函数的单调性和奇偶性(一、二)

f x max f 3 f 1 f 1 f 1 6, f xmin f 3 6
设函数 f (x) 在 (,0) (0,) 上是奇函数，又 f (x) 在（０，＋∞）上是减函数，并且 f (x) 0 ，指出 F (x) 1 在（－∞，０）上的增减性?并证明.
f (x)
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C．f(－x1)－f(－x2)>0
D．f(x1)－f(x2)<0
பைடு நூலகம்
[答案] D
[解析] ∵x1<0，x2>0，|x1|<|x2|，∴0<－x1<x2 又 f(x)是(0，＋∞)上的增函数，∴f(－x1)<f(x2)
又 f(x)为定义在 R 上的偶函数，∴f(x1)<f(x2)．∴f(x1)－f(x2)<0.选 D.
A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】 B
6.函数
F ( x)
(1
2) 2x 1
f
( x)( x
0) 是偶函数，且
f
(x)
不恒等于零，则
f
(x)
（
）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 可能是奇函数也可能是偶函数 D. 不是奇函数也不是偶函数
答案：A
7. 已 知 函 数 y f (x) 为 奇 函 数 ， 且 当 x 0 时 f (x) x2 2x 3 ， 则 当 x 0 时 ， f (x) 的 解 析 式 为
2.判断方法： （1）定义法 （2）图象法
，则这个函数就是奇函数 ，则这个函数就是偶函数
【经典例题】
例 1：已知函数 f (x) = x x2 2 （ x R ），证明函数 y = f (x) 在 R 上是单调递增函数.
例 2：已知单调性求参数范围
（1）若 f(x)=(2m－1)x + n 在区间(－∞，+∞)上是单调递减函数，则 m 的取值范围是( )
时，都有 f (x1 )
f (x2 ) ,则说
2.判断方法 （1）图象法：图像的平移变换
函数 y= kx +b
图像
单调性
y= k x
y=ax2+bx+c
y=x3
y=x+ a x
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（2）定义法： (3)常见结论
二.函数的奇偶性 1.定义 （1）奇函数：若对于定义域内的任何一个 x，都有 （2）偶函数：若对于定义域内的任何一个 x，都有
解：（1）令 x=y=0， f 0 0 ， （2）令 x=-y，即得 f 0 f x f x ，即证
（ 3 ） x 0, f (x) 0 ， 由 （ 2 ） 知 f (x) 为 奇 函 数 ， ∴ x 0, f (x) 0 , 从 而 f (x) 有 最 大 值 和 最 小 值 ，
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+
（3）f(x)=
+
例 4：已知奇偶性求参数的值
（1）已知函数 f (x) ax2 bx c , x 2a 3, 1 是偶函数,则 a b
（2）设函数 f（x）= a(2x 1) 2 是奇函数，则 a 的值为
.
2x 1
例 5：已知偶函数 f (x) 在区间0, ) 单调增加，则满足 f (2x 1) ＜ f (1) 的 x 取值范围是？
偶函数，故 A 不正确；定义在 R 上的函数 f(x)在区间 (, 0] 上是减函数，在区间 (0, ) 上也是减函数，则 f(x)
在 R 上是减函数不正确，反例如下：
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x 1, x 0 f (x) x 1, x 0 。
对于函数 f (x) 0 ，只要其定义域关于原点对称，它就既是奇函数又是偶函数，故既是奇函数又是偶函数的函
2.设函数 f (x) 对于任意 x, y R, 都有 f (x y) f (x) f ( y), 且 x 0 时 f (x) 0, f (1) 2 。 （1）求 f (0) ； （2）证明 f (x) 是奇函数； （3）试问在 x [3,3] 时 f (x) 是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由；
【能力提高】 1．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)是一个减函数，且 x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，则 f(x1)＋f(x2)＋f(x3)
的值( )
A．大于 0
B．小于 0
C．等于 0
D．以上都有可能
[答案] A
[解析] 由 x1＋x2＜0，得 x1＜－x2.又 f(x)为减函数，∴f(x1)＞f(－x2)， 又 f(x)为 R 上的奇函数，∴f(x1)＞－f(x2)．∴f(x1)＋f(x2)＞0. 同理 f(x2)＋f(x3)＞0，f(x1)＋f(x3)＞0，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0.
A． (1,0) (0,1) B． (1,0) (0,1] C．（0，1） D． (0,1]
答案：D
4.下列函数中，非奇非偶函数是( )
A) f (x) x4
B) f (x) x2 (x 0) C) f (x) 1/ x
D) f (x) 2x 2x
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答案：B 5.已知 f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且 f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则 g（1）等于________
B.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)>f(1)，则 f(x)在 R 上不是减函数
C.定义在 R 上的函数 f(x)在区间 (, 0] 上是减函数，在区间 (0, ) 上也是减函数，
则 f(x)在 R 上是减函数 D.既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个
答案：B．解析；定义在 R 上的函数 f(x)，当且仅当 f (x) f (x) 在 R 上恒成立时，才能断言函数 f(x)是 R 上的
（2）若 f (1) 1, f (x) m2 2bm 1 对所有 x [1,1],b [1,1] 恒成立，求实数 m 的取值范围.
【课堂练习】 1．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）
A．y＝－x＋1
B．y＝ x
C．y＝x2－4x＋5
【答案】B
2、 f (x) 为 (,) 上的减函数， a R ，则
3
例 6. 已知
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例 7: 已知 f(x+1)是偶函数，且当 x≤1 时，f(x)=x2+x，求 x>1 时，f(x)的表达式.
例 8、已知 f (x) 是定义在[-1，1]上的奇函数，当 a,b [1,1]，且 a b 0 时有 f (a) f (b) 0 . ab
（1）判断函数 f (x) 的单调性，并给予证明；
数不是有且只有一个，而是有无数个，故 D 不正确。对于选项 B，可用反证法证明其正确性。故选 B。 10．已知 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，如果 x1<0，x2>0，且|x1|<|x2|，则
有( )
A．f(－x1)＋f(－x2)>0
B．f(x1)＋f(x2)<0
D．y＝ 2 x
（A） f (a) f (2a) （B） f (a2 ) f (a) （C） f (a2 1) f (a) （D） f (a2 a) f (a)
答案：C
3、（04 年湖南卷.）若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x) a 在区间[1,2]上都是减函数，则 a 的值范围是 x 1
∴
又因为 f(x)为奇函数，由 f(1-a)+f(1-a2)<0 -2<a<1，
综合起来，0<a<1.
f(1-a)<-f(1-a2)=f[-(1-a2)]. 而 f(x)单调递减，∴1-a>-(1-a2)
9.下列判断正确的是
（）
A.定义在 R 上的函数 f(x)，若 f(-1)=f(1),且 f(-2)=f(2)，则 f(x)是偶函数
x 0, f (x) (x)2 2 (x) 3 x2 2x 3，即 f (x) x2 2x 3, f (x) x2 2x 3 ，故选
B。
8.定义在（-1，1）上的奇函数 f(x)是减函数，且 f(1-a)+f(1-a2)<0，求 a 的取值范围. 解：f(x)的定义域为(-1,1)，
（）
A. f (x) x2 2x 3
B. f (x) x2 2x 3
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C. f (x) x2 2x 3
D. f (x) x2 2x 3
答案：B．解析；因为函数 y f (x) 为奇函数，且当 x 0 时 f (x) x2 2x 3 ，则当 x 0 时，
7-8．函数的单调性和奇偶性
【知识要点归纳】 一.函数的单调性
1.定义：对于函数 f (x) 的定义域 M 内某个区间上的任．意．两个自变量的值 x1, x2 ，⑴若当 x1
x2 时，都有 f (x1 )
f (x2 ) ,则说 f (x) 在这个区间上是增函数，有的书上用符号↑；⑵若当 x1 f (x) 在这个区间上是减函数. 有的书上用符号↓
A) m 1 2
B) m 1 2
C) m 1 2
D) n 0
（2）若 f(x)=x2－2ax+c 在区间(1，+∞)上是单调函数，则 a 的取值范围是( )
A) a<1
B) a≤1
C) a>1
D) a<1，且 c<0
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例 3：判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=3x4+
(2)f(x)=