北大附中2020-2021学年高一第一学期数学10月考试卷
2020-2021学年第一学期10月份第一次月考试卷答案
2020-2021学年第一学期10月份第一次月考试卷高一数学试卷参考答案2020.10考试范围：人教A 版必修第一册第一、二章考试时间：120分钟一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D 解析：由(6)(1)0x x -+<，得16x -<<，从而有{}16B x x =-<<，所以{}14A B x x ⋂=-<<，故选：D .2．B 解析：集合{}0,1,2,3,4,5A =，{{}2B x y x x ===≥，所以{}U 2B x x =<ð.图中阴影部分表示的集合为(){}U 0,1A B ⋂=ð.故选：B 3．A 解析：因为甲是乙的充要条件，所以乙⇔甲；又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒丙．综上，丙⇒甲，但甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A .4．A 解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≤”的否定为“[]01,3x ∃∈-，200320x x -+>”．故选A ．5．B 解析：对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c >，即a b >，故正确；对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，则22a b >，故题中结论错误；对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确；对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确.故选B .6．B 解析：0a > ，0b >，且21a b +=，120b a ∴=->，解得102a <<．∴12122(1)1212122(1)(2321111a a a a a a a a b a a a a a a a a ---+=+=+-=+-+-=++-+----11+=+ ，当且仅当1a =，3b =-时取等号．∴12aa a b++有最小值1+．故选：B ．7．C 解析：解：不等式210x mx -+<的解集为空集，所以0∆≤，即240m -≤，解得22m -≤≤．故选：C ．8．B 解析：依题意2() 4.914.717h t t t =-++234.928.0252t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，故当32t =时，()max 28.02528m h t =≈.故选B .二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．ABD 解析：由于M N ⊆，即M 是N 的子集，故M N M ⋂=，M N N ⋃=，从而M M N ⊆⋂（），()M N N ⋃⊆.故选ABD .10．AC 解析：对于选项A ，由327x =-得293x x =-⇒=，但是3x =适合29x =，推出32727x =≠-，故A 正确；对于选项B ，在ABC ∆中，222AB AC BC ABC +=⇒∆为直角三角形，但ABC ∆为直角三角形222AB AC BC ⇒+=或222AB BC AC +=或2221BC AC AB +=，故B 错误；对于选项C ，由220,a b a b +≠⇒不全为0，反之，由a ，b 不全为2200a b ⇒+≠，故D 正确；对于选项D ，结论“四边形是菱形”推不出条件“四边形是正方形”，因此必要条件不成立.故选：AC .11．AB 解析：对A ,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B ,22a b a b a b =+++++=≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C ,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b+有最小值4.故C 错误.对D ,()222121a b a ab b +=⇒++=≤2a +()222a b b ++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误.故选：AB 12．ABD 解析：由23344x x b -+≤得23121640x x b -+-≤，又1b <，所以()4810b ∆=-<，从而不等式23344a x x b ≤-+≤的解集为∅，故A 正确.当1a =时，不等式23344a x x ≤-+就是2440x x -+≥，解集为R ，当4b =时，不等式23344x x b -+≤就是240x x -≤，解集为{}04x x ≤≤，故B 正确.由23344a x x b ≤-+≤的解集为{}x a x b ≤≤，知min a y ≤，即1a ≤，因此当x a =，x b =时函数值都是b .由当x b=时函数值是b ，得23344b b b -+=，解得43b =或4b =.当43b =时，由2343443a a b -+==，解得43a =或83a =，不满足1a ≤，不符合题意，故C 错误.当4b =时，由233444a ab -+==，解得0a =或4a =，0a =满足1a ≤，所以0a =，此时404b a -=-=，故D 正确.故选：A B D三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13．4解析：由题得满足关系式{}{}2,31,2,3,4A ⊆⊆的集合A 有：{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{1,2,3,4}.所以集合A 的个数为4.故答案为414．充分非必要解析：令命题:2p x y +≠-，命题:q x ，y 不都为1-；:2p x y ⌝+=-，:q x ⌝，y 都是1-，则当x ，y 都是1-时，满足2x y +=-，反之当1x =，3y =-时，满足2x y +=-，但x ，y 都是1-不成立，即q ⌝是p ⌝充分非必要条件，则根据逆否命题的等价性知p 是q 的充分非必要条件，故答案为：充分非必要．15．16解析：0a >，1b >且210a b b +=⇒->且()11a b +-=∴()()91919111010616111b a a b a b a b a b -⎛⎫+=++-=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭当且仅当()911b a a a -=-取等，又2a b +=，即34a =，54b =时取等号，故所求最小值16．故答案为：1616．0解析：由根与系数的关系可知()11{0,01m m m b b m m a++=∴==+=四、解答题:本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：（1）若1A ∈，则210,1m m -+=∴=1a ∉ ，∴实数m 的取值范围为：{}1m m ∈≠R ……………4分（2）选①：若A =∅，则关于x 的方程2210mx x -+=没有实数解，所以0m ≠，且440m ∆=-<，所以1m >……………10分选②：若A 恰有两个子集，则A 为单元素集，所以关于x 的方程2210mx x -+=恰有一个实数解，讨论：①当0m =时，12x =，满足题意；②当0m ≠时，Δ440m =-=，所以1m =.综上所述，m 的集合为{}0,1……………10分选③：若1,22A ⎛⎫⋂≠∅ ⎪⎝⎭，则关于x 的方程221mx x =-在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内有解，等价于当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2221111m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭的值域，所以](0,1m ∈……………10分18．解：（1）122x x +>-等价于()()12220x x x ⎧+->⎨-≠⎩，解得25x <<:25p x ∴<<，由p ⌝为真知：2x ≤或5x ≥……………6分（2）q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件.故2:50q x ax -+>对于任意25x <<恒成立，故5a x x<+，由基本不等式可知5x x+≥x =a <……12分19．解：（1）因为0x >，0y >，所以x y +≥，由2x y xy +=，得2xy ≥1≥，1xy ≥，当且仅当1x y ==时，等号成立……………6分（2）由2x y xy +=得112x y+=.2111223222x x x y y y x x x x y x x ⎛⎫+=++=++≥+≥ ⎪⎝⎭.当且仅当2x y x=，且0x <时，两个等号同时成立.即当且仅当12x =-且14y =，2y x x +的最小值是32……………12分20．（1）由题意可知，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为()21200800004006002y x x x =-+≤≤，所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x =+-，由基本不等式可得200200y x ≥=（元），当且仅当1800002x x=时，即当400x =时，等号成立，因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低……………6分（2）()()222111100200800003008000030035000222f x x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=--- ⎪⎝⎭400600x ≤≤ ，函数()f x 在区间[]400,600上单调递减，当400x =时，函数()f x 取得最大值，即()()max 40040000f x f ==-.所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损……12分21．解：(1)()()2210⎡⎤-+-=---≤⎣⎦x x a a x a x a ，当1a a <-（12a <）时，不等式解集为{|1}x a x a ≤≤-；当1a a >-（12a >）时，不等式解集为{|1}x a x a -≤≤；当1a a =-（12a =）时，不等式解集为1{|}2x x =.所以，当1 2a <时，不等式解集为{|1}A x a x a =≤≤-；当1 2a =时，不等式解集为12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当1 2a >时，不等式解集为{|1}A x a x a =-≤≤……………8分(2)由上(1)，1 2a >时，() {|1}1,1A x a x a =-≤≤⊆-，所以111a a ->-⎧⎨<⎩，得1a <，所以，实数a 的取值范围112a <<……………12分22．解：(1)函数24y x mx =++的图象开口向上，对称轴为2m x =-，在区间[]1,2上的最大值，分两种情况：①322m -<（3m >-）时，根据图象知，当2x =时，函数取得最大值82max y m =+；②322m -≥（3m ≤-）时，当1x =时，函数取得最大值5max y m =+.所以，当3m >-时,82max y m =+；当3m ≤-时,5max y m =+……………7分(2)[] 1,20x y ∈<，恒成立，只需在区间[]1,2上的最大值0max y <即可，所以(1)0(2)0f f <⎧⎨<⎩，得45m m <-⎧⎨<-⎩，所以实数m 的取值范围是5m <-……………12分。
2020-2021学年高一数学10月月考试题
2020-2021学年高一数学10月月考试题分值：160 时间：120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填空在答题卡相应位．．．．．．置上．．，在本试卷上作答一律无效． 1. 已知函数()1,(3)f x x f =+= ▲2. 设全集U ={1，2，3，4，5}，集合A ={1，3，4，5}，则U A = ▲3. 函数42x y x -=-的定义域为 ▲4.若函数()1f x ax a =++是奇函数，则a = ▲5.函数[]223,0,3y x x x =-++∈的值域是 ▲ 6.二次函数25y x ax =++在区间[)2,+∞上是增函数，则a 的取值范围是▲7.设集合A ={x │x 2>}，a =3，则a ▲ A8.一等腰三角形的周长是20，底边y 是关于腰长x 的函数，则该函数解析式 ▲9.)(x f y =为奇函数，当0x >时)1()(x x x f -=，则当0x <时,=)(x f ▲10. 函数f (x )=22(1)(12)1(2)2x x x x x x ⎧⎪+≤-⎪-<<⎨⎪⎪≥⎩，若f (x )=2，则x = ▲11.某班所有的同学都参加了篮球或排球比赛.已知该班共有22 人参加了排球赛,共有26人参加了篮球赛,既参加篮球赛又参加排球赛的有4人则该班的学生人数为 ▲12. 已知f (1x)＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为 ▲ 13. 若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上为减函数，且0)2(=f ，则使得x •0)(<x f 的x 的取值范围是____▲_______． 14. 下列命题：①偶函数的图像一定与y 轴相交；②定义在R 上的奇函数()f x 必满足(0)0f =；③()()2()21221f x x x =+--既不是奇函数又不是偶函数；④1,,:1A B f x y x ==→=+R R ，则f 为 A B 到的映射； ⑤1()f x x =在()(),00,-∞+∞上是减函数.其中真命题的序号是 ▲ （把你认为正确的命题的序号都填上）.二、解答题：本大题6小题，共90分. 请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本题满分14分)设()2{|()}{}f x ax A x f x x a a =-===，，求的值。
2021年高一上学期10月份月考数学试题 Word版含答案
2021年高一上学期10月份月考数学试题 Word版含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．.1.若用列举法表示集合，则集合2.下列各式中，正确的序号是②④⑤①0={0}；②0∈{0}；③{1}∈{1，2，3}；④{1，2}{1，2，3}；⑤{a，b}{a，b}．3.已知全集,集合,,则集合4.已知全集，集合，，那么集合=．或5.下列函数中（2）与函数是同一个函数（1）；（2）；（3）（4）．6.函数的定义域为7.设函数则的值为8.若函数，则使得函数值为的的集合为9.已知是奇函数，则实数=____________010.函数函数的单调增区间是11.如图，函数的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4)，则_________212.下列两个对应中是集合A到集合B的映射的有（1）（3）（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9},对应法则；（2）设,,对应法则（3）设，对应法则除以2所得的余数；（4），对应法则13.已知奇函数在定义域R上是单调减函数，且，则的取值范围是14. 已知函数是(-∞,+∞)上的单调减函数,那么实数的取值范围是(0,2]二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（1）设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，已知A∩B＝{9}，求a的值，并求出A∪B.（2）已知集合{}{},1x=mm≤-xx≤BxA满足5=|23,-≤≤|+求实数的取值范围.解（1）∵A∩B＝{9}，∴9∈A，所以a2＝9或2a－1＝9，解得a＝±3或a＝5.当a＝3时，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2,9}，B中元素违背了互异性，舍去．当a＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}．当a＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，a＝－3，A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}．（2）由题意知,要满足必须,即16.已知函数,x∈[3,5].(1) 判断函数的单调性,并证明;(2) 求函数的最大值和最小值.解：(1) 任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2.f(x1)-f(x2)=-=,因为3≤x1<x2≤5,所以x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0.所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)在[3,5]上为增函数.(2) 由(1)知f(x)max=f(5)=,f(x)min=f(3)=.17．已知函数(1)求在区间[0，3]上的最大值和最小值；(2)若在[2,4]上是单调函数，求的取值范围．解(1)∵, x∈[0，3]，对称轴,开口向下,∴f (x )的最大值是f (1)＝3，又f (0)＝2，f (3)＝，所以f (x )在区间[0，3]上的最大值是3，最小值是.(2)∵,函数对称轴是,开口向下,又在[2,4]上是单调函数∴≤2或≥4，即或.故m 的取值范围是或.18．已知定义域为的奇函数，当 时,.（1）当时，求函数的解析式；（2）求函数解析式；（3）解方程．解: （1）当时,, 所以22()()()()3()3(0);f x f x f x f x x f x x x ∴-=-∴-=-∴=-+<是奇函数 ………… 5分 （2）因为函数是定义域为的奇函数,所以,则 ………10分 （3） 当时，方程即，解之得；当时，方程即，解之得()；当时，方程即，解之得().综上所述，方程的解为，或，或. ………16分19．设函数,（）.(1) 求证:是偶函数;(2) 画出函数的图象，并指出函数的单调区间,并说明在各个单调区间上是单调递增还是单调递减;(3) 求函数的值域.解： (1) 因为,所以f(x)的定义域关于原点对称.对定义域内的每一个x,都有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.(2) 当0≤x≤4时,f(x)=x 2-2x-3=(x-1)2-4;当-4≤x<0时,f(x)=x 2+2x-3=(x+1)2-4.函数f(x)的图象如图所示.由图知函数f(x)的单调区间为[-4,-1),[-1,0),[0,1),[1,4].f(x)在区间[-4,-1)和[0,1)上单调递减,在[-1,0)和[1,4]上单调递增.(3) 当x≥0时,函数f(x)=(x-1)2-4的最小值为-4,最大值为f(4)=5;当x<0时,函数f(x)=(x+1)2-4的最小值为-4,最大值为f(-4)=5.故函数f(x)的值域为[-4,5].20． 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：（其中x 是仪器的月产量）．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)解：（1）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000. ∴当x ＝300时，有最大值为25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数，f (x )<60 000－100×400＝20 000<25 000.∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000，即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．}27285 6A95 檕25052 61DC 懜k&@Y31750 7C06 簆.*29155 71E3 燣 f 33982 84BE 蒾。
北京市北师大附中2021-2022高一数学上学期10月月考试题(含解析).doc
北京市北师大附中2021-2022高一数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题1.已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则() A. A B =B. AB =∅ C. A B ⊆ D.()1A B ∈【答案】D 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】对于选项A,显然A ≠B,所以该选项是错误的； 对于选项B,{2,3}AB φ=≠,所以该选项是错误的；对于选项C,应该是B A ⊆,所以该选项是错误的； 对于选项D,{1,2,3},A B =所以()1A B ∈，所以该选项是正确的.故选D【点睛】本题主要考查集合的关系和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.已知集合{}{}2|13,|4,P x R x Q x R x =∈≤≤=∈≥则()R P Q ⋃=A. [2,3]B. （ -2,3 ]C. [1,2）D.(,2][1,)-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】有由题意可得：{}|22R C Q x x =-<< ， 则()RP Q ⋃= ( -2,3 ] .本题选择B 选项.【此处有视频，请去附件查看】3.已知集合(){}2,A x y y x ==，(){},B x y y x ==，则AB 中元素的个数为()A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B 【解析】 【分析】解方程组2y x y x ⎧=⎨=⎩即得解.【详解】解方程组2y x y x⎧=⎨=⎩得1111x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或， 所以={1,11,1)}A B --（），（，所以A B 中元素的个数为2个.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集的运算和集合的表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.已知集合{}A x x a =≤，{}05B x x =<<，若A B B =，则实数a的取值范围是()A. 5a ≥B. 4a ≥C. 5a <D. 4a <【答案】A 【解析】 【分析】由题得B A ⊆,即得a ≥5. 【详解】因为A B B =，所以B A ⊆， 所以a ≥5. 故选A【点睛】本题主要考查根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x ＜3， 由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件， 故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【此处有视频，请去附件查看】6.如果不等式ax 2+bx+c<0 （a≠0）的解集是空集,那么 （ ） A. a<0，且b 2-4ac>0 B. a<0且b 2-4ac≤0 C. a>0且b 2-4ac≤0 D. a>0且b 2-4ac>0【答案】C 【解析】【详解】设2(0),y ax bx c a =++≠要使不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集是∅， 需使抛物线开口向上，图象在x 轴上方（或相切）， 则2040.a b ac >-≤且故选C7.已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A. (1,1)- B. 1(1,)2--C. (1,0)-D. 1(,1)2【答案】B 【解析】试题分析：因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ． 考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域． 【此处有视频，请去附件查看】8.下列函数中，值域为[]0,1的是() A. 2yx B. 1y x =+ C. 211y x =+ D.y =【答案】D 【解析】 【分析】求出每一个选项的函数的值域即得解. 【详解】对于选项A,函数2yx 的值域为[0+∞，），所以该选项不符；对于选项B,函数1y x =+的值域为R ，所以该选项不符； 对于选项C,函数211y x =+的值域为0,1]（，所以该选项不符；对于选项D, 函数y =[0,1],所以该选项符合. 故选D【点睛】本题主要考查函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21f x x x=+,则()1f -= ( ) A. -2 B. 0 C. 1D. 2【答案】A 【解析】因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故选A. 10.如果()f x 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是 A. ()y x f x =+ B. ()y x f x =⋅ C. 2()y x f x =+ D. 2()y x f x =⋅【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，设()()g x xf x =，则()()()()()g x x f x xf x g x -=--==，所以函数()g x 为偶函数，故选B ．考点：函数奇偶性的判定．11.已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A. (,1)-∞- B. (1,3)- C. (3,)-+∞ D. (3,1)-【答案】B 【解析】 【分析】原命题等价于212(1)02x a x +-+>恒成立，故2()114202a ∆=--⨯⨯<即可，解出不等式即可.【详解】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ．【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R 上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.12.已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围为（） A. 12(,)33B. 12[,)33C. 12(,)23D. 12[,)23【答案】A 【解析】 【分析】根据单调性，将函数值的大小关系转变为自变量间的大小关系，注意偶函数对应的函数的对称情况.【详解】因为偶函数()f x 是在[)0,+∞上递增，则()f x 在(),0-∞递减，且11()33f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；又因为1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，根据单调性和奇偶性有：112133x -<-<，解得：12,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 故选A.【点睛】本题考查利用函数单调性、奇偶性求解参数范围问题，难度一般.对于这种奇偶性和单调性的综合问题，除了可以直接分析问题，还可以借助图象来分析，也可以高效解决问题.【此处有视频，请去附件查看】二、填空题13.满足关系式{}{}2,31,2,3,4A ⊆⊆的集合A 的个数是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】列举出满足题意的集合A 即得解.【详解】由题得满足关系式{}{}2,31,2,3,4A ⊆⊆的集合A 有：{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{1,2,3,4}.所以集合A 的个数为4. 故答案为4【点睛】本题主要考查集合关系和集合个数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.若函数243y x ax =++在区间(),5-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是__________.【答案】5]2∞（-,- 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，再分析得解.【详解】由题得抛物线的对称轴为x=-2a,因为函数243y x ax =++在区间(),5-∞上是减函数， 所以-2a≥5， 所以52a ≤-. 故答案为5]2∞（-,- 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15.定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意的1x ，[)()2120,x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则()3f ，()2f -，()1f 从小到大依次是__________.【答案】(3),(1),(2)f f f - 【解析】 【分析】先分析得到函数的单调性，再比较大小得解. 【详解】因为对任意的1x ，[)()2120,x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，所以函数在[0,)+∞上单调递减， 因为函数是奇函数， 所以函数在R 上单调递减， 因为312>>-，所以(3)(1)(2)f f f <<-. 故答案为(3),(1),(2)f f f -【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知集合{}1,2,3,4A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，()f i i ≠，则满足条件的函数()f x 有_____个. 【答案】9【解析】 【分析】直接列举出满足题意的函数，即得满足题意的函数的个数. 【详解】当f （1）2=时，若f （2）1=，则f （3）4=，f （4）3=； 若f （2）3=，则f （4）1=，f （3）4=， 若f （2）4=，则f （3）1=，f （4）3=，共3种； 同理可得：当f （1）3=，f （1）4=时，都有3种． 综上所述：满足条件的函数()f x 共有9种． 故答案为9．【点睛】本题考查了函数的定义域和值域、函数的概念，属基础题．17.已知函数21,02,0x x y x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()10f x =，则x=___________【答案】3- 【解析】 【分析】当0x >时，()2010f x x =-<≠,当0x ≤时，由()2110f x x =+=可得结果.【详解】因为函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，当0x >时，()2010f x x =-<≠, 当0x ≤时，()2110f x x =+=,可得3x =（舍去），或3x =-，故答案为3-.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，以及分类讨论思想的应用，属于简单题.18.函数f x （）的定义域为A ，若1212x x A f x =f x ∈，且（）（）时总有12x =x f x ，则称（）为单函数.例如，函数f x （）=2x+1（x R ∈）是单函数.下列命题：①函数f x （）=2x （x ∈R ）是单函数；②若f x （）为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠则12f x f x ≠（）（）；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象；④函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号） 【答案】②③ 【解析】【详解】命题①：对于函数，设，故和可能相等，也可能互为相反数，即命题①错误； 命题②：假设，因为函为单函数，所以，与已知矛盾，故，即命题②正确；命题③：若为单函数，则对于任意，，假设不只有一个原象与其对应，设为，则，根据单函数定义，，又因为原象中元素不重复，故函数至多有一个原象，即命题③正确；命题④：函数在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，即命题④错误,综上可知，真命题为②③. 故答案为②③． 三、解答题19.已知集合{}44A x a x a =-+<<+，105x B x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭.⑴若1a =，求AB .⑵若A B =R ，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) {|31}x x -<≤-;(2) {|13}a a <≤. 【解析】 【分析】（1）把a 的值代入确定出A ，再求出B, 求出A 与B 的交集即可；（2）根据A 与B 的并集为R ，确定出a 的范围即可．【详解】(1) 把1a =代入得：{|35}A x x =-<<， {|1B x x =≤-或5}x >， {|31}A B x x ∴=-<≤-；（2）{|44}A x a x a =-+<<+，{|1B x x =≤-或5}x >，且A B R =，∴4145a a -+≤-⎧⎨+>⎩，解得：13a ，则实数a 的范围是{|13}a a <≤．【点睛】本题主要考查集合的交集和并集运算，考查根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.设函数()f x 满足()2231f x x x -=+-.⑴求()f x 的解析式；⑵若()f x 的定义域是区间()5,0-，求()f x 的值域. 【答案】（1）2111()244f x x x =++；（2）511[,)44- 【解析】 【分析】（1）可设23x t -=，从而求得1322x t =+，代入2(23)1f x x x -=+-并整理可得出2111()244f t t t =++，从而得出2111()244f x x x =++；（2）配方得出215()(4)44f x x =+-，根据()f x 的定义域为(5,0)-即可得出5(4)4f -=-最小，并求出11(0)4f =，从而可得出()f x 的值域．【详解】设23x t -=，则1322x t =+，代入2(23)1f x x x -=+-得：221313111()()12222244f t t t t t =+++-=++；∴2111()244f x x x =++； （2）215()(4)44f x x =+-；(5,0)x ∈-；4x ∴=-时，()f x 取最小值54-，且11(0)4f =；()f x ∴的值域为511[,)44-．【点睛】考查换元求函数解析式的方法，配方求二次函数最值的方法，函数值域的定义及求法．21.已知函数()f x 的定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时有()44x f x x =+. ⑴判断函数()f x 在[)0,+∞上的单调性，并用定义证明.⑵求函数()f x 的解析式(写出分段函数的形式). 【答案】(1)单调递增，证明见解析；（2）4(0)4()4(0)4x x x f x x x x ⎧⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩. 【解析】【分析】（1）运用函数的单调性的定义证明；（2）运用偶函数的定义，求出0x <的表达式，即可得到()f x 的解析式．【详解】（1）函数4()4x f x x =+在[0，)+∞上单调递增． 证明：设120x x >，则12121244()()44x x f x f x x x -=-++， 12121216()4()16x x x x x x -=+++， 又120x x >，所以120x x ->，120x x ，120x x +>， 所以12121216()04()16x x x x x x ->+++． 则12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >， 故函数4()4x f x x =+在[0，)+∞上单调递增； （2）由于当0x 时有4()4x f x x =+， 而当0x <时，0x ->， 则44()()44x x f x f x x x --===-+-， 即4()(0)4x f x x x =<-． 则4(0)4()4(0)4x x x f x x x x ⎧⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩．【点睛】本题考查函数的单调性的判断和证明，函数的解析式的求法，考查运算能力，属于基础题．22.已知()f x 的定义域为()0,∞+，且对任意01x <<，都有()0f x <，若()21f =，且()()()f xy f x f y =+，解不等式()()23f x f x +-≤.【答案】{|24}x x <≤【解析】【分析】先证明函数的单调性，再利用单调性解不等式得解.【详解】设120x x >>， 所以222121111111()()()=()x x x f x f x f x f x f x f x f x x x -=-⋅--（）（）-f(）=（）， 因为22211101,x x x f f x x x <<∴∴-（）<0,（）>0，12()()f x f x ∴>. 所以函数f(x)在()0,∞+上是增函数.由题得(22)(2)(2)112(4)f f f f ⨯=+=+==，(42)(4)(2)213(8)f f f f ⨯=+=+==，因()()23f x f x +-≤，所以()()0[2](8),2028x f x x f x x x ⎧>⎪-≤∴->⎨⎪-≤⎩，所以24x <≤.所以()()23f x f x +-≤的解为{|24}x x <≤.【点睛】本题主要考查函数单调性的证明和应用，考查不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
北京市人民大学附属中学2020-2021学年高一10月数学阶段性练习试题
北京市人民大学附属中学2020-2021学年高一10月数学阶段性练习试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2|2M x R x =∈≤，1a =则下列关系正确的是（ ）A ．a MB ．a M ∉C ．()a M ∈D ．{}a M 2．全称命题“21x R,x x 04∀∈-+≥”的否定是（ ） A ．21,04x R x x ∀∈-+< B ．21,04x R x x ∃∈-+< C ． 21,04x R x x ∃∈-+≥ D ．21,04x R x x ∀∈-+< 3．全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,3,5S =，{}3,6T =，则U U C S C T ⋂等于（ ）A ．∅B ．{}2,4,7,8C ．{}1,3,5,6D ．{}2,4,6,8 4．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ．()()AC B C B ．()()A B A C C ．()()A B B CD ．()A B C5．若a ，b R ∈，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若a b ≠，则22a b ≠6．已知p :1x m -<,q :28120x x -+<,且q 是p 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为（ ）A ．()3,5B ．[]3,5C ．()(),35,-∞+∞D ．(](),35,-∞+∞7． 定义符号函数sgn x ＝1,00,01,0x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩则当x ∈R 时，不等式x ＋2＞(2x －1)sgn x的解集是( )A．33{|}44x x +-+-<< B．3{|}4x x -< C．{|x x <D．{|3}x x << 8．（2017北京西城二模理8）有三支股票A ，B ，C ，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一 支股票．在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题9．已知全集U R =，集合(,0)A =-∞，{1,3,}B a =--，若()U C A B φ⋂≠，则实数a 的取值范围是______.10．设集合{|03}M x x =<≤，{|02}N x x =<≤，那么“a M ∈”是“a N ∈”的___________条件（请在：“充分而不必要”，“必要而不充分”，“充分必要”，“既不充分也不必要”中选一个填空）11．方程()22242x x x x +++=的解集为______________.12．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫-⎪⎝⎭，则+a b 的值是________ 13．关于x 的方程()()()221k x x x x x -=--的解集中只含有一个元素,k =______. 14．设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算⊕为：j ik A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，i ，0j =，1，2，3，则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的x （x S ∈）的个数为________.三、解答题15．已知全集{0,1,2,3,4,5,6}U =，集合{|14}A x N x =∈<≤，{}2|320B x R x x =∈-+=（1）用列举法表示集合A 与B ；（2）求A B 及()U A B ⋂.16．已知关于x 的方程x 2+2(m -2)x +m 2+4=0有实数根.（1）若两根的平方和比两根之积大21，求实数m 的值；（2）若两根均大于1，求实数m 的取值范围.17．已知关于x 的方程220x ax --=的两根为1x ，2x ，试问：是否存在实数m ，使得[1,a ∀∈，[1,1]t ∀∈-不等式2121m tm x x ++≥-都成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，说明理由.18．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素的差的绝对值大于1.参考答案1．D【分析】集合M 表示的是平方后小于等于2的数，而212≤成立，由此可进行判断【详解】解：因为212≤成立，{}2|2M x R x =∈≤，1a =所以a M ∈或{}a M ，故选：D【点睛】此题考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于基础题2．B【分析】全称量词改为存在量词，再否定结论可得答案.【详解】全称命题“21x R,x x 04∀∈-+≥”的否定是：“21,04x R x x ∃∈-+<”， 故选：B.【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.3．B【解析】 试题分析：因为{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}1,3,5S =，{}3,6T =,所以，,所以U U C S C T⋂． 考点：集合间的基本运算．4．A【分析】 由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是A 的元素且是B 的元素，或是C 的元素”，由韦恩图与集合之间的关系易得答案.【详解】解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足“是A 的元素且是B 的元素，或是C 的元素”，故阴影部分所表示的集合是()()()CA B A C B C =故选：A【点睛】本题考查利用韦恩图求集合、考查韦恩图在解决集合间的关系时是重要的工具．5．C【分析】举反例可排除ABD ，至于C 由不等式的性质平方可证．【详解】解：选项A ，取1a =-，2b =-，显然满足a b >，但不满足22a b >，故错误；选项B ，取1a =-，2b =-，显然满足||a b >，但不满足22a b >，故错误；选项D ，取1a =-，1b =，显然满足a b ≠，但22a b =，故错误；选项C ，由||a b >和不等式的性质，平方可得22a b >，故正确．故选：C ．【点评】本题考查不等式与不等关系，举反例是解决问题的关键，属基础题．6．B【分析】首先求两个命题表示的集合,A B ，由题意可知A B ，然后根据集合的包含关系求m 的取值范围.【详解】 :p 111x m x m -<⇒-<-<解得：11m x m -<<+ ，{}11A x m x m ∴=-<<+，2:8120q x x -+< ，解得：26x <<，{}26B x x ∴=<<，q 是p 的必要不充分条件,∴A B∴ 1216m m -≥⎧⎨+≤⎩，解得35m ≤≤ 故选：B【点睛】本题考查解不等式和根据命题的必要不充分条件求参数的取值范围，意在考查基本方法和计算，属于基础题型.7．D【解析】当x ＞0时，不等式化为x ＋2＞2x －1，解得x ＜3，即0＜x ＜3；当x ＝0时，不等式恒成立；当x ＜0时，不等式化为x ＋2＞(2x －1)－1，即2x 2＋3x －3＜0，解得x <<即34-＜x ＜0.综上可知，不等式的解集为3{|3}4x x +-<<.选D. 点睛：根据定义利用分段讨论法，将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集． 8．A【解析】设只持有A 股票的人数为X （如图所示），则持有A 股票还持有其它股票的人数为1X -（图中d e f ++ 的和），因为只持有一支股票的人中，有一半没持有B 或C 股票，则只持有了B 和C 股票的人数和为X （图中b c +部分）．假设只同时持有了B 和C 股票的人数为a （如图所示），那么：128X X X a +-++=，即：329X a +=，则：X 的取值可能是：9、8、7、6、5、4、3、2、1．与之对应的a 值为：2、5、8、11、14、17、20、23、26． 因为没持有A 股票的股民中，持有B 股票的人数为持有C 股票人数的2倍，得()2b a c a +=+，即3X a c -=，故8X =，5a =时满足题意，故1c =，7b =，故只持有B 股票的股民人数是7，故选A.点睛：本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有A 股票的人数．关键是求只参加一个项目的人数中，持有A 股票的人数及持有A 股票以外的项目，且即持有C 股票又持有B 股票（a 部分）的人数.9．0a ≥【分析】求出集合A 的补集U C A ，结合()U C A B φ⋂≠，即可确定实数a 的取值范围.【详解】[)=0U C A +∞，()U C A B φ⋂≠U C A ∴与B 必有公共元素即0a ≥【点睛】本题主要考查了集合间的交集和补集运算，属于基础题.10．必要而不充分【分析】由充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：因为集合{|03}M x x =<≤，{|02}N x x =<≤，所以N M所以当a M ∈时，不一定有a N ∈，而当a N ∈时，一定有a M ∈，所以“a M ∈”是“a N ∈”的必要而不充分条件，故答案：必要而不充分【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题11．{3-，2}．【分析】令2x x t +=，把原方程化为关于t 的一元二次方程，求解t ，进一步得到关于x 的一元二次方程求解．【详解】解：令2x x t +=，则22111()244t x x x =+=+--， 原方程化为2420t t +-=，解得17t =-（舍)或26t =，即26x x +=，得260x x +-=，解得13x =-或22x =． 即方程222()42x x x x +++=的解集为{3-，2}．故答案为：{3-，2}．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，训练了利用换元法求解高次方程，是中档题． 12．14-【分析】根据一元二次不等式的解集以及一元二次方程根与系数的关系列方程组，解方程组求得,a b ，由此求得+a b 的值.【详解】根据题意，一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则方程220ax bx ++=的两根为12-和13，则有112311223b a a⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎩， 解可得12a =-，2b =-，则14a b +=-.故答案为：14-【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根与系数的关系，属于基础题. 13．-1，3，0【分析】由方程可知1x ≠且0x ≠，得到220x x k +-=，解得1k =-，再分别将1x =和0x =代入220x x k +-=，得到k ，验证是否解集中只有一个元素，得到k .【详解】()22211x k x k x x x x x x --==--- 1x ≠ ，化简为2k x x x-=， 0x ≠，变形为22220x k x x x k =-⇒+-= ①440k ∆=+=，解得：1k =- ，验证当1k =-时，2210x x ++= ，解得：1x =- 成立.∴1k =-.当1x =时，代入①21210k +⨯-=，解得：3k = 代入原式，2321x x x x x-=--， 1x ≠且0x ≠ ，化简得：2230x x +-= ，解得：1x =或3x =- ，1x ≠ ，∴方程只有一个解，成立，3k ∴= ，当0x =时，代入①20200k +⨯-=，解得0k = ， 带代原式221x x x x x-=--， 1x ≠且0x ≠ ，解得：2x =- ，成立，0k ∴=故答案为：-1,3,0【点睛】本题考查根据分式方程的解集个数求参数，意在考查基本计算，属于基础题型，本题是一道易错题，易错的原因就是忽略将1x =和0x =代入220x x k +-=，验证k 的值. 14．2【分析】由已知中集合0{S A =，1A ，2A ，3}A ，在S 上定义运算⊕为：j i k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，i ，0j =，1，2，3，分别分析x 取0A ，1A ，2A ，3A 时，式子的值，并与0A 进行比照，即可得到答案．【详解】当0x A =时，20020220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当1x A =时，21122240()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕==当2x A =时，22220220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当3x A =时，23322200()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕==则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为：2个．故答案为：2．【点睛】本题考查的知识点是集合中元素个数，其中利用穷举法对x 取值进行分类讨论是解答本题的关键.属于中档题.15．（1）{2,3,4}A，{1,2}B =；（2）{0,1,3,4,5,6}【分析】 （1）根据集合中元素的属性，直接列举出A 与B 即可；（2）先求出A 与B 的交集，再利用补集的定义求出A 与B 交集的补集即可．【详解】（1）集合{|14}{2,3,4}A x N x =∈<≤=，{}2|320{1,2}B x R x x =∈-+==；（2）由（1）根据交集的定义可知{2}AB =；全集{0,1,2,3,4,5,6}U =，(){0,1,3,4,5,6}U A B ∴=． 【点睛】本题考查了交集与补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题． 16．（1）1m =-；（2）()(],11,0-∞-⋃-【分析】（1）根据韦达定理列方程，即可解得结果；（2）根据实根分布列不等式组，解得结果.【详解】（1）设方程222(2)40x m x m +-++=的根为12,x x则22212122(2),4,4(2)4(4)00x x m x x m m m m +=--=+∆=--+≥∴≤ 2221212121221()321x x x x x x x x +=+∴+=+2224(2)3(4)21161701m m m m m -=++∴--=∴=-或17（舍）即1m =-；（2）设22()2(2)4f x x m x m =+-++由题意得：2224(2)4(4)002110(1)(1)01m m m m m m f m m ⎧∆=--+≥≤⎧⎪⎪->∴<∴≤⎨⎨⎪⎪=+>≠-⎩⎩且1m ≠-即实数m 的取值范围为(,1)(1,0]-∞--【点睛】 本题考查实根分布、韦达定理应用，考查数形结合思想方法，属中档题.17．存在，113m+或113m -- 【分析】由题意可得21m tm ++的在[1-，1]上的最小值大于或等于12||x x -的最大值．分类讨论m 的符号，分别求出12||x x -的最大值和21m tm ++的在[1-，1]上的最小值，从而求出m 的范围．【详解】解：关于x 的方程220x ax --=的两根为1x ，2x ，∴△280a =+>， 12x x a ∴+=，122x x =-．[1,a ∀∈，[1,1]t ∀∈-，不等式2121m tm x x ++-都成立，22()11f t m tm mt m ∴=++=++的在[1-，1]上的最小值，大于或等于12||x x -的最大值．12x x -==4=，2()1f t tm m =++的在[1-，1]上的最小值，大于或等于4．（1）当0m 时，对于一次函数2()1f t tm m =++，当1t =-时，()f t 最小值为21m m -+，故有214m m -+，求得113m +． （2）当0m 时，对于一次函数22()11f t m tm mt m =++=++，当1t =时，21m tm ++的最小值为21m m ++， 故有214m m ++，求得1132m --． 综上可得，存在113m+或113m --，满足题中条件． 【点评】本题主要考查韦达定理，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．18．见解析【详解】设n a 是集合{}1,2,,n ⋅⋅⋅的具有题设性质的子集个数.集合{}1,2,,,1,2n n n ⋅⋅⋅++的具有题设性质的子集可分为两类：第一类子集包含元素2n +，这样的子集有n a n +个（即每个{}1,2,,n ⋅⋅⋅的这种子集与{}2n +的并集，以及{}{}{}1,2,2,2,,,2n n n n ++⋅⋅⋅+）；第二类子集不包含2n +，这样的子集有1n a +个. 于是，有21n n n a a a n ++=++.显然，341,3a a ==（即{}{}{}1,3,2,4,1,4）56789107,14,26,46,79,133a a a a a a ∴======.。
2020-2021学年北京市清华附中高一(上)段考数学试卷(10月份)
2020-2021学年北京市清华附中高一（上）段考数学试卷（10月份）试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）命题p：∀x∈N.x3≥1.则￢p为（）A.∀x∈N.x3＜1B.∀x∉N.x3≥1C.∃x∉N.x3≥1D.∃x∈N.x3＜12.（单选题.4分）已知全集U={1.2.3.4.5}．集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.则B∩（∁U A）=（）A.{2.4}B.{1.3}C.{4.5}D.{2}3.（单选题.4分）若实数x.y满足2x+y=1.则x•y的最大值为（）A.1B. 14C. 18D. 1164.（单选题.4分）“x=1”是“x2=1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题.4分）若b＜0＜a.d＜c＜0.则（）A.ac＞bdB. ac ＞bdC.a+c＞b+dD.a-c＞b-d6.（单选题.4分）若a.b∈R.且ab＞0.则下列不等式中.恒成立的是（）A.a2+b2＞2abB. a+b≥2√abC. ba +ab≥2D. 1a +1b≥2√ab7.（单选题.4分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2.+∞）.则bx+a＜0的解集是（）A. (−∞，12)B. (12，+∞)C. (−∞，−12)D. (−12，+∞)8.（单选题.4分）加工爆米花时.爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下.可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据.可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟9.（单选题.4分）若关于x的不等式kx2-kx＜1的解集为R则实数k的取值范围是（）A.（-4.0）B.（-4.0]C.[-4.0]D.（-∞.-4]∪[0.+∞）10.（单选题.4分）已知非空集合A.B满足以下两个条件（i）A∪B={1.2.3.4.5.6}.A∩B=∅；（ii）若x∈A.则x+1∈B．则有序集合对（A.B）的个数为（）A.12B.13C.14D.1511.（填空题.5分）集合{0.1}的子集的个数为___ ．12.（填空题.5分）已知集合A={x|y= √m−x }.B=（2-m.+∞）．若A∪B=R.且A∩B=∅.则m=___ ．13.（填空题.5分）若集合{x∈N*|x2+mx＜0}恰有3个元素.则实数m的取值范围是___ ．14.（填空题.5分）已知集合A={x|x2-2x+a≥0}.B={x|x2-2x+a+1＜0}.若A∪B=R.则实数a的取值范围为___ ．15.（填空题.5分）已知a＞0.b＞0.a+b＞2.有下列4个结论：① ab＞1. ② a2+b2＞2. ③ 1a和1 b 中至少有一个数小于1. ④ 1+ab和1+ba中至少有一个小于2.其中.全部正确结论的序号为___ ．16.（问答题.14分）求下列关于x的不等式的解集：（1）x2-3x-4≥0；（2）-x2+x-1＜0；（3）x2≤a．17.（问答题.14分）已知集合A={x|x2-（a+1）x-a＞0}．（1）若1∈A.求实数a的取值范围；（2）若集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.求实数a的取值范围．18.（问答题.14分）已知x+y=1.x.y∈R+．（1）求x2+y2+xy的最小值；（2）求√x+√y的最大值；（3）求x（1-3y）的最小值．19.（问答题.14分）在平面直角坐标系xOy中.函数y=x2+mx+n的图象经过点（1.0）.且对于任意的x∈R.总有y≥0．（1）求m.n的值；（2）若直线y=kx+2与函数y=x2+mx+n的图象交于不同的两点A（x1.y1）.B（x2.y2）.且x13+x23=14.求实数k的值．20.（问答题.14分）已知集合A.B为非空数集.定义A-B={x∈A且x∉B}．（1）已知集合A=（-1.1）.B=（0.2）.求A-B.B-A；（直接写出结果即可）（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}.Q=[1.2].若Q-P=∅.求实数a的取值范围．21.（问答题.15分）已知x.y∈（-1.1）．定义x*y= x+y1+xy．（1）求0* 13及12* 13的值；（2）求证：∀x.y∈（-1.1）.x*y∈（-1.1）；（3）若{x1.x2.x3.x4.x5.x6}= {−57，−16，−14，12，13，14} .求x1*x2*x3*x4*x5*x6的所有可能值构成的集合．2020-2021学年北京市清华附中高一（上）段考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）命题p：∀x∈N.x3≥1.则￢p为（）A.∀x∈N.x3＜1B.∀x∉N.x3≥1C.∃x∉N.x3≥1D.∃x∈N.x3＜1【正确答案】：D【解析】：根据全称命题的否定方法.根据已知中的原命题.写出其否定形式.可得答案．【解答】：解：∵命题p：∀x∈N.x3≥1.∴￢p：∃x∈N.x3＜1.故选：D．【点评】：本题考查的知识点是全称命题.命题的否定.熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键．2.（单选题.4分）已知全集U={1.2.3.4.5}．集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.则B∩（∁U A）=（）A.{2.4}B.{1.3}C.{4.5}D.{2}【正确答案】：C【解析】：由全集U及A.求出A的补集.找出B与A补集的交集即可．【解答】：解：∵全集U={1.2.3.4.5}.集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.∴∁U A={4.5}.则B∩（∁U A）={4.5}．故选：C．【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算.熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3.（单选题.4分）若实数x.y满足2x+y=1.则x•y的最大值为（）A.1B. 14C. 18D. 116【正确答案】：C【解析】：根据xy=x（1-2x）=-2（x- 14）2+ 18≤ 18.即可求出最大值．【解答】：解：∵实数x.y满足2x+y=1. ∴y=1-2x.∴xy=x（1-2x）=-2x2+x=-2（x- 14）2+ 18≤ 18.当x= 14 .y= 12时取等号.故选：C．【点评】：本题考查了二次函数的性质.考查了运算和转化能力.属于基础题．4.（单选题.4分）“x=1”是“x2=1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：先判断由x=1能否推出“x2=1”.再判断由“x2=1”成立能否推出“x=1“成立.利用充要条件的定义判断出结论．【解答】：解：当x=1成立则“x2=1”一定成立反之.当“x2=1”成立则x=±1即x=1不一定成立∴“x=1”是“x2=1”的充分不必要条件故选：A．【点评】：判断一个条件是另一个条件的什么条件.首先弄清哪一个是条件；再判断前者是否推出后者.后者成立是否推出前者成立.利用充要条件的定义加以判断．5.（单选题.4分）若b＜0＜a.d＜c＜0.则（）A.ac＞bdB. ac ＞bdC.a+c＞b+dD.a-c＞b-d【正确答案】：C【解析】：根据不等式的性质依次验证每个选项是否正确.即可判断【解答】：解：A：由b＜0＜a.d＜c＜0可知.bd＞0.ac＜0.则bd＞ac.故A不正确B：由d＜c＜0可知1c ＜1d＜0 .又b＜0＜a∴ a c ＜0，bd＞0∴ a c ＜bd.故B不正确C：∵b＜a.d＜c∴a+c＞b+d.故C正确D∵d＜c∴-d＞-c.又a＞b∴a-d＞b-c.故D不正确故选：C．【点评】：本题考查不等式的性质.要求熟练掌握不等式的性质．属于基础试题6.（单选题.4分）若a.b∈R.且ab＞0.则下列不等式中.恒成立的是（）A.a2+b2＞2abB. a+b≥2√abC. ba +ab≥2D. 1a +1b≥√ab【正确答案】：C【解析】：利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．【解答】：解：A．∵（a-b）2≥0.∴a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时等号成立.因此不正确．B．取a.b＜0时.a+b≥2 √ab不成立．C．∵ab＞0.∴ ab . ba＞0.∴ ba+ab≥2 √ba•ab=2.当且仅当a=b时取等号.正确．D．取a.b＜0时. 1a + 1b≥√ab故选：C．【点评】：本题考查了基本不等式的使用法则“一正二定三相等”.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．7.（单选题.4分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2.+∞）.则bx+a＜0的解集是（）A. (−∞，12)B. (12，+∞)C. (−∞，−12)D. (−12，+∞)【正确答案】：A【解析】：由题意知.x=2是方程ax+b=0的根.且a＜0.推出b=-2a.再代入bx+a＜0.解之即可．【解答】：解：由题意知.x=2是方程ax+b=0的根.且a＜0.所以b=-2a.所以不等式bx+a＜0可化为-2ax+a＜0.解得x＜12.故选：A．【点评】：本题考查一元一次不等式的解法.灵活运用不等式的逆向思维是解题的关键.考查学生的逻辑推理能力和运算能力.属于基础题．8.（单选题.4分）加工爆米花时.爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下.可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据.可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟【正确答案】：B 【解析】：由提供的数据.求出函数的解析式.由二次函数的图象与性质可得结论．【解答】：解：将（3.0.7）.（4.0.8）.（5.0.5）分别代入p=at 2+bt+c.可得{0.7=9a +3b +c 0.8=16a +4b +c 0.5=25a +5b +c.解得a=-0.2.b=1.5.c=-2.∴p=-0.2t 2+1.5t-2.对称轴为t=- 1.52×(−0.2) =3.75．故选：B ．【点评】：本题考查了二次函数模型的应用.考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题.确定函数模型是关键．9.（单选题.4分）若关于x 的不等式kx 2-kx ＜1的解集为R 则实数k 的取值范围是（ ）A.（-4.0）B.（-4.0]C.[-4.0]D.（-∞.-4]∪[0.+∞）【正确答案】：B【解析】：对系数k 分类讨论.利用判别式即可求出结论．【解答】：解：当k=0时.不等式化为0＜1.对任意实数x 恒成立.所以k=0时满足条件；当k≠0时.不等式为kx 2-kx-1＜0的解集是R.所以 {k ＜0△=k 2+4k ＜0.解得-4＜k ＜0； 综上知.实数k 的取值范围是（-4.0]．故选：B ．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了分类讨论思想.是基础题．10.（单选题.4分）已知非空集合A.B 满足以下两个条件（i ）A∪B={1.2.3.4.5.6}.A∩B=∅；（ii ）若x∈A .则x+1∈B ．则有序集合对（A.B ）的个数为（ ）A.12B.13C.14D.15【正确答案】：A【解析】：对集合A 的元素个数分类讨论.利用条件即可得出．【解答】：解：由题意分类讨论可得：若A={1}.则B={2.3.4.5.6}；若A={2}.则B={1.3.4.5.6}；若A={3}.则B={1.2.4.5.6}；若A={4}.则B={1.2.3.5.6}；若A={5}.则B={2.3.4.1.6}；若A={6}.则B={2.3.4.5.1}.舍去．若A={1.3}.则B={2.4.5.6}；若A={1.4}.则B={2.3.5.6}；若A={1.5}.则B={2.3.4.6}；若A={2.4}.则B={1.3.5.6}；若A={2.5}.则B={1.3.4.6}；若A={3.5}.则B={1.2.4.6}；若A={1.3.5}.则B={2.4.6}．综上可得：有序集合对（A.B ）的个数为12．故选：A ．【点评】：本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．11.（填空题.5分）集合{0.1}的子集的个数为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：集合{0.1}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合.包括空集．【解答】：解：集合{0.1}的子集有：∅.{0}.{1}.{0.1}共4个．故答案为：4．【点评】：本题考查集合的子集个数问题.对于集合M的子集问题一般来说.若M中有n个元素.则集合M的子集共有2n个.此题是基础题．12.（填空题.5分）已知集合A={x|y= √m−x }.B=（2-m.+∞）．若A∪B=R.且A∩B=∅.则m=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：先求出A.根据条件得到B=C R A即可求解结论．【解答】：解：∵集合A={x|y= √m−x }=（-∞.m].B=（2-m.+∞）．又∵A∪B=R.且A∩B=∅.∴B=C R A=（m.+∞）.∴m=2-m⇒m=1.故答案为：1．【点评】：本题考查了交集及其运算.是基础题．13.（填空题.5分）若集合{x∈N*|x2+mx＜0}恰有3个元素.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]{m|-4≤m＜-3}【解析】：分情况解二次不等式.结合已知条件即可求解结论．【解答】：解：当m＞0时.x2+mx＜0⇒-m＜x＜0.∵{x∈N*|x2+mx＜0}恰有三个元素.此时没有正根.故舍去.当m＜0时.x2+mx＜0⇒0＜x＜-m.∵{x∈N*|x2+mx＜0}恰有三个元素.∴3＜-m≤4⇒-4≤m＜-3. 当m=0时.x2+mx＜0⇒x不存在.综上可得：实数m的取值范围为：{m|-4≤m＜-3}．【点评】：本题主要考查不等式的求解以及分类讨论思想的应用.属于中档题目．14.（填空题.5分）已知集合A={x|x2-2x+a≥0}.B={x|x2-2x+a+1＜0}.若A∪B=R.则实数a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][1.+∞）【解析】：求出集合A.B.由A∪B=R.能求出实数a的取值范围．【解答】：解：∵当a＜1时.集合A={x|x2-2x+a≥0}={x|x≤1- √1−a或x≥1+ √1−a }.当a≥1时.集合A的解集为R.当△=4-4（a+1）≤0时.即a≥0时.集合B的解集为∅.当a＜0时.集合B={x|x2-2x+a+1＜0}={x|1- √−a＜x＜1+ √−a }.若A∪B=R.则有1- √1−a≥1- √−a .且 1+ √−a≥1+ √1−a .解得不存在使不等式成立的实数a.故实数a的取值范围是[1.+∞）．故答案为[1.+∞）．【点评】：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题.两个集合的并集的定义.属于基础题．15.（填空题.5分）已知a＞0.b＞0.a+b＞2.有下列4个结论：① ab＞1. ② a2+b2＞2. ③ 1a和1 b 中至少有一个数小于1. ④ 1+ab和1+ba中至少有一个小于2.其中.全部正确结论的序号为___ ．【正确答案】：[1] ② ③ ④【解析】：取特殊值法可判断① ；利用基本不等式可判断② ；利用反证法.推出a+b≤2.与已知a+b＞2矛盾.从而可判断③ ④ ；．【解答】：解：已知a＞0.b＞0.a+b＞2.取a=2.b= 18 .则ab= 14＜1.故① 错误；a2+b2=（a+b）2-2ab≥（a+b）2-2 (a+b2)2= (a+b)22＞2.故② 正确；假设1a 和1b都不小于1.则1a≥1. 1b≥1.所以0＜a≤1.0＜b≤1.所以0＜a+b≤2.与a+b＞2矛盾.所以假设不成立.所以1a 和1b中至少有一个数小于1.故③ 正确；假设1+ab . 1+ba都不小于2.则1+ab≥2. 1+ba≥2.∵a＞0.b＞0.∴1+a≥2b.1+b≥2a.两式相加得：2+a+b≥2（a+b）.解得a+b≤2.这与已知a+b＞2矛盾.故假设不成立.∴ 1+ab . 1+ba中至少有一个小于2.故④ 正确．故正确结论的序号为② ③ ④ ．故答案为：② ③ ④ ．【点评】：本题主要考查基本不等式的应用.反证法的应用.考查逻辑推理能力以及计算能力．16.（问答题.14分）求下列关于x的不等式的解集：（1）x2-3x-4≥0；（2）-x2+x-1＜0；（3）x2≤a．【正确答案】：【解析】：（1）不等式化为（x+1）（x-4）≥0.求出解集即可；（2）不等式化为x2-x+1＞0.利用判别式求出不等式的解集；（3）讨论a的取值.从而求出不等式x2≤a的解集．【解答】：解：（1）不等式x2-3x-4≥0可化为（x+1）（x-4）≥0.解得x≤-1或x≥4.所以不等式的解集为{x|x≤-1或x≥4}；（2）不等式-x2+x-1＜0可化为x2-x+1＞0.△=（-1）2-4×1×1=-3＜0.所以不等式的解集为R；（3）当a≥0时.解不等式x2≤a.得- √a≤x≤ √a；当a＜0时.不等式x2≤a无解；所以.a≥0时.不等式x2≤a的解集为-x|- √a≤x≤ √a }；a＜0时.不等式x2≤a的解集为∅．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了运算求解能力.是基础题．17.（问答题.14分）已知集合A={x|x2-（a+1）x-a＞0}．（1）若1∈A.求实数a的取值范围；（2）若集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）将1代入x2-（a+1）x-a＞0.解得即可.（2）集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.当x=2满足.x=3不满足时.或当x=2不满足.x=3满足时.解不等式组可得．【解答】：解：（1）1∈A .将1代入x 2-（a+1）x-a ＞0得1-（a+1）-a ＞0.解得a ＜0. 即a 的范围为（-∞.0）（2）集合B={2.3}.且A∩B 中恰好只有1个元素. 则说明x 2-（a+1）x-a ＞0有1个元素是2或3. 则当x=2满足.x=3不满足时.∴ {22−2(a +1)−a ＞032−3(a +1)−a ≤0 .即 {a ≥32a ＜23.此时解集为∅. 则当x=2不满足.x=3满足时.∴ {22−2(a +1)−a ≤032−3(a +1)−a ＞0 .解得 23 ≤a ＜ 32 . 综上所述a 的取值范围为[ 23 . 32 ）．【点评】：本题考查了元素和集合的关系.属于基础题． 18.（问答题.14分）已知x+y=1.x.y∈R +． （1）求x 2+y 2+xy 的最小值； （2）求 √x +√y 的最大值； （3）求x （1-3y ）的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）x 2+y 2+xy=（x+y ）2-xy=1-xy.然后利用基本不等式即可求解； （2）（ √x + √y ）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy .然后利用基本不等式即可求解； （3）由x （1-3y ）=（1-y ）（1-3y ）=3y 2-4y+1.然后结合二次函数的性质可求解．【解答】：解：（1）x 2+y 2+xy=（x+y ）2-xy=1-xy≥1-（ x+y 2 ）2= 34.当且仅当x=y= 12 时.取得最小值 34 ；（2）因为x+y=1.x.y∈R +.所以（ √x + √y ）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy ≤1+x+y=2.当且仅当x=y 时取等号.此时取得最大值2；（3）∵x.y∈R+.x+y=1.∴x（1-3y）=（1-y）（1-3y）=3y2-4y+1.结合二次函数的性质可知.当y= 23时取得最小值- 13．【点评】：本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在求解最值中的应用.属于基础题．19.（问答题.14分）在平面直角坐标系xOy中.函数y=x2+mx+n的图象经过点（1.0）.且对于任意的x∈R.总有y≥0．（1）求m.n的值；（2）若直线y=kx+2与函数y=x2+mx+n的图象交于不同的两点A（x1.y1）.B（x2.y2）.且x13+x23=14.求实数k的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知函数过定点可得一个关于m.n的等式.再利用二次函数恒成立问题可再建立一个关于m.n的关系式.两式结合即可求解.（2）联立直线方程和二次函数方程可得一个关于x的二次方程.而x1.x2为该方程的根.则可由根与系数的关系得x1.x2的和与积.再利用立方和公式展开x 13+x23 .进而可以求解．【解答】：解：（1）由已知函数过点（1.0）可得：m+n+1=0… ① .又对任意x∈R.总有y≥0.则△=m2-4n≤0… ② .由① 得n=-1-m.代入② 得：m2+4m+4≤0.即（m+2）2≤0.所以m+2=0.则m=-2.n=1.故m.n的值分别为-2.1；（2）由（1）可得y=x2-2x+1.与y=kx+2联立方程可得：x2-（k+2）x-1=0.则方程的根为x1.x2.由根与系数的关系可得：{x1+x2=k+2 x1x2=−1 .所以x 13+x23 =（x1+x2）（x 12 -x1x2+x 22）=（k+2）[（x1+x2）2-3x1x2] =（k+2）[（k+2）2+3]=14.令k+2=t.则t3+3t-14=0.即t3-8+3t-6=（t-2）（t2+2t+4）+3（t-2）=（t-2）（t2+2t+7）=0.显然t-2=0.即t=2.所以k+2=2.即k=0.故实数k的值为0．【点评】：本题考查了二次函数的性质.涉及到恒成立问题以及立方和公式和高次方程求解等问题.考查了学生的运算转化能力.属于中档题．20.（问答题.14分）已知集合A.B为非空数集.定义A-B={x∈A且x∉B}．（1）已知集合A=（-1.1）.B=（0.2）.求A-B.B-A；（直接写出结果即可）（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}.Q=[1.2].若Q-P=∅.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据定义A-B={x∈A且x∉B}．即可求解A-B.B-A；（2）由Q-P=∅.结合定义A-B={x∈A且x∉B}．即可求解实数a的取值范围．【解答】：解：（1）由定义A-B={x∈A且x∉B}．集合A=（-1.1）.B=（0.2）.∴A-B=（-1.0].B-A=[1.2）．（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}={x|（x-2a）（x+a）≥0}.Q=[1.2].由Q-P=∅.可得Q⊆P.当a=0时.P=R.满足Q⊆P；当a＜0时.P={x|x≤2a或x≥-a}.由Q⊆P.可得{a＜0−a≤1.解得-1≤a＜0.当a＞0时.P={x|x≤-a或x≥2a}.由Q⊆P.可得{a＞02a≤1.解得0＜a≤ 12.综上可得.实数a的取值范围[-1. 12]．【点评】：本题考查对新定义的理解和应用.是基础题.解题时要认真审题．21.（问答题.15分）已知x.y∈（-1.1）．定义x*y= x+y1+xy．（1）求0* 13及12* 13的值；（2）求证：∀x.y∈（-1.1）.x*y∈（-1.1）；（3）若{x1.x2.x3.x4.x5.x6}= {−57，−16，−14，12，13，14} .求x1*x2*x3*x4*x5*x6的所有可能值构成的集合．【正确答案】：【解析】：（1）直接由新定义可求解；（2）等价转化为-1＜x+y1+xy＜1求证；（3）先判断x*y满足交换律和结合律.得到所要求解的式子结果唯一.再利用定义求解．【解答】：解：（1）0* 13 = 0+131+0•13=13. 12∗13=12+131+12•13=57；（2）证明：∵-1＜x＜1.-1＜y＜1.∴-1＜xy＜1.x-1＜0.y-1＜0.∴1+xy＞0.（x-1）（y-1）＞0.∴xy-（x+y）+1＞0.∴1+xy＞x+y.∴ x+y1+xy＜1．同理：（x+1）（y+1）＞0.即xy+（x+y）+1＞0.∴（x+y）＞-（1+xy）.∴ x+y1+xy＞−1 .∴ −1＜x+y1+xy＜1 .∵ x∗y=x+y1+xy.∴∀x.y∈（-1.1）.都有x*y∈（-1.1）成立．（3）由已知可得x*y=y*x.满足交换律．∵（x*y）*z= x+y1+xy ∗z =x+y1+xy+z1+x+y1+xy×z=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz.x*（y*z）=x* y+z1+yz =x+y+z1+yz1+x×y+z1+yz=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz.∴（x*y）*z=x*（y*z）.满足结合律．∴x1*x2*x3*x4*x5*x6有唯一值．∴x1*x2*x3*x4*x5*x6= (−57)∗(−16)∗(−14)∗12∗13∗14=(−57)+(−16)1+(−57)×(−16)* (−14)+121+(−14)×12*13+141+13×14= (−3747)∗27∗713=(−3747)+271+(−3747)×27∗713=(−1117)∗713=−(1117)+7131+(−1117)×713=−16 ．∴x 1*x 2*x 3*x 4*x 5*x 6的所有可能值构成的集合为{ −16}．【点评】：本题考查对新定义的理解.属于中档题．。
2020-2021学年高一数学上学期10月月考试题
2020-2021学年高一数学上学期10月月考试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}5,3,0,3,5A =--,集合{}5,2,2,5B =--,则AB = ( ){}.5,3,0,3,5,5,2,2,5A ---- {}.5,5B -{}.5,3,2,0,2,3,5C --- {}.5,3,2,2,3,5D ---2．如果集合{}1->=x x P ，那么( )A ．P ⊆0B ．P ∈}0{C ．P ∈∅D ．P ⊆}0{ 3.函数432x y x +=-的定义域是 ( )A ．3(,]2-∞ B ． 3(,)2-∞ C ． 3[,)2+∞ D ． 3(,)2+∞4.已知函数1(1)()3(1)x x f x x x +≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩ 则5[()]2f f 等于 （ ）A ．21-B ．25C ．29D ．235．下列函数中,在定义域上既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x = 6．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．211x y x -=-与1y x =+ B ．0y x =与l y =C ．y x =与33y x = D ．2y x =与y x =7.如果1()1xf x x=-，则当0,1x ≠时，()f x =（ ） A ．1xB ．11x - C ．11x - D ．11x -8．若二次函数221y x ax =-+在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥0 B ．a ≤O C.a ≥2 D ．a ≤2 9．函数||y x x =的图像大致是( )A B C D10.某社区要召开群众代表大会，规定各小区每10人推选一名代表，当各小区人数除以10的余数不小于5时再增选一名代表．那么，各小区可推选代表人数y 与该小区人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为 ( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310] C ．y ＝[x ＋410] D ．y ＝[x ＋510]11.已知函数1f (x )+是偶函数，当1x (,)∈-∞时，函数f (x )单调递减，设1122a f (),b f (),c f ()=-=-=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c< a<bB ．a< b<cC ．a< c<bD ．c<b<a12.已知函数)(x f 为奇函数，0>x 时为增函数且0)2(=f ，则{}(2)0x f x ->=（ ） A.}{420><<x x x 或 B.{}04x x x <>或C.{}06x x x <>或 D.{}22x x x <->或二、填空题：（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置） 13．已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[a-l ，2a]，则f(0)=___________. 14．设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈)(x f 的图象如右图,则不等式()f x ≤0解集是 .15.已知函数221()1x f x x -=+，则111973()()()(0)(1)(3)(7)(9)f f f f f f f f +++++++= ．16.给定集合A ，若对于任意,a b A ∈，都有a b A +∈且a b A -∈，则称集合A 为完美集合，给出下列四个论断：①集合{}4,2,0,2,4A =--是完美集合；②完美集合不能为单元素集；③集合{}3,A n n k k Z ==∈为完美集合；④若集合,A B 为完美集合，则集合A B 为完美集合．其中正确论断的序号是 ．三、解答题：（本大题共有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知集合{|36}A x x =-<≤，{|37}B x b x b =-<<+，{|45}M x x =-≤<，全集U =R ．（1）求A M ；（2）若()UB M =R ，求实数b 的取值范围．18.（本小题满分12分）若函数()f x 为奇函数，当0x ≥时，2()24f x x x =-（如图）． （1）求函数()f x 的表达式，并补齐函数()f x 的图象； （2）写出函数)(x f 单调区间和值域.19.（本小题满分12分）已知函数()af x x x=+，且(1)3f =． （1）求a 的值，并确定函数()f x 的定义域； （2）用定义研究函数()f x 在),2[+∞的单调性； （3）当]2,4[--时，求出函数()f x 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f ． （1）求)(x f 的解析式；（2）在区间]1,1[-上，m x x f +>2)(，试确定实数m 的取值范围．21. （本小题满分12分）定义在R 上的函数),(x f y =当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,有)()()(b f a f b a f =+。
北京市2020版高一上学期数学10月月考试卷C卷
北京市2020版高一上学期数学10月月考试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·沧州期末) 已知全集，，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·南宁月考) 已知集合，，那么（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·宝鸡模拟) 如图，已知R是实数集，集合A={x|log （x﹣1）＞0}，B={x| ＜0}，则阴影部分表示的集合是（）A . [0，1]B . [0，1）C . （0，1）D . （0，1]4. （2分） (2018高一上·邢台月考) 下列函数中与具有相同图象的一个函数是（）．A .B .C .D .5. （2分）设f（x）＝2x−3，g（x）＝f（x+2），则g（x）等于（）A . 2x＋1B . 2x－1C . 2x－3D . 2x＋76. （2分）(2017·成都模拟) 设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则 =（）A .B .C .D .7. （2分）在给定的映射：的条件下，象3的原象是（）A . 8B . 2或-2C . 4D . -48. （2分）(2017·湖北模拟) 已知函数f（x）是奇函数，且满足f（2﹣x）=f（x）（x∈R），当0＜x≤1时，f（x）=lnx+2，则函数y=f（x）在（﹣2，4]上的零点个数是（）A . 7B . 8C . 9D . 109. （2分）设集合A={x|x＞a}，集合B={x|x2﹣2x﹣15＜0}，若B∩（∁RA）≠∅，则实数a的取值范围是（）A . a≤﹣3B . a＞﹣3C . ﹣3＜a＜5D . a≥510. （2分）已知a= ，b= ，c=cos50°cos10°+cos140°sin170°，则实数a，b，c的大小关系是（）A . a＞c＞bB . b＞c＞aC . a＞b＞cD . c＞b＞a11. （2分） (2016高二下·重庆期末) 设二次函数f（x）=x2﹣x+a（a＞0），若f（m）＜0，则f（m﹣1）的值为（）A . 正数B . 负数C . 非负数D . 正数、负数和零都有可能12. （2分） (2017高二上·景德镇期末) 若关于x的不等式m＜有且仅有两个整数解，则实数m 的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）集合{1，a， }={0，a2 ， a+b}，则a2013+b2014的值为________．14. （1分）(2020·汨罗模拟) 2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额.新的税率表如下：2019年1月1日后个人所得税税率表全月应纳税所得额税率（%）不超过3000元的部分3超过3000元至12000元的部分10超过12000元至25000元的部分20超过25000元至35000元的部分25个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元.某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是________元.15. （1分）设α={﹣1，1， }，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为________．16. （1分） (2017高一上·长春期中) 若x1 ， x2是方程2x2﹣4x+1=0的两个根，则 =________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2019高一上·黑龙江月考) 已知函数，（1）求其定义域和值域；（2）判断奇偶性；（3）判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期；（4）写出其单调减区间.18. （10分） (2019高一上·松原月考) 求下列函数的定义域（1）（2）19. （10分） (2019高一上·台州期中) 已知集合A＝｛x｜a＜x＜1｝，集合．（1）当a＝－3时，求；（2）若A∩B＝A，求实数的取值范围．20. （10分） (2019高一上·拉萨期中) 已知函数的图象过点（1）求与的值;（2）当时，求的值域.21. （10分） (2017高一上·天津期中) 已知函数 f（x）= （a＞0且a≠1）（1）若a=2，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的值域是[4，+∞），求实数a的取值范围．22. （15分） (2017高二下·杭州期末) 设函数f（x）= ，g（x）=a（x+b）（0＜a≤1，b≤0）．（1）讨论函数y=f（x）•g（x）的奇偶性；（2）当b=0时，判断函数y= 在（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）设h（x）=|af2（x）﹣ |，若h（x）的最大值为2，求a+b的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、17-3、17-4、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
精选2021年最新2021年高一数学上学期10月月考试题(含解析)
16.下列命题：①集合 的子集个数有 个；②定义在 上的奇函数 必满足 ；③ 既不是奇函数又不是偶函数；④偶函数的图像一定与 轴相交；⑤ 在 上是减函数，其中真命题的序号是______________（把你认为正确的命题的序号都填上）.
高一数学上学期10月月考试题（含解析）
一、选择题
1.全集U={0，1，3，5，6，8}，集合A={1，5，8 }，B={2}，则集合（∁UA）∪B=（）
A.{0，2，3，6}B.{0，3，6}C.{2，1，5，8}D.∅
【答案】A
【解析】
【分析】
利用补集的定义求出（CUA），再利用并集的定义求出（CUA）∪B．
【点睛】本题考查复合函数的单调性，函数的值域，指数函数的性质及二次函数的性质，其中根据复合函数单调性“同增异减”的法则，将问题转化为求二次函数的单调递减区间问题是解答本题的关键．
21.设函数 为定义在 上的奇函数.
（1）求实数 的值；
（2）判断函数 的单调性，并用定义法证明 在 上的单调性.
【答案】（1） ;（2） 在 上是增函数
又 ， ，所以， .
【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了二次函数单调区间与最值的求解，解题时要结合二次函数图象的开口方向与对称轴来进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
【答案】①②
【解析】
①集合 的子集个数有 个，①正确；②定义在 上的奇函数 其图象最新原点对称，故必满足 ，②正确；③ ，其图象最新 轴对称，是偶函数，③错误；④ 的图象与 轴没有交点，但它是偶函数，④错误；⑤取 ，虽然 ，但 ，不符合减函数定义，⑤错误，故答案为①②.
北京首都师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题及答案
北京首都师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列各式：①{}10,1,2∈；②{}0,1,2∅⊆；③{}{}10,1,2∈；④{}{}0,1,22,0,1=，其中错误的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．命题“2x ∃<,220x x -<”的否定是（）A ．2x ∃≤,220x x -≥B ．2x ∀≥,02x <<C ．2x ∃<,220x x -≥D ．2x ∀<,0x ≤或2x ≥3．将下列多项式因式分解，结果中不含因式()2x +的是（）A ．224x x +B ．2312x -C ．26x x +-D ．()()228216x x -+-+4．若集合{}{3},21,Z A xx B x x n n =<==+∈∣∣，则A B = （）A ．()1,1-B ．()3,3-C ．{}1,1-D ．{}3,1,1,3--5．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()M P SB ．()M P SC ．()M P SD ．()M P S6．已知p ：111x <+，q ：()10x x +<，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．下列结论成立的是（）A ．若ac bc <，则a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则11a b<D ．若110a b<<，则0b a <<8．设集合11,Z ,,Z 3663k k M x x k N x x k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||，则（）A ．M N=B ．MN C ．N MD ．M N ⋂=∅9．若,,A B C 为三个集合，A B B C ⋃=⋂，则一定有（）A ．A C⊆B ．C A⊆C ．A C¹D ．A ≠∅10．设()C M 表示非空集合M 中元素的个数，已知非空集合,A B .定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧⊗=⎨-<⎩，若{}1,2A =，()(){}2220B x x ax x ax =+++=且1A B ⊗=，则实数a 的所有取值为（）A ．0B ．0，-C ．0，D ．-，0，二、填空题11．方程组322327x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为.12．若“25x m >-”是“|x |<1”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是13．设a ，b ∈R ，集合{}2,0,1{,,0}a a b -=，则a b +的值是.14．已知集合{}|3A x a x =≤≤，{}|0B x x =<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是．15．当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合11,,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}2B x x a ==|.若A 与B 构成“全食”，则a 的取值范围是；若A 与B 构成“偏食”，则a的取值范围是.三、解答题16．已知全集R U =，集合{R |211}A x x =∈-≤，集合{R |12}B x x =∈-<≤．(1)求集合A B ⋂及()U A B ⋃ð；(2)若集合{|2,0}=∈≤<>C x R a x a a ，且C B ⊆，求实数a 的取值范围．17．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +-+=有两个实数根1x ，2x .(1)求实数m 的取值范围；(2)若12126x x x x +=-，求m 的值.18．已知全集R U =，812x A xx ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，{}22240B x x mx m =-+-<，{}14C x x =-<<，在①U x A ∈ð；②x A C ∈ ；③x A C ∈⋃；这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答.问题：设p ：______，q ：x B ∈，是否存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件？若实数m 存在，求m 的取值范围；若实数m 不存在，说明理由.19．已知集合{}1,2,,A n =⋅⋅⋅（3n ≥），A 表示集合A 中的元素个数，当集合A 的子集i A 满足2i A =时，称i A 为集合A 的二元子集，若对集合A 的任意m 个不同的二元子集1A ，2A ，…，m A ，均存在对应的集合B 满足：①B A ⊆；②B m =；③1i B A ≤ （1i m ≤≤），则称集合A 具有性质J .(1)当3n =时，若集合A 具有性质J ，请直接写出集合A 的所有二元子集以及m 的一个取值；(2)当6n =，4m =时，判断集合A 是否具有性质J ？并说明理由.参考答案：题号12345678910答案ADCCCDDBAD1．A【分析】根据集合与集合的关系，元素与集合的关系即可求解.【详解】由元素与集合的关系可知{}10,1,2∈正确，{}{}10,1,2∈不正确，由集合之间的关系知{}0,1,2∅⊆正确，由集合中元素的无序性知{}{}0,1,22,0,1=正确，故错误的个数为1，故选：A【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，集合的子集，集合的相等，属于容易题.2．D【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到结果.【详解】命题“2x ∃<,220x x -<”是存在量词命题,又22002x x x -<⇒<<,所以其否定为全称量词命题,即为“2x ∀<,0x ≤或2x ≥”.故选:D.3．C【分析】利用提取公因式法判断A ，利用公式法判断B ，利用十字相乘法判断C 、D.【详解】对于A.原式()22x x =+，不符合题意；对于B.原式()()()234322x x x =-=+-，不符合题意；对于C.原式()()23x x =-+，符合题意；对于D.原式()()22242x x =-+=+，不符合题意.故选：C.4．C【分析】解绝对值不等式得A ，根据交集的定义计算即可.【详解】解3x <得33x -<<，即()3,3A =-，B 为奇数集，故{}1,1A B =- .故选：C 5．C【分析】根据Venn 图表示的集合运算作答．【详解】阴影部分在集合,M P 的公共部分，但不在集合S 内，表示为()⋂⋂M P S ，故选：C ．6．D【分析】分别求出,p q ，再分析出,p q 的推导关系.【详解】()11110010111x x x x x x -<⇒-<⇒<⇒+>+++，所以:0p x >或1x <-，而:10q x -<<，所以p 是q 的既不充分也不必要条件，故选：D 7．D【分析】根据不等式的性质或举出反例对各选项逐一判断即可.【详解】选项A ：当0c >时，若ac bc <，则a b <，当0c <时，若ac bc <，则a b >，故A 说法错误；选项B ：若1a =，2b =-满足a b >，此时22a b <，故B 说法错误；选项C ：当0a b >>或0a b >>时，11a b<，当0a b >>时，11a b >，故C 说法错误；选项D ：当110a b<<时，0ab >，所以不等式同乘ab 可得0b a <<，故D 说法正确；故选：D 8．B【分析】根据集合,M N 的表达式，可求出集合M 是16的奇数倍，N 是16的整数倍，即可得出,M N 的关系.【详解】由()11,Z 21,Z 366k M x x k x x k k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||可知，集合M 表示的是16的奇数倍；由()11,Z 2,Z 636k N x x k x x k k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||可知，集合N 表示的是16的整数倍；即可知M 是N 的真子集，即M N .故选：B 9．A【分析】由已知等式可推导得到A B C ⊆⊆，由此可依次判断各个选项得到结果.【详解】A B B C ⋃=⋂ ，A B B ∴⊆ ，B B C ⊆ ，A B ∴⊆，B C ⊆，即A B C ⊆⊆；对于A ，A B C ⊆⊆ ，A C ∴⊆，A 正确；对于B ，当且仅当A B C ==时，C A ⊆，B 错误；对于C ，当A B C ==时，满足A B C ⊆⊆，C 错误；对于D ，当A =∅时，满足A B C ⊆⊆，D 错误.故选：A.10．D【分析】由题意可得集合B 中的元素个数为1个或3个，分集合B 中的元素个数为1和集合B 中的元素个数为3两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可.【详解】解：由()()2220x ax x ax +++=可得20x ax +=或220x ax ++=，又因为{}1,2A =，1A B ⊗=，所以集合B 中的元素个数为1个或3个，当集合B 中的元素个数为1时，则20x ax +=有两相等的实数根，且220x ax ++=无解，所以22080a a ⎧=⎨-<⎩，解得0a =；当集合B 中的元素个数为3时，则20x ax +=有两不相等的实数根，且220x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax +=的根的解，所以20Δ80a a ≠⎧⎨=-=⎩，解得a =a =-综上所述，0a =或a =a =-故选：D.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意得出集合B 中的元素个数为1个或3个.11．(){}3,7-【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对(),a b 的形式表示元素）.【详解】因为322327x y x y +=⎧⎨-=⎩，所以37x y =⎧⎨=-⎩，所以列举法表示解集为：(){}3,7-.故答案为(){}3,7-.【点睛】本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可将元素表示成有序数的形式：(),x y .12．(],2-∞【分析】根据题意得到(1,1)-(25,+)m -∞，再利用数轴得到不等式，解出不等式即可.【详解】||<1,1<<1x x ∴- >25x m - 是||1x <的必要不充分条件,(1,1)∴-(25,+)m -∞,251,2m m ∴-≤-∴≤,∴实数m 的取值范围是(,2]-∞,故答案为：(,2]-∞.13．0【分析】由集合相等的含义，分类讨论元素对应关系即可.【详解】由集合元素互异性：0a ≠，又{}2,0,1{,,0}a a b -=，则21a a b ⎧=⎨=-⎩或21a ba ⎧=⎨=-⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩，故0a b +=故答案为：014．0a ≥【分析】分别讨论A =∅和A ≠∅两种情况求解.【详解】因为A B =∅ ，若3a >，则A =∅，满足题意；若3a ≤，则应满足0a ≥，所以03a ≤≤，综上，0a ≥.故答案为：0a ≥.15．{|0a a <或}1a =14⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】分情况解集合B ，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可.【详解】由{}2B x x a ==|可知，当0a <时，B =∅，此时B A ⊆；当0a =时，{}0B =，此时A B =∅ ，当0a >时，{B =；又11,,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，若A 与B 构成“全食”，则B A ⊆，当0a <时，满足题意；当0a =时，不合题意；当0a >时，要使B A ⊆，则{}1,1B =-1=，解得1a =；综上，A 与B 构成“全食”时，a 的取值范围是{|0a a <或}1a =；若A 与B 构成“偏食”时，显然0a ≤时，不满足题意，当0a >时，由A B ≠∅ ，所以11,22B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭12=，解得14a =，此时a 的取值范围是14⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：{|0a a <或}1a =；14⎧⎫⎨⎬⎩⎭16．(1)(1,1]A B ⋂=-，(1,)U A B ⋃=-+∞ð；(2)(0,1]【分析】（1）解一元一次不等式求集合A ，再应用集合的交并补运算求A B ⋂及()U A B ⋃ð.（2）由集合的包含关系可得2a ≤2，结合已知即可得a 的取值范围．【详解】（1）由211x -≤得：1x ≤，所以(,1]A ∞=-，则(1,)U A =+∞ð，由(1,2]B =-，所以(1,1]A B ⋂=-，(1,)U A B ⋃=-+∞ð．（2）因为C B ⊆且0a >，所以2a ≤2，解得1a ≤．所以a 的取值范围是(0,1]．17．(1)34m ≤(2)1m =-【分析】（1）根据根的判别式列不等式，然后解不等式即可；（2）根据韦达定理得到1223x x m +=-+，212x x m =，然后代入求解即可.【详解】（1）因为有两个实根，所以()222341290m m m ∆=--=-+≥，解得34m ≤.（2）由题意得()122323x x m m +=--=-+，212x x m =，所以2236m m -+=-，整理得()()310m m -+=，解得3m =或-1，因为34m ≤，所以1m =-.18．答案见解析【分析】分别求解集合,A B ，并求解三个条件的集合，再根据必要不充分条件，转化为集合的包含关系，即可列式求解.【详解】不等式8831100222x x x x x x +++>⇔->⇔<---，即()()320x x +-<，解得：32x -<<，即=−3<<2，()()22240220x mx m x m x m -+-<⇔---+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得：22m x m -<<+，即{}22B x m x m =-<<+，若选①，{3U A x x =≤-ð或2}x ≥，:p {3U x A x x ∈=≤-ð或2}x ≥，{}:22q x B x m x m ∈=-<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则BU A ð,即23m +≤-或22m -≥，解得：5m ≤-或4≥m ；所以存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件，m 的范围为5m ≤-或4≥m ；若选②，{}12A C x x ⋂=-<<，:p {}12x A C x x ∈⋂=-<<，{}:22q x B x m x m ∈=-<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则B()A C ,则2122m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解集为∅；所以不存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件；若选③，{}34A C x x ⋃=-<<，:p {}34x A C x x ∈⋃=-<<，{}:22q x B x m x m ∈=-<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则B()A C ,则2324m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得：12m -≤≤；所以存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件，m 的取值范围为12m -≤≤；19．(1)答案见解析(2)不具有，理由见解析【分析】（1）根据集合A 具有性质J 的定义即可得出答案；（2）当6n =，4m =时，利用反证法即可得出结论.【详解】（1）当3n =时，{}1,2,3A =，集合A 的所有二元子集为{}{}{}1,2,1,3,2,3，则满足题意得集合B 可以是{}1或{}2或{}3，此时1m =，或者也可以是{}1,2或{}1,3或{}2,3，此时2m =；（2）当6n =，4m =时，{}1,2,3,4,5,6A =，假设存在集合B ，即对任意的()1234,,,,4,114i A A A A B B A i =⋂≤≤≤，则取{}{}{}{}12341,2,3,4,5,6,2,3A A A A ====，（4A 任意构造，符合题意即可），此时由于4B =，若121,1A B A B ≤≤ ，则B 中必有元素5,6，此时32A B = ，与题设矛盾，假设不成立，所以集合A 是不具有性质J .【点睛】关键点点睛：此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键.。
2021-2022学年高一上学期第一次月考(10月)数学试卷(含答案)
2021-2022学年高一上学期第一次月考（10月）数学试卷（时间120分钟，满分150分）题号一二三四五总分得分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x|x2-2x＞0}，B={-1，1，2，3}．则A∩B=（）A. {-1，1}B. {1，2}C. {1，3}D. {-1.3}2.已知命题p:∀x∈R,x>sin x,则p的否定形式为()A. ∃x∈R,x< sin xB. ∃x∈R,x≤sin xC. ∀x∈R,x≤sin xD. ∀x∈R,x< sin x3.使不等式成立的一个充分不必要条件是( )A. B.C. 或D.4.以下五个写法中：①{0}∈{0，1，2}；②∅⊆{1，2}；③{0，1，2}={2，0，1}；④0∈∅；⑤A∩∅=A，正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.若a＞b＞0，c＜d＜0，则下列结论正确的是（）A. ac＞bdB. ad＞bcC. ac＜bdD. ad＜bc6.已知集合M满足{1,2}M{1,2,3,4,5},那么集合M的个数为( )A. 个B. 个C. 个D. 个7.若{a2，0，-1}={a，b，0}，则a2019+b2019的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 28.已知,,若p是q的必要不充分条件,则m的取值范围为( )A. B.C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列判断错误的是( )A. 若,,则B. {菱形}{矩形}={正方形}C. 方程组的解集为D. 如果,那么10.下列各不等式,其中不正确的是( )A.B.C.D.11.在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题．我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card（A）表示有限集合A中元素的个数．已知有限集A⊆R，设集合M={xy|x∈A，y∈A，x≠y}，N={x-y|x∈A，y∈A，x＞y}，则下列说法正确的是（）A. 若card（A）=4，则card（M）+card（N）可能是10B. 若card（A）=4，则card（M）+card（N）不可能是12C. 若card（A）=5，则card（M）+card（N）可能是20D. 若card（A）=5，则card（M）+card（N）不可能是912.已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A. a2+b2≥B. 2a﹣b＞C. log2a+log2b≥﹣2D.三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.给出下列结论：①2ab是a2+b2的最小值；②设a＞0，b＞0，2的最大值是a+b；③+的最小值是2；④若x＞0，则cos x+≥2=2；⑤若a＞b＞0，＞＞．其中正确结论的编号是______ ．（写出所有正确的编号）14.设集合A={x|1< x<4}, B={x|2x5},则A(B) .15.将集合M={1，2，…12}的元素分成不相交的三个子集：M=A∪B∪C，其中A={a1，a2，a3，a4}B={b1，b2，b3，b4}C={c1，c2，c3，c4}，c1＜c2＜c3＜c4，且a k+b k=c k，k=1，2，3，4，则集合C为：______ ．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知a,b都是正数,且ab+a+b=3,则ab的最大值是 ,的最小值是 .五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,请写出它们的否定,并判断其真假:(1)对任意x R,+x+20都成立;(2)x R,使.18.记函数f（x）=+log2（x+1）的定义域M，函数g（x）=2x的值域为N，求：（1）M，N．（2）M∩N，M∪N，∁R M．19.已知函数f（x）=（x＞0）的值域为集合A，（1）若全集U=R，求C U A；（2）对任意x∈（0，]，不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的范围；（3）设P是函数f（x）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，求•的值．20.(1)已知x>0,y>0,x+2y=8,求xy的最大值:(2)已知常数a>0,b>0和变量x>0,y>0满足a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求的值.21.用作差法比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小．22.(1)已知命题:“对于任意x R,f(x)=+2ax+1的值都不小于0”是假命题,求实数a的取值范围;(2)若命题“x R，+ax-4a0”为真命题,求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x＜0，或x＞2}；∴A∩B={-1，3}．故选：D．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】命题中“”与“”相对,则p:x∈R,x≤sin x.3.【答案】A【解析】【分析】本题考查充分不必要条件，属于基础题.先求出的解集，考虑该解集与各选项中的集合的包含关系后可得不等式成立的充分不必要条件.【解答】解：因为1+>0>0x(x+1)>0,所以x>0或x<-1,需要是不等式1+>0成立的一个充分不必要条件则需要满足是(-,-1)(0,+)的真子集的只有A,故选项为：A.4.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是元素与集合关系，空集的性质及集合相等的概念，熟练掌握集合的基本概念及性质是解答本题的关键．根据“∈”用于表示集合与元素的关系，可判断①的真假；根据空集的性质，可判断②④⑤的正误；根据合元素的无序性，可判断③的对错，进而得到答案．【解答】解：“∈”用于表示集合与元素的关系，故：①{0}∈{0，1，2}错误；空集是任一集合的子集，故②∅⊆{1，2}正确；根据集合元素的无序性，可得③{0，1，2}={2，0，1}正确；空集不包含任何元素，故④0∈∅错误；空集与任一集合的交集均为空集，故⑤A∩∅=A错误故选B5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，属于基础题．根据不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵a＞b＞0，c＜d＜0，∴ac＜bc，bc＜bd，∴ac＜bd，故选C．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的关系，属于基础题.由题可得集合M为集合{3,4,5}的真子集和集合{1,2}的并集, 由此可得答案.【解答】解：由题可得集合M为集合{3,4,5}的真子集和集合{1,2}的并集,因为{3,4,5}的真子集有-1=7个,所以集合M的个数为7个.故选:C.7.【答案】B【解析】解：由{a2，0，-1}={a，b，0}，得①或②解①，得a=0（舍去）或1，b=-1，解②，得a=-1，b=1，所以a=-1，b=1或a=1，b=-1．所以a2019+b2019=（-1）2019+12109=0或a2019+b2019=12109+（-1）2019=0．故选：B．由集合相等的概念求出a，b的值，然后代入要计算的式子求值．本题考查了集合相等的概念，考查了集合中元素的互异性，是基础题，也是易错题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分必要条件，属于基础题.先求出命题p和命题q对应的集合，再利用集合包含关系求出m的取值范围即可.【解答】解：由4x-m<0,得,所以,由,得,所以,若p是q的必要不充分条件,所以[-1,2]是的真子集,所以,解得m>8.故选项为：B.9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查不等式的性质、集合的运算，属基础题.根据不等式的性质判断AD，由集合的运算和表示法判断BC.【解答】解：对A,若a>b,c>d,如a=1,b=-1,c=1,d=-1,则ac=bd,故A错误;对B,因为既是菱形又是矩形的图形是正方形,故B正确;对C,方程组的解集为{(2,1)},故C错误;对D,若a< b<0,则,则,故D正确.所以错误的选项为AC.10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，求解时注意基本不等式成立的条件，考查分类讨论思想的应用，属于中档题．对于A：验证当a=1时即可判断；对于B：利用基本不等式进行计算即可;对于C：当a<0,b<0时,<0，即可判断；对于D：当x=0时,+=1，即可判断.【解答】解：对A项,当a=1时,+1=2a,则A错误;对B项,当x>0时,|x+|=x+2=2,当且仅当x=1时,等号成立，当x<0时,|x+|=-x+2=2,当且仅当x=-1时,等号成立, 则B正确;对C项,当a<0,b<0时,<0,则C错误;对D项,当x=0时,+=1,则D错误;故选:ACD11.【答案】AC【解析】解：由题意可知，若不出现重复元素，则当card（A）=4时，card（M）+card （N）=12，而当card（A）=5时，card（M）+card（N）=20，故B错误，C正确；若A={1，2，3，5}，则M={2，3，5，6，10，15}，N={1，2，3，4}，此时card（M）+card（N）=10，故A正确；若A={-2，-1，0，1，2}，则M={-4，-2，-1，0，2}，N={1，2，3，4}，此时card（M）+card（N）=9，故D错误；故选：AC．根据新定义对应各个选项逐个判断即可．本题考查了新定义的应用以及集合元素的性质，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2=a2+b2+2ab ≤2a2+2b2，则，当且仅当a=b=时，等号成立，故A正确．②由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，则a＞0＞b-1，即a-b＞-1，则，故B正确．③，当且仅当a=b=时，等号成立，故C错误．④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，，故，当且仅当时，等号成立，故D正确．故选：ABD．13.【答案】⑤【解析】解：①中当a=b时才有最小值2ab，故错误；②中当a=b时才有最大值，故错误；③中=时，x无解，故最小值是不是2，故错误；④中需cos x为正值时成立，故错误；⑤根据均值不等式可得不等式成立，故正确．故答案为⑤．根据均值定理等号成立的条件可判断①②③，根据均值定理要求为正值可判断④，根据均值定理可证明⑤．考查了均值定理的应用和均值定理成立的条件，属于基础题型，应熟练掌握．14.【答案】{x|1< x<2}.【解析】【分析】本题考查集合的运算，属于基础题.直接根据补集和交集的运算律运算即可.【解答】解：A={x|1< x<4}, B={x|2x5},B={x|x<2或x>5}, A(B)={x|1< x<2}.故答案为:{x|1< x<2}.15.【答案】{8，9，10，12}，{7，9，11，12}，{6，10，11，12}【解析】解：由，得，所以，先不考虑搭配情况，设c1＜c2＜c3＜c4，则c4=12，c1+c2+c3=27，故3c3＞27，10≤c3≤11，且c2≤9；若c3=10，则c1+c2=17，c2≥9，所以c2=9，c1=8；于是C={8，9，10，12}；若c3=11，则c1+c2=16，c2≤10，得c2＞8，故c2只能取9或10，c1只能取7与6；分别得C={7，9，11，12}，C={6，10，11，12}；另一方面，三种情况都对应有相应的子集A和B，例如以下的表：因此子集C的三种情况都合条件．故答案为：：{8，9，10，12}，{7，9，11，12}，{6，10，11，12}．由，得，所以，由此入手能够求出集合C．本题考查集合的交、并、补的混合运算，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．16.【答案】14-3【解析】【分析】本题考查了基本不等式，由3=ab+a+b ab+2,所以ab+2-30可得ab的最大值，再由b=代入式子，结合基本不等式可得答案【解答】解：因为3=ab+a+b ab+2,所以ab+2-30,解得01,当且仅当a=b=1时取等号,所以ab的最大值是1 .因为ab+a+b=3,所以b=,结合,得到.所以a+2b=a+2=a+2(-1+)=a+1+-34-3,当且仅当a+1=,即时取等号，则a+2b的最小值是4-3 .故答案为1；4-3.17.【答案】解：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因此，该命题是全称量词命题．又因为“任意的”的否定为“存在一个”，所以其否定是：存在一个x∈R，使x2+x+2=0成立，即“∃x∈R，使x2+x+2=0．”因为△=-7＜0，所以方程x2+x+2=0无实数解，此命题为假命题．（2）由于“：∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因此，该命题是存在量词命题．又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，所以其否定是：对任意一个实数x，都有x2+3x+20成立．即“∀x∈R，有x2+3x+20”．因为△=1>0，所以对∀：x∈R，x2+3x+20总成立错误，此命题是假命题．【解析】本题考查命题的判断，全称量词命题和存在量词命题的否定，命题真假的判定，主要考查学生对基础知识的理解能力，属于基础题．(1)全称量词命题否定是存在量词命题，然后由一元二次方程根的判别式判断真假.(2)存在量词命题否定是全称量词命题，然后利用一元二次不等式恒成立的条件判断真假.18.【答案】解：（1）解得，-1＜x≤3，∴M=（-1，3]，且N=（0，+∞）；（2）M∩N=（0，3]，M∪N=（-1，+∞），∁R M=（-∞，-1]∪（3，+∞）．【解析】（1）容易得出f（x）的定义域M=（-1，3]，g（x）的值域N=（0，+∞）；（2）进行交集、并集和补集的运算即可．本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，对数函数的定义域，指数函数的值域，交集、并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）由已知得，x＞0，则f（x）=x+≥2…（1分）当且仅当x=时，即x=等号成立，∴A=[2，+∞）…（3分）所以，C U A=（-∞，2）…（4分）（2）由题得a≥-（x+）…（5分）函数y=-（x+）在（0，]的最大值为-…（9分）∴a≥-…（10分）（3）设P（x0，x0+），则直线PA的方程为y-（x0+）=-（x-x0），即y=-x+2x0+…（11分）由得A（x0+，2x0+）…（13分）又B（0，x0+），…（14分）所以=（，-），=（-x0，0），故=（-x0）=-1 …（16分）【解析】（1）根据二阶矩阵运算的法则化得f（x）的解析式，再利用基本不等式得集合A，由补集的含义即可写出答案；（2）由题得a≥-（x+），只须求出a大于等于函数y=-（x+）在（0，]的最大值，再利用函数的单调性得出函数y=-（x+）在（0，]的最大值，即可实数a的范围；（3）先设P（x0，x0+），写出直线PA的方程，再与直线y=x的方程联立，得A点的坐标，最后利用向量数量积的坐标运算计算即得答案．本题考查二阶矩阵、补集的含义、平面向量数量积的运算等，考查运算能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)因为x>0,y>0,x+2y=8,所以xy=x2y=8,当且仅当x=2y=4时,等号成立,所以xy的最大值是8.(2)因为a>0,b>0和变量x>0,y>0满足a+b=10,+=1,所以,当且仅当=时,等号成立,又因为x+y的最小值为18, 所以a+b+2=18,因为a+b=10, 解得ab=16,∴ a=2,b=8或a=8,b=2.【解析】本题主要考查基本不等式求最值，属于中档题.（1）通过基本不等式中的和为定值积有最大值，进行配凑进行求解即可；（2）根据基本不等式中1的代换，先求出最值，然后根据通过两方程联立进行求解即可21.【答案】解：∵2x2+5x+3-（x2+4x+2）=x2+x+1=（x+）2+＞0，∴2x2+5x+3＞x2+4x+2.【解析】本题采用作差法比较大小，解题的关键是正确配方．作差，再进行配方，与0比较，即可得到结论．22.【答案】（1）解：命题:“对于任意x R，f(x)=+2ax+1的值都不小于0”是假命题等价于命题:“存在x R，使f(x)=+2ax+1的值小于0”是真命题，所以=-4>0，解得a<-1或a>1；（2）解：因为命题“x R，+ax-4a0”为真命题，所以=-4(-4a)0，解得：-16a0.【解析】本题以命题的真假判断为载体考查二次不等式恒成立问题，属于中档题. （1）命题:“对于任意x R，f(x)=+2ax+1的值都不小于0”是假命题等价于命题:“存在x R，使f(x)=+2ax+1的值小于0”是真命题，结合二次函数的图象和性质，可求出实数a的取值范围．（2）将条件转化为+ax-4a0恒成立，必须0，从而解出实数a的取值范围.。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案
北京市2024～2025学年第一学期期中考试高一学科：数学（答案在最后）2024年10月（考试时间120分钟满分150分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.已知集合{}1,0,1,2,3U =-，{}13,N A x x x =-<<∈，则U A =ð（）A.{}1,3-B.{}1,2C.{}1,0,3- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}{}13,N 0,1,2A x x x =-<<∈=，{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U A =-ð.故选：A.2.下列函数中是偶函数的是（）A.4(0)y x x =<B.221y x =+C.31y x =- D.1y x =+【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶性的定义对各个选项逐一判断即可得出答案.【详解】解：对于A ，因为函数4(0)y x x =<的定义域不关于原点对称，所函数不具有奇偶性，故A 不符题意；对于B ，函数()221y f x x ==+的定义域为R ，()()221f x f x x -==+，所以函数为偶函数，故B 符合题意；对于C ，函数()31y f x x ==-的定义域为R ，()()31f x x f x -=--≠，所以函数不是偶函数，故C 不符题意；对于D ，函数()1y f x x ==+的定义域为R ，因为()()1012f f -=≠=，所以函数不是偶函数，故D 不符题意.故选：B.3.已知,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式正确的是（）A.ac bc >B.22a b >C.33a b > D.11a b<【答案】C 【解析】【分析】根据特值法可排除A ，B ，D ，根据3y x =在R 上单调递增，可判断C 项.【详解】当0c =时，ac bc =，故A 错误；当1a =-，2b =-时，22a b <，故B 错误；因为3y x =在R 上单调递增，且a b >，所以33a b >，故C 正确；当1a =，1b =-时，11a b>，故D 错误.综上，正确的为C .故选：C .4.函数3xy =的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项.【详解】0x ≥，所以31x≥，排除AC ，且3,033,0x xx x x -⎧≥=⎨<⎩，排除D.故选：B5.若奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数，且最小值为5，则它在区间[]7,3--上是（）A.增函数且有最大值5-B.增函数且有最小值5-C.减函数且有最大值5-D.减函数且有最小值5-【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果.【详解】因为函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，且有最小值5，所以(3)5f =，又()f x 为奇函数，所以函数()f x 在区间[7,3]--上是增函数，且有最大值(3)(3)5f f -=-=-.故选：A6.随着我国经济的不断发展，2023年年底某地区农民人均年收入为7000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6％的年平均增长率增长，那么2030年年底该地区的农民人均年收入为（）A.70001.067⨯⨯元B.770001.06⨯元C.70001.068⨯⨯元D.870001.06⨯元【答案】B 【解析】【分析】根据指数增长模型计算即可.【详解】设经过x 年，该地区的农民人均年收入为y 元，根据题意可得7000 1.06x y =⨯，从2023年年底到2030年年底共经过了7年，所以2030年年底该地区的农民人均年收入为770001.06⨯元．故选：B.7.已知0a >，则41a a++的最小值为（）A.1-B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】因为0a >，根据基本不等式可得441115a a a a ++=++≥+=，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立；所以41a a++的最小值为5，故选：D.8.如图，已知全集U =R ，集合{}2340A x x x =-->，{}0B x x =>，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}0x x ≤ B.{}1x x ≥- C.{}10x x -≤≤ D.{}04x x x 或【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合.【详解】依题意，集合{|1A x x =<-或}4x >，而{}0B x x =>，则|1{A B x x =<- 或}0x >，由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为(){|10}U A B x x =-≤≤ ð.故选：C.9.“01a <≤”是“关于x 的不等式2210ax ax -+≥对R x ∀∈恒成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求不等式恒成立时a 的取值范围，再根据集合的关系，即可判断.【详解】不等式2210ax ax -+≥对R x ∀∈恒成立,当0a =时，10≥恒成立，当0a ≠时，2Δ440a a a >⎧⎨=-≤⎩，得01a <≤，所以01a ≤≤，所以“01a <≤”是“关于x 的不等式2210ax ax -+≥对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件.故选：A10.已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A.(]0,3 B.[)2,+∞ C.()0,∞+ D.[]2,3【答案】D 【解析】【分析】由题意可知函数()f x 在R 上递减，结合分段函数单调性列式求解即可.【详解】因为函数()f x 满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x -<-成立，不妨假设12x x <，则210x x ->，可得()()210f x f x -<，即()()12f x f x >，可知函数()f x 在R 上递减，则1206a a a a ⎧≥⎪⎪>⎨⎪-+≥⎪⎩，解得：23a ≤≤，所以a 的取值范围是[]2,3.故选：D.11.函数()221,21,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的值域为（）A.31,4⎛⎫--⎪⎝⎭B.[)1,-+∞C.(),-∞+∞ D.31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】由指数函数与二次函数的图象与性质即可得到函数的值域【详解】当2x -＜时，()21xf x =-因为函数2x y =在(),2-∞-上单调递增，所以函数21x y =+在(),2-∞-上单调递增，又20x >所以()31,4f x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭；当2x ≥-时，()()[]21,1,f x x f x =-∈-+∞，所以，()f x 的值域为[)1,-+∞.故选：B.12.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N ⋃=Q ，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割(),M N ，下列选项中一定不成立的是（）A .M 没有最大元素，N 有一个最小元素B.M 没有最大元素，N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素，N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D 都能举出特定的例子，排除法则说明C 选项错误【详解】若{},0M x Q x =∈<，{},0N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0；故A 正确；若{,M x Q x =∈<，{,N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素；故B 正确；若{},0M x Q x =∈≤，{},0N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 不正确.故选：C二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）13.函数()0f x -=的定义域为______.【答案】11,,222⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】根据函数的形式，列不等式，即可求解.【详解】函数的定义域需满足 ㌴㌴ ，得2x <且12x ≠，所以函数的定义域为11,,222∞⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,,222∞⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14.关于a 的不等式的220a -<解集是______.【答案】{a a <<【解析】【分析】因式分解后，即可求解不等式.【详解】(2200a a a -<⇔+-<，得a <<，所以不等式的解集为{a a <<.故答案为：{a a <<15.计算：()33log 927+-=______.【答案】19681-【解析】【分析】根据对数公式和指数运算公式，即可求解.【详解】()33log 92721968319681+-=-=-.故答案为：19681-16.命题“∀x ＞0，x 2+2x -3＞0”的否定是______．【答案】∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【详解】命题为全称命题，则命题“∀x ＞0，x 2+2x -3＞0”的否定是为∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0，故答案为∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．17.已知()21g x x =-，当[]2,6x ∈时，函数()g x 的最小值是______，最大值是______.【答案】①.25##0.4②.2【解析】【分析】先判断函数单调性，再根据单调性求最值.【详解】[]12,2,6x x ∀∈，且12x x <，()()()()()211212122221111x x g x g x x x x x --=-=----，因为[]2,6x ∈，12x x <，所以21120,10,10x x x x ->->->，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x >，所以()g x 在[]2,6上为减函数，则()()()()min max 26,225g x g g x g ====，故答案为：25，2.18.如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积（矩形ABCD ）为P ，两边都留有宽为a 的空白，顶部和底部都留有宽为2a 的空白.若2cm a =，2800cm P =，则当AB =______时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是______.【答案】①.20cm②.21152cm 【解析】【分析】首先设cm AB x =，再根据条件，用x 表示用纸的用量，列式后再用基本不等式，即可求解.【详解】设cm AB x =，纸的用量为S ，则800cm AD x=，所以()()8008002448S x a a x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，232003200832883281152cm x x x x=++≥+⋅，当32008x x=时，即20cm x =，所以当20cm AB =时，最少的纸的用量为21152cm .故答案为：20cm ；21152cm 19.函数()2f x x x =-+的单调递增区间是______.【答案】1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦和10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先去绝对值，将函数写成分段函数的形式，再结合二次函数的单调性，即可求解.【详解】()22,0,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨--<⎩，当0x ≥时，221124y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数的单调递增区间，当0x <时，221124y x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦是函数的单调递增区间，所以函数的单调递增区间是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦和10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦和10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦20.函数10.52x y =+的值域是______.【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】利用指数函数的值域可得0.522x +>，再利用不等式的性质即可求解.【详解】因为函数10.52xy =+定义域为R ，又0.50x >，所以0.522x +>，所以1100.522x <<+，即10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.21.已知函数()243f x x x =-+，()32g x mx m =+-，若对任意[]10,4x ∈，总存在[]20,4x ∈，使()()11220f x x g x +-=成立，则实数m 的取值范围为______.【答案】(][),44,-∞-⋃+∞【解析】【分析】由题意可得两个函数的值域的包含关系，进而可列关于m 的不等式，求解即可.【详解】因为对任意[]10,4x ∈，总存在[]20,4x ∈，使()()11220f x x g x +-=成立，即()()2112g x f x x =+成立，设()()()2222312h x f x x x x x -+=-+=+=，因为[]0,4x ∈，所以()[]2,11h x ∈，当0m =时，()3g x =，不符合题意；当0m >时，可得()[]32,23g x m m ∈-+，则3222311m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得4≥m ；当0m <时，可得()[]23,32g x m m ∈+-，则2323211m m +≤⎧⎨-≥⎩，解得4m ≤-；综上所述，实数m 的取值范围为(][),44,-∞-⋃+∞.故答案为：(][),44,-∞-⋃+∞.22.已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的m 个交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ⋅⋅⋅，则()()()1122m m x y x y x y ++++⋅⋅⋅++的值是______.【答案】m【解析】【分析】首先判断两个函数的对称性，再根据对称性，确定交点的对称性，即可求解.【详解】由条件()()2f x f x -=-得，()()2f x f x -+=，所以()y f x =关于点()0,1对称，111x y x x +==+关于点()0,1对称，所以函数1x y x+=与()y f x =图象的m 个交点有2m 对关于点()0,1对称，所以123...0m x x x x ++++=，12...22m m y y y m +++=⨯=，所以()()()1122m m x y x y x y m ++++⋅⋅⋅++=.故答案为：m三、解答题：本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.23.记全集U =R ，集合{}221,A x a x a a =-≤≤+∈R ，{}37B x x x =≤≥或.（1）若2a =，求A B ⋂，U B ð；（2）若A B ⋃=R ，求a 的取值范围；（3）若A B A = ，求a 的取值范围.【答案】（1）{}|03A B x x ⋂=≤≤，{}|37U B x x =<<ð（2）{}|35a a ≤≤（3）{|1a a ≤或}9a ≥【解析】【分析】（1）根据交集和补集的运算即可求解；（2）根据题意可得到有关a 的一个方程组，求解即可；（3）分A =∅和A ≠∅两种情况求解即可.【小问1详解】若2a =，则{}05A x x =≤≤，又{3B x x =≤或7}x ≥，则{}|03A B x x ⋂=≤≤，{}|37U B x x =<<ð；【小问2详解】集合{}221,A x a x a a =-≤≤+∈R ，{3B x x =≤或7}x ≥，A B ⋃=R ，所以23217a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得35a ≤≤，所以a 的取值范围为{}|35a a ≤≤；【小问3详解】因为A B A = ，则A B ⊆，{}221,A x a x a a =-≤≤+∈R ，{3B x x =≤或7}x ≥，当A =∅时，221a a ->+，解得3a <-；当A ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+≤⎩或22127a a a -≤+⎧⎨-≥⎩，解得31a -≤≤或9a ≥，综上,若A B A = ，求a 的取值范围为{|1a a ≤或}9a ≥.24.已知函数()22f x x mx =-（1）当[]0,1x ∈，()f x 的最大值为3，求实数m 的值.（2）当11t -≤≤时，若不等式()22f t t >-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m =-（2）51|22m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质，分情况讨论即可；（2）先根据不等式得到()22220t m t -++>在[]1,1t ∈-上恒成立，令()()2222h t t m t =-++，分析该函数对称轴与区间的关系，只需让区间上最小值大于零即可.【小问1详解】已知()()2222f x x mx x m m =-=--，当0m ≤时，函数()f x 在[]0,1x ∈上递增，所以()()max 1123f x f m ==-=，解得1m =-；当1m ≥时，函数()f x 在[]0,1x ∈上递减，所以()()max 003f x f ==≠，矛盾；当01m <<时，函数()f x 在[)0,x m ∈上递减，在[],1m 上递增，所以()()max 003f x f ==≠或()()max 1123f x f m ==-=，解得1m =-，均不符合题意；综上1m =-；【小问2详解】当11t -≤≤时，若不等式()22f t t >-恒成立，即2222t mt t ->-在[]1,1t ∈-上恒成立，即()22220t m t -++>在[]1,1t ∈-上恒成立，令()()2222h t t m t =-++，该函数对称轴为1t m =+，①当11m +≥，即0m ≥时，函数()h t 在[]1,1t ∈-上递减，只需让()()min 10h t h =>即可，则()()112220h m =-++>，解得12m <，即102m ≤<；②当111m -<+<，即20m -<<时，此时()()()()()2min 1122120h t h m m m m =+=+-+++>，解得11m -<<-，即20m -<<；③当11m +≤-，即2m ≤-时，函数()h t 在[]1,1t ∈-上递增，此时()()112220h m -=+++>，解得52m >-，即522m -<≤-；综上m 的取值范围为51|22m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.25.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过123m 的部分3元/3m 超过123m 但不超过183m 的部分6元/3m 超过183m 的部分9元/3m （1）求出每月用水量和水费之间的函数关系；（2）若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？【答案】（1）3,012636,1218990,18x x y x x x x ⎧⎪=-<⎨⎪->⎩（2）153m 【解析】【分析】（1）先分别求出每一段的函数解析式，再写成分段函数的形式即可；（2）由（1）分012x ，1218x <，18x >三种情况讨论即可的解．【小问1详解】解：当012x 时，3y x =，当1218x <时，3126(12)636y x x =⨯+⨯-=-，当18x >时，312669(18)990y x x =⨯+⨯+⨯-=-，y ∴关于x 的函数解析式为：3,012636,1218990,18x x y x x x x ⎧⎪=-<⎨⎪->⎩；【小问2详解】解：当012x 时，354y x ==，解得18x =舍去，当1218x <时，63654y x =-=，解得15x =，当18x >时，99054y x =-=，解得16x =舍去，综上所述，若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为153m .26.已知函数()21ax b f x x +=+是定义在 上的奇函数，且1225f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式以及零点.（2）判断并用函数单调性的定义证明()f x 在 t 的单调性.（3）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出()f x 在定义域 上的准确示意图.【答案】（1）()21x f x x =-+，零点为0（2）函数()21x f x x =-+在[]1,0x ∈-上单调递减，证明见详解；（3）图象见详解.【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质和1225f ⎛⎫=-⎪⎝⎭可解得a ，b 的值，即可得函数的解析式；令()0f x =可解得函数的零点；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）根据函数的性质画出函数的图象即可.【小问1详解】因为函数()21ax b f x x +=+是定义在 上的奇函数，所以()00f =，解得0b =，又1225f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即21225112a =-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得1a =-，所以()21x f x x =-+，令()0f x =得201x x -=+，解得0x =，即函数的零点为0；【小问2详解】函数()21x f x x =-+在[]1,0x ∈-上单调递减；证明：设1210x x -≤<≤，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-+=++++，因为1210x x -≤<≤，所以120x x -<，1210x x -<，㌴㌴ ，所以 ㌴ ㌴，即()()12f x f x >，所以函数()21x f x x =-+在[]1,0x ∈-上单调递减；【小问3详解】函数()f x 的图像如下：27.设集合A 为非空数集，定义{}|,,A x x a b a b A +==+∈，{}|,,A x x a b a b A -==-∈．（1）若{}1,1A =-，写出集合A +、A -；（2）若{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且A A -=，求证：1423x x x x +=+；（3）若{}|02021,N A x x x ⊆≤≤∈，且AA +-=∅ ，求集合A 元素个数的最大值．【答案】（1）{}2,0,2A +=-，{}0,2A =（2）证明见解析（3）1348【解析】【分析】（1）根据定义{}|,,A x x a b a b A +==+∈，{}|,,A x x a b a b A -==-∈，直接求解即可，（2）由题意利用集合A 中的元素间的关系及可证明，（3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求k 的范围，即可求出最大值．【小问1详解】由题意，得{}2,0,2A +=-，{}0,2A =，【小问2详解】证明：因为{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且A A -=，所以集合A -也有四个元素，且都为非负数，因为12||0x x A --=∈，又因为A A -=，所以0A ∈且10x =，所以集合A -中其他元素为220x x -=，330x x -=，440x x -=，即{}2131410,,,}A x x x x x x -=---，剩下的324321x x x x x x -=-=-，因为1324240x x x x x x =<-<-<，所以322x x x -=，423x x x -=即4231x x x x -=-，即1423x x x x +=+，所以1423x x x x +=+【小问3详解】设{}123,,,,k A a a a a = ，满足题意，其中123k a a a a <<<< ，因为11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+< ，所以21A k +≥-，因为1121311k a a a a a a a a -<-<-<<- ，所以||A k -≥，因为A A +-=∅ ，所以31A A A A k +-+-⋃=+≥-，A A +- 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，所以*21,31214043(N ),1348k k A A a k a k k +-⋃≤+-≤+≤∈≤，实际当{}674,675,676,,2020A = ，时满足题意，证明如下：设{},1,2,2021A m m m =++ ，N m ∈，则{}2,21,22,4040A m m m +=++ ，{}0,1,2,2020A m -=- ，由题意得20202m m -<，即16733m >，故m 的最小值为674．即{}674,675,676,,2021A = 时，满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数为202167411348-+=（个)．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是能够结合题意得到*21,31214043(N ),1348k k A A a k a k k +-⋃≤+-≤+≤∈≤，进而证明{}674,675,676,,2021A = 符合题意.。
2020-2021学年北京市清华大学附属中学高一10月考数学试题(解析版)
（3） ， ，
则 ，
当 时， 取得最小值 .
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
19．在平面直角坐标系xOy中，函数 的图像经过点 ，且对于任意的 ，总有 .
（1）求 的值；
（2）若直线 与函数 的图像交于不同的两点 ，且 ，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由函数 的图象经过点 ，求得 ，再由对于任意的 ，总有 ，得到 ，联立求得 ，进而求得 的值；
【详解】
解：设 ，
则将 的图像向上平移 个单位即为 的图像，
当 的图像与 轴有两个交点时，如图：
由图可知 ， 或 ，
此时 ，
即 的图像与 轴最多一个交点，
，
解得 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查二次函数图像的应用，关键是要找到 的图像的位置关系，考查学生数形结合的能力，是中档题.
15．已知a>0，b>0，a+b>2，有下列4个结论:①ab>1；②a2+b2>2；③ 和 中至少有一个数小于1；④ 和 中至少有一个小于2，其中，全部正确结论的序号为__________.
5．若 ， ，则（）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】利用不等式的基本性质对各选项进行验证.
【详解】
， ， ， ，则 ，A选项错误；
， ，则 ，B选项错误； ， ， ，C选项正确；
取 ， ， ， ，则 ， ， 不成立，D选项错误.故选C.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质，考查利用不等式的性质判断不等式是否成立，除了利用不等式的性质之外，也可以利用特殊值法来进行判断，考查推理能力，属于中等题.
2021学年北京市高一(上)10月月考数学试卷(有答案)
2021学年北京市高一（上）10月月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设集合A ＝{1, 2, 4, 6}，B ＝{2, 3, 5}，则韦恩图中阴影部分表示的集合（ ）A.{2}B.{3, 5}C.{1, 4, 6}D.{3, 5, 7, 8}2. 下列函数中与函数y =x 表示同一函数的是( )A.y =(√x)2B.y =√x 2C.y =√x 33D.y =x 2x3. 下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）A.y =2xB.y ＝x 3C.y ＝−x 2D.y =√x4. 设集合A ={x|0≤x ≤6}，B ={y|0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( )A.f:x →y =12xB.f:x →y =13xC.f:x →y =14xD.f:x →y =16x5. 函数y =|x|x +x 的图象是( )A. B.C.D.6. 已知函数f(x)=[x +32]（取整函数），g(x)={1,x ∈Q 0,x ∉Q，则f （g(π)）的值为（ ） A.1B.0C.2D.π7. 已知函数f(x)＝−x 2+6x +a 2−1，那么下列式子中正确的是（ ）A.f(√2)<f(3)<f(4)B.f(3)<f(√2)<f(4)C.f(√2)<f(4)<f(3)D.f(3)<f(4)<f(√2)8. 将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个（ ）A.115元B.105元C.95元D.85元9. 已知函数f(x)＝kx +1在区间(−1, 1)上存在零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.−1<k <1B.k >1C.k <−1D.k <−1或k >110. 函数f(x)＝−|x −1|，g(x)＝x 2−2x ，定义F(x)={f(x)，f(x)≥g(x)，g(x)，f(x)<g(x)， 则F(x)满足( )A.既有最大值，又有最小值B.只有最小值，没有最大值C.只有最大值，没有最小值D.既无最大值，也无最小值二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.函数f(x)=x 2x 2+1的定义域为{0, 1}，则值域为________．若{(x,y)|{x +y −2=0x −2y +4=0}⊆{(x,y)|y =3x +c}，则c ＝________．已知偶函数f(x)在[0, +∞)上是单调函数，且图象经过A(0, −1)，B(3, 1)两点，f(x)<1的解集为________．函数f(x)＝x 2−2bx +3在x ∈[−1, 2]时有最小值1，则实数b ＝________−32或√2 ．已知函数y ＝f(x)是定义在[a, b]上的增函数，其中a ，b ∈R ，且0<b <−a ．设函数F(x)＝[f(x)]2−[f(−x)]2，且F(x)不恒等于0，则对于F(x)有如下说法：①定义域为[−b, b]②是奇函数③最小值为0④在定义域内单调递增其中正确说法的序号是________．三、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知集合A＝{a2, a+1, −3}，B＝{−3+a, 2a−1, a2+1}，若A∩B＝{−3}，求实数a的值及A∪B．设全集是实数集R，A={x|x2−4x+3≤0}，B={x|x2−a<0}．(1)当a=4时，求A∩B和A∪B；(2)若B⊆∁R A，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=√x−1（1）求函数f(x)的定义域；（2）判断函数f(x)在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明．已知函数f(x)＝x⋅|x|−2x．（1）判断函数f(x)的奇偶性，并证明；（2）求函数f(x)的零点；（3）画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出方程f(x)＝m有三个不同实根时，实数m的取值范围；（4）写出函数f(x)的单调区间．如果函数f(x)满足：在定义域D内存在x0，使得对于给定常数t，有f(x0+t)＝f(x0)⋅f(t)成立，则称f(x)为其定义域上的t级分配函数．研究下列问题：是否为1级分配函数？说明理由；（1）判断函数f(x)＝2x和g(x)=2x(a>0)能否成为2级分配函数，若能，则求出参数a的取值（2）问函数φ(x)＝）√ax+1范围；若不能请说明理由；(a>0)都是其（3）讨论是否存在实数a，使得对任意常数t(t∈R)函数φ(x)=√ax2+1定义域上的t级分配函数，若存在，求出参数a的取值范围，若不能请说明理由．参考答案与试题解析2021学年北京市高一（上）10月月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】根据题意，分析可得，阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素，根据已知的A、B，分析可得答案．【解答】根据题意，分析可得，阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素，即阴影部分表示(∁U A)∩B，又有A＝{1, 2, 4, 6}，B＝{2, 3, 5}，则(∁U A)∩B＝{3, 5}，2.【答案】C【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．【解答】3=x，与已知函数y=x的定义域和对应法则完全一样，解：∵y=√x3∴二者是同一函数．故选C．3.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】满足定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，在由f(x)与f(−x)的关系判定．【解答】对于A、B，满足定义域关于原点对称，f(−x)＝−f(x)是奇函数，排除A、B；对于C，满足定义域关于原点对称，f(−x)＝f(x)是偶函数，排除C；对于D，定义域不关于原点对称既不是奇函数，也不是偶函数，符合题意；f4.【答案】A【考点】映射【解析】通过举反例，按照对应法则f，集合A中的元素6，在后一个集合B中没有元素与之对应，故选项A不是映射，从而选出答案．【解答】解：A不是映射，按照对应法则f，集合A中的元素6，在后一个集合中没有元素与之对应，故不满足映射的定义．B，C，D是映射，因为按照对应法则f，集合A中的每一个元素，在后一个集合B中都有唯一的一个元素与之对应，故B，C，D满足映射的定义.故选A．5.【答案】D【考点】函数的图象【解析】本题考查的知识点是分段函数图象的性质，及函数图象的作法，由绝对值的含义化简原函数式，再分段画出函数的图象即得．【解答】解：函数y=|x|x+x可化为：当x>0时，y=1+x；它的图象是一条过点(0, 1)的射线；当x<0时，y=−1+x．它的图象是一条过点(0, −1)的射线；对照选项，故选D．6.【答案】A【考点】函数的求值求函数的值【解析】先求出g(π)＝0，从而f（g(π)）＝f(0)，由此能求出结果．【解答】∵函数f(x)=[x+32]（取整函数），g(x)={1,x∈Q0,x∉Q，∴g(π)＝0，f（g(π)）＝f(0)＝[32]＝1．7.【答案】C【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】f(x)＝−x2+6x+a2−1＝−(x−3)2+a2−10，对称轴为x＝3，开口向下，即可得出结论．【解答】f(x)＝−x2+6x+a2−1＝−(x−3)2+a2−10，对称轴为x＝3，开口向下，∴f(√2)<f(4)<f(3)，8.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据题意，设售价定为(90+x)元，由利润函数＝（售价-进价）×销售量可得关于x的函数方程，由二次函数的性质可得答案．【解答】设售价定为(90+x)元，卖出商品后获得利润为：y＝(90+x−80)(400−20x)＝20(10+x)(20−x)＝20(−x2+10x+200)；∴当x＝5时，y取得最大值；即售价应定为：90+5＝95（元）；9.【答案】D【考点】函数零点的判定定理【解析】讨论k是否为0，根据零点的存在性定理列不等式解出．【解答】当k≠0时，f(x)为单调函数，∵f(x)＝kx+1在区间(−1, 1)上存在零点，∴f(−1)f(1)<0，即(−k+1)(k+1)<0，解得k<−1或k>1．故选：D．10.【答案】B【考点】分段函数的应用函数最值的应用【解析】作出f(x)和g(x)的函数图象即可得出F(x)的函数图象，根据图象判断最值．【解答】解：由题意，作出f(x)与g(x)的函数图象如图所示：∵F(x)={f(x)，f(x)≥g(x)，g(x)，f(x)<g(x)，∴F(x)的函数图象如下：由图象可知，F(x)只有最小值，没有最大值．故选B.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 【答案】{0, 1 2 }【考点】函数的值域及其求法【解析】根据x的取值，求出对应的f(0)，f(1)的值即可．【解答】f(x)=x2x2+1=1−1x2+1，若f(x)的定义域为{0, 1}，x＝0时，f(0)＝0，x＝1时，f(1)=12，故函数的值域是{0, 12}，故答案为：{0, 12}．【答案】2【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由题意，方程组的解为(0, 2)，代入y＝3x+c，可得c的值．【解答】由题意，方程组的解为(0, 2)，代入y＝3x+c，可得c＝2．【答案】(−3, 3)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数f(x)的图象经过A(0, −1)，B(3, 1)两点可知f(0)＝−1，f(3)＝1，根据函数f(x)为偶函数则f(−3)＝f(3)＝1，函数f(x)在(−∞, 0]上是减函数，然后讨论x的正负，根据函数单调性解不等式即可．【解答】∵函数f(x)的图象经过A(0, −1)，B(3, 1)两点∴f(0)＝−1，f(3)＝1设x≥0，则f(x)<1＝f(3)∵函数f(x)在[0, +∞)上是增函数∴0≤x<3∵函数f(x)为偶函数∴f(−3)＝f(3)＝1，函数f(x)在(−∞, 0]上是减函数设x<0，则f(x)<1＝f(−3)∴−3<x<0综上所述：f(x)<1的解集为(−3, 3)；【答案】√2−3 2【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】讨论f(x)的对称轴与区间[−1, 2]的关系，判断f(x)的单调性，根据最小值为1列方程计算b．【解答】f(x)的对称轴为x＝b，（1）若b≤−1，则f(x)在[−1, 2]上单调递增，∴f min(x)＝f(−1)＝1，即4+2b＝1，∴b=−32．（2）若b>2，则f(x)在[−1, 2]上单调递减，∴f min(x)＝f(2)＝1，即7−4b＝1，∴b=32（舍）．（3）若−1<b<2，在f(x)在[−1, 2]上先减后增，∴f min(x)＝f(b)＝1，即−b2+3＝1，解得b=√2或b=−√2（舍）．综上，b=−3或b=√2．2．故答案为：√2−32【答案】①②【考点】函数单调性的性质与判断【解析】对于①，根据F(x)的解析式以及f(x)的定义域，可得a≤x≤b，a≤−x≤b，又由0<b<−a，可得F(x)定义域，可得①正确；对于②，先求出F(−x)，可得F(−x)＝−F(x)，再结合F(x)的其定义域，可得F(x)为奇函数，②正确；对于③，举出反例，当f(x)>1时，可得F(x)的最小值不是0，故③错误；对于④，由于F(x)是奇函数，结合奇函数的性质，可得④错误；综合可得答案．【解答】根据题意，依次分析4个命题：对于①，对于F(x)＝f2(x)−f2(−x)，有a≤x≤b，a≤−x≤b，而又由0<b<−a，则F(x)＝f2(x)−f2(−x)中，x的取值范围是−b≤x≤b，即其定义域是[−b, b]，则①正确；对于②，F(−x)＝f2(−x)−f2(x)＝−F(x)，且其定义域为[−b, b]，关于原点对称，则F(x)为奇函数，②正确；无最小值，对于③，由y＝f(x)无零点，假设f(x)＝2x，F(x)＝22x−2−2x＝22x−122x故③错误；对于④，由于F(x)是奇函数，则F(x)在[−b, 0]上与[0, b]上的单调性相同，故F(x)在其定义域内不一定单调递增，④错误；三、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【答案】∵A＝{a2, a+1, −3}，B＝{−3+a, 2a−1, a2+1}，且A∩B＝{−3}，B中a2+1≥1，∴a−3＝−3或2a−1＝−3，解得：a＝0或a＝−1，①当a＝0时，A＝{0, 1, −3}，B＝{−3, −1, 1}，不满足题意舍去；②当a＝−1时，A＝{1, 0, −3}，B＝{−4, −3, 2}，满足题意，综上所述：实数a的值为−1，A∪B＝{−4, −3, 0, 1, 2}．【考点】并集及其运算交集及其运算【解析】由A，B，以及A与B的交集确定出a的值，进而求出A与B的并集即可．【解答】∵A＝{a2, a+1, −3}，B＝{−3+a, 2a−1, a2+1}，且A∩B＝{−3}，B中a2+1≥1，∴a−3＝−3或2a−1＝−3，解得：a＝0或a＝−1，①当a＝0时，A＝{0, 1, −3}，B＝{−3, −1, 1}，不满足题意舍去；②当a＝−1时，A＝{1, 0, −3}，B＝{−4, −3, 2}，满足题意，综上所述：实数a的值为−1，A∪B＝{−4, −3, 0, 1, 2}．【答案】解：(1)根据题意，由于A={x|x2−4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|x2−a<0}．当a=4时，B=(−2, 2)，而A=[1, 3]，所以A∩B=[1, 2), A∪B=(−2, 3]．(2)∵B⊆∁R A，若B=⌀，则a≤0，若B≠⌀，则B=(−√a,√a)⊆∁R A=(−∞, 1)∪(3, +∞)，∴√a≤1，∴0<a≤1，综上，a≤1．【考点】集合关系中的参数取值问题补集及其运算交集及其运算并集及其运算【解析】(1)先化简集合A，B，然后利用集合的运算求A∩B和A∪B．(2)利用B⊆∁R A，求实数a的取值范围．【解答】解：(1)根据题意，由于A={x|x2−4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|x2−a<0}．当a=4时，B=(−2, 2)，而A=[1, 3]，所以A∩B=[1, 2), A∪B=(−2, 3]．(2)∵B⊆∁R A，若B=⌀，则a≤0，若B≠⌀，则B=(−√a,√a)⊆∁R A=(−∞, 1)∪(3, +∞)，∴√a≤1，∴0<a≤1，综上，a≤1．【答案】要使函数f(x)=√x−1有意义，需使x≥1，所以函数f(x)=√x−1的定义域为[1, +∞)；函数f(x)=√x−1在定义域[1, +∞)上为增函数，证明：任取x1，x2∈[1, +∞)，且△x＝x2−x1>0，则△y=f(x2)−f(x1)=√x2−1−√x1−1=(√x−1−√x−1)(√x−1+√x−1)x2−1+x1−1=√x2−1+√x1−1=21x−1+x−1；因为x2−x1>0且√x2−1+√x1−1>0，所以△y＝f(x2)−f(x1)>0，所以函数f(x)在[1, +∞)上是增函数．【考点】函数单调性的性质与判断函数的定义域及其求法【解析】（1）根据二次根式的被开方数大于或等于0，求出f(x)的定义域；（2）利用单调性的定义即可证明函数f(x)在定义域上为增函数．【解答】要使函数f(x)=√x−1有意义，需使x≥1，所以函数f(x)=√x−1的定义域为[1, +∞)；函数f(x)=√x−1在定义域[1, +∞)上为增函数，证明：任取x1，x2∈[1, +∞)，且△x＝x2−x1>0，则△y=f(x2)−f(x1)=√x2−1−√x1−1=(√x−1−√x−1)(√x−1+√x−1)x2−1+x1−1=(x−1)−(x−1) x2−1+x1−1=21x−1+x−1；因为x2−x1>0且√x2−1+√x1−1>0，所以△y＝f(x2)−f(x1)>0，所以函数f(x)在[1, +∞)上是增函数．【答案】函数f(x)为奇函数，证明：对于函数f(x)＝x⋅|x|−2x，其定义域为R，关于原点对称；任取x∈R，−x∈R，有f(−x)＝−x⋅|−x|+2x＝−x⋅|x|+2x，而−f(x)＝−x⋅|x|+2x，f(−x)＝−f(x)，函数f(x)为奇函数；令f(x)＝0，x⋅|x|−2x＝0，所以x(|x|−2)＝0，解得x＝0或|x|＝2所以函数的零点为−2，0，2；f(x)＝x⋅|x|−2x$${\{}$ ${= \, }$\${left}$\{ \${begin\{matrix\}\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\, x\, }$\${geq\, 0\, }$\\ ${-\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\, x}$<0 \\ \end{matrix} \right.\ }$，其图象如图：若方程${f(x)}$＝${m}$有三个不同实根，则函数${f(x)}$的图象与直线${y}$＝${m}$有三个不同的交点，由图象可得实数${m}$的取值范围为${(-1,\, 1)}$；f(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)，f(x)的单调递减区间为(−1, 1)．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数零点的判定定理分段函数的应用函数的图象与图象的变换函数的零点与方程根的关系【解析】（1）对于函数f(x)，先分析其定义域，进而分析可得f(−x)＝−f(x)，即可证明函数f(x)为奇函数；（2）令f(x)＝0，x⋅|x|−2x＝0，解可得x的值，由函数零点的定义，即可得答案；（3）将f(x)的解析式变形可得f(x)＝x⋅|x|−2x$${\{}$ ${=\, }$\${left}$\{ \${begin\{matrix\}\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\, x\, }$\${geq\,0\, }$\\ ${\{x\}}$^${\{2\}\, + \, 2x,\, x}$<0 \\ \end{matrix} \right.\ }$，据此作出函数的图象；若方程f（x）＝m有三个不同实根，则函数f（x）的图象与直线y＝m有三个不同的交点，由图象可得实数m的取值范围；（4）由图象，分析可得函数的单调区间，即可得答案．【解答】函数f(x)为奇函数，证明：对于函数f(x)＝x⋅|x|−2x，其定义域为R，关于原点对称；任取x∈R，−x∈R，有f(−x)＝−x⋅|−x|+2x＝−x⋅|x|+2x，而−f(x)＝−x⋅|x|+2x，f(−x)＝−f(x)，函数f(x)为奇函数；令f(x)＝0，x⋅|x|−2x＝0，所以x(|x|−2)＝0，解得x＝0或|x|＝2所以函数的零点为−2，0，2；f(x)＝x⋅|x|−2x$${\{}$ ${= \, }$\${left}$\{ \${begin\{matrix\}\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\,x\, }$\${geq\, 0\, }$\\ ${-\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\, x}$<0 \\ \end{matrix} \right.\ }$，其图象如图：若方程${f(x)}$＝${m}$有三个不同实根，则函数${f(x)}$的图象与直线${y}$＝${m}$有三个不同的交点，由图象可得实数${m}$的取值范围为${(-1,\, 1)}$；f(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)，f(x)的单调递减区间为(−1, 1)．【答案】若f(x)=2x 是1级分裂函数，则存在非0实数x0，使得1x0+1=1x0⋅2，即x0＝−2，所以函数f(x)=2x是1级分裂函数．若f(x)＝2x是1级分裂函数，即存在实数x0，使得2(x0+1)＝2x0⋅2，解得x0＝1，故f(x)＝2x是1级分裂函数由题意，a>0，D＝R．存在实数x0，使得√a(x0+2)2+1=√ax02+1⋅√a5，所以a(x0+2)2+1=a25(x02+1)化简得(a−5)x02+4ax0+5a−5=0当a＝5时，x0＝−1，符合题意；当a>0且a≠5时，由△≥0得16a2−4(a−5)(5a−5)≥0，化简得a2−30a+25≤0，解得a∈[15−10√2,5)∪(5,15+10√2]．综上，实数a的取值范围是[15−10√2,15+10√2]．存在，a＝1当t＝0时，满足条件的a＝1，若存在实数a满足题意，a只能取1．下面验证a＝1是否满足条件．∵f(x0+t)＝f(x0)⋅f(t)，∴(x+t)2+1＝(x2+1)(t2+1)⇒t＝0或t=2x，故t可取任意实数，故a＝1满足条件．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）若f(x)=2x 是1级分裂函数，则存在非0实数x0，使得1x0+1=1x0⋅2，得x0若f(x)＝2x是1级分裂函数，即存在实数x0，使得2(x0+1)＝2x0⋅2，解得x0，（2）由题意，a>0，D＝R．存在实数x0，使得√a(x0+2)+1=√ax02+1⋅√a5，所以a(x0+2)2+1=a25(x02+1)化简得(a−5)x02+4ax0+5a−5=0（5分）当a＝5时，x0＝−1，符合题意当a>0且a≠5时，由△≥0得16a2−4(a−5)(5a−5)≥0，化简得a2−30a+25≤0，解得实数a的取值范围（3）当t＝0时，满足条件的a＝1，若存在实数a满足题意，a只能取1．再验证a＝1是否满足条件．【解答】若f(x)=2x 是1级分裂函数，则存在非0实数x0，使得1x0+1=1x0⋅2，即x0＝−2，所以函数f(x)=2x是1级分裂函数．若f(x)＝2x是1级分裂函数，即存在实数x0，使得2(x0+1)＝2x0⋅2，解得x0＝1，故f(x)＝2x是1级分裂函数由题意，a>0，D＝R．存在实数x0，使得√a(x0+2)2+1=√ax02+1⋅√a5，所以a(x0+2)2+1=a25(x02+1)化简得(a−5)x02+4ax0+5a−5=0当a＝5时，x0＝−1，符合题意；当a>0且a≠5时，由△≥0得16a2−4(a−5)(5a−5)≥0，化简得a2−30a+25≤0，解得a∈[15−10√2,5)∪(5,15+10√2]．综上，实数a的取值范围是[15−10√2,15+10√2]．存在，a＝1当t＝0时，满足条件的a＝1，若存在实数a满足题意，a只能取1．下面验证a＝1是否满足条件．∵f(x0+t)＝f(x0)⋅f(t)，∴(x+t)2+1＝(x2+1)(t2+1)⇒t＝0或t=2x，故t可取任意实数，故a＝1满足条件．。
北大附中深圳南山分校高中部2021学年高一数学上学期第一次月考试题新人教A版
北大附中深圳南山分校高中 2013～2014学年度高一上学期第数 学 试 卷满分150分考试时间：120分钟 2013年10月9日一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，满分共50分)1、已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}， A={2，4，5}，则∁U A=A 、ΦB 、{2，4，6}C 、{1，3，6，7}D 、{1，3，5，7}2、已知集合A={x|－1≤x ＜3}， B={x|2＜x ≤5}，则A ∪B=A 、( 2， 3 )B 、[－1，5]C 、(－1，5)D 、(－1，5]3、右图中阴影部分表示的集合是A 、 A ∩(∁U B)B 、(∁U A)∩BC 、∁U (A ∩B)D 、∁U (A ∪B) 4、方程组x 2y =32x y =11-⎧⎨+⎩的解集是A 、{5，1}B 、{1，5}C 、{(5，1)}D 、{(1，5)}5、函数y=x 2－6x 的减区间是A 、(－∞，2]B 、[2，+∞)C 、[3，+∞)D 、(－∞，3]6、函数4y =x 2-在区间[3， 6]上是减函数，则y 的最小值是 A 、1 B 、3 C 、－2 D 、 57、下列说法错误．．的是 A 、 y=x 4－x 2是偶函数 B 、偶函数的图象关于y 轴对称C 、 y=x 3－x 2是奇函数D 、奇函数的图象关于原点中心对称8、函数 f(x)=x 14x --的定义域是A 、ΦB 、(1， 4)C 、[1， 4]D 、(-∞，1)∪[4，+∞)9、函数2x x 0f(x)x(x+1)x 0⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，， ，则f(－2)= A 、1 B 、2 C 、3 D 、410、函数y=(k ＋2)x ＋1在实数集上是增函数，则k 的范围是A 、k≥－2B 、k ≤－2C 、k ＞－2D 、k ＜－2二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分共20分)11、 集合A={x|2m<x<m －2}，B={x|0<x<3}，若A ∪B=B ，则m 的取值范围是 BUA_____________.12、若函数y=x 2＋2ax ＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是______.13、如果f(x)=x 2＋x ＋a 在[－1，1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1，1]上的最小值是_____________.14、已知函数(a 2)x 1f x 1x 1x >1(x)=--≤⎩-⎧⎨，，，若f(x)在R 上是单调递增，则实数a 的取值范围为_____________.三、解答题：(本大题共6小题，满分共80分)15、(本题满分12分)设A={x|x 2－ax ＋6=0}，B={x|x 2－x ＋c=0}，A∩B ={2}，求A ∪B.16、(本题满分12分)已知集合A={x|－3≤x<7}，B={y|2<y<10}，C={x|x<a}.(1)求A ∪B ，(∁R A)∩B ； (2)若A∩C ≠φ，求a 的取值范围.17、(本题满分14分)求函数232x (1x 1)f(x)=(x 2)(1x <5)⎧--≤<⎪⎨-≤⎪⎩，，的值域并作出f(x)的图象.18、(本题满分14分)已知函数f(x)=－x 2＋2x.(1)证明：f(x)在[1， +∞)上是减函数；(2)当x ∈[2，5]时，求f(x)的最大值和最小值.19、(本题满分14分) 已知函数mf(x)=x+x ，且此函数图象过点(1，5).(1)求实数m 的值；(2)判断f(x)奇偶性；(3)讨论函数f(x)在[2，＋∞）上的单调性？并证明你的结论.20、(本题满分14分)定义在实数集上的函数f(x)，对任意x ，y ∈R ，有f(x ＋y)＋f(x －y)=2f(x)·f(y) 且f(0)≠0.(1)求证：f(0)=1； (2)求证：y=f(x)是偶函数.北大附中深圳南山分校高中部2013～2014学年度高一上学期第一次月考数学试卷答案卡一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，满分共50分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分共20分）11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、 . 三、解答题：（本大题共6小题，满分共70分）15、(本题满分12分)设A={x|x 2－ax ＋6=0}，B={x|x 2－x ＋c=0}，A∩B ={2}，求A ∪B.解：16、(本题满分12分) 已知集合A={x|－3≤x<7}，B={y|2<y<10}，C={x|x<a}.(1)求A ∪B ，(∁R A)∩B ；(2)若A∩C ≠φ，求a 的取值范围.解：班级：____________姓名：______________考号：____________座位号________求函数232x (1x 1)f(x)=(x 2)(1x <5)⎧--≤<⎪⎨-≤⎪⎩，，的值域并作出f(x)的图象.(注意标出关键点).18、(本题满分14分)已知函数f(x)=－x 2＋2x.(1)证明f(x)在[1， +∞)上是减函数；(2)当x ∈[2，5]时，求f(x)的最大值和最小值.解：已知函数mf(x)=x+x，且此函数图象过点(1，5).(1)求实数m的值；(2)判断f(x)奇偶性；(3)讨论函数f(x)在[2，＋∞)上的单调性？并证明你的结论. 解：定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.(1)求证：f(0)=1；(2)求证：y=f(x)是偶函数.解：北大附中深圳南山分校高中部2013～2014学年度高一上学期第一次月考数学试卷答案 2013年10月9日一、选择题答案表：二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11、 m≥－2 ； 12、 a≤－2 ；13、 －0.25 ； 1411、解：∵A ∪B=B ，∴A B ，当2m≥m －2，即m≥－2时，A=Φ，有当0≤2m ＜m －2≤3时，得无解，12、解：对称轴：x=－a ≥2，得a≤－2. 13、解：对称轴：x=－0.5，∵x ∈[－1∴当x=1时，函数最大即f(x)max ∴a=0，∴f(x)=x 2+x ，f(x)min = f(－0.5)=14、解：a －2＞0且a －3≤0 得2<x≤3三、解答题：（本大题共6小题，共7015、(本题满分12分)设A={x|x 2－ax ＋6=0}，B={x|x 2－x ＋c=0}，A∩B ={2}，求A ∪B 、解：∵A∩B={2}，∴2∈A ，2∈B ， ……2分 ∴22－2a ＋6=0，22－2＋c=0， ……4分 ∴a=5，c=－2， ……6分 ∴A={x|x 2－ax ＋6=0}={x|x 2－5x ＋6=0}={2，3}， ……8分 B={x|x 2－x ＋c=0}={x|x 2－x －2=0}={－1，2}， ……10分 ∴A ∪B={－1，2，3}. ……12分16、(本题满分12分)已知集合A={x| －3≤x<7｝， B={y| 2<y<10}， C={x|x<a}(1)求A ∪B ，(∁R A)∩B; (2)若A∩C ≠Φ，求a 的取值范围.解：A=[－3，7 )，B=(2，10 )， ……2分 如图，A ∪B=[－3，10 )， ……4分∁R A={x| x<－3，或x ≥7} =(－∞－3)∪[7，＋∞)， ……6分 (∁R A)∩B =[7，10). ……8分(2)∵A∩C ≠Φ，∴a>－3. ……12分7 7 第14题图17、 (本题满分14分)求函数232x (1x 1)f(x)=(x 2)(1x <5)⎧--≤<⎪⎨-≤⎪⎩，，的值域并作出f(x)的图象.(注意标出关键点)解：值域：[018、(本题满分14分)已知函数f(x)=－x 2＋2x.(1)证明f(x)在[1，+∞)上是减函数；(2)当x ∈[2，5]时，求f(x)的最大值和最小值.(1)证明：设x 1，x 2是[1，+∞)上任意两个值，且x 1<x 2， ……2分 则f(x 1)－f(x 2)=(－x 12＋2x 1)－(－x 22＋2x 2)=(x 22－x 12)+( 2x 1－2x 2) ……4分 =(x 2－x 1) (x 2+x 1)+ 2 ( x 1－x 2)=(x 2－x 1)[ (x 2+x 1)－2 ]， ……6分 又x 2－x 1>0，x 2+x 1>2，∴x 2+x 1－2>0， ……8分 ∴f(x 1)－f(x 2)>0，∴f(x 1) >f(x 2)， ……10分 ∴f(x)在[1， +∞)上是减函数. ……11分(2)∵f(x)在[1，+∞)上是减函数，∴f(x)在[2，5]上是减函数， ……12分 ∴f(5)≤f(x)≤f(2)， ……13分 ∴f(x)min =f(5)=－15 f(x)max =f(2)=0. ……14分19、(本题满分14分)已知函数mf(x)=x+x ，且此函数图象过点(1，5).(1)求实数m 的值；(2)判断f(x)奇偶性；(3)讨论函数f(x)在[2，+∞)上的单调性？并证明你的结论.解：(1)∵f(x)图象过点(1，5)，∴f(1)=5， ……1分 ∴1+m=5，∴m=4. ……2分(2) f(x)定义域为：(+∞， 0 )∪(0，+∞)， ……3分 对于定义域中的任意x ，44f(x)=x+=(x+)=f(x)x x -----， ……5分∴f(x)为奇函数. ……6分(3)设2≤x 1<x 2， ……7分 ∴x 1－x 2<0，x 1x 2>4，∴x 1x 2－4>0， ……9分 ∴12121244f(x )f(x )(x +)(x +)x x =-－121244(x x )+()x x =--， ……10分 2112124(x x )(x x )+x x -=-12124(x x )(1)x x =--， ……11分 121212(x x 4)(x x )0x x -=-<， ……12分 ∴f(x 1) <f(x 2)， ……13分 ∴ f(x)在[2，+∞)上是增函数. ……14分20、 (本题满分14分)定义在实数集上的函数f(x)，对任意x ，y ∈R ，有f(x ＋y)＋f(x －y)=2f(x)·f(y) 且f(0)≠0.(1)求证：f(0)=1；(2)求证：y=f(x)是偶函数.解：(1)令x=0，y=0， ……2分 得f(0＋0)＋f(0－0)=2f(0)·f(0)， ……4分 即2f(0)=2f(0)·f(0)， ……6分 ∵f(0)≠0，∴f(0)=1. ……8分(2) f(x)定义域为R.，令x=0，得f(y)＋f(－y)=2f(0)·f(y)， ……10分 ∵f(0) =1，∴f(y)＋f(－y)=2f(y)，∴f(－y)=f(y)， ……12分 ∴y=f(x)是偶函数. ……14分附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。