线性代数习题及答案

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线性代数课后习题答案全)习题详解

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线性代数课后习题答案全)习题详解第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---; (2)b a c a c b c b a ; (3)222111c b a c b a ; (4)y x y x x y x yyx y x +++. 解 (1)=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-=416824-++-=4-(2)=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=(3)=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=(4)yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ; (6)1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解(1)逆序数为0(2)逆序数为4:4 1,4 3,4 2,3 2 (3)逆序数为5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1 (4)逆序数为3:2 1,4 1,4 3 (5)逆序数为2)1(-n n : 3 2 1个 5 2,5 4 2个 7 2,7 4,7 6 3个 ……………… …)12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个(6)逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2,54 2个 ……………… …)12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2,6 4 2个 ……………… …)2(n 2,)2(n 4,)2(n 6,…,)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解 由定义知,四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -,其中t 为4321p p p p 的逆序数.由于3,121==p p 已固定,4321p p p p 只能形如13□□,即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式:(1)⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4; (2)⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412; (3)⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ; (4)⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --1002310021214---34)1(142101+-⨯--=143102211014-- 321132c c c c ++141717001099-(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4)4444442222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边)()()222222222222a d d a c c a a d a c ad a c ------ =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立,即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以,对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转,依次得n nn n a a a a D 11111 =, 11112n nn n a a a a D = ,11113a a a a D n nnn =,证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式(阶行列式为k D k ):(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是0;(2)xa a ax aa a x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示:利用范德蒙德行列式的结果. (4) nnn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na a a (再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行,得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上,得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始,第1+n 行经过n 次相邻对换,换到第1行,第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…,经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换,得 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=n n n nd c d c b a b a a 0000111111--展开按第一行0000)11111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式:222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=0432********0122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121n n n n a a a a a a a a +------10001001000100100010000114332展开(由下往上)按最后一列1(+n a nn n a a a a a a a ------00000000000000000000000224332 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x 解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=000100210151---= 112035122412111512-----=D 11503120270151------=313911230231115-2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507= 5101065100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--= 51100650000601000051001653=D 展开按第三列0000105165610050066100510656510650061+= 703114619=⨯+= 51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 11051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x . 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解?解 μλμμμλ-==12111113D , 齐次线性方程组有非零解,则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证,当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解?解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解,则0=D 得 32,0===λλλ或不难验证,当32,0===λλλ或时,该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A TB .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗? 解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k.解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k.解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立,则k +1时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵,且A 为对称矩阵,证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵,证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以 AB =(AB)T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122.(3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E ,由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1. 证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或 E E A A =-⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得|A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2,故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆.由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-. 16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|. 解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |1-A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16.17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以(A*)-1=|A|-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*.18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明:(1)若|A|=0, 则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n -1.证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾,故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到 |A||A*|=|A|n .若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立.因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B . 解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330. 20. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B . 解 由AB +E =A 2+B 得(A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=201030102E A B . 21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B .解 由A*BA =2BA -8E 得(A*-2E)BA =-8E ,B =-8(A*-2E)-1A -1=-8[A(A*-2E)]-1=-8(AA*-2A)-1=-8(|A|E -2A)-1=-8(-2E -2A)-1=4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-= =2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2.由ABA -1=BA -1+3E 得AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161.23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001, 故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114. 25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆. (A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解 41001200210100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 |||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A , 故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1.把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ,求A 。

线性代数习题及解答

线性代数习题及解答

线性代数习题一说明:本卷中,A -1表示方阵A 的逆矩阵,r (A )表示矩阵A 的秩,||α||表示向量α的长度,αT 表示向量α的转置,E 表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=( ) A .-6 B .-3 C .3D .62.设矩阵A ,X 为同阶方阵,且A 可逆,若A (X -E )=E ,则矩阵X =( ) A .E +A -1B .E -AC .E +AD .E -A -13.设矩阵A ,B 均为可逆方阵,则以下结论正确的是( )A .⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B .⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C .⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD .⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4.设α1,α2,…,αk 是n 维列向量,则α1,α2,…,αk 线性无关的充分必要条件是( )A .向量组α1,α2,…,αk 中任意两个向量线性无关B .存在一组不全为0的数l 1,l 2,…,l k ,使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C .向量组α1,α2,…,αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D .向量组α1,α2,…,αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5.已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=( ) A .(0,-2,-1,1)TB .(-2,0,-1,1)TC .(1,-1,-2,0)TD .(2,-6,-5,-1)T6.实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是( ) A .1B .2C.3 D.47.设α是非齐次线性方程组Ax=b的解,β是其导出组Ax=0的解,则以下结论正确的是()A.α+β是Ax=0的解B.α+β是Ax=b的解C.β-α是Ax=b的解D.α-β是Ax=0的解8.设三阶方阵A的特征值分别为11,,324,则A-1的特征值为()A.12,4,3B.111,,243C.11,,324D.2,4,39.设矩阵A=121-,则与矩阵A相似的矩阵是()A.11123--B.01102C.211-D.121-10.以下关于正定矩阵叙述正确的是()A.正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B.正定矩阵的行列式一定小于零C.正定矩阵的行列式一定大于零D.正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题(本大题共10小题,每空2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案,错填、不填均无分。

(完整版)线性代数习题集(带答案)

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第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A )k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A ) 0 (B )2-n (C) )!2(-n (D ) )!1(-n4.=0001001001001000( )。

(A) 0 (B )1- (C) 1 (D) 25。

=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D ) 26.在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B ) 4- (C ) 2 (D ) 2-8.若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( )。

(A )ka (B)ka - (C )a k 2 (D )a k 2-9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( )。

(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210。

若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( )。

(A )1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D )012. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( )(A )1- (B )2- (C)3- (D)0二、填空题1。

线性代数习题及解答

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线性代数习题一说明:本卷中,A -1表示方阵A 的逆矩阵,r (A )表示矩阵A 的秩,||α||表示向量α的长度,αT 表示向量α的转置,E表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式。

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=( ) A .—6 B .—3 C .3D .62.设矩阵A ,X 为同阶方阵,且A 可逆,若A (X —E )=E ,则矩阵X =( ) A .E +A —1B .E -AC .E +AD .E —A —13.设矩阵A ,B 均为可逆方阵,则以下结论正确的是( )A .⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B .⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C .⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD .⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4.设α1,α2,…,αk 是n 维列向量,则α1,α2,…,αk 线性无关的充分必要条件是( )A .向量组α1,α2,…,αk 中任意两个向量线性无关B .存在一组不全为0的数l 1,l 2,…,l k ,使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C .向量组α1,α2,…,αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D .向量组α1,α2,…,αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5.已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=( ) A .(0,—2,—1,1)TB .(—2,0,—1,1)TC .(1,-1,—2,0)TD .(2,—6,-5,-1)T6.实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是( ) A .1B .2C.3 D.47.设α是非齐次线性方程组Ax=b的解,β是其导出组Ax=0的解,则以下结论正确的是()A.α+β是Ax=0的解B.α+β是Ax=b的解C.β-α是Ax=b的解D.α—β是Ax=0的解8.设三阶方阵A的特征值分别为11,,324,则A-1的特征值为()A.12,4,3B.111,,243C.11,,324D.2,4,39.设矩阵A=121-,则与矩阵A相似的矩阵是()A.11123--B.01102C.211-D.121-10.以下关于正定矩阵叙述正确的是( )A.正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B.正定矩阵的行列式一定小于零C.正定矩阵的行列式一定大于零D.正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题(本大题共10小题,每空2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案,错填、不填均无分.11.设det (A)=—1,det (B)=2,且A,B为同阶方阵,则det ((AB)3)=__________.12.设3阶矩阵A=12243311t--,B为3阶非零矩阵,且AB=0,则t=__________.13.设方阵A满足A k=E,这里k为正整数,则矩阵A的逆A—1=__________.14.实向量空间R n的维数是__________.15.设A是m×n矩阵,r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________.16.非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________.17.设α是齐次线性方程组Ax =0的解,而β是非齐次线性方程组Ax =b 的解,则(32)+A αβ=__________. 18.设方阵A 有一个特征值为8,则det(—8E +A )=__________.19.设P 为n 阶正交矩阵,x 是n 维单位长的列向量,则||Px ||=__________.20.二次型222123123121323(,,)56422f x x x x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数是__________. 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)21.计算行列式1112114124611242-----. 22.设矩阵A =235,且矩阵B 满足ABA —1=4A —1+BA -1,求矩阵B .23.设向量组1234(3,1,2,0),(0,7,1,3),(1,2,0,1),(6,9,4,3),===-=αααα求其一个极大线性无关组,并将其余向量通过极大线性无关组表示出来.24.设三阶矩阵A =143253242----,求矩阵A 的特征值和特征向量.25.求下列齐次线性方程组的通解.13412412345023020x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-+=⎩ 26.求矩阵A =22420306110300111210----的秩.四、证明题(本大题共1小题,6分)27.设三阶矩阵A =111213212223313233a a a a a a a a a 的行列式不等于0,证明: 131112121222323313233,,a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα线性无关.线性代数习题二说明:在本卷中,A T表示矩阵A 的转置矩阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 表示单位矩阵。

线性代数练习题及答案10套

线性代数练习题及答案10套

1 0 1 14.设矩阵 A= 0 2 0 ,矩阵 B A E ,则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__. 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ,r(B)=2. 0 0 0
15.向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__. 16.设向量 (1,2,3) , (3,2,1) ,则向量 , 的内积 ( , ) =__10__. 17.设 A 是 4×3 矩阵,若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解,则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__. 18 . 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 :
三、计算题(本大题共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分)
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21.计算 3 阶行列式 249 49 9 . 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解: 249 49 9 200 40 9 0 . 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案(一)
一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)
1.设 A 为 3 阶方阵,且 | A | 2 ,则 | 2 A 1 | ( D A.-4 B.-1 C. 1 ) D.4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4. 2

1 2 3 1 2 2. 设矩阵 A= (1, 2) , B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 ( B 4 5 6 , 3 4 ,
行成比例值为零.
a1b2 a 2 b2 a 3 b2

线性代数习题及解答完整版

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线性代数习题及解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明:本卷中,A -1表示方阵A 的逆矩阵,r (A )表示矩阵A 的秩,||α||表示向量α的长度,αT表示向量α的转置,E 表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=( ) A .-6 B .-3 C .3D .62.设矩阵A ,X 为同阶方阵,且A 可逆,若A (X -E )=E ,则矩阵X =( ) A .E +A -1B .E -AC .E +AD .E -A -13.设矩阵A ,B 均为可逆方阵,则以下结论正确的是( )A .⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B .⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C .⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD .⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4.设α1,α2,…,αk 是n 维列向量,则α1,α2,…,αk 线性无关的充分必要条件是( )A .向量组α1,α2,…,αk 中任意两个向量线性无关B .存在一组不全为0的数l 1,l 2,…,l k ,使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C .向量组α1,α2,…,αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D .向量组α1,α2,…,αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5.已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=( ) A .(0,-2,-1,1)TB .(-2,0,-1,1)TC .(1,-1,-2,0)TD .(2,-6,-5,-1)T6.实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是( ) A .1B .2C .3D .47.设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解,β是其导出组Ax =0的解,则以下结论正确的是( )A .α+β是Ax =0的解B .α+β是Ax =b 的解C .β-α是Ax =b 的解D .α-β是Ax =0的解8.设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324,则A -1的特征值为( ) A .12,4,3 B .111,,243C .11,,324D .2,4,39.设矩阵A =121-,则与矩阵A 相似的矩阵是( )A .11123--B .01102C .211- D .121-10.以下关于正定矩阵叙述正确的是( ) A .正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B .正定矩阵的行列式一定小于零 C .正定矩阵的行列式一定大于零D .正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题(本大题共10小题,每空2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案,错填、不填均无分。

线性代数试题及答案

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线性代数试题及答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】线性代数习题和答案第一部分 选择题 (共28分)一、 单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a a a a 11122122=m ,a a a a 13112321=n ,则行列式a a a a a a 111213212223++等于( D )A. m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,则A -1等于(B )A. 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ B 10001200013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21000100031D 12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,A *是A 的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是(B )A. –6B. 6C. 2D. –2 4.设A 是方阵,如有矩阵关系式AB =AC ,则必有( D ) A. A =0 B. B ≠C 时A =0 C. A ≠0时B =C D. |A |≠0时B =C 5.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关,则秩(A T )等于( C ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βs 均线性相关,则( D )A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs 使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs (αs +βs )=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs 使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs (αs -βs )=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs 和不全为0的数μ1,μ2,…,μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =0 7.设矩阵A 的秩为r ,则A 中( C ) A.所有r -1阶子式都不为0 B.所有r -1阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于0 D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是( A )A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b 的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 η1-η2是Ax=b 的一个解 9.设n 阶方阵A 不可逆,则必有( A ) A.秩(A )<n B.秩(A )=n -1 =0D.方程组Ax=0只有零解10.设A 是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是( B )A.如存在数λ和向量α使A α=λα,则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使(λE -A )α=0,则λ是A 的特征值 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A 的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A 的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根,A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ,则必有( A )A. k ≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A 是正交矩阵,则下列结论错误的是( B ) A.|A|2必为1 B.|A |必为1 =A T 的行(列)向量组是正交单位向量组 13.设A 是实对称矩阵,C 是实可逆矩阵,B =C T AC .则( D )与B 相似 B. A 与B 不等价 C. A 与B 有相同的特征值 D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为( C )A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪第二部分 非选择题(共72分)二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。

(完整版)线性代数试题和答案(精选版)

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线性代数习题和答案第一部分选择题 (共28分)一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の,请将其代码填在题后の括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于( )A。

m+n B. —(m+n) C. n-m D. m—n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于()A。

130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。

13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D。

120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3。

设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A*是Aの伴随矩阵,则A *中位于(1,2)の元素是()A. –6 B。

6C。

2 D. –24。

设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有( )A。

A =0 B. B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。

|A|≠0时B=C5。

已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关,则秩(A T)等于( )A. 1 B。

2C。

3 D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则( )A。

有不全为0の数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0C.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1—β1)+λ2(α2—β2)+…+λs(αs-βs)=0D。

有不全为0の数λ1,λ2,…,λs和不全为0の数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07。

设矩阵Aの秩为r,则A中( )A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r—1阶子式全为0C。

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于()A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于()A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是()A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有()A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于()A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则()A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中()A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是()A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有()A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是()A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有()A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是()A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行(列)向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则()A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为()A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题(共72分)二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数习题册(答案)

线性代数习题册(答案)

线性代数习题册答案第一章 行列式练习 一班级 学号 姓名1.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)τ(3421)= 5 ; (2)τ(135642)= 6 ;(3)τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+(2 n-2)= n (n-1).2.由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列,则i= 8 、j= 3 .3.在四阶行列式中,项12233441a a a a 的符号为 负 .4.00342215= -24 .5.计算下列行列式:(1)122212221-----= -1+(-8)+(-8)-(-4)-(-4)―(-4)= -5或(2)111111λλλ---= -3λ+1+1-(-λ)-(-λ)―(-λ) = -3λ+3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习 二班级 学号 姓名 1.已知3阶行列式det()ij a =1,则行列式det()ij a -= -1 . 3(1)11-⋅=-2. 1112344916= 2 .3.已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 .用1,1,1,1替换第4行4. 计算下列行列式: (1)111ab c a b c abc +++= 13233110110011,0110111111r r r r c c a b c bcabcabc-----+-==++++++(2) xy x y y x y x x yxy+++(3)130602121476----(4)1214012110130131-5.计算下列n 阶行列式:(1)n xa a a x a D aax=(每行都加到第一行,并提公因式。

)(2)131111n +(3) 123123123n n n a ba a a a ab a a a a a a b+++练习 三班级 学号 姓名 1.设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解,则λ满足的条件是什么?1,0,1λλλ≠-≠≠2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解,求λ的值。

线性代数课后习题答案

线性代数课后习题答案

线性代数课后习题答案线性代数是数学领域中重要的一门基础课程,其中必不可少的内容之一就是习题。

以下是线性代数中的一些习题及其答案。

1. 矩阵加法设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$,$B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}$,求$A+B$。

解:$$A+B=\begin{bmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{bmatrix}=\begin{bmatri x}6&8\\10&12\end{bmatrix}$$2. 矩阵乘法设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$,$B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}$,求$AB$。

解:$$AB=\begin{bmatrix}1*5+2*7&1*6+2*8\\3*5+4*7&3*6+4*8\end{bmatri x}=\begin{bmatrix}19&22\\43&50\end{bmatrix}$$3. 矩阵转置设$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}$,求$A^T$。

解:$$A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}$$4. 矩阵求逆设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$,求$A^{-1}$。

解:$$\begin{bmatrix}1&2&|&1&0\\3&4&|&0&1\end{bmatrix}\xrightarrow[r_2-3r_1]{r_2\div 3}\begin{bmatrix}1&2&|&1&0\\0&-2&|&-3&1\end{bmatrix}$$$$\xrightarrow{r_2\div (-2)}\begin{bmatrix}1&2&|&1&0\\0&1&|&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}\xrightarrow[r_1-2r_2]{r_1-2r_2}\begin{bmatrix}1&0&|&-2&1\\0&1&|&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$所以$A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\ \frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$。

线性代数习题及解答

线性代数习题及解答

线性代数习题一说明:本卷中,A -1表示方阵A 的逆矩阵,r (A )表示矩阵A 的秩,||α||表示向量α的长度,αT 表示向量α的转置,E 表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式。

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=( ) A .—6 B .-3 C .3D .62.设矩阵A ,X 为同阶方阵,且A 可逆,若A (X -E )=E ,则矩阵X =( ) A .E +A —1B .E -AC .E +AD .E —A —13.设矩阵A ,B 均为可逆方阵,则以下结论正确的是( )A .⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B .⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C .⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD .⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4.设α1,α2,…,αk 是n 维列向量,则α1,α2,…,αk 线性无关的充分必要条件是( )A .向量组α1,α2,…,αk 中任意两个向量线性无关B .存在一组不全为0的数l 1,l 2,…,l k ,使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C .向量组α1,α2,…,αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D .向量组α1,α2,…,αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5.已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=( ) A .(0,—2,-1,1)TB .(—2,0,-1,1)TC .(1,—1,—2,0)TD .(2,-6,—5,—1)T6.实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是( ) A .1B .2C.3 D.47.设α是非齐次线性方程组Ax=b的解,β是其导出组Ax=0的解,则以下结论正确的是( ) A.α+β是Ax=0的解B.α+β是Ax=b的解C.β-α是Ax=b的解D.α-β是Ax=0的解8.设三阶方阵A的特征值分别为11,,324,则A—1的特征值为()A.12,4,3B.111,,243C.11,,324D.2,4,39.设矩阵A=121-,则与矩阵A相似的矩阵是()A.11123--B.01102C.211-D.121-10.以下关于正定矩阵叙述正确的是( )A.正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B.正定矩阵的行列式一定小于零C.正定矩阵的行列式一定大于零D.正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题(本大题共10小题,每空2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案,错填、不填均无分。

线性代数同步习题及答案

线性代数同步习题及答案
2
c21 c c2源自1 d d2 d4a4
b4
c4
= (a − b)(a − c)(a − d )(b − c)(b − d )(c − d )(a + b + c + d )
5.试求一个 2 次多项式 f ( x ) ,满足 f (1) = 0, f ( −1) = 1, f ( 2) = −1 .
a 0 0 b
b a 0 0
0 ⋯ b ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯
0 0 a 0
0 0 b a
a a
(6) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
习 题 1.3
1. 解下列方程组
x1 + x 2 + x3 + x 4 = 5 5 x1 + 2 x 2 + 3x3 = −2 x + 2 x − x + 4 x = −2 1 2 3 4 (1) 2 x1 − 2 x 2 + 5 x3 = 0 (2) 2 x − 3 x − x − 5 x 2 3 4 = −2 3x + 4 x + 2 x = −10 1 2 3 1 3 x1 + x 2 + 2 x3 + 11x 4 = 0 2. k 取何值时,下列齐次线性方程组可能有非零:
3 2 − 1 − 3 − 2 (2) 2 − 1 3 1 − 3 7 0 5 − 1 8
1 1 (4) 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1
2.问能否适当选取矩阵
1 − 2 − 1 3 A= 3 − 6 − 3 9 4 2 k − 2

《线性代数》练习题库参考答案

《线性代数》练习题库参考答案

《线性代数》练习测试题库一.选择题1、=-0000000000121nn a a a a ( B )A. n n a a a 21)1(-B. n n a a a 211)1(+-C. n a a a 212、n 阶行列式0000000000a a a a= ( B )A.na B. (1)2(1)n n n a -- C. (1)n n a -3、n21= ( B )A. (1)!nn - B. (1)2(1)!n n n -- C. 1(1)!n n +-4、 A 是n 阶方阵,m, l 是非负整数,以下说法不正确的是 ( C ). A. ()m l mlA A = B. mlm lA A A+⋅= C. m m mB A AB =)(5、A 、B 分别为m n ⨯、s t ⨯矩阵, ACB 有意义的条件是 ( C ) A. C 为m t ⨯矩阵; B. C 为n t ⨯矩阵; C. C 为n s ⨯矩阵6、下面不一定为方阵的是 (C )A.对称矩阵.B.可逆矩阵.C. 线性方程组的系数矩阵.7、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 的伴随矩阵是 (A ) A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1021 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1201 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 8、 分块矩阵 00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中A 、B 为可逆矩阵)的逆矩阵是 ( A )A. 1100A B --⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 00BA ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1100B A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、线性方程组Ax b = 有唯一解的条件是 ( A )A.()()r A r A b A ==的列数B.()()r A r A b = .C.()()r A r A b A ==的行数10、线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211a ax x x a x ax x x x ax 有唯一解的条件是 (A )A. 2,1-≠aB. 21-==a a 或.C. 1≠a11、 的是则下面向量组线性无关),,,=(),,,=()6,2,4(054312--=--γβα(B )A. 0,,βα B. γβ, C. γα, 12、设A 为正交矩阵,下面结论中错误的是 ( C )A. A T 也为正交矩阵.B. A -1也为正交矩阵.C. 总有 1A =-13、二次型()233221214321342,,,,x x x x x x x x x x f --+=的矩阵为 ( C )A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---340402021B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---320201011 C 、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000032002010011 14、设r 是实二次型),,,(21n x x x f 的秩,p 是二次型的正惯性指数,q 是二次型的负惯性指数,s 是二次型的符号差,那么 ( B )A. q p r -=;B. q p r +=;C. q p s +=; 15、下面二次型中正定的是 ( B )A. 21321),,(x x x x x f =B.2322213212),,(x x x x x x f ++= C.22213212),,(x x x x x f +=二、判断题1、若行列式主对角线上的元素全为0,则此行列式为0. ( ⨯ )2、A 与B 都是3×2矩阵,则A 与B 的乘积也是3×2矩阵。

线性代数考试练习题带答案大全

线性代数考试练习题带答案大全

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题(每小题3分,共15分)1.设A 为m n ⨯矩阵,齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的( A ). (A ) 列向量组线性无关, (B ) 列向量组线性相关, (C )行向量组线性无关, (D ) 行向量组线性相关. 2.向量,,αβγ线性无关,而,,αβδ线性相关,则( C )。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出, (B )β必不可由,,αγδ线性表出, (C )δ必可由,,αβγ线性表出, (D )δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++,当满足( C )时,是正定二次型.(A )1λ>-; (B )0λ>; (C )1λ>; (D )1λ≥.4.初等矩阵(A );(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵;(B ) 所对应的行列式的值都等于1; (C ) 相乘仍为初等矩阵; (D ) 相加仍为初等矩阵 5.已知12,,,n ααα线性无关,则(C )A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关;B. 若n 为奇数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关;C. 若n 为偶数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关;D. 以上都不对。

二、填空题(每小题3分,共15分)6.实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2,则=t7.设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1A -=8.设A 是n 阶方阵,*A 是A 的伴随矩阵,已知5A =,则*AA 的特征值为 。

9.行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵,()2R A =,若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则()R AB =_____________;三、计算题(每小题10分,共50分)11.求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

线性代数练习题及答案

线性代数练习题及答案

线性代数练习题及答案线性代数作为一门重要的数学学科,对于理工科学生来说是必修课程之一。

在学习线性代数的过程中,练习题是非常重要的一环,通过练习题的完成,可以巩固理论知识,提高解题能力。

本文将介绍一些常见的线性代数练习题及其答案,希望对读者有所帮助。

一、向量与矩阵1. 给定向量a=(2,3,1)和b=(1,-1,2),求向量a与向量b的内积及外积。

答案:向量a与向量b的内积为a·b=2*1+3*(-1)+1*2=1,向量a与向量b的外积为a×b=(7,3,-5)。

2. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9],求矩阵A的转置矩阵和逆矩阵。

答案:矩阵A的转置矩阵为A^T = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9],矩阵A的逆矩阵不存在,因为A的行列式为0。

二、线性方程组1. 解方程组:2x + 3y - z = 13x - 2y + 4z = 5x + y + 2z = 0答案:通过高斯消元法,可以得到方程组的解为x = -1,y = 2,z = -1。

2. 解方程组:x + 2y + z = 32x + 4y + 2z = 63x + 6y + 3z = 9答案:该方程组为一个超定方程组,通过最小二乘法可以得到方程组的近似解为x = 1,y = 1,z = 1。

三、特征值与特征向量1. 给定矩阵A = [2 1; 1 2],求矩阵A的特征值和特征向量。

答案:首先求解A的特征方程det(A-λI)=0,得到特征值λ=1,λ=3。

然后,将特征值代入(A-λI)x=0,得到特征向量x=(1,1)和x=(-1,1)。

2. 给定矩阵A = [3 -1; 1 3],求矩阵A的特征值和特征向量。

答案:同样地,求解特征方程det(A-λI)=0,得到特征值λ=2,λ=4。

将特征值代入(A-λI)x=0,得到特征向量x=(1,1)和x=(-1,1)。

四、线性变换1. 给定线性变换T:R^2 -> R^2,将向量(1,0)和(0,1)分别变换为(2,3)和(-1,4),求线性变换T的矩阵表示。

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高数选讲线性代数部分作业
1.已知n阶方阵满足A2+2A-3I=O,则(A+4I)-1为 .
2.设n阶方阵满足
的代数余子式,则为()。

3.已知n阶方阵
,则A中所有元素的代数余子式之和为()。

4.设有通解k[1,-2,1,3]T+[2,1,1,4]T,其中k是任意常数,则方程组必有一个特解是()
5.设A与B是n阶方阵,齐次线性方程组=0与=0有相同的基础解系,则在下列方程组中以为基础解系的是()
(A) (B) (C) (D)
6.设A、B为四阶方阵,( )
(A)1.(B)2. (C)3. (D)4
7.设n阶矩阵A与B等价,则()成立。

(A)detA=detB (B) detAdetB (C)若detA0,则必有detB0(D) detA=-detB 8.设是四维非零向量组,是的伴随矩阵,已知方程组
的基础解系为k(1,0,2,0)T,则方程组的基础解系为()
(A) (B)
(C) (D)
9.设A是矩阵,则下列命题正确的是:()
(A)若R(A)=m,则齐次方程组Ax=0只有零解。

(B)若R(A)=n,则齐次方程组Ax=0只有零解。

(C)若m<n, 则非齐次方程组Ax=0必有无穷多解。

(D)若,则非齐次方程组Ax=0要么无解,要么有唯一解,两者必居其一。

10.设是3维列向量,记矩阵A=,B=,C=2A-B,
已知|A|=1,则|C|为()。

11.四元非齐次线性方程组的通解为
x=(1,-1,0,1)T+k(2,-1,1,0)T,k为任意常数,记
则以下命题错误的是
(A) (B)
(C) (D)
12.知线性方程有无穷多解,求的取值并求通解。

13.设A是阶方阵,是A的两个不同的特征值,是A的对应于的线性无关特征向量,是A的对应于的线性无关特征向量,证明线性无关。

14.已知矩阵的秩为1,且是的一个特征向量,(1)求参数; (2)求可逆矩阵和对角矩阵,使得
15.设5阶实对称矩阵满足,其中是5阶单位矩阵,已知的秩为2,(1)求行列式的值;(2)判断是否为正定矩阵?证明你的结论。

(2)的特征值全为正数,所以是正定矩阵。

16..
17.
18.。

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