第三章 恒定电流场

认为电容器中的电流线与边界垂直，
U
1 1 2 2
d1 d2
求得
E1 1 E2 2
又
E1d1 E2 d 2 U
由此求出两种介质中的电场强度分别为
E1 d1 2 d 2 1
2
U
E2
d1 2 d 2 1
1
U
例2
设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面
d2 。当外加恒定电压为 V 时，试求介质分界面的自由电荷面电荷。
U
1 1 2 2
d1 d2
之间的电阻。
y U t r 0 (r,)
仿照静电场的处理，引入标量电位函数 (r)作为辅助场量，即令E = - ，可 得电位满足拉普拉斯方程，即
2 = 0
0 x

a b
解 显然，必须选用圆柱坐标系。设两
个端面之间的电位差为U，且令
那么，由于导电媒质中的电位 仅与角度 有关，因此电位满足 的方程式为 此式的通解为
e
P N
E dl
，所以上式又可
达到动态平衡时，在外源内部 写为
E E
e
P N
E dl
驻立电荷产生的恒定电场与静止电荷产生的静电场一 样，也是一种保守场。因此，它沿任一闭合回路的线积分
应为零，即


l
E dl 0
考虑到导电媒质中，J E ，那么，上式可写成
又知单位长度内同轴线的电容 C1
2π ln(b / a)
G1
思考题 半径分别为a和b的同轴线，外加电压U，求这种同轴线单
位长度上的电容，若漏电导率为γ，求单位长度上的电阻R。
例 已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图示。其介
电常数分别为 1 和 2 ，电导率分别为 1 和 2 ，厚度分别为 d1 和
变压器油 玻 璃 橡 胶
10 11
10 12
1.57 10 7
10 7
10 15
运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且 电流密度的方向与电场强度的方向也可能不同。可以证
明运流电流的电流密度J 与运动速度 v 的关系为
J v
式中 为电荷密度。 与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出 均匀与非均匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性 等特点，这些特性的含义与前相同。上述公式仅适用于
由上可见，极板上的电荷通过导电媒质不断流失，外源又
不断地向极板补充新电荷，从而维持了连续不断的电流。因此， 为了在导电媒质中产生连续不断的电流，必须依靠外源。 当达到动态平衡时，极板上的电荷分布保持不变。这 样，极板电荷在外源中以及在导电媒质中产生恒定电场，
且在外源内部保持
E E
，在包括外源及导电媒质的整个
已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程 和无源区中均匀介质内的静电场方程如下：
恒定电流场 ( E 0) 静电场 ( 0)
E dl 0 J dS 0
l S
E 0 J 0
E dl 0 E 0 SD dS 0 D 0
l
J E
E1t E2t J1n J 2 n
D E
E1t E2t D1n D2 n
G I /V
C Q /V
可见，两者非常相似，恒定电流场的电流密度 J 相当于 静电场的电场强度 E，电流线相当于电场线。
因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的
分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用 已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情
回路中维持恒定的电流。 注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷 并不是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变， 因此，这种电荷称为驻立电荷。驻立电荷是在外源作用下形
成的，一旦外源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。
外电场由负极板 N 到正极板 P 的线积分称为外源的
电动势，以e 表示，即
向正极板。可见，在外源中外电场 E' 的方向与极板电荷形成的电场 E 的方向恰好相反。当外源中的外电场与极板电荷的电场等值反向
时，外源中合成电场为零，电荷运动停止。
若外源的极板之间接上导电媒质，正极板上的正电荷通过导电媒 质移向负极板；负极板上的负电荷通过导电媒质移向正极板。因而导 致极板上电荷减少，使得外源中由极板电荷形成的电场 E 小于外电场， 外电场又使外源中的正负电荷再次移动，外源不断地向正极板补充新 的正电荷，向负极板补充新的负电荷。
第三章
恒定电流场
Steady Electric Field
3.1 恒定电场中J与E的关系 3.2 电流连续性原理 3.3 恒定电场中的边界条件 3.4 静电场与恒定电场的比拟
3.1 恒定电场中J与E的关系
1.电流及电流强度 分类：传导电流与运流电流。 传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解
d 2 0 2 d
当角度 0 时，电位 1 0 。 当角度 时，电位 2 U 。 2
C1 C2
利用给定的边界条件，求得

导电媒质中的电流密度 J 为
2U


2U e r r
J E e
那么由 的端面流进该导电媒质的电流 I 为 2
R
C
G C
若已知两电极之间的电容，根据上述两式，即可求得两电极间的电
阻及电导。
S
d
例如，已知面积为 S ，间距为 d 的平板电容器的容 C
为
S S d d
，
若填充的非理想介质的电导率为 ，则平板电容器极板间的漏电导
G
2π 。那么，若同轴线 ln(b / a) 的填充介质具有的电导率为 ，则单位长度内同轴线的漏电导
E 导电媒质 P E N
外 源
既然外源中的非静电力表现为对于电荷的作用力，因此，通常认
为这种非静电力是由外源中存在的外电场产生的，其电场强度仍然 定义为对于单位正电荷的作用力，以 E'表示。由于外电场使正电荷
移向正极板，负电荷移向负极板，因此，外电场的方向由负极板指
2U I J dS e (e tdr ) S S π r 2Ut b dr 2Ut b ln a π r π a
V I π b 2t ln a
因此该导电块的两个端面之间的电阻 R 为
R
3.4 恒定电流场与静电场的比拟
无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。
电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质。 媒 银 紫 铜 质 电导率(S/m) 媒 质 电导率(S/m) 4
6.17 107
5.80 107 4.10 107 3.54 107
海 水 淡 水
10 3
10 5
金
铝 黄 铜 铁
干 土
恒原理的微分形式。因此，对于恒定电 流场，得 此式表明，恒定电流场是无散的。
2. 电动势 如图所示，首先将外接的导电媒质移去，讨论开路情况
下外源内部的作用过程。
在外源中非静电力作用下，正电荷不 断地移向正极板 P ，负电荷不断地移向负 极板 N。极板上的电荷在外源中形成电场 E ，其方向由正极板指向负极板，而且随 着极板上电荷的增加不断增强。 显然，由极板上电荷产生的电场力阻 止正电荷继续向正极板移动，同时也阻止 负电荷继续向负极板移动，一直到极板电 荷产生的电场力等于外源中的非电力时， 外源的电荷运动方才停止，极板上的电荷 也就保持恒定。
向恒定电流。当电流由理想导电体流出进入一般导电媒
质时，电流线总是垂直于理想导电体表面。
例1 已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图示。其 介电常数分别为 1 和 2 ，电导率分别为 1 和 2 ，厚度分别为 d1 和 d2 。当外加恒定电压为 V 时，试求两层介质中的电场强度。 解 由于电容器外不存在电流，可以
S
0 ，由此得 t
此式表明，在恒定电流场中，电流密度通过任一闭合面的 通量为零。如果以一系列的曲线描述电流场，令曲线上各点
的切线方向表示该点电流密度的方向，这些曲线称为电流线。
那么，电流线是连续闭合的。它和电场线不同，电流线没有 起点和终点，这一结论称为电流连续性原理。 根据高斯定理，求得
l
3.3 恒定电流场在不同介质边界上的边界条件
已知恒定电流场方程的积分形式为

J
l

dl 0
J dS 0
S
对应的微分形式为
J 0
J 0
由积分形式的恒定电流场方程导出边界两侧电流密度 的切向分量关系为
1
J1t
2
J 2t
而边界两侧电流密度的法向分量关系为
液中的离子运动形成的电流。
运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体 中运动形成的电流。
电流强度：单位时间内穿过某一截面的电量，又简
称为电流，以 I 表示。电流的单位为A（安培）。
因此，电流 I 与电荷 q 的关系为
dq I dt
电流密度：是一个矢量，以 J 表示。电流密度的方 向为正电荷的运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过
J E
式中 称为电导率，其单位为 S/m 。 值愈大表明导电
能力愈强，即使在微弱的电场作用下，也可形成很强的电
流。 上式又称为欧姆定律 U IR 的微分形式。
电导率为无限大的导体称为理想导电体。显然，在理想导电体
中，无需电场推动即可形成电流。由上式可见，在理想导电体中是 不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生