解决一元二次不等式的恒成立问题 高中数学教案

教师姓名韩贺凤单位名称巴州第一中学填写时间2020·8·15学科数学年级/册高一年级教材版本人教A版课题名称必修五第三章第二节3.2 解决一元二次不等式的恒成立问题

难点名称根据实物，概括棱柱、棱椎、棱台的结构特征

难点分析从知识角度分析为

什么难

对一元二次不等式恒成立的理解与一元二次不等式的解集二者之间的关联性。

从学生角度分析为

什么难

1、一元二次不等式的解法在教材中是利用二次函数的图像分析出来的，学生往

往只重视结果，而忽视了它的形成过程。

2、一元二次不等式恒成立的理解不能与解法有机结合。

难点教学方法数形结合的思想方法

教学环节教学过程

导入从教材的一道例题的解法作为本节课的导入

复习一元二次不等式的解法，教材例2：求不等式-x2+2x-3>0的解集

知识讲解（难点突破）通过由简入难的螺旋思维形成过程，设计三道例题

例1：已知关于x的不等式x2-x+a>0的解集是R，求a的取值范围。

分析：不等式的解集是R，意思是x取任何实数，都能使

不等式成立，因此，二次函数y=x2-x+a的图像就要保证x

为任何实数时，都要使y>0，所以，∆=1-4a<0,从而得到a>¼

例2：已知关于x的不等式x2-ax+4≥0的解集是R，求a的取值范围

分析：同样不等式的解集为R，意思是x取任

何实数不等式都成立，

因此，二次函数y=x2-ax+4的图像也就要保证x取

任何实数都要使y≥0，

所以，∆≤0，即：a2-16≤0,从而得到-4≤a≤4

例3：已知关于x的不等式2ax2+ax-

8

3

<0对一切实数x都成立，求a的取值范围。

分析：不等式对一切实数x都成立，意思是不等式的解集为R，

也就是实数x取任何值，不等式都成立，

因此二次函数y=2ax2+ax- （a≠0)的图像就要保证x取任何实数

都要使y<0，从而得到-3

我们可以发现,题中并没有告诉a≠0，所以需检验a=0的情况，

看是否也能保证题意成立。

经检验，当a=0时，不等式为0x2+0x- <0，此时x取任何实数，不等式都成立，故a=0

综合以上分析，符合题意的a的取值范围是:-3

这类题关键是先理解恒成立问题在题中的含义，再结合图形理解已知条件，继而形成这种题型解决的思维路径。这种数形结合的思想方法，学生更容易直观理解。

o

x

y

x

y

o x

o

y

x

y

o

课堂练习（难点巩固）若f(x)=-x2+mx-1 的函数值没有正值，求m的取值范围。

解：f(x)= -x2+mx-1的函数值没有正值，意思是x取任何实数，都使f(x)≤ 0成立，也就是关于x的不等式-x2+mx-1≤0 对一切实数x都成立。

因此，符合题意的二次函数f(x)= -x2+mx-1的图像

所以，Δ≤0，从而得到m的取值范围是：-2≤m≤2

小结1、一元二次不等式恒成立的解决方法主要采用是“数形结合”的思想方法。

2、要注意参数在二次项系数位置时，要讨论系数为0的情况，否则有可能会漏解。

3.鼓励学生做任何事情都要坚持努力，以赢得出彩的人生。

o

x

y

x

y

o