第1章习题详解

= 1 − P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2)
10 =1− ⋅
9
⋅
8
= 67
15 14 13 91
1.5 答案 1 某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占全厂产量的 45％， 35％，20％．如果各车间的次品率分别为 4％，2％，5％，现从待出厂的产品中任意抽取 1 件进行检验，求: (1)所抽取产品是次品的概率;
(2)已知取到的是次品，该次品是甲车间生产的概率．
解 设 A1 、 A2 、 A3 分别表示事件“取得的这箱产品是甲、乙、丙三厂生产”；以 B 表
示事件“抽取的产品为次品”.
P( A1) = 0.45, P( A2 ) = 0.35, P( A3) = 0.2,
P(B | A1) = 0.04, P( B | A2) = 0.02, P( B| A3) = 0.05;
A U B = {1,2,3,4,6}； A − B = {4,6}； AB = {2}； AC = Φ ； A U B = {1,2,3,5}．
5． A U B = B ； AB = A ；
B
−
A
=
{x
1<
x
≤
3 }
U
{x
1
≤
x
<
1}；
2
4
2
AB = B − A ；
AU B=Ω.
1.3 答案
1. 设 A, B 为随机事件，且 P( A) = 0.7 , P( A − B) = 0.3 ，求 P （ AB ）.
=
P( A1)P(B P(B)
A1 )
=
0.45× 0.04 0.035
=
18 35
≈
0.514.
2 已知 5%的男人和 0.25%的女人是色盲（假设男人和女人各占人数的一半）,现随机地挑 选一人,求(1)此人恰为色盲的概率，(2) 此人为色盲,此人又恰是男人的概率.
设 A={ 此 人 是 男 人 } ， B={ 此 人 是 色 盲 }
3 .设 A，B，C 为三事件，且 P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且 P( AB) = P(BC) = 0 ，
P（AC）=1/12，求 A，B，C 至少有一事件发生的概率. 解 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC)
111 1 3
=++− =
4 4 3 12 4
4 书架上有一部五卷册的文集，求各册自左至右或自右至左排成自然顺序的概率
解．
P( A) =
A22 A55
=
1 60
5．某班有 30 个同学，其中 8 个女同学，随机地选 10 个，求 （1）正好有 2 个女同学的概率 （2）最多有 2 个女同学的概率 （3）至少有 2 个女同学的概率
（1） C82C282 C10
30
（2）可能都是男生、也可能有
1
个或
2
个女生，即概率为
C10 22
+
C81C292
+ C82C282
C10 30
（3）是“没女生、有一个女生”的对立事件，故概率为1 −
C10 22
+ C81C292 C10
30
6．设有 5 张 10 元的、3 张 30 元的和 2 张 50 元的戏票，任意抽取 3 张，求
P(B) =
C21C52 + C51C32 C130
=
7. 24
7．从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 十个数中，随机地有放回地取四次，每次取一个数， 求能组成没有重复数字的四为数的概率。
解 n = 104 ，4 个没有重复数字的排列为 A140 ，组成四位数，但首位不能是零，扣除 A93
P = A140 − A93 = 0.4536 104
20
=
=
0.5× 0.05 + 0.5× 0.0025 21
(反,正,正), (反,正,反), (反,反,正), (反,反,反)｝
A = {(正,正,反), (正,反,反)}
B = {(正,反,正), (正,反,反), (反,反,正), (反,反,反) }
C ={(正,正,正), ((正,正,反), (正,反,正), (正,反,反),
(反,正,正), (反,正,反), (反,反,正)} .
B= Φ.
1.2 答案 1.（1）对 （2）对 （3）错 （4）对 （5）对 （6）错
（7）对 （8）错
2．（1） A B C （2） A BC .
(3) ABC (4) ABC
（5）（ ABC U ABC U ABC U ABC 或 AB U BC U AC ）（6） A + B + C . 3．(1)互斥不对立；(2) 互斥又对立；(3) A ⊂ B . 4.解 A = {2, 4, 6}， B = {1, 2, 3} ， C = {1, 3}
解：P（ AB ）=1−P（AB）=1−[P(A)−P(A−B)]
=1−[0.7−0.3]=0.6
2．设 P( A) = p, P(B) = q ， P( A U B) = r ，求 p( AB) ．
P(AB) = P(A) − P(AB) = P(A) − [P(A)+ P(B)− P(A+ B)]= r − q
= P(B)(1− P( AB) ) = 0.07 × (1− 0.03) = 0.04
P(B)
0.07
类似地可算得 P( AB) = 0.27
6 设在 15 个同一型号的元件中有 5 个次品，从这些元件中不放回地连续取三次，每次取一 个元件，求（1）三次都取得次品的概率；（2）三次中至少有一次取得次品的概率。
记事件 A 为“两数之和小于 0.2”,则
A = {(x, y) (x, y) ∈ Ω, x + y ≤ 0.2} .
这一事件用几何图形表示，事件 A 如图中阴影部分所示.于是
P( A)
=
S( A)
=
1 2
× 0.2 ×0.2
=
0.02 .
S (Ω)
1×1
习题 1.4
1. 已知 P( A) = 0.5 ， P(B) = 0.6 ， P(B A) =0.4， 求 P( A U B) 解 P( A U B) = P(A) + P(B) − P( A)P(B A) = 0.5 + 0.6 − 0.5× 0.4 = 0.9
（3）①{(1, 2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3, 2)}
②{(1,1), (1, 2), (1,3), (2,1), (2, 2), (2,3), (3,1), (3, 2), (3,3)}
③{(1, 2), (1,3), (2,3)}
5．（1）成绩总和可能为
4.（1）可能 0 次出现 6, 可能 1 次出现 6, 可能 2 次出现 6, 可能 3 次出现 6, 可能 4 次 出现 6,故样本空间为{0，1，2，3, 4}。
（ 2）点数之和可能是 2、 3、4 、5、 6、7、 8、9 、10、11 、12，故样本空间为 {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
= 1−
P( A)
= 1−
C51 ⋅ C31 ⋅ C21 C130
=
0.75 .
（2）任意抽取 3 张，共有 C130 种抽法.
3 张票价共值 70 元的组合方式有两种：1 张 50 元的加上 2 张 10 元的； 1 张 10 元的、
2 张 30 元的.所以事件 B 发生共有 C21C52 + C51C32 种.因此
解 P( A ) = n! mn
P( B ) = Amn mn
P( C ) = Cnk ( m −1)n−k mn
10．在区间[0,1]上任取两数，求这两数之和小于 0．2 的概率． 解 设 x, y 分别表示这两个数，则样本空间为
Ω = {(x, y) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
65 75
；
(3) 设 A3={五个人的生日不都在星期日}
P（A3）=1- P(A1)=1-
1。 75
9．把 n 个人随机地分配到 m 个房间中（ n < m ，一个房间中可有多人）求下列事件的
概率。
(1)指定的 n 个房中各有一人； (2)有 n 个房中各有一人； (3)指定的一个房中恰有 k 人（ k < n ）
0、1、2…
30
×100
，故样本空间为
⎧ ⎨
0
,
1
,
2
K
30
×100
⎫ ⎬
⎩30 30 30
30 ⎭
（2）总件数至少 10 件，故样本空间为{10，11，12，… }.
6．（1）{123, 132, 213, 231 , 312, 321 }；
（2） A ={5 正, 4 正 1 次, 3 正 2 次}
3. 甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲 为 20%，乙为 18%，两市同时下雨的天数占 12%． 求乙市下雨时甲市也下雨的
概率．
解 分别用 A ， B 记事件{甲下雨}和{乙下雨}. 依题意有， P( A) = 20% ， P(B) = 18% ， P( AB) = 12%
2．市场上供应的某种商品中，甲厂产品占 80％，乙厂产品占 20％，甲厂产品的次品率为 3
％，乙厂产品的次品率为 2％．若用事件 A , B 分别表示甲、乙两厂的产品， C 表示产品为 次品，写出 P(C A), P(C B) , P(C A) , P(C B) 的值．
解 P(C A) =3％= 0.03 P(C B) =2％= 0.02 P(C A) =0.97 P(C B) = 0.98
解 设 Ai ＝{第 i 次取到次} i = 1,2,3 ，则
（1） P( A1 A2 A3 ) = P( A1 )P( A2
A1 )P( A3
A1
A2
)
=
5 15
⋅
4 14
⋅
3 13
=
2 91
( ) （2） P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = 1− P A1 ∪ A2 ∪ A3 = 1− P( A1 A2 A3)
P( A | B) = P( AB) = 12 = 2 P(B) 18 3
4 某动物活到10 岁的概率为 0.8，活到15 岁的概率为 0.4 ，问现年10 岁的这种动物活到15
岁的概率是多少？
解 A = { 活到10 岁} ， B = { 活到15 岁} ，则 P( A) = 0.8 ， P(B) = 0.4 ，所求概率为
(1)其中至少有 2 张价格相同的概率 P( A) ； (2)3 张票价共值 70 元的概率 P(B) ．
解（1）事件 A 的对立事件为： A ＝“抽取的 3 张戏票价格皆不相同”. 任意抽取 3 张，
共有 C130 种抽法，事件 A 发生的基本事件总数为 C51 ⋅ C31 ⋅ C21 ，于是有
P( A)
自编概率第一章习题解答
1.1 答案 1.（1）是 （2）不是 （3）是
2. Ω = {(a,b1), (a,b2 ), (a,b3 ), (a,b4 ), (b1,b2 ), (b1,b3 ), (b1, b4 ), (b2 ,b3 ), (b2 ,b4 ), (b3 ,b4 )} 3. 样本空间 Ω =｛(正,正,正), (正,正,反), (正,反,正), (正,反,反),
(1)由全概率公式 ，有
P(B) = P(B | A1)P( A1) + P(B | A2 )P( A2 ) + P(B | A3)P( A3)
= 0.45× 0.04 + 0.35× 0.02 + 0.20× 0.05 = 0.035 .
(2)由贝叶斯公式,有
P( A1
|
B)
=
P( A1B) P(B)
P(B A) = P( AB) = P(B) = 0.4 = 0.5 ． P( A) P( A) 0.8
5 某市的一项调查表明：该市有 30%的学生视力有缺陷，7%的学生听力有缺陷，3%的学生视 力与听力都有缺陷．随意找一名学生,求他视力没缺陷但听力有缺陷及视力有缺陷但听力没 缺陷的概率．
解 设 A ={学生视力有缺陷}， B ={学生听力有缺陷} 则 P( AB) = P(B)P( A B) = P(B)(1− P(A B)
(1) P(B) = P( A)P(B A) + P( A)P(B A) = 0.5× 0.05 + 0.5× 0.0025 =0.02625
，(2)则由贝叶斯公式 P( A B) = P( AB) =
P( A)P(B A)
P(B) P( A)P(B A) + P(A)P(B A)
0.5× 0.05
8. 一个五人学习小组考虑生日问题,求下列事件的概率。
（1） 五个人的生日都在星期日； （2） 五个人的生日都不在星期日；
（3） 五个人的生日不都在星期日.
解（1） 设 A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为 75
P（A1）=
1 75
；
（2） 设 A2={五个人生日都不在星期日}，
PLeabharlann BaiduA2）=