初等数论教案 第四节 素数、整数的唯一分解定理

第四节素数、整数的唯一分解定理

第五节Eratosthenes筛法

教学目的：1、掌握素数的一系列性质；

2、理解并掌握唯一分解定理.

教学重点：素数的性质及唯一分解定理的证明及应用

教学难点：唯一分解定理的证明及应用

教学课时：4课时

教学过程

一、素数

1、定义1 大于1的整数，如果只有平凡因子，就叫素数，否则叫合数.

2、引理1 设a是任意大于1的整数，则a除1以外的最小正因子p是素数，并且当a是合数时，则a

p≤.

3、引理2 设p是素数，a是任意整数，则a

a

p.

(=

,

)

p|或1

4、引理3 设p是素数，p|ab , 则p|a或p|b.

5、定理1素数有无穷多个.

6、定理2形如4n-1型的素数有无穷多个.

例1 写出不超过100的所有的素数。

解将不超过100的正整数排列如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

按以下步骤进行：

(ⅰ) 删去1，剩下的后面的第一个数是2，2是素数；

(ⅱ) 删去2后面的被2整除的数，剩下的2后面的第一个数是3，3是素数；

(ⅲ) 再删去3后面的被3整除的数，剩下的3后面的第一个数是5，5是素数；

(ⅳ) 再删去5后面的被5整除的数，剩下的5后面的第一个数是7，7是素数；

照以上步骤可以依次得到素数2, 3, 5, 7, 11, .

由引理1可知，不超过100的合数必有一个不超过10的素约数，因此在删去7后面被7整除的数以后，就得到了不超过100的全部素数. 例1中所使用的寻找素数的方法，称为Eratosthenes筛法. 它可以用来求出不超过任何固定整数的所有素数. 在理论上这是可行的；但在实际应用中，这种方法需要大量的计算时间，是不可取的.

曾经有人希望找到一个表示素数的方便的公式，例如，是否存在一个不是常数的整系数多项式f(x)，当x ≥0x 时，f(x)都表示素数？

7、定理3 对于任意给定的整数0x ，不存在整系数多项式

∑==n

i i i x a x f 0)(，其中 0,0>≠n a n ,

使得当x ≥0x 时，f(x)都表示素数.

二、整数唯一分解定理（算术基本定理）

1、引理1 任何大于1的正整数n 可以写成素数之积，即

n = p 1p 2 p m ， (1)

其中p i （1 ≤ i ≤ m ）是素数.

证明：当n = 2时，结论显然成立.

假设对于2 ≤ n ≤ k ，式(1)成立，我们来证明式(1)对于n = k + 1也成立，从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数n 成立.

如果k + 1是素数，式(1)显然成立.

如果k + 1是合数，则存在素数p 与整数d ，使得k + 1 = pd . 由于2 ≤ d ≤ k ，由归纳假定知存在素数q 1, q 2, , q l ，使得d = q 1q 2 q l ，从而k + 1 = pq 1q 2 q l . 证毕

2、定理1(算术基本定理) 任何大于1的整数n 可以唯一地表示成

n =k k p p p ααα 2121， (2)

其中p 1, p 2, , p k 是素数，p 1 < p 2 < < p k ，α1, α2, , αk 是正整数.

证明 由引理1，任何大于1的整数n 可以表示成式(2)的形式，因此，只需证明表示式(2)的唯一性.

假设p i （1 ≤ i ≤ k ）与q j （1 ≤ j ≤ l ）都是素数，

p 1 ≤ p 2 ≤ ≤ p k ，q 1 ≤ q 2 ≤ ≤ q l ， (3)

并且

n = p 1p 2 p k = q 1q 2 q l ， (4)

则必有某个q j （1 ≤ j ≤ l ），使得p 1∣q j ，所以p 1 = q j ；又有某个p i （1 ≤ i ≤ k ），使得q 1∣p i ，所以q 1 = p i . 于是，由式(3)可知p 1 = q 1，从而由式(4)得到

p 2 p k = q 2 q l .

重复上述这一过程，得到

k = l ，p i = q i ，1 ≤ i ≤ k . 证毕

3、定义1 使用定理1中的记号，称

n =k k p p p ααα 2121

是n 的标准分解式，其中p i （1 ≤ i ≤ k ）是素数，p 1 < p 2 < < p k ，α i （1 ≤ i ≤ k ）是正整数.

推论1 使用式(2)中的记号，有

(ⅰ) n 的正因数d 必有形式

d =k k p p p γγγ 2121，γi ∈Z ，0 ≤ γi ≤ α i ，1 ≤ i ≤ k ；

(ⅱ) n 的正倍数m 必有形式

m =k k p p p βββ 2121M ，M ∈N ，βi ∈N ，βi ≥ α i ，1 ≤ i ≤ k .

证明：留作习题.

推论2 设正整数a 与b 的标准分解式是

s k l k s k l k r r p p b q q p p a δδββγγαα 11111111==，，