量子力学算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件不确定关系专题培训课件
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3.7算符的对易 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系
ˆG ˆ -G ˆ G ˆF ˆG ˆ 0 ˆF an F ˆ） （F n
ˆ 对易，则这两个算符 ˆ G 和 2.逆定理：如果两个算符 F
有组成完全系的共同本征函数。
ˆ和G ˆ 对易，只是两力学量同时 注意：两个算符 F
有确定值的必要条件。
3.力学量的完全集合：要完全确定体系的状态，需要 有一组相互对易的力学量，这组确定体系状态 的力 学量，称为力学量的完全集合。 三．不确定关系 1927年3月，海森伯发表了《论量子论的运动学和动 力学的直觉内容》的论文，公布了他 所建立的不 确定
2 2 ˆ ˆ I F k G
2
2
0
得 （3.7.12）
ˆ ˆ G F
2
ˆ 表示任意两个力学量 关系，称为不确定度关系。
ˆx p ˆ x x i ，所以 例如：（1）xp
x p x
2
2
（ 2）
E t 2
2 4
（3.7.13）
设 为任意波函数，则 E, t i , t i t i i t t t
E t 2
（3）角动量的分量的不确定关系
（3.7.8）
二．两力学量同时有确定值的条件 ˆ 有一组共同的本征函数 1.定理：如果两个算符 F ˆ 和G ˆ ˆ 对易。 G 组成完全系，则算符 和 F ，而且 n
n
证明：因为
，
ˆ ˆ n = nn G = ； F n n n
考虑一下积分：
ˆ ˆ iG I F
量子力学之算符PPT课件
满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符
动量算符 pˆ i 例如： 单位算符 Iˆ
是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等
若两个算符 Ô 、Û 对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ô ψ= Û ψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û 。
p
i i i
x
p (r)
y
p
(r)
z
p
(r
)
px p (r)
py
p
(r
)
pz p (r)
其 分 量 形 式 ：
第16页/共73页
I. 求解
采用分离变量法，令：
p ( r ) ( x )( y )( z )
代入动量本征方程
上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。
第5页/共73页
（7）逆算符
并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.
1. 定义: 设Ôψ= φ, 能够唯一的解出 ψ, 则可定义
算符 Ô 之逆 Ô-1 为: Ô-1 φ = ψ
2.性质 I: 若算符 Ô 之逆 Ô-1 存在,则 Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1] = 0
（5）对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称Ô 与 Û 不对易。
例如：算符 x
证 ( 1 )x p ˆ ： x x ( i x ) i x x
( 2 ) p ˆ x x ( i x ) x i i x x
pˆ x
i
x
不对易。
xpˆ x pˆ x x
而
（xpˆ x pˆ x x） i
3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件
第三章 量子力学中的力学量
1/26
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ [ L x y z ˆ ˆ ]i L ˆ [ Ly , L z x ˆ ˆ ]i L ˆ [ L , L z x y
ˆ ˆ ˆ [ L , L ] i L , 123 1 εαβγ—列维--斯维塔(j (j=1,2,…) 分别将gj代入前式可得对应于每个gj的一组解
第三章 量子力学中的力学量
11/26
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
所以相应的波函数
n j ai jni ( j 1, 2,
ˆ y (i p ˆz ) i p ˆz p ˆy p ˆ z (i p ˆy) i p ˆy p ˆz 0 00 p
ˆ ,p ˆ ,p ˆ 2 ] 0,[ L ˆ 2] 0 [L y z
第三章 量子力学中的力学量
6/26
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
1/26
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ [ L x y z ˆ ˆ ]i L ˆ [ Ly , L z x ˆ ˆ ]i L ˆ [ L , L z x y
ˆ ˆ ˆ [ L , L ] i L , 123 1 εαβγ—列维--斯维塔(j (j=1,2,…) 分别将gj代入前式可得对应于每个gj的一组解
第三章 量子力学中的力学量
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
所以相应的波函数
n j ai jni ( j 1, 2,
ˆ y (i p ˆz ) i p ˆz p ˆy p ˆ z (i p ˆy) i p ˆy p ˆz 0 00 p
ˆ ,p ˆ ,p ˆ 2 ] 0,[ L ˆ 2] 0 [L y z
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系 ppt课件
1.坐标和动量
[,] 0 [pˆ, pˆ]0 [,p ˆ]i (,x,y,z)
2.角动量和坐标
[Lˆx , x] 0 [Lˆx, y]i z
[Lˆx,z]i y
即
[Lˆ,]i 或 [,Lˆ]i
3.角动量和动量
[Lˆx, pˆx] 0
[Lˆx, pˆy]i pˆz
即
[L ˆ,p ˆ]i p ˆ
22 r12rr2r2Lˆ2r2
pˆ
2 r
2
Lˆ2
2r2
径向动能算符 横向动能算符
其中径向动量算符 这是因为
pˆr
i r
1 r
p ˆr22r1 r r r2 2 r 2 r21 r r1 r r r2
2
2
r2
2 r
r
2
r2
r
r2
r
2
1 r
2 r2
(r
)
几个重要算符在球坐标系中的表示
1.算符的共轭
数： caib
cc*aib
矩阵： F ij
Fij Fj*i （即转置后取复共轭）
算符： 对任意的波函数 和1 ，2 的Aˆ 共轭 满足Aˆ
1 *A ˆ 2 d 2(A ˆ1 )*d
如 Aˆ c（复数），则
1 * c 2 d ( c1 ) *2 d1 * c *2 d
sinsin cossin
cosi sinj
e sin cos
0 k
3. 的Lˆ 本z 征解
Lˆz
i
d d
m
Aeim
由周期性条件
()(2) eim2 1 m 0 , 1 , 2 ,
本征值
m ( m 0 , 1 , 2 , )
《量子力学之算符》课件
《量子力学之算符》PPT 课件
量子力学之算符PPT课件，探索量子力学中算符的定义、性质和应用。了解 算符与物理量的关系，以及算符在解决经典力学难题中的重要作用。
算符的定义
量子力学算符是描粒子状态和行为的重要概念。数学符号能表示算符的本 征态和本征值。
算符的性质
量子力学算符存在对易与反对易关系，具有厄米性质和幂次方。这些性质对于理解算符的应用至关重要。
算符和物理量的关系
算符可以表示物理量的观测值，计算算符的平均值和不确定度。它们与物理 量之间存在密切的关系。
算符的应用
堆积运算符、演化算符和调和振子算符是量子力学中常见的算符应用。它们 可以解决许多经典力学难题。
总结
算符在量子力学中是非常重要的概念。它们代表物理量，描述粒子的状态和 行为。算符具有多种应用，可以解决很多经典力学难题。
量子力学之算符PPT课件，探索量子力学中算符的定义、性质和应用。了解 算符与物理量的关系，以及算符在解决经典力学难题中的重要作用。
算符的定义
量子力学算符是描粒子状态和行为的重要概念。数学符号能表示算符的本 征态和本征值。
算符的性质
量子力学算符存在对易与反对易关系，具有厄米性质和幂次方。这些性质对于理解算符的应用至关重要。
算符和物理量的关系
算符可以表示物理量的观测值，计算算符的平均值和不确定度。它们与物理 量之间存在密切的关系。
算符的应用
堆积运算符、演化算符和调和振子算符是量子力学中常见的算符应用。它们 可以解决许多经典力学难题。
总结
算符在量子力学中是非常重要的概念。它们代表物理量，描述粒子的状态和 行为。算符具有多种应用，可以解决很多经典力学难题。
算符的对易关系
确定值：En , l l 1
2
,m
三、力学量完全集
1.要完全确定体系的状态，需要有互相对易的力学量， 通过他们的本征值，这一组完全确定体系状态的力学量， 称为力学量的完全集。其力学量数目一般等于自由度数。
px , p y , pz 氢原子中电子，3个自由度： 三个量子 ˆ ˆ 数 H , l , lz
x a, x px
2 2
2
4
, px
2
2
4a
T
px
2
2
2
8 a
例2）线性谐振子零点能是测不准关系所要求的最小 能量 p2 1 2 2 E x 2 2 2 2 x 2 而 x Nn e H n2 x xdx 0
2.力学量共同本征函数的例子：
a) px , p y , pz 互相对易：共同本征函数 p
1
i 3 2
同时具有确定值 px, py , pz ,
2
e
pr
ˆ ，角动量平方算符 L2 ，角动量子 b)氢原子的哈密顿 H nlm r , , ， 分量 Lz 互相对易，共同本征函数：
又
(33)
(b) 算符的函数
设给定一函数 F x 存在各阶导数，幂级数张开收敛：
F x
n 0
F
n
0
n!
xn
(34)
d ax 如 F x e : F e dx
a
d dx
二、两个算符对易的条件
an d n n n ! dx n 0
2
0
(43)
ˆ 不对易， ˆ,G ˆ 的均方偏差不能同 ˆ,G 当 F k 0 ，则 F 时为0，而者乘积恒大于某一正数。
2
,m
三、力学量完全集
1.要完全确定体系的状态，需要有互相对易的力学量， 通过他们的本征值，这一组完全确定体系状态的力学量， 称为力学量的完全集。其力学量数目一般等于自由度数。
px , p y , pz 氢原子中电子，3个自由度： 三个量子 ˆ ˆ 数 H , l , lz
x a, x px
2 2
2
4
, px
2
2
4a
T
px
2
2
2
8 a
例2）线性谐振子零点能是测不准关系所要求的最小 能量 p2 1 2 2 E x 2 2 2 2 x 2 而 x Nn e H n2 x xdx 0
2.力学量共同本征函数的例子：
a) px , p y , pz 互相对易：共同本征函数 p
1
i 3 2
同时具有确定值 px, py , pz ,
2
e
pr
ˆ ，角动量平方算符 L2 ，角动量子 b)氢原子的哈密顿 H nlm r , , ， 分量 Lz 互相对易，共同本征函数：
又
(33)
(b) 算符的函数
设给定一函数 F x 存在各阶导数，幂级数张开收敛：
F x
n 0
F
n
0
n!
xn
(34)
d ax 如 F x e : F e dx
a
d dx
二、两个算符对易的条件
an d n n n ! dx n 0
2
0
(43)
ˆ 不对易， ˆ,G ˆ 的均方偏差不能同 ˆ,G 当 F k 0 ，则 F 时为0，而者乘积恒大于某一正数。
量子力学3-4 算符之间的对易关系
∧
∧
∧
∧
• 1.3 角动量算符的对易关系 ∧ ∧ ∧ , [Lx , x] = 0,[Lx , y] = ihz,[Lx∧ z] = −ihy ∧ ∧ [Ly , x] = −ihz,[Ly , y] = 0,[Ly , z] = ihx ∧ ∧ ∧ [Lz , x] = ihy,[Lz , y] = −ihx,[Lz , z] = 0 • 只证明其中一个，请注意证明方法 只证明其中一个，
∧
∧
∧ x, px = ih
但是
（14a） ） （14b） ）
∧ x, py = 0
∧ x, p z = 0
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式 可概括为 ∧ (14c) xi , p j = ihδij
p j ( j = 1,2,3) ≡ ( px , py , pz ) 其中 xi = (i = 1,2,3) ≡ (x, y, z) 坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系， ※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其 它力学量的对易关系均可由此导出。 它力学量的对易关系均可由此导出。
∧ ∧
∧ ∧
ψ = ∑cnϕn
n
（23） ）
• 有 (F G− G F)ψ = ∑cn (F G− G F)ϕn = 0 则
∧
∧ ∧
∧ ∧
∧ ∧
∧ ∧
F G− G F = 0或 [F, G] = 0
∧
∧ ∧
n ∧ ∧
∧
∧
（24） ）
是对易的。 这时才说 F 和 G 是对易的。这个结论可以推广到多个算 符，即 ϕ 如果一组算符有共同的本征函数完备系 n，则这组算符对易 ∧ ∧ 2 2 例如 L Ym (θ,ϕ) = l(l +1)h Ylm (θ,ϕ) Lz Ym (θ,ϕ) = mhYlm (θ,ϕ) ∧ ∧ 即在 Ylm (θ,ϕ) 态中 L2 , Lz 同时有确定值 l(l +1)h2 mh ，所以 及 ∧ ∧ Ylm (θ,ϕ) 是 L2 , Lz的共同的本征函数，并且是完备的，所以 的共同的本征函数，并且是完备的，
第三章量子力学中的力学量5
算符对易关系、 §3.7 算符对易关系、两算符同时具有确定值的 条件、 条件、测不准关系
（一）两算符对易的物理含义 前面我们已经提到了一些常见算符的对易关系，这些对易关系 前面我们已经提到了一些常见算符的对易关系，这些对易关系 到底有什么物理意义 物理意义？ 到底有什么物理意义？这个问题将在这节课得到阐明 下面给出了一些常见力学量算符之间的对易关系。 下面给出了一些常见力学量算符之间的对易关系。这些对易关 系需要牢记并能够证明。 系需要牢记并能够证明。
px , p y , pz
ˆ ˆ ˆ H , L2 , Lz
两两对易
r 具有完备的共同本征函数系： 具有完备的共同本征函数系： ψ nlm (r ) = Rnl (r )Ylm (θ , ϕ )
同时具有确定值
En , l (l + 1)h 2 , mh
例 3：
ˆ L2 ˆ ˆ = z ,L 定轴转子： 定轴转子： H z 2I
由上面的结论可以看出，算符之间的对易关系可分为两种： 由上面的结论可以看出，算符之间的对易关系可分为两种：相 互对易和不对易。下面我们将看到算符间的对易关系关系直接 互对易和不对易。下面我们将看到算符间的对易关系关系直接 关系到算符表示的力学量是否有可能同时具有确定值。 有可能同时具有确定值 关系到算符表示的力学量是否有可能同时具有确定值。 ˆ ˆ 前面我们已经知道如果某波函数 ψ 是算符 F 和算符 G的共同本 征函数， 同时具有确定的观测值。 征函数，那么力学量 F 和 G 同时具有确定的观测值。确定值就 是它们的本征值 λ 和 µ ，即： ˆ ˆψ Fψ = λψ G = µψ 以上说法的逆也是正确的：如果在状态 ψ 中，力学量 F 有确 以上说法的逆也是正确的： 说法的逆也是正确的 ˆ 的本征函数， 定值， 定值，那么 ψ 必为算符 F 的本征函数，如果同时力学量 G 也 ˆ 的本征函数。 有确定值， 是它们的共 有确定值，那么ψ 也是算符 G 的本征函数。即 ψ 是它们的共 同本征函数。 同本征函数。 结论 两个算符具有共同本征函数和两个算符对应的力学量能够同时 取确定值是等价的。但是需要注意的是， 取确定值是等价的。但是需要注意的是，这并不意味着在任何 状态下两个力学量都能取确定值。 状态下两个力学量都能取确定值。
（一）两算符对易的物理含义 前面我们已经提到了一些常见算符的对易关系，这些对易关系 前面我们已经提到了一些常见算符的对易关系，这些对易关系 到底有什么物理意义 物理意义？ 到底有什么物理意义？这个问题将在这节课得到阐明 下面给出了一些常见力学量算符之间的对易关系。 下面给出了一些常见力学量算符之间的对易关系。这些对易关 系需要牢记并能够证明。 系需要牢记并能够证明。
px , p y , pz
ˆ ˆ ˆ H , L2 , Lz
两两对易
r 具有完备的共同本征函数系： 具有完备的共同本征函数系： ψ nlm (r ) = Rnl (r )Ylm (θ , ϕ )
同时具有确定值
En , l (l + 1)h 2 , mh
例 3：
ˆ L2 ˆ ˆ = z ,L 定轴转子： 定轴转子： H z 2I
由上面的结论可以看出，算符之间的对易关系可分为两种： 由上面的结论可以看出，算符之间的对易关系可分为两种：相 互对易和不对易。下面我们将看到算符间的对易关系关系直接 互对易和不对易。下面我们将看到算符间的对易关系关系直接 关系到算符表示的力学量是否有可能同时具有确定值。 有可能同时具有确定值 关系到算符表示的力学量是否有可能同时具有确定值。 ˆ ˆ 前面我们已经知道如果某波函数 ψ 是算符 F 和算符 G的共同本 征函数， 同时具有确定的观测值。 征函数，那么力学量 F 和 G 同时具有确定的观测值。确定值就 是它们的本征值 λ 和 µ ，即： ˆ ˆψ Fψ = λψ G = µψ 以上说法的逆也是正确的：如果在状态 ψ 中，力学量 F 有确 以上说法的逆也是正确的： 说法的逆也是正确的 ˆ 的本征函数， 定值， 定值，那么 ψ 必为算符 F 的本征函数，如果同时力学量 G 也 ˆ 的本征函数。 有确定值， 是它们的共 有确定值，那么ψ 也是算符 G 的本征函数。即 ψ 是它们的共 同本征函数。 同本征函数。 结论 两个算符具有共同本征函数和两个算符对应的力学量能够同时 取确定值是等价的。但是需要注意的是， 取确定值是等价的。但是需要注意的是，这并不意味着在任何 状态下两个力学量都能取确定值。 状态下两个力学量都能取确定值。
算符对易关系_第三章教材
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ 具有共同的本征函数完全 ˆ 和G 若算符F 定 理 ˆ 必对易。 ˆ 和G 系，则 F ˆ 和G ˆ 的共同本征函数完全系，则 prove: 设 n 是 F
ˆ ˆ , G F n n n n n n
11
Ex.5
可能同时有确定值。
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续11）
3. 力学量完全集合 （1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的 力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 Ex.1 三维空间中自由粒子，完全确 ˆ ˆ ˆ p , p , p x y z. 定其状态需要三个两两对易的 力学量： ˆ ,L ˆ2 , L ˆ . Ex.2 氢原子，完全确定其状态也需 H z 要三个两两对易的力学量： 一维谐振子，只需要一个力学 ˆ Ex.3 H 量就可完全确定其状态： （2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度 数相同。 （3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体 系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态 均可用它展开。
ˆ ˆ G ˆF ˆG ˆ ik F 2 ˆ ) d ˆ iG 考虑积分： I ( ) (F ˆ )* ][F ˆ ]d ˆ )* i (G ˆ iG [(F
* ˆ ) (G )* F ˆ ˆ )d i [(F ˆ )* (G ˆ ]d (F ) (F 2
（2 ） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（ 1 ）、（ 2 ） ˆ 都是 F ˆ 属于本征值 的本征函数，它 式知，n 和 G n n 们最多相差一个常数因子 n ，即
ˆ ˆ G ˆ ˆ ˆ GF FG n n n n
量子力学算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件不确定关系专题培训课件
且 Lˆ 2是关于 ，的微分算符，Lˆ z是关于 的微分算符，
所以： [Hˆ,Lˆ2], 0 [H 。ˆ,Lˆz]0
说明：[ Fˆ , ]Gˆ=0不一定是不同力学量同时具有确定值的 条件。
实际上两个力学量算符对易与它们所代表的力学 量可同时取确定值是两回事。
例如：[ Lˆ2 ,]Lˆ=z0，则由定理知它们有完全的共同的本征
3. 算符对易关系的运算法则：
<1>[A ˆ,B ˆ]=[Bˆ,A ˆ]； <2>[Aˆ,Aˆ] =0； <3>[A ˆ,c]=0（ c 为 复 常 数 ） ； <4>[A ˆ,B ˆC ˆ]=[A ˆ,B ˆ]+[A ˆ,C ˆ]； <5>[A ˆ,B ˆC ˆ]=B ˆ[A ˆ,C ˆ]+[A ˆ,B ˆ]C ˆ ；
证明：设有两力学量
Fˆ 和
Gˆ 有一组共同的本征函数
，
n
Fˆn nn
G ˆn nn
而
组成完全系，即对于任意的波函数
n
都可按{
}展 为n
级数：
。 ann
n
则： (Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ ) = (Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ ) a n n
n
= a n (Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ ) n
说明：利用算符对易关系的运算法则可以大大简化算 符对易关系的证明，例如：
[L ˆy,L ˆz]= [z ˆp ˆxx ˆp ˆz,x ˆp ˆyy ˆp ˆx] = [z ˆp ˆx,x ˆp ˆy y ˆp ˆx] [x ˆp ˆz,x ˆp ˆy y ˆp ˆx]
= [z ˆ p ˆx ,x ˆ p ˆy ] [ z ˆ p ˆx ,y ˆ p ˆx ] [ x ˆ p ˆz ,x ˆ p ˆy ]+ [ x ˆ p ˆz ,y ˆ p ˆx ] = z ˆ[p ˆx,x ˆ]p ˆy+ y ˆ[x ˆ,p ˆx]p ˆz =i(y ˆp ˆzz ˆp ˆy)
所以： [Hˆ,Lˆ2], 0 [H 。ˆ,Lˆz]0
说明：[ Fˆ , ]Gˆ=0不一定是不同力学量同时具有确定值的 条件。
实际上两个力学量算符对易与它们所代表的力学 量可同时取确定值是两回事。
例如：[ Lˆ2 ,]Lˆ=z0，则由定理知它们有完全的共同的本征
3. 算符对易关系的运算法则：
<1>[A ˆ,B ˆ]=[Bˆ,A ˆ]； <2>[Aˆ,Aˆ] =0； <3>[A ˆ,c]=0（ c 为 复 常 数 ） ； <4>[A ˆ,B ˆC ˆ]=[A ˆ,B ˆ]+[A ˆ,C ˆ]； <5>[A ˆ,B ˆC ˆ]=B ˆ[A ˆ,C ˆ]+[A ˆ,B ˆ]C ˆ ；
证明：设有两力学量
Fˆ 和
Gˆ 有一组共同的本征函数
，
n
Fˆn nn
G ˆn nn
而
组成完全系，即对于任意的波函数
n
都可按{
}展 为n
级数：
。 ann
n
则： (Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ ) = (Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ ) a n n
n
= a n (Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ ) n
说明：利用算符对易关系的运算法则可以大大简化算 符对易关系的证明，例如：
[L ˆy,L ˆz]= [z ˆp ˆxx ˆp ˆz,x ˆp ˆyy ˆp ˆx] = [z ˆp ˆx,x ˆp ˆy y ˆp ˆx] [x ˆp ˆz,x ˆp ˆy y ˆp ˆx]
= [z ˆ p ˆx ,x ˆ p ˆy ] [ z ˆ p ˆx ,y ˆ p ˆx ] [ x ˆ p ˆz ,x ˆ p ˆy ]+ [ x ˆ p ˆz ,y ˆ p ˆx ] = z ˆ[p ˆx,x ˆ]p ˆy+ y ˆ[x ˆ,p ˆx]p ˆz =i(y ˆp ˆzz ˆp ˆy)
量子力学教程第九讲
The variables in Quantum mechanics
第九讲 第二章
3.7 算符的对易关系 两力学量同时有 确定值的条件 测不准关系
Operator commute The Heisenberg Uncertainty Principle
1
学习内容
The variables in Quantum mechanics
4．测不准关系
引言 问题
由前面讨论表明，两对易力学量算符则同 时有确定值；不对易两力学量算符，一般 来说，不存在共同本征函数，不同时具有 确定值。
两个不对易算符所对应的力学量在某一状 态中究竟不确定到什么程度？即不确定度 是多少？
不确定度： 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的 大小。
● 测不准关系的严格推导 ● 坐标和动量的测不准关系 ● 角动量的测不准关系
[ y, Lˆy ] 0 y[ pˆ z , zpˆ x xpˆ z ] [zˆ, zpˆ x xpˆ z ] pˆ y 等于零
y[ pˆ z , zpˆ x ] y[ pˆ z , xpˆ z ] [z, zpˆ x ] pˆ y [z, xpˆ z ] pˆ y
[Lˆ , Lˆ2 ] 0
x, y, z
7
The variables in Quantum mechanics
Prove: [Lˆx , Lˆy ] [ ypˆ z zpˆ y , Lˆy ]
[ pˆ y , Lˆy ] 0
y[ pˆz , Lˆy ] [ y, Lˆy ]pˆz z[ pˆ y, Lˆy ] [zˆ, Lˆy ]pˆ y
Ex.2 角动量算符 Lˆ2 和 Lˆz 对易，即 [Lˆz , Lˆ2 ] 0
第九讲 第二章
3.7 算符的对易关系 两力学量同时有 确定值的条件 测不准关系
Operator commute The Heisenberg Uncertainty Principle
1
学习内容
The variables in Quantum mechanics
4．测不准关系
引言 问题
由前面讨论表明，两对易力学量算符则同 时有确定值；不对易两力学量算符，一般 来说，不存在共同本征函数，不同时具有 确定值。
两个不对易算符所对应的力学量在某一状 态中究竟不确定到什么程度？即不确定度 是多少？
不确定度： 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的 大小。
● 测不准关系的严格推导 ● 坐标和动量的测不准关系 ● 角动量的测不准关系
[ y, Lˆy ] 0 y[ pˆ z , zpˆ x xpˆ z ] [zˆ, zpˆ x xpˆ z ] pˆ y 等于零
y[ pˆ z , zpˆ x ] y[ pˆ z , xpˆ z ] [z, zpˆ x ] pˆ y [z, xpˆ z ] pˆ y
[Lˆ , Lˆ2 ] 0
x, y, z
7
The variables in Quantum mechanics
Prove: [Lˆx , Lˆy ] [ ypˆ z zpˆ y , Lˆy ]
[ pˆ y , Lˆy ] 0
y[ pˆz , Lˆy ] [ y, Lˆy ]pˆz z[ pˆ y, Lˆy ] [zˆ, Lˆy ]pˆ y
Ex.2 角动量算符 Lˆ2 和 Lˆz 对易，即 [Lˆz , Lˆ2 ] 0
算符对易关系第三章
ˆ z , z] p ˆ x yz[ p ˆz , p ˆ x ] [ z, x] p ˆz p ˆ y x[ z, p ˆz ]p ˆy y[ p
ˆ x i xp ˆy i yp
ˆ y yp ˆx ) i ( xp ˆ iL z
等于零
6
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
（2 ） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（ 1 ）、（ 2 ） ˆ 都是 F ˆ 属于本征值 的本征函数，它 式知，n 和 G n n 们最多相差一个常数因子 n ，即
ˆ ˆ G ˆ ˆ ˆ GF FG n n n n
ˆ 的本征方程的解。因此， n 也是 G 可见， n 是 ˆ 的本征函数完全系 G
ˆx, p ˆy] 0 [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] 0 [p
, 1, 2, 3 ˆ ˆ p , p 0
ˆ1 p ˆ x, p ˆ 2 p ˆ y, p ˆ 3 p ˆz ) (p
ˆ x , p i ( , 1, 2, 3)
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ 具有共同的本征函数完全 ˆ 和G 若算符F 定 理 ˆ 必对易。 ˆ 和G 系，则 F ˆ 和G ˆ 的共同本征函数完全系，则 prove: 设 n 是 F
ˆ ˆ , G F n n n n n n
★ 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两 个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或 者说不能同时测定。
9
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续9）
算符对易关系_第三章
们最多相差一个常数因子n ，即
可见，
n
Gˆn nn
也是 Gˆ 的本征方程的解。因此，n
是
Gˆ 的本征函数完全系
8
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续8）
注
★ 为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简 并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立 （这里就不再证明了）
★ 两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个 算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数 所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时 有确定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量 同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。
2
* (Fˆ
2
)
d
i
*[FˆGˆ GˆFˆ ]d
*(Gˆ )2 d
2 (Fˆ )2 k (Gˆ )2 0
由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件 是系数必须满足下列关系：
(Fˆ )2 (Gˆ )2 k 2 （称为测不准关系）
4
如果 k 不等于零，则 Fˆ 和 Gˆ 的均方偏差不会同时为 零，它们的乘积要大于一正数，这意味着 F 和 G 不能 同时测定。
★ 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两 个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或 者说不能同时测定。
9
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续9）
Ex.1 动量算符 pˆx, pˆ y , pˆz彼此对易，它们有共同的
本征函数完备系
p(r)
(2)
3
2
e
i
pr
在 pv (rv) 描述的状态中，px , py , pz 同时有确定值。
4．测不准关系
【量子力学】3.7 算符的对易关系 不确定关系
=0
二、对易关系的物理意义
1. 定理：如果两个算符 F^和 G有^ 一组共同的本征
2. 3.
函数，而且组成完备系，则算符
G对^n 易.
和F^
证明：设 Fˆn fnn， Gˆn gnn 当本征函数时 (FˆGˆ GˆFˆ )n gn fnn fngnn 0
FˆGˆ GˆFˆ
即有 Fˆ ,Gˆ 0
一般情况，力学量完全集所包含的力学量 个数等于体系的自由度数。
例:① 三维空间中自由粒子的自由度是3, 完全确 定它的状态需 p^三p个^p力^学量.
x yz
②态氢需原子H^中,3^lr2电个,^lz子相自互由对度易是的3力,完学全量确. 定它的状
三、非对易关系的物理意义----不确定关系
1、不确定关系的严格推导
对易关系的物理意义： 若两算符对易，则两算符存在共同的本征函
数。在其共同本征函数所描写的态中，两算符 表示的力学量同时有确定的值。
推广到两个以上算符： 若一组算符存在共同的本征函数。而且这些
共同本征函数组成完备系，则这组算符中的任 何一个和其余的算符对应。
其逆定理也成立。
如：①动量 P^x, P^y满, P^z足
（1）引
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值； 若不对易，一般来说，不存在共同本征函数， 不同时具有确定值。
量同时具有确定值。
3.力学量完全集
要完全确定系统所处的状态，需要一组相互对易的 力学量（通常通过它们的本征值），这一组完全确定体 系状态的力学量称之为力学量的完全集合.
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。
例 1： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量：
二、对易关系的物理意义
1. 定理：如果两个算符 F^和 G有^ 一组共同的本征
2. 3.
函数，而且组成完备系，则算符
G对^n 易.
和F^
证明：设 Fˆn fnn， Gˆn gnn 当本征函数时 (FˆGˆ GˆFˆ )n gn fnn fngnn 0
FˆGˆ GˆFˆ
即有 Fˆ ,Gˆ 0
一般情况，力学量完全集所包含的力学量 个数等于体系的自由度数。
例:① 三维空间中自由粒子的自由度是3, 完全确 定它的状态需 p^三p个^p力^学量.
x yz
②态氢需原子H^中,3^lr2电个,^lz子相自互由对度易是的3力,完学全量确. 定它的状
三、非对易关系的物理意义----不确定关系
1、不确定关系的严格推导
对易关系的物理意义： 若两算符对易，则两算符存在共同的本征函
数。在其共同本征函数所描写的态中，两算符 表示的力学量同时有确定的值。
推广到两个以上算符： 若一组算符存在共同的本征函数。而且这些
共同本征函数组成完备系，则这组算符中的任 何一个和其余的算符对应。
其逆定理也成立。
如：①动量 P^x, P^y满, P^z足
（1）引
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值； 若不对易，一般来说，不存在共同本征函数， 不同时具有确定值。
量同时具有确定值。
3.力学量完全集
要完全确定系统所处的状态，需要一组相互对易的 力学量（通常通过它们的本征值），这一组完全确定体 系状态的力学量称之为力学量的完全集合.
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。
例 1： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量：
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[Lˆ2 , Lˆ x ] [Lˆ2 , L；ˆ y ] [Lˆ2,Lˆz]0
[L ˆ2,L ˆx]=L ˆ2L ˆxL ˆxL ˆ2
= Lˆ x 3 + Lˆ y 2Lˆ x + Lˆ z 2 Lˆ x Lˆ x 3 Lˆ x Lˆ y 2 Lˆ x Lˆ z 2
= Lˆ y Lˆ y Lˆ x Lˆ y Lˆ x Lˆ y + Lˆ y Lˆ x Lˆ y Lˆ x Lˆ y Lˆ y
即： 同理可证：
[Lˆ x , Lˆ y ] iLˆ z [Lˆ y , Lˆ z ] iLˆ x [Lˆ z , Lˆ x ] iLˆ y
满足轮换对称性
说明：a. 可合并写为： LL(i矢L 量式)，即角动量
算符的定义式。
b. 利用 LL 可i 以L 证明：
=iL ˆx
[L ˆz,p ˆy ]= [x ˆp ˆy y ˆp ˆx ,p ˆy ]= [x ˆp ˆy ,p ˆy ] [y ˆp ˆx ,p ˆy ] = x ˆ[p ˆy ,p ˆy ]+ [x ˆ,p ˆy ] p ˆy y ˆ[p ˆx ,p ˆy ] [y ˆ,p ˆy ] p ˆx =ip ˆx
<6>[A ˆB ˆ,C ˆ]=A ˆ[B ˆ,C ˆ]+[A ˆ,C ˆ]B ˆ 。
证明<5>：等式右边=B ˆA ˆC ˆ B ˆC ˆA ˆ A ˆB ˆC =ˆ B ˆA ˆC ˆ A ˆB ˆC ˆB ˆC ˆA ˆ 等式左边= A ˆB ˆC ˆB ，ˆC ˆ等A ˆ 式成立。
以上可总结为基本对易关系：
x
i
,
p
j
i ij
x i , x j 0
p
i
,
p
j
0
i, j 1,2,3
即动量分量和它所对应的坐标分量是不对易 的，而和不对应的坐标分量是对易的；动量各分 量和坐标各分量是对易的。
说明：
a. [G ˆ,Fˆ]称G ˆF 为ˆFˆ与G ˆ 的对G易ˆ 关F系ˆ ，等于0称二算符
量子力学3.7算符的 对易关系两力学量
同时有确定值的条 件不确定关系
一、算符的对易关系：
对于任意的波函数，
G ˆ,F ˆ G ˆF ˆF ˆG ˆ 0 0 F F ˆˆ,,G G ˆˆ对 不易 对易
1. 坐标算符 xˆ和动量算符 pˆ的x 对易关系 x,pˆx?
[L ˆ2 ,L ˆx ]= [L ˆx 2 ,L ˆx ]+ [L ˆy 2 ,L ˆx ]+ [L ˆz2 ,L ˆx ] = L ˆy [ L ˆy ,L ˆx ]+ [ L ˆy ,L ˆx ]L ˆy + L ˆz[ L ˆz ,L ˆx ]+ [ L ˆz ,L ˆx ] L ˆz = i L ˆy L ˆz i L ˆz L ˆy+ i L ˆzL ˆy+ i L ˆy L ˆz =0
说明：利用算符对易关系的运算法则可以大大简化算 符对易关系的证明，例如：
[L ˆy,L ˆz]= [z ˆp ˆxx ˆp ˆz,x ˆp ˆyy ˆp ˆx] = [z ˆp ˆx,x ˆp ˆy y ˆp ˆx] [x ˆp ˆz,x ˆp ˆy y ˆp ˆx]
= [z ˆ p ˆx ,x ˆ p ˆy ] [ z ˆ p ˆx ,y ˆ p ˆx ] [ x ˆ p ˆz ,x ˆ p ˆy ]+ [ x ˆ p ˆz ,y ˆ p ˆx ] = z ˆ[p ˆx,x ˆ]p ˆy+ y ˆ[x ˆ,p ˆx]p ˆz =i(y ˆp ˆzz ˆp ˆy)
+ Lˆ z Lˆ z Lˆ x Lˆ z Lˆ x Lˆ z + Lˆ z Lˆ x Lˆ z Lˆ x Lˆ zLˆ z
= Lˆ y[Lˆ y , Lˆ x ] +[Lˆ y , Lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x ]Lˆ y + Lˆ z [Lˆ z , Lˆ x ] +[Lˆ z , Lˆ x ]Lˆ z =0
该式称为 x和 pˆ的x 对易关系，等式右边不等于0，即 和x
不对pˆ x易。 同样可得： [yˆ, pˆ y] i
zˆ,pˆz i
[x,p ˆy]x,p ˆz0
y ˆ,p ˆzy ˆ,p ˆx0 [zˆ,p ˆy]zˆ,p ˆx0 [p ˆx ,p ˆy ] p ˆx ,p ˆz p ˆy ,p ˆz 0
对易；否则称二算符不对易 。
b.以上 和x i 的对pˆ j 易关系是量子力学算符的基本对
易关系，由它们可以推出其他的一些算符（有经典 对应的）对易关系。
2. 角动量算符的对易关系：
[L ˆx,L ˆy]L ˆxL ˆyL ˆyL ˆx = ( y ˆ p ˆ z z ˆ p ˆy )( z ˆ p ˆ x x ˆ p ˆ z ) ( z ˆ p ˆ x x ˆ p ˆ z )( y ˆ p ˆ z z ˆ p ˆy ) = y ˆp ˆz z ˆp ˆx y ˆp ˆzx ˆp ˆz z ˆp ˆy z ˆp ˆx+ z ˆp ˆy x ˆp ˆz z ˆp ˆx y ˆp ˆz z ˆp ˆx z ˆp ˆy+ x ˆp ˆz y ˆp ˆz x ˆp ˆz z ˆp ˆy = y ˆp ˆz z ˆp ˆx y ˆz ˆp ˆz p ˆx+ p ˆy z ˆp ˆzx ˆ p ˆy p ˆz z ˆx ˆ =iy ˆp ˆx+ ip ˆyx ˆ = i L ˆz
3. 算符对易关系的运算法则：
<1>[A ˆ,B ˆ]=[Bˆ,A ˆ]； <2>[Aˆ,Aˆ] =0； <3>[A ˆ,c]=0（ c 为 复 常 数 ） ； <4>[A ˆ,B ˆC ˆ]=[A ˆ,B ˆ]+[A ˆ,C ˆ]； <5>[A ˆ,B ˆC ˆ]=B ˆ[A ˆ,C ˆ]+[A ˆ,B ˆ]C ˆ ；
将 x,pˆxxpˆ作x 用pˆ在xx任意波函数 上，即：(x)
xpˆxpˆxx(x)x(i) x (x)i x(x (x))
x (x )x (x ) (x ) i x i x i
i(x) 而 (x)是任意的，
所以： x,pˆx i