测量学_5测量误差分析与精度评定
测量学第5章测量误差的基本知识
之差称为真误差，用Δ 表示。设三角形内角和的观测值为li，真值为X，则
三角形的真误差可由下式求得
用式（5.1）算得358个三角形内角和的真误差，现将358个真误差按3″为一 区间，并按绝对值大小进行排列，按误差的正负号分别统计出在各区间的误
差个数k，并将k除以总个数n（本例n＝358）误差来看，其误差的出现在数
值大小和符号上没有规律性，但观察大量的偶然误差就会发现其存在着一定 的统计规律性，并且误差的个数越多这种规律性就越明显。下面以一个测量
实例来分析偶然误差的特性。
某测区在相同的观测条件下观测了358个三角形的内角，由于观测值存在误 差，故三角形内角之和不等于理论值180°（也称真值）。观测值与理论值
值（有界性）；
②绝对值较小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小（单峰性）； ③绝对值相等的正、负误差出现的概率大致相等（对称性）；
④当观测次数无限增加时，偶然误差算术平均值的极限为零（补偿性）。即
式中，“［］”为总和号，即
为了更直观地表达偶然误差的分布情况，还可以用图示形式描述误差分布， 图5.1就是按表5.1的数据绘制的。其中以横坐标表示误差正负与大小，纵坐
1)仪器及工具由于测量仪器制造和仪器校正不完善，都会使测量结果产生测
量误差。 2)观测者由于观测者的技术水平和感觉器官鉴别能力的限制，使得在安置仪
器、瞄准目标及读数等方面都会产生误差。
3)外界条件观测过程所处的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光照射等因 素会给观测结果造成影响，而且这些因素随时发生变化，必然会给观测值带
测量学讲稿第四章 测量误差及测量数据
第四章 测量误差及测量数据初步处理通过前几章的学习，我们会发现：水准测量中闭合路线的高差总和往往不等于零；用经纬仪观测同一水平角，上下半测回的角值不完全相同；同一段距离往返丈量的结果也不一定相等。
这些差异现象的存在，表明测量观测值中含有误差。
§4—1 测量误差及测量精度1，误差概念及误差来源1）观测对象的量是客观存在的，称为真值。
2）真误差：观测值为i l （n i ,,2,1 ），某观测值的真值为x ，则两者差数x l i i （n i ,,2,1 ） （4—1）称为真误差3）产生原因：人，仪器，外界条件。
这三者称为观测条件。
4）同精度观测：在相同的观测条件下进行的一组观测，得到的观测也应相同称为同精度观测。
2，误差分类及特征1，误差分类：根据观测误差对观测结果的影响性质，可将其分为系统误差和偶然误差： （1）系统误差系统误差是在一定的观测条件下作一系列观测时，误差符号和大小均保持不变，或按一定规律变化着的误差。
产生的原因：主要是使用的仪器和工具不够完善及外界条件改变所引起的。
如水准尺的1m 刻画与1m 真长不等，水准仪的视准轴与水准轴不平行，大气折光对测角的影响等。
系统误差对观测成果具有累积作用，应设法消除部分或全部的系统误差，方法有：1）在观测方法和程序上采取必要措施，如水准测量中的前后视距保持相等，分上下午进行往返观测，三角测量中正倒镜观测，盘左、盘右读数，分不同的时间段观测等；2）分别找出产生系统误差的原因，利用已有公式，对观测值进行改正，如对距离观测值进行必要的尺长改正、温度改正、地球曲率改正等。
（2）偶然误差偶然误差是在相同的观测条件下作一系列观测时，误差符号和大小都表现出随机性，即大小不等，符号不同，但统计分析的结果都具有一定的统计规律性。
偶然误差是：由于人的感觉器官和仪器的性能受到一定的限制，以及观测时受到外界条件的影响等原因造成的。
如仪器本身构造不完善而引起的误差，观测者的估读误差，照准目标时的照准误差等，不断变化的外界环境，温度、湿度的忽高忽低，风力的忽大忽小等，会使观测数据有时大于被观测值的真值，有时小于被观测值的真值。
测量学_5测量误差分析与精度评定
求三个组测量的加权平均值及其中误差。
解：
p1 2 p2 4 p3 6
p p
402420
m0
pvv 11
n 1
m m0
1
p
3
10:42
13
pi
c si
10:42
6
二、加权平均值和中误差 1.加权平均值原理
根据最小二乘准则，应使[pvv]=min。
( ) ( ) d[ pvv]
dx
2
p1
(x
L1)
2
p2
x L2
2 pn xLn
2[ p]x 2[ pL]
d 2[ pvv] 2[ p] 0 dx2
令 2[ p]x 2[ pL] 0,
（3）计算加权平均值中误差
单位权中误差 m0
Pvv 6.4(mm)
n 1
1
M hAB
m0
P 2.9(mm)
10:42
12
例4：在相同的观测条件下，对同一水平角分别进行 了三组观测。一组2个测回，二组4个测回，三组 6个测回。各组观测结果分别是：
1 402412 2 402418 3 402424
1 P2
P m02 m02
1 P
单位权中误差 m0
Pmm
n
m0
P
n
m0
Pvv
n 1
加权平均值中误差M x m0
1
P
pvv p(n 1)
10:42
8
例1：水准网中，各线路测站数如图所示。试 确定各线路所测高差的权。
解：取C=100，
n2=25
即100个测站的高差 为单位权观测值。
n1=40
第5章 误差基本知识
例如：
水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角 误差或交叉误差。
水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。
3
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。
3、外界条件
例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素 的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置 不稳定等。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
⑤ 随着 n 的增大，m 将趋近于σ 。
17
必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标 准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次 观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为
第一组： +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″； 第二组： 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.
2
n
lim
n
n
13
•
从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 • 2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之， △愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误 差的第一和第二特性。 • 3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐 点横坐标： △拐=± • 如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭， 即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差 分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特 征。
测量学-16版第5章课后题
第5章思考练习题1.什么是测量误差？产生测量误差的原因有哪些？答：在取得观测数据的过程中，由于受到多种因素的影响，在对同一对象进行多次观测时，每次的观测结果总是不完全一致或与预期目标(真值)不一致。
之所以会产生这种现象，是因为在观测结果中始终存在测量误差。
这种观测量之间的差值或观测值与真值之间的差值，称为测量误差(观测误差)。
引起测量误差的因素有很多，概括起来主要有以下三个方面：1.测量仪器的误差，2.观测者的误差，3.外界条件的误差。
2.有哪些因素组成了观测条件？观测结果的质量与这些因素有何联系？答：温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。
外界条件发生变化，观测成果将随之变化。
3.什么是系统误差？其特征如何？系统误差在实际工程测量中应该如何处理？答：在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，若误差的大小及符号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么这类误差称为系统误差。
在实际工程中常采用如下方法进行处理：（1）检校仪器，把系统误差降低到最小程度。
（2）加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数，如尺长改正等。
（3）采用适当的观测方法使系统误差相互抵消或减弱，如测水平角时采用盘左、盘右，先在每个测回的起始方向上改变度盘的配置等。
4.什么是偶然误差？偶然误差出现的原因是什么？在实际工程测量中能否消除偶然误差？答：在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，若误差的大小及符号都表现出偶然性，即从单个误差来看，该误差的大小及符号没有规律，但从大量误差的总体来看，又具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误差或随机误差。
偶然误差由多种因素综合影响产生的且无法控制，所以在实际工程测量中偶然误差总是存在，通过多次测量取平均值可以减小偶然误差。
但无法消除。
5.在相同的观测条件下，偶然误差有哪些特征？这些特征是否存在一定的规律性？答：通过大量的实验统计结果，可知偶然误差具有如下的特性。
(1) 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，即有界性。
测量学习题05 误差理论基础
习题五一、填空题1、真误差是指，其表达式为。
2、误差的来源有、、三个方面，按误差的性质不同，可分为和两种。
3、评定观测值精度主要采用、和。
4、用6″级经纬仪按测回法测量某一角度，欲使测角精度达到±5″，则测回数不得少于。
5、在等精度观测中，设观测值中误差为m，观测次数为n，则最可靠值的中误差为。
6、水准测量中，设一测站的高差观测中误差为±5mm，若1km有15个测站，则1km的高差中误差为。
7、误差传播定律是描绘和中误差关系的定律，它的表达式为。
8、在等精度观测平差中，最可靠值采用，其表达式为，在不等精度观测平差中，最可靠值采用，其表达式为。
9、在一组观测值中，单位权中误差为±3mm，某观测值的权为4，则该观测值中误差为。
二、简答题1、何为系统误差？它有什么特性？在测量工作中如何消除或削弱？2、何为偶然误差？偶然误差能否在测量工作中消除？它的统计特性有哪些？3、什么叫中误差？为什么中误差能够作为衡量精度的标准？在一组等精度观测中，中误差和真误差有何区别？4、试用偶然误差的特性来证明：在等精度观测中，算术平均值作为最可靠值。
5、设有Z1=X1+X2，Z2=2X3，若X1、X2、X3均独立，且中误差相等，问Z1、Z2的中误差是否相等，说明原因。
6、什么叫做权？它有什么含义？权与中误差之间的关系怎样？7、已知某正方形，若用钢尺丈量一条边，其中误差为m=±3mm，则正方形的周长中误差为多少？若用钢尺丈量4条边，则周长的中误差又是多少？试计算说明。
8、什么叫做权倒数传播定律？它描绘的是一种什么关系？它与误差传播定律有什么联系？三、选择题1、用水准仪观测时，若前、后视距不相等，此因素对高差的影响表现为（），在一条水准线路上的影响表现为（）A 、偶然误差，偶然误差B 、偶然误差，系统误差C 、系统误差，偶然误差D 、系统误差，系统误差2、当误差的大小与观测量的大小无关时，此时不能用（）来衡量精度A 、相对误差B 、中误差C 、绝对误差D 、容许误差（）3、用30 米长的钢尺丈量距离（该尺经过检验后其实长度为29.995m ），用此尺每量一整尺就有0.005m 的尺长误差，则这种误差属于A 、偶然误差，且符号为（-）B 、系统误差，且符号为（-）C 、偶然误差，且符号为（+ ）D 、系统误差，且符号为（+ ）4、由于测量人员的粗心大意，在观测、记录或计算时读错、记错、算错所造成的误差，称为（）A 、偶然误差B 、系统误差C 、相对误差D 、过失误差5、在相同条件下，对任何一个量进行重复观测，当观测次数增加到无限多时，偶然误差的算术平均值为零，这说明偶然误差具有A、对称性B、有界性 C 、大小性D、抵偿性6、中误差反映的是（）。
测绘工程技术专业学习教程中的重点知识点解析
测绘工程技术专业学习教程中的重点知识点解析测绘工程技术是一门致力于地理信息获取、处理与管理的学科，它在现代社会中起到了至关重要的作用。
在测绘工程技术的学习过程中，有一些重点知识点需要我们深入理解和掌握。
本文将对测绘工程技术专业学习教程中的重点知识点进行解析。
一、测绘基础知识1. 地理坐标系统地理坐标系统是进行地理位置标记和表达的一种方法。
常用的地理坐标系统有经纬度坐标系统和投影坐标系统。
其中，经纬度坐标系统以地球自转轴和赤道作为基准进行划分，用经度和纬度来表示地理位置；而投影坐标系统则是将地球的三维表面投影到一个二维平面上，以实现大规模地图的绘制和使用。
2. 测量误差与精度评定测量误差是指测量结果与真实值之间的差异。
在测绘工程技术中，测量误差的存在是不可避免的。
我们需要通过精度评定方法来判断测量结果的可靠程度。
精度评定通常包括精度限差、相对精度和绝对精度等指标。
3. 大地测量学大地测量学是研究地球形状、地球物理场以及地球上各种地理现象的科学。
在测绘工程技术中，我们需要通过大地测量学的理论和方法来实现精确的地理位置测量和定位。
二、工程测量与数据处理1. 基本测量方法工程测量是指在土地开发、建筑施工和工程管理等领域中，通过测量和分析得出相关数据和参数的过程。
常见的工程测量方法包括全站仪测量、电子测距仪测量和水准测量等。
2. 数据处理与地图绘制在进行工程测量过程中，我们需要对测量数据进行处理和分析，以得出准确的测量结果。
这些数据处理方法包括数据平差、观测平差和平差计算等。
同时，我们还需要使用专业软件进行地图绘制，以实现对地理信息的可视化展示。
三、遥感与地理信息系统1. 遥感技术原理与应用遥感技术是通过获取地球表面及其大气特征的电磁能量，并对其进行分析和解译，从而获取地球表面信息的一种技术手段。
在测绘工程技术中，我们利用遥感技术获取卫星影像，对地貌、植被、土地利用等地理信息进行研究和分析。
2. 地理信息系统基础地理信息系统（GIS）是一种用于存储、管理、分析和展示地理信息的计算机系统。
顾孝烈《测量学》(第4版)章节题库(含考研真题)测量误差基本知识【圣才出品】
第五章测量误差基本知识一、名词解释1．中误差[南京师范大学2011年]答：中误差是衡量观测精度的一种数字标准，又称“标准差”或“均方根差”，是指在相同观测条件下的一组真误差平方中数的平方根。
2．误差传播定律[东北大学2015年]答：误差传播定律是指反映观测值的中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律，它根据函数的形式把函数的中误差以一定的数学式表达出来。
3．偶然误差答：偶然误差是指在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性的误差。
4．系统误差答：系统误差是指在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，出现的符号和数值上相同，或按一定的规律变化的误差。
二、填空题1．精度的3个标准是，，。
【答案】中误差；相对误差；极限误差2．中误差作为极限误差。
【答案】2倍【解析】根据极限误差的定义，常把2倍中误差作为极限误差。
3．已知X=L1+L2，Y=（L1+L2）/2，Z=X·Y。
L1、L2中误差均为m，则X、Y、Z的中误差分别为，，。
【答案】m2；22m；22m4．某平面三角形中，观测了α、β两个内角，其测角中误差均为±6″，则此三角形第三个内角γ的中误差为。
【答案】±8.5″5．现有DJ6的经纬仪，用测回法观测一个角，要使测角中误差达到±6”，求至少要观测测回。
【答案】32【解析】该题考点是第五章误差理论，要理解6的含义，6指一测回方向观测的中误差，根据协方差传播率可求得测回数。
三、判断题1．广义算术平均值的权，不等于观测值权之和。
（）【答案】错误【解析】不等精度观测值的加权平均值计算公式可以写成线性函数的形式：，根据线性函数的误差传播公式，得：，按式，以（m为单位权中误差），得：。
按式，加权平均值的权即为观测值的权之和：。
2．当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观测高差的权与路线长度成正比。
（）【答案】错误【解析】“权”的原来意义为秤锤，用做“权衡轻重”之意。
测量学_5测量误差分析与精度评定
测量学_5测量误差分析与精度评定
测量误差是指测量结果与真值之间的差异。
测量误差可以分为系统误
差和随机误差两大类。
（1）系统误差：系统误差也叫偏差，是由于测量仪器的固有缺陷，
或者测量方法的局限性引起的误差。
系统误差是固定的，而且通常偏向一
个方向，可以通过校正和补偿来减小。
2.测量误差的分析
（2）误差计算：误差计算是通过统计学方法来确定误差大小的过程。
可以使用平均值、方差、标准差等统计指标来描述误差的大小。
3.精度评定
精度评定是对测量结果的准确性和可靠性进行评价的过程。
它可以根
据测量要求和实际情况选择不同的评定方法。
（1）精度等级：精度等级是根据测量结果和真值之间的差异来划分的。
根据不同的应用需求，可以选择不同的精度等级。
（2）精度指标：精度指标是用来描述测量结果的准确性和可靠性的
具体数值。
常用的精度指标包括绝对误差、相对误差、可信度、可靠度等。
（3）精度评估：精度评估是根据精度指标对测量结果进行判断和评
价的过程。
可以通过与规定标准进行比较，或者通过统计学方法进行评估。
总结：
测量误差分析和精度评定是测量学中十分重要的内容，可以帮助我们
了解测量结果的可靠性和准确性，并提出改进措施。
在进行测量时，在准
确性和可靠性方面要注意选择合适的测量方法和仪器，进行有效的误差分析和精度评定，提高测量的可靠性和准确性。
《测量学》第05章 测量误差的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
测量学 第五章 测量误差及测量平差
第五章 测量误差及测量平差§5.1 测量误差概述一、测量误差的概念某量的各测量值相互之间或观测值与理论值之间的往往存在着某些差异，说明观测中存在误差。
观测值与真值之差称为测量误差，也叫真误差。
X l i i -=∆ （i =1、2、……、n ） X 为真值。
二、研究测量误差的目的分析测量误差的产生原因、性质和积累规律；正确地处理测量成果，求出最可靠值；评定测量结果的精度；为选择合理的测量方法提供理论依据。
三、测量误差产生的原因1.测量仪器因素2.观测者的因素3.外界条件的因素测量观测条件——测量仪器、观测人员和外界条件这三方面的因素综合起来称为测量观测条件。
等精度观测——测量观测条件相同的各次观测称为等精度观测。
非等精度观测——测量观测条件不相同的各次观测称为非等精度观测。
四、测量误差的分类1.系统误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小、符号表现出系统性，或按一定的规律变化，或保持不变，这种误差称为系统误差。
其特点：具有累积性，但可以采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
2.偶然误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小和符号不定，表面上没有规律性，但实际上服从于一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。
偶然误差单个的出现上没有规律性，不能采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
因此，观测结果中偶然误差占据了主要地位，是偶然误差影响了观测结果的精确性。
五、减少测量误差的措施对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
对偶然误差，通常采用多余观测来减少误差，提高观测成果的质量。
§5.2 偶然误差的特性一、精度的含义1.准确度准确度是指在对某一个量的多次观测中，观测值对该量真值的偏离程度。
2.精密度精密度是指在对某一个量的多次观测中，各观测值之间的离散程度。
3.精度精度也就是精确度，是评价观测成果优劣的准确度与精密度的总称，表示测量结果中系统误差与偶然误差的综合影响的程度。
《测量学》课程教案
《测量学》课程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握测量学的基本概念、原理和方法；（2）熟悉测量仪器的使用和维护；（3）学会测量数据的处理和分析；（4）能够运用测量学知识解决实际工程问题。
2. 过程与方法：（1）通过讲授、讨论、实践等方式，培养学生的测量学理论素养；（2）利用实验、实习等途径，提高学生的动手操作能力；（3）结合实际工程案例，培养学生解决测量问题的能力。
3. 情感、态度与价值观：（1）培养学生对测量学的兴趣和热情；（2）树立学生严谨、细致的工作作风；（3）培养学生团队合作精神，提高沟通与协作能力。
二、教学内容1. 测量学基本概念（1）测量的定义、作用和分类；（2）测量学的基本要素：长度、角度、高程、坐标等。
2. 测量仪器的使用与维护（1）水准仪、经纬仪、全站仪、GNSS接收机等基本测量仪器的结构及功能；（2）测量仪器的操作方法及使用注意事项；（3）测量仪器的维护保养方法。
3. 测量方法及其应用（1）角度测量、距离测量、高程测量等基本方法；（2）地形图测绘、建筑施工测量、道路工程测量等应用实例。
4. 测量数据处理与分析（1）误差理论及测量数据的精度评定；（2）测量数据的平差及求解；（3）测量数据的整理与表达。
5. 测量在工程中的应用（1）地形图的应用：地形分析、规划设计等；（2）施工测量的应用：建筑物的定位、控制网建立等；（3）道路工程测量的应用：道路设计、施工控制等。
三、教学方法1. 讲授：通过课堂讲授，系统地传授测量学的基本概念、原理和方法；2. 实验：组织学生进行实地操作，熟悉测量仪器的使用和测量方法；3. 实习：结合实际工程案例，培养学生解决测量问题的能力；4. 讨论：引导学生探讨测量学中的重点、难点问题，提高学生的分析能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、课堂表现、作业完成情况等；2. 实验报告：评估学生在实验过程中的操作技能和数据处理能力；3. 实习报告：评价学生在实习中的表现及解决实际问题的能力；4. 期末考试：全面测试学生对测量学知识的掌握程度。
测量学第五章-误差概念
[] n
0
12
三、算术平均值
算术平均值： x L1 L2 Ln [Li ]
n
n
为什么取算术平均值：
i x Li
Li x i
x [Li ] x [i ]
n
n
当n ： [] 0
n
xx
13
如何解决随机误差产生的矛盾
•18世纪末，在测量学、天文学等实践中提出了如 何消除由于观测误差引起的观测量之间的矛盾的问 题 •1794年，年仅17岁的高斯（C.F.Gauss）提出了解 决这个问题的方法——最小二乘法 •19世纪初，高斯用自己提出的方法解决了当时的 一个天文学难题.
4.5%
P(3m 3m) 99.7%
0.3%
取极限误差(容许误差)： 或：
容 3m 容 2m
21
(3)相对误差
1 相对误差：绝对误差的绝对值与观测值之比 N 绝对误差：真误差、中误差、容许误差
意义： 观测 1000m 观测 800m
中误差 中误差
m 2cm m 2cm
•偶然误差(random errors)
如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个 误差看，该误差的大小和符号没有规律
•粗差(gross error)
错误 7
4、误差的消除
系统误差的解决？ 1、进行计算改正； 2、分析它对观测的影响规律，采取各种方法来 消除系统误差，或者减小它对观测成果的影响。 偶然误差的解决？ 进行多余观测，通过测量平差、数据处理理论， 确定被认为是最可靠的结果。 粗差的解决？ 尽量避免，检核
3
-1
总数
80
82
162
测量学-5测量误差基本知识
[z 2 ] [x 2 ] 2[xy] [y 2 ] n n n n
mz
2
mx
2
2 2 2 mz mx my
?
0
my2
2 2 mz mx my
（二）倍乘函数 已知：mx, 求：mz=?
z kx
[ z z ] mz n z k x
平方
f 2 mxn xn
2
再按照线性函 数进行计算
f 2 f 2 m mx1 mx2 x1 x2
小结
中误差关系式：
my 2 f12 m12 f 22 m2 2 ... f n2 mn 2
2
2 3
f ( x) 0.9545
x =Δ
-24″ -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24″
f ( x) 0.9973
3
dΔ
极限误差取值
允 2m
或： 允 3m
§5.3 误差传播定律及其应用
设有函数式： y f ( x1 , x2 ...)
i [ ] i=1 即 Lim —— = Lim —— =0 n n n n
n
§5.2 评定精度的标准 一、方差和标准差（中误差）
正态曲线公式： 2 1 Y = f() =—— e 22 2
2
方差： D()
2 n 2 i 1
2 f ()d
F 2 F 2 mZ m1 m2 x1 x2
2
2
F 2 mn xn
2
l
1 n ln
测量学试题及答案第五章_测量误差基本知识
第五章测量误差基本知识一、名词解释观测误差系统误差偶然误差误差传播定律二、填空题1．测量误差产生的原因、、；2．观测误差按误差的性质划分，可分为、、；3．评定观测值精度的标准有、、；三、选择题（）1．下列误差为偶然误差的是A 钢尺尺长不准的量距误差B 水准仪的i角对读数的影响误差C 经纬仪的水准管轴不垂直于竖轴对读数的影响误差D 经纬仪度盘读数的估读误差E 水准尺未立竖直（倾斜）对仪器读数的影响误差F 经纬仪照准目标时的照准误差G 水准仪在水准尺上读数时最后一位数值的估读误差H 钢尺量距时尺子零点对准地面点位的对点误差（）2．下列哪些量是评定观测值精度的标准A极限误差B中误差C相对误差D允许误差（）3．地面上两点间的距离，用钢尺反复丈量，观测值中误差的计算公式为A BC D无法计算四、简答题1、简述偶然误差的四个特性五、计算题1．用钢尺反复丈量地面上A、B两点间的水平距离，观测数据如下：L1＝124.365L5＝124.368L2＝124.372L6＝124.361L3＝124.370L7＝124.366L4＝124.367L8＝124.368计算这组观测值的中误差、算术平均值的中误差和相对误差。
2.用经纬仪反复观测某一角度，得如下一组角度值β1＝28°15′32″β2＝28°15′28″β3＝28°15′37″β4＝28°15′46″β5＝28°15′38″β6＝28°15′40″试求这组观测值的中误差及算术平均值的中误差。
3.一测站水准测量，后视读数为 1.659m，前视读数为 2.163m，水准仪在水准尺上的读数误差均为±2mm，求这一测站的高差及其中误差。
4.如图所示，从已知水准点A到B点进行水准测量，共测了4站，每一站水准仪的读数误差均为±2mm，A点的高程中误差为±8mm，试求B点的中误差。
5.水准仪在水准尺上的读数中误差为±2mm，求：⑴双仪器高法一测站高差中误差⑵三四等水准测量一测站高差中误差6.从已知水准点A到B点进行水准测量，水准仪的读数中误差为±2mm，A点的高程中误差为±8mm；要求B点的中误差不能超过±15mm，试求从A点到B点最多能测多少站？7.求DJ6经纬仪的一测回测角中误差，半测回测角中误差。
测量学 5测量误差分析与精度评定
一般情况 :角度、高差的误差用m表示， 量距误差用K表示。
19:07 20
5.4 误差传播定律及其应用
误差传播定律：反映观测值的中误差与观 测值函数中误差关系的定 律。 倍数函数 和差函数 函数形式 线性函数 一般函数
19:07 21
1.一般函数中误差 1.一般函数中误差
19:07 34
解法2: 解法2:
z=3x-y+2l –10， x=2l+5, z=6l+15-3l+6+2l –10
=5l+11 所以：mz =5ml
y=3l-6
两种方法，两样结果，哪里错了？？？？
19:07 35
例2:已知AB两点间的水平距离D=206.205±0.020 m，在A点安置经纬仪测得AB直线的高度角α =12 ̊ 20 30 ±30 ，计算AB间的高差h，及其 中误差 mh 。 解法1:函数式 ： h=D tg α = 45.130(m) 全微分：dh = tgα × dD + D × sec 2 α × dα 中误差关系：
19:07
8
19:07
9
19:07
10
偶然误差的特性
有界性：在有限次观测中，偶然误差应小 于限值。 密集性：误差小的出现的频率大，误差大 的出现的频率小。 对称性：绝对值相等的正负误差频率大概 相等。 抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误 差的平均数趋近于零。
19:07 11
5.3 衡量观测值精度的指标
正态曲线： 正态曲线：
1 2σ 2 f (∆) = e 2π σ
方差 :
− ∆2
k/n/d∆
σ
2
[∆ ] = lim
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样，其中最常见的是测量设备误差，如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外，环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差，可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值，并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合，通过测量组合量来得到被
测量的值，并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中，如果发现异常值， 应进行识别、判断和处理，以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ，使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定，其中A类评定基于统计分析，B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时，需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ，以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
根据测量不确定度对数据进行修约， 以确保数据的完整性和一致性。
《测量学》学习心得标准(四篇)
《测量学》学习心得标准学习《测量学》这门课程，我深感到了其中的重要性和复杂性。
通过这门课程的学习，我不仅学到了测量学的基本理论、方法和技术，更重要的是获得了一种科学的思维方式和解决问题的能力。
在学习过程中，我按照以下标准对学习内容进行了分析和总结。
首先，我注意到了测量学的基本概念和原理。
在测量学中，最基本的概念是测量和测量误差。
通过学习，我明白了测量是指根据一定的规则和方法，用量纲来描述并确定被测量对象特性的过程；测量误差是指测量结果与被测量对象真实值之间的差异。
掌握了这些基本概念后，我能够更加准确地理解和表达测量学的相关内容。
其次，我也研究了测量学的主要任务和内容。
测量学的主要任务是研究测量的对象、方法和技术，以及评价和控制测量结果的准确性和可靠性。
在学习过程中，我了解到了测量学的主要内容包括误差理论、测量精度评定、测量数据处理、测量仪器和测量系统等方面。
这些内容涵盖了从测量前的准备工作到测量过程中的各种问题，并提供了解决问题的方法和技术。
此外，我还关注了测量学的基本原理和方法。
测量学的基本原理包括测量过程的可重复性原理、精密度原理、准确性原理和稳定性原理等。
这些原理是测量的基础，也是判断测量结果的准确性和可靠性的依据。
同时，测量学的方法主要包括直接测量法、间接测量法和非接触测量法等多种方法。
通过学习这些原理和方法，我能够灵活选择合适的测量方法，并根据实际情况进行误差分析和数据处理。
最后，我还对测量学的应用和发展趋势进行了思考。
测量学是一门应用广泛的学科，几乎涉及到各个领域的测量工作。
在信息时代的背景下，测量学也在不断发展和创新。
现代测量技术的快速发展为测量学的应用提供了更多的可能性，比如无线传感器网络、图像测量技术和虚拟测量等。
同时，测量学也面临着更高的要求和挑战，比如精度要求的提高和测量过程的自动化等。
对于我个人而言，我也要不断学习和更新测量学的知识，提高自身的能力和素质，以适应社会对测量技术和人才的需求。
测量学第五章 测量误差基本知识1
my [ y y ] n
y=?
dy y
§5.4
误差传播定律及其应用
概念
误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值
函数中误差的关系的定律。
倍数函数
函数形式
和差函数
线性函数
一般函数
（一）和差函数
例如：用水准测量测定两点间的高差h=(a-b)，a 为后视读数，b为前视读数，称h为观测值a和b的 函数。 又例如距离 S 分 n 段丈量，各段长度分别为 S1 、 S2 、 … ， Sn ，则 S=S1+S2+….Sn ，称距离 S 是各分 段长度S1，S2、…，Sn的函数 这些数学式都是直接观测值之和或差，因此称为 和差函数。
2
2
2
2
设每个自变量都观测了 多次，i 1,2,3....n
y i
i 1
n
2
n
f1
n
2
(x1 ) i
i 1
n
2
n
1 2
f2
2
(x 2 ) i
i 1
n
2
n
...
n 当n ， lim 2 f 1 f 2
2 f1 f 2
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
第二组观测值的中误差：
(1) 2 2 2 (6) 2 0 2 (1) 2 7 2 12 0 2 (3) 2 (1) 2 m2 3.2 10
S′
测量学自学教程5
第五章 测量误差的基本知识一、本章重点1．测量误差概念。
2．算术平均值原理。
3．评定观测值的精度标准二、本章难点1．观测值中误差及算术平均值中误差的概念。
2．偶然误差及特性。
3．观测值函数中误差的概念及其应用。
三、课时分配第一节 概 述在测量工作中，对某量(如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等)进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量误差，即:测量误差 = 真值 - 观测值观测误差按其性质可分为两类： 1．系统误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若观测误差的符号及大小保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
这种误差往往随着观测次数的增加而逐渐积累。
如某钢尺的注记长度为30 m ，经鉴定后，它的实际长度为30.016 m ，即每量一整尺，就比实际长度量小0.016 m ，也就是每量一整尺段就有 + 0.016 m 的系统误差。
这种误差的数值和符号是固定的，误差的大小与距离成正比，若丈量了五个整尺段，则长度误差为5 ⨯ (+ 0.016) = + 0.080 m 。
若用此钢尺丈量结果为167.213 m ，则实际长度为：167.213 + 30213.167 ⨯ 0.0016 = 167.213 + 0.089 = 167.302 (m)由此可见，系统误差对观测结果影响较大，因此必须采用各种方法加以消除或减少它的影响。
比如用改正数计算公式对丈量结果进行改正。
再例如，角度测量时经纬仪的视准轴不垂直于横轴而产生的视准轴误差，水准尺刻划不精确所引起的读数误差，以及由于观测者照准目标时，总是习惯于偏向中央某一侧而使观测结果带有误差等都属于系统误差。
系统误差除可用改正数计算公式对观测结果进行改正加以消除外，也可以用一定的观测方法来消除其误差影响。
如经纬仪视准轴不垂直于横轴造成的误差，可以用盘左、盘右观测角度，取其平均值的方法加以消除；在水准测量中，采用前、后视距离相等来消除水准仪的视准轴不平行于水准管轴造成的误差。
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1 2.9(mm) P
11
例4：在相同的观测条件下，对同一水平角分别进行 了三组观测。一组2个测回，二组பைடு நூலகம்个测回，三组6 个测回。各组观测结果分别是：
1 40 2412 2 40 2418 3 40 2424
求三个组测量的加权平均值及其中误差。 解：
2 1
:
1 m
2 2
::
1 m
2 n
可见，用中误差衡量精度是绝对的，而 用权衡量精度是相对的，即权是衡量精度的 相对标准。
14:08
2
在测绘中，一般取一次观测、一个测回或单位长度的 测量误差作为单位权中误差。如：一测回的水平角观测中 误差 为测角中误差，则n测回取其平均值的角度中误差 m 是：
0.0082 0.0082 p1 1 p2 4 2 2 0.008 0.004 ph 1 38.994 4 39.003 h AB 39.001 (m) p 1 4
14:08 9
例3：如图所示:A到B进行了三次测量，数据 如下： 观测高差 线路长度 （ 1） 32.234m 2km （ 2） 32.245m 1km （ 3） 32.240m 1km 求A到B的高差最或然值及其中误差。
pi
14:08
c Li
(i 1,2 n)
4
角度测量中，当每测回角度观测中误差相 同时，各角度观测值的权与其测回数成正比
pi C N i
距离测量中，当单位距离测量的中误差相 同时，各段距离观测值的权与其长度成反比。
pi c si
5
14:08
二、加权平均值和中误差 1.加权平均值原理 根据最小二乘准则，应使[pvv]=min。
m 平
则，算术平均值的权为： 又如水准测量的权：
m n
Pm平 n
1 1 PL 或P站 L n站
14:08 3
确定权的常用方法 水准测量中，当每测站高差中误差相同 时，则各条水准路线高差观测值的权与测站 成反比
pi c Ni (i 1,2n)
水准测量中，当每公里高差中误差相同 时，则 各条水准路线高差观测值的权与路 线长度成反比
p 40 2420 p pvv m 11
0
p1 2
p2 4
p3 6
n 1
m m0
1 3 p
14:08
12
单位权中误差 m0
Pm m
n
m0
m0
Pvv
n 1
加权平均值中误差 M x m0
14:08
1 P
pvv p(n 1)
7
例1：水准网中，各线路测站数如图所示。试 确定各线路所测高差的权。 n2=25 解：取C=100， n1=40 即100个测站的高差 n3=50 n6=50 为单位权观测值。 n5=40
6
2.加权平均值
P PL 1 L1 P 2 L2 P n Ln 加权平均值：x P P 1P 2 P n
Mx
2
1 2 2 2 2 2 2 P 1 m1 P 2 m2 P n mn 2 P
P
n
2 2 2 1 2 m0 1 2 m0 2 m0 2 2 1 P Pm0 m0 P2 Pn 2 1 2 P P2 Pn P P P1
B A
14:08 10
解：（1）计算各次观测值的权
C 由Pi Li 得 P 1 1 P2 P3 2
（2）计算加权平均值
hAB [ pi Li ] 32.241 ( m) [ P]
（3）计算加权平均值中误差
单位权中误差 m0
Pvv 6.4(m m)
n 1
M h AB m0
n4=20 n7=25
100 2.5 40 100 p4 5.0 20 100 p7 4.0 25 p1
14:08
p2
100 4 25 100 p5 2.5 40
p3
100 2.0 50 100 p6 2.0 50
8
例2：甲、乙两组用不同的仪器测量A、B间高 差，结果如下： 甲组：38.994±0.008m 乙组：39.003±0.004m 试求A、B两点高差的最或是值。 解：设甲、乙两组观测值的权为p1、p2。则：
d [ pvv] 2 p1 ( x L1) 2 p 2 ( x L2) 2 p n ( x Ln) dx 2[ p ]x 2[ pL] d 2 [ pvv] 2[ p ] 0 2 dx 令 2[ p ]x 2[ pL] 0, 得
14:08
[ pL ] x [ p]
权的定义：
C Pi 2 mi 式中：C 是任一数， 根据实际情况定 。
等于1的权叫单位权， 权为1的中误差叫单位权中误 差(m0 )。 所以权的又一表示方法 ：
2 m0 Pi 2 mi
中误差的又一形式 ： mi m0 1 Pi
14:08
1
权与中误差的关系
p1 : p 2 : : p n 1 m