色可供选择，接着B 顶点有2种颜色可供选择，对C 顶点颜色可供选择2种颜色分类讨论，分为与A 同色和A 不同色情况，即可得到D 顶点涂色情况，即可求解. 【详解】如果,A C 同色涂色方法有321212⨯⨯⨯=， 如果,A C 不同色涂色方法有32116⨯⨯⨯=， 所以不同的涂色方法有12618+=种. 故答案为:18.【点睛】本题考查染色问题、分步乘法原理和分类加法原理，注意限制条件，属于基础题.16.为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布()2100,17.5N .已知成绩在117.5分以上（含117.5分）的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为_________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有________人. （若()2~,X Nμσ，则()0.68P X μσμσ-<<+≈，(22)0.96)P X μσμσ-<<+≈【答案】 (1). 0.16； (2). 10人. 【解析】 【分析】根据已知100,17.5,82.5,117.5,(82.5)()P X P X μδμδμδμδ==-=+=≤=≤+，结合已知数据，可求出学生成绩不超过82.5分的概率，求出(117.5)()P X P X μδ≥=≥+，进而求出学生总人数，再由(135)(2)P X P X μδ>=>+，即可求解.【详解】(82.5)()0.12()6P X P X P X μδμσμσ≤=≤-=≈-<<+，(117.5)()0.12()6P X P X P X μδμσμσ≥=≥+=≈-<<+，成绩在117.5分以上（含117.5分）的学生有80人， 高三考生总人数有805000.16=人， (135)(2)0.02(22)2P P X P X x μσμσμδ≈->+>=+=<<，本次考试数学成绩特别优秀的大约有5000.0210⨯=人. 故答案为:0.16；10人.【点睛】本题考查正态分布曲线的性质及应用，运用概率估计实际问题，属于中档题.17.近两年来，以《中国诗词大会》为代表的中国文化类电视节目带动了一股中国文化热潮.某台举办闯关答题比赛，共分两轮，每轮共有4类题型，选手从前往后逐类回答，若中途回答错误，立马淘汰，若全部回答正确，就能获得一枚复活币并进行下一轮答题，两轮都通过就可以获得最终奖金.选手在第一轮闯关获得的复活币，系统会在下一轮答题中自动使用，即下一轮重新进行闯关答题时，在某一类题型中回答错误，自动复活一次，视为答对该类题型.若某选手每轮的4类题型的通过率均分别为910、89、34、13，则该选手进入第二轮答题的概率为_________；该选手最终获得奖金的概率为_________. 【答案】 (1). 15； (2). 2571800.【解析】 分析】选手要进入第二轮答题，则第一轮要全部回答正确，根据相互独立同时发生的概率，即可求出其概率；该选手要获得奖金，须两轮都要过关，获得奖金的概率为两轮过关的概率乘积，第二轮通过，答题中可能全部答对四道题，或答错其中一道题，分别求出概率相加，即可得出结论. 【详解】选手进入第二轮答题，则第一轮中答题全部正确，概率为98311109435⨯⨯⨯=， 第二轮通过的概率为11831913198119832510943109431094310943+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ 1111225754540155360=++++=， 该选手最终获得奖金的概率为125725753601800⨯=.故答案为:15；2571800.【点睛】本题考查相互独立同时发生的概率以及互斥事件的概率，考查计算求解能力，属于中档题. 三、解答题：本大题共6个小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知复平面内的点A ，B 对应的复数分别为1i z m m =-，()222212i z m m =-+-（m ∈R ），设AB 对应的复数为z .（1）当实数m 取何值时，复数z 是纯虚数；（2）若复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）12m =-；（2）122m -<<-. 【解析】 【分析】（1）求出21z z z =-，z 是纯虚数，虚部不为0，实部为0，即可求解； （2）根据z 的值，求出对应点到坐标，根据已知列出不等式，即可求出结论. 【详解】点A ，B 对应的复数分别为()2212i,212i z m m z m m =-=-+-，AB ∴对应的复数为z ，222121(2)z z z m m m m i ∴=-=--++-，（1）复数z 是纯虚数，2221020m m m m ⎧--=∴⎨+-≠⎩，解得11221m m m m ⎧=-=⎪⎨⎪≠-≠⎩或且， 12m ∴=-；（2）复数z 在复平面上对应的点坐标为22(21,2)m m m m --+-，位于第四象限，2221020 m mm m⎧-->∴⎨+-<⎩，即11221m mm⎧-⎪⎨⎪-<<⎩或，122m∴-<<-.【点睛】本题考查复数的代数表示法、几何意义、复数的分类，属于基础题.19.受传统观念的影响，中国家庭教育过程中对子女教育的投入不遗余力，基础教育消费一直是中国家庭教育的重头戏，升学压力的逐渐增大，特别是对于升入重点学校的重视，导致很多家庭教育支出增长较快，下面是某机构随机抽样调查某二线城市2012-2018年的家庭教育支出的折线图.（附：年份代码1-7分别对应的年份是2012-2018）（1）从图中的折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请求出相关系数r（精确到0.001），并指出是哪一层次的相关性？（相关系数||[0.75,1]r∈，相关性很强；||[0.30,0.75)r∈，相关性一般；||[0,0.25]r∈，相关性较弱）.（2）建立y关于t的回归方程；（3）若2019年该地区家庭总支出为10万元，预测家庭教育支出约为多少万元？附注：参考数据：71259iiy==∑，711178i iit y==∑()72127iiy y=-=∑，()()71126i iit t y y=--=∑，7 2.646≈.参考公式：()()()()12211niii nni i i i t t y y r t ty y===--=--∑∑∑ˆˆˆybt a =+， 其中()()()121ˆniii nii tty y btt==--=-∑∑，ˆˆay bt =- 【答案】（1）详见解析；（2） 4.519y t =+；（3）5.5万元. 【解析】 【分析】（1）由折线图中的数据及已知求出y 与t 的相关系数的近似值，对照参考数据，即可得出结论； （2）由已知结合公式求出b 及a ，可得y 关于t 的回归方程；（3）将2019对应的8t =代入回归方程，求出y ，进一步求得2019年该地区家庭教育支出. 【详解】（1）由折线图中数据及题中给出的参考数据， 可得()2174,28ii t tt==-=∑，所以()()()()1221777170.8822727iii i i i i t t y y r t t y y ===--===≈⨯--∑∑∑， 即y 与t 的相关系数近似值为0.882，所以相关性很强； （2）由71259ii y==∑，得259377y ==， 又()()()71721126ˆ 4.528iii ii tty y btt==--===-∑∑， ˆˆ37 4.5419ay bt =-=-⨯=， 所以y 关于t 的回归方程为 4.519y t =+；（3）将2019年对应的8t =代入回归方程 4.519y t =+，得 4.581955y =⨯+=，所以预测2019年该城市家庭教育支出将达到家庭总支出的55%， 因此当家庭总支出为10万元时，家庭教育支出为1055% 5.5⨯=（万元）.【点睛】本题考查线性相关关系、线性回归方程及应用，考查计算求解能力，属于中档题. 20.已知1(21)n x +展开式的二项式系数和比(31)nx -展开式的偶数项的二项式系数和大48，求22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中：（1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项.【答案】（1）8064-；（2）415360x --. 【解析】 【分析】（1）分别求出1(21)n x +展开式的二项式系数和，(31)nx -展开式的偶数项的二项式系数和，利用两者差48列方程，解方程求出n 的值，22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项式系数最大项为第1n +，即可求解；（2）设第1k +项系数绝对值最大，化简二项展开式的通项公式，利用系数绝对值最大项比前后两项的系数绝对值都大列不等式组，解不等式组求得k 的取值范围，由此求得k 的值 【详解】（1）依题意112248,232,5n n n n +--==∴=，102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第6项二项式系数最大，即5556102()8064T C x x=-=-；（2）设第1k +项的系数的绝对值最大， 则10102110102()(1)2kkk k k k k k T C xC x x--+=⋅⋅-=-⋅⋅⋅，1110101110102222k k k k k k k k C C C C --++⎧⋅≤⋅∴⎨⋅≥⋅⎩，得110101101022k k k k C C C C -+⎧≤∴⎨≥⎩， 即2221202k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩，1922,733k k ∴≤≤∴=， 所以系数的绝对值最大的是第8项，即77744810(1)215360T C x x --=-⋅⋅=-.【点睛】本题考查二项式系数和、二项式系数最大项、系数绝对值最大项，考查计算求解能力，属于中档题.21.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，某校在高中生中随机抽取100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢数学 不喜欢数学 合计 男生 40 女生 30 合计 50100（1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“喜欢数学”与性别有关？说明你的理由； （3）若在接受调查的所有男生中按照“是否喜欢数学”进行分层抽样，现随机抽取6人，再从6人中抽取3人，求至少有1人“不喜欢数学”的概率. 下面的临界值表供参考：()2P K k ≥ 0.050.010 0.005 0.001 k3.8416.6357.87910828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）45. 【解析】 【分析】（1）结合题中所给的条件完成列联表即可；（2）结合（1）中的列联表结合题意计算2K 的观测值，即可确定喜欢数学是否与性别有关；（3）随机抽取6人中，根据列联表中数据按照分层抽样原则，分别求出喜欢数学和不喜欢数学的人数，用间接法求出3人都喜欢数学的概率，进而得出结论.【详解】（1）列联表补充如下： 喜欢数学 不喜欢数学 合计 男生 40 20 60 女生 10 30 40 合计 5050100（2）由列联表值的的结论可得2K 的观测值为：28505100(40301020)16.6106047006.82k ⨯⨯=>⨯⨯-⨯≈，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“喜欢数学”与性别有关； （3）在接受调查的所有男生中按照“是否喜欢数学”进行分层抽样， 现随机抽取6人，喜欢数学的有4人，不喜欢数学2人， 从6人中抽取3人，记至少有1人“不喜欢数学”为事件A ，则34364114(),()120555C P A P A C ===∴=-=， 所以从6人中抽取3人，记至少有1人“不喜欢数学”的概率为45. 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验问题，也考查了分层抽样与对立事件求概率，属于基础题. 22.小明下班回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过.经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为45，在第二、第三个道口遇到红灯的概率依次减小，在三个道口都没遇到红灯的概率为245，在三个道口都遇到红灯的概率为845，且他在各路口是否遇到红灯相互独立.（1）求小明下班回家途中至少有一个道口遇到红灯的概率； （2）求小明下班回家途中在第三个道口首次遇到红灯的概率； （3）记ξ为小明下班回家途中遇到红灯的路口个数，求数学期望E ξ. 【答案】（1）4345；（2）145；（3）95. 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的概率关系结合已知，即可求解； （2）设第二、三个道口遇到红灯的概率分别为12214,,5p p p p <<，根据已知列出关于12,p p 方程组，求得12,p p ，即可求出结论；（3）ξ的可能值为0,1,2,3分别求出概率，得出随机变量的分布列，由期望公式，即可求解.【详解】（1）因为小明在三个道口都没遇到红灯的概率为245， 所以小明下班回家途中至少有一个道口遇到红灯的概率为4345；（2）设第二、三个道口遇到红灯的概率分别为12214,,5p p p p <<， 依题意121212(1)(1)54548545p p p p ⎧--=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得122313p p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或121323p p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），所以小明下班回家途中在第三个道口首次遇到红灯的概率111153345⨯⨯=；（3）ξ的可能值为0,1,2,3，2(0)45P ξ==， 41212211113(1)53353353345P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，42212141122(2)53353353345P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，8(3)45P ξ==，ξ∴分布列为ξ1 2 3p245 1345 2245 8452132289()0123454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查互斥事件、对立事件概率关系，考查相互独立同时发生的概率，以及离散型随机变量分布列和期望，属于中档题.23.已知甲箱中装有3个红球，2个黑球，乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X的数学期望()E X；（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与.假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？【答案】（1）625；（2）219100；（3）详见解答.【解析】【分析】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，利用互斥事件概率计算公式能求出在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，求出()P B，每个人获奖的概率相等，获奖人数X服从二项分布(3,())X P B，求出X可能值0,1,2,3的概率，由此求出X的分布列，应用二项分布期望公式即可求出结论；（3）求出中奖的期望，设中奖的的金额为η，η可能值为300,200,100,0，求出相应的概率，列出分布列，进而求出期望，与打9折的优惠金额对比，即可得出结论.【详解】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，则21111232323222556 ()25C C C C C CP AC C+==，所以在1次摸奖中，获得二等奖的概率6 25；（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，则获得一等奖的概率为2232122553100C CPC C==，获得三等奖的概率为2211112233322322222552350C C C C C C C CPC C++==，所以362373 ()1002550100P B=++=，每个人摸奖是相互独立，且获奖概率相等， 获奖人数X 服从二项分布73(3,)100X， 3373270,1,2,3,()()(),0,1,2,3100100i i iX P X i C i -====，X 分布列为： X12 3p327()1001237327()100100C ⋅⋅ 2237327()100100C ⋅⋅ 373()10073219()3100100E X =⨯=； （3）如果选择抽奖，设中奖的的金额为η，η可能值为300,200,100,0，36(300),(200)10025P P ηη====， 23(100)50P η==，1122112223232323225527(0)100C C C C C C C C P C C η++===，η的分布列为： η300200100p31006252350271003244627()3002001000103100100100100E η=⨯+⨯+⨯+⨯=， 如果购买1200选择打九折，优惠金额为120103>，∴选择打九折更有利.【点睛】本题考查互斥事件概率、离散型随机变量分布列期望、二项分布期望，考查计算求解能力，属于中档题.。
2018-2019学年山东省青岛二中高一(下)期中数学试卷
2018-2019学年山东省青岛二中高一（下）期中数学试卷试题数：23，总分：481.（单选题，3分）下列命题正确的是（）A.若 a＞b，则a2＞b2B.若a＞b，则 ac＞bcC.若a＞b，则a3＞b3D.若a＞b，则1a ＜1b2.（单选题，3分）设直线a，b是空间中两条不同的直线，平面α，β是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若a || α，b || α，则a || bB.若a || b，b || α，则a || αC.若a || α，α || β，则a || βD.若α || β，a⊂α，则a || β3.（单选题，3分）等腰直角三角形，直角边长为√2．以斜边所在直线为旋转轴，将该直角三角形旋转一周所得几何的体积是（）A. π3B. 2π3C.πD. 4π34.（单选题，3分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知b=2√3，B=π6，c=6，则A=（）A. π6B. π2C. π6或π2D. π3或π25.（单选题，3分）一个等差数列共有13项，奇数项之和为91，则这个数列的中间项为（）A.10B.11C.12D.136.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=√26，b=7，A=π4，则△ABC的形状可能是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.钝角或锐角三角形D.锐角、钝角或直角三角形7.（单选题，3分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S nT n =2n+13n+5，则a5b5=（）A. 38B. 23C. 1116 D. 19328.（单选题，3分）设a＞0，b＞0，若3是3a与9b的等比中项，则1a +2b的最小值为（）A. 92B.3C. 32+√2D.49.（单选题，3分）已知函数f（x）=x2+mx+4，若f（x）＞0对任意实数x∈（0，4）恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[-4，+∞）B.（-4，+∞）C.（-∞，-4]D.（-∞，-4）10.（单选题，3分）若等差数列{a n}单调递减，a2，a4为函数f（x）=x2-8x+12的两个零点，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时，正整数n的值为（）A.3B.4C.4或5D.5或611.（单选题，3分）在《九章算术》中，底面是直角三角形的直棱柱成为“堑堵”．某个“堑堵”的高为2，且该“堑堵”的外接球表面积为12π，则该“堑堵”的表面积的最大值为（）A. 4+4√2B. 12+4√2C. 16+4√2D. 20+4√212.（单选题，3分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2，数列{b n}满足b n=log a a n+1a n (0＜a＜1)，T n是数列{b n}的前n项和，若M n=12log a a n+1，则T n与M n的大小关系是（）A.T n≥M nB.T n＞M nC.T n＜M nD.T n≤M n13.（填空题，3分）已知等比数列{a n}的前n项和S n=2t•3n−1−43，则t=___ ．14.（填空题，3分）已知函数a＞1，b＞12，若实数（a-1）（2b-1）=1，则a+2b的最小值为___ ．15.（填空题，3分）在△ABC中，A=π6，A的角平分线AD交BC于点D，若AB=√2，AC=√6，则AD=___ ．16.（填空题，3分）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CD的中点，动点N 在体对角线A1C上（点N与点A1，C不重合），则平面AMN可能经过该正方体的顶点是___ ．（写出满足条件的所有顶点）17.（问答题，0分）证明：对任意实数x∈（-3，+∞），不等式√x+3−√x+5＜√x+4−√x+6恒成立．18.（问答题，0分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csin2B+bsin（A+B）=0．（1）求角B；，求a+c．（2）若b=7，△ABC的面积为15√3419.（问答题，0分）已知数列{a n}的前n项和S n满足nS n+1-（n+1）S n+n（n+1）=0，且a1=10．求数列{|a n|}的前n项和．20.（问答题，0分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱AA1的中点．问：在棱A1D1上是否存在点N，使得C1N || 面B1MC？若存在，请说明点N的位置；若不存在，请说明理由．，且21.（问答题，0分）已知S n是数列{a n}的前n项和，当n≥2时，S n+2=S n+1+S n−12S1=0，a2=4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）等比数列{b n}满足b2a2=b3a3=1，求数列{a n•b n}的前n项和T n．22.（问答题，0分）已知数列{a n}的前n项和S n满足√S n+1=√S n+1，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；，且数列{b n}的前n项和T n满足6T n＜t2−2t对任意正整数n恒成立，（2）设b n=1a n a n+1求实数t 的取值范围；（3）设 c n =(34)n •a n+1 ，问：是否存在正整数m ，使得c m ≥c n 对一切正整数n 恒成立？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．23.（问答题，0分）在数列{a n }中，a 1=2，a 2=6．当n≥2时，a n+1+a n-1=2a n +2．若[x]表示不超过x 的最大整数，求[2019a 1 + 2019a 2 + 2019a 3 +…+ 2019a 2019 ]的值．2018-2019学年山东省青岛二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：23，总分：481.（单选题，3分）下列命题正确的是（）A.若 a＞b，则a2＞b2B.若a＞b，则 ac＞bcC.若a＞b，则a3＞b3D.若a＞b，则1a ＜1b【正确答案】：C【解析】：a=-4，b=-5时，A命题不成立，c＜0时，B不成立，而a=3，b=-5时，D不成立，从而只能选C．【解答】：解：A．a＞b得不出a2＞b2，比如-4＞-5，得出（-4）2＜（-5）2，∴该命题错误；B．a＞b得不出ac＞bc，c小于0时，由a＞b得出ac＜bc，∴该命题错误；C．a＞b可以得出a3＞b3，∵f（x）=x3是增函数，∴该命题正确；D．a＞b得不出1a ＜1b，如3＞-5，得出13＞−15，∴该命题错误．故选：C．【点评】：考查不等式的性质，清楚函数f（x）=x3的单调性．2.（单选题，3分）设直线a，b是空间中两条不同的直线，平面α，β是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若a || α，b || α，则a || bB.若a || b，b || α，则a || αC.若a || α，α || β，则a || βD.若α || β，a⊂α，则a || β【正确答案】：D【解析】：在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，a || α或a⊂α；在C中，a || β或a⊂β；在D中，由面面平行的性质定理得a || β．【解答】：解：由直线a，b是空间中两条不同的直线，平面α，β是空间中两个不同的平面，知：在A中，若a || α，b || α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若a || b，b || α，则a || α或a⊂α，故B错误；在C中，若a || α，α || β，则a || β或a⊂β，故C错误；在D中，若α || β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得a || β，故D正确．故选：D．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3.（单选题，3分）等腰直角三角形，直角边长为√2．以斜边所在直线为旋转轴，将该直角三角形旋转一周所得几何的体积是（）A. π3B. 2π3C.πD. 4π3【正确答案】：B【解析】：画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．【解答】：解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．V=2× 13•s•ℎ = 2×13×π×1 = 23π，故选：B．【点评】：本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．4.（单选题，3分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知b=2√3，B=π6，c=6，则A=（）A. π6B. π2C. π6或π2D. π3或π2【正确答案】：C【解析】：由正弦定理可得，bsinB = csinC，可求sinC，然后结合大边对大角可求C，进而可求A．【解答】：解：∵B= π6，b=2 √3，c=6，由正弦定理可得，bsinB = csinC，∴sinC= c•sinBb = √32，∵b＜c，∴C＞B= π6，∴C= π3或2π3，A=π-B-C= π2或π6；故选：C．【点评】：本题主要考查正弦定理在求解三角形中的应用，解题中大边对大角是确定C取值的关键．5.（单选题，3分）一个等差数列共有13项，奇数项之和为91，则这个数列的中间项为（）A.10B.11C.12D.13【正确答案】：D【解析】：利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】：解：由题意可得：a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13=91，∴7a7=91，解得a7=13，故选：D．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=√26，b=7，A=π4，则△ABC的形状可能是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.钝角或锐角三角形D.锐角、钝角或直角三角形【正确答案】：C【解析】：由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可判断．【解答】：解：因为a=√26，b=7，A=π4，√26√2 2=7sinB，所以sinB= 7√1326，因为b＞a，所以B＞A= π4，故B可能为锐角，也可能为钝角．故选：C．【点评】：本题主要考查了正弦定理在判断三角形形状中的应用，属于基础试题．7.（单选题，3分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S nT n =2n+13n+5，则a5b5=（）A. 38B. 23C. 1116D. 1932【正确答案】：D【解析】：利用等差数列的性质可得：a5b5 =9(a1+a9)29(b1+b9)2= S9T9，即可得出．【解答】：解：a5b5 =9(a1+a9)29(b1+b9)2= S9T9= 2×9+13×9+5= 1932，故选：D．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.（单选题，3分）设a＞0，b＞0，若3是3a与9b的等比中项，则1a +2b的最小值为（）A. 92B.3C. 32+√2D.4【正确答案】：C【解析】：由已知结合等比数列的性质求出a+2b=2．然后利用基本不等式可求．【解答】：解：由题意可得，3a•9b=9即a+2b=2，则1a +2b=（1a+2b）（a+b）× 12= 12(3+ba+2ab)≥12(3+2√2)．当且仅当ba =2ab且a+b=2时取等号．故选：C．【点评】：本题主要考查了等比数列的性质及利用乘1法配凑基本不等式的应用条件求解最值，属于中档试题．9.（单选题，3分）已知函数f（x）=x2+mx+4，若f（x）＞0对任意实数x∈（0，4）恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[-4，+∞）B.（-4，+∞）C.（-∞，-4]D.（-∞，-4）【正确答案】：B【解析】：由题意可得x2+mx+4＞0对任意实数x∈（0，4）恒成立，由参数分离和基本不等式可得最小值，即可得到所求范围．【解答】：解：若f （x ）＞0对任意实数x∈（0，4）恒成立， 即x 2+mx+4＞0对任意实数x∈（0，4）恒成立， 可得-m ＜x+ 4x在x∈（0，4）恒成立，设g （x ）=x+ 4x ，x∈（0，4），由x+ 4x ≥2 √x •4x =4，当且仅当x=2∈（0，4）时取得等号， 即有g （x ）的最小值为4， 可得-m ＜4，即m ＞-4， 故选：B ．【点评】：本题考查含参二次不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和基本不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．10.（单选题，3分）若等差数列{a n }单调递减，a 2，a 4为函数f （x ）=x 2-8x+12的两个零点，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时，正整数n 的值为（ ） A.3 B.4 C.4或5 D.5或6【正确答案】：C【解析】：先解出两个零点，再利用等差数列的通项公式，求出数列为0的项，即可推出结果．【解答】：解：因为a 2，a 4为函数f （x ）=x 2-8x+12的两个零点，则 {a 2+a 4=8a 2a 4=12， ，等差数列{a n }单调递减， 解得： {a 2=6a 4=2．所以公差为-2，首项为8， 所以a n =8-2（n-1）=10-2n ． 令10-2n=0，解得，n=5，所以数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时，正整数n 的值为4或5． 故选：C ．【点评】：本题考查知识点函数的零点，等差数列的通项公式；等差数列的性质，考查分析问题解决问题的能力，11.（单选题，3分）在《九章算术》中，底面是直角三角形的直棱柱成为“堑堵”．某个“堑堵”的高为2，且该“堑堵”的外接球表面积为12π，则该“堑堵”的表面积的最大值为（）A. 4+4√2B. 12+4√2C. 16+4√2D. 20+4√2【正确答案】：B【解析】：由已知求得底面斜边长，写出棱柱表面积，换元后利用函数的单调性求最值．【解答】：解：由该“堑堵”的外接球表面积为12π，得4π×(√AB 2+42)2=12π，解得AB= 2√2．∴该“堑堵”的表面积S=2（AC+BC）+ 2×12AC×BC+4√2 =2（AC+BC）+AC•BC+4 √2．令AC+BC=x（2√2＜x≤4），则AC•BC= x 2−82．∴S=2x+ x2−82+4√2 = 12x2+2x−4+4√2．函数在（2 √2，4]上为增函数，则当x=4时，S取得最大值为12+ 4√2．故选：B．【点评】：本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积，考查函数与方程思想的应用，训练了利用换元法求最值，是中档题．12.（单选题，3分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2，数列{b n}满足b n=log a a n+1a n (0＜a＜1)，T n是数列{b n}的前n项和，若M n=12log a a n+1，则T n与M n的大小关系是（）A.T n≥M nB.T n ＞M nC.T n ＜M nD.T n ≤M n 【正确答案】：C【解析】：数列{a n }的前n 项和 S n =n 2 ，n≥2时，a n =S n -S n-1，n=1时，a 1=S 1=1，可得a n =2n-1. a n +1a n = 2n 2n−1 ．A n = a 1+1a 1 • a 2+1a 2 •…• a n +1a n，通过放缩可得：A n ＜ √2n +1 ．进而得出结论．【解答】：解：数列{a n }的前n 项和 S n =n 2 ，n≥2时，a n =S n -S n-1=n 2-（n-1）2=2n-1． n=1时，a 1=S 1=1，对于上式成立． ∴a n =2n-1，a n +1a n = 2n2n−1． A n =a 1+1a 1 • a 2+1a 2 •…• a n +1a n = 21 × 43 × 65 ×…× 2n 2n−1 ＞ 32 × 54 ×…× 2n+12n = 1A n×（2n+1）． ∴A n ＞ √2n +1 ． 数列{b n }满足 b n =log a a n +1a n(0＜a ＜1) ， T n =log a （a 1+1a 1 • a 2+1a 2 •…• a n +1a n）＜ log a √2n +1 = 12 log a a n+1=M n ．∴T n ＜M n ． 故选：C ．【点评】：本题考查了数列递推关系、放缩法、不等式的性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.（填空题，3分）已知等比数列{a n }的前n 项和 S n =2t •3n−1−43，则t=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：由已知结合等比数列的求和公式， 2t 3 = 43 ，可求．【解答】：解：因为q≠1，S n = a 1(1−q n )1−q = a 11−q−a11−q •q n ，结合等比数列和的特点可知， S n =2t •3n−1−43 中， 2t 3 = 43 ， 故t=2． 故答案为：2．【点评】：本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．14.（填空题，3分）已知函数a ＞1， b ＞12 ，若实数（a-1）（2b-1）=1，则a+2b 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：由a ＞1， b ＞12 ，（a-1）（2b-1）=1，则a+2b=（a-1）+（2b-1）+2 ≥2√(a −1)(2b −1)+2 =4，求出结果．【解答】：解：由a ＞1， b ＞12 ，（a-1）（2b-1）=1，则a+2b=（a-1）+（2b-1）+2 ≥2√(a −1)(2b −1)+2 =4，当且仅当a=2b=2时，取等号， 故a+2b 的最小值为4， 故答案为：4．【点评】：本题考查基本不等式的应用，解题的关键是对式子进行恰当的变形，基础题． 15.（填空题，3分）在△ABC 中， A =π6 ，A 的角平分线AD 交BC 于点D ，若 AB =√2 ， AC =√6 ，则AD=___ ． 【正确答案】：[1] √3【解析】：在△ABC 中，由余弦定理可解得 BC =√2 ，由此可知△ABC 为等腰三角形，且AB=BC ，则 C =π6，B =2π3，再在△ACD 中运用正弦定理即可求得AD 的值．【解答】：解：在△ABC 中，由余弦定理有， BC 2=AB 2+AC 2−2AB •AC •cosA =2+6−2×√2×√6×√32=2 ，∴ BC =√2 ，∴△ABC 为等腰三角形，且AB=BC ， ∴ C =π6，B =2π3， ∴ ∠ADC =12A +B =π12+2π3=3π4 ， 在△ACD 中，由正弦定理有， ACsin∠ADC =ADsinC ， ∴ AD =√6×12√22=√3 ．故答案为： √3 ．【点评】：本题考查正余弦定理在解三角形中的运用，考查计算能力，属于基础题．16.（填空题，3分）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CD的中点，动点N在体对角线A1C上（点N与点A1，C不重合），则平面AMN可能经过该正方体的顶点是___ ．（写出满足条件的所有顶点）【正确答案】：[1]C1，B1，D1，A1【解析】：如图所示，取A1B1的中点G，连接AG，C1G．可得四边形AMC1G是平行四边形．经过平移C1G可得：平面AMN可能经过该正方体的顶点．【解答】：解：如图所示，取A1B1的中点G，连接AG，C1G．则四边形AMC1G是平行四边形．经过平移C1G可得：平面AMN可能经过该正方体的顶点是C1，B1，D1，A1．故答案为：C1，B1，D1，A1．【点评】：本题考查了正方体的性质、平行四边形与点共面，考查了推理能力与空间想象能力，属于基础题．17.（问答题，0分）证明：对任意实数x∈（-3，+∞），不等式√x+3−√x+5＜√x+4−√x+6恒成立．【正确答案】：【解析】：根据题意，利用分析法证明不等式恒成立即可．【解答】：证明：要证明x∈（-3，+∞）时，不等式√x+3−√x+5＜√x+4−√x+6恒成立，只需证√x+3 + √x+6＜√x+4 + √x+5恒成立；即证x+3+2 √(x+3)(x+6) +x+6＜x+4+2 √(x+4)(x+5) +x+5恒成立，即证√(x+3)(x+6)＜√(x+4)(x+5)恒成立，即证（x+3）（x+6）＜（x+4）（x+5）恒成立，化简得18＜20，显然该不等式恒成立；所以x∈（-3，+∞）时，不等式√x+3−√x+5＜√x+4−√x+6恒成立．【点评】：本题考查了利用分析法证明不等式恒成立问题，是基础题．18.（问答题，0分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csin2B+bsin（A+B）=0．（1）求角B；，求a+c．（2）若b=7，△ABC的面积为15√34【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合正弦定理化简可求cosB，进而可求B；（2）由面积公式可解得ac=15，① 由余弦定理，可得a2+c2+ac=49，即（a+c）2=-ac+49，③ 将① 代入③ 即可解得a+c的值．【解答】：解：（1）∵csin2B+bsin（A+B）=0，由正弦定理可得，sinCsin2B+sinBsin（A+B）=0，化简可得，2sinCsinBcosB+sinBsinC=0，∵sinBsinC≠0，∴cosB=- 12，∵B∈（0，π），∴B= 2π3，（2）b=7，B= 2π3，由面积公式可得：12acsinB= 15√34，即ac=15，①由余弦定理，可得：a2+c2-2accosB=b2，即a2+c2+ac=49 ② ，由② 变形可得：（a+c）2=-ac+49，③将① 代入③ 可得（a+c）2=64，故解得：a+c=8．【点评】：本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力，属于中档题．19.（问答题，0分）已知数列{a n}的前n项和S n满足nS n+1-（n+1）S n+n（n+1）=0，且a1=10．求数列{|a n|}的前n项和．【正确答案】：【解析】：nS n+1-（n+1）S n+n（n+1）=0，变形为S n+1n+1 - S nn=-1，利用等差数列的通项公式可得S nn，S n，再利用n≥2时，a n=S n-S n-1，可得a n，利用a n≥0，对n分类讨论，去掉绝对值符号，利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】：解：nS n+1-（n+1）S n+n（n+1）=0，∴ S n+1n+1 - S nn=-1，∴数列{ S nn}是等差数列，公差为-1．∵a1=10，S11=10．∴ S nn=10-（n-1）=11-n，∴S n=11n-n2，∴n≥2时，a n=S n-S n-1=11n-n2-[11（n-1）-（n-1）2]=12-2n，n=1时也成立．∴a n=12-2n，令a n=12-2n≥0，解得n≤6．∴n≤6时，数列{|a n|}的前n项和T n=10+8+……+（12-2n）= n(10+12−2n)2=n（11-n）=11n-n2．n≥7时，数列{|a n|}的前n项和T n=6×5+2+4+……+（2n-12）=30+ (n−6)(2+2n−12)2=30+（n-6）（n-5）=n2-11n+60．综上可得：T n= {11n−n2，1≤n≤6n2−11n+60，n≥7．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式求和公式、分类讨论、绝对值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（问答题，0分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱AA1的中点．问：在棱A1D1上是否存在点N，使得C1N || 面B1MC？若存在，请说明点N的位置；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：取DD1中点P，A1D1中点N，连结C1P，NP，则NP || B1C，PC1 || MB1，从而平面PNC1 || 平面 CB1M，由此推导出在棱A1D1上存在中点N，使得C1N || 面B1MC．【解答】：解：在棱A1D1上存在中点N，使得C1N || 面B1MC．理由如下：取DD1中点P，A1D1中点N，连结C1P，NP，∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱AA1的中点．∴NP || B1C，PC1 || MB1，∵NP∩PC1=P，B1C∩MB1=B2，∴平面PNC1 || 平面 CB1M，∵C1N⊂平面PNC1，∴C1N || 面B1MC．【点评】：本题考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.（问答题，0分）已知S n是数列{a n}的前n项和，当n≥2时，S n+2=S n+1+S n−1，且2S1=0，a2=4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）等比数列{b n}满足b2a2=b3a3=1，求数列{a n•b n}的前n项和T n．【正确答案】：，且S1=0，a2=4．可得2S n+4=S n+1+S n-1，【解析】：（1）当n≥2时，S n+2=S n+1+S n−12可得a n+4=a n+1，利用等差数列的通项公式可得a n．（2）设等比数列{b n}的公比为q，满足b2a2=b3a3=1，可得4b1q=8b1q2=1，解得：q，b1．可得b n，a n•b n．利用错位相减法即可得出．，且S1=0，a2=4．【解答】：解：（1）当n≥2时，S n+2=S n+1+S n−12∴2S n+4=S n+1+S n-1，∴a n+4=a n+1，即a n+1-a n=4，a2-a1=4．∴数列{a n}为等差数列，公差为4，首项为0．∴a n=4（n-1）．（2）解：设等比数列{b n}的公比为q，满足b2a2=b3a3=1，∴4b1q=8b1q2=1，=b1．解得：q= 12∴b n= (12)n．∴a n•b n= n−12n−2．∴数列{a n•b n}的前n项和T n=0+1+ 22 + 322+ 423+……+ n−12n−2．∴ 1 2 T n=0+ 12+ 222+……+ n−22n−2+ n−12n−1，∴ 1 2 T n=1+ 12+ 122+……+ 12n−2- n−12n−1= 1−(12)n−11−12- n−12n−1，∴T n=4- n+12n−2．【点评】：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.（问答题，0分）已知数列{a n}的前n项和S n满足√S n+1=√S n+1，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=1a n a n+1，且数列{b n}的前n项和T n满足6T n＜t2−2t对任意正整数n恒成立，求实数t的取值范围；（3）设c n=(34)n•a n+1，问：是否存在正整数m，使得c m≥c n对一切正整数n恒成立？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）数列{a n}的前n项和S n满足√S n+1=√S n+1，且a1=1. √S n+1 - √S n =1，利用等差数列的通项公式可得：S n．n≥2时，a n=S n-S n-1．n=1时，a1=S1，可得a n．（2）b n=1a n a n+1 = 1(2n−1)(2n+1)= 12（12n−1- 12n+1），利用裂项求和可得：数列{b n}的前n项和T n，根据单调性可得T n的最值情况，再根据满足6T n＜t2−2t对任意正整数n恒成立，即可得出实数t的取值范围．（3）设c n=(34)n•a n+1 = (34)n•（2n+1），通过作差可得其单调性，即可得出结论．【解答】：解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足√S n+1=√S n+1，且a1=1．∴ √S n+1 - √S n =1，√S1 =1．∴数列{ √S n }是等差数列，首项与公差都为1．∴ √S n =1+n-1=n ，∴S n =n 2．n≥2时，a n =S n -S n-1=n 2-（n-1）2=2n-1．n=1时，a 1=S 1=1，对于上式成立．∴a n =2n-1．（2） b n =1a n a n+1= 1(2n−1)(2n+1) = 12 （ 12n−1 - 12n+1 ）， ∴数列{b n }的前n 项和T n = 12 （1- 13 + 13 - 15 +……+ 12n−1 - 12n+1 ）= 12 （1- 12n+1 ）＜ 12 ，∵满足 6T n ＜t 2−2t 对任意正整数n 恒成立，∴6× 12 ≤t 2-2t ，解得：t≥2或t≤-1．∴实数t 的取值范围是t≥2或t≤-1．（3）设 c n =(34)n •a n+1 = (34)n •（2n+1）， c n+1-c n = (34)n+1 （2n+3）- (34)n •（2n+1）= (34)n • 5−2n 4 ，可得：c 1＜c 2＜c 3＞c 4＞……．∴存在正整数m=3，使得c m ≥c n 对一切正整数n 恒成立．【点评】：本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.（问答题，0分）在数列{a n }中，a 1=2，a 2=6．当n≥2时，a n+1+a n-1=2a n +2．若[x]表示不超过x 的最大整数，求[2019a 1 + 2019a 2 + 2019a 3 +…+ 2019a 2019]的值．【正确答案】：【解析】：首项利用关系式的变换利用叠加法的应用求出数列的通项公式，进一步利用取整的应用求出结果．【解答】：解：数列{a n }中，a 1=2，a 2=6．当n≥2时，a n+1+a n-1=2a n +2．所以（a n+1-a n ）-（a n -a n-1）=2，利用叠加法的应用，整理得a n+1-a n =a 2-a 1+2（n-1），所以a n =2+4+6+…+2n=n （n+1）．则 1a n =1n −1n+1 ， 若[x]表示不超过x 的最大整数，所以[2019a 1 + 2019a 2 + 2019a 3 +…+ 2019a 2019 ]= 2019×[1−12+12−13+⋯+12019−12020] = 2019×(1−12020)=2019−20192020 ∈（2018，2019）．所以[2019a 1 + 2019a 2 + 2019a 3 +…+ 2019a 2019 ]的整数值为2018．【点评】：本题考查的知识要点：叠加法的应用，信息题型的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。
2019-2020学年山东省潍坊市高一下学期期中考试数学试题Word版含答案
2019-2020学年山东省潍坊市高一下学期期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确选项的代码填入答题卡上.） 1. 化简sin600°的值是A.12B.12-3 D. 32. 角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝A.55 B.255 C ．525 3. α是第二象限角，则2α是 A.第一象限角 B.第二象限角C.第一象限角或第三象限角D.第一象限角或第二象限角 4.已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是A.1B.2C.4D.1或45．甲、乙两位同学在5次考试中的数学成绩用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示数学成绩的十位数字，两边的数字表示数学成绩的个位数字．若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是A ． x x <甲乙，甲比乙成绩稳定B ． x x <甲乙，乙比甲成绩稳定C ． x x >甲乙，甲比乙成绩稳定D ． x x >甲乙，乙比甲成绩稳定 6.如图，给出的是计算11111246822+++++L 的一个程序 框图，其中判断框内应填入的条件是A. 11i <B. 11i >C. 22i <D. 22i >7. 已知圆221:23460C x y x y +--+=和圆222:60C x y y +-=，则两圆的位置关系为A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切8. 某数据由大到小为10, 5, x ,2, 2, 1,其中x 不是5,该组数据的众数是中位数的23,该组数据的标准差为A. 3B.4C. 5D. 69．若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用3人，这5人被录用的机会均等，则甲、乙同时被录用的概率为 A ．23 B ．25 C ．35 D ．31010.若a 是从区间0,3[]中任取的一个实数，则12a <<的概率是A ．23 B ．56 C ．13 D ．1611.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算机给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为A ．0.852 B. 0.8192 C. 0.8 D. 0.7512.已知圆C ：22240x y x y +-+=关于直线3110x ay --=对称，则圆C 中以44a a(,-)为中点的弦长为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．）13. 某单位有500位职工，其中35岁以下的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解职工的健康状态，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，需抽取50岁以上职工人数为 ． 14．若32)sin(-=-απ, 且)0,2(πα-∈, 则αtan 的值是___________．15. 在[]4,3-上随机取一个实数m ，能使函数在R 上有零点的概率为 ．16．已知直线l ： (0)y kx k =>，圆221:(1)1C x y -+=与222:(3)1C x y -+=，若直线l 被圆C 1，C 2所截得两弦的长度之比是3，则实数k = .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17题10分，其余均为12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）（Ⅰ）求值：()tan150cos 210sin 60sin(30)cos120︒-︒-︒o o； （Ⅱ）化简：sin()cos()tan(2)cos(2)sin()tan()απαπαπαπαα-+++--.18. （本小题满分12分）某公司为了解下属某部门对企业职工的服务情况，随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分，得到的频率分布表如下：（Ⅰ）求出频率分布表中m 、n 位置的相应数据，并画出频率分布直方图； (Ⅱ)同一组中的数据用区间的中点值作代表，求这50名职工对该部门的评分的平均分. 19. （本小题满分12分） 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. （I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（i ）用所给编号列出所有可能的结果；（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率.20．（本小题满分12分）为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（结果保留两位小数）参考公式：1221ˆ=ni i i nii x ynx y bxnx ==-⋅-∑∑， ˆˆa y bx=-. 参考数据：5162.7i i i x y ==∑，52155i i x ==∑.21．（本小题满分12分）已知02x π-<<，1sin cos 5x x +=. （Ⅰ）求sin cos x x -的值； （Ⅱ）求24sin cos cos x x x -的值. 22．（本小题满分12分）已知圆C 过点M (0，－2)，N (3，1)，且圆心C 在直线x ＋2y ＋1＝0上． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)过点(6,3)作圆C 的切线，求切线方程；(Ⅲ)设直线:l y x m =+，且直线l 被圆C 所截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆C 1过原点，求直线l 的方程.2019-2020学年山东省潍坊市下学期期中考试高一数学试题参考答案一、选择题：DBCCB BDADC DA二、填空题13. 19 14.255- 15.3716.13三、解答题17.解：（Ⅰ）原式=00000tan30cos30) sin30(cos60)---（-）(-sin60tan60 3.=-=-…………………………………………5分（Ⅱ）原式sin(cos)tan sin cos tan=1cos sin(tan)cos sin tanαααααααααααα--==---.………………………………10分18.解:(Ⅰ)频率分布表如下:50(515128)10m=-+++=，…………………………………………3分150.350n==，………………………………………6分频率分布直方图如图所示：…………………………………………9分（Ⅱ）x =550.1650.2750.3850.24950.16⨯+⨯+⨯+⨯+⨯76.6=. …………………………………………12分19.解：（I ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2.……4分 （II ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种. ………………………8分（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A , {}25,A A ,{}26,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93.155P A == …………………………………………12分 20．解：（Ⅰ） 11+2+3+4+5=35x =（）， 17+6.5+5.5 3.8 2.2)55y =++=（，………………2分5162.7i ii x y==∑，52155i i x ==∑.所以51522162.7535ˆ 1.235559i ii ii x y nx ybxnx ==-⋅-⨯⨯===--⨯-∑∑，ˆˆ=5( 1.23)38.69ay bx =---⨯=，………………4分 所以所求的回归直线方程为ˆ 1.238.69yx =-+.…………………………………………6分 （Ⅱ）年利润……………………9分所以 2.72x ≈时，年利润z 最大. …………………………………………12分 21.解：（Ⅰ）因为1sin cos 5x x +=，所以112sin cos 25x x +=， 242sin cos 25x x =-，…………………………………………3分 因为02x π-<<，所以sin 0, cos 0x x <>，所以sin cos 0x x -<，249(sin cos )12sin cos 25x x x x -=-=， 所以7sin cos 5x x -=-.…………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1sin cos 57sin cos 5x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3sin 5x =-，4cos 5x =， 3tan 4x =-. …………………………………………9分24sin cos cos x x x -2224sin cos cos sin cos x x xx x-=+ 24tan 1tan 1x x -=+6425=-.…………………………………………12分22.解：(Ⅰ)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧－D2－E ＋1＝0，4－2E ＋F ＝0，10＋3D ＋E ＋F ＝0，解得D ＝－6，E ＝4，F ＝4，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. ……………………………………4分 （Ⅱ）圆C 的方程为22(3)(2)9x y -++=, 当斜率存在时，设切线方程为3(6)y k x -=-，则3=，解得815k =， 所以切线方程为83(6)15y x -=-，即81530x y --=. ………………7分 当斜率不存在时，6x =.所以所求的切线方程为81530x y --=或6x =. ……………………8分 （Ⅲ）直线l 的方程为y ＝x ＋m .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0，y ＝x ＋m ，消去y 得2x 2＋2(m －1)x ＋m 2＋4m ＋4＝0，(*)………………………………………9分∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 2＋4m ＋42，∴y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2.∵AB 为直径，∴∠AOB ＝90°，∴|OA |2＋|OB |2＝|AB |2， ∴x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0，……………………………11分 即m 2＋4m ＋4＋m (1－m )＋m 2＝0，解得m ＝－1或m ＝－4. 容易验证m ＝－1或m ＝－4时方程(*)有实根．所以直线l 的方程是y ＝x －1或y ＝x －4.………………12分。
山东省烟台市中英文学校2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题
山东省烟台市中英文学校2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题一、单选题1．某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为（ ） A ．1.3B ．1.5C ．1.7D ．1.92．甲中学的女排和乙中学的女排两队进行比赛，在一局比赛中甲中学女排获胜的概率是35，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲中学的女排获胜的概率等于（ ） A ．19125B ．27125C ．54125D ．811253．设,,αβγ是三个不同平面，且,l m αγβγ==I I ，则“//l m ”是“//αβ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知母线长为a 的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（ ）A 3aB 3aC 3aD 3a 5．2016年至2023年我国原油进口数量如图所示：下列结论正确的是（ ）A ．2016年至2023年我国原油进口数量逐年增加B ．2016年至2023年我国原油进口数量的极差为16138万吨C ．2016年至2023年我国原油进口数是的80%分位数为54239万吨D ．2015年我国原油进口数量少于30000万吨6．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，4PA =，PC 与平面ABCD 所成角的大小为θ，且tan θP ABCD -的外接球表面积为（ ）A ．26πB ．28πC ．34πD ．14π7．抛掷一枚骰子两次，将得到的点数分别记为,a b ，则,,6a b 能构成三角形的概率是（ ） A ．712B ．512C ．23D ．138．在三棱锥-P ABC 中，顶点P 在底面的射影为ABC V 的垂心O （O 在ABC V 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ） A ．若12θθ=，则AC BC = B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6π D ．当θ取值最大时，12θθ=二、多选题9．某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从中随机取两个球，甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，则下列说法错误的是（ ）A ．若不放回取球，则甲乙相互独立B ．若有放回取球，则甲乙相互独立C ．若不放回取球，则甲乙为互斥事件D ．若有放回取球，则甲乙为互斥事件10．盒子中有编号一次为1,2,3,4,5,6的6个小球（大小相同），从中不放回地抽取4个小球并记下编号，根据以下统计数据，可以判断一定抽出编号为6的小球的是（ ）A ．极差为5B ．上四分位数为5C ．平均数为3.5D ．方差为4.2511．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，(]()(]()10,1,0,1BP BD CQ CB λλμμ=∈=∈u u u r u u u r u u u r u u u r，过点,,P E Q 的平面截该正方体所得的截面为Ω，则（ ）A ．不存在,λμ，使得PQ ⊥平面1ACDB ．当平面//EPQ 平面1ACD 时，12λμ+=C ．线段PQD ．当14λμ==时，1Ω24PEQ =V 的面积的面积三、填空题12．已知样本数据为1，a ，b ，7，9，该样本数据的平均数为5，则这组样本数据的方差的最小值为．13．冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、31x +想等，其描述为：任一正整数x ，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为.14．如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ACFD ⊥平面ABC ，45ACB ∠=︒，60BCD ∠=︒，2DC BC =.（1）求DC 与平面ABC 所成线面角大小.（2）若2AB BC ==，求三棱锥D ABC -外接球表面积.四、解答题15．如图，在正四棱锥P ABCD -中，O 为底面ABCD 的中心．(1)若5AP =，AD =(2)若AP AD =，E 为PB 的中点， 求直线BD 与平面AEC 所成角的大小．16．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率()0.5p c =％时，求临界值c 和误诊率()q c ；(2)设函数()()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[]95,105的最小值．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，M 在棱PD 上且AM ⊥侧面PCD ，PO AD ⊥，垂足为O ．(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)若平面AMB 与直线PC 交于点Q ，证明：MQ AB ∥；(3)侧面PAD 为等边三角形时，求二面角P BD A --的平面角θ的正切值．18．某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统G 由3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为23，且每个电子元件能否正常工作是相互独立，若系统G 中有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修． (1)求系统需要维修的概率；(2)为提高系统G 正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率为p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作．问：p 满足什么条件时可以提高整个系统G 的正常工作概率？19．如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上(C 不同于A ，)B ，PA 垂直于圆O 所在平面，G 为AOC V 的重心，2PA AB ==，N 在线段PA 上，且2AN NP =.(1)证明：NG ∥平面POC ；(2)在圆O 上是否存在点C ，使得二面角A OP G --的余弦值为23若存在，指出点C 的位置；若不存在，说明理由.。
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2019-2020学年度第二学期期中自主练习
高一数学参考答案及评分标准
一、单选题
A B D B D C C A
二、多选题
9.AD 10. BC 11.ABC 12.BCD
三、填空题
14.
16.
四、解答题
17.(1)证明：连接11B D ,在正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别为1111,C D B C 的中点，∴EF 是111D C B ∆的中位线，11//D B EF ∴， ………………2分 又因为BD D B //11，∴BD EF //
∴四边形BDEF 为平行四边形，即F E D B ,,,四点共面. ………………4分
(2)在正方体1111ABCD A B C D −中，AC BD P =， 11AC EF Q =，
∴PQ 是平面C C AA 11与平面BDEF 的交线， ………………6分 又因为1AC 交平面BDEF 于点R ，
∴R 是平面C C AA 11与平面BDEF 的一个公共点. ………………8分 因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，
∴,,P Q R 三点共线. ………………10分
18.解：（1）因为()()
220lg 4432i a z a a a =+−++−为纯虚数， 所以()22lg 440320
a a a a −−⎧+=⎪⎨+≠⎪⎩，即22441320a a a a −−⎧+=⎪⎨+≠⎪⎩， 解得3a =， ………………3分
此时02i z =，由韦达定理得00
32i 6i z b z b +=+⎧⎨=⎩， 3b =. ………………6分
(2) 复数z 满足1i z a b ≤≤+,
即1z ≤≤ ………………7分 不等式1z ≥的解集是圆1z =的外部（包括边界）所有点组成的集合，
不等式z ≤
z = 所以所求点Z 的集合是以原点为圆心，以1
和括边界. ………………10分
22=1]17S ππ−=圆环. ………………12分 19. 解：（1）因为222+a b c ab −=， 所以222+1cos 222
a b c ab C ab ab −===， ………………3分 因为(0,)C π∈,所以3C π
=； ………………5分
（2）因为cos sin a B b A c +=，
由正弦定理可得，sin cos sin sin sin sin()A B B A C A B +==+…………7分 故sin cos sin sin sin cos sin cos A B B A A B B A +=+，
所以sin cos A A =， ………………9分 因为(0,)A π∈，所以4A π
=， ………………10分
由正弦定理可得，sin sin c A a C ===． ………………12分
20. 解:（1）因为SC 是高，3SC =，AC BC ⊥，2AC BC ==，
所以 111122323326
S ABC ABC V S SC AC BC SC −=⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=；……4分 （2）因为SC 是高，3SC =，AC BC ⊥，2AC BC ==， 所以1123322SAC SBC S
S AC SC ==
⋅=⨯⨯=， ……………6分 1122222ABC S AC BC =⋅=⨯⨯=,
………………8分 SAB ∆
是等腰三角形，SA SB ===
AB =,
……………9分 所以12
SAB S ∆=⨯=……………10分
所以三棱锥S ABC −的表面积为 ………………12分
21. 解：（1）因为2AD BC =， 所以1122
DC DA AB BC AD AB AD AD AB =++=−++=−+；…………4分 （2）由已知：1||||,2,2==== 得：2||,2||== 在ADE ∆中，2,90===∠AD AE A ，
45=∠=∠∴ADE AED ，22=DE . ………………………………………………5分 在BCE ∆中，1,90===∠BC BE B ，
45=∠=∠∴BEC BCE ，2=CE
90=∠∴CEP ………………………………………………7分 又2= ，3
22||,324||==∴. ……………………………8分 在CEP ∆中，3
22,2,90===∠PE CE CEP ，326=∴CP …………10分 131323
26
32
2cos ==∠∴CPE ……………………………11分 π=∠+∠CPD CPE ，13
132cos −=∠∴CPD ……………………………12分 22. 解：（1）在Rt ABC ∆中，tan 2AC AB ABC =⋅∠=. ………………1分
在Rt ACD ∆中，tan CD CAD AD
∠==，所以60CAD ∠=， 所以cos 1AD AC CAD =∠=. ………………3分
在Rt BCD ∆中，
22219BD BC CD =+=，
所以BD = ………………5分
（2）设CAD θ∠=，因为3090180ABD θ∠+++=，
所以60ABD θ∠=−，2cos AD θ=， ………………8分
在ABD △中，由正弦定理得()2cos sin 30
sin 60θθ=−，
化简得cos θθ=， ………………10分 代入22sin cos 1θθ+=，得24sin 7θ=，
又θ为锐角，所以sin θ=，
即sin CAD ∠=………………12分。