北师大版数学高一-必修4学案 2.6 平面向量数量积的坐标表示

§6 平面向量数量积的坐标表示

1．掌握数量积的坐标表达式．(重点)

2．能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．(重点) 3．了解直线的方向向量的概念．(难点)

[基础·初探]

教材整理 平面向量数量积的坐标表示 阅读教材P 98～P 99，完成下列问题． 1．平面向量数量积的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；

(2)a 2＝x 21＋y 21，即|a |＝x 21＋y 2

1；

(3)设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b

|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 2

2； (4)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．直线的方向向量

给定斜率为k 的直线l ，则向量m ＝(1，k )与直线l 共线，我们把与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若两非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )

(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →

|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.( )

(3)两向量a 与b 的夹角公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 21·x 22＋y 2

2

的使用范围是a ≠0且b ≠0.( )

【解析】 (1)错误．如a ＝(－1，－1)，b ＝(2,2)，显然cos θ＝a ·b

|a |·

|b |＜0，但a 与b 的夹角是180°，而并非钝角．

(2)正确.AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，所以|AB →

|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)正确．两向量a 与b 的夹角公式cos ＝

x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 21·x 22＋y 2

2

有意义需x 21＋x 2

2≠0

且y 2

1＋y 22≠0，即a ≠0，且b ≠0.此说法是正确的．

【答案】 (1)× (2)√ (3)√

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________

[小组合作型]

平面向量数量积的坐标运算

(1)求向量a 的坐标； (2)若c ＝(2，－1)，求(a ＋c )·b .

【精彩点拨】根据a与b共线设出a的坐标，再利用数量坐标运算公式构建方程求得a的坐标，进而求(a＋c)·b.

【自主解答】(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，

∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)．

又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．

(2)法一：a＋c＝(4,3)，∴(a＋c)·b＝4＋6＝10.

法二：(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝10＋0＝10.

进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示，运算时常有两条途径：

(1)根据向量数量积的坐标表示直接运算；

(2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．

[再练一题]

1．已知向量a＝(4，－2)，b＝(6，－3)，求：

(1)(2a－3b)·(a＋2b)；

(2)(a＋b)2.

【解】法一：(1)∵2a－3b＝(8，－4)－(18，－9)＝

(－10,5)，

a＋2b＝(4，－2)＋(12，－6)＝(16，－8)，

∴(2a－3b)·(a＋2b)＝－160－40＝－200.

(2)∵a＋b＝(10，－5)，

∴(a＋b)2＝(10，－5)×(10，－5)＝100＋25＝125.

法二：由已知可得：a2＝20，b2＝45，a·b＝30.

(1)(2a－3b)·(a＋2b)

＝2a2＋a·b－6b2

＝2×20＋30－6×45＝－200.

(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝20＋60＋45＝125.

向量的夹角及垂

直

已知a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝ 5.

(1)求|a＋2b|；

(2)若(a＋b)·c＝5

2，求向量a与c的夹角．

【精彩点拨】(1)利用|a|＝x21＋y21求解．

(2)利用cos θ＝

x1x2＋y1y2

x21＋y21·x22＋y22

求解．

【自主解答】(1)a＋2b＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，∴|a＋2b|＝(－3)2＋(－6)2＝3 5.

(2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a，

∴a＋b＝－a，

∴(a＋b)·c＝－a·c＝5

2.

设a与c的夹角为θ，

则cos θ＝a·c

|a||c|＝

－5

2

5×5

＝－1

2.

∵0≤θ≤π，∴θ＝2

3π，

即a与c的夹角为2

3π.

1．已知向量的坐标和向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|＝x2＋y2进行计算．