弹塑性力学第03章

0
2 t
v
2
xz x
yz y
z z
Fz
0
2 t
w
2
几何方程——应变和位移的关系
物理方程——应力和应变的关系
x
y
E1 [x y z ],
E1 [y x z ],
yz xz
2211EEyxzz
z
E1 [z x y
],
xy
21Exy
x
u x
,
y
v y
,
z
w z
f1(x, y)
y
v y
f2 (x, y)
xy
v u x y
f3 (x, y)
z
w z
0
yz
w y
v z
0
xz
u z
w x
0
平面应变问题的应力分量
τ
yz
=τxz
=
0
zE 1[z(xy)]0
z (xy)
σz在平面应变问题中不为零 。σz的存在说明了沿z方向 无限长的柱体的假设限制了每一个横截面的纵向位移。当柱 体受到垂直于z轴的外力作用时，这些横载面之间必然会产生 挤压力σz，由于σz为应力分量σx与σy的一种组合，因而它 不是独立的未知量，在求得σx和σy后，可由上式单独求解， 而基本方程中不包含σz。
f x xl yxm
f y xyl y m
应力边界条件（一般情况）
fx fy
xl xyl
yx y
m m
zzxynn
fz
xzl
yz
m
z
n
二、平面应变问题
▪ 考察图示水坝或受内压的圆筒，它 们是母线与Oz轴平行且很长的柱体， 所受体力和面力垂直于Oz轴，而且
沿该轴方向均匀分布。对于这类物 体，不妨认为沿z方向是无限长的。 因而，柱体的任意一个垂直于z轴的
y
yz x
xz y
xy z
2 2 y xz
z
yz x
xz y
xy z
2 2 z xy
应力解法 以应力表示的应变 协调方程（一般情况）
2 z 2 y 2 yz y 2 z 2 yz
2 x 2 z 2 xz
z 2 x 2 xz
)
x
y
)
xy
E 2 (1
)
xy
及
z 0, 畸变。这种畸变很小，
yzxz 0
并与z无关，而是x，y的
z E (xy)
函数。它可以从此式中 独立地求出。
弹性力学的基本方程 （一般情况）
平衡（运动）微分方程
x x
yx y
zx z
Fx
0
2 t
u
2
xy x
y y
zx z
Fy
yz xz
2211EEyxzz
z E1 [z x y
],
xy
21Exy
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
E
x
E
,
y
1
E
y
E
,
z
1
E
z
E
,
yz xz
2(1 )
E
2(1)
E
yz xz
xy
2(1)
E
xy
2 y 2z 2 z 2y1 2 y 2 z 2 2 2 y y zz
静力边界条件
§3-1 平面应力问题和平面应变问题
▪ 严格说来，任何一个实际的弹性力学问题都是空 间问题（三维问题），从而要归结为求解复杂的偏 微分方程组的边值问题。但是，当弹性体的几何形 状和受力情况（包括约束条件）具有一定特点时， 只要经过适当的简化和力学的抽象处理，就可以归 结为所谓的弹性力学平面问题，在数学上属于二维 问题。这样处理，将使分析和计算工作量大为减少， 而所得结果却仍可以满足工程上对精度的要求。
弹塑性力学第03章
第三章 弹性力学平面问题
▪§3-1 平面应力问题和平面应变问题 ▪§3-2 平面问题的应力函数解法 ▪§3-3 代数多项式解答 ▪§3-4 若干典型实例 ▪§3-5平面问题的极坐标方程 ▪§3-6 平面轴对称应力问题 ▪§3-7 圆孔孔边应力集中 ▪§3-8 楔形体问题 ▪§3-9 半平面问题 ▪* §3-10 Airy应力函数的物理意义
横截面都可以看成对称截面，在对
称截面上的每一点只能在其自身平 面（与xOy平面平行）内移动，而沿 z方向的位移w为零，因而在整个柱 体内有w=0，由此在任意横截面内，
沿x轴和y轴方向的位移分量u及v均
与z无关，位移分量就简化为
u u(x, y)
v
v(x,
y
)
w 0
平面应变问题几何方程
x
u x
2(xy)(1) F xx F yy
2
2 x2
2 y2
应变协调方程（一般情况)
2 z 2 y 2 yz
y 2
z2
yz
2 x z2
2 z x 2
2 xz xz
2 y x 2
2 x y 2
2 xy xy
x
yz x
xz y
xy z
2
2
x
yz
▪ 根据弹性体的形状与受力特点，弹性力学平面 问题可分成平面应力问题和平面应变问题两个类型。
一、平面应力问题
▪ 由于板很薄，外 力又不沿厚度方 向变化，应力沿 着板厚又是连续 分布的，因此， 可认为在板的内 部，这三个应力 分量是很小的， 不妨近似认为在 整个板内为零。
(z)z 0 ,(z) y z 0 ,(z) x z 0
平面应力问题基本方程
▪ 在平面应力问题中，随着物理量的简化，基 本方程也随之简化 。
x x
yx y
Fx
0
xy x
y y
Fy
0
x
u x
y
v y
xy
v x
u
y
x
1 E
( x
y
)
y
1 E
( y
x
)
or
x
1
E 2
(
x
y
)
y
E 1 2
( y
x
)
xy
2 (1 E
2 y 2 x 2 xy
x 2 y 2 xy
x
yz x
xz y
xy z
2
2
x
yz
y
yz x
xz y
xy z
2 2 y xz
z
yz x
xz y
xy z
2 2 z xy
x
y
E1 [x y z ],
E1 [y x z ],
2
2
2
一点处的应力状态
平面应力问题
▪ 注意到切应力
互等性，可知，
只剩下平行于
xoy面的应力分
量： x,y,xy
▪ 将此三个应力
分量看成与z无
关的、关于x，
y的函数
z0,yz0,xz0
xF 1(x,y) ,yF 2(x,y),xyF 3(x,y)
切应力互等定理
▪ 两相互垂直平面上的切应力数值相等，且均 指向（或背离）该两平面的交线，称为切应 力互等定理。（材料力学P61）
,
yz
w y
v
z
xz
u z
w
x
xy
v x
u
y
x 2Gx, y 2Gy, z 2Gz ,
yz
G
yz
xz G xz
xy
G
xy
平面应力问题的应变协调方程
▪ 问题：平面应力问题的以应力 表示的应变协调方程 类似三
维问题重新推导，能否直接用 三维的结论简化而来？
2y 2x 2xy x2 y2 xy