逻辑函数及其描述方法
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第2章 逻辑代数基础
0-1率A· 1=1
A B
冗余律： AB A C BC AB A C
证明： AB A C BC
AB A C ( A A) BC
AB A C ABC A BC
互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1
AB(1 C) A C(1 B)
1、并项法
利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。 运用分配律 变并 相 和 包 量成 同 反 含 Y1 ABC A BC BC ( A A ) BC BC 的一 时 变 同 若 因项 ， 量 一 两 BC BC B(C C ) B 子， 则 ， 个 个 。并 这 而 因 乘 运用分配律 消两其子积 去项他的项 Y2 ABC AB AC ABC A( B C ) 互可因原中 ABC ABC A( BC BC) A 为以子变分 反合都量别 运用摩根定律
（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式 中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么 所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规 则称为反演规则。例如：
Y AB CD E
Y A B C D E
A A B A 吸收率： A ( A B) A
A ( A B) A B A A B A B
证明： A A B ( A A)(A B)
分配率 A+BC=(A+B)(A+C)
1 ( A B)
互补率A+A=1
A B
冗余律： AB A C BC AB A C
证明： AB A C BC
AB A C ( A A) BC
AB A C ABC A BC
互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1
AB(1 C) A C(1 B)
1、并项法
利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。 运用分配律 变并 相 和 包 量成 同 反 含 Y1 ABC A BC BC ( A A ) BC BC 的一 时 变 同 若 因项 ， 量 一 两 BC BC B(C C ) B 子， 则 ， 个 个 。并 这 而 因 乘 运用分配律 消两其子积 去项他的项 Y2 ABC AB AC ABC A( B C ) 互可因原中 ABC ABC A( BC BC) A 为以子变分 反合都量别 运用摩根定律
（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式 中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么 所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规 则称为反演规则。例如：
Y AB CD E
Y A B C D E
A A B A 吸收率： A ( A B) A
A ( A B) A B A A B A B
证明： A A B ( A A)(A B)
分配率 A+BC=(A+B)(A+C)
1 ( A B)
互补率A+A=1
逻辑函数及其表示方法
C 0 1 0 1 0 1 0 1
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Y 0 0 0 1 0 1 1 1
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输出变量Y
为1表示通过， 为0表示没通过。
第四节 逻辑函数及其表示方法
2.逻辑函数式
三人表决电路真值表
把输入与输出之间的逻辑关系
A B 0 0 写成与、或、非等运算的组合式， 0 0 就得到了逻辑函数式。 0 1 0 1 根据电路功能的要求和与、或的逻辑定义， 1 0 三人表决电路的逻辑函数式为： 1 0 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5 6 7
上页
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
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第四节 逻辑函数及其入变量的任何取值下必有一个最大项，
而且仅有一个最大项的值为0。 2. 全体最大项之积为0。 3. 任意两个最大项的和为1。 4. 只有一个变量不同的两个最大项的乘积， 等于各相同变量之和。
2.最大项
定义：在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和， 而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在M中 出现一次， 则称M 为该组变量的最大项。
n变量的最大项应为2n个。
输入变量的每一组取值， 都使一个对应的最大项的值等于0。
上页
19
下页
返回
第四节 逻辑函数及其表示方法
三变量最大项的编号表
最大项
使最大项为0的变量取值
上页
8
Y
下页
返回
第四节 逻辑函数及其表示方法
4.各种表示方法间的互相转换
从真值表写出逻辑函数式
一般方法：
（1）找出真值表中使逻辑函数为1的那些输入变量 取值的组合。
（2）每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，
其中取值为 1 的写入原变量，
6.逻辑函数及其表示方法
2.6.2
逻辑函数的表示方法
逻辑函数的表示方式有： （1）逻辑函数表达式 （2）真值表 （3）逻辑图 （4）波形图 （5）卡诺图
2.6.2
逻辑函数的表示方法
（1）逻辑函数表达式：把输出与输入之间的 逻辑关系写成或、与、非等运算的组合式 即逻辑代数式，就得到了所需的逻辑函数 式。 例如：
写出图示电路的逻辑函数式。
【例】求函数的最简与—或表达式。
F(A, B, C, D) (A D)(B D)(A B)
2.5.5
逻辑函数化简中的若干问题
1．具有无关最小项的逻辑函数的化简问题 （1）约束、约束项和约束条件。 （2）具有无关最小项的逻辑函数的表示方法 （3）具有无关最小项的逻辑函数的化简。
2．具有多个输出逻辑函数的化简问题
（2）标准与—或表达式：由最小项相或构成 的逻辑表达式称为标准与—或表达式，也 叫最小项之和的标准式。 举例说明：
2）逻辑函数的化简：
（1）化简的意义： （a）表达式越简单，它所表示的逻辑关系越明 显。 （b）可以用最少的逻辑门电路来实现这个逻辑 函数，能提高可靠性。 （2）最简的概念： （a）在与—或逻辑式中所包含的乘积项最少； （b）每个乘积项中所包含的因子的个数最少。
2．用卡诺图表示逻辑函数
（1）若逻辑函数的表达式为最小项之和的标准式， 则只要在卡诺图上将最小项对应的小方格标以1 （简称1方格），把剩余的小方格标以0（简称0方 格）即可。 （2）逻辑函数若由真值表给出，则直接根据真值表 在卡诺图中填写，函数值为1的填1，为0的填0 （可省略）。 （3）如给出的是一般逻辑函数表达式，首先将逻辑 函数表达式转换成与或表达式（不必换成最小项 之和形式），然后在卡诺图中把每一个乘积项所 包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的 公因子）处填1，然后叠加起来，而剩下的填0 （可省略）。
逻辑函数及其表示方法(案例分析)
逻辑函数及其表示方法(案例分析)表示一个逻辑函数有多种方法，常用的有：真值表、逻辑函数式、逻辑图等3种。
它们各有特点，有相互联系，还可以相互转换，现介绍如下：1.真值表 真值表时根据给定的逻辑问题，把输入逻辑变量各种可能取值的组合和对应的输出函数值排列成的表格。
它表示了逻辑函数与逻辑变量各种取值之间的一一对应关系。
逻辑函数的真值表具有唯一性。
若两个逻辑函数具有相同的真值表，则两个逻辑函数必然相等。
当逻辑函数有n 个变量时，共有2n 个不同变量取值组合。
在列真值表时，为避免遗漏，变脸取值的组合一般按n 位自然二进制数递增顺序列出。
用真值表表示逻辑函数的优点是直观、明了，可直接看成逻辑函数值和变量取值的关系。
例： 试列出逻辑函数B A AB Y +=的真值表。
解：该逻辑函数有2个输入变量，就有22=4种取值。
把输入变量A 、B 的每种取值情况分别代入B A AB Y +=中，进行逻辑运算，求出逻辑函数值，列入表中，就得到Y 的真值表。
表 1 Y=AB+AB 的真值表2.逻辑函数式 逻辑函数式时用与、或、非等 逻辑运算来表示输入变量和输出函数间因果关系的逻辑函数式。
由真值表直接写出的逻辑式是标准的与-或表达式。
写标准与-或表达式的方法是：(1)把任意一组变量取值中的1代以原变量，0代以反变量，由此得到一组变量的与组合，如A 、B 、C 三个变量的取值为001，则代换后得到变量与组合为C B A 。
(2)把逻辑函数值为1所对应的各变量的与组合进行逻辑加，便得到标准的与-或逻辑式。
3.逻辑图逻辑图是用基本逻辑门和符合逻辑门的逻辑符号组成的对应于某一逻辑功能的电路图。
根据逻辑函数式画逻辑图时，只要把逻辑函数式中各逻辑运算用对应门电路的逻辑符号代替，可以画出和逻辑函数对应的逻辑图。
逻辑函数的表示方法实验ppt
诺图。
步骤
将逻辑函数的所有输入变量在 卡诺图上表示出来，根据函数 定义填入相应的函数值。
优点
对于具有相同最小项的逻辑函 数，卡诺图法可以简化表示。
缺点
对于输入变量数目较多的逻辑 函数，卡诺图法表示的图形较
复杂，使用不便。
PART 03
实验步骤
REPORTING
WENKU DESIGN
准备实验材料和工具
对未来实验的展望
• 加强与其他学科的交叉融合，如数学、计算机科 学等。
对未来实验的展望
实验意义
通过逻辑函数的表示方法实验，有助于提高同学们的逻辑思维和问题解决 能力。
该实验可以为后续课程的学习打下坚实的基础，如数字电路、计算机组成 原理等。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
逻辑函数的表示方法 实验
https://
REPORTING
• 实验目的 • 实验内容 • 实验步骤 • 实验结果与讨论 • 实验总结与展望
目录
PART 01
实验目的
REPORTING
WENKU DESIGN
理解逻辑函数的概念
逻辑函数是描述逻辑关系的数学函数， 通常用于描述电子电路中的输入与输 出之间的逻辑关系。
输入实验数据并观察结果
根据逻辑函数的要求，设定输入设备 的状态，观察输出设备的状态变化。
记录实验数据，包括输入状态、输出 状态以及逻辑门电路的输入和输出电 压值。
分析实验数据并得出结论
根据实验数据，分析逻辑门电路的输入和输出关系，验证逻辑函数的正确性。
总结实验结果，得出结论，并撰写实验报告。
PART 04
逻辑图
逻辑图是用图形方式表示逻辑函 数的一种方法，通过逻辑门电路 实现输入与输出的逻辑关系。
步骤
将逻辑函数的所有输入变量在 卡诺图上表示出来，根据函数 定义填入相应的函数值。
优点
对于具有相同最小项的逻辑函 数，卡诺图法可以简化表示。
缺点
对于输入变量数目较多的逻辑 函数，卡诺图法表示的图形较
复杂，使用不便。
PART 03
实验步骤
REPORTING
WENKU DESIGN
准备实验材料和工具
对未来实验的展望
• 加强与其他学科的交叉融合，如数学、计算机科 学等。
对未来实验的展望
实验意义
通过逻辑函数的表示方法实验，有助于提高同学们的逻辑思维和问题解决 能力。
该实验可以为后续课程的学习打下坚实的基础，如数字电路、计算机组成 原理等。
THANKS
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逻辑函数的表示方法 实验
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• 实验目的 • 实验内容 • 实验步骤 • 实验结果与讨论 • 实验总结与展望
目录
PART 01
实验目的
REPORTING
WENKU DESIGN
理解逻辑函数的概念
逻辑函数是描述逻辑关系的数学函数， 通常用于描述电子电路中的输入与输 出之间的逻辑关系。
输入实验数据并观察结果
根据逻辑函数的要求，设定输入设备 的状态，观察输出设备的状态变化。
记录实验数据，包括输入状态、输出 状态以及逻辑门电路的输入和输出电 压值。
分析实验数据并得出结论
根据实验数据，分析逻辑门电路的输入和输出关系，验证逻辑函数的正确性。
总结实验结果，得出结论，并撰写实验报告。
PART 04
逻辑图
逻辑图是用图形方式表示逻辑函 数的一种方法，通过逻辑门电路 实现输入与输出的逻辑关系。
2逻辑代数公式定理+3逻辑代数的基本定理+4逻辑函数及其描述方法
注：在二值逻辑中， 输入/输出都只有两种取值0/1。
2.5.2 逻辑函数的表示方法
• 真值表 • 逻辑式 • 逻辑图 • 波形图 • 卡诺图 • 计算机软件中的描述方式
• 各种表示方法之间可以相互转换
2.5.2 逻辑函数的表示方法
• 真值表
“或”真值表 A BL 0 00 0 11 1 01 1 11
5本继页续完
逻辑代数的基本公式和常用公式
一、基本公式 1.常量与变量间的运算规则： 或运算一定、律逻辑代数的基本定律 A+0=A；A+1=和1恒；等式 与运算定1律.常数间的运算定律 A•0=0；A •1=A；
令 A=0 和 1 ， 代入逻辑加法各 式,然后参考 “或”真值表和 “与”真值表可 以证明各式成立。
“与”2真.基值本表可 以证明定各律式和成立。
恒等式 表律详是2.3见根.摩1课，据例 根本基逻： 定P本辑2定加4 、 乘、非三律种基本
运算法则，推导 出的逻辑运算的 一些基本定律。
9本继页续完
逻辑代数公式定理及公式化简法
基本定律和恒等式的证明
摩根定律的证明
基本定律和恒等式的证明最 有效的方法是检验等式左边的 函数与右边函数的真值表是否 吻合。
逻辑代数的基本公式和常用公式
一、基本公式 4.摩根定律 例：摩根定律(反演律)
(A·B·C···)’=A’+B’+C’+···
(A+B+C+···)’=A’·B’·C’····
利用摩根定律可以把“与”运算变 换为“或”运算，也可以把“或”运 算变换为“与”运算，其逻辑结果不 变。
令 A=0 和 1 ， 代入逻辑加法各 式,然后参考 “或”真值表和
2.5.2 逻辑函数的表示方法
• 真值表 • 逻辑式 • 逻辑图 • 波形图 • 卡诺图 • 计算机软件中的描述方式
• 各种表示方法之间可以相互转换
2.5.2 逻辑函数的表示方法
• 真值表
“或”真值表 A BL 0 00 0 11 1 01 1 11
5本继页续完
逻辑代数的基本公式和常用公式
一、基本公式 1.常量与变量间的运算规则： 或运算一定、律逻辑代数的基本定律 A+0=A；A+1=和1恒；等式 与运算定1律.常数间的运算定律 A•0=0；A •1=A；
令 A=0 和 1 ， 代入逻辑加法各 式,然后参考 “或”真值表和 “与”真值表可 以证明各式成立。
“与”2真.基值本表可 以证明定各律式和成立。
恒等式 表律详是2.3见根.摩1课，据例 根本基逻： 定P本辑2定加4 、 乘、非三律种基本
运算法则，推导 出的逻辑运算的 一些基本定律。
9本继页续完
逻辑代数公式定理及公式化简法
基本定律和恒等式的证明
摩根定律的证明
基本定律和恒等式的证明最 有效的方法是检验等式左边的 函数与右边函数的真值表是否 吻合。
逻辑代数的基本公式和常用公式
一、基本公式 4.摩根定律 例：摩根定律(反演律)
(A·B·C···)’=A’+B’+C’+···
(A+B+C+···)’=A’·B’·C’····
利用摩根定律可以把“与”运算变 换为“或”运算，也可以把“或”运 算变换为“与”运算，其逻辑结果不 变。
令 A=0 和 1 ， 代入逻辑加法各 式,然后参考 “或”真值表和
第1章 逻辑代数基础
5、三个重要运算规则
①代入规则：任何一个含有变量 A 的等式，如果将所有出现 A 的位置都用
同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。 例如，已知等式 AB A B ，用函数 Y=AC 代替等式中的 A，
根据代入规则，等式仍然成立，即有：
( AC) B AC B A B C
A
E
B Y
4
第1章 逻辑代数基础---三种基本运算
功能归纳：
真值表：
开关 A 开关 B 断开 断开 闭合 闭合 断开 闭合 断开 闭合
灯Y 灭 灭 灭 亮
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 0 0 0 1
将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如
上表格来描述与逻辑关系，这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列
的逻辑函数， 并记为：
F f ( A, B, C , )
3
第1章 逻辑代数基础---三种基本运算
②三种基本运算
a.与逻辑（与运算）
定义:仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足 时，事件（Y）才能发生。表达式为：
Y=A· C· B· …=ABC…
描述:开关A，B串联控制灯泡Y
法进行描述。每种方法各具特点，可以相互转换。 ①真值表
将输入变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。
真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2n种不 同的取值，将这2n种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起
来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。
原式左边
AB A C ( A A ) BC
①代入规则：任何一个含有变量 A 的等式，如果将所有出现 A 的位置都用
同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。 例如，已知等式 AB A B ，用函数 Y=AC 代替等式中的 A，
根据代入规则，等式仍然成立，即有：
( AC) B AC B A B C
A
E
B Y
4
第1章 逻辑代数基础---三种基本运算
功能归纳：
真值表：
开关 A 开关 B 断开 断开 闭合 闭合 断开 闭合 断开 闭合
灯Y 灭 灭 灭 亮
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 0 0 0 1
将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如
上表格来描述与逻辑关系，这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列
的逻辑函数， 并记为：
F f ( A, B, C , )
3
第1章 逻辑代数基础---三种基本运算
②三种基本运算
a.与逻辑（与运算）
定义:仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足 时，事件（Y）才能发生。表达式为：
Y=A· C· B· …=ABC…
描述:开关A，B串联控制灯泡Y
法进行描述。每种方法各具特点，可以相互转换。 ①真值表
将输入变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。
真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2n种不 同的取值，将这2n种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起
来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。
原式左边
AB A C ( A A ) BC
2.3-2.5 逻辑代数的公式、定理、表示方法
0 1 2 3 4 5 6 7
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
④ 具有相邻性的两个最小项之和可以合 ① 在输入变量的任何取值下有一个最小 ③ 任意两个最小项的乘积为0。 ② 全体最小项和为1。 并成一项并消去一对因子。 项，而且仅有一个最小项的值为1。
二、最大项
在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之 和，而且这n个变量均以原变量或反变 量的形式在M中出现一次，则称M为该 组变量的最大项。
？
思考： 2 个。 n个变量的最小项有多少个？
n
三变量（A、B、C）最小项的编号表：
相 邻
A' B ' C ' A' B ' C A' BC ' A' BC AB' C ' AB' C ABC' ABC
相 邻
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
证明： A A' B ( A A' )( A B)
A B
两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一 项的因子，则此因子是多余的，可以消去。
(23) AB AB' A
当两个乘积项相加时，若它们分别包含B和B’ 两个因子而其他因子相同，则两项定能合并，且 可将B和B’消去。
(24) A( A B) A
小结： 掌握逻辑代数的基本公式和常用公式。
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理
在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外
一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成 立。
例如，已知 ( A B) A B (反演律)，若用B+C代替 等式中的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即
逻辑函数的表示及其简化方法
☞ 本小节作业
请写出三人表决逻辑问题的真值表
授课提纲
1．逻辑函数的表现形式 2．逻辑函数的运算规则 3．逻辑函数的最小项表达式
4．最简逻辑函数 5．复杂逻辑函数的化简
逻辑函数的运算规则---基本原则
为方便逻辑函数表达式的电路实现，可 逻辑运算的3个基本规则如下： 对逻辑函数进行适当的变换处理 代入规则、反演规则、对偶规则 可运用逻辑运算的基本公式、常用公式进 行处理
逻辑函数的最小项表达式--相关定义
逻辑函数的最小项表达式是逻辑函数的 逻辑函数可以用代数表达式来表示， 标准形式，表示形式是唯一的 但表示形式不是唯一的 逻辑函数的最小项，就是将函数的所有变 量组成一与项，与项中函数的所有变量以原 变量或反变量的形式仅出现一次
逻辑函数的最小项表达式是由最小项组成 的与或表达式，可通过最小项的含义来理解
逻辑函数有真值表、表达式、逻辑电 路图等多种表现形式
逻辑函数的表现形式--3种表现形式
逻辑函数有真值表、表达式、逻辑电 路图等多种表现形式
其中，真值表表现方法唯一 逻辑函数的3种表现形式如上 当然，它们均描述了相同的逻辑功能 表达式与电路图之间具有一一对应关系
逻辑函数的表现形式--3种表现形式
逻辑函数有真值表、表达式、逻辑电 路图等多种表现形式
授课提纲
1．逻辑函数的表现形式 2．逻辑函数的运算规则
3．逻辑函数的最小项表达式
4．最简数的表现形式--逻辑函数的定义
某逻辑网络的输入逻辑变量为A1， A2 ...... An，输出逻辑变量为F，当A1， A2 ...... An的取值确定后，F的值就唯一被 确定下来，则称F是A1，A2 ...... An的逻辑 函数，记为F＝ f（A1，A2 ...... An)
逻辑函数的5种表示方法
逻辑函数的5种表示方法
日新月异的互联网技术已经在各个领域进行技术发掘，现在尤为流行的逻辑函
数主要用于表达或实现各种类型的算法运算，它是由一系列符号所组成的复杂数学表达式，而它有5种表示方法，具体描述如下：
首先是以短语形式表达。
它通过一系列表述性词语以及冒号、否定词等标识符，组合成一系列流畅的句子，更好地反映想刻画的意图，使用自然语言模型可以有效地体现逻辑函数的属性。
其次是以图形表达。
它的特点是采用的是图形化的表达方式，各种抽象语法可
以用箭头表示，将复杂的逻辑计算结构用直观的表示方式直接展示出来，以便更好地理解算法过程。
第三是以表格表达，此方法主要使用表格来表示逻辑函数，使得其表达形式结
构清晰，方便实现的逻辑性表达东西。
再者是以推理表达。
推理表达方式将复杂的逻辑关系表达成一系列的逻辑级联
断言，可以找到各种逻辑性的推理规律，来指导思维的抽象与洞察力。
最后是以算法表达。
与其他方式不同的是，算法表达通过将表达式转化为算法
语言，使得问题有知识处理机器来处理。
从上可见，逻辑函数有多种不同的表达方式，它们经过不断丰富发展，是互联
网技术发展起来的有力基石，让我们可以很方便的表达出各种复杂的算法和抽象的概念，让我们更加深入地洞察网络技术的发展趋势。
第三章逻辑函数及其化简
AB C ABC ABC
Y ( A, B, C ) m3 m6 m7 或： m (3,6,7)
最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小项 的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那 一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进 制数，就是该最小项的编号。
三变量最小项的编号表
2、最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的 形式——标准与或表达式。而且这种形式是唯一的， 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例13 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。 解： Y AB BC AB (C C ) ( A A) BC
或：
Y AB AB A
代入规则
2、吸收法 利用公式A+AB=A进行化简，消去多余项。 例6 化简函数 解：
Y A B A B CD( E F )
Y A B A B CD( E F ) AB
例7 化简函数
Y ABD C D ABC D( E F EF )
第四节
逻辑函数的卡诺图化简法
用代数法化简逻辑函数，需要依赖经验和技巧，有 些复杂函数还不容易求得最简形式。下面介绍的卡 诺图化简法，是一种更加系统并有统一规则可循的 逻辑函数化简法。 一、最小项及最小项表达式 1、最小项 设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变 量按以下规则构成乘积项： ①每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是 它的一个因子； ②每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、 B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。
归纳简化任意逻辑函数的方法：
(1) A AB A （吸收法） AB AC BC AB AC (2) A AB A B （消去法） （3）AB AB A （并项法） （4）A A A A A 1 （配项法）
2.2逻辑函数及其描述方法
∏
0
2n −1
( fi + M
i
)
东南大学信息科学与工程学院
2.2.7 非完全定义逻辑函数的描述 约束项和任意项的概念 交通灯状态表
R(红) 0 0 0 0 1 1 1 1 Y(黄) 0 0 1 1 0 0 1 1 G(绿) 0 1 0 1 0 1 0 1 Z 0 1 1 × 1 × 1 ×
东南大学信息科学与工程学院
东南大学信息科学与工程学院
三人表决器电路的真值表
A B C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 F 0 0 0 1 0 1 1 1
F = ABC + ABC + ABC + ABC
东南大学信息科学与工程学院
逻辑函数式→真值表 ： 将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑函数式求出函数 值，列成表 例：异或电路 F = AB+ AB 异或电路真值表
B1
& >=1
F = B8 + B4 B2 + B4 B1 B8 B4 + B8 B2 = 0
B4
F
&
B2
B8
东南大学信息科学与工程学院
B4 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
B2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
B1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 × × × × ×
1 × 东南大学信息科学与工程学院
非完全定义逻辑函数的实现 方法：加约束条件 加约束条件：Σd(10,11,12,13,14,15) = 0
数字电路逻辑函数以及简化
反之，由函数表达式也可以转换成真值表。
例2 列出下列函数的真值表：
L AB AB
解：该函数有两个变量，有4种取值的 可能组合，将他们按顺序排列起来即 得真值表。
3．逻辑图——逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。
例3 画出下列函数的逻辑图： L A B A B
B m12 m13 m 15 m14 ABCD ABCD ABCD ABCD A m8 m9 m11 m10 ABCD ABCD ABCD ABCD
CD
AB 00 01
11
10
00 0
1
3
2
01 4
5
7
6
11 12 13 15 14
10 8
9
11 10
D
(a)
(b)
仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性：
如例4。
2.2 逻辑函数的简化
2.2.1 逻辑函数的代数简化法
1．逻辑函数式的常见形式
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且 能互相转换。例如：
其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。
2．逻辑函数的最简“与—或表达式” 的标准
（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。 （2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“· ”号最少。
第二章 逻辑函数及其简化
2.1.1 基本逻辑函数
1．与运算
与逻辑举例： 设1表示开关闭合或灯亮； 0表示开关不 闭合或灯不亮， 则得真值表。
若用逻辑表达式 来描述，则可写为
L A B
与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情 才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。
例2 列出下列函数的真值表：
L AB AB
解：该函数有两个变量，有4种取值的 可能组合，将他们按顺序排列起来即 得真值表。
3．逻辑图——逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。
例3 画出下列函数的逻辑图： L A B A B
B m12 m13 m 15 m14 ABCD ABCD ABCD ABCD A m8 m9 m11 m10 ABCD ABCD ABCD ABCD
CD
AB 00 01
11
10
00 0
1
3
2
01 4
5
7
6
11 12 13 15 14
10 8
9
11 10
D
(a)
(b)
仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性：
如例4。
2.2 逻辑函数的简化
2.2.1 逻辑函数的代数简化法
1．逻辑函数式的常见形式
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且 能互相转换。例如：
其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。
2．逻辑函数的最简“与—或表达式” 的标准
（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。 （2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“· ”号最少。
第二章 逻辑函数及其简化
2.1.1 基本逻辑函数
1．与运算
与逻辑举例： 设1表示开关闭合或灯亮； 0表示开关不 闭合或灯不亮， 则得真值表。
若用逻辑表达式 来描述，则可写为
L A B
与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情 才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。
第17讲 逻辑函数及其表示方法
Ｃ.逻辑符号：
３.
复合逻辑运算
输入相异， 输入相异，输出为高
Ｂ.逻辑表达式：
（3）异或
Ａ.真值表
L = A⊕ B = A⋅B + A⋅B
Ｃ.逻辑符号：
（4）同或
Ａ.真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1
输入相同， 输入相同，输出为高
Ｂ.逻辑表达式： L
1 0 0 1
L=A⊙ L=A⊙B= A ⋅ B + A ⋅ B
逻辑1 逻辑1
逻辑0
逻辑0
逻辑0
采用正逻辑的数字电压信号
复习： 复习： 数
制
一、几种常用的计数体制
1.十进制(Decimal) 1.十进制(Decimal) 2.二进制(Binary) 2.二进制(Binary) 3.十六进制(Hexadecimal)与八进制（Octal） 3.十六进制(Hexadecimal)与八进制（Octal）
对偶规则的基本内容是： 对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式 相等，那么它们的对偶式也一定相等。 相等，那么它们的对偶式也一定相等。基本公式中的 公式l和公式 就互为对偶式 公式 和公式2就互为对偶式。 和公式 就互为对偶式。 如:
3 .反演定理 反演定理
将一个逻辑函数Y进行下列变换： 将一个逻辑函数 进行下列变换： 进行下列变换 →＋，＋ → ； → 0 → 1，1 → 0 ，
二、不同数制之间的相互转换
例1.1
将二进制数10011.101转换成十进制数。 将二进制数10011.101转换成十进制数。 10011.101转换成十进制数
解：将每一位二进制数乘以位权，然后相加，可得 将每一位二进制数乘以位权， (10011.101)B ＝1×24 ＋0×23 ＋0×22 ＋1×21 ＋1×20 ＋1×2－1 ＋0×2－2 ＋1×2－3 ＝（19.625) ＝（19.625)D
4逻辑函数及其表示方法
Y AB AB
二、逻辑函数的表示方法
设某一逻辑网络的输入逻辑变量为A1、 A2、…、An，输出逻辑变量为F。若A1、 A2、…、An的值被确定后，F的值就唯一 地被确定下来，则F和A1、A2、…、An之 间存在的因果关系称为逻辑关系。一个确 定的逻辑关系通常可以采用以下几种表示 方法：
逻辑式
取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。 (3)将这些与项相加即得逻辑式。
例如
A
B
C
Y
0 0
0 0
0 1
1 0
逻辑式为
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
ABC
1
1
0
0
1
1
1
1
3. 逻辑图 例如
由逻辑符号及相应连线构成的电路图。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
画
的逻辑图
反变量用非门实现
相加项用或门实现
与项用与门实现
运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。
( A B)(A B)C AB
ABC ABC AB
F(A, B,C) ABC ABC AB(C C)
ABC ABC ABC ABC
m3 m5 m7 m6 m(3,5,6,7)
二、最大项的定义和性质
1、定义：
在逻辑函数中，如果一个或项包含该逻辑函数的全部变量 且每个变量在该或项（和项）中 (以原变量或反变量）只 出现一次。这样的乘积项称为这 n 个变量的最大项，也称 为 n 变量逻辑函数的最大项。
在同一逻辑关系的各种表示方法中，真值表、卡诺图、 时序图具有唯一性，而逻辑函数表达式和逻辑图则具有多 样性。通常检查两个逻辑关系是否“相等”的办法是看他 们的真值表是否完全相同。
逻辑函数的基本概念和表示方法
逻辑函数的基本概念和表示方法一、基本概念1. 逻辑函数：逻辑函数也被称为逻辑电路或逻辑代数，是一种用于表示和处理逻辑关系的数学系统。
它适用于描述和处理诸如开关状态、控制信号、判断结果等逻辑关系。
2. 逻辑变量：逻辑变量是逻辑函数的基本元素，通常用真假两种状态或0和1两种符号表示。
常见的逻辑变量包括基本逻辑门（如与门、或门、非门等）的输出。
3. 逻辑状态：逻辑状态是描述逻辑变量在特定条件下所处的一种状态或条件。
它可以是确定性的（如某个输入为高电平），也可以是不确定性的（如某个输入存在高电平和低电平的转换）。
二、表示方法1. 真值表：真值表是一种直观的表格形式，用于表示逻辑函数的所有可能输入和输出组合。
通过真值表，可以明确逻辑函数在所有可能输入下的输出结果，进而了解其逻辑关系。
2. 逻辑函数表达式：逻辑函数表达式是以代数方式表示逻辑函数的方式，通常采用逻辑运算符（如与、或、非）和变量符号进行表达。
通过逻辑函数表达式，可以明确逻辑函数的逻辑关系，并进行计算和分析。
3. 逻辑图：逻辑图是一种图形化的表示方式，通过使用基本逻辑门（如与门、或门、非门等）的图形符号，表示逻辑函数的输入、输出以及内部逻辑关系。
逻辑图便于理解和分析复杂逻辑系统的结构。
4. 卡诺图：卡诺图是一种用于分析和简化逻辑函数的图形工具。
它以逻辑变量的所有可能组合的形式，表示逻辑函数的约束条件。
通过卡诺图分析逻辑函数，可以简化逻辑表达式，并确定满足约束条件的所有可能输出组合。
总结：逻辑函数是用于表示和处理逻辑关系的数学系统，通过真值表、逻辑函数表达式、逻辑图和卡诺图等表示方法，可以明确逻辑关系、进行计算和分析、理解和分析复杂逻辑系统的结构。
在实际应用中，根据需要选择合适的表示方法，有助于更好地理解和应用逻辑函数。
1. 在分析和设计逻辑电路时，应结合实际情况选择合适的表示方法，以便更好地描述和处理逻辑关系。
2. 真值表适用于简单逻辑函数的直观表达，对于复杂逻辑函数，使用逻辑函数表达式和逻辑图更为方便。
逻辑函数的表示方法及相互转换
自变量 因变量
ABC
F
2)从真值表写标准和之积式A+B+C 0 0 0 0
A+B+C
001
0
找出F = 0的行；
A+B+C
编号
M7 M6 M5 M4 M3 M2 M1 M0
３. 最小项与最大项的性质
全部最小项之和恒为1，全部最大项之积恒
为0。
2n 1
mi 1,
i0
2n 1
Mi 0
i0
任意两个不同的最小项之积恒为0，任意两
个不同的最大项之和恒为1。
mi·mj =0， Mi+Mj=1 相同下标的最小项和最大项互为反函数。
逻辑函数的表示方法 及相互转换
一、逻辑函数的表示方法 真值表描述法 逻辑函数式描述法 逻辑电路图表示法 卡诺图描述法、波形图表示
逻辑函数的描述方法
《数字电子技术基础》第六版
• 真值表 • 逻辑式 • 逻辑图 • 波形图 • 卡诺图 • 计算机软件中的描述方式
各种表示方法之间可以相互转换
《数字电子技术基础》第六版
即：和项都是最大项的或与式。
例：F(A,B,C)
=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)
=M1M2M4M6
最大项表达式
=M(1,2,4,6)
５ 标准积之和式与标准和之积式的关系
同一函数的两种不同表示形式； 序号间存在一种互补关系，即：
最小项表达式中未出现的最小项的下标必然出现在最 大项表达式中，反之亦然。
相同自变量、相同序号构成的最小项表 达式和最大项表达式互为反函数
逻辑电路图、真值表与逻辑函数间的关系
总结
1、逻辑运算 2、逻辑函数及其描述 3、逻辑代数的运算法则 4、逻辑函数的表达式及相互转换 5、逻辑函数的标准形式（最小项） 6、代数化简法 7、卡诺图化简法
1状态组合按二进制数填写 到真值表的左边一栏； 然后将每一行的变量值代
A BY
00 0 01 1
入逻辑表达式，算出输出逻 1 0 1
辑值，记入右边一栏中。
11 0
2.3 逻辑函数及其表示方法
2.由真值表写出逻辑表达式 三变量真值表
(1) 在真值表上找出输出为1的行； A B C Y (2) 将这一行中所有自变量写成 0 0 0 0
逻辑函数, 真值表与逻辑电路 之间的关系
2020年1月30日
2.3 逻辑函数及其表示方法
逻辑函数及其表示方法
一. 逻辑函数(Logic Functions) 普通代数中的函数： Y=A×B+C
因变量
自变量
逻辑代数中的函数： Y=AB+C
输出变量
输入变量
2.3 逻辑函数及其表示方法
逻辑函数的特点： 1.输入和输出之间是逻辑运算关系; 2.基本运算：与、或、非; 3.逻辑变量取值只能为0和1。
2.3 逻辑函数及其表示方法
4. 时序波形图
定义 ：由输入变量的所有可能取值组合的 高、低电平及其对应的输出函数值的高、低 电平所构成的图形。
A
A
& YB
B
Y
2.3 逻辑函数及其表示方法
三、 逻辑函数各种表示方法间的相互转换
1. 由逻辑表达式列出真值表
首先将n个变量的2n种0、 Y AB AB
4.由逻辑表达式画出逻辑电路图
P=ABC+BC
P
3-2 逻辑函数的描述方式
《数字电子技术基础》
第三讲 逻辑代数的基本概念和运算规则（上）
█ 真值表（truth table）
将输入变量所有的取值对应的输出值找出来，列成表 格，即可得真值表。列真值表时，需注意以下几点： （1）所有的输入的组合不可遗漏，也不可重复；输入 组合最好按二进制数递增的顺序排列（完整性）。 （2）同一逻辑函数的真值表具有唯一性。 （3）真值表还可作为判断两函数是否相等的依据。
第三讲 逻辑代数的基本概念和运算规则（上）
█ 各种描述方法相互转换示例
示例2：逻辑电路图 逻辑函数表达式 真值表
⎧S = A B + AB = A ⊕ B ⎨ ⎩CO = AB
输入 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 输出 S CO 0 1 1 0 0 0 0 1
《数字电子技术基础》
《数字电子技术基础》
第三讲 逻辑代数的基本概念和运算规则（上）
█ 波形图/时序图 (waveform / timing diagram)
指各个逻辑变量的逻辑值随时间变化的规律图。 例：试画出举重裁判电路的波形图。 A B C Y
《数字电子技术基础》
第三讲 逻辑代数的基本概念和运算规则（上）
█ 语言描述（description）
《数字电子技术基础》
第三讲 逻辑代数的基本概念和运算规则（上）
█ 逻辑表达式（logic function） 用与、或、非等逻辑运算表示逻辑关系的代 数式叫逻辑函数表达式或简称函数式。 例：
Y1 = AC + BC + B D + C D + A( B + C ) + ABC D + ABDE Y2 = A( A + B)( A + C )( B + D)( A + C + E + F ) ( B + F )( D + E + F ) Y3 = A BC + A B + AD + C + BD Y4 = ( A B + AB ⋅ C + A BC )( AD + BC )
第三讲 逻辑代数的基本概念和运算规则（上）
█ 真值表（truth table）
将输入变量所有的取值对应的输出值找出来，列成表 格，即可得真值表。列真值表时，需注意以下几点： （1）所有的输入的组合不可遗漏，也不可重复；输入 组合最好按二进制数递增的顺序排列（完整性）。 （2）同一逻辑函数的真值表具有唯一性。 （3）真值表还可作为判断两函数是否相等的依据。
第三讲 逻辑代数的基本概念和运算规则（上）
█ 各种描述方法相互转换示例
示例2：逻辑电路图 逻辑函数表达式 真值表
⎧S = A B + AB = A ⊕ B ⎨ ⎩CO = AB
输入 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 输出 S CO 0 1 1 0 0 0 0 1
《数字电子技术基础》
《数字电子技术基础》
第三讲 逻辑代数的基本概念和运算规则（上）
█ 波形图/时序图 (waveform / timing diagram)
指各个逻辑变量的逻辑值随时间变化的规律图。 例：试画出举重裁判电路的波形图。 A B C Y
《数字电子技术基础》
第三讲 逻辑代数的基本概念和运算规则（上）
█ 语言描述（description）
《数字电子技术基础》
第三讲 逻辑代数的基本概念和运算规则（上）
█ 逻辑表达式（logic function） 用与、或、非等逻辑运算表示逻辑关系的代 数式叫逻辑函数表达式或简称函数式。 例：
Y1 = AC + BC + B D + C D + A( B + C ) + ABC D + ABDE Y2 = A( A + B)( A + C )( B + D)( A + C + E + F ) ( B + F )( D + E + F ) Y3 = A BC + A B + AD + C + BD Y4 = ( A B + AB ⋅ C + A BC )( AD + BC )
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♦ 可以简写为:
F =}m(35&7)
2016/9/23
16
2.6逻辑函数及其描述方法一标准表达式
” 推广到•股情况,•个顔仃〔、」般小项；
♦ 每个最小项是n个变量构成的乘积项，每个变量在此与项中出现一
数字电路与系统
东南大学信息科学与工程学院
第二章逻辑函数及其简化
> 基本逻辑运算 > 常用复合逻辑运算 > 逻辑代数的基本定律 > 逻辑代数的基本规则 > 逻辑代数的常用公式 > 逻辑函数及其描述方法 > 逻辑函数的简化
2016/9/23
2
2.6逻辑函数及其描述方法
J 在:選仙代薮屮，任何対n个遷仙变卄X ], X 2,…，x n，心丁有欠位 辑运算的逻辑表达式，称为n变量的逻辑函数；简称函数，记作 F
函数是否相等；
♦还有一种表达式，是从真值表获得的，与项或者或项与真值表中 的函
数值——对应；
♦这种表达式称为标准表达式---最小项表达式或者最大项表达式；
2016/9/23
12
2.6逻辑函数及其描述方法-标准表达式
2.6.5最小项和标准与或表达式（最小项表达式）
♦由例题的真值表可以写出：
F = 0 . ABC + 0 - ABC + 0 - ABC + 1 - ABC + 0 - ABC + 1 - ABC + 1 - ABC + 1 - ABC =ABC + ABC + ABC + ABC
最小项符号 mo mi mz m3 rri4 ms
m7
函数F
fo
fi
ti
上
t-
f7
2016/9/23
15
2.6逻辑函数及其描述方法-标准表达式
•使用"、項符:E*図卄函数可以衣小•为
F = 0 - m0 + 0 • + 0 • m2 + 1 • m3 + 0 • m4 + 1 • m5 + 1 • m6 + 1 • m7 =m3 + m5 + m6 + m7
10
2.6逻辑函数及其描述方法-逻辑图
> 2.6.4逻辑图 __
♦每个逻辑表达式都可以用逻辑符号连接成逻辑图表示:
2016/9/23
11
2.6逻辑函数及其描述方法一逻辑图
♦真值表和卡诺图对于每个函数是唯一的，只要看其真值表或卡诺 图是
否相同就可以判断两个函数是否相等；
♦而逻辑表达式和逻辑图描述逻辑函数没有唯一性，难以直接判定 逻辑
= f（Xi，X2，…，Xn）；
例：举重比赛
♦有三名裁判，裁定规则是：当运动员将杠铃举起后，须有两名或 两名
以上裁判认可，判定试举成功；否则，判定试举失败；可以 用逻辑
函数来描述这一事件；
2016/9/23
3
2.6逻辑函数及其描述方法
,♦先足义函数变业"片用宁牛\、13、。分別代丿"名裁制的定义, 同意
♦该式系由真值表直接推出，因而也具有唯一性，故而称为逻辑 函数的
标准与-或表达式；
2.6逻辑函数及其描述方法-标准表达式
i山沱将以种由其f”丿习伯卩"|"丿項称为闲如「1勺」般小项
（.\lmtc", 并用符号叫表示；
♦ 其下标i就是真值表中对应行的坐标或者说卡诺图对应块的坐标的 二
进制值。
♦ 最小项是这样定义的：与项中包含了所有的逻辑变量，每一个逻 辑
(Sum of Product)表达式；
♦ 第四种称为或-与(OR-AND)表达式；或和之积(Product of Sum) 表达式； ♦ 最后一种称为与或非(AND-OR-NOT)表达式； ♦ 根据逻辑代数的公理和定理还可以将表达式转化成其它的表 达形式，
可见逻辑表达式不具有唯一性；
2016/9/23
2016/9/23
4
2.6逻辑函数及其描述方法-真值表
> 2.6.1真值表 每个逻辑函数都对应有一张真值表(Truth Table),真值表描述逻辑 函 数具有唯一性。对上例可以列出其真值表：
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2.6逻辑函数及其描述方法一卡诺图
> 2.6.2卡诺图
♦ 如果将函数自变量的组合(二进制数)看成是函数的坐标，则在真 值
♦卡诺图与真值表是一致的，只不过其函数坐标进行了变化，因此 也
具有唯一性；
♦卡诺图中的方格填对应的函数值，0或者1；也可以简化;
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2.6逻辑函数及其描述方法-逻辑表达式
1 2.6.3選申"(认弋
♦例题，用与项ABG弋表裁判A与裁判B都同意，裁判C不同意；
♦同理，用ABC和AEC表示另两种有两名裁判同意一名裁判不同 意
♦其中，与项AB代表“裁判A与裁判B都同意”
♦进一步简化成：
F = f(A, B, C) = AB + BC + AC
♦还可以写成：
F = (A + B)(B + C)(A + C) 和
F = AB + BC + AC
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2.6逻辑函数及其描述方法-逻辑表达式
♦ 前面三种表达式称为与-或(AND-OR)表达式；或积之和
变量以原变量或者反变量的形式在与项中仅出现一次；
♦ 一个3变量函数共有23=8个最小项；
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2.6逻辑函数及其描述方法-标准表达式
变量坐标 000 00 1 010 011 100 101 110 111
最小项
ABC AB-C ABC AB-C A-BC A-B-C A-BC ABC
为1,否定为0;
♦定义函数，也就是事件：F为裁判结果，试举IjF与A、B、C之间的关系可以用函数F = f(A,B,C)表示； ♦函数的定义域和值域都只有0和1,是一种二值函数； ♦函数表达式为：F = f(A, B, C) =ABC + ABC + ABC + ABC
表中，坐标是按一维方式排列的；
♦ 如果将函数的坐标分成两组，并按水平和垂直两个方向排列， 就得
到诺图(Karnaugh Map)；
♦卡诺图的水平或者垂直坐标是按照循环码的规则排列的，这样， 在卡
诺图中，靠在一起的两个方格，其坐标编码是相邻的，可 以利用
卡诺图对逻辑函数进行化简；
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2.6逻辑函数及其描述方法-卡诺图
的情况；ABC表不三名裁判都同意；
♦这四种情况中的任何一种都可使得函数的结果为1;
♦所以该函数的逻辑表达式为：
F = f(A, B, C) = ABC + ABC + ABC + ABC
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2.6逻辑函数及其描述方法-逻辑表达式
♦简化成：
F = f(A, B, C) = AB + BC + AC + ABC