六年级分数巧算裂项拆分
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思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。
分数裂项求和方法总结
（一）用裂项法求
1一型分数求和分析：因为n(n 1)
1 n(n 1) n(n 1)
（n为自然数）所以有裂项公式: n（n 1）
【例1】
求丄
10 11
11 12
1的和。
59 60
【例2】
咕右）'11
1 1
10 60
1
12
用裂项法求
1 1
k(n
计算
n(n k)
1 1 -
[2 5
1
15
n(n 1)
59 60)
型分数求和:
k)
n
n(n k)]
分析：
n（n
k）
型。（n,k均为自然数）因为
n(n k) 所以n(n k)k(
； n k
9 11 11 13 13 15
7)
1
1)
丄(1
2 7
1
(1
9) 1(1 却2、11
1 1 1 1
1 , 1 1、1(丄丄
2(13 15
1
13)
1
用裂项法求
9 11 11 13
型分数求和:
n（n k）
n n k n(n k) n(n k) n(n k)
13
分析：型（n,k均为自然数）n（n k）
k
所以一-
n(n k) n n k
(1
1 3 97 99 3200
9603
自然数）
n(n k)( n 2k)( n 3k)
3k (n(n k^(n 2k)
1139 20520
I
(n k)(n 2k)(n 3k)
【例3】
的和
97 99
98 99
(四)
1
3) (3
5
1 1 )(
5 1 7)
1 1
1 99 用裂项法求 型分数求和:
n （n k ）（n 2k ）
分析:
2k n(n k)(n 2k)
【例4】
计算：
4
4 4
4
1 3 5
3 5 7
93 95
97
95 97 99
(1I II 3
15) (315 517)…(
1
1
)(
1 1
)
3 93 95 95 9/ V 95 97
97 99,
1
1
（n,k 均为自然数）
【例5】 1 1
计算：1 2 3 4 2 3 4 5
1 17 18 19 20
3[(1 1 1 3[1 2 3 （丘
18 19 20]
1 17 18 19
1 18 19 20
)]
2k n(n k)(n 2k)
1 1
n(n k) (n k)( n 2k)
(五) 用裂项法求
型分数求和分析:
n(n k)(n 2k)(n 3k)
(n,k 均为
n(n k)(n 2k)(n 3k)
（六）用裂项法求
3k
n(n k)(n 2k)(n 3k)
型分数求和：分析:
3k
n(n k)(n 2k)( n 3k)
(n,k
均为自然数）
3k 1 1
n(n k)(n 2k)( n 3k) n(n k)( n 2k) (n k)( n 2k)(n 3k)
【例6】
计算： 3 3 3
1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20
“ 1 1 1 1 、“ 1 1 、
(- ) (—)... ...(- )
1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20
1 1
1 2 3 18 19 20
1139
6840
【例7】计算:
1 + 3 + 上 + 29 + 37 + 竺 + 兰 + 里 + 2
7 8 36 56 63 72 77 84 88
【分析与解】解答此题时，我们应将分数分成两类来看，一类是把
29
56
37
63
4j
72
这四个分
77
/ 58 58 59 + — ） + —
59
60
60
【分析与解】先将题目中分母相同的分数结合在一起相加，再利用乘法分配律进行简便计算。
一 .. 1 3 4 1 1 3 1 4 1 4 / 1 6 ,3
1、 原式=—+ — + (-■ — —
) + + -) + ( 十 -) 十 十—) 十(
— 十 )十(
)
7 8 9 4 7 8 7 9 8 9 7
11 7 12
/ 1 1、
+
- --- )
8 11
1
3 4 1
1
3
1
4 1
4
1
6
3
1
1
1 =—+ — +
+
+
+
+
+
十
十
十—
十_
十一
7 8 9 4
7
8 7 9 8 9 7 11 7 12 8 11
/ 1 1 1
1
3
/ 3 3 1 1、
4 4、
6 1
/ 1 =(-
-+ 一 + 一 +
+
)+ (-
十一十一十一）
十
(- 十一 十一）
+ (
)—
(— 7
7 7
7
7
8
8 8 8
9
9 9
11 11
12
数，可以拆成是两个分数的和。另一类是把
后再根据题目中的相关分数合并。 7 29 3
—、29、—这三个分数，可以拆成是两个分数的差，然
36 84 88 + 1)
4 =311
1 1 1
2 2 2 【例8】计算： （1十 十 -十… ••+ )十( 十 十.••+ —
2 3 60 3 4 60 =1 + 1 +
+ 3 1
1
3 + ( 3 4
2 3
3 4 4 4
2
3 58 59、
— 十 十. ■ • + 十
)
60 60
60
60
=1 + 1 十1 x (1 2) 2
1 (1 十丄x ' 3) 3
2 3 2 4 2
1 2 3 4
59
=1 +
十一十 十—+ • ••…十
2 2 2 2 2
/ 1 2
3 4、 / 1 5
1 十一十
十
)+
(- 十… •+ 一 )十… •十十
5 5
5
5
6
6
60
十 1 x (1
4)
4
十••…
• + 丄 x (1
59) 59
5
2
60
2
原式=1+ 1 +( 1
+ - ) + ( 1
+ - + - ) +